Introduction au CHAOS D après Larry Liebovitch, Ph.D. Université de Floride Atlantique 2004 – extrait traduit approximativement par D.Seban

Introduction au CHAOSIntroduction au CHAOS

D’ après Larry Liebovitch, Ph.D.D’ après Larry Liebovitch, Ph.D.

Université de Floride AtlantiqueUniversité de Floride Atlantique

2004 – extrait traduit 2004 – extrait traduit approximativement par D.Sebanapproximativement par D.Seban

Ces deux ensembles de données ont les mêmes

moyennes aspects irréguliers gammes d’intensité

Données 1 Hasard(random)

x(n) = RND

CHAOSDéterministe

x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)]

Données 2

etc.

Données 1 Hasardrandom

x(n) = RND

Données 2 CHAOSdéterministe

x(n+1) = 3,95 x(n) [1-x(n)]

x(n+1)

x(n)

DéfinitionCHAOS

Déterministeon prédit cette valeur

Avec ces valeurs

CHAOS

Petit nombre de Variables

x(n+1) = f(x(n), x(n-1), x(n-2))

Définition

DéfinitionCHAOS

Résultat Complexe

PropriétésCHAOS

Espace des phases de basse dimension

espace des phasesd , hasard d = 1, chaos

PropriétésCHAOS

Sensibilité aux conditions initiales

Valeurs initialestrès proches

Valeurs finalestrès différentes

PropriétésCHAOS

BifurcationsPetit changement pour un paramètre

Un motif Un autre motif

Séries temporelles

X(t)

Y(t)

Z(t)

enchassées

Espace des phases

X(t)

Z(t)

Y(t)

Attracteurs dans l’espace des phasesEquation logistique

X(n+1)

X(n)

X(n+1) = 3,95 X(n) [1-X(n)]

Attracteurs dans l’espace des phases

Equations de Lorenz

X(t)

Z(t)

Y(t)

X(n+1)

X(n)

Equation logistique espace des phasesSéries temporelles

d<1

Le nombre de variables indépendantes est supérieur

à la dimension fractale d de l’attracteur

Ici d < 1, l’équation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur depend d’1 variable indépendante.

Equations de Lorenzespace des phasesséries f(t)

d =2.03

Le nombre de variables indépendantes est supérieur

à la dimension fractale d de l’attracteur

Ici d = 2.03, l’équation des séries f(t) qui ont généré cet attracteur dépend de 3 variables indépendantes..

X(t)

Z(t)

Y(t)

X(n+1)

n

Données 1 Séries temporelles

Espace des phases avec attracteur dont ladimension fractale tend vers l’infini

Quand ,Les séries

temporellesont été générées

par un mécanisme aléatoire.

d

Données 2 séries temporelles

espace des phasesd = 1

Quand d = 1 ,les séries ont

été générées par un mécanisme

déterministe.

Construit par des mesures directes:Espace des phases

Chaque point dans l’espace des phases munid’un repère, a des coordonnéesX(t), Y(t), Z(t)

Mesures X(t), Y(t), Z(t) Z(t)

X(t) Y(t)

Construit à partir d’une seule variableEspace des phases

Théorème de TakensTakens 1981 In Dynamical Systems and Turbulence Ed. Rand & Young, Springer-Verlag, pp. 366 - 381

X(t+ t)

X(t+2 t)

X(t)

chaque point dans l’espace des phases a des coordonnées X(t), X(t + t), X(t+2 t)

vite

sse

(cm

/sec

)

Position et vitesse de déplacement de la membrane d’une cellule ciliée de

l’oreille interneTeich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ;265 - 279

10-1

-10-1

-10-4 3 x 10-5déplacement (cm)

stimulus = 171 Hz

Rappel physiologique : http://www.med.univ-tours.fr/enseign/orl/Otol/aud/phyoi3/phyoi3.html

vite

sse

(cm

/sec

)

Position et vitesse de déplacement de la membrane d’une cellule ciliée de

l’oreille interneTeich et al. 1989 Acta Otolaryngol (Stockh), Suppl. 467 ;265 - 279

5 x 10-6déplacement (cm)

stimulus = 610 Hz

-3 x 10-2

3 x 10-2

-2 x 10-5

micro-électrode

cellule cardiaque de poussin

sourceélectrique voltmètre

Cellules myocardiques de poussin

v

Glass, Guevara, Bélair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357

Battement spontané, pas de stlimulation externe


voltage

temps

Stimulées périodiquement2 stimulations - 1 battement


2:1


1:1

Stimulées périodiquement1 stimulation - 1 battement


2:3

Stimulées périodiquement2 stimulations - 3 battements

Stimulation périodique - réponse chaotique

Le Pattern de battement descellules myocardiques de poussin

Glass, Guevara, Bélair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357

= phase de battement en fonction du stimulus

Le Pattern de battement descellules myocardiques de poussin poursuivi

phase vs. phase précédente

0.5

0 0.5 1.0

1.0

0 0.5 1.0

i + 1

expérience

i

théorie (carte en arcs de cercle)

Le Pattern de battement descellules myocardiques de poussin

Glass, Guevara, Belair & Shrier.1984 Phys. Rev. A29:1348 - 1357

Tant que la courbe dans l’espace des phases est de dimension 1, la synchronisation entre les battementsde ces cellules peut être décrite par une relation déterministe.

ProcédureProcédure Séries temporellesSéries temporelles

Par ex. le voltage en fonction du Par ex. le voltage en fonction du tempstemps

Représenter les séries Représenter les séries temporelles en un objet temporelles en un objet géométrique (=géométrique (=variété topologiquevariété topologique). ). Cette opération s’appelle Cette opération s’appelle “enchassement” “enchassement” (embedding(embedding))

ProcédureProcédure Déterminer les propriétés Déterminer les propriétés

topologiques de cet objettopologiques de cet objet et particulièrementet particulièrement, , sa sa dimension fractaledimension fractale

Dimension fractale élevéeDimension fractale élevée = hasard= hasard Dimension fractale basseDimension fractale basse = Chaos déterministe= Chaos déterministe

La dimension fractale La dimension fractale

n’est pasn’est pas égale à égale à

la dimension fractale!la dimension fractale!

Dimension fractale d:Dimension fractale d:combien de nouveaux détails de combien de nouveaux détails de la série temporelle apparaissent la série temporelle apparaissent quand ils sont observés à une quand ils sont observés à une échelle de résolution temporelle échelle de résolution temporelle plus fine.plus fine.

X

temps

Dimension fractale:Dimension fractale:La dimension La dimension dd de l’attracteur de l’attracteur dans l’espace des phases est dans l’espace des phases est corrélé au nombre de variablescorrélé au nombre de variablesindépendantesindépendantes

X

temps

d

x(t) x(t+ t)

x(t+2 t)

Mécanisme qui génère les donnéesMécanisme qui génère les données

Chanced(espace des phases)

Déterminismed(espace des phases) = faible

Données

x(t)

t

?

Air froid

LorenzLorenz1963 J. Atmos. Sci. 20:13-1411963 J. Atmos. Sci. 20:13-141

Modèle

Air Chaud

(Rayleigh, Saltzman)


Equations

X = vitesse de la circulation X = vitesse de la circulation convective convective X > 0 sens horaire, X > 0 sens horaire, X < 0 sens anti-horaire X < 0 sens anti-horaire

Y = différence deY = différence de température entre les flux température entre les flux

montants et descendantsmontants et descendants

Equations


Z = température du bas Z = température du bas vers le haut moins le vers le haut moins le gradient linéairegradient linéaire

Equations


Espace des phases


Z

X Y

Attracteur de LorenzAttracteur de Lorenz

X < 0 X > 0

Cylindre d’air tournant dans le sens anti-horaire

cylindre d‘air tournant dans le sens horaire

IXsommet(t) - Xbase(t)I e t = Exposant de Liapunov

Sensibilité aux conditions initialesSensibilité aux conditions initialesEquations de LorenzEquations de Lorenz

X(t)

X= 1.00001

Condition initiale:

différentidentique

X(t)

X= 1.

0

0

Déterministe non-chaotiqueDéterministe non-chaotique

X(n+1) = f {X(n)}

Précision des valeurs calculées pour X(n):

1,736 2,345 3,2545,455 4,876 4,2343,212

Déterministe chaotiqueDéterministe chaotique

X(n+1) = f {X(n)}

Précision des valeurs calculées pour X(n):

3,455 3,45? 3,4?? 3,??? ? ? ?

ConditionsConditions initiales initiales X(tX(t00), Y(t), Y(t00), Z(t), Z(t00)...)...

Univers “de l’horloger”détermimiste non-chaotique

Calcul possible de toutes les valeurs futures

X(t), Y(t), Z(t)...Equations

Conditions initialesConditions initiales X(t X(t00), Y(t), Y(t00), Z(t), Z(t00)...)...

Univers ChaotiqueChaotique déterministe

sensibilitéaux conditions

initialesImpossibilitéde calculer

à long termeX(t), Y(t), Z(t)...

Equations

Attracteur Etrange de LorenzAttracteur Etrange de Lorenz

Les trajectoires venant du dehors

sont attirées VERS lui

d’où son nom d’attracteur!

En partant de loin:

Attracteur Etrange de LorenzAttracteur Etrange de Lorenz

Des trajectoires proches sur l’attracteur

sont poussées vers la séparation

l’une de l’autre:BIFURCATION(sensitibilité aux

conditions initiales)

En partant dedans:

L’attracteurL’attracteur “Etrange”“Etrange”est fractalest fractal

espace des phases

ordinaire étrange

““Chaotique”Chaotique”sensibilité aux conditions initialessensibilité aux conditions initiales

Séries temporelles

non chaotique chaotique

X(t)

t

X(t)

t

““Shadowing Theorem”Shadowing Theorem”

Si les erreurs à chaque étape d’intégration sont petites, il existe une trajectoire EXACTE qui arrive à une petite distance de la trajectoire erronée que nous avons calculée

Il existe un nombre INFINI de trajectoires dans un attracteur. Quand nous sortons de l’attracteur, nous sommes aspirés vers l’arrière à une vitesse exponentielle. Nous sommes sur une trajectoire exacte, pas juste sur celle où nous croyons être.

Shadowing TheoremShadowing Theorem

4. Nous sommes sur une trajectoire

“réelle”3. puis nous

sommes attirésvers l’attracteur

2. L’erreur nousfait sortir

de l’attracteur

1. Nous démarrons ici

Trajectoireque nous calculons

en réalité

Trajectoire que nous essayons

de calculer

La sensibilité aux La sensibilité aux conditions initiales signifie conditions initiales signifie

que les conditions de que les conditions de l’expérience peuvent être l’expérience peuvent être très très semblablessemblables, mais que , mais que les résultats peuvent être les résultats peuvent être

assez assez différentsdifférents..

Mardi

++

10 µlArT

10 µl

Vendredi

ArT

++

A = 3,22

X(n)

n

X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)]

A = 3,42

X(n)

n

X(n + 1) = A X(n) [1 -X (n)]

A = 3,62

X(n)

n

Bifurcation

Commencez avec une valeur de A commencez avec x(1) = 0,5 utilisez l’équation pour calculer x(2) à partir de x(1). utilisez l’équation pour calculer x(3) à partir de x(2) et ainsi de

suite... jusqu’à x(300).

x(n + 1) = A x(n) [1 -x(n)]

Ignorez x(1) à x(50), ce ne sont que les valeurs de transition hors de l’attracteur. Tracez x(51) to x(300) sur l’axe des Y au-dessus de la valeur de A sur l’axe des X. Changez la valeur de A, et répétez la procédure.

x(n + 1) = A x(n) [1 -x(n)]

Des changements soudains dans le pattern indiquent la présence de bifurcations ( )

x(n)x(n)

L’énergie du glucose est transferrée dans l’ATP. L’ATP est utilisé comme

une source d’énergie pour piloter les réactions biochimiques.

Glycolyse

+- -

périodique

ThéorieMarkus and Hess 1985 Arch. Biol. Med. Exp. 18:261-271

Glycolyse

temps

entrée: sucre sortie: ATP

chaotique

temps

temps temps

ExpériencesHess and Markus 1987 Trends. Biomed. Sci. 12:45-48

Consommation d’énergie par de la levure de boulanger

Glycolyse

ATP mesuré par fluorescence entrée de glucose temps

ExpériencesHess and Markus 1987 Trends. Biomed. Sci. 12:45-48

Périodiquefl

uo

resc

ence

Glycolyse

Vin

GlycolyseExpériencesHess and Markus 1987 Trends. Biomed. Sci. 12:45-48

Chaotique

20 min

GlycolyseMarkus et al. 1985. Biophys. Chem 22:95-105

Diagramme de Bifurcation

chaos

théorie

expérience

GlycolyseMarkus et al. 1985. Biophys. Chem 22:95-105

L’ADP mesuré à la même phase du cycle du glucose(l’ATP est en rapport avec l’ADP)

période du cycle du glucose

# =

période de concentration en ATP

fréquence du cycle du glucose

Transitions de phaseHaken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag

Kelso 1995 Dynamic Patterns MIT Press

Faites battre l’index gauche au rythme(en phase) avec le métronome.

Essayez de faire battre

l’index droit hors du rythme du métronome.



Pendant que la fréquence du métronome augmente, l’index droit passe d’une oscillation hors-phase (décalé / métronome) à une oscillation en phase.

Position de l’index droitPosition de l’index gauche

A. Séries temporelles



ADD

ABD

Position de l’index droit

360o

0o

B. Évaluation du point de phase relative

180o

Transitions de phase auto-organiséesHaken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag


2 sec

cette bifurcation peut s’expliquer

comme un changement de

fonction d’énergie potentielle

semblable au changement qui

survient dans une transition de

phase physique.

Po

ten

tiel

du

sys

tèm

e

par

amèt

re d

e co

ntr

ôleTransition de phase

Haken 1983 Synergetics: An Introduction Springer-Verlag


De petits changements dans les paramètres peuvent produire de gros changements dans le comportement.

+

10cc ArT

++

9cc ArT

Les bifurcations peuvent servir à tester si le système est déterministe

Modèle mathématique déterministe Expérience

Bifurcations observéesBifurcations prédites

correspondance ?

La dimension fractale de l’espace des phases nous dit si les données étaient

générées par le hasard ou par un mécanisme déterministe.

Données expérimentalesx(t)

t

X(t+ t)Espace des phases

X(t)



Mécanisme qui a généré les données expérimentales

Déterministe Hasard

d = bas d



EpidémiesSchaffer and Kot 1986 Chaos ed. Holden,

Princeton Univ. Press

400015000

0 0

rougeoleNew York

Séries temporelles:

Espace des phases:

varicelle

EpidémiesOlsen and Schaffer 1990 Science 249:499-504

dimension de l’attracteur dans l’espace des phases

rougeole varicelle

Kobenhavn 3,1 3,4 Milwaukee 2,6 3,2St. Louis 2,2 2,7New York 2,7 3,3


Modèles SEIR: 4 variables indépendantes S susceptible = prédisposé E exposé, mais pas encore infecté I infecté R recovered = convalescent


Conclusion: rougeole: chaotique varicelle: quasi – cyclique annuel

Séries temporelles:voltageKaplan and Cohen 1990 Circ. Res. 67:886-892

normal Fibrillation ventriculaire mort

D = 1chaos

D = hasard

Espace des phasesV(t), V(t+ t)

Electrocardiogramme:enregistrement électrique de

l’activité musculaire cardiaque

8

Séries temporelles: voltageBabloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58:203-211

normal

D = 6chaos





Séries temporelles: intervalle de temps entre les battements cardiaquesBabloyantz and Destexhe 1988 Biol. Cybern. 58:203-211

normal

D = 6chaos

FV mortD = 4chaos

arythmies induitesD = 3chaos

Evans, Khan, Garfinkel, Kass, Albano, and Diamond 1989 Circ. Suppl. 80:II-134

Zbilut, Mayer-Kress, Sobotka, O’Toole and Thomas 1989 Biol. Cybern, 61:371-381

Electroencephalogramme:enregistrement électrique

de l’activité cérébraleMayer-Kress and Layne 1987 Ann. N.Y. Acad. Sci. 504:62-78

séries temporelles: V(t)

Espace des phases:

D=8 chaos

V(t)

V(t+ t)

Rapp, Bashore, Martinerie, Albano, Zimmerman, and Mees 1989 Brain Topography 2:99-118

Babloyantz and Destexhe 1988 In: From Chemical to Biological Organization ed. Markus, Muller, and Nicolis, Springer-Verlag

Xu and Xu 1988 Bull. Math. Biol. 5:559-565


de l’activité cérébrale

Différents groupes de chercheurs trouvent

différentes dimensions en appliquant les mêmes

conditions expérimentales



tâche mentale

Éveil calme, paupières fermées

Sommeil

virus: Creutzfeld -Jakob

Epilepsie: petit mal

Méditation, Qi-kong



Peut-être que…dimensionélevée

bassedimension

Chaîne aléatoire de Markov

Comment calculer le x(n) suivant:Chaque t pioche un nombre R au hasard entre 0 et 1 0 < R < 1

Si ouvert et que R < pc -> fermé

Si fermé et que R < po -> ouvert

Chaîne de Markov

t

fermé

Etat fermé:probabilité de s’ouvrir dans l’état suivant t=po

Etat ouvert:probabilité de se fermer dans l’état suivant t = pcouvert

Carte d’itération déterministeLiebovitch & Tóth 1991 J. Theor. Biol. 148:243-267

x(n) = état au temps nx(n+1) = f (x(n))

ouvert

fermé

x(n+1)

x(n)

0 x(1) 0 x(2)0

x(3)

0

x(2)

Carte d’itération déterministeLiebovitch & Tóth 1991 J. Theor. Biol. 148:243-267

Comment calculer le x(n) suivant:

Ecroulement du pont de Tacoma

Le 7 novembre 1940, le pont suspendu de Tacoma entre en oscillation sous l'action du vent.

L'amplitude de torsion devient excessive et le pont s'écroule.

Une revue moderne explique pourquoi les explications données dans les livres de physique est fausse: Billah and Scanlan 1991 Am. J. Phys. 59:118-124

Le pont de Tacoma

Equation d’une résonnance simple:x + Ax + Bx = f ( t )

Equation de la vibration qui a détruit le pont de Tacoma:

x + Ax + Bx = f ( x, x )

Comme une petite molécule commutée sans cesse d’un état à l’autre par la chaleurqui l’entoure (agitation moléculaire)

le changement d’état est provoqué pardes fluctuations thermiques kT aléatoires

FERMEhasard

OUVERT

éner

gie

Hasard

DéterministeComme une petite machine mécanique avec des cliquets et des ressorts

Le changement d’état est commandé par des mouvements cohérents qui résultent dela structure et des forces atomiques, électrostatiques et hydrophobes des protéines constituant le canal.

fermé ouvert

éner

gie

déterministe

Analyse des données expérimentales

En principe, vous pouvez savoir si les données ont été générées par unmécanisme aléatoire ou déterministe

La bonne nouvelle:

Analyse des données expérimentales

En pratique, ce n’est pas facile.

La mauvaise nouvelle:

Beaucoup de données nécessaires

• Très grosse masse de données: 10d?• Le taux d’échantillonage doit couvrir l’attracteur uniformément .échantillonnage trop fréquent: on voit seulement les trajectoires 1-d .échantillonage trop rare: on ne

voit plus l’attracteur du tout

Pourquoi c’est difficile de savoir si un mécanisme est aléatoire ou

déterministe


déterministeL’analyse des données est délicate• Choix de l’intervalle de temps t pour l’enchassement

– intervalle trop court: la variable ne change pas assez, les dérivées ne sont pas précises– intervalle trop long: la variable

change trop, les dérivées ne sont pas précises.

• Méthode d’évaluation de la dimension.

Les mathématiques ne sont pas la connaissance

• Les théorèmes d’enchassement ne sont prouvés que pour les séries temporelles “lisses”.


déterministe

Combien de valeurs de séries temporelles faut-il ?

N = Nombre de valeurs

dans les séries temporelles,nécessaires pour évaluer

correctementla dimension

d’un attracteurde dimension D

NquandD = 6


Smith 1988Phys. Lett. A133:283 42D 5000000000

Wolff et al. 1985Physica D16:285 30D 700000000

Wolf et al. 1985Physica D16:285 10D 1000000


Nerenberg & Essex 1990Phys. Rev. A42:7065

D+22

_______1________

kd1/2[A In (k)](D+2)/2

D/22(k-1) ((D+4)/2) (1/2) ((D+3)/2)

x[ ]

200000


Ding et al. 1993Phys. Rev. Lett. 70:3872 10D/2

(D/2)! D/2

10

1000

Gershenfeld 1990 preprint 2D

nombres pris au hasard

Exemple pathologique où un processus aléatoire de dimension

infinie a un attracteur de BASSE dimension

6 6 6 6 6 6 6

6 6 6 6 6 6 6

6 6 6 6 6 6 6

6 6 6 6 6 6 6

Séries temporelles: 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 ... Espace des phases:

Exemple pathologique où un processus aléatoire de dimension

infinie a un attracteur de BASSE dimension

D = 0

6

6 6

Organisation des Vecteurs dans l’espace des phases

Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett. 68:427-430

petite

direction moyenne

Hasard Pas de flux uniforme

Organisation des Vecteurs dans l’espace des phases

Kaplan and Glass 1992 Phys. Rev. Lett. 68:427-430

grande

Déterministe

direction moyenne

Flux uniforme

Séries temporelles Espace des phases

Expérience

Dimensionbasse = déterministeélevée = hasard

exemples: ECG, EEG

FAIBLE

Faire varier un paramètre

Expérience

prédit par un modèle

non-linéaire

FORTEVoir le comportement

stimulation électriquede cellules, réactionsbiochimiques

exemples:

Contrôle

données sortantesSystème Non-Chaotique

Paramètre de contrôle

Contrôle

données sortantesSystème chaotique

Paramètre de contrôle

Contrôle des systèmes biologiques

L’ancienne

manière d’agirUn contrôle par la force brute

GROSSE machine

GROSSE puissancecoeur

Ampères

Contrôle des systèmes biologiques

Nouvelle manière

d’agir:de délicates impulsions astucieusement rythmées

petite machine

petite puissance

mA

coeur

Ancienne façon

de voir les choses:

Des forces pilotent le système entre des états

stables

Comment concevons-nous les systèmes biologiques ?


Force D Force E

état stable B

état stable A état stable C


Nouvelle façon de voir:

Se maintenir un bon

moment dans une

condition oblige le

système à évoluer vers

une autre condition.

Dynamique de A

Dynamique de B


état instable B

état instable A état instable C

Le Chaos en résumé

PEU DE VARIABLES INDEPENDANTES

Mais le comportement est si complexe qu’il mime un comportement aléatoire.


La valeur des variables à l’instant suivant peut être

calculée à partir des valeurs à l’instant précédent.

xi (t+ t) = f (xi (t))

SYSTEME DYNAMIQUEDETERMINISTE


x1(t+ t) - x2(t+ t) = Ae t

SENSIBILITE AUX CONDITIONS INITIALESNON PREDICTIBLE A LONG

TERME


ATTRACTEUR ETRANGE

L’espace des phases est de basse dimension

(souvent fractale).

Documents

Introduction au CHAOS D après Larry Liebovitch, Ph.D. Université de Floride Atlantique 2004 – extrait traduit approximativement par D.Seban