Une introduction oprationnelle aux tenseurs irrductibles ... le module sur les Tenseurs, ... ne peut plus les rduire plus avant, en faire des regroupements plus petits qui se transformeraient entre eux

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    Pierre Amiot 2015

    Physique, gnie physique et optique

    Universit Laval, Qubec.

    Une introduction oprationnelle aux tenseurs irrductibles

    sous rotation et leurs produits.

    Note : on devrait lire les tutoriels sur les tenseurs et les harmoniques sphriques

    avant le prsent et celui sur la thorie des groupes avant ou en parallle, ou leurs

    quivalents, avant dattaquer le prsent tutoriel. Ils sont publis dans la rubrique

    sur la page https://www.phy.ulaval.ca.

    Ce tutoriel est destin ceux qui veulent lire la littrature et comprendre le

    vocabulaire et, dune moindre faon, introduire ceux qui ont besoin dutiliser ces

    outils dont lalgbre est aujourdhui largement le fait dapplications spcialises.

    Cette introduction est donc faible en dmonstrations et favorise les exemples

    illustratifs, elle nest pas une prsentation systmatique et savante. Il nest pas

    question ici de thormes ni de dmonstrations, Les lecteurs intresss une

    prsentation rigoureuse sont invits se rfrer la littrature savante.

    1. Introduction

    Le sujet des tenseurs irrductibles est gnralement trait en dehors du cadre habituel de

    prsentation des tenseurs. Il est trs peu utilis dans des domaines comme la relativit, ordinaire

    et gnrale, ni en lectromagntisme (quoique !), mais il est trs utile en physique microscopique,

    comme la physique atomique, nuclaire ou subatomique et en gnral en mcanique quantique.

    Cest peut-tre pourquoi il apparat plutt dans les livres sur la thorie des groupes en physique

    ou ceux portant sur la mcanique quantique o ces objets sont particulirement utiles.

    https://www.phy.ulaval.ca/

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    Dans le module sur les Tenseurs, nous insistons sur leur dfinition partir de leurs proprits

    de transformation gnrales et faisons une brve introduction aux tenseurs irrductibles. Pour

    parler de tenseurs irrductibles, il faut se limiter quelques (famille de) transformations et, dans

    un grand nombre de cas en physique, ce sont surtout les transformations de rotation en 3-D

    (groupe O(3)) et ce sont celles qui seront au centre de notre attention ici et qui nous serviront

    dexemple, cause de leur prominence dans les applications de physique, en particulier

    quantique. Ce groupe sera notre exemple premier dintroduction aux diffrents concepts

    concernant les tenseurs irrductibles. Les tenseurs irrductibles des groupes SU(2) et de SU(3)

    sont aussi trs importants en physique subatomique. Dans cette introduction, nous insisterons

    surtout sur le groupe O(3) et sur les transformations de rotations (et dirons un mot de SU(2)). Le

    rle important des rotations vient du fait que notre Univers a 3 dimensions spatiales et est

    essentiellement invariant sous rotation spatiale dobservation, i.e. notre vision de lunivers reste

    invariante si on change lorientation dobservation. Nos lois physiques doivent respecter cette

    proprit, en effet elles sont aussi valides en Australie ou sur Neptune, sur Andromde (on

    lespre !) ou quici. En fait il est plus que raisonnable de penser quelles sont indpendantes

    de langle/orientation sous lequel nous tudions lUnivers. Cest donc le cadre dans lequel nous

    travaillerons ici, mais on peut refaire un traitement similaire pour dautres transformations,

    dautres symtries.

    Notre approche sera utilitaire, en ce sens quelle cherche donner au lecteur les outils dont il

    a besoin pour comprendre ce jargon particulier, sans avoir se taper toutes les dmonstrations

    mathmatiques. Ce texte est destin des physicien(ne)s et chimistes quantiques, et non des

    mathmaticiens.

    Finies donc ici les transformations gnrales quon retrouve dans la dfinition originale de ce

    quest un tenseur et restreignons-nous aux transformations de rotations (surtout en 3D pour fin

    dexemple) et regardons dabord les composantes cartsiennes des quantits (quelques exemples

    descriptifs seront en 2-D pour allger lalgbre). Si ces composantes dpendent des coordonnes,

    alors nous navons pas nous limiter aux coordonnes cartsiennes pour cette dpendance, mais

    nous continuons considrer les composantes cartsiennes des tenseurs par simplicit, par

    exempleVx r,J,j( ) o les coordonnes sphriques sont ici r = r,J,j( ).

    Le prsent tutoriel nest pas une prsentation savante o toutes les dmonstrations sont

    ficeles. Il a pour but dinitier en illustrant des avenues et les dmonstrations trop lourdes ont t

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    laisses de ct. Certains exemples sont inspirs du livre de de Shalit et Talmi qui est surement

    out of print, les annexes de Mcanique quantique de Messiah peuvent tre trs utiles et on

    retrouve les harmoniques sphriques un peu partout, en particulier sur la toile (Mcanique

    quantique de Messiah, Electrodynamics de Jackson, toile). Le but ici est une introduction

    oprationnelle et, je lespre, didactique et oprationnelle.

    2. Description de la rotation

    On peut dcrire une rotation des axes de notre rfrentiel dun angle quelconque p/r un axe

    quelconque comme une suite de trois rotations p/r des axes bien identifis pour des valeurs

    dangle appels angles dEuler. Ici nos coordonnes (cartsiennes, cest plus simple) initiales et

    fixes sont

    xi = x,y,z i = 1,2,3{ }

    et les coordonnes finales, aprs la transformation, seront x i = x , y , z i = 1,2,3{ }. Il y a

    plusieurs choix possibles (6 indpendants) des angles dEuler.

    La plus frquente est la suivante : La 1re

    rotation dEuler est dun angle y autour de laxe

    3 (ou Oz), gnrant des axes 1 et 2. La 2e rotation dun angle q se fait autour de laxe 1 (ou

    Ox), gnrant des axes 2 et 3. La troisime rotation est dun angle f autour de laxe 3,

    gnrant des axes 1 et 2. Le systme final est donc compos des axes 1, 2 et 3 qui

    dfinissent les directions x , y , z( ) . ( Notez que les angles q et f qui apparaissent sont ici des

    angles dEuler (de rotation entre rfrentiels) et ne doivent pas tre confondus avec les angles du

    systme de coordonnes sphriques pour lesquels nous utiliserons au besoin les symboles J et j

    lorsquil y a danger de confusion. Voir la figure

    http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/AngleEuler.png.

    Un peu de trigonomtrie nous permet dcrire que les nouvelles coordonnes gnres par ces

    trois rotations sont donnes par une quation de transformation linaire des anciennes qui est

    exprimable sous forme matricielle

    x = Rx x i = Aii xi

    o la notation R est une convention habituelle pour la matrice de transformation de rotation, alors

    que la deuxime partie utilise le formalisme utilis dans notre tutoriel sur les tenseurs.

    http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/AngleEuler.png

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    Nous pouvons expliciter lopration R sous forme de matrice Aii ' dans lexplicitation

    x1'

    x2 '

    x3'

    = R

    x1

    x2

    x3

    =

    cosf cosy - cosq sinf siny( ) -cosf siny - cosq sinf cosy( ) sinq sinf( )sinf cosy + cosq cosf siny( ) -sinf siny + cosq cosf cosy( ) -sinq cosf( )

    sinq siny( ) sinq cosy( ) cosq( )

    x1

    x2

    x3

    Les lments de la matrice de transformation ou de Jacobi ne dpendent pas des coordonnes,

    seulement des paramtres (angles) de la transformation, cette transformation est donc linaire

    dans les coordonnes et comme les coordonnes sont les composantes du rayon vecteur, le rayon

    vecteur est ici un vrai vecteur, un tenseur du 1er

    ordre (ce ntait pas vrai pour des transformations

    gnrales de coordonnes).

    Il sensuit ainsi quune quantit de composantes cartsiennes xi x j par exemple est une

    composante dun tenseur cartsien du 2e ordre, etc. et nous allons exploiter ici ce fait.

    3. Les regroupements irrductibles

    Ce qui dfinit un tenseur ordinaire ou cartsien est le fait que ses composantes se

    transforment linairement entre elles sous transformation gnrale (pas ncessairement linaire).

    En D dimensions, un tenseur cartsien dordre N a DN composantes. Si on se limite un nombre

    restreint de transformations, le nombre de composantes sera, en gnral, rduit un plus petit

    nombre, jusqu un certain nombre minimum quon ne peut plus rduire, do le nom

    dirrductible. Le fait de se limiter un nombre restreint de transformations amne des

    simplifications et permet des regroupements des composantes des tenseurs en des ensembles plus

    petits (que DN) et leur permet de se transformer lintrieur de ces ensembles plus petits lors

    dune transformation donne. Physiquement, cette limitation permet de se concentrer sur les

    symtries qui laissent un systme physique invariant sous certaines transformations et dtudier

    les consquences de ces symtries et permet de mettre en exergue certaines proprits physiques

    qui rsultent de linvariance du systme sous ces transformations. Les lments de ces

    regroupements seront souvent le rsultat de combinaisons linaires des composantes du tenseur

    initial. Dans un exemple, nous construirons un tenseur cartsien dordre 2 en 3D, qui aura donc 9

    composantes, mais en se limitant des transformations uniquement de rotation, nous

    identifierons un regroupement dun lment/composante qui reste invariant, donc un scalaire ;

    nous identifierons trois lments/composantes qui se transforment linairement entre eux, que

    nous nommerons un vecteur, ou tenseur dordre un, et les cinq lments/composantes restant, qui

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    se transforment linairement entre eux, seront baptiss du nom de tenseur

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