Revue scientifique des ISILF n25, 2011.

Etude dune couche limite turbulente sous des gradients de pression variables

(Turbulent boundary layers under favourable and adverse pressure gradient)

Ing. J.-M. GUERARD PIERRARD Virton

Le travail prsent dans cet article a t effectu dans le cadre dun pro-gramme Erasmus ralis lUniversit Polytechnique de Czestochowa (Po-logne) - dpartement de la Mcanique des Fluides. Le travail a t accompli en collaboration avec Artur Drozdz et sous la tutelle du Professeur Witold Elsner. Le prsent article dcrit lanalyse dune couche limite turbulente cre en soufflerie la surface dune plaque plane en plexiglas pour un flux dair ayant un nombre de Reynolds Re compris entre 1900 et 3400, sous des conditions de dpression et de surpression. La variation de pression a t ralise grce la contraction de la veine fluide dans laquelle les mesures ont t effectues. Cet article comporte trois parties : thorie rsultats et analyse normalisation des donnes en vue de llaboration de modles permettant le calcul de couches limites turbulentes. Mots cls : couche limite turbulente gradient de pression chelle de normalisation. This article deals with the analysis of a turbulent boundary layer obtained in wind tunnel at the surface of a Plexiglas flat plate for an air flow with a Reynolds number Re included between 1900 and 3400, under favourable and adverse pressure gradients (FPG and APG). The pressure variation has been obtained by contraction of the fluid vein in which measurements occur. This work is divided in 3 parts: theory results and analysis scaling ap-proaches in order to modelize turbulent boundary layers. Keywords: turbulent boundary layer favourable pressure gradient (FPG) adverse pressure gradient (APG) scaling inner scales outer scales.

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1. Introduction Les mouvements turbulents sont prsents dans beaucoup dapplications in-dustrielles et conduisent des pertes dnergie. Les turbulences rencontres sur le fuselage dun avion, sur la carrosserie dune voiture, sur la coque dun bateau ou sur les aubages de turbomachines en sont des exemples. Dans la plupart des cas, les flux ont un nombre Re lev et sont complexes surtout lorsquils sont soumis des variations de pression. Pour cette raison, il est difficile de calculer ces flux laide de modles numriques. Les analyses exprimentales ont pour but de dcrire les flux turbulents afin de comprendre la formation des turbulences, leurs interactions avec les flux voisins de type laminaires et la dissipation dnergie encourue. De plus, les donnes fournies peuvent galement tre utilises pour vrifier les mod-les numriques. Le but final est de concevoir ou damliorer le fuselage des diffrents mobiles qui mettent en jeux ces flux. Les mesures de vitesse effectues dans cette exprience ont t ralises laide de la technique des anmomtres fils chauds. De par leur spcificit, ceux-ci ont pu tre placs trs prs de la plaque plane la surface de laquel-le tait localise la couche limite turbulente. Ce projet a t ralis en trois parties. La premire phase du projet a consist effectuer lensemble des mesures ncessaires ltude de la couche limite turbulente. La deuxime phase a t de calculer certains paramtres puis de les analyser afin de caractriser le flux. La dernire tape a t de vrifier certains modles de normalisation dont le but est explicit au point 5. Ltude des couches limites reprsente un intrt pour les applications in-dustrielles court et long terme, spcialement dans le domaine de laronautique et des turbomachines. Pour le moment, diffrents types de modles sont utiliss pour dcrire les couches limites. Dans le but den am-liorer la prcision, des donnes doivent tre gnres pour calculer de nou-veaux paramtres et valider de nouveaux modles. Jusqu prsent, ce sont les couches limites sans variation de pression qui ont t tudies de prf-rence car leur tude tait plus aise tant donn linfluence des gradients de pression sur les turbulences. De ce fait, on manque videmment de donnes concernant les couches limites sous variation de pression. Ce travail sinscrit donc dans ce cadre. Ce travail est une continuation du projet europen EU-WALLTURB (2005 2009), dont les buts principaux taient dune part de gnrer des donnes

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et dautre part damliorer les modles numriques des couches limites tur-bulentes. 2. Paramtres tudis [1], [2] 2.1 Couche limite et paisseur de couche limite Les fluides de faible viscosit utiliss dans beaucoup dapplications indus-trielles peuvent tre tudis avec la thorie des fluides parfaits, cest--dire, sans tenir compte de la viscosit tant donn quelle est faible. Nanmoins cette thorie prsente des dsavantages, notamment lorsque la viscosit du fluide devient plus importante, ou lorsque le fluide est tudi dans le voisi-nage dun corps solide. Dans ce cas, la viscosit du fluide doit tre prise en compte, le fluide doit tre considr comme newtonien.

Figure 1 : reprsentation dun fluide newtonien soumis un cisaillement

provoqu par une plaque stationnaire et une plaque en mouvement = Un fluide est newtonien lorsque la contrainte de cisaillement qui existe entre les couches de fluide est proportionnelle au gradient de vitesse /, y tant la direction perpendiculaire la direction de lcoulement. La cons-tante de proportionnalit tant appele la viscosit dynamique . La couche limite est dfinie comme tant la rgion proche dune paroi dun corps solide o le fluide voit sa vitesse passer dune vitesse nulle prs de la paroi du solide, une vitesse gale celle de lcoulement loin de la paroi. Dans cette rgion, le fluide doit tre considr comme newtonien. Mais en

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dehors, le fluide peut tre considr comme parfait tant donn que la vites-se du fluide y est constante et comme les forces de cisaillement entre les diffrentes couches de fluide sont quasi nulles, les effets de la viscosit sont donc ngligeables. Le profil de vitesse dun fluide dans une couche limite est dcrit par le gra-phique suivant, lintensit de la vitesse tant reprsente par les flches.

Figure 2 : profil des vitesses moyennes et paisseur de couche limite [1]

Lpaisseur de la couche limite est dfinie comme tant la distance entre la paroi et le point o la vitesse de lcoulement U est gale 99% de la vitesse de lcoulement externe (ou libre) U, dfini comme tant le fluide scoulant loin de la paroi. = si () = 0,99. 2.2 Dplacement de la couche limite Lpaisseur de la couche limite a t introduite de faon arbitraire. Pour approcher et interprter la notion dpaisseur de couche limite, un second paramtre est utilis, il sagit de lpaisseur de dplacement de la couche limite *. Ce paramtre renseigne de quelle manire les lignes de courant du flux externe sont dplaces du fait de la couche limite. Ce paramtre est calcul de la faon suivante : =

235

La relation prcdente exprime que la quantit des lignes de courant de la plaque la couche limite est gale la quantit des lignes de courant du flux extrieur sur une distance gale *- .

Figure 3 : profil de vitesse moyenne et dplacement de la couche limite * [1] En isolant le paramtre *, nous obtenons la relation suivante : = 1 Lexpression reprsente la quantit totale de flux perdu cause de la dclration du fluide occasionne par la paroi du solide dans la couche li-mite. 2.3 Epaisseur de la quantit de mouvement perdue Un autre paramtre utilis pour caractriser lpaisseur de la couche limite est donn par la relation suivante : = = (1 ) Ce paramtre reprsente la quantit de mouvement perdue tant donn les forces de friction entre couches de fluide et entre couche de fluide et surface du corps solide. Lexpression [kg/s] exprime la quantit dnergie cintique perdue dans la couche limite.

236

2.4 Nombre de Reynolds bas sur lpaisseur de la quantit de mou-vement perdue

Le nombre de Reynolds est utilis pour caractriser la nature de lcoulement dun fluide. Il est le rapport entre les forces dinertie dues la rugosit dune paroi et les forces de viscosit dues la nature du fluide: = !"#$ %&'"(& !"#$ )&$#!$&( = . +. ,. +. , = . +. , = ,. +- Dans cette expression, V est la vitesse relative du fluide par rapport au point dun solide en contact avec le fluide, L est une distance caractristique, est la masse volumique du fluide, la viscosit cinmatique du fluide et =. la viscosit dynamique du fluide. Avec le paramtre , le nombre de Reynolds bas sur lpaisseur de la quan-tit de mouvement perdue est dfini: 1 = . - Dans cette expression, remplace , et remplace +. 2.5 Paramtre de forme Comme le nombre de Reynolds, le paramtre de forme H est utilis pour caractriser le type dcoulement, laminaire ou turbulent. Il est dfini comme tant le rapport entre le dplacement de la couche limite et lpaisseur de la quantit de mouvement perdue. 2 = . Pour un coulement laminaire (Blasius[2] ): 2 = 2,59. Pour un coulement turbulent : 2~1,4. Dans une conduite sans variation de section, la forme du profil de vitesse sera plutt de type rectangulaire pour un coulement turbulent, tandis que pour un coulement laminaire, le profil de vitesse sera plus courb. 2.6 Coefficient de friction Un dernier coefficient utilis pour caractriser une couche limite est le coef-ficient de friction, dfini comme tant le rapport suivant :

237

78 = 9(:)2 O 9 est la contrainte de cisaillement subie par le fluide proximit de la plaque en plexi (w wall). Cette contrainte tant le rapport entre les forces de cisaillement et la surface des particules de fluide sur laquelle le cisaillement lieu. Le coefficient de friction permet de calculer les forces de frictions engendres la surface dun solide et permet donc de connaitre les pertes nergtiques dues la vitesse du fluide par rapport au solide. Dans le milieu automobile, il permet de calculer le Cx des vhicules. 3. Anmomtres fils chauds [3], [4] Il existe plusieurs mthodes danmomtrie pour effectuer des mesures sur les fluides en soufflerie. Dans cette tude, les mesures devaient tre pr-cises, tre effectues le plus prs possible de la paroi o les turbulences avaient lieu et tre ralises de manire continue afin de bien analyser les turbulences, leur intensit et leur quantit. Cest pour ces raisons que la technique danmomtrie fils chauds a t retenue. Lanmomtrie fil chaud utilise le phnomne de transfert de chaleur. Un fil entre deux lectrodes est travers par un courant lectrique, la chaleur produite par effet joule est transfre au milieu ambiant.

238

Figure 4: schma des lectrodes dun anmomtre fil chaud[3]

De la chaleur est transfre par conduction - ;< , par rayonnement - ;=< et par convection - ;>< . La plupart de lnergie est transfre par convection, pour cette raison les transferts de chaleur par conduction et rayonnement peuvent tre ngligs. On sait que la chaleur stocke dans le fil - ;?< est gale la diffrence entre la quantit dnergie lectrique produite - ;@< et la quantit dnergie calori-fique transfre au fluide - ;A< . Par unit de longueur de fil, cette relation sexprime de la faon suivante : ;?< = ;@< ;A< [C/D] Or la puissance lectrique est calcule suivant la relation: ;

239

H est le coefficient de temprature de la rsistance, fonction du matriau utilis. En rgime, lnergie lectrique est totalement transfre au milieu ambiant : ;J( = 0 => ;@< = ;A< ;>< [C/D] Nous obtenons la relation dquilibre: F9 = N99 = O+(9 I) [C] N9 est la chute de tension le long du fil, h (W/m.K) est le coefficient de transfert de chaleur, et d est le diamtre du fil. Si nous utilisons le nombre de Nusselt: F9 = N99 = O+8Q(9 I) [C] 8 est la conductivit de chaleur du fluide. Le nombre de Nusselt (Nu) est, lui, un nombre sans dimensions qui est dfini comme tant le rapport entre le transfert thermique total et le transfert par conduction. Q = .

8 Or, le nombre de Nusselt sexprime galement en fonction du nombre de Reynolds et de la vitesse du fluide: Q = R + ST = R + S T Ce qui amne trouver la loi de King: F9 = N9 = (R + S. T)(9 I) [C] R et S sont les coefficients de la loi de King et sont indpendants de la vitesse U. ' 0,5. De cette relation, il est possible de voir que N9 est une fonction de et 9. Diffrents types danmomtres existent : les anmomtres tension cons-tante, courant constant et finalement temprature constante. En fonction de la variable mesurer, temprature ou vitesse, le circuit auquel lanmomtre est connect va rpondre de telle sorte maintenir une des variables spcifiques constante (tension, temprature ou courant). Les deux premiers types (tension constante et courant constant) permettent de mesurer soit la vitesse, soit la temprature, tandis que le dernier type (temprature constante) permet de mesurer uniquement la vitesse. Pour cette analyse, lanmomtre temprature constante a t retenu. La loi de King devient: N = S. T + R

240

Figure 5: dpendance entre la chute de tension E le long du fil de

lanmomtre et la vitesse du fluide U[3] Les paramtres A et B sont calculs durant la calibration de lanmomtre laide dun tube de Pitot qui est utilis pour fournir des informations sur la pression dynamique du fluide, et donc sur sa vitesse. 3.1 Instrumentation et installation des quipements Banc dessai [5], [6] La soufflerie utilise pour raliser cette exprience est veine ouverte. A pleine puissance, le moteur de 68 kW qui actionne le ventilateur centrifuge permet de dbiter un flux dair de 19 000 m/h, ce qui quivaut une vitesse de 22 m/s dans la veine rectangulaire de section 720x250 mm o les me-sures ont t effectues. La couche limite turbulente a t dveloppe le long dune plaque plane en plexiglas dune longueur de 2807 mm, large de 250 mm et paisse de 10 mm, positionne 360 mm au-dessus de la paroi infrieure de la section de test. La forme elliptique de la plaque son front a pour but de prvenir la sparation de la couche limite. Pour forcer la transi-tion du rgime laminaire au rgime turbulent du flux, un fil rugueux a t plac 210 mm du bord dattaque de la plaque suivi de papier meri. Le schma suivant montre une reprsentation de la section test. Celle-ci est divise en 3 parties, les 2 premires sont longues de 704 et 801 mm et per-mettent toutes deux dtudier le comportement de la couche limite sans va-riation de pression statique. La dernire partie, o les mesures ont t rali-ses, est longue de 1200 mm. A son entre le flux est spar par une plaque

241

daluminium place 160 mm au dessus de la plaque en plexi et sincurvant dabord vers le bas puis ensuite vers le haut (fig.7). Cette courbature impose une variation de pression statique, le gradient de pression statique dp/dx (x tant la direction de lcoulement) est dabord ngatif, nul puis positif (fig.7). La variation de pression statique est similaire celle obtenue dans les stators des turbomachines.

Figure 6: reprsentation de la section de test

Figure 7: reprsentation de la section test avec variation de pression et dis-

tribution de la pression statique le long de cette section

242

La figure prcdente montre la distribution de la pression statique dans la 3me partie de la section test et indique galement les positions entre les-quelles les mesures ont t effectues. Systme dacquisition de donnes La chane de mesure est compose de la sonde fils chauds, de lunit prin-cipale DISA 55M01, de 2 voltmtres, dun oscilloscope, dune carte dacquisition de donnes et dun PC. Lunit principale comprend 2 parties, la premire est un circuit lectronique (DISA 55M10) incluant un pont de Wheatstone et des amplificateurs de signal constituant une boucle de feed-back, lensemble permettant dalimenter la sonde et de maintenir la temp-rature du fil constante. La seconde partie connecte aux bornes du pont de Wheatstone comprend un conditionneur de signal 55D26 utilis comme filtre passe bas dont la frquence de coupure est de 25 kHz. La tension de sortie du conditionneur est envoye aux bornes dentre de la carte dacquisition de donnes A/D Eagle 703s 14 bits qui permet de convertir la tension analogique en un signal numrique exploitable par lordinateur. La vitesse du processeur et la mmoire vive de lordinateur sont plus que suffi-santes pour lacquisition. Un oscilloscope est connect au pont DISA 55M10 pour observer la tension aux bornes de la sonde et ainsi ajuster les paramtres du circuit de feed-back pour obtenir la meilleure rponse pos-sible de lanmomtre. Deux voltmtres ont t utiliss pour connatre dune part la valeur de la chute de tension aux bornes de la sonde et dautre part la tension fournie par une sonde de pression statique dispose lentre de la section test. Cette sonde de pression statique a pour rle de rgler la vitesse de rotation du ventilateur une valeur constante chaque mesure effectue et galement vrifier que la vitesse du vent ne chute pas durant une srie de mesure. Lorsque lencrassement de la bouche daspiration du ventilateur atteint un certain niveau, la perte de charge peut augmenter brutalement et occasionner une variation de vitesse trop importante pour effectuer les me-sures de faon rigoureuse. Le programme utilis pour acqurir les donnes a t ralis dans un envi-ronnement Labview. La frquence dacquisition est de 50 kHz et chaque mesure a t ralise durant une priode de 10 secondes, ce qui a permis dacqurir 500 mille chantillons de tension! Le temps de mesure a t choi-si de sorte dtecter un nombre suffisant de structures turbulentes et satis-faire certains paramtres fonction de la stabilit du signal.

243

Les fichiers binaires enregistrs avec le programme dacquisition ont ensuite t utiliss dans un programme fait maison permettant de calculer dune part la vitesse moyenne et dautre part la vitesse RMS1 u, donnant un aperu des turbulences.

= 1' U JTV = X1' U(J )T

JYV La vitesse instantane J est calcule grce aux coefficients A et B de la loi de King, calculs durant ltape de calibration. Le nombre n correspond aux nombres dchantillons mesurs, c.--d. 5.10^5. Au cours de la calibration et durant les mesures, les tempratures de latmosphre et du fluide sont mesures ainsi que la pression atmosphrique. De cette faon, les variations de conditions sont prises en compte pour cor-riger les paramtres A et B de la loi de King et ainsi permettre de calculer la vitesse instantane de faon correcte. Systme de dplacement de la sonde Pour mouvoir la sonde verticalement et de faon prcise, un moteur pas pas command par un driver DISA 55B01 permet, via un pignon et une crmaillre lie au bras de la sonde, de dplacer celle-ci dune distance mi-nimum de 0,02 mm pour chaque pas du moteur. Il est donc possible de me-surer la distance de dplacement de la sonde de faon relative de cette ma-nire. Les dplacements horizontaux se sont faits de faon manuelle, grce un rack dispos au dessus du tunnel. Pour ces dplacements, la prcision tait moins importante car chaque plan de mesure tait distant de 3 cm. Caractristiques de lanmomtre Les mesures ralises ont t effectues avec une sonde miniature unifilaire de la firme DANTEC. La sonde a t spcialement modifie Cracovie pour que le fil en platine ait une longueur de 0,5 mm et un diamtre de 3m. Ces caractristiques permettant de raliser des mesures trs prs de la paroi sans pour autant trop perturber le flux avoisinant la sonde.

1 De langlais Root Mean Square: valeur efficace ou moyenne quadratique : :@88JZ[Z@ = lim_ a V_ b :(_c_ ()(

244

Lavantage dune sonde unifilaire est que lon peut mesurer la vitesse du vent trs prs de la paroi surtout avec le type de sonde que lon a utilis, car elle respecte les conditions de Ligrani et Bradshaw [7]: l/d=166

245

Figure 8: image de la sonde et de son reflet dans la plaque en plexi

3.2 Description de lexprience Les objectifs principaux de lexprience ont t de calculer la vitesse moyenne et la vitesse RMS, donnant une mesure des turbulences. La pres-sion statique a galement t mesure le long de la section test pour calculer le gradient de pression dp/dx, laxe des x tant le sens aval de lcoulement. Les mesures ont t effectues sur 15 plans de mesures, allant de xs=212 xs=632, xs tant la distance par rapport au plan dentre de la section test (xs augmente dans la direction de lcoulement), situ 1740 mm du bord dattaque de la plaque de plexi (fig.7). Aux conditions dentres (xs=0), la vitesse de lcoulement libre = 15 [D/$] Re= 2500 et le taux de turbu-lences k = / est gal 0,4% au centre du tunnel. Pour chaque plan de mesures, 55 mesures ont t ralises entre 0,02 mm et 55 mm au dessus de la plaque de plexi. Les points de mesures ont t choisis de telle sorte raliser le plus grand nombre de mesures dans la partie infrieure de la couche limite. Sous les conditions de gradients de pression ngatifs, Re a vari de 2400 1900 pour ensuite augmenter jusque 3400 sous gradients de pression positifs.

srie n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

distance xs [mm] 212 242 272 302 332 362 392 422 452 482 512 542 572 602 632

246

4. Analyse dune couche limite turbulente soumise un gradient de pression statique variable

4.1 Profils des vitesses RMS et profils des vitesses moyennes reprsen-

ts lchelle physique Cette partie prsente les rsultats. Les graphes prsentent lensemble des mesures effectues et sont spars en deux groupes suivant que le gradient de pression est ngatif (FPG favourable pressure gradient) ou positif (APG adverse pressure gradient). Laxe des ordonnes prsente les vitesses, moyennes ou RMS suivant le cas, tandis que laxe des abscisses reprsente la distance par rapport la plaque de plexi.

a) b)

c) d)

Figure 9: profils de vitesse moyenne a) et b) et RMS c) et d) dans des condi-tions de dpression a) et c) et de surpression b) et d)

-2

3

8

13

18

0,05 0,5 5 50

U [

m/s

]

y [mm]

212

272

302

332

362

392

xs

-2

3

8

13

18

0,05 0,5 5 50

U [

m/s

]

y [mm]

452

482

512

542

572

602

632

xs

00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

22,2

0,05 0,5 5 50

u' [

m/s

]

y [mm]

212

272

302

332

362

392

x

s

00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

22,2

0,05 0,5 5 50

u' [

m/s

]

y [mm]

452482512542572602632

xs

247

Pour une meilleure visibilit, les graphes ont t reprsents lchelle lo-garithmique. Avant de continuer les discussions, rappelons que xs augmente dans le sens de lcoulement. Les graphes a) et b) montrent que la vitesse moyenne a tendance augmenter dans les conditions FPG tandis quelle a tendance diminuer dans les conditions APG. Les sondes de pressions dy-namique et statique indiquent que la pression dynamique augmente tant que le gradient de pression statique est ngatif puis diminue lorsquil devient positif. La vitesse maximum a t enregistre pour le plan situ xs=452, juste aprs la plus petite section de la zone de test (fig.b). Les graphes mon-trent galement que lpaisseur de la couche limite diminue puis augmente lorsque le gradient de pression change de signe (flche en gras sur les fig. a et b). En effet, lcoulement atteint une vitesse constante U une distance dautant plus proche de la paroi que la pression statique diminue. Lorsque le gradient change de signe, la vitesse de lcoulement libre U est atteinte une distance de plus en plus lointaine de la plaque de plexi au fur et me-sure que la pression statique augmente. Ces rsultats sont dus linfluence du gradient de pression et peuvent tre combins avec les rsultats obtenus pour les variations de vitesses moyennes. Au niveau des profils des vitesses RMS, les remarques concernant lpaisseur de la couche limite cites prcdemment corroborent lvolution des graphes. Sous des conditions FPG, les turbulences deviennent nulles de plus en plus prs de la paroi lorsque xs augmente, tandis que sous des condi-tions APG, les turbulences ont tendance scarter de la paroi dans le sens de lcoulement. A la zone o la section est la plus troite (xs = 452), les turbulences sont intenses et trs proches de la paroi (u=2,1 m/s pour y=0,27 mm), elles forment une bosse sur le graphe prs de lorigine des y, proxi-mit de la plaque en plexi. Ensuite, lorsque lon avance dans le sens de lcoulement, on remarque que lintensit de ces turbulences diminue prs de la paroi tandis que plus loin de la paroi, les turbulences augmentent et forment une seconde bosse sur le graphe (fig.d). Sous des conditions FPG, les turbulences ont tendance sintensifier prs de la plaque en plexi lorsque lon avance dans le sens de lcoulement tandis que les turbulences plus loin de la plaque en plexi ont tendance diminuer. Les bosses qui sobservent sur les graphes portent le nom de pic prs de la plaque en plexi et pic ex-terne suivant la position dans la couche limite.

248

4.2 Analyse des paramtres de la couche limite Les paramtres tudis sont ceux mentionns dans la section 2. , , , H caractrisent la taille de la couche limite et la forme du profil de la distribu-tion de vitesse dans la couche limite, autrement dit la rpartition du flux dans la couche limite. Le nombre Re et le coefficient de friction, donnent un aperu des contraintes de frictions exerces entre les particules de fluide, ou entre les particules de fluide et le solide en contact avec le fluide. Les trois derniers paramtres sont la vitesse de friction u*, la vitesse au bord de la couche limite U et la vitesse de lcoulement libre U. = alm et = . nonp Le graphe suivant (fig.10) prsente la distribution des 3 premiers para-mtres, cest--dire , et .

Figure 10: rsultats obtenus pour la couche limite , le dplacement de la

couche limite et lpaisseur de la quantit de mouvement Comme dj observ sur les graphes des vitesses moyennes et RMS (fig.9), lpaisseur de la couche limite tend diminuer dans le sens de lcoulement tant que le gradient de pression est ngatif puis a tendance augmenter lors-que le gradient change de signe. et ont la mme tendance que tant donn quelles y sont proportionnelles. Cependant on observe que sous les conditions APG, augmente plus rapidement que , ce qui est en accord avec lvolution du facteur de forme prsent dans le graphe suivant (fig.11) en mme temps que lvolution de Re.

0

1

2

3

4

5

0

5

10

15

20

25

30

35

200 400 600

-

'

[mm

]

[m

m]

Xs [mm]

'

249

Figure 11: volution du facteur de forme H et du nombre de Re

Le facteur de forme H, (rapport entre et ) diminue doucement sous les conditions FPG et augmente rapidement sous les conditions APG. Le nombre Re diminue de 2400 1900 sous les conditions FPG puis augmente jusque 3400 sous les conditions APG. Ces valeurs indiquent qu travers toute la zone de mesure, la couche limite tait totalement turbulente. Par contre, on remarque, qutant donn la courbure ngative de la paroi sup-rieure de la zone test, lcoulement a tendance approcher un tat laminaire. Celui-ci ne sera nanmoins jamais atteint car lintensit du gradient ngatif de pression ntait pas suffisamment leve pour une relaminarisation du flux. Aprs le passage de zone o la veine est la plus contracte, lcoulement a tendance devenir plus turbulent. Malgr lapproche de ltat laminaire prs de la zone de contraction, aucune sparation de la couche limite na t observe plus loin dans le tunnel, o la pression statique augmente. Les vitesses moyennes des particules de fluides sont toujours positives (fig.9 a et b). 5. Normalisation des donnes [8], [9] Pour tre capable de simuler des couches turbulentes, les chercheurs ont besoin dutiliser des modles numriques se basant sur certaines quations, notamment celles de Navier-Stokes. Malheureusement, tant donn la com-plexit des calculs, il est impossible actuellement, mme avec les puissances des processeurs actuels, de reprsenter un flux de faon prcise, le maillage

1,25

1,30

1,35

1,40

1,45

1,50

1000

1500

2000

2500

3000

3500

210 310 410 510 610

H

Re

Xs [mm]

Re

H

250

tant trop grand, et la frquence des turbulences trop leve, mme avec un faible nombre de Reynolds. Les chercheurs doivent donc sappuyer actuellement sur les donnes exp-rimentales. Pour trouver des lois permettant de calculer les couches limites, il est nces-saire de comprendre les relations qui existent entre le nombre de Reynolds, lpaisseur de la couche limite, la position du fluide, etc. Cest dans ce cadre que la normalisation des donnes a lieu. Clauser a montr en 1956[10], pour des coulements turbulents sous des gra-dients de pression nulle que, si deux coulements ayant des nombres de Reynolds diffrents et scoulant sur des surfaces de rugosit diffrentes, ont le mme coefficient de friction Cf, alors les profils de vitesse pourront tre reprsents par un seul et mme profil si la normalisation suivante est utilise: qrstuavwx = orcyo = (+) o z = po{ On peut ainsi reprsenter tous les profils de vitesse en une seule et mme courbe. Le but gnral de la normalisation est de faire coller tous les profils de vi-tesse dun coulement en une seule courbe (universal curve), ce qui permet dobtenir des relations et dextrapoler les rsultats obtenus de ces profils de vitesse pour calculer des flux avec des nombres de Reynolds plus levs. De plus, en fonction de lhistorique dun flux, il serait possible den prdire lvolution. Le but gnral de la normalisation (scaling) est reprsent par le graphe suivant:

Figure 12: but gnral de la normalisation [8]

251

Pour linstant, grce la normalisation des donnes, deux quations ont pu tre dtermines pour les coulements non soumis des variations de pres-sion: Pour les coulements laminaires, Blasius : = 5. |-:/ Pour les coulements turbulents, Clauser : . y}{ = ,V~@T@(T@) G est une constante qui vaut approximativement 1,5. Ces relations permet-tent dtablir la dpendance entre lpaisseur de la couche limite et la dis-tance x parcourue par le fluide le long dune plaque. Elles sont reprsentes sur le schma suivant.

Figure 13 : dpendance entre paisseur de la couche limite et distance x parcourue par le fluide le long dune plaque plane [2]

Bien sr, ces relations sont fausses lorsquil y a des variations de pression comme cest le cas dans le cadre de cette tude. Plusieurs normalisations de donnes ont t ralises pour vrifier si oui ou non, ces normalisations fonctionnaient pour des variations du gradient de pression. Dans ce qui suit, une seule partie des normalisations sera prsente tant donn quil nest pas possible de tout expliciter dans ce rsum. Pour une meilleure visibilit, les profils sont reprsents suivant une chelle logarithmique. 5.1 Mthode de Clauser La premire normalisation provient des rsultats de Clauser, elle est utilise pour reprsenter les profils des vitesses moyennes : z = 1 ln(yz) + S

252

est la constante de Von Krmn tandis que B est appele constante uni-verselle. Pour cette tude les valeurs suivantes ont t prises : = 0,41 and S = 5,5. Cette relation est appele loi logarithmique

Avec z = y(p)o , z = po{ , = alm et = . nonp

Figure 14 : profil des vitesses moyennes suivant Clauser

Les rsultats obtenus pour cette normalisation permettent de dire que pour le gradient de pression ngatif (graphe non reprsent), les profils normaliss sont confondus en une seule et mme courbe. Pour ce qui est des profils sous gradient de pression positif (fig.14), on aperoit vers y+=200, que les profils ont tendance dcoller de la courbe universelle (flche), cela tant bien sr d au gradient de pression ngatif. De faon gnrale, cette normalisation permet de relativement bien reprsenter le flux du fluide, mais uniquement des distances proches de la paroi (inner scaling). Les rsultats des mesures sont situs sur la courbe de lquation u+=y+ jusque y+=10, en-suite les mesures suivent la loi logarithmique jusque y+=200. 5.2 Mthode de Castillo et Georges [11] La mthode de Castillo et Georges utilise les paramtres suivants pour nor-maliser les vitesses moyennes et RMS : = (/) % = (/) Il a t prouv que cette normalisation pouvait fonctionner si certaines con-ditions, non respectes dans le cadre des prsentes mesures, taient respec-

0

5

10

15

20

25

30

1 10 100 1000

u+

y+

u+=(1/0,41)*ln(y+)+5,5

u+=y+

452

482

512

542

572

602

632

xs

253

tes. De faon gnrale, nous pouvons dire que la normalisation suivant cette mthode na pas fonctionn. Pour les profils de vitesse moyenne, les profils sont similaires seulement aux extrmits de la couche limite, prs de la paroi, o la vitesse est nulle pour chaque profil, et au bord extrieur de la couche limite o U atteint U. Pour les profils de vitesse RMS, les bosses prsentes lors de lexplication des rsultats (point 4) sont augmentes. 5.3 Mthode de Zagarola et Smits (ZS)[11] La mthode de Zagarola et Smith est similaire celle de Castillo et Georges, on utilise en plus le paramtre %/ pour normaliser les vitesses. . %/ = (/) %(. %/) = (/) Seuls les profils sous gradient de pression ngatif sont explicits.

Figure 15 : profils des vitesses moyennes suivant ZS

Dans le cas des vitesses moyennes, on aperoit que les profils sont simi-laires un profil unique lorsque y/->0,04 et peuvent tre positionns sur lquation suivante : ( )/(. /) = 0,8 d'(/) + 0,25 Avant cette position, les profils ont tendance scarter dun profil unique dans le sens de la flche et dans le sens de lcoulement.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0,001 0,01 0,1 1

(U

-U)/

(U

.'/

)

y/

452

482

512

542

572

602

632

xs

254

Figure 16 : profils des vitesses RMS suivant ZS

Pour ce qui est des profils de vitesse RMS, nous observons que, proche de la paroi, la bosse interne est toujours prsente, plus loin de la paroi, nous retrouvons la bosse externe mais moins marque et prsente lintrieur de la couche limite. Aprs y/=0,1, c'est--dire seulement un dixime de lpaisseur de la couche limite, il est possible de reprsenter tous les profils en une seule courbe. Nous pouvons donc affirmer que cette normalisation permet de reprsenter les donnes de faon correcte dans la rgion externe de la couche limite (aprs y/=0,1). 6. Conclusion Les investigations conduites dans le cadre de cette tude ont t ralises sur une couche limite turbulente sous linfluence de conditions similaires celles prsentes dans les stators des turbomachines industrielles de type compresseur axial. Les donnes gnres ont permis de calculer les paramtres de la couche limite et de vrifier les lois pour diffrentes techniques de normalisation des donnes prsentes dans la section 5. Linfluence des gradients de pression a t spcialement observe dans les cas suivants. Sous les conditions de dpressions (FPG), les turbulences ont tendance augmenter prs de la paroi dans la direction de lcoulement. La prsence du gradient de pression positif (APG) cause laugmentation de u+ lorsque lon approche du bord de la couche limite. De plus, dans ces condi-

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,001 0,01 0,1 1

u'

/(U

.

*/

)

y/

452

482

512

542

572

602

632

xs

255

tions, il a t observ que les turbulences ont tendance diminuer prs de la paroi et augmenter dans la rgion externe la couche limite, toujours dans la direction de lcoulement. Les normalisations des donnes suivant les mthodes de Clauser, Georges et Castillo indiquent quaucune des deux mthodes ne permet de normaliser les donnes et dobtenir une loi universelle. Suivant Clauser, on observe que les profils scartent dun profil unique lorsque y+=200 et, suivant Georges et Castillo, la dfaillance de cette tech-nique tait attendue tant donn que certaines conditions (non-explicites dans ce rapport) ntaient pas remplies. Sur toutes les techniques de normalisation trouves dans la littrature, la technique de Zagarola et Smith semble tre la plus efficace pour reprsenter dune part les profils de vitesse RMS et dautres part les profils de vitesse moyenne suivant des profils uniques dits universels, dans la rgion externe de la couche (y/=0,1), et dans les conditions de variations de pression de cette exprience. La raison du succs de cette technique rside dans lutilisation du paramtre / qui reflte le mieux la variation des conditions en amont de lcoulement. Finalement, il est montr quaucune technique de normalisa-tion ne permet de reprsenter les profils de vitesse, moyenne et RMS, sui-vant une mme loi, pour les rgions internes et extrieures la couche li-mite. Gnralement, pour les profils de vitesse moyenne et RMS, sous les conditions de surpression (APG), la tendance des profils dvier du profil universel est plus marque par rapport aux conditions de dpression (FPG), pour lensemble des techniques de normalisation testes.

256

7. Sources

[1] ASSENDRYCH D., Advanced fluid mechanics courses, University of technology, Czestochowa, 2010.

[2] SCHLICHTING H. & GERSTEN K., Boundary layer theory , 8th revised and enlarged edition, Springer, chapter 1-3, 1999.

[3] ASSENDRYCH D., Fluid flow metrology, University of technology, Czestochowa, hot-wire 1 and 2, 2010.

[4] JRGENSEN Finn E., How to measure turbulence with hot-wire ane-nometers a practical guide, Dantec Dynamics, 2002.

[5] DRDZ A., & ELSNER W., Hot-wire experiment of boundary layer un-der adverse pressure gradient, Wallturb technical report, 2008.

[6] MATERNY M., Experiment analysis of turbulent Boundary layer under the influence of APG, Phd thesis, University of technology, Czesto-chowa, 2009.

[7] HUTCHINS N., NICKELS T.B., & MARUSIC I., The inflence of spatial resolution due t hot-wire sensors on measurements in wall-bounded turbulence, 16th Australasian Fluid Mechanics Conference, 2007.

[8] INDINGER T. & BUSCHMANN M. H., Mean-Velocity Profile of Turbu-lent Boundary Layers Approching separation, AIAA Journal, Vol. 44, 2006.

[9] BRZEK B., BAYON CAL R., JOHANSSON G. & CASTILLO L., Inner and outer scalings in rough surface zero pressure gradient turbulent boundary layers, Physics of fluids 19, 2007.

[10] MACIEL Yvan, ROSSIGNOL Karl-Stphane & LEMAY Jean, Self-Similarity in the Outer Region of Adverse-Pressure-Turbulent Boun-dary layers, AIAA JOURNAL, Vol. 44, No. 11, 2006.

[11] DRYDEK H. L. & VON KRMX Th., Advanced in applied mechanics, Vol. 3, Elsevier, 1956.