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Electrocinétique Chapitre 7

Filtres linéaires

I. Quadripôle linéaire

I.1. Linéarité Soit le quadripôle linéaire Q. Dans un tel circuit e(t) et s(t) sont reliés par

une équation différentielle linéaire dont l'ordre est appelé ordre du circuit. Ce qui veut dire que l'entrée et la sortie sont reliées par l'équation entrée-

sortie : a0�e +

€

ai ⋅d i edt i

i =1

n

∑ = b0�s +

€

bk ⋅d k s

dt kk =1

m

∑ où les coefficients ai et bk sont réels.

L'ordre du circuit est le plus grand des nombres n et m.

Le circuit est supposé invariant dans le temps ce qui veut dire que les coefficients de l'équation différentielle sont indépendants du temps et que si s(t) est la réponse à e(t), la réponse au signal retardé e(t - td) est s(t - td) quel que soit le retard td.

I.2. Fonction de transfert

On suppose e(t) sinusoïdal (ce qui grâce à Fourier ne restreint pas la généralité).

e(t) est la partie réelle Ré(e�ej�ω�t) et s(t) = Ré(s�ej�ω�t).

L'équation a0�e +

€

ai ⋅d i edt i

i =1

n

∑ = b0�s +

€

bk ⋅d k s

dt kk =1

m

∑ devient e�

€

i =0

n

∑ ai�(j�ω)i = s �

€

k =0

m

∑ bk�(j�ω)k.

Nous appellerons fonction de transfert du quadripôle linéaire Q le rapport complexe :

H(j�ω) =

€

se

(j�ω) =

€

i =0

n

∑a i ⋅ j ⋅ω( )i

k =0

m

∑bk ⋅ j ⋅ω( )k. Le module ⏐H(j�ω)⏐ =

€

se

= G est le gain (même s'il est parfois

plus petit que 1).

Pour tous les systèmes réels

€

se

doit rester fini si ω → ∞ donc n ≤ m : le dénominateur est de degré

supérieur au numérateur.

I.3. Effet de filtrage

Le gain dépendant de ω, on peut utiliser un tel quadripôle pour affaiblir certaines composantes d'un signal périodique et en amplifier d'autres. D'où ce quadripôle est un "filtre d'amplitude".

On peut également l'utiliser pour introduire des déphasages, il sert alors de "filtre de phase". Les deux effets ne sont pas vraiment séparables.

Le filtre est passif s'il ne contient que des éléments passifs (R, C, L …) et actif s'il contient des éléments tels que des AO, des transistors …

I.4. Diagramme de Bode

On représente les variations de G =

€

se

=

€

SmEm

en décibels en fonction de ω avec une échelle

logarithmique pour avoir une plus large gamme de fréquences.

On représente donc GdB

= ⏐H(j�ω)⏐dB = 20�log10

€

se

j ⋅ω( ) et Arg[H(j�ω)] = Arg

€

se

j ⋅ω( )$

% &

'

( ) en degrés

ou en radians, également avec une échelle logarithmique pour l'axe des fréquences.

L'ensemble de ces deux représentations constitue le diagramme de Bode du filtre.

s(t)e(t) Q

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II. Termes du premier ordre

II.1. Passe bas

II.1.1. Fonction du filtre

Soit le circuit R,C ci-contre.

• BF (en continu) : le condensateur est un interrupteur ouvert → i = 0 ; et s = e

• HF le condensateur est un interrupteur fermé → s = 0

⇒ Globalement ce filtre est un passe-bas.

L'équation différentielle est s(t) + R�C�

€

dsdt

= e(t). Le circuit est donc d'ordre 1.

• En HF : e ≈ R�i = R�C�

€

dsdt

→ ce filtre est un intégrateur en HF

C'est le circuit le plus simple permettant de réaliser un filtre passe bas ; c'est un modèle à retenir.

II.1.2. Fonction de transfert

On reconnaît un diviseur de tension → H =

€

se

=

€

ZCZC +ZR

=

€

11 +ZR ⋅YC

=

€

11 + j ⋅R ⋅C ⋅ω

On pose τ = R�C constante de temps du circuit,

€

1τ

= ωc et x = ω•τ =

€

ωωc

→ H =

€

11 + j ⋅ τ ⋅ω

=

€

11 + j ⋅x

A partir de H(j�ω) on peut remonter à l'équation différentielle.

II.1.3. Diagramme de Bode.

• Module de H(j�ω)

G = ⏐H(j�ω)⏐ =

€

1

1 +x 2 soit GdB = - 20 log

10

€

1 +x 2 = - 10 log (1 + x2)

On recherche d'abord les asymptotes :

⇒ aux basses fréquences x << 1 et GdB → - 10•log(1) = 0 dB

⇒ aux très hautes fréquences x >> 1 et G dB → - 20 log x

La représentation admet une asymptote 0 dB vers les basses fréquences et une asymptote à - 20 dB par décade vers les hautes fréquences.

La limite entre ces deux comportements a lieu quand x = 1 soit ω = ωc. Pour cette valeur, G =

€

12

et

GdB = - 20 log

€

2 = - 3 dB → ωc est la pulsation de coupure à – 3 dB.

• Phase : arg [H(j�ω)] = arg

€

11 + j ⋅x

#

$ % %

&

' ( ( = arg[1 – j•x] →tan ϕ = - x et cos ϕ > 0

Pour ω → 0 ϕ → 0 Pour ω → + ∞ ϕ → -

€

π2

Pour ω = ωc arg [H(j�ω)] = -

€

π4

-80

-60

-40

-20

0

-3 -2 -1 0 1 2 3

-90

-75

-60

-45

-30

-15

0 log x GdB

ϕ (°)

e(t)e

s(t)s

R

C

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II.2. Passe haut RC

II.2.1. Fonction du filtre

• BF (en continu) : le condensateur est un interrupteur ouvert → i = 0 ; et s = R�i = 0

• HF : le condensateur est un interrupteur fermé → s = e

Globalement ce filtre est un passe-haut.

En BF e ≈ uC → R�i = R�C�

€

dedt

ce filtre est un dérivateur en BF.

II.2.2. Fonction de transfert

On reconnaît un diviseur de tension → H =

€

se

=

€

ZRZC +ZR

=

€

11 +G ⋅ZC

=

€

1

1 +1

j ⋅R ⋅C ⋅ω

=

€

1

1 +1

j ⋅x

module G = ⏐H(j�ω)⏐ =

€

1

1 +1

x 2

→ GdB = -10•log

€

1 +1

x 2

"

# $

%

& '

ϕ = arg

€

1 +j

x

"

# $

%

& ' → tan ϕ =

€

1x

et cos ϕ > 0

II.2.3. Diagramme de Bode .

ω → 0 G → 0 GdB → 20•log x : asymptote à 20 dB/décade et ϕ →

€

π2

ω → + ∞ G → 1 GdB → 0 : asymptote à 0 et ϕ → 0

Intersection pour la pulsation de coupure ωc telle que 20•log x = 0 soit x = 1

ω = ωc G →

€

12

GdB = - 3 dB et ϕ →

€

π4

log x

-40

-30

-20

-10

0

-2 -1 0 1 2

0

15

30

45

60

75

90

+ 20 dB par décade

ϕ (°) GdB

II.3. Filtre RL

II.3.1. Rôle du filtre

• HF la bobine s'oppose aux variations rapides du courant ; c'est un interrupteur ouvert (Z = L�ω très grand) et s → e

• BF (en continu) : si la bobine est pure, sa résistance est nulle → s = 0 donc

e ≈ R�i et s = L�

€

didt

; ce filtre est un dérivateur en BF

⇒ Globalement ce filtre est un passe-haut.

II.3.2. Fonction de transfert

Toujours avec le diviseur de tension H(j�ω) =

€

se

=

€

ZLZL +ZR

=

€

11 +YL ⋅ZR

=

€

1

1 +R

j ⋅L ⋅ω

s e

R

L

e(t), e s(t), s RC

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On pose τ =

€

LR

=

€

1ωc

→

€

L ⋅ωR

= x et on trouve la fonction de transfert du filtre précédent. Donc le

même diagramme de Bode. Expérimentalement on préférera un montage sans bobine (dont on ne peut pas négliger la résistance et

qui ont des comportements anormaux en haute fréquence)

III. Termes du second ordre

On prend un circuit RLC série, alimenté par une tension d'entrée e. On observe en sortie la tension aux bornes de l'un des trois dipôles R, L ou C

Notations : ω0 =

€

1L ⋅C

et x =

€

ωω0

Q =

€

1R ⋅C ⋅ω0

=

€

L ⋅ω0R

→ L�ω = Q�R�x et

€

1C ⋅ω

= Q�R�

€

1x

III.1. Sortie aux bornes de R : s = R(i)

III.1.1. Rôle du filtre

• BF : le condensateur est un interrupteur ouvert → i = 0 ; et s = 0

• HF : la bobine est un interrupteur ouvert → s = 0

• Il existe une fréquence ω0 pour laquelle l'impédance du circuit RLC est minimale (Z = R). Donc i et s

sont maximum pour cette fréquence.

Globalement ce filtre est un passe-bande.

H(j�ω) =

€

se

=

€

ZRZR +ZC +ZL

=

€

R

R + j ⋅L ⋅ω +1

j ⋅C ⋅ω

=

€

R

R + j ⋅Q ⋅R x −1x

$

% &

'

( )

=

€

1

1 + j ⋅Q ⋅ x −1x

$

% &

'

( )

Module G =

€

1

1 + j ⋅Q2 ⋅ x −1x

$

% &

'

( ) 2

→ GdB = - 10 log

€

1 +Q2 ⋅ x −1x

$

% &

'

( ) 2$

% & &

'

( ) ) ; ϕ = arg

€

1− j ⋅Q ⋅ x −1x

$

% &

'

( )

*

+ ,

-

. / donc

cos ϕ > 0 soit –

€

π2

< ϕ = - arctan Q�

€

x −1x

#

$ %

&

' ( <

€

π2

Diagramme de Bode :

ω → 0 G → 0 GdB → - 20 log Q�

€

1x

= - 20 log Q + 20 log x et ϕ →

€

π2

ω → + ∞ G → 0 GdB → - 20 log Q�x = - 20 log Q - 20 log x et ϕ → -

€

π2

Maximum de G pour ω = ω0 Gmax = 1 → GdB,max = 0 dB et ϕ = 0

Asymptotes + 20 dB/décade en B.F. et - 20 dB/décade en HF.

Les asymptotes se coupent en x = 1 et GdB = - 20•log Q qui peut être négatif (si Q > 1) et dans ce cas la courbe de gain réel est au dessus des asymptotes

GdB

-50

-40

-30

-20

-10

0 -2 -1 0 1 2 log x

-90

-45

0

45

90 ϕ

On obtient un effet de filtrage passe bande autour de ω0. Les signaux sont d'autant plus affaiblis

(⏐H(j�ω)⏐≤ 1) que leur pulsation s'éloigne de ω0.

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• Bande passante à - 3 dB : on cherche les valeurs ω1 et ω2 (ou x1 et x2) telles que

GdB = - 3 dB = - 10 log

€

1 +Q2 ⋅ x −1x

$

% &

'

( ) 2$

% & &

'

( ) ) = -10 log 2

→ Q2�

€

x −1x

#

$ %

&

' ( 2 = 1 et x –

€

1x

= ±

€

1Q

qui conduit aux deux équations : x2 -

€

xQ

- 1 = 0 et x2 +

€

xQ

- 1 = 0

dont les solutions positives sont distantes de x2 – x1 =

€

1Q

soit ω2 - ω1 =

€

ω0Q

On appelle bande passante à - 3 dB, la différence ∆ω = ω2 - ω1. La bande passante est centrée sur ω0

et a pour largeur ∆ω =

€

ω0Q

.

On retrouve Q =

€

ω0ω2 −ω1

facteur de qualité ou coefficient de surtension propre du circuit.

III.2. Sortie aux bornes de C

III.2.1. Fonction du filtre

• BF : le condensateur est un interrupteur ouvert → i = 0 ; et s = e

• HF le condensateur est un interrupteur fermé → s = 0

Globalement ce filtre est un passe-bas.

III.2.2. Fonction de transfert

H (j�ω) =

€

se

=

€

ZCZR +ZC +ZL

=

€

1YC ⋅ ZR +ZC +ZL( )

= 1

1 + j ⋅R ⋅C ⋅ ω −L ⋅C ⋅ ω2 soit avec ω0 =

€

1L ⋅C

,

x =

€

ωω0

, R�C�ω =

€

xQ

→ H(j�ω) =

€

1

1 + j ⋅xQ−x 2

→ G =

€

1

1−x 2( )2 +x 2

Q2

et ϕ = arg [1 - x2 – j•

€

xQ

] donc

cos ϕ > 0 si x < 1 et cos ϕ < 0 si x > 1 ; sin ϕ < 0 et - ∏ < ϕ = arctan

€

−x

Q ⋅ 1−x 2( ) < 0.

III.2.3. Diagramme de Bode

On pourra vérifier que si Q ≥

€

12

ce passe bas est un passe bande

GdB = - 10 log

€

1−x 2( )2 +x 2

Q2

#

$ % %

&

' ( (

ω → 0 donc x → 0 G → 1 donc GdB → 0 asymptote à 0 dB ; cos ϕ > 0 et tan ϕ = 0 → ϕ → 0

ω → + ∞ G → 0 donc GdB → - 40 log x → asymptote à -40 dB/décade et ϕ → - π

Les asymptotes 0 dB/décade en BF et - 40 dB/décade en HF se coupent en ω = ω0.

Par rapport à un passe-bas du premier ordre, le passe bas du second ordre présente une coupure plus rapide.

III.3. Sortie aux bornes de la bobine

III.3.1. Rôle du filtre

• BF : la bobine (parfaite) est un interrupteur fermé → s = 0 • HF la bobine est un interrupteur ouvert → s = e

⇒ Globalement ce filtre est un passe-haut.

s e

R

CL

s e

RC

L

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III.3.2. Fonction de transfert

H =

€

ZLZR +ZC +ZL

=

€

ZL ⋅YC1 +ZR ⋅YC +ZL ⋅YC

soit avec les notations habituelles H = -

€

x 2

1 + j ⋅xQ−x 2

que l'on

peut mettre sous la forme H = H1�H2 avec H1 = - x2 et H2 =

€

1

1 + j ⋅xQ−x 2

soit G = G1�G2

→ GdB = G1dB + G2dB et ϕ = ϕ1 + ϕ2

III.3.3. Diagramme de Bode

Le diagramme de Bode du filtre est donc la somme des diagrammes correspondant à H1 et H2

H2 est la fonction de transfert du RLC passe bas du second ordre (RLC sortie aux bornes de C)) et

G1 = x2 → G1dB = 40 lg x est une droite de pente 40 dB/décade avec ϕ1 = π

Le diagramme asymptotique a l'allure suivante : GdB

0lg x

G1

G2

G

G2

G1

G

Le diagramme réel présente un maximum pour x = 1 correspondant à la résonance si Q > 1

2

III.4. Filtre coupe bande

III.4.1. Rôle du filtre

• BF : le condensateur est un interrupteur ouvert → i = 0 → s = e

• HF : la bobine est un interrupteur ouvert → s = e

• Il existe une valeur de ω pour laquelle Z(L+C) = 0 donc pour laquelle s = 0.

⇒ Globalement ce filtre est un coupe bande.

III.4.2. Fonction de transfert

On a H =

€

ZL +ZCZR +ZL +ZC

=

€

ZL ⋅YC +11 +ZR ⋅YC +ZL ⋅YC

soit avec les notations habituelles :

H =

€

1−x 2

1 + j ⋅xQ−x 2

= H1�H2 avec H1 = 1 - x2 et H2 =

€

1

1 + j ⋅xQ−x 2

qui est le passe-bas d'ordre 2.

III.4.3. Diagramme de Bode

D'où : G1dB = 20 lg⏐1 - x2⏐ → 0 en BF G1dB → - ∞ pour x = 1 et G1dB → 40 lg x en HF

ϕ1 = arg (1 - x2) → ϕ1 = 0 pour x < 1 et ϕ1 = π pour x > 1 ; c'est une fonction discontinue.

GdB

0lg x

GG2 G

G1

GG2G1

G1

π

ϕ

0lg x

- π

ϕ

€

π2

ϕ1

ϕ2

ϕ

ϕ1

ϕ2

s e

RC

L

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Avec incidence du facteur de qualité.

IV. Filtres actifs

IV.1. Mise en cascade de filtres d'ordre 1

On peut vouloir éviter d'utiliser des bobines (qui ne sont jamais des composants purs) et constituer un passe-bande avec un passe-bas + un passe-haut.

Il faut intercaler entre les deux un montage suiveur (avec AO) dont l'impédance d'entrée infinie permet de ne pas perturber la fonction de transfert du premier filtre.

Exemple ci-dessous : l'entrée et la sortie de l'AO sont égales à la sortie du premier filtre.

H1 = 11 + j ⋅x 1

avec x1 = R1�C1•ω et x2 = R2•C2•ω

→ H2 = 1

1 + 1j ⋅x 2

→ H = 11 + j ⋅x 1

�1

1 + 1j ⋅x 2

La fonction de transfert de l'association est alors égale au produit des fonctions de transfert des deux filtres. Le diagramme de Bode de l'association s'obtient par addition des diagrammes en amplitude et en phase des deux filtres. Ci-dessous, diagrammes asymptotiques.

1/τ2

-

€

π2

ϕ

€

π2

ω(log) 1/τ1

On pose R1�C1•R2•C2 = τ1�τ2 = 1

ω02

et R1�C1 + R2•C2 = τ1 + τ2 = 2 ⋅ λω0

→ λ = τ1 + τ2

2 ⋅ τ1 ⋅ τ2

rapport de la

moyenne arithmétique à la moyenne géométrique des constantes de temps → λ > 1. La mise en cascade donne des filtres d'ordre 2 fortement amortis. Ce qui est ennuyeux.

IV.2. Filtres actifs

Soit le montage ci-dessous où l'on reconnaît un amplificateur non inverseur.

H(j�ω) = 1 + Z2Z1

= 1 + R2R1

�(1 + j�ω�R1�C) = 1 + R2R1

+ j�ω�R2�C

G = ⏐H⏐ = 1 +R2R1

!

"

##

$

%

&&

2

+ ω ⋅R2 ⋅C( )2

ω → 0 ⇒ G = 1 + R2R1

et GdB

= 20 log 1 +R2R1

!

"

##

$

%

&&

en BF asymptote à 0

et ω → ∞ ⇒ GdB

= 20 log ω + 20 log R2�C en HF asymptote à + 20 dB/décade.

Les asymptotes se coupent pour la pulsation de coupure : ωc = 1C⋅

1R1

+1R2

"

#

$$

%

&

''

Diagramme de Bode en phase : Phase ϕ = arctan ω ⋅C ⋅R1 ⋅R2

R1 +R2

= arctan(ω�C�Req)

ω → 0 ⇒ ϕ → 0 et ω → ∞ ⇒ ϕ → π

2 avec ϕ =

π

4 à la pulsation de coupure.

e s

R1 - +

R2 C2

C1

+ 20 dB/déc - 20 dB/déc

1/τ1 1/τ2 GdB

ω(log)

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ωc

20!log(1+R2/R1)

GdB + 20 dB/déc

ω(log)

ωc

€

π4

ϕ

€

π2

ω(log)

Remarque : Le gain semble pouvoir devenir infini, mais on n'a pas tenu compte des limitations (en particulier la saturation de l'AO).

L'utilisation d'éléments actifs permet

⇒ de synthétiser des fonctions inaccessibles autrement,

⇒ d'introduire une amplification dans la bande passante,

⇒ d'obtenir des impédances d'entrée et de sortie bien choisies.

IV.3. Structure de Rauch

Soit le montage ci-dessous.

A B

e s

Z1 - ∞ +

Z3

Z5 Z2

Z4

E

S

• L'AO est idéal → VA = V- = V+ = 0

• Millman en A : VA = Vs ⋅Y5 +VB ⋅Y3

Y3 +Y5 = 0

• Millman en B : VB = Vs ⋅Y2 +Ve ⋅Y1

Y1 +Y2 +Y3 +Y4

➀ → VB = - s•Y5•Z3 et ➁ → e•Y1 + s•Y2 = VB•(Y1 + Y2 + Y3 + Y4) → e�Y1 + s�Y2 = - s�Y5�Z3�(Y1 + Y2 + Y3 + Y4) soit s�[Y2 + Y5�Z3�(Y1 + Y2 + Y3 + Y4)] = e�Y1

→ H = −Y3 ⋅Y1

Y3 ⋅Y2 +Y5 ⋅ Y1 +Y2 +Y3 +Y4( ) = −1

Y2 ⋅Z1 +Y5 ⋅ Z3 + Z1 ⋅Z3 ⋅Y2 + Z1 + Z1 ⋅Z3 ⋅Y4( )

Cette structure permet d'obtenir toutes les fonctions de transfert sans utiliser de bobines.

Si l'on utilise que des résistances H = −1

1 + 1R⋅ R +R +R +R( )

= −15

c'est un inverseur

Prenons un condensateur en 5 : Y5 = j�C�ω,tous les autres composants étant des résistances R. H devient

avec x = R•C•ω : H = - 11 + j ⋅C ⋅ ω ⋅ 4 ⋅R( )

= −11 + j ⋅4 ⋅x

qui est un passe bas d'ordre 1 inverseur

Ajoutons un autre condensateur mais ni 1 ni 2 pour garder Y2�Z1 = 1

Essayons en 3 → H = −1

1 + j ⋅C ⋅ ω ⋅3

j ⋅C ⋅ ω+R

$

%&&

'

())

= −14 + j ⋅R ⋅C ⋅ ω

= −14 + j ⋅x

qui est un passe bas

d'ordre 1 inverseur

Essayons en 4 → H = −11 + j ⋅C ⋅ ω ⋅R ⋅ 3 + j ⋅R ⋅C ⋅ ω( )

= −1

1 −R2 ⋅C2 ⋅ ω2 +3 ⋅ j ⋅R ⋅C ⋅ ω =

−1

1 −x 2 + j ⋅3 ⋅x

passe bande d'ordre 2 inverseur