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I. ETUDE THEORIQUE DE LA FLEXION SIMPLE

Dans toute section droite, on a:

( = E (Cette sollicitation est en fait une sollicitation compose d'un cisaillement pur: Ty et d'une flexion pure Mfz.

I.1. Equations dquilibre

Nous tudierons ici les quations d'quilibre gnrales d'un tronon de poutre limit par une section droite S quelconque.

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

EMBED Equation.2

Le torseur de cohsion s'crit:

Nx:Effort Normal la section droite

Ty:: Effort tranchant selon y

Tz: Effort tranchant selon y

Mtx: Moment de torsion daxe Gx

Mfy: Moment de flexion selon Gy

Mfz: Moment de flexion selon Gz

Gx, Gy et Gz tant les axes principaux d'inertie.

I.2. Hypothses

On considre une flexion simple dans le plan Gxy d'axe Gz et on a donc:

- Nx = 0 : effort normal la section droite

- Ty = 0 : effort tranchant selon y dans le plan de section droite

- Tz = 0 : effort tranchant selon z dans le plan de section droite

- Mtx = 0 : moment de torsion d'action Gx

- Mfy = 0 : moment de flexion dans le plan Gxz selon Gy

- Mfz = 0 : moment de flexion dans le plan Gxy selon Gz

On peut remarquer que la contrainte est partout uniaxiale, sauf au voisinage de l'encastrement et du point d'application de la force.

La loi de HOOKE donne: (x = E (xI.3. Contraintes

a) contrainte tangentielle

Elment de poutre le long du tronon de poutre isol

Donnes:

hauteur de la poutre: h/2 - y1largeur de la poutre: b

longueur de la poutre: dxS : section droite totale de la poutre

Sn : section droite du tronon isol h/2 - y1dSn : surface lmentaire de la section droite

Sl : section longitudinale

dSl = dx.dz

On appelle:

T : effort tranchant (T= dMf/da)

IGz : moment quadratique d'inertie par rapport Gzb : largeur de la poutre

mst : moment statistique de la section droite du tronon isol par rapport y. On :

(Fext=0

N2-N1-(b(x = 0

z/Iz(M1-M2)= (b(x

( =

Nous allons maintenant tudier l'quilibre d'un lment de longueur dx et de hauteur

h/2 - y1.

dou z=b/2(h2/4-y12) et

( =6T(h/4-y12)/bh3(MAX=3T/2b.h

Pour la section rectangulaire, la contrainte tangentielle varie paraboliquement:

b) Contrainte normale X

Or (x=k1y , car on a une dformation angulaire

do

do

do

I.4. Effort tranchant

x = E * xdonc dx / dx = E * (dx / dx)

x = (Mf / I) * y

donc dx / dx = (dMf / dx) * (y/I)

d'o : E * (dx / dx) = (dMf / dx) * (y/I)

d'o : dMf / dx = (E*I)/y * (dx / dx)

or T = dMf / dx donc

T = (E*I)/y * (dx / dx)

On a donc : T = K2 * (x / dx)

avec : K2 = (E*IGz)/y

II. ETUDE EXPERIMENTALE

II.1. Etude statique: calcul des actions en A

Fext = 0

M(Fext/A) = 0

Donc VA - P = 0

HA = 0

MA - PL = 0

D'o

VA = P

HA = 0 MA = PL

II.2. Elments de rduction

Effort tranchant:

T = -P (avant B)

T= 0 (aprs B)

Moment flchissant:

Mf = -Ma + Px

Mf = -PL + Px (avant B)

II.3. Dformation

Equation de la dforme:

EI * y"(x) = -Mf = PL - Px

EI * y'(x) = PLx - Px/2 + c1EI * y(x) = PLx/2 - Px3/6 + c1x + c2En A, on a y(0)=0 et (0)=0

En effet, on est dans le cas de l'encastrement.

Donc, c2=0 et c1=0.

D'o v(x) = y(x) = PLx/2EI - Px3/6EI

En B (x=L), on a vb(L) = PL3/2EI - PL3/6EI

vb = PL3/3EI

ETUDE EXPERIMENTALE

Ce TP possde deux buts distincts:

- A partir de la connaissance de la charge, on va dterminer la force qui est son origine et les contraintes qui en rsultent.

- On va aussi dterminer les caractristiques mcaniques d'une poutre.

I. POUTRE CONSOLE E-105F

Il s'agit d'une poutre encastre en A et charge en B

Caractristiques de la poutre:

E = 71000 N/mm

h = 3 mm

b = 25 mm

IGz = bh3/12 = 56,25 mm4JaugesFacteur KPosition

12.095C

22.095D

32.095E

I.1. Manipulation

On charge l'prouvette l'aide de la vis micromtrique en imposant une flche vb = 9,5 mm. On relve alors les dformations aux points D, E et C.

RESULTATS

vb = 9,5 mm.

x(C) = 597 m/m

x(D) = 405 m/m

x(E) = 197.67 m/m

I.2. Interprtation des rsultats

a) Calcul de la charge P

On a vu que T = P = K2 x/dx = E IGz/y * x/dx

P1-2 = (E IGz) / y * x12 / x12 = -5,363 N

P2-3 = (E IGz) / y * x23 / x23 = -5,791 N

On peut donc en dduire:

Pmoy = -5,577 N

b) Exploitation de la courbe

c) Recherche de la valeur de P

vB = PL3/3EI

P = vB*3EI/L3P = (3*71000*56,25*9,5) / 2503

P = 6,1 N

d) Comparaison des 3 valeurs obtenues

On a P = 5,577 N

P = 5,698 N

P = 6,1 N

P = 5,79 N

Le rglage de la vis micromtrique tant dlicat, c'est la valeur obtenue partir de la flche qui est la moins prcise.

e) Contrainte normale en C

c = (M/z / IGz )* y

avec: y = h/2 = 1,5 mm

IGz = 56,25 mm4 Mf = -PL + Px = 7,06 * (250-25) = 1589 Nmm

c= 42,37 N/ mmd'oc = E * (x(C)

c = 71000 * 597.10-6 c = 42,39 N/mm

Donc, moy = 42,38 N/mm

Les valeurs sont trs voisines.

La flche n'intervient pas dans le calcul et n'introduit pas d'erreur.

II. POUTRE CONSOLE EF-102-F

On a:

b = 25 mm

h = 6 mm

IGz = bh3/12 = 450 mm4

Il y a, colles la poutre, deux jauges d'extensiomtrie:

K1 = K2 = 2,09 0,5 %.

Sur la face suprieure, il s'agit d'une jauge longitudinale en Cs et sur la face infrieure, d'une jauge transversale en Ci.

II.1. Manipulation

On charge progressivement l'prouvette et on relve les valeurs x(Cs) et x(Ci). La charge varie de 0 3 kg de faon croissante et progressive de 0,3 kg en 0,3 kg.

II.2. Interprtation des rsultats

a) Module d'lasticit longitudinal E

On trace la courbe x = f(x)

x=(Mf/ Igz)*y(max)

=(m* 9,81* 200 /450) *3* 10-3= 13,079 * m

et x= E * xDo, on en dduit graphiquement E. (Voir le graphique)

E= 68 232 MPa

b) Coefficient de poisson

On trace z = f(x)

Valeur du coefficient de Poisson:

Par dfinition, ( = z / x , c'est dire la pente de la droite.

a= 0,32

Ce coefficient est trs proche du coefficient de Poisson de l'acier: environ 0,3.

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