Décomposition harmonique des tenseurs – Méthode spectrale

  • View
    212

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

  • Rar

    A

    ha

    M

    Ke

    1.

    Lqudedea

    siLutdedco

    16doC. R. Mecanique 336 (2008) 370375http://france.elsevier.com/direct/CRAS2B/

    Dcomposition harmonique des tenseurs Mthode spectraleNicolas Auffray

    ONERADMMP, BP72, 29, avenue de la Division Leclerc, 92322 Chtillon cedex, France

    Reu le 4 septembre 2007 ; accept le 13 dcembre 2007

    Disponible sur Internet le 14 janvier 2008Prsent par variste Sanchez-Palencia

    sum

    Une mthode de calcul rapide du spectre de la dcomposition harmonique dun tenseur quelconque est prsente. Pour citer cetticle : N. Auffray, C. R. Mecanique 336 (2008).2008 Acadmie des sciences. Publi par Elsevier Masson SAS. Tous droits rservs.bstract

    Harmonic decomposition of tensors a spectral method. We introduce an easy way to obtain the reduction spectrum of thermonic decomposition of an arbitrary tensor. To cite this article: N. Auffray, C. R. Mecanique 336 (2008).2008 Acadmie des sciences. Publi par Elsevier Masson SAS. Tous droits rservs.

    ots-cls : Algbre tensorielle ; Classe danisotropie

    ywords: Tensor algebra; Anisotropic class

    Introduction

    La modlisation de lois de comportement linaires complexes implique lutilisation de tenseurs dordre lev.tude des proprits de ces tenseurs nest pas une chose aise et la littrature est peu abondante sur les cas particulierse lon peut rencontrer. Un outil dtude gnral dun tenseur est sa dcomposition harmonique [13]. Cest partircette dcomposition que Forte et Vianello [2] ont montr lexistence de 8 classes dlasticit distincts. Le problmecette approche est que trs rapidement le calcul explicite de cette dcomposition devient compliqu [4]. Si lon

    besoin de lexpression des composantes de la dcomposition alors il est impratif de raliser celle-ci, toutefoison a juste besoin de renseignements sur la structure algbrique du tenseur alors une autre mthode est possible.utilisation de la thorie des reprsentations irrductibles telle quelle est dtaille dans [5] peut alors tre utile. Sonilisation courante en mcanique quantique [6] semble tre moins rpandue en mcanique et il nous parait pertinentla rappeler ainsi que den clairer lutilisation. Cette mthode nous permettra dobtenir rapidement le spectre de lacomposition harmonique dun tenseur quelconque. Nous appliquerons cette dmarche pour le calcul du nombre deefficients ncessaires pour dcrire une loi de comportement pour une symtrie matrielle donne.

    Adresse e-mail : nicolas.auffray@onera.fr.

    31-0721/$ see front matter 2008 Acadmie des sciences. Publi par Elsevier Masson SAS. Tous droits rservs.

    i:10.1016/j.crme.2007.12.005

  • N. Auffray / C. R. Mecanique 336 (2008) 370375 371

    2.

    pa(gve

    ce

    ro

    3.

    3.

    ce

    Jede

    av

    Illde

    Lhano

    N

    ove

    m

    on

    qu

    ce

    12Notations

    Nous noterons les tenseurs de manire indicielle. Les symtries sur les indices seront marques de la sorte : entrerenthses pour des permutations dindices contigus (petites symtries) et souligns pour des permutations par blocsrandes symtries). Nous noterons par exemple le tenseur dlasticit E(ij) (kl). Lorsque nous parlerons de lespacectoriel des tenseurs possdant une certaine symtrie, nous crirons, dans le cas de llasticit, par exemple, E(ij) (kl)t espace. Nous abrgerons de plus espace vectoriel en e.v. et sous-espace vectoriel en s.-e.v. Pour finir nous appelle-ns Lin le.v des applications de R3 dans R3 et Dev le sous-espace symtrique et de trace nulle de Lin. Introduisonsprsent le principe de la mthode.

    Mthode du spectre harmonique

    1. Principe

    Un tenseur cartsien quelconque dordre n peut se mettre sous la forme [5]T(n) =

    ,J

    H(n),J (1)

    tte forme constitue la dcomposition harmonique de T(n) au sens de Spencer [4] et le spectre de rduction au sens derphagnon [5]. J indique le poids des tenseurs de la dcomposition, et permet de distinguer diffrentes composantesmme poids. Quand J = n le tenseur est harmonique.1 Pour J < n on a un tenseur harmonique dordre infrieur

    n qui est assembl dans un tenseur dordre n. Pour un tenseur dordre 2 on a, par exemple,

    Tij = T (0)ij + T (1)ij + T (2)ij (2)ec

    T(0)ij =

    (13Tkk

    )ij ; T (1)ij =

    12(Tij Tji); T (2)ij =

    12(Tij + Tji)

    (13Tkk

    )ij (3)

    est vident que T (0)ij est quivalent un tenseur dordre 0 assembl dans un tenseur dordre 2, de mme queexpression irrductible de T (1)ij est un vecteur axial tandis que T

    (2)ij est un dviateur. La dcomposition harmonique

    notre tenseur est la suivante

    Tij =(

    13Tkk

    )ij + 12 (Tij Tji) +

    12(Tij + Tji)

    (13Tkk

    )ij (4)

    espace vectoriel des tenseurs dordre 2 se dcompose comme la somme directe des espaces vectoriels des tenseursrmoniques dordre 0, dordre 1, et dordre 2. Comme introduit dans [3] la relation (4) tablit un isomorphismet entre Lin et Dev R3 R. Nous raisonnerons ici, et par la suite, uniquement dans lensemble darriv de .

    ous adopterons lcriture suivante plus compacte que celles utilises usuellement :Sp(Tij ) = (Tij ) = 0(1) 1(1) 2(1) (5)

    lapplication Sp associe un espace vectoriel de tenseur donn sa dcomposition en somme directe despacesctoriels de tenseurs harmoniques. Chaque lment correspond le.v. des tenseurs harmoniques dordre n, la di-ension2 de cet espace est de 2n+1 et lexposant indique la multiplicit de cet espace. Si on considre prsent T(ij),aura :

    Sp(T(ij)) = 0(1) 1(0) 2(1) (6)e nous noterons plus simplement

    Sp(T(ij)) = 0 2 (7)qui correspond bien aux 1 + (2 2 + 1) = 6 dimensions de le-.v. des tenseurs symtriques dordre 2.

    Cest--dire totalement symtrique et de trace nulle.

    Ceci nest vrai que pour un espace physique 3 dimensions [1].

  • 372 N. Auffray / C. R. Mecanique 336 (2008) 370375

    3.

    te

    etLd

    o

    A

    lesy

    ca

    paleleleprbco

    l

    4.

    4.

    ob

    qu

    ce

    co

    d

    32. Arithmtique des e.v. de tenseurs irrductibles

    A partir de cela on peut btir une arithmtique permettant partir de la connaissance des symtries indicielles dunnseur dordre n quelconque de dterminer la dimension et la structure harmonique de cet espace.Le principe de cette arithmtique repose sur le produit tensoriel de reprsentations irrductibles. On considre E1E2 deux e.v. portant des reprsentations irrductibles D1 et D2 dun groupe G, pour nous ce groupe sera SO(3).espace produit E = E1 E2 porte une reprsentation D = D1 D2 qui nest pas irrductible et se rduit selon lacomposition de ClebschGordan :

    D1 D2 =

    mD (8)

    m indique la multiplicit de la reprsentation D . Lespace produit se dcompose alors suivant la rgle ditedaddition du moment angulaire [6] suivante, si E1 et E2 sont dordre respectifs n1 et n2 alors :

    E = E(n1)1 E(n2)2 =n1+n2

    k=|n1n2|Ek (9)

    insi le produit tensoriel de deux tenseurs irrductibles dordre 1 donne le spectre dun tenseur dordre 2. On a alorsSp(1a 1b) = 0a 1a 2a (10)

    s indices prcisent la non-symtrie de notre e.v. de dpart. Si au contraire on dsire construire un espace vectorielmtrique alors

    Sp(1a 1a) = 0a 2a (11)r par proprit de la dcomposition harmonique [5], la dcomposition dun tenseur totalement symtrique dordreir ne contient que des tenseurs dordres pairs. La rciproque est vrai dans le cas dun tenseur impair. De plus danscas dun tenseur polaire dordre pair, tous les tenseurs dordres pairs de cette dcomposition sont polaires et tous

    s tenseurs dordres impairs sont axiaux, et rciproquement dans le cas dun tenseur impair. On rappel de plus queproduit tensoriel est associatif mais non commutatif, tandis que loprateur somme directe lest. De plus, leoduit tensoriel est distributif par rapport la somme directe. Cest partir de ces rgles simples que nous allonstir lensemble des spectres des tenseurs de comportement. Nous dtaillerons de plus le principe pour prendre enmpte la grande symtrie, principe qui ntait pas nonc dans les publications ayant trait du sujet [5]. Regardons

    application de cette mthode sur quelques tenseurs.

    Dtermination des spectres de rduction

    1. Tenseur dordre 3

    On considre le cas gnral de le.v. des tenseurs dordre 3. Il peut tre engendr partir de 1a 1b 1c.3 Ontient alors la structure suivante :

    Sp(1a 1b 1c) = Sp(1a Sp(1b 1c)

    )= Sp(1a (0b 1b 2b)) (12)= Sp(1a 0b) Sp(1a 1b) Sp(1a 2b) = 0a 1a 1b 1c 2a 2b 3a (13)

    e lon rcrira plus simplement0 1(3) 2(2) 3 (14)

    qui correspond bien un espace 27 dimensions. Si on suppose maintenant une symtrie de type (ij)k on peutnsidrer un tenseur appartenant ce s.-e.v comme tant le rsultat dun produit tensoriel dun vecteur par un tenseurordre 2 symtrique. On a

    Sp(1a (0b 2b)

    )= 1(2) 2 3 (15)La seul logique des indices dans la notation est de distinguer les composantes diffrentes de mme ordre.

  • N. Auffray / C. R. Mecanique 336 (2008) 370375 373

    ce

    ce

    d

    4.

    (i

    la

    D

    ce

    m

    tiim

    av

    pasa

    fa

    C

    C

    4.

    Oid

    Pdidafoqui est correspond bien un sous-espace de dimension 18 de le.v. prcdent. La structure identifie correspond lle identifie dans [3] pour le.v. des tenseurs pizo-lectrique. Continuons maintenant avec les spectres de tenseursordre 4.

    2. Tenseurs dordre 4

    On considre le tenseur dlasticit sans la grande symtrie, cest--dire possdant les symtries indicielles :j)(kl). Ce tenseur correspond physiquement celui de leffet Kerr [7]. Le s.-e.-v des tenseurs photolastiques structure suivante :

    (0a 2a) (0b 2b) = (0a 0b) (0a 2b) (2a 0b) (2a 2b) (16)onc au final on a

    Sp((0a 2a) (0b 2b)

    )= 0(2) 1 2(3) 3 4 (17)qui correspond au spec