1

EXERCICE N°1 Calculer les limites suivantes :

²xx1

x3²x1limx −+

+−+∞→

; ²x2x1

²xx2lim

1x −++−

→ ;

1x

x32²xlim

1x −−+

→ ; ( )x2x3²xlim

x−+

+∞→ ; ( )xx3²xlim

x−+

+∞→ ;

( )xx3²xlimx

−+−∞→

; ( )1x3x3²xlimx

+−++∞→

; 36x

3xlim

3x −+−

→ ;

22x

37xlim

2x −+−+

→;

ax

xaaxlim

nn

ax −−

→( )*NR)n,a( ×∈ ; ( )

++++−−−∞→

n

nxx...²xx1

x1

1

x

1lim ,

*Nn∈ ; ( )x²xx²xlimx

−−++∞→

;

−−

+∞→ 2x3

1x2coslim

x

π ;

x

1xcoslim

0x

−→

; 9²x

3x3xlim

3x −−+−

→ ,

−+

→2

x

14xlim

0x ,

x

2xsin4lim

0x

−+→

.

EXERCICE N°2 Calculer les limites suivantes quand elles existent :

)x2cos(

)xtan(1lim

4x

−

→ π ;

3)x²(sin4

1)xcos(2lim

3x −

−

→π ;

−→ xtan

1

x2sin

2limx π

; x3cos1

x3sinlim

0x −→ ( )

−−→ 2

xtan11xtanlim

2x

π ;

1x²cosxsin

x²cosxsin1lim

2x −+

+−

→ π ; xtan

2

xsin

2

xcoslim

2x

−→ π

; ( )

−

−→ x²sin

1

xcos12

1lim

0x, ( )

a2

xtan.xa

axlim 22 π−→

EXERCICE N°3

On considère la fonction f définie sur [ 2 ; + ∞ [ par : f(x) = 3 x + sin xx − 1 .

Montrer que , pour tout x ≥ 2 , |f(x) − 3| ≤ 4

x − 1 . En déduire la limite de f en + ∞

EXERCICE N°4

La fonction f est définie sur IR par : f (x) = 1

2 – cos x .

1°)) Montrer que, pour tout réel x, 1

3 ≤ f (x) ≤ 1 .

b) En déduire les limites suivantes : limx → +∞

1

x (2 – cos x) ; limx → –∞

x2 + 1

2 – cos x et lim

x → 0

1

x2 (2 – cos x)

EXERCICE N°5 Soit la fonction xsin2x3x:f +֏

1°)a-Montrer que pour tout x de R : 2x3)x(f2x3 +≤≤−

b-En déduire )x(flimx −∞→

et )x(flimx +∞→

2°)Soit la fonction g défini sur R par :

=

≠=

0xsi5

1

0xsi)x(f

x

)x(g

a- Montrer que g est continue en 0.

b- Montrer que pour tout

+∞∈ ,3

2x :

2x3

x)x(g

2x3

x

−≤≤

+

c- En déduire )x(glimx +∞→

. Interprète géométriquement le résultat.

EXERCICE N°6

Soit la fonction ϕ définie sur [0 ; + ∞[ par : ϕ(x) = x + cos x

x2 +1

Séries d’exercices 4ème Maths

Continuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limitesContinuite et limites

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2

1°)Montrer que, pour x > 1, x − 1x2 + 1

≤ ϕ(x) ≤ x + 1

x2 + 1

2°) En déduire la limite de ϕ en + ∞ . EXERCICE N°7

Soit la fonction f définie sur

+∞− ,2

1par :

1x2

xcosx)x(f

++−=

1°)Démontrer que pour tout 2

1x −> on a :

1x2

1x)x(f

1x2

1x

++−≤≤

+−−

2°) En déduire la limite de f en + ∞ . EXERCICE N°8

Soit f la fonction définie sur R par : 1²x

21x)x(f

++−= .

On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé

Calculer )x(flimx +∞→

,x

)x(flimx +∞→

. Interpréter graphiquement

EXERCICE N°9 On désigne par ζ la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

Soit ²x1

x1x:f

n

++֏ avec *Nn∈ . Etudier suivant n )x(flim n

x +∞→,

x

)x(flim n

x +∞→ . Interpréter graphiquement

EXERCICE N°10

Soit la fonction f définie par

=++

≠−

−+=

1xsi1pxx2

1xsi1²x

xm23²xm

)x(f3

Déterminer m et p pour que f soit continue sur R.

EXERCICE N°11

On considère la fonction f définie par :

] ] { } [ [] [ ] [

∪−∈−−

+∞∪∪−∞−∈−−=

1,00,1xsix

1²x1

,101,xsiaxx²x

)x(f

1°)Etudier la continuité de f en 0.

2°)Etudier suivant a la continuité de f en 1 et -1.

3°)Existe-t-il des valeurs de a pour lesquelles f est continue sur R.

EXERCICE N°12

Soit la fonction f définie par 5x²x7x

23²x)x(f

3 ++−−+= si { }1Rx −∈ et f(1)=a.

1°) Déterminer le domaine de définition Df de f.

2°)Déterminer le réel a pour que f soit continue en 1.

EXERCICE N°13

Soit la fonction f définie par : ( )21x

1xxx)x(f

−−−−=

1°)Déterminer le domaine de définition Df de f.

2°)Peut-on parler de limite en 0 pour f ? Justifier.

3°)Déterminer le domaine de continuité Dc de f .

4°)Calculer )x(flim1x +→

et )x(flimx +∞→

.

EXERCICE N°14 Calculer les limites suivantes quand elles existent :

→ x

1sinxlim

0x ;

→ x

1Exlim

0x ;

xx

1E

xx

1E

lim0x

+

−

→ ;

x

2008

xE

limx

+∞→ ;

)xsin(²x

3)x(xElimx +

++∞→

; xsin2

xsinxlimx −

++∞→

;

3

( )1²x

xsin1xlimx −

++∞→

;

−→ xsin

1

x

1sinxlim

0x ;

xx

3x

1sin

x

1²cos2

lim0x +

+−

→.

EXERCICE N°15 Répondre par Vrai ou Faux.

1°)Si +∞=→

)x(flimax

, +∞=→

)x(glimax

et si, pour tout réel x, f(x) > g(x), alors [ ] +∞=−→

)x(g)x(flimax

2°)Si +∞=→

)x(flimax

et si g(x)< 0 pour tout x, alors −∞=→

)x(g)x(flimax

.

3°)Si 0)x(flimax

=→

, alors soit +∞=→ )x(f

1lim

ax , soit −∞=

→ )x(f

1lim

ax.

EXERCICE N°16

On admet l’existence d’une limite réelle en 0 pour 3x

x)xsin()x(f

−=

1°) En transformant convenablement f(2x), trouver la valeur de cette limite.

2°) Utiliser le résultat précédent pour déterminer : 30x x

x)xtan(lim

−→

et 40x x

2

²x)xcos(1

lim

−−

→

EXERCICE N°17

Calculer ( )24x 4x16

24x.23xx16lim

−−−−

→

EXERCICE N°18 1°)Démontrer que l’équation : x3 + x -3 = 0 admet une unique solution a ] [2;1∈

2°) Donner une valeur approchée par défaut de cette α à 110 − près .

EXERCICE N°19 Démontrer que l’équation : x4 + x3 – x +1 = 0 n’a pas de solutions sur R .

EXERCICE N°20 Montrer que l’équation x3 – 5x2 + 4x + 7 = 0 admet au moins une racine réelle. Plus généralement, montrer que

toute équation polynomiale de degré impair admet au moins une racine réelle. Qu’en est-il si le degré est pair ?

EXERCICE N°21 1°)Soit [ ] [ ]1,01,0:f → une fonction continue. Montrer que l’équation f(x)=x admet au moins une solution

sur [ ]1,0 .

2°)Plus générale : Soit [ ] [ ]b,aJb,a:f ⊂→ une fonction continue. Montrer que l’équation f(x)=x admet au

moins une solution sur [ ]b,a

3°)Soit une fonction [ ] Rb,a:f → continue, et βα, des réels strictement positifs.

Montrer qu’il existe [ ]b,ac∈ tel que : ( ) ( ) ( ) ( )cfbfaf βαβα +=+

EXERCICE N°22

Soit f une fonction de [a, b] dans [a, b] telle que ∀ x ≠y : yxk)y(f)x(f −<− avec 0 < k < 1

Montrer que l’équation f(x)=x admet alors toujours une et une seule solution sur [a, b]

EXERCICE N°22 Trouver toutes les applications RR:f → , continue en 0 et pour tout x de R on a : ( ) )x(fx2f = .

EXERCICE N°23 Trouver toutes les applications RR:f → , continue en 0 et pour tout x de R on a : ( ) .xcos)x(fx2f =