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La cinématique des fluidesI) Description de l’écoulement d’un fluide
1) Introduction
Deux méthodes :
• Soit comme avec les ballons – sonde météorologiques, on suit une particule de fluide dans son déplacement et on étudie sa propre trajectoire.C’est la vision lagrangienne de la mécanique du point
Deux méthodes :
• Soit comme les stations météo fixes, on étudie les caractéristiques du fluide en un point précis au cours du temps.C’est la vision eulérienne des spectres électromagnétiques
La cinématique des fluidesI) Description de l’écoulement d’un fluide
1) Introduction
2) Description lagrangienne
a) Définition
Description lagrangienne
O
x
y
z
(R)
P(t0)
R(t0) P(t)R(t)
La cinématique des fluidesI) Description de l’écoulement d’un fluide
1) Introduction
2) Description lagrangienne
a) Définition
b) Trajectoire d’une particule
Trajectoire d’une particule
La trajectoire d’une particule de fluide P est l’ensemble des positions successives prises par la particule fluide supposée ponctuelle au cours du temps.
Trajectoire
O
x
y
z
(R)P(t1)
VP(t1)
P(t2)P(t3)
VP(t2) VP(t3)
Positions de P aux instants t1, t2 et t3
La cinématique des fluidesI) Description de l’écoulement d’un fluide
1) Introduction
2) Description lagrangienne
a) Définition
3) Description eulérienne
Description eulérienne
O
x
y
z
(R)
P
rM
M
Photo à l’instant t :v(M,t) = VP(t) ;T(M,t) = TP(t) ;(M,t) = P(t) ;
A l’instant t, les points M et P coïncident
Description eulérienne
O
x
y
z
(R)
P’
rM
M
Photo à l’instant t’ :v(M,t’) = VP’(t’) VP(t’)
P
A l’instant t’, les points M et P’ coïncident et les points M et P ne coïncident plus.
La cinématique des fluidesI) Description de l’écoulement d’un fluide
1) Introduction
2) Description lagrangienne
a) Définition
3) Description eulérienne
b) Lignes de courant
Ligne de courant
Les lignes de courant d’un fluide sont les lignes de champ du champ eulérien des vitesses.
Ligne de courant
O
x
y
z
(R)M1
v(M1,t0)M2
v(M2,t0)M3
v(M3,t0)
Photo à l’instant t0
La cinématique des fluides
a) Ecoulement stationnaire
I) Description de l’écoulement d’un fluide
1) Introduction
2) Description lagrangienne
3) Description eulérienne
4) Écoulements particuliers
Ecoulement stationnaire
Un écoulement est stationnaire si l’ensemble de ses champs eulériens, v(M,t), T(M,t), P(M,t) et (M,t), est indépendant du temps, v(M), T(M), P(M) et (M).
Ces champs n’ont aucune raison d’être uniformes.
La cinématique des fluides
b) Ecoulement incompressible
I) Description de l’écoulement d’un fluide
1) Introduction
2) Description lagrangienne
3) Description eulérienne
4) Écoulements particuliers
a) Ecoulement stationnaire
Ecoulement incompressible
On dit qu’un écoulement est incompressible si le volume de toutes les particules de fluide P est conservé au cours du mouvement.
Comme leurs masses se conservent aussi, les particules de fluide conservent également leurs masses volumiques au cours du déplacement.
La cinématique des fluidesII) Dérivée particulaire
La cinématique des fluidesII) Dérivée particulaire
1) Définitions
Dérivée particulaire
O
x
y
z
(R)
P
r = R(t)
M Photo à l’instant t :g(M,t) = gP(t)
G(M,t) = GP(t)
A l’instant t, les points M et P coïncident
P
Dérivée particulaire
O
x
y
z
(R)
r = R(t)
M
Photo à l’instant t + dt :G(M’,t + dt) = GP(t + dt)g(M’,t + dt) = gP(t + dt)
M’
r + dr = R(t + dt)
L’observateur qui suit la particule P, associe à la variation de g deux origines :
• Si l’écoulement est stationnaire mais non uniforme, l’observateur notera une variation de g.
En effet, entre les instants t et t + dt, P bouge donc il voit, à la date t, g(M) puis, à la date t + dt, g(M’)
g(M’) g(M).
Cette variation est liée au caractère non uniforme du champ eulérien g(M).
• Si l’écoulement n’est pas stationnaire et si la particule P reste en M, il notera une variation de g.
En effet, en M, à la date t, P voit g(M,t) puis, à la date t + dt, P voit g(M,t + dt).
g(M,t + dt) g(M,t).
Cette variation est liée au caractère non stationnaire du champ eulérien g.
L’observateur qui suit la particule P, associe à la variation de g deux origines :
Dérivée particulaire
La dérivée particulaire caractérise les variations du champ eulérien scalaire g ou vectoriel G mesurées en suivant la particule de fluide P au cours du temps.
La dérivée particulaire est la dérivée lagrangienne appliquée à un champ scalaire ou vectoriel eulérien.
La cinématique des fluidesII) Dérivée particulaire
1) Définitions
2) Expression de la dérivée particulaire d’une grandeur scalaire intensive
La dérivée particulaire se décompose en deux termes :
• (v.grad)g, la dérivée convective de g qui indique un caractère non uniforme de g ;
• , la dérivée locale de g qui indique un caractère non stationnaire de g.Mt
g
Nancy Dijon Lyon Marseille
15 h 24°C 25°C 30°C 34°C
17 h 23°C 24°C 27°C 32°C
19 h 22°C 22°C 24°C 30°C
22 h 19°C 19°C 20°C 24°C
Villes Nancy Dijon Lyon Marseille
Distances 0 210 400 720
La cinématique des fluidesII) Dérivée particulaire
1) Définitions
2) Expression de la dérivée particulaire d’une grandeur scalaire intensive
3) Expression de la dérivée particulaire d’une grandeur vectorielle intensive
La dérivée particulaire se décompose en deux termes :
• (v.grad)G, la dérivée convective de G qui indique un caractère non uniforme de G ;
• , la dérivée locale de G qui indique un caractère non stationnaire de G.Mt
G
La cinématique des fluidesII) Dérivée particulaire
1) Définitions
2) Expression de la dérivée particulaire d’une grandeur scalaire intensive
3) Expression de la dérivée particulaire d’une grandeur vectorielle intensive
4) Application à la vitesse : l’accélération
• (v.grad)v, l’accélération convective qui indique un caractère non uniforme de la vitesse v ;
• , l’accélération locale qui indique un caractère non stationnaire de la vitesse v.Mt
v
M
D ( . )
Dt tv v
a v grad v
En M, à la date t :
Autoroute
Voie d’a
ccès
Radar 1 :90 km.h–1
Radar 2 :130 km.h–1
Conclusion :
La dérivée particulaire est la dérivée lagrangienne appliquée à un champ scalaire ou vectoriel eulérien.
Définition :
Conclusion :
La dérivée particulaire caractérise les variations du champ eulérien scalaire g ou vectoriel G mesurées en suivant la particule de fluide P au cours du temps.
Interprétation 1 :
Conclusion :
Interprétation 2 :
La dérivée particulaire fait le lien entre les grandeurs eulériennes qui servent à décrire l’écoulement du fluide et les théorèmes mécaniques et thermodynamiques qui ont une écriture lagrangienne
Conclusion :
Expressions :
M
Dg g ( . )g
Dt tv grad
M
D ( . )
Dt tG G
v grad G
La cinématique des fluidesII) Dérivée particulaire
5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvement
Cube mésoscopique à l’instant t
Ox
y
A
BD
La cinématique des fluidesII) Dérivée particulaire
5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvementa) Champ de vitesse v1 = – a(y.ux – x.uy)
Champ de vitesse : v1 = – a(y.ux – x.uy)
AA’ = v1(A).dt = a..dt.uy
OA’ = (ux + a.dt.uy).
Le point A quitte l’axe des abscisses.
Champ de vitesse : v1 = – a(y.ux – x.uy)
BB’ = v1(B).dt = – a..dt.ux
OB’ = (– a.dt.ux + uy).
Le point B quitte l’axe des ordonnées.
Champ de vitesse : v1 = – a(y.ux – x.uy)
Ox
y
A
BD
A’
B’
D’
d
a positif
Champ de vitesse : v1 = – a(y.ux – x.uy)
Définition :
On dit qu’un écoulement est non tourbillonnaire ou irrotationnel si le vecteur tourbillon est partout nul, autrement dit si le champ des vitesses du fluide est à rotationnel partout nul.
Définition :
Par opposition, dans un écoulement tourbillonnaire, ou rotationnel, il existe au moins un point du fluide où est non nul :
= 2
1 rotv
Champ de vitesse : v1 = – a(y.ux – x.uy)
La cinématique des fluidesII) Dérivée particulaire
5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvementa) Champ de vitesse v1 = – a(y.ux – x.uy)
b) Champ de vitesse v2 = a.x.ux + b.y.uy
Champ de vitesse : v2 = a.x.ux + b.y.uy
AA’ = v2(A).dt = a..dt.ux
OA’ = (1 + a.dt)ux.
Le point A reste sur l’axe des abscisses.
Champ de vitesse : v2 = a.x.ux + b.y.uy
BB’ = v2(B).dt = b..dt.uy
OB’ = (1 + b.dt)uy.
Le point B reste sur l’axe des ordonnées.
Champ de vitesse : v2 = a.x.ux + b.y.uy
Ox
y
A
BD
A’
B’D’
a positif ; b négatif ; a – b
Champ de vitesse : v2 = a.x.ux + b.y.uy
Champ de vitesse : v2 = a.x.ux + b.y.uy
La cinématique des fluidesII) Dérivée particulaire
5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvementa) Champ de vitesse v1 = – a(y.ux – x.uy)
b) Champ de vitesse v2 = a.x.ux + b.y.uy
c) Champ de vitesse v3 = a(y.ux + x.uy)
Champ de vitesse : v3 = a(y.ux + x.uy)
AA’ = v3(A).dt = a..dt.uy
OA’ = (ux + a.dt.uy).
Le point A quitte l’axe des abscisses.
Champ de vitesse : v3 = a(y.ux + x.uy)
BB’ = v3(B).dt = a..dt.ux
OB’ = (a.dt.ux + uy).
Le point B quitte l’axe des ordonnées.
Champ de vitesse : v3 = a(y.ux + x.uy)
DD’ = v3(D).dt = a.(ux + uy)dt
OD’ = (1 + a.dt)(ux + uy).
Les points O, D et D’ sont alignés.
Champ de vitesse : v3 = a(y.ux + x.uy)
Ox
y
A
B D
A’
B’
D’a positif
Champ de vitesse : v3 = a(y.ux + x.uy)
Champ de vitesse : v3 = a(y.ux + x.uy)
La cinématique des fluidesII) Dérivée particulaire
5) Significations physiques de rotv et divv ; Décomposition du mouvementa) Champ de vitesse v1 = – a(y.ux – x.uy)
b) Champ de vitesse v2 = a.x.ux + b.y.uy
c) Champ de vitesse v3 = a(y.ux + x.uy)
d) Décomposition du mouvement local d’un fluide
Décomposition du mouvement local d’un fluide
v(M) = v(O) + v1(M) + v2(M)+ v3(M)
Décomposition du mouvement local d’un fluide
• Le champ v(O) décrit une translation uniforme en bloc du fluide ;
• Le champ v1(M) décrit une rotation sans variation de volume du fluide ;
• Le champ v2(M) décrit une déformation avec variation de volume mais sans rotation locale du fluide ;
• Le champ v3(M) décrit une déformation sans variation de volume et sans rotation locale du fluide.
Décomposition du mouvement local d’un fluide
• Le champ vd(M) = v2(M) + v3(M) décrit une déformation du fluide sans rotation locale.
La cinématique des fluidesIII) Conservation de la masse
1) Rappels et définitions
d
+
P
dS
M
La cinématique des fluidesIII) Conservation de la masse
1) Rappels et définitions
a) Débit massique
Définition :
On appelle débit massique Dm d’un fluide à travers une surface () orientée, la masse algébrique de fluide qui traverse (), par unité de temps, dans le sens d’orientation de la surface.
d = v.dS.dt
dS
v
dS
2m = .d = .v.dS.dt
dr = v.dt
La cinématique des fluidesIII) Conservation de la masse
1) Rappels et définitions
a) Débit massique
b) Débit volumique
Définition :
On appelle débit volumique DV d’un fluide à travers une surface () orientée, le volume algébrique de fluide qui traverse (), par unité de temps, dans le sens d’orientation de la surface.
La cinématique des fluidesIII) Conservation de la masse
1) Rappels et définitions
2) Conservation de la masse
Définition :
Une surface de contrôle (0) est une surface matérielle ou non, fermée, indéformable et fixe dans le référentiel d’étude R.
Définition :
On appelle sources et puits respectivement des zones d’un écoulement de fluide où on note des apparitions de masse ou des disparitions de masse
La cinématique des fluides
a) Expression intégrale globale
III) Conservation de la masse
1) Rappels et définitions
2) Conservation de la masse
M
m = .d
j(M,t)
0
VdS
P
j(P,t)
La cinématique des fluidesIII) Conservation de la masse
1) Rappels et définitions
a) Expression intégrale globale
2) Conservation de la masse
b) Expression locale
M
m = .d
j(M,t)
0
VdS
P
j(P,t)
La cinématique des fluidesIV) Applications à quelques écoulements
particuliers1) Écoulement stationnaire
Écoulement stationnaire
1
2
dS1 dS2
dS
La cinématique des fluidesIV) Applications à quelques écoulements
particuliers1) Écoulement stationnaire
2) Écoulement incompressible
Ecoulement incompressible
Un écoulement est incompressible si la dérivée particulaire de la masse volumique est nulle en tout point M et à tout instant :
ρD 0
Dt
Écoulement incompressible
1
2
dS2dS1
Dv1 = Dv2
Écoulement incompressible
Dv1 = Dv2
S1
v1
S2 > S1
v2 < v1
La cinématique des fluidesIV) Applications à quelques écoulements
particuliers1) Écoulement stationnaire
2) Écoulement incompressible
3) Écoulement incompressible et irrotationnel
La cinématique des fluidesIV) Applications à quelques écoulements
particuliers1) Écoulement stationnaire
2) Écoulement incompressible
3) Écoulement incompressible et irrotationnel
4) Écoulement radial avec une source
Écoulement radial avec une source
O
fil
Dm,
Écoulement radial avec une source
fil
dS1
dS2
dS
M
La cinématique des fluidesIV) Applications à quelques écoulements
particuliers1) Écoulement stationnaire
2) Écoulement incompressible
3) Écoulement incompressible et irrotationnel
4) Écoulement radial avec une source
5) Écoulement potentiel avec circulation : vortex
a) Définition
La cinématique des fluidesIV) Applications à quelques écoulements
particuliers5) Écoulement potentiel avec circulation : vortex
a) Définition
b) Modèle de la tornade
Modèle de la tornade
Une tornade est un phénomène météorologique défini comme « un coup de vent violent et tourbillonnaire ».