cartésiennes

Réalisé par

R. MARRAKHA. KHAYAR

Khayar-marrakh

Professeurs assistants - département de physique

Université Hassan-IICasablanca

Faculté des sciences Aïn chock

Dessiner en perspective signifie chercher à représenter sur un plan les objets

de l’espace en donnant l’illusion de la profondeur c-à-d la 3ème dimension

Khayar-marrakh

On choisit généralement pour l’espace à trois

dimensions un système ( repère ) d’axes

rectangulaires représenté en perspective.

Dans ce système d’axes le point M est repéré par les projections orthogonales :

m dans le plan Oxy

m1 : sur l’axe des x

m2 : sur l’axe des y

et m3 : sur l’axe des z

La position d’un point M dans cet espace est parfaitement déterminée quand on connaît les distances des mesures algébriques,

appelées : coordonnées

cartésiennes.

L’intersection des plans et

donne l’axe (orienté)

des coordonnées x

L’intersection des plans et

donne l’axe (orienté)

des coordonnées y

et l’intersection des plans et

donne l’axe (orienté)

des coordonnées z

où : x = Om1 , y = Om2

et z = Om3.

appelés :

surfaces de coordonnées

Dans le système cartésien imaginé par DESCARTES, l’espace à trois dimensions est repéré par le coin d’une salle :

( intersection de trois plans )

MA , MB et MC.

Les deux murs et le sol sont

remplacés par trois plans , et ,

x

AB

C

x

y

z

z

yyx

z

OM ( , , )

m

m1

m2

m3

Surfaces de Coordonnées

Deuxième surface de coordonnée

y = yo ( x et z varient de – à + )

Troisième surface de coordonnée

z = zo ( x et y varient de – à + )

Première surface de coordonnée

x =xo (y et z varient de – à + )

Définition :

Une surface de coordonnée est l’ensemble de points telle que l’une des trois coordonnées est constante.

Khayar-marrakh

Surface de coordonnée

X = 0

X = – 2

O

z

y

x

X = 1

X = 2

X = 3

X = 4

X = – 1

Surfaces de coordonnées x = cte .

Il s’agit d’une infinité de surfaces x = cte // au plan Oyz.

O

z

x

y

Surface

de coordonnée

y = – 3y = – 2

y = – 1y = 0

y = 1y = 2

y = 3

X = 3

Surfaces de coordonnées y = cte .

Il s’agit d’une infinité de surfaces y = cte // au plan Oxz.

x

O

y

z

Surface de oordonnée

z = – 2

z = – 1

z = 0

z = 1

z = 2

z = 3

Surfaces de coordonnées z = cte .

Il s’agit d’une infinité de surfaces z = cte // au plan Oxy.

y

Khayar-marrakh

Axes de Coordonnées

Axe des yx = xo et z = zo

Axe des zx = x et y = yo

Axe des x

y = yo et z = zo

Définition :

Un axe de coordonnées est l’intersection de deux surfaces de

coordonnées, c’est-à-dire l’ensemble des points obtenus en fixant

les valeurs de deux coordonnées et en laissant libre la troisième.

Leur intersection donne

l’axe (orienté) des x

Khayar-marrakhAxe des x

x

yo

zo

y = yo z = zoet

On trace les deux surfaces

de coordonnées:

Conclusion :

L’ensemble des points M, appartenant à l’intersection des plans yo et

zo , forme une droite appelée axe des x .

Leur intersection donne

l’axe (orienté) des y

On trace les deux surfaces

Khayar-marrakh

Axe des y

de coordonnées:

y

z = zo x = xo et

xo

Conclusion :

L’ensemble des points M, appartenant à l’intersection des plans xo et

zo , forme une droite appelée axe des y .

zo

On trace les deux surfaces

Leur intersection donne

l’axe (orienté) des z

Khayar-marrakh

Axe des Z

de coordonnées:

z

yo

y = yo x = xo et

xo

Conclusion :

L’ensemble des points M, appartenant à l’intersection des plans xo et

yo , forme une droite appelée axe des z .

Coordon- nées

Domaine de variation

Vecteurs unitaires

X ] - , + [

x

z

yO

( , , ) Pour tracer un repère, on choisit en

général Oy perpendiculaire à Oz

et Ox la bissectrice de l’angle yOz.

] - , + [ayant le même sens que O x.

ayant le même sens que O z.

y z

Origine : le point O

] - , + [ Origine : le point O

Origine : le point O

ex

M

z

y

mx

y

z

ez

ey

x

Vecteurs unitaires

ex

ez

ey

Les trois axes de coordonnées Ox , Oy et Oz sont des droites

indéfinies orientées de vecteurs unitaires , et ex ey ez

ayant le même sens que O y.

z

yex

x

= x + y + zex ey ez

z

Khayar-marrakhVecteurs position

M

z

Oy

mx

( , , )

ez

ey

x y z

x

Dans la base cartésienne le vecteur position

OM a pour expression : M

m1

y

OM = Om1 + m1m + mM

Quelle est l’expression du vecteur déplacement élémentaire

dans ce système de coordonnées ? dl = MM'

dy

dxMM1 =

M1 M2 =

M2 M' =

xe

ye

ze

dx

dy

dzM2 M =

Deuxième déplacement suivant l’axe des y

Le déplacement élémentaire est le résultat

de trois déplacements :

de M à M'

N.B. : M est infiniment voisin de M.

Khayar-marrakh

zTroisième déplacement suivant l’axe des

Déplacement élémentaire

Soient M et M' deux points de l’espace.

de M vers M1 MM1 =

dy

dzdx

Question :Réponse :

de M1 vers M2 M1 M2 =

de M2 vers M'

xe

ye

ze

dz

xdx

M

z

x

y M'

M2 M’

z

x + dx

y+ dy

z + dz

x + dx

y+ dyM1 M2

z

x

y

z

x + dx

y+ dy

y dy

z + dz

O

z

y

x

M1M2

MM

Premier déplacement suivant l’axe des x

M M1

z

x

y

z

x + dx

yx y zd dx e dy e dz e

MM' = MM1 + M1 M2 + M2 M'

N.B. : M’ est infiniment voisin de M. suivi d’un autre suivant

l’axe des z ,

Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des y

Khayar-marrakhSurfaces élémentaires

x= constante

dy

Un déplacement élémentaire MM’ sur la surface x =constante définit un élément de surface .

x

y

z

O

dzdS = ye

Λ ze

dydz= xe

On se trouve sur le plan Oyz

( x = 0 )

A retenir :

dS = dydz

M’M

dS

on obtient l’élément : dS

dS

dy

dz

dS

dz xe

dx

Dans le plan Oxz ( y = 0 )

on obtient l’élément de surface :

Khayar-marrakh

dx

x

y

z

O

dz

dS = ze Λ

dxdz= ye

A retenir :

dS = dxdz

dS dz

dx

dS

dS

y= constante

Dans le plan Oxy ( z = 0 )

on obtient l’élément de surface :

Khayar-marrakh

dx

x

y

z

Ody

dS = xe

Λ ye

dxdy= ze

A retenir :

dS = dxdy

dxdy

dx

dy

dS

dS

dS

z= constante

z

Khayar-marrakh

= dxdydz

O

z

y

x

Volume élémentaire

Soient M et M' deux points de l’espace.

N.B. : M' est infiniment voisin de M.

définit un élément de volume d

yexe Λ zed = ( )

Traçons d’abord les axes de coordonnées et effectuons des déplacements élémentaires le long de ces axes. On obtient le volume élémentaire d

Surface de la base

A retenir :

d =dxdydz dy

dz dx

dM

M'

Un déplacement élémentaire MM'

Nous désirons exprimer nos remerciements à tous les collègues qui, par leur aide et leur encouragement, nous ont permis d’achever ce travail.Septembre 2009