La fonction quadratique

- Le sommet de la parabole

- L’équation de l’axe de symétrie

- L’extrémum

- L’ordonnée à l’origine

Le sommet d’une parabole est donné par S( h , k ).

1

1

2 3-1-2-3

9876

5432

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

Démonstration

La parabole de base à son sommet à l’origine du plan.

Les coordonnées du sommet sont donc ( 0 , 0 ).

Le paramètre h crée une translation horizontale.

Exemple : si h = 2, alors

nouvelles coordonnées :

S ( 0 + 2 , 0 )

S ( 0 + h , 0 ) S ( h , 0 )

Le sommet d’une parabole est donné par S( h , k ).

La parabole de base à son sommet à l’origine du plan.

Les coordonnées du sommet sont donc ( 0 , 0 ).

Le paramètre k crée une translation verticale.

Exemple : si k = 3, alors

nouvelles coordonnées :

S ( 0 , 0 + 3 )

S ( 0 , 0 + k ) S ( 0 , k )

1

1

2 3-1-2-3

9876

5432

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

1

1

2 3-1-2-3

9876

5432

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

Ainsi, dans la fonction f(x) = ( x – 2 )2 + 3

- le sommet de la parabole :

S ( 0 + 2 , 0 + 3 )

S ( 0 + h , 0 + k )

S ( h , k )

L’équation de l’axe de symétrie est donné par x = h

Démonstration

1

1

2 3-1-2-3

9876

5432

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

La parabole de base a comme axe de symétrie l’axe des y.

ou

x = 0

Le paramètre h crée une translation horizontale.

Exemple : si h = 2, alors

x = 0 + 2

x = 0 + h

x = h

L’axe de symétrie est utile car il permet :

1

1

2 3-1-2-3

9876

5432

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

- d’analyser la croissance et la

décroissance de la fonction :

f(x) sur : - ∞ , 1]

f(x) sur : [ 1 , + ∞

- de déterminer l’abscisse du

sommet de la parabole :

S ( 1 , k )

- de repérer les zéros de fonction :

x1 = - 1

axe de symétrie x = 1,

donc x2 = 3

La coordonnée K nous renseigne sur l’extrémum de la fonction.

S ( h , )k

1

1

2 3-1-2-3

9876

5432

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

Ainsi, dans la fonction :

f(x) = ( x – 2 )2 + 3

S ( 2 , )3 k = 3

Minimum absolu = 3

f(x) = - ( x – 2 )2 + 3

Dans la fonction :

S ( 2 , )3 k = 3

Maximum absolu = 3

L’ordonnée à l’origine ( ou valeur initiale ) est la valeur de f(x) quand x = 0.

À cet endroit, la fonction traverse l’axe des ordonnées ( axe des y ).

f(0)

Elle se calcule dons assez facilement dans n’importe quelle forme.

Exemples : f(x) = 2x2 + x - 15

f(0) = 2 X 02 + 0 - 15 = -15

f(0) = -15

f(x) = 2 ( x - 2 )2 - 7

f(0) = 2 ( 0 - 2 )2 - 7

f(0) = 2 ( -2 )2 - 7

f(0) = 2 X 4 - 7 = 1

f(0) = 1

donc

x

y

La fonction quadratique peut s’écrire sous la forme canonique ou sous la forme générale, donc :

Forme canonique : Forme générale :

f(x) = a ( x – h )2 + K f(x) = ax2 + bx + c

Sommet :

Axe de symétrie :

S ( h , k )

x = h

Sommet :

Axe de symétrie :

- b2a 4a

4ac – b2S

,

- b2a

x =

Extrémum : Extrémum : k 4ac – b2

4a

Ordonnée à l’origine : f(0) Ordonnée à l’origine : f(0)

Exercices

Dans les fonctions suivantes, détermine les coordonnées du sommet de la parabole, l’équation de l’axe de symétrie, l’extrémum et l’ordonnée à l’origine.

f(x) = 3 ( x – 2 )2 - 4 S ( 2 , - 4 )

f(x) = - 2 ( x + 3 )2 + 2 S ( - 3 , 2 )

Attention aux signes !

f(x) = - 2 ( x + 3 )2 + 2

f(x) = - 2 ( x - - 3 )2 + 2

f(x) = a ( x - h )2 + kcar donc h = - 3

Min. abs. : - 4

Max. abs. : 2

8

S ( h , k ) x = h Extrémum : k Ordonnée à l’origine : f(0)

- 16

x = 2

x = - 3

f(x) = x2 + 6 x + 8

- b

2a 4a

4ac – b2

S ,

Exercice

- 6

2 X 1 4 X 1

4 X 1 X 8 - 62

S ,

a = 1 b = 6 c = 8

- 6

2 4

32 - 36S ,

S ( - 3 , -1 )- 6

2 4

- 4S ,

x = - 3Axe de symétrie :

Extrémum : Min. abs. : - 1

car a = + 1 donc

Dans la fonction suivante, détermine les coordonnées du sommet de la parabole, l’équation de l’axe de symétrie, l’extrémum et l’ordonnée à l’origine.

Ordonnée à l’origine :

f(x) = x2 + 6 x + 8

f(0) = 02 + 6 X 0 + 8 = 8

f(0) = 8