INTRODUCTION AU CALCUL DES STRUCTURES ... - INSA de Lyon

INTRODUCTION AU CALCUL DES STRUCTURES SOUMISES A LA FATIGUE

Cours

Auteur de la Ressource PédagogiqueJ. BAHUAUDM. BOIVIN

3, 4 et 5 GMC

Année de création : 1971

INTRODUCTION AU CALCUL DES

STRUCTURES SOUMISES A LA FATIGUE

par

J. BAHUAUD

Maître de Conférences

et

M. BOIVIN

Assistant

LABORATOIRE DE MECANIQUE DES SOLIDES

Département de Génie Mécanique

I.N.S.A. (LYON)

SOMMAIRE :

- Introduction

- Sollicitations

- Limite de fatigue

- Sensibilité d'entaille

- Effet d'échelle et de surface

- Matériaux ductiles : sollicitations simples

- Matériaux ductiles : sollicitations composées

- Matériaux fragiles

- Dommages cumulés

Conférence faite le 3 février 1969 dans le cadre de la Session dePerfectionnement organisée par le C.A.S.T sur la fatigue des Métaux etdes Structures.

© [M.BOIVIN J.BAHUAUD], [1969], INSA de Lyon, tous droits réservés.

NOTATIONS PRINCIPALES

a : contrainte normale

T : contrainte tangentielle

a : contrainte maximummax

a . : contrainte minimummin

a : contrainte normale moyennem

a . , : contrainte normale alternée symétriquea

T : contrainte tangentielle moyenne

T : contrainte tangentielle alternée symétriquea

a : limite élastique en traction statiquee

T : limite élastique en torsion statique

a_ ou ^, : résistance à la rupture en tractionK nu

a-p : résistance à la rupture en compression

i: : résistance à la rupture en torsionR

a : limite de fatigue en flexion alternée

: limite de fatigue en torsion alternée

: contrainte nominalen

a : contrainte initialeo

S : amplitude de la sollicitation alternée symétriquea

S : valeur de la sollicitation moyenne

a : coefficient de sécurité

r : coefficient du cycle

k : coefficient de concentration de contrainte théorique~D

k : facteur effectif

e : coefficient de qualité de surfaces

£ T : facteur d'échelleech

q : facteur de sensibilité à l'entaille


- 2 -

1 - INTRODUCTION :

Dans le texte q_ui suit, nous nous emploierons à faire

une synthèse des éléments qui peuvent servir de point de départ

au calculateur pour l'étude d fune structure soumise à la fatigue.

Nous examinerons donc comment nous parviennent les ré-

sultats des essais de fatigue en nous efforçant, chaque fois qu'il

sera nécessaire, de bien préciser les différentes définitions des

éléments du calcul. L fidée directrice a été de se ramener, quel

que soit le type de sollicitation, au seul diagramme d'endurance

obtenu à partir du résultat des essais en flexion rotative et

traction pure statique. Partout un souci constant de simplicité

et d'efficacité nous a permis de faire le choix dans l'utilisation

des faits expérimentaux.


'- 3 -

2 - SOLLICITATIONS :

2 - 1 - Généralités (1)

Un corps est dit sollicite lorsqu'il est soumis à desactions extérieures ou sollicitations qui sont d'ordre mécanique,thermique, physico-chimique, ...

Suivant leur succession dans le temps, on distingue par-mi les sollicitations : les sollicitations constantes et les sol-licitations variables, parmi lesquelles on différencie :

- les sollicitations à variation régulière ;"• les sollicitations à variation brusque ;- les sollicitations à variation percussive ;- les sollicitations périodiques ;- les sollicitations non périodiques ou aléatoires.

On nomme cycle de sollicitations, ou par abrégé, cycle,la succession des sollicitations appliquées au corps au cours d'unepériode d'une sollicitation périodique considérée.

Une sollicitation périodique à variation régulière estsinusoïdale lorsque les forces qui la constituent varient selonune fonction sinusoïdale du temps.

Les sollicitations périodiques, sinusoïdales ou non,peuvent être :

- ondulées, lorsque les valeurs extrêmes qu'ellesprennent ont le même signe ;

— répétées, lorsque les valeurs qu'elles prennentvarient, chacune entre zéro et une valeur donnée ;

- alternées, lorsque les valeurs qu'elles prennentvarient entre des limites données ayant des signesopposés. Elles peuvent être symétriques ou dissy-métri que s.

2 - 2 - Caractéri st iques d'une sollicitation périodique (2)

Considérons par exemple la loi de variation de la con-trainte principale a en fonction du temps t . (fig. 1).


Figure 2

- Il -

Soient a et a • ^es contraintes maximale et mi-max min

nimale du cycle. Leur rapport est le coefficient du cycle :

ar =

min

max

Si r = - 1 , le cycle est alterne symétrique.

r = 0 ou HH oo , le cycle est répété ( puisât oire ).

Des cycles qui ont même coefficient sont dits cyclessemblables.

Un cycle quelconque peut être représenté comme la super-position d'une contrainte constante ou contrainte moyenne a etd'une contrainte symétrique d'amplitude a :

ci

a + amax min / 0 \a m - ~ (2j

a = a max g min , va 2 (:5}

On admet universellement que l'endurance d'une pièce nedépend pas de la loi de variation dans l'intervalle entre v eta . . C'est pourquoi on ne distingue pas entre, par exemple, les


- 5 -

sent des fluctuations irrégulières. Dans la majorité des cas, lagrandeur et la fréquence des sollicitations suivent une loi par-ticulière de distribution qui peut être définie par analyse sta-tistique d'un nombre suffisant de valeurs mesurées.

2 - 3 " 1 " Spectres de sollicitation.

La figure 3 représente la variation dfamplitude d'unesollicitation (contrainte, déformation...) autour de sa valeurmoyenne S . si l'on porte sur un diagramme, en abscisse la compo-sante alternative S et en ordonnées la fréquence f d'une valeur

particulière de S (nombre de fois où l'on rencontre cette valeurde S divise par le nombre de fois où la sollicitation est maxi-mun dans l'intervalle considéré, ou ce gui revient au même, lenombre de "cycle à sollicitation alternative S Tî sur le nombretotal de cycles pour la période considérée) on obtient l'histo-gramme de la loi de distribution des sollicitations alternativesS , C'est le spe,ctre de sollicitation (fig. k) ; il caractérise

le type de sollicitation.


- 6 -

Dans les essais d'endurance, on réalise des programmesqui reproduisent le plus fidèlement possible le spectre de solli-citation obtenu en service réel. Deux méthodes peuvent être em-ployées :

- réalisation continue ;

- réalisation par blocs d fondes sinusoïdales d'ampli-tude constante.

2 -* 3 ~ 2 - Réalisation continue :

'Nous renvoyons à la conférence de M. DARREL R. HARTINGet signalons aussi l'article de HEAD , A.K. et HOOKE, H.F. (3).

2' - 3 - 3 - Réalisation par blocs d'ondes sinusoïdales d'am-plitude constante :

Mous raisonnons sur un exemple emprunté à.GASSNER, E.(U

Partant du spectre de contrainte, on trace sur papiers emi -logar i t hmi que la courbe, des fréquences cumulées obtenue enportant a (ou a / cf , cf étant la contrainte alternativemaximum)en fonction du nombre total de cycles pour lesquels lacontrainte alternative est ^ cr (fig. 5)-* a

CUHUiAirVE STUESS FHEQUENCY,//

a *«/?« «fsittst //.

Figure 5

Ensuite cette distribution continue des contraintes estremplacée par une distribution à plusieurs niveaux (ici 8) quipermet dTobtenir un cycle à programme (fig. 6).


- 7 -

Figure 6

La sollicitation aléatoire est alors caractérisée par lecycle à programme et la contrainte" a

3 - LIMITE DE FATIGUE OU D'ENDURANCE :

La plupart des ruptures dans les machines et les véhicu-les sont le résultat de la fatigue due à des sollicitations varia-bles et sont rarement le résultat d fune charge constante imprévue.Les ruptures dues à un défaut dans le matériau sont aussi peu fré-quente s .

La contrainte limite d'endurance ou de fatigue a pourun matériau, est la valeur de la contrainte alternée symétriqueq_u fune éprouvette peut supporter un nombre illimité de fois sansse rompre par fatigue (fig. 7).


Le symbole cr ̂ représentera dans ce qui suit , la con-trainte déterminée par machine de flexion rotative avec l'éprou-vette chargée en flexion pure.

Parfois l!essai est fait sur des machines qui appliquentune contrainte axiale alternée symétrique en traction-compression.Cette contrainte est différente de celle obtenue en flexion rotati-ve et est inférieure de 10 à 20 % a o (voir paragraphe $)•

Les êprouvettes'ont généralement une surface rectifiéeet sont sans entaille.

En portant sur un diagramme le nombre N de cycles enabscisses et la contrainte correspondante en ordonnée, on obtient,avec une assez forte dispersion, la courbe a- N ..(ou courbe S - Ijl ,S : stress, N : number of cycles) ou courbe de WOHLER (5) (fig- 8).

Figure 8

Les métaux ferreux ont une valeur bien définie pour aPar contre, les non ferreux, tels que les alliages d'aluminium,n'atteignent jamais une valeur limite pour la limite d Tenduranceet la contrainte qui peut être supportée reste une fonction dunombre de cycles de !Tessai. Pour ces matériaux, on a été amenéa définir une limite conventionnelle de fatigue, pour laquelle iln'y ait pas rupture avant 108 cycles.

Pour des contraintes de flexion alternée, la courbe a - N|peut être approchée, d'après PETERSON (6), par une ligne droitesur papier bilogarithmique, allant de la charge de rupture aR a1C)3 cycles à la limite de fatigue a a 10° cycles (fig. 9).


- 9 -

Figure 9

Les équations reliant alors la contrainte symétrique aet le nombre de cycles a la rupture N sont :

aR / \ \

CT a = (10

__ 1 ie ( a / a )I N H 3 g l R ' -r|_1000_|

-a ~ 3 / 1g (a /a )N = 1000 — A I

L°aJ (5)

En fait, souvent on approche la courbe de WOHLER parune droite, non pas en coordonnées bilogarithmiques, mais encoordonnées semi-logarithmiques, la contrainte a étant portéeen fonction.de 1g N. a

Pour des aciers traités, ° est approximativementégale à la moitié de la charge de rupture a .

R

Remarques :

1) Le diagramme qui vient d!être défini pour la sollici-tation alternée symétrique se généralise pour tous les genres desollicitations périodiques. Il suffit par exemple de choisir^constant et d fétudier comme ci-dessus la variation de a

max


' - 10 -

avec le nombre de cycles. On constate encore l'existence d'unelimite dfendurance correspondant à, la valeur de a qu'on s'estimpos ée.

2) Dans les essais de fatigue courants, on ne réaliseque des essais correspondants à plus de 10000 cycles avant rup~ture. Cependant, pour des matériaux destinés à des structures tel-les que les réservoirs sous pression, l'étude de la courbe a - Ndans le domaine des petits nombres de cycles ( 1 < n < 1C)M oùle phénomène de fatigue est accompagné de déformations plastiques,est intéressante. C'est la fatigue plastique.

^ - SENSIBILITE D'ENTAILLE :

Nous donnons ici uniquement les définitions principaleset renvoyons pour les détails a la conférence de M. BARROIS.

Des expériences ont montré que la réduction réelle dela résistance à la fatigue à partir de la concentration de con-trainte due aux entailles et d'une façon générale, aux changementsbrusques de section, est souvent moins importante que la quantitéindiquée par le facteur théorique de concentration de contrainte.

THUM et BANTZ (7) ont défini les premiers plusieurscoefficients ou indices caractérisant l'entaille et la sensibili-té du métal à l'effet d'entaille.

- le facteur de concentration de contrainte théoriqueou indice de forme k est défini comme étant le rapport de lacontrainte statique maximum au fond de l'entaille à la contraintnominale déduite des formules de résistance des matériaux. Soit p

k = ° max (6)t a n

Un exemple de ces contraintes est donné (fig. 10) pourune êprouvette entaillée, en flexion.


Ce facteur théorique s'applique à un matériau idéalqui est parfaitement homogène, isotrope et élastique. Les valeursnumériques sont obtenues mathématiquement ou par photoêlasticitéet jauges. PETERSON (8) donne des tableaux de variation du fac-teur k pour différents types d'entailles.

"G

- le facteur effectif de concentrât ion de contrainteou indice d'effet d ' e n t a il1e k est défini comme étant le rapportde la limite d fendurance d'un échantillon lisse a par la li-mite d'endurance de l'échantillon possédant des foyers de concen-tration de contraint es G)' soit :

ak, = 1̂ (Y)

a'-i

Le facteur effectif est donc obtenu dans les matériauxréels. Il dépend largement de la grosseur du grain du métal etpar conséquent de la résistance à la traction du matériau.

Il est très difficile d'extrapoler les résultats desdonnées de fatigue et de les appliquer à des conditions différenttes de celles de l'essai réel. La question peut être mieux abordéeen introduisant un troisième coefficient:

- le facteur de sensibilité d'entaille ou indice desensibilité à l'entaille q.

La sensibilité d'entaille est la susceptibilité d'unmatériau de succomber aux effets de dommage des entailles en char-gement de fatigue. Le facteur de sensibilité d'entaille q est lerapport de l'accroissement de la contrainte réelle par rapport àla contrainte nominale, à l'accroissement de la contrainte théori-que par rapport à la contrainte nominale, soit :

kfCTn -°n (8)q k a - a

t n n

d'où la relation liant les 3 coefficients :

kf = 1 + q (kt - 1) (9)

La grandeur du coefficient q dépend principalement despropriétés du matériau. Ainsi, on peut poser pour les aciers alliésque q est voisin de l'unité. Pour les aciers de contruction, enmoyenne, q = 0,6 à 0,8, les plus grandes valeurs de q correspon-dant aux aciers plus résistants. Pour la fonte, q- 0 et k_p - 1.


- 12 -

5 - EFFET D'ECHELLE ET DE SURFACE :

5 - 1 - Influence de l'état de surface (2 ) .

La rupture en fatigue ayant son origine dans la formatiord fune faille locale, on comprend le rôle de l'état de surface quantà l'endurance. Il est tout a fait évident que lfendurance d funepièce croît dans le cas d'une surface propre et finement usinée etque5 pour les matériaux très sensibles aux contraintes locales,l'influence de l'état de la surface est plus notable.

Lors des calculs d'endurance, les particularités d'usi-nage de la surface d'une pièce entrent en ligne de compte au moyendu coefficient de qualité de la surface e défini -par :

s

0 -1 s (10)£ — !

s a _ 1

a étant la limite de fatigue pour des éprouvettes d'usinagestandard de la surface ; on prend d'ordinaire pour tel usi-

nage le rectifiage*

a _ - ^ es~t la limite ri 'endurance d'une éprouvette dont l'état des u r f a c e c o r r e F; p o n d à 1 'état de s u r f a c e de la pièce calcu-

lée. On a regroupé sur la fig. 11 les valeurs approximatives ducoefficient de qualité de la surface de différents aciers enfonction de la limite de résistance.

Le coefficient de qualité des éprouvettes rectifiées a'été posé égal à l'unité (droite 1), La droite 2 concerne les éprou-vettes à surface polie. La droite 3 concerne les éprouvettes dont


- 1 3 -

la surface a été usinée à l'outil de coupe. La droite k donneles valeurs du coefficient de qualité d'une surface possédant defins sillons et la droite 5 est relative aux surfaces non usinéesaprès laminage. Les droites 6 et 7 donnent les valeurs de es

pour des surfaces qui ont sub'i la corrosion dans l'eau potable et1'eau de mer.

5 - 2 - Influenee des dimensions de la pièce.

La valeur de la limite de fatigue dépend des dimensionsabsolues des êprouvettes. L'explication en est que la rupture parfatigue est déterminée non seulement par les contraintes auxpoints les plus vulnérables mais encore par le gradient de con-traintes en ces points.

Le rapport de la limite de fatigue d'une pièce ^ _,et de la limite de fatigue de pièces de dimensions standard(d = 8 à 12 mm) est appelé facteur d'échelle :

r - ^ -1P / 1 - \£ éch - a / ( 1 1 )

— 1

L'influence du gradient de contrainte a pour effet dediminuer la limite de fatigue des pièces quand leurs dimensionsaugmentent. C'est aussi la même influence du gradient de con-trainte qui donne des limites de fatigue plus élevées en flexionrotative qu'en traction - compression altern.ée, cette différenceétant en général comprise entre 10 et 20 % .

L'allure de la dépendance du facteur d'échelle en fonc-tion du diamètre d'un arbre travaillant à la flexion et à la tor-sion est donnée sur la figure 12.


- 11+ -

La courbe 1 a été obtenue pour l'acier au carbone enl'absence de contraintes locales. La courbe 2 correspond à l"'a-cier allié ( a - 10 000 à 12 000 kg/cm2) en l'absence de con-centration de contraintes et a l'acier au carbone pour des concerrtrations modérées. La courbe 3 concerne l'acier allié ayant desconcentrations de contraintes et la courbe h des aciers avec ungrand degré de concentration de contraintes. Comme il résulte deces courbes? le facteur d'échelle est plus accentué lorsque lescontraintes locales sont plus grandes.

6 - MATERIAUX DUCTILES — SOLLICITATIONS SIMPLES :

6 - 1 - Contraintes normales alternées symétriques.

Quand le matériau est chargé par une contrainte normalealternée symétrique (fig. 13)» la

Figure 13

limite d'endurance cr est le critère de rupture.

La contrainte de travail doit être calculée en tenantcompte du facteur de concentration de contrainte en fatigue, etdes coefficients de surface et d'échelle. Il y a lieu de distin-guer deux cas :

1) Flexion pure :

La contrainte de travail est prise égale à :

kf °a— — (12)es £éch


- 15 -

2 ) Traction - compression pure :

La contrainte de travail est aussi donnée par la formu-le précédente, mais en prenant un facteur d'échelle qui soit le rap-port des limites de fatigue obtenues respectivement en traction -compression et en flexion rotative. Ce facteur d'échelle est alorsgénéralement compris entre 0,9 et 0,8.

En définitive, le coefficient de sécurité est donné par

.a . -,a = !

kf °a (13)es £éch

6 - 2 - Contraintes normales, statique et alternée symétrique,c omb inée s.

Nous avons vu (paragraphe 2) que lorsque la contrainten'est pas alternée symétrique, elle peut être divisée en une compo-sante moyenne a et une composante alternée symétrique ° telleque la contrainte maximum soit o + o et la contrainte minimuma . a m am a *

Nous avons vu aussi (paragraphe 3) qu fà chaque valeur dea correspondait une limite de fatigue a . Lfensemble de cesn u . . , ^ . ̂ • , max ^ , . «limites, pour un même matériau, peut se représenter sur dif-

férents diagrammes appelés diagrammes d T endurance.

6 - 2 - 1 - Diagramme de GOODMAN (9) et SMITH (10).

On porte a et a . en fonction de a . La figure 1^max ' min mschématise un tel diagramme (11).


• - 16 -

On a suppose sur la figure précédente que le diagramme deGOODMAN était symétrique par rapport à l'origine des coordonnées,c'est-à-dire que le matériau présentait la même résistance à la fa-tigue quand $ > 0 ou G < 0.

m m

L'expérience montre que la résistance à la fatigue estplus grande pour a < o. Pour les aciers, l ?êcart est d'environ15 %• Pour les aciers très doux, il devient malaisé de définir laposition de F (pas de contrainte de rupture en compression).

Dans la zone où a > 0, on peut utiliser le diagrammede GOODMAN modifié. Il donne une bonne forme approchée du diagrammeréel (fig. 15).

Figure 15

On connaît G et a. . L f hori zont aj_e passant par a coupela 1ère bissectrice en G. La courbe AB est approchée par la droiteAB faisant un angle de U0° avec 1!horizontaie. De

amax amin°m = 2

on déduit les points D et A f .


- 17 -

En définitive, dès que a et ° sont connus, on peutconstruire le diagramme modifie. Les normes allemandes (12) don-nent ces valeurs pour une série d faciers normalisés utilisés enconstruction mécanique.

Une variante du diagramme de GOODMAN est celle utiliséepar W. BARROIS (13) ; il rend celui-ci adimensionnel en divisanttoutes les contraintes par la résistance à la rupture.

Les diagrammes précédents conduisent à des formules com-plexes de dimensionnement dans le cas où a ^ 0.

m

6 - 2 - 2 - Diagramme de SODERBERG.

Une autre façon de représenter les phénomènes es~c de por-ter a en fonction de a . Diverses approximations peuvent être

, . _ . a m ^ *uti11 s ee s .

- Sur le diagramme de GOODMAN, la courbe AC peut êtreremplacée par la droite AC. On obtient le diagramme de la figure16 (2). Ce diagramme est aussi utilisé pour les ° < 0. Enfin,notons que 1 f on peut approcher aus.si la courbe réelle d fenduranceABC dans le plan v , v par une parabone (Parabole de GERBER).

a m

- SODERBERG (iM a proposé de simplifier le problème enremplaçant, sur le diagramme de GOODMAN, ABG par la droite AG (fig*17).


Figure 17

II existe moins d fagrêment quant à la forme du diagrammede rupture a gauche de l'origine où la contrainte moyenne est unecompression (10). Nombre d fessais ont montre que le diagramme nechute pas aussi rapidement quand la pression moyenne augmente quelorsque la tension moyenne augmente et de nombreuses formes ontété proposées pour cette partie du diagramme d'endurance. Les cal-culs de contrainte peuvent, dans ce cas, être compliqués par lapossibilité de flambage. Toutefois, avec ces réserves, nous uti-liserons aussi le diagramme dans la partie négative destf obtenueen joignant A à G f , limite d'élasticité à la compression?

6 - 2 - 3 - Contrainte de travail et facteur de sécurité(15) (2) :

Construisons la droite de SODERBERG en partant des ca-ractéristiques mécaniques du matériau : cr et a (fig. 18).

Figure 1© [M.BOIVIN J.BAHUAUD], [1969], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 19 -

On porte sur ce diagramme les contraintes de travail,c'est-à-dire en abscisses, la contrainte moyenne et en ordonnées,la contrainte symétrique alternée, corrigée par les divers coef-ficients k , c et e c'est-à-dire :

i s ech

kf °a

£ €' ̂s ech

Soit P le point ainsi obtenu sur le diagramme d'endu-rance. Si P se trouve en dessous de AG, il est considéré apte àun service continu.

Le facteur de sécurité (ou coefficient d'endurance) peutêtre défini comme le rapport :

a = Qpt (1^)OP

P' étant l'intersection de OP avec AG.

Ainsi tous les points du segment QR passant par Pet parallèle à AG ont même coefficient de sécurité. Ceci inclutle point R de sorte que le coefficient de sécurité est égal à —.

Un

Le segment OR représente la contrainte statique équiva-*lent e G ̂

equ. vK r, O -

a _ a 4. f a . e MOequ- + U5;m e e as ech -1

ou encore :a a + B a f .^,equ - m a l i o ;

kfavec B = • -£ s £êch Q-1

Cette équation est parfois appelée l'équation de SODERE^R(Le coefficient de sécurité devient alors :

a = °e / °equ (17)


20 -

Notons que, si au lieu d'utiliser la droite de SODERBERGon utilise le diagramme de la figure 16 et si le point P! estsur la partie AB f , on peut utiliser les formules précédentes enremplaçant ° par ° .

6 - 2 - k - Effet des contraintes initiales.

Parfois il existe une contrainte initiale & 5 due autraitement thermique par exemple, dans la section pour laquelleles calculs sont faits. Les contraintes de travail sont super-posées à a .

Le facteur de sécurité doit être considéré comme lerapport par lequel il faut multiplier les contraintes de travaila et cr pour amener le chargement au point de rupture. Lam acontrainte ° reste évidemment constante (fig. 19).

Figure 19

0 ?P' = 0 'G0 f P 0 !R

,oit « . "* - °° . °e ' % (18)a + B a ^

m a ° equ

6 - 3 - Contraintes tangentielles.

Le diagramme dfendurance de la figure 18 de même que


- 21 -

l'équation de SODERBERG s'applique aussi aux contraintes tangen-tielles. Il est seulement nécessaire de remplacer les contraintesnormales par les contraintes tangentielles. Pour le calcul de B,on suppose généralement :

T e a—— = -B-2- (19)

-1 -1

où T et T sont respectivement la limite d'écoulement entorsion et la limite d'endurance en torsion alternée.

Ce qui revient à dire qu'il existe entre T et ale même rapport qu'entre T et a . L'expérience montre que""pour l'acier et l'acier couîé, la limite d'endurance en torsionalternée vaut en moyenne 0,58 fois la limite d'endurance en fle-xion alternée. ( 1 1 ) , (16) ; ce qui semble indiquer que le critèrede la cission octaédrique s'applique aux sollicitations alternées.Nous reviendrons sur ce point dans le paragraphe suivant.

7 - MATERIAUX DUCTILES - SOLLICITATIONS COMPOSEES :

7 - 1 - Contrainte équivalente et facteur de sécurité.

Quand l'état de contrainte est général et les différentescomposantes des contraintes variables (fig. 20) , lTéquation deSODERBERG donne les composantes du tenseur des contraintes équiva-lentes statiques sous la forme :

°11equ = CT11m + B11 °11a (20)

ai2equ = ai2m + B12 °12a (21)

k_p a

°ÛB,,=Hr- -r- < 2 2>s ech -1

kf T0B,2 = ̂- ̂ v <23)

s ech -1

Appliquant alors le critère de la cission octaédrique oude VON MISES (1T)9 nous pouvons en déduire la contrainte statique


- 22 -

uniaxiale équivalente telle que :

°^ " ?|[ftM.q» - «M.lu] 2 + [«22eîu - 033eqJ 2

+ [•»--•"...] * + 6[-a .a .W + '8.3.,.*.',,.J < 2

«fcj

Le coefficient de sécurité est alors :

Q

~°eqù (25)


- 23 -

Remarquons que la formule précédente appliquée à la flexionet torsion statique, a et T désignant les contraintes normale et tan-gentielle, conduit pour la limite d'élasticité (a = 1 ) à l'expres-sion :

/ a2 + 3 T 2 = ae (26)

et pour un essai de torsion, à la relation entre les limites d'élas-ticité en traction f et torsion T :

e e

T0 = 0,577 ae (27)

L'expérience montre (paragraphe 6 - 3 ) que les limitesd'endurance en flexion alternée a . et torsion alternée T

agissarît en phase, vérifient la même relation que a et T . On

pourrait donc pour le calcul, utiliser une contrainte alternéesymétrique équivalente a—•* * *— — e q u , a

Le calcul en sera fa i t au p a r a g r a p h e 9 et est de la f o r m a :

a = —' a „ „ - a + . . .e q u , a 1 1 e q u , a 2 2 e q u , a

+ 6 [ °12equ ,a + ' • • i ( 2 8 )

~J

°-1 kf°Ù al1equ,a ~ .0 CT11m + ë l ~ °11 (29)e s ech a

T-i kf°12equ,a = T~ ° 12m + e e , °i2a

( 3°)e s ech

Le coefficient de sécurité était alors :

a , -̂ LL_ (31)

equ , a


Les deux méthodes sont équivalentes puisque nous avons t

a T-JL_ = -Ê- (32)

°-1 T-1

Parfois, dans des chargements "bi ou tridimensionnel, lavaleur maximum d'une contrainte intervient au même instant que lavaleur minimum de l'autre contrainte. Cette situation devra êtreétudiée par le calculateur.

7 - 2 - Formule de GQUGH et POLLARD.

Un cas particulier important est celui d'une pièce sou-mise simultanément à flexion et torsion alternées agissant en pha-se. Si l!on désigne alors par a et T les contraintes normaleset tangentielles alternées, la contrainte statique équi-valente est, en prenant le coefficient kf / égal à 1is j j j \ ^ s e c n(eprouvette type) :

/_ _ _ T r ^ £

° = / -£- ~a + 3 -£- Ta (^)equ / a a . -̂ a UJ;

/ L-u L-U

ou e n c o r e , p u i s q u e :

x e = . o e / /~ ( 3 ^ )

a = o /"!jJ2 + "IsJ 2 ( 3 5 )

equ e t / a_ + T _

y "~ i ""I

Par conséquent, à la limite d'endurance (o , T ) a = 1 eta a

"a 1 2 FT " 2_q + [̂J - 1Cette loi a été trouvée expérimentalement par GOUGH et

POLLARD (18), (19) et est souvent appelée formule de GOUGH etPOLLARD.


- 25 -

7 " 3 - Autre aspect du problème.

Certains auteurs (20), (21) ont proposé de passer parl'intermédiaire de contraintes équivalentes, moyenne et alternéesymétrique, définies de la façon suivante :

2 _ 1 L - 1 2 +aequ,m 2 M 1m a22mj

n

+ 6 "o m̂ * ...J (3T)

I "*~ P

et a ' 2 = ^ a1 1 a "

appo + . . .equ,a ^ 1 1a ^^^

*'• [",2a + •••] (38>

Dans le diagramme d!endurance, les coordonnées du pointde travail sont alors :

a = om eq_u ,m(39)

a a1a = equ,a

Nous pensons que le cheminement n fest pas correct, caril ne permet pas en particulier, de tenir compte dans un cas réel,des facteurs de correction sur les composantes alternatives quipeuvent être différentes d'une contrainte à l'autre ; et d'aprèsles auteurs eux-mêmes, les résultats d'essais sont approximative-ment en accord avec l'expérience,

8 - MATERIAUX FRAGILES :

8 - 1 - Contrainte de travail et facteur de sécurité,

Le calcul est identique au calcul relatif aux maté-


- 26 -.

riaux ductiles mais évidemment compte tenu des particularités re-latives aux matériaux fragiles :

1 - Ceux-ci se rompent avec peu ou pas dfélongation.La résistance à la rupture a remplacera dans le diagramme deS-ODERBERG la limite d'élasticité.

2 - Inexpérience montre que la résistance à la com-pression est plus grande que la résistance à la traction. Nousnoterons : tf _ , la résistance à la traction et a ̂ la résistancev ., Et Rca la compression.

°Rt < °RC (^0)

3 - Inexpérience montre (11), (16) que pour les fon-tes, par exemple , le rapport entre les limites dfendurarice en tor-sion alternée et en flexion alternée, varie entre 0,77 et 1.

Ce rapport est égal a celui qui existe entre la chargede rupture en torsion et la charge de rupture en traction statique»On pourra donc admettre :

T-1 „ T R (In)a-1 " ° Et

k - Ce qui précède montre que les composantes alter-nées nfo"béissent plus au critère de VON HISES mais qufelles peu-vent se rattacher :

- au critère de RANKINE (ou de la contrainte prin-cipale) ;

- au critère de MOHR-COULOMB (en approchant lacourbe intrinsèque par deux droites).

Mais finalement nous proposons d'employer ici le cr i t èrede STASS1 (17) :

(*n - *22)2 +(^22 ~ a33)2 +( a33~ all) 2 + 6 ̂ 122 + a232 + a31 2>

+ 2 (*Rc " *Rt) (°n + *r>2

+ -33) = 2 aRc aRt (U2)

5 - Les coordonnées du point de travail seront prisesde la façon suivante pour chaque composante de la contrainte :


- 27 -

kt 011m(U3)

kt °11ae e ,v- s ech

k au lieu de k puisque l'écoulement plastique n f a pas lieu.Tj -L

k^ a., au lieu de a,,, par mesure de sécurité,t 1 1 m 11m

Nous pouvons alors passer aux composantes du tenseurdes contraintes équivalentes statiques :

- k , , TRt (°U gRc} kt 0 (U)°11equ ~ kt °11m + a r e ^ 11a 144J

-1 s ech

1 T R kt° 1 2 e q u = kt Q 1 2 m + 7~ ê T ™ ~ a i 2 a U 5 )

-1 s ech

! — — — — — — — — — — — -.-, — — — -.——-._ — _ — -. « _.L

II y a lieu dans la première formule de prendre a^,, /anu — I

si a „ „ est > 0 et a^ / a , si a „ „ est < 0.11m / Rc -1 11m

Le coefficient de sécurité a est alors la valeur parlaquelle il faut multiplier les contraintes équivalentes précé-dentes pour que l!équation (U2) soit vérifiée. Soit :

«2 [(°11equ - °22ec1u)2 + "• + 6 (°12equ + ' ' ' )]

+ 2a (°Rc - °Rt) ( ai1equ + "O = 2 aRt °Rc (U6)

8 - 2 - Formules de GOUGH et POLLARD.

Dans le cas de la flexion alternée et torsion alternée


- 28 -

symétriques, les contraintes étant a et T , nous avons à la li-mite d'endurance pour une êprouvette type :

(̂ )2 °a2+ 3 C-~)2 Ta2 + (°Rc - °Rt) ̂ °a = °Rt aRc (^T)

-1 -1 -1

Transformons cette expression en tenant compte que lecritère de STASSI implique :

3 TR 2 = °Rt °Rc (W)

a aet que : -Jli. = -il (1*9)

TR T-1

II vi ent :

2 2 P Pa , a " 1 T ^ , T , v-1 a + a + /1 - "1 ) a = -j (50)

3T.12 .̂̂ T^^ \ 3T M 12 a^1

Cette formule peut être comparée avec celle de GOUGH etPOLLARD (22) obtenue expérimentalement sur des fontes spécialeset des aciers coulés.

2 ?o , a T ^ a a(«II -1) «à + _a + (2 - -II ) _§L- = 1 (51)T-1 0-12 T-12 T-1 a-1

L'analogie est alors frappante "bien que les coefficientsne soient pas identiques pour les teOrftes en a ^ / a 2 et

/ a ™" iaa /a-r

Nous nous proposons d'approfondir cette question.


- 29 -

9 - DOMMAGES CUMULES EN FATIGUE.

9 ~ 1 - L'équation de MINER.

Le diagramme conventionnel de fatigue a - N donne l'in-formation suivante :

a) la plus haute contrainte réversible (limite d'en-durance c ) à laquelle le matériau peut être soumis un nombre inni de fois sans se rompre ;

"b ) le nombre de cycles de contrainte, N, pour descontraintes plus grandes que c r , , que le matériau peut supporteravant que n'intervienne la rupture par fatigue.

Des contraintes de travail peuvent donc être plus élevéesque a ; dans ce cas, l'organe a une vie finie, la rupture de fa-tigue n'intervenant pas avant que la vie requise soit obtenue.

La courbe a- N est établie uniquement pour une contraintecomplètement réversible. Or la plupart des organes sont chargés,avec des composantes de contrainte moyennes et alternées. Celles-cipeuvent être ramenées à une contrainte équivalente alternée symé-trique a

equ,a

En effet reprenons le cas des matériaux ductiles et con-sidérons une composante quelconque de la contrainte, par exemplea i i i. a 1 1 « Portons le point P correspondant sur le diagrammei i m l i ad'endurance (fig. 21).

Figure 21

Tous les points de QR peuvent être considérés d'égalesécurité et le segment OQ peut être pris comme la contrainte al-


ternêe symétrique (T équivalente à la contrainte considéré^Les triangles OAG 11eclu>a

et SQP étant semblables, on a :


- 31 -

Figure 23

Soit N le nombre de cycles a la rupture si seulementla contrainte a agit. Un cycle de fatigue consomme 1/N de qu 9 a -j 1la vie de fatigue et s'il y a n1 cycles à cette contrainte, ledommage proportionnel est :

D, = 11 (5U)1 N

Figure 22

dans chacun desquels la contrainte moyenne et la. contrainte al-ternée symétrique peuvent être considérées constantes. Pour cha-que palier, la contrainte équivalente alternée symétrique aest calculée par l?équation (28). Celle-ci est maintenant 5

appliquée à la courbe de fatigue a - N (fig. 23).


- 32 -

On fait un calcul semblable pour les autres paliers dechargement.

Il y aura rupture lorsque la somme des dommages attein-dra 100 % , c!est-à-dire lorsque :

D1 + D2 + = 1 (55)

de sorte que :

n n

?7 + sf + •••• • ' (56)

C'est l'équation de MINER (23), (2'h) .

Parfois le nombre de cycles .n 1 , n . .. à chaque niveauest inconnu. Le calculateur essaie alors d'estimer la propor-tion a du temps total qui figurera à chaque niveau. Si N estla vie réelle de l'organe, alors :

n1 = a N

n2 = a2 N ... (57)

En substituant dans lfêquation de MINER, on obtient :

11 + là + ... = 1 (58)N1 N2 N

L'équation de MINER suppose que le dommage de l'éprouvet-te à une contrainte donnée dépend directement du nombre de cyclesà cette contrainte, c'est-à-dire que la relation est linéaire.

Par conséquent aucun compte n'est tenu de l'ordre danslequel les contraintes sont appliquées. Si une contrai.nte élevéeest appliquée en premier, l'éprouvette peut être endommagée dansla première partie de sa vie de sorte que le nombre total de cy-cles de contrainte qu'elle peut soutenir est réduit. D'un autrecoté, si des contraintes plus faibles sont d'abord appliquées, lematériau peut être durci par effet d'écrouis sage.

Toutefois il semble bien que si les différents niveauxde contrainte, tous plus grands que la limite d'endurance, sontsuccessivement décroissants, % ̂ est inférieure à 1 tandis quecette somme est supérieure à 1 si les contraintes sont suc-cessivement croissantes.


- 33 -

La loi n'est pas très précise, mais elle a l'avantaged'une grande simplicité. D'après les propres résultats de MINER,

0,61 < Z '| < 1 ,1*5 (59)

avec Z n/N moyen = 0,98.

Notons toutefois que la méthode du dommage cumulatifpeut être utilisée pour la détermination de la limite d'endu-rance (Méthode de LOCATl) (16), (25).

9 - 2 - Loi de GASSNER.

Nous avons vu au paragraphe 2-3~3 comment remplacerune sollicitation en service réel par des blocs d'ondes sinusoï-dales d'amplitudes constantes. La sollicitation aléatoire estalors définie par le cycle programmé et le nombre N decycles de ce programme et par l'amplitude de contrainte acorrespondant au plus haut palier. a

Si alors on porte les couples de valeurs correspondan-tes a et N , relatives à différents essais, sur un papier

bilogarithmique , on obtient une droite appelée fonction de vie(GASSNER (M ) .

C'est en somme la généralisation, aux sollicitationsaléatoires, de la courbe a- N.

10 - EXEMPLES :

Des exemples numériques seront traités sur les diffé-rentes parties précédentes.


- 3l* -

BIBLIOGRAPHIE

(1) Fascicule de•documentation, F.D.X. n° 10.011 édité parl'Association Française de Normalisation - Paris - Janvier1956 - p.. 6.

(2) FEODOSSIEV, V.Résistance des matériaux.Editions de la Paix - Moscou - p. 1*16 , ̂ 29, ^22, ^32.

(3) HEAD, A.K. and HOOKE, F.H.R.andom noise fatigue testing.International conférence on fatigue of metals. (1956).Published by thé Institution of Mechanical engineers - London,

(U) GASSNER , E.Effect of variable load and cumulative damage on fatigue invehicle and airplane structures.International conférence on fatigue of metals (1956) - (Voir (3 )

(5) WOHLER, A.Z. Bauwesen. Vol 8, 10, - 1 3 , 16 et 20, 1858 à 1870.

(6) PETERSON, R.E.Fatigue and Fracture of metals.Ed. W.M. Murray (New-York : John Wiley et Sons, Inc., 1950)p. 71*-

(7) THUM et BAUTZLe coefficient de forme.V.D.I. 26 Oct. 1935-

(8) PETERSON, R.E.Relation between life testing and conventionnal tests ofmat eri al s.A.S.T.M. Bulletin 133 (March 19^5) p. 9-

(9) GOODMAN, J.Mechanics Applied to Engineering.Longmans , Gré en s and Co, London (191^-).

(10) SMITH, J.O.Influence de lfécart limite sur la résistance à la fatigue desmétaux.Bull. Un. Illinois, n° 26, Eng. Exp. St (17 Fév. 19^2).


- 35 -

(11) MASSONNET , C .Résistance des matériaux. Tomme II.Dunod - Paris - p. 37^, 381, 383.

(12) Normes allemandes.DIN 1 6 1 1 , 17200 et 17210.

(13) BARROIS, ¥.Fatigue des structures d favion. Endommagement par fatigue.Docarêo 1 + 1 , p. 9 (Nov. 1956).

(1U) SODERBERG, C.R.Factors of Savety and Working Stress.Trans. ASME , 52 (1), 1930 p. APM - 13Also. 55, 1933 p. APM - 131 and 57, 1935 p. A - 106.

(15) SPOTTS, M.F.Mechanical Design Analysis.Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, New-Jersey - p., 28.

(16) C.AZAUD,, R.La fatigue des métaux.Dunod - Paris - 1959 p. 158,159, 250.

(17) BAHUAUD, J.Conférence présentée a la session de perfectionnement t?Ex-tensomêtrie" du 18 au 22 Sept. 1967.Centre d!Actualisation Scientifique et Technique - I.N.S.A,Lyon .

(18) GOUGH, H. «T. et POLLARD , H.V.Engineering, vol 1^0, 1935, p. 566.

(19) GOUGH, H.J. et POLLARD, H.V.Résistance des métaux aux efforts combinés alternatifs.Proc. Inst. Mechanical Engineering, vol. 1 3 1 , 1953, P» 3-

(20) SINES, G.N.A.C.A. Technical Note 3^95, Nov. 1955-

(21) MARIN, J.Interprétation of fatigue strengths for combined stresses.International conférence on fatigue of metals.(1956) - (Voir (3))•


- 36 -

(22) GOUGH, H.J. et POLLARD , H-. V .Propriétés de quelques matériaux pour arbres-vilebrequinscoulés.Proc. Inst. of Automobile Engineers, vol XXXI, Mars 1937>p . 8 2 1 .

(23) MINER, M.A.Cumulative Damage in Fatigue.Trans. ASME, 67, 19^5, p. A - 159-

(2M MARCO, S.M. et STARKEY, W.L.A concept of Fatigue Damage,Trans, ASME, 76, 195^, P- 627-

(25) LOCATI, L.L'essai de fatigue pour l'étude des projets et le contrôleLa Metallurgica, n° 9, 1955, P- 301.


Documents

INTRODUCTION AU CALCUL DES STRUCTURES ... - INSA de Lyon