FRACTIONS

ET DECIMAUX

Bruno Canivenc, ESPE, Université d’Aix-Marseille

PLAN

1)  Idées fortes du programme 2) Quel sens donner à la fraction? 3) Quelle introduction au CM1? 4) Quelle étude au CM2? 5) Conséquence sur les progressions

Extrait 1 du programme Nombres et Calculs

“Les fractions, puis les nombres décimaux, apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pour pallier les insuffisances des entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires, repérer des points sur une demi-droite graduée. Le lien à établir avec les connaissances acquises à propos des entiers est essentiel…”

Extrait 2 du programme Nombres et Calculs

L’écriture à virgule est présentée comme une convention d’écriture d’une fraction décimale ou d’une somme de fractions décimales. Cela permet de mettre à jour la nature des nombres décimaux et de justifier les règles de comparaison (qui se différencient de celles des entiers) et de calcul.

Continuité dans le cycle 3

•  Programme du cycle 3 conçu et écrit dans une vraie continuité pour l ’étude de la numération fractionnaire et décimale

•  Choix déjà fait depuis plusieurs programmes est réaffirmé : le nombre décimal se construit mieux sur le long terme s ’il est introduit à partir des fractions décimales (mais cette construction est difficile et longue !)

2) Quel sens donner à la fraction?

•  La première question à se poser est : Qu’est-ce qui va permettre à des élèves de 9 ou 10 ans de comprendre que cette écriture fractionnaire mystérieuse correspond à un nombre?

•  Pour le moment, les seuls nombres connus sont les nombres entiers et on a rencontré les demis et les quarts en apprenant à lire l’heure.

•  De nouveaux objets mathématiques (fractions au CM1, radicaux en quatrième…) prennent lentement le statut de nombres…mais comment?

2) Quel sens donner à la fraction ?

Ces nouveaux objets acquerront progressivement le statut de nombre. Il faudra comprendre leurs propriétés, en rupture ou en continuité avec les nombres connus et en abordant les pôles suivants :

- utilité dans des situations de mesure - utilité pour se repérer sur une droite - possibilité de les comparer entre eux et avec les nombres déjà connus

- possibilité d ’effectuer des calculs

2) Quel sens donner à la fraction ?

Extrait du document d ’accompagnement « Nombres » du programme de collège :

« A l ’école primaire, les fractions sont introduites en vue d ’aider à la compréhension des nombres décimaux : des fractions simples sont d’abord utilisées (dénominateurs 2, 4 ou 5), mais ce sont les fractions décimales qui sont véritablement visées de façon à pouvoir interpréter, par exemple 2,405 comme ou »

2+ 4

10 + 51000 2+

4051000

2) Quel sens donner à la fraction ?

« Dans ce but, les fractions sont définies en référence au partage de l ’unité, soit dans des situations de mesure (longueurs, aires…) soit dans des situations de repérage de points sur une ligne graduée régulièrement. Une fraction comme évoque ce qui est obtenu en partageant l ’unité en 4 parts égales et en reportant 7 de ces parts, ce qui correspond d ’ailleurs à la lecture « sept quarts ». c ’est 7 fois le quart de l ’unité. »

74

74

« Au collège, dès la classe de sixième, l ’écriture fractionnaire prend une autre signification : c ’est le quart de 7 (donc représentée en reportant 7 fois l ’unité, puis en partageant ce qui est obtenu en 4 parts égales) et c ’est aussi le nombre qui, multiplié par 4 donne 7 (4 x = 7 ) . L ’équivalence entre ces deux significations (7 fois un quart et le quart de 7) ne va pas de soi…et doit faire l ’objet de justifications en sixième... »

2) Quel sens donner à la fraction ?

74

74

3) Quelle introduction au CM1?

D ’où la progression proposée : •  introduction à partir de partage en parts égales de

disques, rectangles… •  utilisation d ’une bandelette unité (de longueur 7cm

par exemple) pour mesurer la longueur de segments ou

•  exercices de comparaisons, de classements de segments en fonction de leur longueur

•  découverte de la possibilité d ’écritures différentes de la même mesure, par exemple et

12u 1u+ 3

4 u2u+ 1

2 u

1u+12u

32u

3) Quelle introduction au CM1?

•  transport de la bandelette-unité marquée avec les plis (quarts, demis) sur une droite que l’on gradue et sur laquelle on va commencer à lire l’abscisse de points et à placer des points d’abscisse donnée et se familiariser avec le fait que correspond au même point que 1, que correspond au même point que 2...

•  rencontre éventuelle avec les tiers et les neuvièmes, au moins sur la droite graduée

•  reprise d’un travail de mesure de longueurs avec une bandelette-unité partagée en 10 parts égales, de comparaisons et classements, graduation d’une droite

448

4

3) Quelle introduction au CM1?

•  introduction souhaitable des centièmes, toujours à partir de mesure de longueurs,

•  puis graduation d’une droite à l ’aide de dixièmes et centièmes, lecture d ’abscisses de points, placement de points

•  introduction du grand carré unité partagé en 100 carrés. Chaque petit carré représente , chaque ligne représente à la fois et .

•  familiarisation avec le codage sur ce carré des fractions inférieures à 1 ( )puis supérieures à 1

110010

100110

23100

3) Quelle introduction au CM1?

3) Quelle introduction au CM1?

•  ce support, permettant de coder toutes les fractions, inférieures ou supérieures à 1(avec un carré unité ou plusieurs carrés unités), sera utilisé pour décomposer des écritures comme :

mais aussi

•  on introduira alors la convention d’écriture avec la virgule, écriture commode inventée au 17ème siècle : peut aussi s ’écrire 1,23 qui se lit « 1unité et 23 centièmes » ou « 1 unité 2 dixièmes et 3 centièmes » ou « 1 virgule 23 ».

123100

= 1+23100

123100

= 1+210

+3

100

123100

= 1+210

+3

100

3) Quelle introduction au CM1?

C’est le carré unité qui sera le support pour comparer

et et permettre le passage de l ’écriture fractionnaire à l ’écriture à virgule. Pour écrire avec l ’écriture à virgule , je colorie d ’abord 200 petits carrés, donc je remplis complètement 2 grands carrés unités et aussi 5 lignes (donc 5 dixièmes ) et 7 petits carrés (donc 7 centièmes). Ce nombre s ’écrit donc aussi: 2,57. Un affichage permanent montrera un exemple de passage d ’une écriture à l ’autre (dans les deux sens)

257100

310

27100

3) Quelle introduction au CM1?

•  une fois l ’écriture à virgule introduite, on va prolonger le tableau de la numération entière en rajoutant les colonnes et (et on ne pourra se contenter d ’écrire en lettres « dixièmes » et « centièmes » : l ’écriture fractionnaire est indispensable longtemps)

•  et on va à nouveau reprendre la droite graduée pour travailler le lien entre 1,2 et , entre 0,7 et , entre 2 et . Même chose avec les centièmes

•  il reste à comparer et ranger des nombres en écriture à virgule, en ne se limitant pas à des nombres au même format

110

1100

1210

71020

10

4) Quelle étude au CM2?

•  On ne répète pas l’étude du CM1: on reprend l ’étude en proposant des exercices sur la droite graduée avec des nombres en écriture fractionnaire ou à virgule, on reprend les grands carrés unités de 100 carreaux pour le passage d’une écriture à l’autre, on poursuit les comparaisons et les rangements de nombres, on dicte des nombres lors des séances de calcul mental

•  On introduit les millièmes. On prolonge encore le tableau de la numération et on reprend les mêmes types d ’exercices que ceux faits avec les dixièmes et les centièmes

4) Quelle étude au CM2?

•  On va consolider des capacités autour de la décomposition d’un nombre en écriture fractionnaire sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1et poursuivre la systématisation du passage d’une écriture à une autre, l’encadrement d’une fraction entre deux entiers consécutifs, l’addition de fractions de même dénominateur

•  On va poursuivre le travail sur la droite graduée, les comparaisons et rangements de nombres décimaux et on décomposera un nombre décimal sous la forme : 23,475 = 2x10 + 3x1 + 4x0,1 + 7x0,01 + 5x0,001

5) Conséquences sur les progressions annuelles

•  Les acquisitions sur la numération entière sont lentes et progressives pour de nombreux élèves : laissons-leur le temps nécessaire . Il est difficile en sixième de revenir sur ces apprentissages maîtrisés par la grande majorité des élèves alors que le programme fait la part belle aux écritures fractionnaires et à virgule.

•  Le calcul mental apporte une aide précieuse pour les apprentissages de numération et donne l’occasion de les entretenir

5 ) Conséquences sur les progressions annuelles en numération au CM1 et au CM2

•  les apprentissages en numération sont nombreux et nécessitent beaucoup de temps

•  les apprentissages en calcul sont nombreux au CM1: - addition et soustraction de deux décimaux,

- division de deux entiers •  il faut laisser du temps pour tous ces apprentissages

(numération et calcul), d’où la nécessité de débuter l’étude des fractions tôt dans l ’année

5) Conséquences sur les progressions annuelles en numération au CM1 et au CM2

•  Il s’agit donc de ne pas traiter toute la numération entière avant d ’aborder la numération fractionnaire et décimale. Il est inutile de savoir lire et écrire un grand nombre tel que 20 030 051 007 pour comprendre ce qu’est un dixième…

•  Au CM1, à la rentrée, réactiver et consolider des capacités autour de la compréhension de la valeur des chiffres dans l ’écriture d ’un nombre, comparer des entiers et dès octobre/novembre, aborder les fractions.

•  Double but : prendre du temps pour enseigner fractions et décimaux et en avoir pour le calcul en fin d’année

5) Conséquences sur les progressions annuelles en numération au CM1 et au CM2

•  Bloc « numération entière » fractionné en plusieurs parties, dont une en fin d ’année, une fois les décimaux introduits

•  Penser à entretenir les capacités acquises en numération entière quand on traite la numération fractionnaire ou décimale et vice-versa : le calcul mental est un bon moyen !

5) Conséquences sur les progressions annuelles en numération au CM1 et au CM2

•  Les nombres connus sont les nombres entiers, fractionnaires et décimaux : on reprend leur étude dès le début de l ’année, sans « organiser » l ’oubli du travail fait par les collègues de CM1et on alterne des temps de travail autour de la numération entière et des temps, plus nombreux, autour de la numération fractionnaire et décimale.

•  Pendant tout le CM2, on continue de travailler l’articulation écriture fractionnaire/écriture à virgule qui sera encore au cœur de la progression de la classe de sixième

En guise de conclusion...

En guise de conclusion…(1)

•  Les compétences en numération se construisent durablement à plusieurs conditions : - les élèves comprennent le système d ’écriture - les nombres sont des outils pour résoudre des

problèmes -on effectue des calculs avec les nombres et, en

particulier, du calcul mental •  Il y a interaction entre la construction des

compétences en calcul mental et des compétences en numération

En guise de conclusion…(2) •  Le programme a revu à la baisse les exigences en

calcul : la multiplication de deux décimaux est étudiée en sixième.

•  La division décimale de deux entiers et la division d’un décimal par un entier sont introduites au CM2 et longuement reprises en sixième

•  Ce n’est qu’en cinquième qu’est abordée la division de deux décimaux.

En guise de conclusion…(3)

Le programme de la classe de sixième consacre encore beaucoup de temps aux capacités étudiées au CM1 et au CM2 sur la décomposition canonique d’un nombre, sur le passage d’une écriture à l’autre, sur la graduation d’une droite, sur la comparaison de décimaux et sur les opérations avec les décimaux.

Le message est clair : privilégier la compréhension !

Ressource utilisable pour construire une progression sur les décimaux : « S’entraîner au calcul mental CM » Jean- François Quilfen, Retz