COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUES

AVERTISSEMENT

Le cours et les exercices qui se trouvent ici viennent du cours polycopié de mathématiquesdes modules d’orientation écrit par François Cottet-Emard et Marie-Claude David utilisé enpremier cycle au centre scientifique d’Orsay entre les années 1990 et 1998.

Le fichier original TEX sur Macintosh a été transféré sur PC, mais les graphiques(incompatibles) n’ont pas encore été redessinés. Le cours fait donc référence à quelquesgraphiques qui sont absents du texte actuellement présenté sur le site. Heureusement, cetteabsence ne gêne pas énormément la compréhension du texte.

Les exercices sont nombreux, mais (comme dans l’original) rarement classés par ordre dedifficulté croissante. De même, les fautes de frappe et petites erreurs de l’original se trouventcertainement encore dans ces pages web !

Avec donc les excuses des auteurs et du site

LE COURS COMMENCE A LA PAGE SUIVANTE

XIII - 1

"L'application la plus simple de la notion d'int¶egrale est la quadrature1

des domaines plans. A cause de cette application, on a fait souventremonter la notion d'int¶egrale d¶e¯nie µa Archimµede et µa la quadraturede la parabole."

H. Lebesgue, "Le»cons sur l'int¶egration et la recherche des fonctionsprimitives"1904

L' IN TEGR AL E

I | Intro d uction µa la notion d'int¶egrale.

1 { sommation in¯nie.

Consid¶erons n charges ¶electriques ponctuelles plac¶ees aux points d'abscisses x1; x2; : : : ; xnd'un axe x0Ox et de charges respectives q1; q2; : : : ; qn. On sait que le potentiel ¶el¶ectriquecr¶e¶e en un point d'abscisse ! de l'axe est donn¶e par la somme

U =nXi=1

Kqi

j! ¡ xij

oµu K est une constante.

Consid¶erons maintenant une barre (port¶ee par x0Ox) charg¶ee avec une densit¶e decharge ½(x) et cherchons µa calculer le potentiel cr¶e¶e par cette barre en un point de l'axe.L'id¶ee naturelle est de d¶ecouper cette barre continue en n petits segments d'extr¶emit¶esxi; xi+1, d'assimiler chacun d'eux µa une charge ponctuelle concentr¶ee (par exemple) aumilieu yi de [xi; xi+1] et d'approcher le potentiel de la barre par celui de cette r¶epartitiondiscrµete de charges :

U =nXi=1

K½(yi)(xi+1 ¡ xi)

j! ¡ yij :

Il est naturel aussi de penser que ce proc¶ed¶e est d'autant meilleur que chaque petit segmentde barre assimil¶e µa une charge ponctuelle est petit, i.e. que la plus grande des longueursxi+1 ¡ xi est petite. On a envie de dire que la valeur cherch¶ee est la limite, si elle existe,des sommes ci-dessus quand N tend vers l'in¯ni.

Ceci conduit µa poser la question suivante :

Question 1 : soit f une fonction continue sur un segment [a; b]. Peut-on donner un sens µa

la limite de

n¡1Xi=0

f(yi)(xi+1 ¡ xi), expression dans laquelle x0 = a < x1 < : : : < xi < : : : <xn = b sont des points formant une subdivision de [a; b] et oµu chaque yi est un point pris

1 quadrature : calcul de l'aire d'une ¯gure plane.

XIII - 2

dans [xi; xi+1], la limite se faisant quand le "pas" de la subdivision, µa savoir le maximumdes di®¶erences xi+1 ¡ xi, tend vers 0?

2 { aire sous une courbe.

Consid¶erons le graphe de la fonction positive f d¶e¯nie sur le segment [a; b] et essayonsde calculer l'aire de la portion de plan comprise entre l'axe x0Ox, la courbe et les droitesx = a et x = b :

L'id¶ee naturelle pour encadrer l'aire cherch¶ee par une valeur plus petite et une valeurplus grande, est de consid¶erer une subdivision x0 = a < x1 < : : : < xi < : : : xn = bde [a; b] et de prendre sur chaque segment [xi; xi+1] un nombre mi et un nombre Mi

respectivement minorant et majorant des valeurs de f(x) quand x d¶ecrit [xi; xi+1]. Onobtient g¶eom¶etriquement une famille ¯nie de rectangles de base [xi; xi+1] et de hauteur mi

dont la surface totale s =n¡1Xi=0

mi(xi+1¡xi) est inf¶erieure µa l'aire cherch¶ee et une famille de

rectangles de base [xi; xi+1] et de hauteur Mi dont la surface totale S =n¡1Xi=0

Mi(xi+1¡xi)est sup¶erieure µa l'aire cherch¶ee.

exemple : consid¶erons la fonction f(x) = x3 sur [0; 1]. D¶ecoupons [0; 1] en n parties ¶egales

et prenons sur chaque intervalle d'extr¶emit¶es kn et

k+1n les rectangles de hauteur

³kn

´3et³k+1n

´3situ¶es respectivement en dessous et au dessus de la courbe repr¶esentative de

f(x) = x3. Les aires des rectangles situ¶es en dessous et au dessus de cette courbe sontdonn¶es par

sn =1

n

³ 1n

´3+1

n

³ 2n

´3+ : : :+

1

n

³n¡ 1n

´3=(n¡ 1)24n2

Sn =1

n

³ 1n

´3+1

n

³ 2n

´3+ : : :+

1

n

³n¡ 1n

´3+1

n

³nn

´3=(n+ 1)2

4n2

compte tenu de la formule 13 + 23 + : : :+ n3 =³n(n+1)

2

´2.

Pour obtenir la valeur cherch¶ee de la surface sous la courbe, on souhaite pouvoirprendre le "maximum" des aires sn et le "minimum" des aires Sn lorsque n d¶ecrit N. Onaimerait que ces deux valeurs concident. On peut donc formuler le problµeme suivant :

Question 2 : soit f une fonction born¶ee sur [a; b] et A la portion de plan comprise entrel'axe x0Ox, la courbe y = f(x) et les droites x = a et x = b. Etant donn¶e un " positif aussipetit que l'on veut, peut-on trouver, en subdivisant [a; b] par un nombre ¯ni de points,une famille de rectangles d'aire totale S contenant la portion de plan A et une famille derectangles d'aire totale s contenus dans A v¶eri¯ant 0 < S ¡ s < "?1

1 Cette question est µa la base des proc¶ed¶es de quadrature des courbes dans l'antiquit¶e (proc¶ed¶e d'exhaustion).

Archi mµed e (Syrac use 287 - Syrac use 212 av J.C.), math¶ematic ien g re c marq u¶e par l'¶e co l e e ucli dien ne d'A l e x a ndri e

a port¶e la m¶ethode d'exhaustion pour le calcul des aires et des volumes µa un point culminant. Il ¯t dans le meme

temps uvre de th¶eoricien et d'ing¶enieur en appliquant ses connaissances scienti¯ques (notamment dans le domaine

de la statique et de l'hydrostatique) µa la construction de machines.

XIII - 3

Dans notre exemple, on constate que la di®¶erence de ces aires est ¶egale µa1

nqui peut

etre rendu aussi petit que l'on veut.

Le proc¶ed¶e d'approximation de la surface sous la courbe par des rectangles est d'autantmeilleur que les rectangles sont "¶etroits" de base et que les hauteurs mi et Mi collent µa lafonction f sur [xi; xi+1]. Ainsi plus le nombre de points de subdivision est grand et plusmi est un minorant de f proche de f et Mi un majorant de f proche de f sur chaqueintervalle [xi; xi+1], meilleure sera l'approximation.

Ceci conduit µa envisager comme valeurs possibles de mi et de Mi la borne inf¶erieureet la borne sup¶erieure de f sur [xi; xi+1] (i.e. pour une fonction continue, le minimum etle maximum de f sur ce petit segment).

Le paragraphe suivant va nous donner une classe trµes importante de fonctions r¶epondantaux questions pos¶ees : il s'agit des fonctions continues.

II | D¶e¯nition de l'int¶egrale d'un e f on ction continue.

Nous consid¶erons dans ce paragraphe une fonction f d¶e¯nie continue sur le segment[a; b].

Th¶eorµeme 1. Soit f une fonction continue sur [a; b]. Pour tout " positif, il existe unesubdivision d = fx0; x1; : : : ; xng de [a; b] et des nombres mi etMi tels que mi · f(x) ·Mi

sur chaque intervalle [xi; xi+1] et v¶eri¯ant

0 ·n¡1Xi=0

Mi(xi+1 ¡ xi)¡n¡1Xi=0

mi(xi+1 ¡ xi) < ":

Ce th¶eorµeme donne donc une condition su±sante simple pour que la fonction f soit"int¶egrable": il su±t qu'elle soit continue sur le segment consid¶er¶e. La d¶emonstration estrenvoy¶ee en ¯n de paragraphe.

Il nous reste maintenant µa d¶e¯nir l'int¶egrale de la fonction f sur le segment [a; b].

XIII - 4

D¶e¯nition. Le th¶eorµeme I permet d'a±rmer que la borne sup¶erieure des sommesPmi(xi+1¡

xi) est ¶egale µa la borne inf¶erieure des s ommesPMi(xi+1 ¡ xi), ces bornes ¶etant prises

pour toutes les subdivisions possibles de [a; b] et toutes les valeurs possibles de mi et Mi.

Cette borne commune s'appelle int¶egrale de f entre a et b et se noteZ b

a

f(x)dx

¶ecriture dans laquelle le signe d'int¶egration est le signe de sommation "pass¶e µa la limite"et oµu dx symbolise l'accroissement xi+1 ¡ xi.

Dans cette notation, la variable x est une variable muette : on a

Z b

a

f(x)dx =Z b

a

f(t)dt. On emploie la variable que l'on veut.

Un autre proc¶ed¶e pour approcher l'aire cherch¶ee par des familles de rectangles consisteµa choisir dans chaque intervalle [xi; xi+1] un point yi et µa consid¶erer les rectangles dehauteur f(yi). Chacun de ces nombres f(yi) est compris entre les mi etMi pr¶ec¶edemmentconsid¶er¶es : on ne sait donc pas si l'aire totale

Pf(yi)(xi+1¡xi) des nouveaux rectangles

approche la surface cherch¶ee par d¶efaut ou par excµes. De toute fa»con, une telle aire est"coinc¶ee" entre les aires d'une famille de rectangles contenant notre portion de plan A etd'une famille de rectangles contenus dans A. Comme ces aires peuvent etre rendues aussivoisines que l'on veut, notre nouveau proc¶ed¶e de construction de rectangles va redonner lememe nombre limite quand le pas de la subdivision tend vers 0.

D¶e¯nition. On appelle somme de Riemann attach¶ee µa la subdivision d = fx0; x1; : : : ; xngde [a; b] toute somme

n¡1Xi=0

f(yi)(xi+1 ¡ xi) oµu yi est un point de [xi; xi+1].

exemple 1 : la valeur approch¶ee du potentiel ¶electrique de l'introduction est une somme de

Riemann de la fonction f d¶e¯nie par f(x) = K½(x)

jx¡ !j (! ¶etant le point de l'axe oµu l'oncalcule le potentiel.)

exemple 2 : dans l'exemple ci-dessus de la cubique, en prenant yi au milieu de chaque

[xi; xi+1] on trouve une somme de Riemann1 ¶egale µa

2n2 ¡ 18n2

, valeur comprise entre sn et

Sn.

1 Riem ann, Ge org Frie drich B ern hard (Al lem ag n e 1826 - I talie 1866). Fils d e past e ur, Ri emann s uivit de s

cours de th¶eologie et de philologie µa l'universit¶e de Gttingen avant de se consacrer entiµerement µa l'¶etude des

math¶ematiques. Il devint enseignant µa l'universit¶e et poursuivit des travaux extremement novateurs, entre autres

sur les fonctions de variables complexes et l'int¶egration, qui inspirµerent nombre de math¶ematiciens aprµes lui. Son

in°uence sur l'¶evolution des math¶ematiques dans le dernier tiers du XIXe siµecle fut d¶ecisive.

XIII - 5

Les problµemes soulev¶es en introduction par les questions 1 et 2 re»coivent ¯nalementla meme r¶eponse :

Th¶eorµeme 2. Les sommes de Riemannn¡1Xi=0

f(yi)(xi+1 ¡ xi) d'une fonction continue fconvergent vers l'int¶egrale de f lorsque le pas de la subdivision fx0; x1; : : : ; xng tend vers0.

Rappelons que le pas de la subdivision est le maximum de la distance entre deuxpoints cons¶ecutifs de cette subdivision. Lorsque ce pas tend vers 0, le nombre n de pointstend ¶evidemment vers l'in¯ni; quant au choix des points yi, il est quelconque: : :Nous avonsdonc a®aire µa une notion de limite singuliµerement plus compliqu¶ee que celle donn¶ee dansle chapitre IV de ce cours.

}}} µa sauter en premiµere lecture.d¶emonstration du th¶eorµeme 1.

Pour toute subdivision d, soit s(d) =

n¡1Xi=0

mi(xi+1 ¡ xi) et S(d) =n¡1Xi=0

M i(xi+1 ¡ xi)oµu mi et M i sont le minimum et le maximum de f sur le segment [xi; xi+1] ; ce minimumet ce maximum existent puisque f est continue sur le segment [xi; xi+1]. De plus f estcontinue sur [a; b] et y possµede un minimum m et un maximum M . Il est donc clair que

m(b¡ a) · s(d) · S(d) ·M(b¡ a)

pour toute subdivision d de [a; b]. L'ensemble des valeurs s(d) admet donc une bornesup¶erieure et l'ensemble des valeurs de S(d) admet une borne inf¶erieure et l'on a ¶evidemment

supds(d) · inf

dS(d):

Il su±t donc de prouver que pour tout " positif il existe une subdivision de [a; b] telleque S(d)¡ s(d) < ".

Nous utiliserons une propri¶et¶e plus forte que la continuit¶e de f sur [a; b], µa savoir lacontinuit¶e uniforme2 d'une fonction sur un segment ; cette notion sera ¶etudi¶ee chapitreXVIII.

Cette propri¶et¶e signi¯e - pour tout " donn¶e - l'existence d'un ® positif tel que pourtous x0 et x" de [a; b] la propri¶et¶e jx0¡ x"j · ® implique jf(x0)¡ f(x")j < ". (D'une fa»conimag¶ee, le "®(")" de la continuit¶e de f en x0 d¶epend uniquement de " et pas du point x0lorsque f est continue sur un intervalle ferm¶e born¶e.)

2 Pressentie par quelques math¶ematiciens, la notion de continuit¶e uniforme ne fut formul¶ee pr¶ecis¶ement que

da ns la se co nd e m o i ti¶e du XIXe siµec le,e n partic ulier p ar We ier strass d ans se s cours µa l'un ivers it¶e de Be rlin . Ell e

fut propag¶ee par ses ¶elµeves µa partir des ann¶ees 1870 et permit d'obtenir des r¶esultats plus ¯ns et plus rigoureux

dans l'¶etude des fonctions.

XIII - 6

Construisons donc une subdivision x0 = a; x1 = x0+®; x2 = x1+® : : :. La fonction fcontinue sur chaque segment [xi; xi+1] y pr¶esente un minimum et un maximum : il existedonc deux points yi et zi de [xi; xi+1] tel que mi = f(yi) et M i = f(zi); en particuliernous avons 0 < M i ¡mi < " puisque jyi ¡ zij · ®. Pour cette subdivision on a donc

0 <n¡1Xi=0

(M i ¡mi)(xi+1 ¡ xi) <n¡1Xi=0

"(xi+1 ¡ xi) = "(b¡ a):

Ceci d¶emontre donc µa la fois le th¶eorµeme 1 et la propri¶et¶e ¶enonc¶ee dans la d¶e¯nitionde l'int¶egrale.

d¶emonstration du th¶eorµeme 2.

Toute somme de Riemann pour une subdivision d est coinc¶ee entre s(d) et S(d). Lad¶emonstration pr¶ec¶edente nous indique que pour tout " on peut trouver une subdivision dtelle que

s(d) ·Z b

a

f(x)dx · S(d) et 0 · S(d)¡ s(d) · "

ce qui signi¯e aussi que toute somme de Riemann de la subdivision d se trouve µa moins de" de l'int¶egrale de f .

III | G¶en¶eralisation - fonction Riemann- int¶eg r a bl e .

Pour une fonction f born¶ee, non n¶ecessairement continue, on peut se poser exactementles memes questions que pour une fonction continue. En supposant que f est born¶ee, lanotion de rectangles "plus grands" ou "plus petits" que f a un sens.

1 { d¶e¯nition.

Une fonction f d¶e¯nie et born¶ee sur [a; b] est dite int¶egrable au sens de Riemann sur[a; b] lorsque pour tout " strictement positif on peut trouver, en subdivisant [a; b] par unnombre ¯ni de points, une famille de rectangles "plus grands" que f d'aire totale S et unefamille de rectangles "plus petits" que f d'aire totale s v¶eri¯ant 0 < S ¡ s < ".

Cette d¶e¯nition implique que la borne sup¶erieure des aires des rectangles "en dessousdu graphe de f" est ¶egale µa la borne inf¶erieure des aires des rectangles "au dessus du graphede f". Ce nombre est appel¶e l'int¶egrale de f sur [a; b]. De plus, par le meme argument queleth¶eorµeme 2, on montre qu'il est aussi ¶egal µa la limite des sommes de Riemann calcul¶ees µapartir de subdivisions de [a; b] quand le pas de ces subdivisions tend vers 0.

Pour etre plus rigoureux que " rectangles au dessous de f " , nous allons utiliser lanotion de fonction en escalier :

2 { fonction en escalier.

On dit qu'une fonction Á est en escalier sur [a; b] quand il existe une subdivisiond = fx0; x1; : : : ; xng de [a; b] telle que Á soit constante sur chaque intervalle [xi; xi+1[.

Prendre une famille de rectangles situ¶es en dessous (ou au dessus) du graphe de frevient donc µa se donner une fonction en escalier sur [a; b] major¶ee (ou minor¶ee) par f .

XIII - 7

3 { int¶egrale d'une fonction en escalier.

L'aire situ¶ee entre le graphe d'une fonction Á en escalier, l'axe x0Ox et les droitesx = a et x = b a un sens ¶evident, puisqu'il s'agit de la somme de surfaces de rectangles.

Si l'on note ®i la valeur constante de Á sur [xi; xi+1[, cette aire vautn¡1Xi=0

®i(xi+1¡ xi). Cenombre est appel¶e int¶egrale de Á sur [a; b].

4 { fonction Riemann-int¶egrable.

La d¶e¯nition de "la fonction f est int¶egrable sur [a; b]" peut alors s'¶ecrire :

D¶e¯nition. Une fonction born¶ee sur [a; b] est dite Riemann-int¶egrable sur [a; b] quandpour tout " > 0 il existe deux fonctions en escalier Á et à v¶eri¯ant les deux conditions

Á(x) · f(x) · Ã(x) pour tout x de [a; b]Z b

a

(Ã(x)¡ Á(x))dx < ":

Cette d¶e¯nition nous permet aussi de caract¶eriser l'int¶egrale de f sur [a; b]:

L'int¶egrale de f sur [a; b] est alors l'unique nombre r¶eel = tel queZ b

a

Á(x)dx · = ·Z b

a

Ã(x)dx

pour toutes les fonctions en escalier Á et à v¶eri¯ant Á(x) · f(x) · Ã(x) sur [a; b].

L'int¶egrale de f sur [a; b] est la borne sup¶erieure des int¶egrales des fonctions en escalierplus petites que f ou la borne inf¶erieure des int¶egrales des fonctions en escalier plus grandesque f .

autre formulation : f est int¶egrable sur [a; b] d'int¶egrale = lorsque, pour tout " > 0 il existedeux fonctions en escalier Á et à v¶eri¯ant

Á(x) · f(x) · Ã(x) pour tout x de [a; b]

=¡ " ·Z b

a

Á(x)dx · = ·Z b

a

Ã(x)dx · =+ ":

5 { exemples de fonctions int¶egrables sur un segment.

} fonction continue par morceaux : une fonction f est continue par morceaux sur le seg-ment [a; b] quand il existe une subdivision a1 = a < a2 < : : : < ap = b telle que la fonctionf soit continue sur chaque intervalle ouvert ]ai; ai+1[ et possµede une limite µa droite et µagauche de chaque point ai.

Une telle fonction est int¶egrable sur [a; b] et son int¶egrale est la somme de ses int¶egralessur les segments [ai; ai+1].

XIII - 8

} fonction monotone born¶ee : supposons en e®et que f est croissante sur [a; b]. Prenonsune subdivision de pas ", et soit Á la fonction en escalier valant f(xi) sur [xi; xi+1[ et à lafonction en escalier y valant f(xi+1). Elles v¶eri¯ent bien Á(x) · f(x) · Ã(x) pour tout xde [a; b] puisque f est croissante. Par ailleursZ b

a

(Ã(x)¡ Á(x))dx =n¡1Xi=0

(Ã(xi)¡ Á(xi))(xi+1 ¡ xi)

·"n¡1Xi=0

(f(xi+1)¡ f(xi)) = "(f(b)¡ f(a))

ce qui prouve que f est int¶egrable.

IV | Propri¶et¶es des f onctions int¶egrabl es.

Dans un premier temps, pour simpli¯er, le lecteur remplacera "int¶egrable" par "con-tinue". La majorit¶e des propri¶et¶es ¶enonc¶ees ci-dessous sont donn¶ees sans d¶emonstration,car elles sont ¶evidentes pour des fonctions continues. On supposera toujours que l'on estsur un segment [a; b] avec a < b.

1 { in¶egalit¶e de la moyenne.

Cette in¶egalit¶e simple est extremement importante :

Proposition 4 - in¶egalit¶e de la moyenne. Sim est un minorant de f etM un majorantde f sur [a; b], alors

m(b¡ a) ·Z b

a

f(x)dx ·M(b¡ a):

Il su±t en e®et de subdiviser le segment [a; b] en un seul intervalle (lui-meme) et deconsid¶erer le minorant m et le majorant M sur [a; b] tout entier pour obtenir un rect-angle en dessous de la courbe et un rectangle au-dessus de la courbe. La d¶e¯nition de

l'int¶egrale implique que

Z b

a

f(x)dx est plus grand que m(b¡a) et plus petit queM(b¡a).L'interpr¶etation g¶eom¶etrique est claire : l'aire sous la courbe est plus grande que l'aired'un rectangle "sous la courbe" et plus petite que l'aire d'un rectangle "au dessus de lacourbe".

2 { positivit¶e de l'int¶egrale.

Si f(x) est positif ou nul pour tout x de [a; b], alors

Z b

a

f(x)dx est positive ou nulle.

Il su±t d'appliquer l'in¶egalit¶e de la moyenne ci-dessus avec m = 0.

3 { relation de Chasles1.

1 C hasl es, Mich el (Ep e rnon 1793 - Par is 1880). Fils d 'un grand n¶eg o c ia nt de C ha rtre s, Ch as l es e ntra e n

XIII - 9

Soit c un point de [a; b] ; f est int¶egrable sur [a; b] si et seulement si elle est int¶egrablesur [a; c] et sur [c; b] et l'on aZ b

a

f(x)dx =

Z c

a

f(x)dx+

Z b

c

f(x)dx:

Cette relation traduit donc "l'additivit¶e" de l'int¶egrale par rapport au segment. L'int¶egralede f sur [a; b] a ¶et¶e d¶e¯nie sur un segment oµu a est suppos¶e inf¶erieur µa l'extr¶emit¶e sup¶erieureb. Par convention, et pour pouvoir ¶ecrire la relation de Chasles dans tous les cas on pose

Z a

b

f(x)dx = ¡Z b

a

f(x)dx

pour toute fonction f int¶egrable sur [a; b].

4 { lin¶earit¶e de l'int¶egrale.

Si f et g sont toutes deux int¶egrables sur [a; b], alors la somme f + g est int¶egrablesur [a; b] et l'int¶egrale de f + g est la somme des int¶egrales de f et de g :Z b

a

(f(x) + g(x))dx =

Z b

a

f(x)dx+

Z b

a

g(x)dx:

Si ¸ est un r¶eel, alors ¸f est int¶egrable sur [a; b] etZ b

a

¸f(x)dx = ¸

Z b

a

f(x)dx:

Remarque : on dit alors que l'application de l'espace vectoriel des fonctions int¶egrables sur

[a; b] dans R qui µa une fonction f associe le nombreZ b

a

f(x)dx est lin¶eaire.

5 { conservation des in¶egalit¶es.

La propri¶et¶e suivante est fondamentale : elle traduit la compatibilit¶e de l'int¶egraleavec la relation d'ordre entre fonctions :

1812 µa l'Ecole polytechnique dont il d¶emissionna, µa la ¯n de ses ¶etudes, a¯n de se consacrer aux math¶ematiques.

Professeur de g¶eom¶etrie sup¶erieure µa la Sorbonne de 1846 µa 1880, il consacre l'essentiel de ses travaux µa la

g¶eom¶etrie, d¶efendant l'int¶eret des m¶ethodes g¶eom¶etriques (en particulier de la g¶eom¶etrie projective, dont le

principe de transformation par polaires r¶eciproques) face aux m¶ethodes alg¶ebriques et analytiques qui s'a±rmaient

fortement au XIXe siµecle.

XIII - 10

Th¶eorµeme 3. Si f et g sont int¶egrables sur [a; b] (avec a < b) et que f(x) · g(x) pourtout x de [a; b], alors Z b

a

f(u)du ·Z b

a

g(u)du:

Pour d¶emontrer ce r¶esultat, on utilise la lin¶earit¶e et la positivit¶e de l'int¶egrale :Z b

a

g(x)dx¡Z b

a

f(x)dx =

Z b

a

((g(x)¡ f(x))dx:

Or la fonction g(x)¡f(x) est toujours positive ou nulle sur [a; b] et la propri¶et¶e de positivit¶eexpos¶ee ci-dessus implique que son int¶egrale sur [a; b] est positive ou nulle.

5 { valeur absolue et encadrement.

Si f est int¶egrable sur [a; b] alors la fonction jf j l'est aussi et¯Z b

a

f(x)dx

¯·Z b

a

jf(x)jdx:

Il su±t en e®et d'¶ecrire que jf(x)j · f(x) · jf(x)j pour tout x de [a; b] et d'appliquerla propri¶et¶e pr¶ec¶edente de conservation des in¶egalit¶es.

6 { int¶egrale et limite de suites.

Pour une fonction int¶egrable sur [a; b] la valeur moyenne

b¡ aN

N¡1Xk=0

f³a+ k

b¡ aN

´est une somme de Riemann associ¶ee µa la subdivision de [a; b] enN intervalles ¶egaux. QuandN tend vers l'in¯ni, la suite des valeurs moyennes converge donc vers l'int¶egrale de f sur[a; b]:

limN!+1

b¡ aN

N¡1Xk=0

f³a+ k

b¡ aN

´=

Z b

a

f(x)dx

Trµes souvent on est sur [0; 1] et on a la formulation simple:

limN!+1

1

N

N¡1Xk=0

f(k

N) =

Z 1

0

f(x)dx:

remarque : souvent il faut trouver la fonction µa partir du terme g¶en¶eral de la suite. Parexemple si nous consid¶erons la suite de terme g¶en¶eral

un =n

n2 + 12+

n

n2 + 22+ : : :+

n

n2 + n2=1

n

n¡1Xk=0

1

1 +³kn

´2

XIII - 11

nous devons reconna³tre la somme de Riemann pour la fonction f(x) =1

1 + x2et conclure

ensuite que la suite converge vers

Z 1

0

dx

1 + x2.

7 { formule de la moyenne.

Cette formule, vraie uniquement pour une fonction continue, est µa la base du th¶eorµemefondamental du calcul int¶egral qui fait le lien entre int¶egrale et primitive.

Th¶eorµeme 5 - Formule de la moyenne. Si f est une fonction continue sur [a; b], ilexiste un nombre c compris entre a et b tel queZ b

a

f(x)dx = (b¡ a)f(c)

La fonction f , continue sur le segment [a; b], y pr¶esente un minimumm et un maximum

M . Le nombre1

b¡ aZ b

a

f(x)dx, appel¶e valeur moyenne de f sur [a; b], est compris -

d'aprµes l'in¶egalit¶e de la moyenne - entre le minimum m et la maximum M de f sur [a; b].Le th¶eorµeme des valeurs interm¶ediaires appliqu¶e µa la fonction f continue sur [a; b] implique

l'existence d'un nombre c de [a; b] dont l'image par f est1

b¡ aZ b

a

f(x)dx.

V | Int¶e g ra l e e t p r im it ive . T h¶eorµeme f ondamental du calculint¶egral.

Th¶eorµeme 6. Soit = un intervalle non r¶eduit µa un point, a un point ¯x¶e dans cet intervalleet f une fonction continue sur =. Alors la fonction d¶e¯nie pour tout x de = par

F (x) =

Z x

a

f(t)dt

est une fonction d¶erivable sur = dont la d¶eriv¶ee est ¶egale µa f . C'est donc la primitive def nulle en a.

D¶emonstration.

Consid¶erons un point x0 quelconque de = et calculons le taux d'accroissement de lafonction F en ce point : la relation de Chasles permet d'¶ecrire

F (x)¡ F (x0)x¡ x0 =

1

x¡ x0

Z x

x0

f(t)dt:

La formule de la moyenne appliqu¶ee entre x0 et x µa la fonction continue f nous dit qu'il

XIII - 12

existe un nombre ³(x; x0) compris entre x0 et x tel que

F (x)¡ F (x0)x¡ x0 =

1

x¡ x0

Z x

x0

f(t)dt = f³³(x; x0)

´:

Lorsque x tend vers x0, ce nombre ³(x; x0) tend aussi vers x0 et la continuit¶e de la fonction

f en x0 implique que f³³(x; x0)

´tend vers f(x0).

Le taux d'accroissement de F en x0 tend vers f(x0) quand x tend vers x0, ce qui estla d¶e¯nition de "F est d¶erivable en x0 et sa d¶eriv¶ee en x0 est f(x0)".

corollaire : conservons les hypothµeses et les notations du th¶eorµeme fondamental. Unefonction G d¶e¯nie sur l'intervalle = est une primitive de f sur = si et seulement s'il existeune constante C telle que

G(x) =

Z x

a

f(t)dt+ C

pour tout x de l'intervalle.Notons d'ailleurs que C = G(a).

En e®et, si G est une primitive de f sur =, la fonction G¡F est d¶erivable de d¶eriv¶eeidentiquement nulle sur cet intervalle. C'est donc une fonction constante.

notation : compte tenu de ceci on notera

Zf(x)dx une primitive quelconque de f sur =.

Par exemple on peut ¶ecrire

Zxdx =

x2

2+ C.

On notera que l'on utilise la meme lettre x sous le signe d'int¶egration et au secondmembre.

On dit que

Zf(x)dx est une int¶egrale ind¶e¯nie.

La cons¶equence fondamentale du th¶eorµeme ci-dessus est que l'on peut exprimer

Z b

a

f(x)dx

µa l'aide d'une primitive quelconque de f :

Th¶eorµeme 7. Si f est continue sur [a; b] et si F est une primitive quelconque de f sur[a; b], alors Z b

a

f(x)dx = F (b)¡ F (a):

Ceci d¶ecoule imm¶ediatement de la formule

F (x) =

Z x

a

f(t)dt+ F (a)

donnant l'expression g¶en¶erale d'une primitive de f .

notation commode : on note souventhF (x)

ibal'accroissement F (b)¡ F (a).

XIII - 13

remarque : la formule de la moyenne n'est autre que la formule des accroissements ¯nis

appliqu¶ee µa la fonction F (x) =

Z x

a

f(t)dt. Mais la d¶erivabilit¶e de F est une cons¶equence

de la formule de la moyenne: : :

g¶en¶eralisation : on peut regarder l'int¶egrale

Z x

a

f(t)dt comme une fonction de sa borne

sup¶erieure. On peut plus g¶en¶eralement, ¶etant donn¶ees deux fonctions u(x) et v(x) d¶e¯nir

la fonction G qui µa x associe l'int¶egrale

Z v(x)

u(x)

f(t)dt et essayer de calculer sa d¶eriv¶ee :

Si u et v sont deux fonctions d¶erivables de x et f une fonction continue, alors la

fonction G(x) =

Z v(x)

u(x)

f(t)dt est une fonction d¶erivable de x et sa d¶eriv¶ee est

d

dx

Z v(x)

u(x)

f(t)dt = f(v(x))£ v0(x)¡ f(u(x))£ u0(x):

En e®et si F est une primitive de f sur notre intervalle, nous pouvons ¶ecrire G(x) =F (v(x))¡F (u(x)) et il su±t d'appliquer le th¶eorµeme de d¶erivation des fonctions compos¶ees.

exemple : l'int¶egrale G(x) =

Z x2

x

dt

ln ta un sens lorsque x positif di®¶erent de 1 puisque

l'intervalle d'int¶egration [x; x2] est inclus dans ]0; 1[ (quand 0 < x < 1) ou dans ]1;+1[(quand x > 1), intervalles sur lesquels la fonction

1

ln test continue. En appliquant le

r¶esultat ci-dessus on obtient

G0(x) =2x

lnx2¡ 1

lnx=x¡ 1lnx

:

Voici un tableau de primitives classiques permettant de calculer un grand nombre d'int¶egrales.

XIII - 14

Zxndx =

xn+1

n+ 1+ C pour n 6= ¡1Z

1

xdx = ln jxj +CZ

e®xdx =1

®e®x + CZ

dx

1 + x2= Arctanx + CZ

dx

x2 + a2=

1

aArctan

x

a+ C (a constante)Z

dxp1¡ x2 = Arcsinx +CZdxp1 + x2

= Argshx + C = ln(x+p1 + x2) + CZ

dxpx2 ¡ 1 = Argchx +C = ln(x+

px2 ¡ 1) +CZ

dx

1¡ x2 =1

2ln¯1 + x1¡ x

¯+ CZ

sinxdx = ¡ cosx +CZcosxdx = sinx +CZdx

cos2 x= tanx + CZ

tg xdx = ¡ ln j cosxj + CZshxdx = chx + C

On n'oubliera pas que les formules ci-dessus donnent une primitive de la fonction fsur chaque intervalle oµu f est d¶e¯nie continue. Par exemple la formule

Zdx

cos2 x= tanx + C

est valable sur un intervalle de la formei¡¼2+ k¼;

¼

2+ k¼

huniquement.

VI | La formule d'int¶egration par parties.

XIII - 15

Th¶eorµeme 8. Soient f et g deux fonctions d¶erivables sur l'intervalle [a; b] ; on a alors laformule d'int¶egration par partiesZ b

a

f(x)g0(x)dx = [f(x)g(x)]ba ¡

Z b

a

f0(x)g(x)dx:

Cette formule r¶esulte simplement de la formule de d¶erivation d'un produit (fg)0 =f 0g + fg0 que l'on intµegre entre les bornes a et b : compte tenu du th¶eorµeme 7Z b

a

(fg)0(x)dx = (fg)(b)¡ (fg)(a) = [f(x)g(x)]ba =Z b

a

f 0(x)g(x)dx+Z b

a

f(x)g0(x)dx:

mode d'emploi : la fonction que l'on veut int¶egrer doit se pr¶esenter sous la forme du produitde deux fonctions. Il faut choisir celle que l'on doit d¶eriver (la fonction f de la formule) etcelle que l'on va int¶egrer (la fonction g0 de la formule). Il faut bien sr faire le bon choix,pour se ramener µa une int¶egration plus simple µa r¶ealiser!

exemple 1 : calculer

Z ¼=2

0

x cosxdx.

On va ¶evidemment d¶eriver le polynome x, pour en abaisser le degr¶e. On pose donc

f(x) = x; f 0(x) = 1; g0(x) = cosx; g(x) = sinx

ce qui nous donneZ ¼=2

0

x cosxdx = [x sinx]¼=20 ¡

Z ¼=2

0

sinxdx = [x sinx]¼=20 + [cosx]

¼=20 =

¼

2¡ 1

exemple 2 : calculer

Z b

a

x2 lnxdx (oµu 0 < a < b).

La d¶eriv¶ee du logarithme est une fonction simple; on pose donc

f(x) = lnx; f 0(x) =1

x; g0(x) = x2; g(x) =

x3

3:

L'int¶egrale devient doncZ b

a

x2 lnxdx =hx33lnx

iba¡Z b

a

x2

3dx =

hx33lnx

iba¡hx39

iba:

Par exemple

Z e

1

x2 lnxdx =2e3 + 1

9.

exemple 3 : calculer

Z p3

1

Arctg xdx.

XIII - 16

Ici il n'y a a priori qu'une fonction sous le signe d'int¶egration. On va la consid¶erercomme le produit de 1 par Arctg x, et l'on va d¶eriver Arctg x :

f(x) = Arctg x; f 0(x) =1

x2 + 1; g0(x) = 1; g(x) = x:

L'int¶egrale devient doncZ p3

1

Arctg xdx = [xArctg x]p3

1 ¡Z p

3

1

x

x2 + 1dx =

hxArctg x¡ 1

2ln(x2 + 1)

ip31

dont la valeur num¶erique estp3¼

3¡ ¼4¡ 12ln 2.

exemple 4 : calculer I =

Z b

a

P (x)e¸xdx oµu P (x) est un polynome.

Il est clair que pour simpli¯er l'int¶egrale il faut d¶eriver le polynome et int¶egrerl'exponentielle. On obtient donc

I =h 1¸P (x)e¸x

iba¡ 1

¸

Z b

a

P 0(x)e¸xdx:

On est ramen¶e µa une int¶egrale du meme type, mais avec un polynome de degr¶e inf¶erieur.On recommence donc le processus; au bout d'un nombre ¯ni d'it¶erations, on est ramen¶e

simplement au calcul de

Z b

a

e¸xdx.

exemple 5 : calculer I =

Z b

a

ex cosxdx.

D¶eriver ou int¶egrer cosx et ex ne change pas grand chose. Posons par exemple

f(x) = ex; f 0(x) = ex; g0(x) = cosx; g(x) = sinx:

Nous obtenons

I = [ex sinx]ba ¡Z b

a

ex sinxdx:

Nous sommes ramen¶es µa une int¶egrale du meme type : nous faisons une seconde int¶egrationpar parties qui ne nous ramµene pas au point de d¶epart, i.e. nous continuons µa d¶eriver ex

et µa int¶egrer la fonction trigonom¶etrique:

f(x) = ex; f 0(x) = ex; g0(x) = sinx; g(x) = ¡ cosxce qui nous donneZ b

a

ex cosxdx = [ex sinx]ba ¡ [¡ex cosx]ba ¡Z b

a

ex cosxdx

relation qui nous permet ¯nalement de calculerZ b

a

ex cosxdx =1

2[ex sinx+ ex cosx]ba:

XIII - 17

cas des primitives : la formule d'int¶egration par parties s'applique au calcul des primitivessous la forme analogueZ

f(x)g0(x)dx = f(x)g(x)¡Zf 0(x)g(x)dx:

exercices :

1 - calculer

Zlnxdx et

Zx3 ln2 xdx.

2 - calculer

ZArcsinxdx.

3 - calculer

Zx2 sinxdx et

Ze¡3x sin 2xdx.

4 - d¶eterminer la limite de un =1

n

nXk=0

ln³1 +

k

n

´quand n tend vers l'in¯ni et en d¶eduire

la limite den

r(n+ 1)(n+ 2) : : : (n+ n)

nn.

VI I | Le ch angement de variable.

Th¶eorµeme 9. soit Á : [®; ¯] ¡! R une fonction continment d¶erivable ; alors pour toutefonction f continue sur l'intervalle Á

¡[®; ¯]

¢on a

Z ¯

®

f(Á(u))Á0(u)du =Z Á(¯)

Á(®)

f(x)dx:

commentaire : on ne suppose pas que Á est injective ; on ne suppose pas non plus que lesegment [Á(®); Á(¯)] est exactement l'image par Á du segment [®; ¯]. La fonction f doitetre d¶e¯nie continue sur un intervalle contenant l'image par Á de [®; ¯].

d¶emonstration :

Posons

F (t) =

Z Á(t)

Á(®)

f(x)dx et G(t) =

Z t

®

f(Á(u))Á0(u)du

oµu la variable t d¶ecrit l'intervalle [®; ¯].Les deux fonctions sous les signes d'int¶egration sont des fonctions continues, ce qui

implique que F et G sont d¶erivables et l'on a

F 0(t) = f(Á(t))£ Á0(t) = G0(t):Comme de plus F (®) = G(®) = 0, les fonctions F et G sont ¶egales sur tout l'intervalle[®; ¯]. En particulier F (b) = G(b) donne le r¶esultat du th¶eorµeme.

XIII - 18

Technique du changement de variable : on rencontre deux cas dans la pratique.

1 { On veut calculer

Z ¯

®

f(Á(u))Á0(u)du. Il s'agit d'une int¶egrale oµu la "vraie" variable est

x = Á(u).On pose donc x = Á(u), dx = Á0(u)du ; les nouvelles bornes d'int¶egration sont Á(®)

et Á(¯).

exemple 1 : calculer I =

Z 1

0

dx

3 + e¡x.

Cette int¶egrale se met sous la forme I =

Z 1

0

ex

1 + 3exdx, oµu la vraie variable est ex.

En posant donc u = ex, nous avons du = exdx ; les nouvelles bornes d'int¶egration sonte0 = 1 et e1 = e:

I =

Z 1

0

dx

3 + e¡x=

Z 1

0

ex

1 + 3exdx =

Z e

1

du

1 + 3u=h13ln(1 + 3u)

ie1

exemple 2 : calculer I =

Z b

a

(lnx)ndx

xoµu 0 < a < b et n 6= ¡1:

Compte-tenu de la pr¶esence de1

xqui est la d¶eriv¶ee de lnx, on peut se dire que la "vraie

variable" dans cette int¶egrale est u = lnx, avecdx

x= du :

I =

Z ln b

lna

undu =(ln b)n+1 ¡ (ln a)n+1

n+ 1:

2 { On veut calculer

Z b

a

f(x)dx en "posant" x = Á(u).

On d¶e¯nit en fait une nouvelle variable u = Á¡1(x) : il faut s'arranger pour que lechangement de variable soit une bijection ; en pratique, on garde l'¶ecriture x = Á(u) poure®ectuer le changement de variable :

1 - on "pose" x = Á(u).

2 - on choisit les bornes ® et ¯ telles que a = Á(®) et b = Á(¯) pour que Á soit une bijectionC1 de [®; ¯] sur [a; b].

3 - on remplace dx par Á0(u)du.

L'int¶egrale µa calculer est ¶egale µa

Z ¯

®

f(Á(u))Á0(u)du.

exemple 3 : le changement de variable x = a sinu (a constante positive).

Ce changement de variable est trµes utile pour calculer des int¶egrales contenantpa2 ¡ x2.

En e®et cette quantit¶e existe lorsque x est compris entre ¡a et a ; en posant x = a sinuoµu u d¶ecrit l'intervalle [¡¼2 ;

¼2 ] (i.e. u = Arcsin

xa ) nous obtenonsp

a2 ¡ x2 =pa2 cos2 u = a cosu

XIII - 19

puisque cosu est positif sur cet intervalle. Par ailleurs la fonction a sinu est une bijectionde classe C1 de [¡¼

2 ;¼2 ] sur [¡a; a] et nous avons dx = a cosudu. L'int¶egrale va pouvoir

s'exprimer uniquement avec sinu et cosu.

Calculons par exemple I =

Z p3

1

x2dxp4¡ x2 .

Nous posons donc x = 2 sinu ; pour obtenir x = 1 il nous faut u = ¼6 et pour obtenir

x =p3 il nous faut u = ¼

3 . Nous avons doncp4¡ x2 = 2cosu et dx = 2 cosudu.

Le remplacement nous donne

I =

Z ¼3

¼6

4 sin2 u

2 cosu2 cosudu =

Z ¼3

¼6

4 sin2 udu =

Z ¼3

¼6

(2¡ 2 cos 2u)du

qui nous donne ¯nalement I = [2u¡ sin 2u]¼=3¼=6 =¼

3.

exemple 4 : le changement de variable x = u2.

Ce changement de variable est trµes utile pour calculer des int¶egrales contenantpx.

On s'imposera bien sr u positif ou nul. On obtientpx = u et dx = 2udu, ce qui fait

dispara³tre les racines carr¶ees.

Calculons par exemple I =

Z 5

0

dx

1 +px.

Le changement de variable x = u2 nous conduit µa faire varier u entre 1 etp5 :

I =

Z p5

1

2udu

1 + u=

Z p5

1

³2¡ 2

1 + u

´du

soit ¯nalement I = [2u¡ 2 ln(1 + u)]p5

1 = 2p5¡ 2 + 2 ln 2¡ 2 ln(1 +

p5).

exemple 5 : calculer I =

Z 1

0

dx

(1 + x2)2.

Sachant qu'une primitive de

Zdx

1 + x2est Arctgx, on peut essayer de prendre u = Arctg x

comme variable, ce qui revient µa poser x = tg u oµu u varie ici de 0 µa ¼4 ; on a de plus

dx = (1 + tg2 u)du, ce qui permet d'¶ecrire

I =

Z ¼=4

0

du

1 + tg2 u=

Z ¼=4

0

cos2 udu

que l'on calcule en lin¶earisant cos2 u :

I =

Z ¼=4

0

1 + cos 2u

2du =

hsin 2u4

+u

2

i¼=40

=1

4+¼

8:

exemple 6 : calculons

Z 3¼=2

0

sinu cosudu en posant x = Á(u) = sinu. Nous obtenonsZ ¡1

0

2xdx. L'image par Á de l'intervalle [0; 3¼2 ] est le segment [¡1; 1] qui contient stricte-ment l'intervalle d'int¶egration [¡1; 0].

XIII - 20

Cet exemple montre que le changement de variable dans le premier cas n'a aucuneraison d'etre monotone.

exercices :

1 { calculer I =

Z ¼=2

0

cos µ

1 + sin µdµ et J =

Z ¼=2

0

sin 2u

2 + sinudu.

2 { soit f une fonction continue sur [¡a; a] et I =Z a

¡af(t)dt.

Montrer µa l'aide du changement de variable u = ¡t que si f est impaire alors I = 0et que si f est paire, alors I = 2

Z a

0

f(t)dt.

3 { montrer que

Z 2

1=2

lnx

1 + x2dx = 0 (on utilisera le changement de variable u =

1

x).

4 { que pensez-vous du raisonnement suivant :

Pour calculer I =

Z 1

¡1

dx

x2 + 1, je pose x =

1

uet dx = ¡du

u2, ce qui donne I =

¡Z 1

¡1

¡duu2

1 + 1u2

= ¡I, soit ¯nalement I = 0?

On utilise aussi le changement de variable pour calculer des primitives :

En reprenant les hypothµeses et les notations du th¶eorµeme pr¶ec¶edent on aZf(x)dx =

Zf(Á(u))Á0(u)du:

Cette formule signi¯e que si F est une primitive de f , alors F ± Á est une primitive def ± Á£ Á0.

En pratique on passe du membre de gauche µa celui de droite en posant x = Á(u) et enrempla»cant dx par Á0(u)du ; on prendra soin de distinguer les variables x et u et de pr¶eciserles intervalles en x et en u oµu ce changement de variable est valide.

Dans la mesure du possible, quand on a trouv¶e la primitive comme fonction de u, ilfaut essayer de revenir en x pour en donner son expression.

exemple 1 : calculer

Zx

1 + x4dx.

On pose u = x2, soit donc du = 2xdx et

Zx

1 + x4dx =

1

2

Zdu

u2=1

2Arctgu + C, ce

qui en revenant µa la variable x donne

Zx

1 + x4dx =

1

2Arctg(x2) + C.

XIII - 21

exemple 2 : calculer

Z p1 + x2dx.

On pose x = shu, dx = chudu et

Z p1 + x2dx =

Zch2 udu =

1

2

Z(ch 2u + 1)du ,

primitive qui est ¶egale µa1

4sh 2u+

u

2=1

2shu chu+

u

2.

En revenant en x nous avons donc

Z px2 + 1dx =

1

2Argshx+

1

2xpx2 + 1.

exercices :

1 { calculer

Zdx

x+p1 + x2

.

2 { calculer

Zx2px2 + 1

dx.

3 { calculer

Zcos1994 x sinxdx.

V I I I | Q ue l qu e s p r imi ti ve s e xp ri m¶ees avec la fonction loga-rithme.

La fonction qui µa x associe ln jxj est d¶e¯nie continue d¶erivable sur R¤ et sa d¶eriv¶ee est¶egale µa

1

xque x soit positif ou n¶egatif.

Nous retiendrons donc qu'une primitive de1

xest ln jxj sur chacun des intervalles

]¡1; 0[ ou ]0;+1[ ; plus g¶en¶eralement retenons que sur tout intervalle oµu u(x) ne s'annulepas

une primitive deu0(x)u(x)

est ln ju(x)j

exemple 1 :Zx2 + 1

x3 + 3x¡ 5dx =1

3

Z(x3 + 3x¡ 5)0x3 + 3x¡ 5 dx =

1

3ln jx3 + 3x¡ 5j+ h:

exemple 2 : Ztg xdx =

Zsinx

cosxdx = ¡

Z(cosx)0

cosxdx = ¡ ln j cosxj+ h:

La connaissance des fonctions hyperboliques inverses permet d'exprimer les primitivessuivantes :

XIII - 22

Zdxpx2 ¡ 1 = ln(x+

px2 ¡ 1)

Zdxpx2 + 1

= ln(x+px2 + 1)Z

dx

1¡ x2 =1

2ln¯1 + x1¡ x

¯

IX | Fonction d¶e ni e p a r un e i nt¶egrale - Exemple.

Il est fr¶equent de devoir ¶etudier une fonction F (x) =

Z b(x)

a(x)

f(u)du oµu f est une

fonction dont on ne sait pas calculer de primitive. Nous allons ¶etudier sur un exemple lamarche µa suivre.

Soit la fonction F (x) =

Z 2x

x

du

Log u.

} domaine de d¶e¯nition : l'int¶egrale existe lorsque la fonction1

Log uest d¶e¯nie continue

sur l'intervalle [x; 2x], ce qui signi¯e que cet intervalle doit etre inclus dans ]0; 1[ ou dans

]1;+1[. Ceci a lieu lorsque 0 < x <1

2ou x > 1. Le domaine de d¶e¯nition est donc

]0; 12 [[]1;+1[.

} sens de variation : si l'on appelle © une primitive de1

Log usur chacun des intervalles

du domaine de d¶e¯nition ci-dessus, nous avons F (x) = ©(2x) ¡ ©(x) ; la fonction F estdonc d¶erivable sur son domaine de d¶e¯nition avec F 0(x) = 2©0(2x)¡ ©0(x), soit

F 0(x) =2

Log 2x¡ 1

Log x=

Log(x2 )

Log 2xLog x:

On voit facilement que F 0(x) est n¶egative sur ]0; 12 [[]1; 2[ et positive sur ]2;+1[.} ¶etude en +1 et en 0 : sur l'intervalle [x; 2x] nous avons Log x < Logu < Log 2x, soit1

Log 2x<

1

Log u<

1

Log x. Par int¶egration cet encadrement nous donne

x

Log 2x< F (x) <

x

Log x

encadrement valable pour tout x du domaine de d¶e¯nition.

On en d¶eduit limx!+1F (x) = +1 et lim

x!+1F (x)

x= 0. La courbe repr¶esentative

pr¶esente une branche parabolique horizontale.

On en d¶eduit aussi limx!0+

F (x) = 0 et limx!0+

F (x)

x= 0 : on peut prolonger F par

continuit¶e en 0 en posant F (0) = 0 et la fonction pr¶esente une demi-tangente horizontaleµa l'origine.

XIII - 23

} ¶etude au voisinage de 1 : sur ]1;+1[ l'¶etude de la di®¶erence Log u¡ u+ 1 montre que0 · Logu · u ¡ 1, encadrement qui implique 1

Log u>

1

u¡ 1 > 0 µa droite de 1. Une

int¶egration nous donne alors la minoration F (x) >

Z 2x

x

du

u¡ 1 , soit F (x) > Log2x¡ 1x¡ 1 sur

]1;+1[. On voit donc que limx!1+

F (x) = +1. La doite x = 1 est asymptote verticale µa lacourbe.

} ¶etude µa gauche de1

2: lorsque u est compris entre 1

2 et 1, l'¶etude de la di®¶erence

Log u¡ 2(u¡ 1) montre que Log u > 2(u¡ 1) ; cette in¶egalit¶e permet d'¶ecrire

F (x) =

Z 1=2

x

du

Log u+

Z 2x

1=2

du

Log u<

Z 2x

1=2

du

2(u¡ 1)

puisque la premiµere int¶egrale est n¶egative (car Logu < 0 sur l'intervalle [x; 12 ]). Nous avons

donc a fortiori F (x) <1

2Log

1¡ 2x1¡ 1=2, quantit¶e qui tend vers ¡1 quand x tend vers 12 par

valeurs inf¶erieures. On en d¶eduit ¯nalement limx!1=2¡

F (x) = ¡1.

Le tableau de variation de la fonction F est donc le suivant :

rapport au format A4

x 0 12 xxxxx 1 2 +1

F (x) 0 & ¡1 xxxxx +1 & F (2) % +1

X | Calcul approch¶e d'int¶egrales.

Dans les paragraphes pr¶ec¶edents, nous avons cherch¶e de fa»con formelle les primitives

de certaines fonctions. Quand on souhaite calculer une int¶egrale I =

Z b

a

f(x)dx il se peut

que l'on soit incapable d'exprimer une primitive de f µa l'aide des fonctions ¶el¶ementaires

: c'est par exemple le cas de I =

Z 1

0

e¡x2

dx. On doit alors se contenter d'e®ectuer un

calcul num¶erique approch¶e de l'int¶egrale. Voici les m¶ethodes les plus ¶el¶ementaires de calculapproch¶e.

1 { principe.

On subdivise l'intervalle [a; b] en n intervalles ¶egaux [xi; xi+1] de longueur h =b¡ an

; la relation de Chasles permet d'¶ecrireZ b

a

f(x)dx =n¡1Xi=0

Z xi+1

xi

f(x)dx

XIII - 24

et on cherche une "rµegle de quadrature", i.e. une formule donnant une bonne approximationde chaque petite int¶egrale de la somme.

2 { la m¶ethode des rectangles.

Elle consiste µa approcher chaque petite int¶egrale sur [xi; xi+1] par l'aire d'un rectangledont la hauteur est la valeur de f au milieu du segment [xi; xi+1]. On obtient donc laformule approch¶ee

R(n) =b¡ an

n¡1Xi=0

f³xi + xi+1

2

´:

On sait que la suite R(n) converge vers l'int¶egrale cherch¶ee quand n tend vers l'in¯nipuisque R(n) est une somme de Riemann de la fonction f pour la subdivision de [a; b] enn parties ¶egales.

3 { la m¶ethode des trapµezes.

Elle utilise comme valeur approch¶ee de l'int¶egrale sur [xi; xi+1] l'aire du trapµeze dontles deux hauteurs sont les valeurs f(xi) et f(xi+1) :

T (n) =b¡ an

n¡1Xi=0

f(xi) + f(xi+1)

2=b¡ an

³f(a) + f(b)2

+

n¡1Xi=1

f(xi)´:

4 { la m¶ethode de Simpson1.

Elle consiste µa approcher sur chaque petit segment [xi; xi+1] la fonction par le polynomedu second degr¶e qui coincide avec f aux extr¶emit¶es et au milieu de ce petit segment.

On montre que S(n) =2R(n) + T (n)

3, soit

S(n) =b¡ a6

n¡1Xi=0

³f(xi) + 4f(

xi + xi+12

) + f(xi+1)´:

5 { majoration des erreurs.

L'int¶eret d'une m¶ethode num¶erique approch¶ee de calcul r¶eside aussi dans la ma³trisede l'erreur commise en approchant l'int¶egrale par la somme calcul¶ee par l'une ou l'autredes m¶ethodes.

Nous allons ¶evaluer la rapidit¶e de convergence des m¶ethodes en supposant que f a desd¶eriv¶ees continues sur [a; b].

1 Simpson, Thomas (1710 - 1761). Math¶e ma t ici en a ng la is , an a lyste i n°ue nt , o uver t a ux m¶etho d es d u

"Continent", il conna³t son premier succµes avec son Nouveau trait¶e sur les °uctions en 1737. Le succµes de son

livre qui pendant plus de quatre-vingt ans conna³tra une dizaine de r¶e¶editions, lui permet d'abandonner son

m¶etier de tisserand et de se consacrer aux math¶ematiques ; il devint professeur, auteur et ¶editeur de nombreux

trait¶es de math¶ematiques. La "rµegle de Simpson" µa laquelle on a donn¶e son nom, fut en fait d¶ecouverte bien

avant lui.

XIII - 25

Dans un premier temps on se place sur chacun des intervalles de la subdivision de[a; b]; commen»cons par ¶enoncer un r¶esultat interm¶ediaire :

Soient u0 et u1 deux points distincts de [u; v], P0 le polynome constant qui concide avec fen u0 et P1 celui de degr¶e 1 qui concide avec f en u0 et en u1; notons Q0(x) = x¡ u0 etQ1(x) = (x¡ u0)(x¡ u1).Alors (pour i = 0 ou i = 1) il existe un point x dans [u; v] tel que f(x) ¡ Pi(x) =Qi(x)

(i+ 1)!f (1+i)(w).

Pour i = 0 il su±t d'appliquer le th¶eorµeme des accroissements ¯nis entre x et u0.Pour i = 1, on considµere la fonction

g(t) = f(t)¡ P (t)¡ (t¡ u0)(t¡ u1)f(x)¡ P1(x)Q1(x)

qui v¶eri¯e g(u0) = g(x) = g(u1) = 0. Sa d¶eriv¶ee premiµere s'annule donc au moins deuxfois (d'aprµes le th¶eorµeme de Rolle) et sa d¶eriv¶ee seconde s'annule au moins une fois en un point

w de ]u; v[.

Comme g"(w) = f"(w)¡ 2f(x)¡ P1(x)Q1(x)

= 0, on obtient le r¶esultat d¶esir¶e.

Sur chaque petit segment [xi; xi+1] nous avons donc [f(x)¡ Pi(x)j · jQi(x)j(i+ 1)!

Maxjf (i+1)jet donc ¯Z xi+1

xi

d(x)dx¡Z xi+1

xi

Pi(x)dx¯·Maxjf (i+1)j

Z xi+1

xi

jQi(x)j(i+ 1)!

dx:

Nous allons donc appliquer cette in¶egalit¶e sur chaque segment [xi; xi+1] pour les di®¶erentesm¶ethodes ¶etudi¶ees.

} m¶ethode des rectangles : nous approchons sur chaque segment [xi; xi+1] la fonction f

par le polynome constant P0 concidant avec f au milieu u0 =xi + xi+1

2du segment et

nous avons Q0(x) = x¡u0 ; un calcul ¶el¶ementaire donneZ xi+1

xi

jQ0(x)jdx = 1

4(xi+1 ¡ xi)2.

En additionnant ces "erreurs" sur chaque segment [xi; xi+1] nous obtenons

¯Z b

a

f(x)dx¡R(n)¯·Maxjf 0j

n¡1Xi=0

Z xi+1

xi

jQ0(x)jdx

c'est-µa-dire ¯nalement

jI ¡R(n)j · (b¡ a)24n

Maxjf 0joµu I est la valeur exacte de l'int¶egrale.

}m¶ethode des trapµezes : la fonction f est approch¶ee sur chaque [xi; xi+1] par un polynomedu premier degr¶e concidant avec f en u0 = xi et u1 = xi+1; on a donc Q1(x) = (x¡xi)(x¡xi+1) et on v¶eri¯e facilement que

1

2!

Z xi+1

xi

jQ1(x)jdx = 1

12(xi+1 ¡ xi)3.

XIII - 26

On obtient en additionnant ces petites erreurs :

jI ¡ T (n)j · (b¡ a)312n2

Maxjf"j:

} m¶ethode de Simpson : on montre que l'erreur commise est major¶ee par

jI ¡ S(n)j · (b¡ a)4192n3

Maxjf (3)j:

exercice : on veut calculer µa 0:001 prµes l'int¶egrale

Z 2

1

ln2 xdx. Combien faut-il de points

de subdivision par la m¶ethode des rectangles et celle des trapµezes? Quelle pr¶ecision donnele choix n = 2 dans la m¶ethode de Simpson? Faire le calcul dans ce cas.

Obtient-on une valeur par d¶efaut ou par excµes? Comparer avec le r¶esultat obtenu enint¶egrant par parties.