1

Pierre Amiot 2015

Physique, gnie physique et optique

Universit Laval, Qubec.

Une introduction oprationnelle aux tenseurs irrductibles

sous rotation et leurs produits.

Note : on devrait lire les tutoriels sur les tenseurs et les harmoniques sphriques

avant le prsent et celui sur la thorie des groupes avant ou en parallle, ou leurs

quivalents, avant dattaquer le prsent tutoriel. Ils sont publis dans la rubrique

sur la page https://www.phy.ulaval.ca.

Ce tutoriel est destin ceux qui veulent lire la littrature et comprendre le

vocabulaire et, dune moindre faon, introduire ceux qui ont besoin dutiliser ces

outils dont lalgbre est aujourdhui largement le fait dapplications spcialises.

Cette introduction est donc faible en dmonstrations et favorise les exemples

illustratifs, elle nest pas une prsentation systmatique et savante. Il nest pas

question ici de thormes ni de dmonstrations, Les lecteurs intresss une

prsentation rigoureuse sont invits se rfrer la littrature savante.

1. Introduction

Le sujet des tenseurs irrductibles est gnralement trait en dehors du cadre habituel de

prsentation des tenseurs. Il est trs peu utilis dans des domaines comme la relativit, ordinaire

et gnrale, ni en lectromagntisme (quoique !), mais il est trs utile en physique microscopique,

comme la physique atomique, nuclaire ou subatomique et en gnral en mcanique quantique.

Cest peut-tre pourquoi il apparat plutt dans les livres sur la thorie des groupes en physique

ou ceux portant sur la mcanique quantique o ces objets sont particulirement utiles.

https://www.phy.ulaval.ca/

2

Dans le module sur les Tenseurs, nous insistons sur leur dfinition partir de leurs proprits

de transformation gnrales et faisons une brve introduction aux tenseurs irrductibles. Pour

parler de tenseurs irrductibles, il faut se limiter quelques (famille de) transformations et, dans

un grand nombre de cas en physique, ce sont surtout les transformations de rotation en 3-D

(groupe O(3)) et ce sont celles qui seront au centre de notre attention ici et qui nous serviront

dexemple, cause de leur prominence dans les applications de physique, en particulier

quantique. Ce groupe sera notre exemple premier dintroduction aux diffrents concepts

concernant les tenseurs irrductibles. Les tenseurs irrductibles des groupes SU(2) et de SU(3)

sont aussi trs importants en physique subatomique. Dans cette introduction, nous insisterons

surtout sur le groupe O(3) et sur les transformations de rotations (et dirons un mot de SU(2)). Le

rle important des rotations vient du fait que notre Univers a 3 dimensions spatiales et est

essentiellement invariant sous rotation spatiale dobservation, i.e. notre vision de lunivers reste

invariante si on change lorientation dobservation. Nos lois physiques doivent respecter cette

proprit, en effet elles sont aussi valides en Australie ou sur Neptune, sur Andromde (on

lespre !) ou quici. En fait il est plus que raisonnable de penser quelles sont indpendantes

de langle/orientation sous lequel nous tudions lUnivers. Cest donc le cadre dans lequel nous

travaillerons ici, mais on peut refaire un traitement similaire pour dautres transformations,

dautres symtries.

Notre approche sera utilitaire, en ce sens quelle cherche donner au lecteur les outils dont il

a besoin pour comprendre ce jargon particulier, sans avoir se taper toutes les dmonstrations

mathmatiques. Ce texte est destin des physicien(ne)s et chimistes quantiques, et non des

mathmaticiens.

Finies donc ici les transformations gnrales quon retrouve dans la dfinition originale de ce

quest un tenseur et restreignons-nous aux transformations de rotations (surtout en 3D pour fin

dexemple) et regardons dabord les composantes cartsiennes des quantits (quelques exemples

descriptifs seront en 2-D pour allger lalgbre). Si ces composantes dpendent des coordonnes,

alors nous navons pas nous limiter aux coordonnes cartsiennes pour cette dpendance, mais

nous continuons considrer les composantes cartsiennes des tenseurs par simplicit, par

exempleVx r,J,j( ) o les coordonnes sphriques sont ici r = r,J,j( ).

Le prsent tutoriel nest pas une prsentation savante o toutes les dmonstrations sont

ficeles. Il a pour but dinitier en illustrant des avenues et les dmonstrations trop lourdes ont t

3

laisses de ct. Certains exemples sont inspirs du livre de de Shalit et Talmi qui est surement

out of print, les annexes de Mcanique quantique de Messiah peuvent tre trs utiles et on

retrouve les harmoniques sphriques un peu partout, en particulier sur la toile (Mcanique

quantique de Messiah, Electrodynamics de Jackson, toile). Le but ici est une introduction

oprationnelle et, je lespre, didactique et oprationnelle.

2. Description de la rotation

On peut dcrire une rotation des axes de notre rfrentiel dun angle quelconque p/r un axe

quelconque comme une suite de trois rotations p/r des axes bien identifis pour des valeurs

dangle appels angles dEuler. Ici nos coordonnes (cartsiennes, cest plus simple) initiales et

fixes sont

xi = x,y,z i = 1,2,3{ }

et les coordonnes finales, aprs la transformation, seront x i = x , y , z i = 1,2,3{ }. Il y a

plusieurs choix possibles (6 indpendants) des angles dEuler.

La plus frquente est la suivante : La 1re

rotation dEuler est dun angle y autour de laxe

3 (ou Oz), gnrant des axes 1 et 2. La 2e rotation dun angle q se fait autour de laxe 1 (ou

Ox), gnrant des axes 2 et 3. La troisime rotation est dun angle f autour de laxe 3,

gnrant des axes 1 et 2. Le systme final est donc compos des axes 1, 2 et 3 qui

dfinissent les directions x , y , z( ) . ( Notez que les angles q et f qui apparaissent sont ici des

angles dEuler (de rotation entre rfrentiels) et ne doivent pas tre confondus avec les angles du

systme de coordonnes sphriques pour lesquels nous utiliserons au besoin les symboles J et j

lorsquil y a danger de confusion. Voir la figure

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/AngleEuler.png.

Un peu de trigonomtrie nous permet dcrire que les nouvelles coordonnes gnres par ces

trois rotations sont donnes par une quation de transformation linaire des anciennes qui est

exprimable sous forme matricielle

x = Rx x i = Aii xi

o la notation R est une convention habituelle pour la matrice de transformation de rotation, alors

que la deuxime partie utilise le formalisme utilis dans notre tutoriel sur les tenseurs.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/AngleEuler.png

4

Nous pouvons expliciter lopration R sous forme de matrice Aii ' dans lexplicitation

x1'

x2 '

x3'

= R

x1

x2

x3

=

cosf cosy - cosq sinf siny( ) -cosf siny - cosq sinf cosy( ) sinq sinf( )sinf cosy + cosq cosf siny( ) -sinf siny + cosq cosf cosy( ) -sinq cosf( )

sinq siny( ) sinq cosy( ) cosq( )

x1

x2

x3

Les lments de la matrice de transformation ou de Jacobi ne dpendent pas des coordonnes,

seulement des paramtres (angles) de la transformation, cette transformation est donc linaire

dans les coordonnes et comme les coordonnes sont les composantes du rayon vecteur, le rayon

vecteur est ici un vrai vecteur, un tenseur du 1er

ordre (ce ntait pas vrai pour des transformations

gnrales de coordonnes).

Il sensuit ainsi quune quantit de composantes cartsiennes xi x j par exemple est une

composante dun tenseur cartsien du 2e ordre, etc. et nous allons exploiter ici ce fait.

3. Les regroupements irrductibles

Ce qui dfinit un tenseur ordinaire ou cartsien est le fait que ses composantes se

transforment linairement entre elles sous transformation gnrale (pas ncessairement linaire).

En D dimensions, un tenseur cartsien dordre N a DN composantes. Si on se limite un nombre

restreint de transformations, le nombre de composantes sera, en gnral, rduit un plus petit

nombre, jusqu un certain nombre minimum quon ne peut plus rduire, do le nom

dirrductible. Le fait de se limiter un nombre restreint de transformations amne des

simplifications et permet des regroupements des composantes des tenseurs en des ensembles plus

petits (que DN) et leur permet de se transformer lintrieur de ces ensembles plus petits lors

dune transformation donne. Physiquement, cette limitation permet de se concentrer sur les

symtries qui laissent un systme physique invariant sous certaines transformations et dtudier

les consquences de ces symtries et permet de mettre en exergue certaines proprits physiques

qui rsultent de linvariance du systme sous ces transformations. Les lments de ces

regroupements seront souvent le rsultat de combinaisons linaires des composantes du tenseur

initial. Dans un exemple, nous construirons un tenseur cartsien dordre 2 en 3D, qui aura donc 9

composantes, mais en se limitant des transformations uniquement de rotation, nous

identifierons un regroupement dun lment/composante qui reste invariant, donc un scalaire ;

nous identifierons trois lments/composantes qui se transforment linairement entre eux, que

nous nommerons un vecteur, ou tenseur dordre un, et les cinq lments/composantes restant, qui

5

se transforment linairement entre eux, seront baptiss du nom de tenseur