Giansalvo EXIN Cirrincione

unité #4

Déterminer, en un point M à l’instant t, le champ électromagnétique (le couple E (M, t), B (M, t)) créé par des distributions de charges et de courants données dans un domaine et définies par (P, t) et j (P, t) avec P .

21 uuu 21 uuu

0rot 1 u 0rot 1 u 0div 2 u 0div 2 u

Ku rotgrad Ku rotgrad

udiv udiv KKu divgradrot KKu divgradrot

0div

t

j 0div

t

j

équations de Maxwelléquations de Maxwell

0div B 0div B t

BE

rott

BE

rot

régime variable

0

div

E0

div

EjB 0rot jB 0rot

régime statique

0div j 0div j

t

EjB 00rot

t

EjB 00rot

équations de Maxwelléquations de Maxwell

0

div

E0

div

EjB 0rot jB 0rot

régime statique

t

EjB 00rot

t

EjB 00rot

courant de déplacement

0div

t

j 0div

t

j

0divdiv 0

t

Ej 0divdiv 0

t

Ej

t

Et

div0

tE

t

div0

Nous gardons le théorème de Gauss alors que nous devrons renoncer à ce que le champ électrique d’une charge ponctuelle soit, dans le cas général, coulombien.

Il ne correspond pas à un Il ne correspond pas à un déplacement de chargesdéplacement de charges

équations de Maxwelléquations de Maxwell

équations de Maxwelléquations de Maxwell

0

div

E0

div

E 0div B 0div B

t

BE

rott

BE

rot

t

EjB 00rot

t

EjB 00rot

Théorème de Gauss

B à flux conservatif

Loi de Faraday Théorème d’Ampère généralisé

Force de Lorentz

équations de Maxwelléquations de Maxwell

0

div

E

0div B

t

BE

rot

t

EjB 00rot

t

AVE

AB

grad

rot

VA,

BE,

t

VA,grad

jaugejauge

Au niveau des phénomènes observables, il y a invariance de jauge.

équations de Maxwelléquations de Maxwell

0

div

E

0div B

t

BE

rot

t

EjB 00rot

VA,

BE,

t

VA,grad

jaugejauge

0div 00

t

VA Jauge de LorentzJauge de Lorentz

généralisation de la jauge de Coulomb

Équations aux potentiels

t

AV

tj

AAAB

grad

divgradrotrotrot

000

0

graddivdiv

t

AVE

t

VAj

t

AA 0002

2

00 divgrad

t

VA

tt

VV 00

02

2

00 div

condition de Lorentzcondition de Lorentz

Équations aux potentiels

t

VAj

t

AA 0002

2

00 divgrad

t

VA

tt

VV 00

02

2

00 div

condition de Lorentzcondition de Lorentz

jt

AA 02

2

00

02

2

00

t

VV

Équations aux potentiels

jt

AA 02

2

00

02

2

00

t

VV

0022

2

2

11 ctc

opérateur dalembertienopérateur dalembertien

0

0

V

jA

SS

P

P

dr

cr

tPjtMA

dr

cr

tPtMV

,

4,

,

4

1,

0

0

P

P

dr

cr

tPjtMA

dr

cr

tPtMV

,

4,

,

4

1,

0

0

Potentiels retardés

P (t-r/c)

r

M,tP1

P2

P3

M1

M2

Équations résolues pour les champs Équations résolues pour les champs EE et et BB

t

BE

rott

BE

rot

Btt

BEEE rotrotdivgradrotrot

Btt

BEEE rotrotdivgradrotrot

t

Ej

tEE 000divgrad

t

Ej

tEE 000divgrad

t

j

t

EE

00

2

2

00 grad1

t

j

t

EE

00

2

2

00 grad1

Équations résolues pour les champs Équations résolues pour les champs EE et et BB

t

BE

rott

BE

rot

t

EjBBB

000rotdivgradrotrot

t

EjBBB

000rotdivgradrotrot

t

j

t

EE

00

2

2

00 grad1

t

j

t

EE

00

2

2

00 grad1

t

B

tjE

tjB

0000rotrotrot 00

t

B

tjE

tjB

0000rotrotrot 00

jt

BB rot02

2

00

jt

BB rot02

2

00

O

Source radioactive sphériqueSource radioactive sphérique

La source éjecte radialement autour d’elle des particules qui donnent naissance à un courant à symétrie sphérique, de densité j ( r, t ) en un point M à l’instant t .

La source éjecte radialement autour d’elle des particules qui donnent naissance à un courant à symétrie sphérique, de densité j ( r, t ) en un point M à l’instant t .

La symétrie impose au champ La symétrie impose au champ magnétique d’magnétique d’être nulêtre nul

0div

t

j

0

,,4 2

t

trQtrjr

trQtrEr ,,4 20

0j

t

E

t

EjB 00rot

0rot B