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L’ARPENTEUR DU WEB
QUANTITÉ DE MOUVEMENT GUY BOUYRIE
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L’ARPENTEUR DU WEB : NOTION DE QUANTITÉ DE MOUVEMENT
Force vive, quantité de mouvement, énergie cinétique, impulsion, percussion : la physique s’est enrichie
de concepts qu’il n’a pas été facile de démêler tout au long de son histoire ! Nos programmes de lycée
introduisent certains d’entre eux, mais pas toujours là où on les attendrait, comme celui de quantité de
mouvement en terminale S. Incontestablement, la lecture que l’on peut en faire avec nos élèves s’avère
difficile. Par sa grande richesse documentaire, Internet peut nous aider à montrer comment ces concepts ont
pu émerger historiquement ; et certains dispositifs « expérimentaux » comme le billard, ont été de puissants
outils conceptuels pour appréhender certaines de ces grandeurs. Si aucun lycée ne peut actuellement s’offrir
une caméra numérique rapide la seule capable d’analyser ces processus complexes que sont les chocs et
percussions, il est possible de trouver sur le Web de magnifiques vidéos qui seront un support pédagogique
inestimable pour le professeur.
1. VERS LA NOTION DE QUANTITÉ DE MOUVEMENT : CONSERVATION DU MOUVEMENT
Pour DESCARTES, la question du « mouvement » est centrale au point de constituer un des fondements de
ses « Principes philosophiques » publiés en 1644. Contrairement à ses prédécesseurs héritiers d’ARISTOTE,
pour DESCARTES, le repos ou le mouvement ne sont que des états d’un système pour lequel la seule propriété
intrinsèque est son « inertie », un terme qui fut d’ailleurs introduit par KEPLER pour désigner cette capacité
d’un corps à s’opposer de lui-même à toute modification de son état de mouvement ou de son état de repos.
On lira avec intérêt ce bel article émanant de l’Université de Lille, par Sébastien VISCARDY « Sciences du
mouvement de DESCARTES et NEWTON : entre rupture et continuité ». http://www.bascoe.oma.be/sviscardy/docs/Viscardy_Sciences_mouvement_Descartes_Newton.pdf
Extraits :
Dans la physique aristotélicienne, mouvement et repos s’opposent comme la lumière et les ténèbres : le
premier est un processus, le deuxième un état. DESCARTES rompt radicalement avec cette conception du
mouvement. Le mouvement n’est plus un processus maintenu par une cause – les qualités du corps – et par
lequel un corps rejoint son lieu naturel par un mouvement naturel ou s’en éloigne par un mouvement
violent ; il est un état au même titre que le repos : « que le mouvement & le repos ne sont rien que deux
diverses façons dans le corps où ils se trouvent. [...] un corps est autrement disposé, lors qu’il est transporté,
que lors qu’il ne l’est pas. [...]Que Dieu est la première cause du mouvement, & qu’il en conserve toujours
une égale quantité en l’univers. [...] puis qu’il a mu en plusieurs façons différentes les parties de la matière,
lors qu’il les crée, & qu’il les maintient toutes en la même façon & avec les mêmes lois qu’il leur a fait
observer en leur création, il conserve incessamment en cette matière une égale quantité de mouvement ».
Cette « quantité de mouvement » est donc définie par ce qui caractérise les deux pôles de sa philosophie
mécanique, que sont la matière-étendue et le mouvement, à savoir le produit de l’extension d’un corps par sa
vitesse.
DESCARTES énonce alors trois lois :
Première loi de la nature : « que chaque chose demeure en l’état qu’elle est, pendant que rien ne le change ».
Deuxième loi de la nature : « que tout corps qui se meut, tend à continuer son mouvement en ligne droite ».
Troisième loi de la nature : « si un corps qui se meut en rencontre un autre plus fort que soi, il ne perd rien
de son mouvement, & s’il en rencontre un plus faible qu’il puisse mouvoir, il en perd autant qu’il lui en
donne »
Ce troisième énoncé amène DESCARTES à formuler des règles d’impact entre deux corps qui s’avèreront
inexactes : il faudra attendre les travaux de HUYGENS pour qu’elles soient corrigées.
En effet, DESCARTES estime que lorsqu’un corps léger heurte un corps dur beaucoup plus massif, ce dernier
ne prélève pas de quantité de mouvement, ce qui n’est qu’approximativement vrai. D’autre part, DESCARTES
a des difficultés réelles à interpréter les interactions entre un corps en mouvement et les particules
constitutives du milieu de son environnement, dès lors que ce milieu est « fluide » au point de ne pas opposer
de résistance, ou au contraire dès qu’il s’avère plus compact.
2. CHOCS ET CONSERVATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT : MODÈLE DU BILLARD
Qui d’entre nous n’a pas joué ou regardé jouer au billard ? C’est en observant des collisions sur les tables
de ce jeu populaire que, historiquement, l’idée de la conservation de la quantité de mouvement a été bâtie par
Isaac BEECKMAN, puis René DESCARTES lui-même.
Et le billard est devenu un outil extraordinaire pour des expériences de pensée, imaginées tant par les
physiciens que par les mathématiciens
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Ainsi, pour suivre l’actualité, le prix Abel 2014 de
mathématiques a été décerné au mathématicien Yakov SINAÏ.
Ses travaux sur les systèmes déterministes d’une part, et
probabilistes d’autre part, ont puisé une bonne partie de leur
inspiration dans ces expériences diaboliques de pensée qui font
appel au billard ! http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/actu-yakov-sinai-prix-abel-
2014-32793.php
Pour nos élèves, c’est sans doute le dispositif le plus simple
pour présenter la notion de quantité de mouvement et énoncer
les lois de conservation correspondantes.
Mais quelles sont ces grandeurs qui sont conservées ?
Les physiciens ont eu beaucoup de mal à démêler les grandeurs
utiles pour rendre compte des chocs entre boules de billard.
Quantité de mouvement ? Action ? Force vive ?
Le chemin a été difficile avant d’être capable de formuler ces
lois que nous présentons de manière si succincte et brutale à
nos élèves de terminale S !
Nous allons évoquer leur difficile gestation avant de rencontrer
des cas d’école qu’Internet est à même d’illustrer de façon
extrêmement probante.
2.1. Force vive ou quantité de mouvement ?
LEIBNIZ critiqua de façon virulente les « axiomes » énoncés par les cartésiens qui portent sur la loi de
conservation de la quantité de mouvement à l’issue de chocs entre boules de billard.
Ainsi, en 1686, il écrivit un mémoire paru à Leipzig dans « Acta Eruditorum » dont le titre mérite d’être
reproduit en entier : « Démonstration courte d’une erreur considérable de M. DESCARTES et de quelques
autres touchant une loi de la nature selon laquelle ils soutiennent que Dieu conserve dans la matière la
même quantité de mouvement, de quoi ils abusent dans la mécanique ».
Pour DESCARTES, la quantité de mouvement se mesure grosso modo en multipliant la masse d’un corps par
sa vitesse (la notion de masse est complexe chez DESCARTES et diffère de celle à laquelle on est habitué).
Ainsi, les lois du choc de DESCARTES sont déduites à partir de la thèse de la conservation de la quantité de
mouvement. Pour LEIBNIZ, DESCARTES se trompe. Il y a bien quelque chose qui doit être conservé dans la
Nature et qu’on peut désigner conventionnellement du nom de “Force”, et dont la conservation même suffit
comme base pour construire les lois de la physique. Une fois ce vocabulaire accepté, la thèse de DESCARTES
consiste à dire que la force, en ce sens là, c’est la quantité de mouvement. Cependant, LEIBNIZ pense que
c’est faux. En particulier, pour le cas simple du choc de deux éléments de matière, ce n’est pas la quantité de
mouvement qui se conserve, mais une autre grandeur, que LEIBNIZ nomme « force vive », et qui se calcule en
multipliant la masse par le carré de la vitesse.
Cette force vive est une grandeur proportionnelle à celle que l’on désigne maintenant comme « énergie
cinétique ».
Lire : http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/publica/bulletin/bull18/descartes_leibniz.htm
et aussi, ce remarquable résumé écrit par M. Julien BERNARD (UNIVERSITÉ AIX-MARSEILLE) duquel nous
avons tiré certaines des informations indiquées ci-dessus. http://www.philo-bernard.fr/images/QFV/QFV_R%C3%A9sum%C3%A9.pdf
Il revient ensuite à HUYGENS d’avoir corrigé certaines des affirmations erronées de Descartes, telles
celles-ci : « Lorsqu’un corps B percute un corps C “plus fort” et au repos, il rebondit en conservant son
mouvement initial (sa vitesse) tout en laissant C au repos (règle 4). À l’inverse, lorsque B est initialement au
repos et C en mouvement, ce dernier entraîne B (le “plus faible”) après l’impact (règle 5) » ; pour cela, il lui
a fallu établir de façon solide des règles portant sur la composition des vitesses et la relativité du mouvement,
notions que DESCARTES ne maîtrisait pas (pour lui, le mouvement d’un corps se réduit à son déplacement par
rapport à ceux qui lui sont adjacents et non pas par rapport à un corps de référence).
Figure 1 : le billard, une source d’inspiration
inépuisable pour les scientifiques. http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/actu-
yakov-sinai-prix-abel-2014-32793.php
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HUYGENS, avec des propos plus mesurés que ceux de LEIBNIZ, considère la loi de conservation de la « force
vive » comme seule habilitée à rendre compte des effets observés à l’issue de chocs entre boules de billard.
L’intégralité des œuvres de HUYGENS est disponible sur le WEB : https://www.irphe.fr/~clanet/otherpaperfile/articles/Huygens/N0077868_PDF_1_700.pdf
Ce qui nous intéresse ici est à la page 164 du livre numérisé, soit aussi la page 167 du document PDF
correspondant.
Remarquons que HUYGENS a fait cette constatation essentielle que pour le système « isolé » constitué de
deux boules de billard, le mouvement du centre d’inertie du système, avant et après le choc, est rectiligne et
uniforme.
Pour revenir aux objections virulentes effectuées par LEIBNIZ contre les cartésiens, POINCARÉ a fait
remarquer que, maintenant que nous connaissons les vraies lois des chocs entre boules de billards, nous
pouvons nous rendre compte de ce qui était défectueux dans la conception cartésienne des lois du choc et
nous pouvons comprendre pourquoi LEIBNIZ avait raison.
La force vive (aujourd’hui : énergie cinétique) est bien conservée lors du choc élastique entre deux corps (ou
en général dans tout système isolé). En revanche, la quantité de mouvement telle que la comprenait
Descartes (m v), où la notion de vitesse était une grandeur scalaire, ne se conserve pas en général.
En revanche, ce qui est conservé, c’est la quantité de mouvement telle qu’on la concevra plus tard, après les
travaux de NEWTON, c’est-à-dire le produit de la masse par la vitesse, mais où la vitesse est cette fois conçue
comme une grandeur vectorielle. D’ailleurs, LEIBNIZ le savait. Même s’il ne possède pas à proprement parler
la notion de vecteur, il sait qu’il faut projeter la vitesse selon trois axes orthogonaux et qu’il faut orienter
cette vitesse en prenant des composantes aussi bien positives que négatives, pour obtenir la véritable loi de
conservation de la quantité du mouvement. Seule la loi de conservation “vectorielle” de la quantité de
mouvement est compatible avec la loi de conservation de la force vive (énergie cinétique).
Et comme le suggérait LEIBNIZ, de la « conservation de la force vive » peut découler la « conservation de la
quantité de mouvement ».
Figure 2 : HUYGENS et la quantité de mouvement https://www.irphe.fr/~clanet/otherpaperfile/articles/Huygens/N0077868_PDF_1_700.pdf
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Le document ci-dessous traduit, en termes modernes, ce travail de LEIBNIZ.
Nous avons alors les outils conceptuels pour rendre compte des observations élémentaires que tout joueur de
billard peut être amené à réaliser. Nous ne débattrons pas ici des raisons qui ont entraîné la disparition du
concept de « force vive » m v 2 au profit de celui « d’énergie cinétique »
1
2 m v
2 qui fait apparaître de façon
si mystérieuse (pour nos élèves et nous-mêmes d’ailleurs) ce fameux facteur de « 1
2 ».
2.2. Physique du billard : chocs élastiques entre deux boules sans « effets » conférés
Cette étude s’appuie sur des exemples pris dans cette remarquable vidéo consacrée aux chocs au billard : http://www.youtube.com/watch?v=KoOHOL_fdk0
Les boules sont dures, de même masse, et sont frappées ici par le joueur « au centre », à hauteur de leur
centre d’inertie, sans aucun effet. Pour le système constitué par les deux boules, on doit vérifier :
la conservation de la quantité de mouvement du système : p avant ⟶
= p après ⟶
;
la conservation de l’énergie cinétique du système, avant et après le choc.
Pour mener à bien cette étude, nous nous appuierons sur des séquences de cette vidéo, qui permettent
d’observer les différentes scènes à une cadence de 30 images / s, puis, au ralenti, avec une caméra rapide à
raison de 1000 images / s. Nous retenons ici deux séquences correspondant à :
un choc plein fouet ; un choc latéral.
2.2.1 Un choc plein fouet dit « pleine bille »
Figure 4 : choc de plein fouet ou “carreau ”entre boules dures de même masse ; 3 images successives, juste
avant le choc, au moment du choc, puis juste après le choc. Entre chaque image s’écoule 1/30 e s.
http://www.youtube.com/watch?v=KoOHOL_fdk0
Figure 3 : force vive et quantité de mouvement ; lire page 14 selon : http://www.philo-bernard.fr/images/QFV/QFV_R%C3%A9sum%C3%A9.pdf
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Chaque boule utilisée au « snooker » a pour diamètre d = 52,4 mm ; les deux boules ont ici la même masse m
de 127 g.
Le détramage a été effectué avec VirtualDub, logiciel libre qui est un véritable « couteau suisse » du
montage vidéo. http://www.virtualdub.org/.
L’analyse des séquences vidéo est réalisée sous REGAVI, logiciel capable également de produire de façon
immédiate une chronophotographie de la scène filmée, pourvu que les objets intéressants soient bien
contrastés par rapport au fond d’écran. http://jean-michel.millet.pagesperso-orange.fr/
L’examen de cette première séquence vidéo permet de
comprendre immédiatement que, dans ce cas, il y a
transfert de quantité de mouvement de la boule 1
considérée comme le « projectile » sur la boule 2,
initialement immobile, constituant la « cible ».
Du fait de l’égalité de leur masse, on a ici, très
simplement : p avant = p après, relation qui s’applique ici à des
grandeurs scalaires puisque chaque boule emprunte la
même trajectoire.
m1 v 1 + 0 = 0 + m2 v’2 ; comme m1 = m2, on a : v 1 = v’2,
vitesse du mouvement de translationrectiligne du centre
d’inertie de chaque boule. C’est le cas particulier que
DESCARTES avait su correctement interpréter.
On a également ici :
E c avant = E c après soit : 1
2 m1 v 1
2 + 0 = 0 +
1
2 m2 v’2
2 qui permet de trouver encore v 1 = v’2.
C’est en accord avec la conservation de la « force vive » chère à LEIBNIZ et HUYGENS.
Par analyse sous REGAVI / REGRESSI, on vérifie que v 1 = v’2 2,5 m s 1
.
2.2.2. Un choc latéral
La boule est propulsée à une vitesse v 1 et vient frapper la boule qui est initialement immobile.
Figure 5 : chronophotographie d’un choc plein fouet
Chronophotographie du choc élastique
Avant le choc : v 1 = 1,30 m s 1 et v 2 = 0 m s
1.
p1 ⟶
Après le choc : v’1 0,30 m s 1 et v’2 = 1,25 m s
1
75
° p1 ⟶
p’1 ⟶
p’2 ⟶
Figure 6 : Choc latéral entre boules dures et conservation de la quantité de mouvement http://www.youtube.com/watch?v=KoOHOL_fdk0
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Avant le choc, l’analyse de la séquence filmée montre que la boule a pour vitesse v’1 = 1,30 m s 1
.
Après le choc, l’analyse de la séquence filmée montre que :
(a). Les trajectoires des 2 boules forment un angle droit, sachant que la boule emprunte après le choc une
trajectoire qui fait un angle de 75 ° avec la direction de la trajectoire initiale.
(b). Les vitesses après le choc sont telles que :
pour la boule , v’1 0,30 m s 1
; pour la boule , v’2 1,25 m s 1
.
Interprétation
À l’issue de ce « choc élastique », il y a à la fois :
(1) conservation de l’énergie cinétique de l’ensemble des deux boules : Ec avant = Ec après ;
(2) conservation de la quantité de mouvement de l’ensemble des deux boules : p avant⟶
= p après⟶
.
On a donc (1) : 1
2 m v 1
2 + 0 =
1
2 m v’1
2 +
1
2 m v’2
2 et (2) : m v
⟶
1 = m v⟶
’1 + m v⟶
’2, soit encore :
(1) : v 12 = v’1
2 + v’2
2 et (2) : v
⟶
1 = v⟶
’1 + v⟶
’2 ; si on élève (2) au carré (scalaire !), on obtient une relation qui
n’est compatible avec (1) que si v⟶
’1 v⟶
’2 = 0, ce qui signifie que v⟶
’1 est perpendiculaire à v⟶
’2.
D’autre part, la relation v⟶
1 = v⟶
’1 + v⟶
’2 peut être projetée selon les directions des trajectoires des deux boules,
qu’elles empruntent après le choc.
Si l’on appelle l’angle que fait la direction de p⟶
1, et donc celle de v⟶
1, avec celle de p⟶
’1 ou de v⟶
’1, on a :
v 1 sin = 0 + v’2 et v 1 cos = v’1 + 0.
Avec 75 ° et v 1 = 1,30 m s 1
, on devrait observer que : v’2 1,26 m s 1
et v’1 0,34 m s 1
, ce qui est
bien de l’ordre de grandeur des valeurs mesurées expérimentalement à partir des pointés des positions
successives des deux boules.
Retenons de cette étude qu’à l’issue du choc, les deux boules décrivent des trajectoires qui font entre elles
un angle droit.
2.2.3. Tricher n’est pas jouer et glisser n’est pas rouler
L’auteur de la vidéo fait remarquer que le tapis du billard est usé : de fait, une percussion de la boule à
hauteur de son centre d’inertie doit entraîner la boule selon un mouvement de glissement ; c’est le cas idéal
pour appliquer les lois de conservation précédentes ! Mais l’analyse des images de ces séquences montre
qu’au début, il y a bien glissement mais progressivement, celui-ci fait place à un roulement (là encore, si la
« frappe » initiale est bien ajustée, ce roulement s’effectue de sorte que la boule opère une rotation autour
d’un axe horizontal passant par son centre d’inertie). La boule commence par glisser sur le tapis, puis à cause
des frottements avec le tapis, se met en rotation tout en continuant à glisser, pour finalement rouler sans
glisser, ce qui n’est observé que loin de l’impact.
Si l’on pouvait comparer un glissement parfait avec un roulement sans glissement, comme pour un plan
incliné par exemple, on aurait, pour la boule par exemple : 1
2 m v 1
2 =
1
2 m V 1
2+
1
2 J 1
2 en considérant que v 1
est la vitesse initiale de la boule, juste après l’impact avec la queue. On appelle V 1 la vitesse du mouvement
d’ensemble de la boule lorsqu’elle roule sans glisser ; 1 est la vitesse de rotation autour de l’axe horizontal
() passant par le centre d’inertie de la boule ; J est le moment d’inertie de la boule sphérique homogène, de
rayon R, par rapport à (). Pour un roulement sans glissement, on a alors 1 = V 1
R et d’autre part J =
2
5 m R 2.
On obtiendrait selon cette analogie simpliste : V 1 = 5
7 v 1.
Ici les pertes d’énergie liées aux frottements avec le tapis ne sont pas négligeables. Ainsi, lorsque le
glissement cesse, au bout d’une durée caractéristique qui fait intervenir le coefficient de frottement entre le
tapis et la boule, on montre que la vitesse atteinte par la boule percutée est : V 1 = 5
7 v 1.
Nous n’avons pas tenu compte de ces « corrections » sachant que dans les séquences que nous avons choisies
pour ces études, pour lesquelles les distances franchies par les boules restent faibles (quelques diamètres des
boules), les boules glissent plus qu’elles ne roulent !
2.3. Physique du billard : chocs élastiques et effets
Il suffit de parcourir la vidéo précédente http://www.youtube.com/watch?v=KoOHOL_fdk0 pour être
convaincu qu’un choc au billard devient très vite complexe à analyser,
pour peu que les billes n’aient pas exactement la même masse ;
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pour peu que la boule soit initialement frappée au-dessus ou au-dessous de son centre d’inertie ou « hors de
son centre ». Dans ce cas, une grande partie de l’énergie cinétique conférée à la boule est sous forme
d’énergie cinétique de rotation.
Après collision avec une autre boule-cible, cette dernière n’emportera sous forme d’énergie cinétique de
translation qu’une fraction de l’énergie cinétique totale et les trajectoires empruntées par les boules après le
choc deviennent vite « imprévisibles » !
Cela n’effraie pas le physicien passionné, au vu du grand nombre de sites INTERNET consacrés au sujet !
Citons notamment :
http://www.real-world-physics-problems.com/physics-of-billiards.html : des résolutions par les lois de la
physique de situations plus ou moins complexes.
http://www.cosmovisions.com/jeux/billard02.htm : une étude qui s’appuie sur l’histoire des sciences.
http://regis.petit2.perso.sfr.fr/billard.htm : une mine de références !
http://www.engr.colostate.edu/~dga/pool/physics/Alciatore_SCIAM_article_posted_version.pdf :
Voilà un remarquable site, extraordinairement illustré d’images et vidéos que l’on peut télécharger ; toutes
les vidéos se lancent sans problème depuis les navigateurs CHROME ou IE11. Sous FIREFOX, suivant le
plugin installé pour lire les vidéos directement dans le navigateur, il peut être nécessaire de faire un clic droit
sur les vidéos repérées par HSV (« high speed videos) ») pour les enregistrer puis les lire hors navigateur.
http://cursus.edu/institutions-formations-ressources/formation/19229/apprendre-physique-grace-
billard/#.UzmIL6LaJ8E
Un autre site remarquable, issu de l’université de Lille et de l’académie de billard de Villeneuve d’Ascq qui
offre un nombre très élevé de vidéos commentées par un physicien !
http://isa.billard.over-blog.fr/article-ii-effets-de-jeu-au-billard-67988727.html : effets et rotation.
https://sites.google.com/site/tipebillard/modelisation-des-frottements : un TIPE bien argumenté.
http://odpf.org/images/archives_docs/13eme/memoires/gr-10/memoire.pdf : un beau mémoire des Olympiades
de Physique, sur le nouveau site des ODPF.
http://www.youtube.com/watch?v=avFjRgzTL-w : des images en caméra rapide stupéfiantes, notamment pour
montrer les effets thermiques ; on y observe particulièrement bien « glissement » et « roulement ».
Figure 7 : physique du billard selon http://www.real-world-physics-problems.com/physics-of-
billiards.html
Figure 8 : physique du billard selon http://cursus.edu/institutions-formations-
ressources/formation/19229/apprendre-physique-grace-
billard/#.U2juDHZDR8F
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2.4. Physique du billard : rebond sur une bande
Dans le cas du choc d’une sphère dure sur un obstacle rigide, DESCARTES avait remarqué que l’on doit
observer une symétrie des trajectoires empruntées par le centre d’inertie de la boule sphérique par rapport à
la normale au point « d’incidence ». On retrouve l’équivalent des « lois de la réflexion » en optique, ce qui a
contribué à tisser une profonde analogie entre « projectile » en mécanique et « corpuscule » en optique.
Cette vidéo, proposée par l’université de Lille dans le site UNISCIEL déjà cité, est particulièrement
« parlante » : http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=AxM9ZWwlOFM
Si le choc est élastique, on peut appliquer les lois de conservation de la quantité de mouvement et de
l’énergie cinétique afin de retrouver cette « loi de la réflexion ».
L’obstacle, analogue à un « mur » de masse M, va prélever une certaine fraction de la quantité de
mouvement de la bille de masse m et acquérir de l’énergie cinétique liée à son « recul ».
Si v⟶
désigne le « vecteur vitesse » de la boule avant le rebond, v’⟶
celui après le rebond et V⟶
le « vecteur
vitesse » acquis par l’obstacle après le choc, on a :
m v⟶
= m v’⟶
+ M V⟶
et 1
2 m v
⟶
2=
1
2 m v’
⟶
2+
1
2 M V
⟶
2, relations que l’on peut écrire sous la forme :
(1) : m (v⟶
v’⟶
) = M V⟶
et (2) : m (v⟶
2 v’
⟶
2) = M V
⟶
2, avec v
⟶ = vx i
⟶ + vy j
⟶, v’⟶
= v’x i⟶
+ v’y j⟶
et V⟶
= Vx i⟶
+ Vy j⟶
.
On admet que l’obstacle ne se déforme pas latéralement suivant la direction définie par Ox de sorte que :
(3) : Vx = 0. Il en résulte que vecteur (v⟶
v’⟶
) est colinéaire à j⟶
, soit (4) : (v⟶
v’⟶
) = j⟶
.
Les coordonnées selon Ox de la vitesse de la boule sont donc conservées vx = v’x, le choc n’affectant que les
coordonnées « normales » de cette vitesse suivant Oy.
En combinant l’équation (1) élevée au carré (scalaire !) avec l’équation (2) et compte tenu de (4), on obtient :
m (vy v’y) = M (vy + v’y), soit aussi : v’y = m M
m + M vy.
Comme m ≪ M, v’y vy et l’obstacle « recule » avec une vitesse Vy 2 m
M vy qui est négligeable !
La boule rebondit donc de façon symétrique par rapport à la normale à l’obstacle au point d’incidence. La réalité est cependant plus complexe :
l’énergie cinétique de la boule qui roule sans glisser est la somme de l’énergie cinétique liée au
mouvement de son centre d’inertie et de l’énergie cinétique de rotation s’effectuant autour du centre
d’inertie supposé fixe ; il se trouve que le rebond sur une bande affecte le mouvement de rotation de la boule
et donc modifie cette répartition de l’énergie cinétique.
le coefficient de restitution ivoire / feutre qui traduit le rapport des vitesses relatives de la boule (en
« ivoire ») avant le choc puis après le choc sur la bande (bordée de « feutre ») n’est pas égal à 1. Le choc
n’est plus à proprement parler « élastique » : l’énergie cinétique n’est pas conservée.
i⟶
j⟶
O x
y
Figure 9 : chronophotographie du rebond d’une boule de billard http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=AxM9ZWwlOFM
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Ainsi, quand on examine la vidéo relative à la figure 9 à l’aide d’un logiciel comme REGAVI, on constate que
la vitesse du centre d’inertie de la boule, liée à son mouvement de déplacement, est voisine de 0,5 m s 1
après le rebond contre 0,9 m s 1
avant le rebond ! La suite de la vidéo montre d’ailleurs que les rebonds
successifs tendent à donner des trajectoires « chaotiques » pour lesquelles imperceptiblement, les lois de la
réflexion ne sont plus vérifiées ! Cela s’observe dans bien d’autres cas, comme pour ce rebond d’un ballon de
basket : https://www.youtube.com/watch?v=q3d0GMyY3yk
2.5. Du bon usage des vidéos diffusées sur Internet (YouTube, Dailymotion, etc.)
Tous les exemples que nous avons donnés dans ces études nécessitent un certain nombre de
manipulations informatiques pour exploiter les vidéos citées !
1) Télécharger la vidéo depuis « YouTube » par exemple, sous un format adapté comme le .mp4 (que
REGAVI sait parfois lire) : des extensions, très nombreuses sous FIREFOX, sont disponibles pour opérer ces
téléchargements. Toutes les vidéos citées ici sont libres de droit donc peuvent être téléchargées à des fins
pédagogiques et ne font pas l’objet de blocage par GOOGLE (qui est le propriétaire de YouTube, ne
l’oublions pas) ou ORANGE (pour Dailymotion).
2) Convertir le fichier téléchargé au format .avi (pour un environnement WINDOWS) avec un utilitaire adapté
(il en existe de nombreux comme le logiciel libre WinFF en licence GNU http://winff.org/html_new/).
Il faut extraire du film la scène intéressante, avec VirtualDub par exemple qui ne traite hélas que les fichiers
« .avi », avant de passer à l’exploitation par un logiciel de pointage (comme REGRESSI / REGAVI).
Bien sûr, on peut procéder différemment suivant le système d’exploitation utilisé et sa propre bibliothèque de
logiciels dévolus à ces tâches.
3) Obtenir un film avec une caméra rapide si l’on est très riche. De bons sites de constructeurs :
http://www.visionresearch.com/French/Home/ ou http://www.photron.com/fr/ , ou encore : http://www.vannier-photelec.fr/index.php/fr/video-rapide/vol-de-colibri.html. 3. FORCE ET QUANTITÉ DE MOUVEMENT
3.1. Un bref panorama de nos programmes de lycée
Alors que la physique des particules atteignait une célébrité médiatisée, grâce notamment à l’impulsion
(si l’on peut dire) donnée à cette discipline par la construction des premiers synchrotrons au CERN et
l’apparition des fameuses chambres à bulles, les programmes des lycées allaient connaître à la fin des années
1970 une rénovation pédagogique sans précédent. Tout particulièrement, le vieil enseignement de
mécanique, plus exactement de statique, héritage de la « mécanique rationnelle », était singulièrement
dépoussiéré par la commission LAGARRIGUE dont on peut encore lire les recommandations selon le lien :
http://artheque.ens-cachan.fr/items/show/693 .
La dynamique fait une entrée remarquée, avec la
mise au point d’objets pédagogiques comme le
« banc à coussin d’air », ou les « mobiles
autoporteurs » et autres « tables à coussin
d’air ».
La quantité de mouvement prenait un statut de
tout premier ordre.
Ainsi, « une interaction mécanique se traduit par
« un échange de quantité de mouvement », et
« toute variation de la quantité de mouvement
signe l’existence d’une force ».
C’est le triomphe des enregistrements des
« petits points » ou même des
chronophotographies, avant l’irruption des
techniques de la vidéo, pour amener la notion de
conservation de la quantité de mouvement d’un
système pseudo-isolé et pour mettre en évidence
l’échange de quantités de mouvement opposées entre mobiles qui entrent en collision élastique.
À vrai dire, cette rénovation pédagogique était née dans les années 1960, sur le campus de l’université du
MIT, avec le fameux cours du PSSC dont les chronophotographies et films de mouvements et chocs de billes
restent encore aujourd’hui de véritables chefs d’œuvre.
http://www.compadre.org/portal/pssc/pssc.cfm et http://libraries.mit.edu/archives/exhibits/pssc/ http://www.afana.org/psscfilms.htm
Figure 10 : un exemple d’une chronophotographie réalisée
pour le PSSC http://www.lightandmatter.com/html_books/lm/ch11/ch11.html
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10
Mais pauvre « quantité de mouvement » : citée comme exemple typique de notre enseignement à vouloir
promouvoir une physique trop formelle et désincarnée, elle subit une longue période d’oubli, pour revenir sur
la « pointe des pieds » dans nos programmes de terminale S de 2012.
Les professeurs, perplexes, essaient désormais de comprendre la pertinence de son retour dans la formulation
de la deuxième loi de Newton F ⟶
= d p
⟶
d t alors que son recours n’est explicitement invoqué que pour citer le
principe de la propulsion à réaction.
3.2. Impulsion, percussion
Lorsqu’une boule de billard percute un obstacle, lorsqu’une balle de tennis rebondit sur le sol ou vient au
contact d’une raquette, les interactions mises en jeu sont très brèves : les forces qui agissent sont alors très
difficiles à modéliser. C’est tout l’intérêt de faire usage de la grandeur « quantité de mouvement », grandeur
« dynamique » dont les variations sont en relation avec les causes.
DESCARTES avait pressenti ce lien, que l’on écrirait aujourd’hui : F ⟶ t = p
⟶: on découple ainsi les causes
du mouvement, des conséquences observées.
La grandeur F ⟶ t est appelée, notamment chez les
anglo-saxons, « impulsion » et ne doit pas être confondue
avec la quantité de mouvement elle-même : l’impulsion
est égale à la variation de la quantité de mouvement. On
peut alors trouver la force moyenne nécessaire pour
produire une impulsion pendant un intervalle de temps t,
à l’aide de l’équation F moy ⟶
= p⟶
t : cette relation (1) est
appropriée pour rendre compte des interactions de contact
qui agissent lors du choc d’une balle sur un obstacle.
Cette force moyenne est alors appelée « percussion »
Il existe des vidéos, obtenues en caméra rapide, très
spectaculaires pour rendre compte des effets de ces forces
de percussion, dans les cas particuliers où des
« déformations » sont observées ! Ces cas sont intéressants
dans la mesure où, pour un élève, la « signature » d’une
force est sa capacité à provoquer une « déformation » de
l’objet auquel elle est appliquée. Voici deux excellents exemples :
Percussion d’une balle de tennis sur une raquette : http://www.youtube.com/watch?v=5qjRWLGYncU
(Sheffield University : http://www.shu.ac.uk/research/cser/about-us/dr-simon-choppin). Percussion d’une balle de tennis sur le sol : http://www.youtube.com/watch?v=zd2V4_FNMls
Dans le cas d’un rebond vertical, comme pour le cas , on prévoit que F moy = m v avant + m v après
t où v avant et
v après désignent les vitesses de la balle de tennis avant et après le « choc ».
L’examen de la vidéo relative à ce rebond conduit à v avant 18 m s 1
alors que v après 10 m s 1
, pour une
balle de tennis « homologuée » de masse m 57 g et de diamètre d 6,5 cm. La percussion s’opère sur une
durée proche de 4 ms, ce qui conduit à une intensité de force de percussion : F moy 400 N ! On comprend
que la balle de tennis soit déformée !
10 ms 11 ms 12 ms 13 ms 14 ms
Figure 12 : percussion d’une balle de tennis sur le court http://www.youtube.com/watch?v=zd2V4_FNMls
Figure 11 : percussion d’une balle de tennis sur
le cordage d’une raquette
http://www.youtube.com/watch?v=5qjRWLGYncU.
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11
On pourrait répéter une telle étude avec une balle de golf, ce qui est réalisé de façon saisissante sur cette
vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=6TA1s1oNpbk
Pour clore cette brève étude consacrée à la notion de « percussion » et de « quantité de mouvement »,
voici ce qu’en disait Joseph Louis LAGRANGE en 1788 dans son célèbre traité de « Mécanique analytique »,
entièrement numérisé sur GALLICA.
Un extrait important pour notre propos : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229946s/f262.image. « Si l’on cherche le mouvement de plusieurs corps qui agissent les uns sur les autres par impulsion ou par pression,
[...] il est nécessaire d’avoir recours à un nouveau principe qui serve à déterminer la force des corps en mouvement, eu
égard à leur masse et à leur vitesse. Ce principe consiste en ce que, pour imprimer à une masse donnée une certaine
vitesse suivant une direction quelconque, soit que cette masse soit en repos ou en mouvement, il faut une grandeur,
égale au produit de la force par une durée, dont la valeur soit proportionnelle au produit de la masse par la vitesse et
dont la direction soit la même que celle de cette vitesse. Ce produit de la masse d’un corps multipliée par sa vitesse
s’appelle communément la quantité de mouvement de ce corps, parce qu’en effet c’est la somme des mouvements de
toutes les parties matérielles du corps. Ainsi les forces se mesurent par les quantités de mouvement qu’elles sont
capables de produire, et réciproquement la quantité de mouvement d’un corps est la mesure de la force que le corps est
capable d’exercer contre un obstacle, et qui s’appelle la percussion. D’où il s’ensuit que si deux corps non élastiques
viennent à se choquer directement en sens contraire avec des quantités de mouvement égales, leurs forces doivent se
contrebalancer et se détruire, par conséquent les corps doivent s’arrêter et demeurer en repos ».
Qu’on se rassure : même si LAGRANGE ne fait pas mention de « variation de la quantité de mouvement »,
dès qu’il passe aux choses sérieuses, aux mises en équation de ces problèmes, il met en œuvre tout le
formalisme mathématique différentiel moderne qu’il a en partie créé ! Il est alors plus aisé de dire la
physique par des équations mathématiques que par un long discours « littéraire » imagé et, en cela, son
œuvre marque une rupture dans l’édition scientifique.
Pour se distraire un peu : l’expérience du pendule de Newton.
http://questions2physique.wordpress.com/2012/09/02/pendule-de-newton/
Plus fort encore : https://www.youtube.com/watch?v=mFNe_pFZrsA
Figure 13 : sur ce site de vulgarisation scientifique sont regroupées des
vidéos consacrées à cet étrange dispositif http://questions2physique.wordpress.com/2012/09/02/pendule-de-newton/
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12
3.3. Mais pourquoi les balles sont-elles élastiques ? Quantité de mouvement ou « force vive » ?
Cet article, rédigé par une journaliste scientifique Sophie FLEURY, peut servir de support à une activité
documentaire en classe de première S ou de terminale S. http://www.linternaute.com/science/divers/pourquoi/06/balle-rebond/balle-rebond.shtml
On peut remarquer à sa lecture que le débat « force vive » ou « quantité de mouvement » n’est pas clos !
En voici un extrait, dont on pourrait assurer une analyse critique avec les élèves :
Être élastique, c’est efficace...
Facile pour une balle : elle est élastique. Le matériau qui la constitue peut se déformer sans dissiper l’énergie du choc.
De plus, à l’intérieur, l’air qui s’y trouve est aussi élastique : il se comporte comme un ressort. Lors de l’impact, il se
comprime légèrement puis se détend, forçant l’enveloppe à reprendre sa forme ronde initiale. En se reformant, la balle
fait pression sur le sol et remonte. Puis, une fois que toute son énergie cinétique est utilisée, elle retombe, et ainsi de
suite. Bien sûr, des déperditions énergétiques interviennent et mettent un terme à ce mouvement. Pour qu’une balle de
tennis rebondisse plusieurs fois, la déformation, lors du choc, doit rester localisée autour du point d’impact et la balle
doit reprendre sa forme rapidement. C’est le cas si son revêtement est à la fois élastique et rigide. Plus le temps de
contact est bref, moins le sol a le temps de prendre de l’énergie à la balle. La force du rebond est alors élevée.
Mais tous les matériaux ne sont pas élastiques ! Une balle trop molle, comme un ballon dégonflé, où l’air est sous une
faible pression, se déforme en touchant terre et absorbe l’énergie de la collision. Il ne lui en reste donc pas assez pour
rebondir. Même cas de figure pour une tomate jetée au sol. De son côté, le caillou, lui, transmet l’énergie du choc au
sol. Mais là, c’est le sol qui se déforme et absorbe toute l’énergie : une trace apparaît à terre et la pierre ne rebondit
pas. Il se passe d’ailleurs le même phénomène si on lance une balle sur du sable.
... Ne pas se déformer, c’est encore mieux !
Enfin, sachez que ce ne sont pas les petites balles « rebondissantes » qui montrent les meilleurs rebonds : ces balles
très élastiques sont constituées de polymères, de longues chaînes de molécules identiques, qui peuvent se contracter
comme des accordéons sans perte d’énergie. Elles se déforment donc légèrement. Or, il est possible d’obtenir un
rebondissement encore meilleur lorsqu’aucun des deux protagonistes (objet et sol) ne se déforme. Dans ce cas,
l’énergie n’est pas dissipée lors du choc et est intégralement réutilisée dans le rebond. On parle de chocs élastiques. Ils
se produisent quand une bille d’acier est lâchée sur une surface très dure, en acier, verre ou ivoire. La bille peut alors
rebondir jusqu’à cent fois de suite !
Voir sur ce sujet la vidéo : http://phymain.unisciel.fr/balles-rebondissantes/
3.4. Quantité de mouvement et deuxième loi de NEWTON : quel formalisme ?
Qu’on se le dise : l’énoncé mathématique « classique » F ⟶
= m a⟶
de la deuxième loi de NEWTON que nous
donnons à nos élèves de terminale S, relation à la fois vectorielle et différentielle, n’est pas de NEWTON mais
peut-être d’EULER et incontestablement de LAGRANGE. Il n’est d’ailleurs pas simple d’en faire la genèse ;
l’IMCCE (l’Institut de mécanique céleste) a produit un document très intéressant sur cette question : http://www.imcce.fr/fr/presentation/equipes/ASD/preprints/prep.2003/albouy_Journees2003dec.pdf
Par passage à la limite de la relation (1) vue au 3.2., on relie la force agissante à un instant t, lors d’un
choc sur une bille, à la variation infinitésimale de la quantité de mouvement : on obtient F ⟶
=0
lim
t
p⟶
t et donc
F ⟶
= d p
⟶
d t (2). Plus généralement, si F
désigne la « résultante » F
ext des forces extérieures qui agissent sur
un système matériel, on obtient l’énoncé attendu en classe de terminale S.
Ce formalisme est certes plus puissant et complet que l’énoncé classique F ⟶
= m a⟶
.
Ce dernier est particulièrement adapté, lui, à la mécanique du point matériel, ou au mouvement du centre
d’inertie d’un solide, qui sont en fait les seules situations de notre programme de terminale S !
Pourquoi alors avoir privilégié la relation (2) ? Un souvenir des programmes anciens ?
F ⟶
= d p
⟶
d t est une formulation qui reste correcte en dynamique relativiste, sachant que la quantité de
mouvement d’un point matériel d’inertie m et animé dans un référentiel galiléen d’une vitesse v⟶
est :
p⟶
= m v⟶
1
v 2
c 2
.
La conservation de la quantité de mouvement pour un système isolé revêt une signification profonde pour
la structure de l’espace, qui traduit ici son homogénéité : du fait de cette homogénéité, les propriétés
mécaniques d’un système isolé ne changent pas lors d’une translation du système dans l’espace.
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4. QUANTITÉ DE MOUVEMENT ET PROPULSION À RÉACTION
4.1. Mise en évidence qualitative
Explosion d’un système, recul d’une arme à feu, fusée à eau ou à air, sont des exemples spectaculaires qui
illustrent la loi de conservation de la quantité de mouvement pour une situation paradoxale : du mouvement
est créé « ex nihilo » (du moins en apparence) pour un système mécanique initialement immobile !
Le site Unisciel (Université en Ligne) nous offre deux vidéos qui se rapportent à des dispositifs très
simples favorables à une première approche de la notion de « propulsion par réaction ».
Explosion d’un système constitué d’une pomme de terre initialement liée au châssis d’un chariot par des
élastiques tendus que l’on va brûler.
Propulsion d’un ballon de baudruche libre de se mouvoir le long d’un fil, quand on laisse le ballon se
dégonfler.
La première expérience , où un solide explose en deux « fragments » qui emportent chacun une quantité
de mouvement dans des directions de sens opposés, s’interprète assez facilement :
p⟶
avant = p⟶
après, soit ici : 0⟶
= p’1
⟶ + p’2
⟶ et donc 0
⟶ = m1 v’1
⟶ + m2 v’2
⟶ v’2
⟶ =
m1
m2
v’1
⟶.
Si « 2 » est le fragment qui recule, sa vitesse de recul sera d’autant plus faible que son inertie m2 sera
importante vis-à-vis de celle du fragment 1.
C’est la situation du recul d’une arme à feu dont il existe sur INTERNET un nombre impressionnant
d’exemples filmés !
Pour une étude physique de ce phénomène, on consultera avec intérêt le site francophone de ce club de tir
suisse : http://www.pistoliers.com/gen_pages.php?f=mp_recul.txt .
En parcourant ce site, on prend conscience du fait que le recul d’une arme à feu est lié bien sûr à l’expulsion
à grande vitesse d’un projectile, mais aussi à l’expulsion par la bouche de l’arme des gaz de combustion qui
emportent une « quantité de mouvement » difficile à modéliser.
La deuxième expérience , donne le principe de propulsion par réaction qui est citée dans nos
programmes de terminale S.
Cela nous conduit à étudier la propulsion des fusées qui est cependant un problème difficile pour nos lycéens
du fait que le système étudié possède une masse m variable au cours du temps.
Pour compléter cette étude qualitative consacrée au principe de propulsion par réaction, on peut
construire avec des élèves dans le cadre d’ateliers de sciences,
une fusée à air, telle celle-ci extrêmement simple à monter : http://phymain.unisciel.fr/la-fusee-a-air/ ;
une fusée à eau. Ce type de fusée fait l’objet de nombreuses réalisations qui sont rapportées ou filmées sur
INTERNET. Citons deux projets très structurés :
L’un est parrainé par le CNES : http://www.cnes.fr/web/CNES-fr/7285-enseignants-et-fusee-a-eau.php , alors que
l’autre est pris en charge par l’association « planète sciences » : http://www.planete-sciences.org/espace/-Fusee-a-eau-
Ce dernier lien permet d’observer des vidéos spectaculaires de lancement de fusée à eau !
Figure 14 : le site d’ Unisciel « Physique à main levée » aux nombreuses vidéos consacrées
à des expériences commentées de sciences physiques, ici la quantité de mouvement http://phymain.unisciel.fr/category/mecanique-des-solides/page/5/
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14
Lire aussi ce mémoire déposé aux Olympiades de physique France par un groupe d’élèves du lycée
B. Palissy d’Agen : http://www.odpf.org/images/archives_docs/21eme/memoires/groupeB/memoire.pdf
4.2. Fusée et quantité de mouvement
L’étude d’un propulseur de fusée est d’une grande complexité.
La NASA et le CNES offrent de nombreuses pages sur le WEB consacrées à ce sujet à des fins
pédagogiques.
Pour la NASA : http://exploration.grc.nasa.gov/education/rocket/bgmr.html :
Un site immense, en perpétuel chantier, aux nombreux liens et riche d’animations diverses pour tous les
niveaux d’enseignement !
Pour le CNES :
Voilà un portail aux ambitions plus modestes que celui de la NASA, mais qui offre de nombreux liens
permettant de mieux cerner le sujet étudié. http://www.cnes.fr/web/CNES-fr/440-la-propulsion.php D’autres liens intéressants : http://www.gea-rocket.org/fr/moteurs/principe/principes.html http://eurinsa.insa-lyon.fr/LesCours/physique/AppPhysique/approphys/6applications/fus%C3%A9es/parties/techno6.php
http://www.youtube.com/watch?v=dmBYFfq8_Yk : propulsion à réaction de la seiche !
Figure 15 : construire une fusée à eau avec le CNES http://www.cnes.fr/web/CNES-fr/7285-enseignants-et-fusee-a-eau.php
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15
Activité : « la fusée » (« accompagnement personnalisé » en terminale S) :
À un instant t, une fusée de masse m se déplace par rapport à un référentiel galiléen R,
terrestre par exemple, avec une vitesse notée V⟶
alors qu’elle s’apprête à éjecter une certaine
quantité de gaz à la vitesse v⟶
gaz / Terre (notée v⟶
) par rapport à R.
Nous introduisons la vitesse relative d’éjection des gaz par rapport à la fusée,
v⟶
gaz / fusée, notée u⟶
de sorte que : v⟶
gaz / fusée = v⟶
gaz / Terre v⟶
fusée / Terre, soit encore : u⟶
= v⟶
V⟶
.
À l’instant t, on a : p⟶
(t) = m V⟶
.
À l’instant t’ = t + t, la fusée a perdu une masse m < 0, qui correspond, au signe près,
à celle du gaz expulsé. On a :
p⟶
(t + t) = (m + m) (V⟶
+ V⟶
) + ( m) v⟶
m V⟶
+ m V⟶
( v⟶
V⟶
) m.
p⟶
(t + t) m V⟶
+ m V⟶
v⟶ m, en négligeant le terme m V
⟶
.
Donc : p⟶
= p⟶
(t + t) p⟶
(t) est telle que : p⟶
m V⟶
( v⟶
V⟶
) m.
D’où : p⟶
t m
V⟶
t u
⟶
m
t . À la limite pour laquelle t ⟶ 0, on obtient :
dp⟶
d t m
dV⟶
d t u
⟶
d m
d t. Le terme
d m
d t qui est positif puisque la masse m diminue représente
un « débit de masse Dm » en rapport avec la masse de gaz éjectée par unité de temps.
D’où l’équation qui régit le fonctionnement de la fusée : dp⟶
d t m
dV⟶
d t + Dm u
⟶.
Or, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, F ⟶
ext = d p
⟶
d t, pour les systèmes fermés, cette résultante des forces
extérieures est réduite au poids P ⟶
de la fusée dès que celle-ci atteint les hautes couches de l’atmosphère.
On a finalement, à un instant t donné : m dV⟶
d t = P
⟶
+ ⟶
, où ⟶
= Dm u⟶
est appelée « poussée », analogue à un vecteur
force de sens opposé à celui de u⟶
qui représente le vecteur vitesse d’éjection des gaz par rapport à un référentiel lié au
centre d’inertie de la fusée. On peut aussi lire le terme + Dm u⟶
comme un transfert de quantité de mouvement par unité
de temps, à travers une surface ouverte.
Lire aussi : http://owl-ge.ch/IMG/pdf/systemes_de_masse_variable.pdf
V⟶
v⟶
Figure 16 : fusée et
propulsion par réaction
Figure 17 : pages « fusée » du projet pédagogique suisse iLES http://www.owl-spip.ch/spip.php?article1202
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16
Ce document PDF et la figure 17 ci-dessus sont tirés d’un excellent site d’enseignement public des sciences
en Suisse francophone : http://www.owl-spip.ch/.
Ce site est conçu par l’équipe appelée iLES (“interactive Learning Environments”) qui est spécialisée dans la
conception de plates-formes d’apprentissage construites sur Moodle.
Les animations nécessitent un plugin et un programme gratuits, émanant de la célèbre société WOLFRAM
éditrice de Mathematica ®.
5. PHYSIQUE ATOMIQUE ET QUANTITÉ DE MOUVEMENT
5.1. Quantité de mouvement du photon
5.1.1. Une expérience controversée : le radiomètre de Crookes
Voilà une expérience célèbre qui a profondément divisé la communauté scientifique au début du XXe
siècle : le radiomètre de Crookes.
http://sites.univ-provence.fr/~laugierj/Crookes/Crookes.htm
« Constitué d’une sphère de verre dans laquelle on a fait un vide partiel, et d’un croisillon monté sur un axe.
Ce croisillon est composé de 4 ailettes en mica, avec une face naturelle réfléchissante et une face noircie
absorbante. Utilisé dans les conditions habituelles, le radiomètre est éclairé en lumière blanche.
Les ailettes tournent dans le sens tel que les faces noires reculent (cas ).
Mais si on éclaire seulement les faces naturelles réfléchissantes (ou une seule) avec une source suffisamment
puissante et avec un minimum d’infrarouge, on peut faire tourner le radiomètre dans l’autre sens (cas )».
Dans chacun des cas, l’interprétation du phénomène observé a donné lieu à de fameuses polémiques.
Pour les deux situations, on peut estimer qu’il y a
transfert de quantité de mouvement à l’échelle atomique :
dans le cas , il y a transfert de quantité de mouvement
par les particules matérielles du gaz résiduel qui s’opère
avec plus d’efficacité sur les faces noircies (au voisinage
desquelles l’agitation thermique est plus forte) que sur les
faces polies réfléchissantes.
dans le cas réalisé dans des conditions très soignées
(avec un vide plus poussé que dans un radiomètre
ordinaire et avec des fils de faible torsion), on peut
invoquer le fait que le rayonnement lui-même dépose puis
emporte une certaine quantité de mouvement sur les faces
réfléchissantes. Ceci peut s’interpréter dans le cadre
classique d’un rayonnement électromagnétique ou dans le
cadre de la quantification du rayonnement, par
l’intermédiaire du « photon ».
Pour bien visualiser cette célèbre expérience :
Cas : filmé à l’Université de Pau http://wiki.scienceamusante.net/index.php?title=Le_radiom%E8tre_de_Crookes
puis le lien http://mediakiosque.univ-pau.fr/avc/courseaccess?id=153&type=flash.
Cas et : https://www.youtube.com/watch?v=vRRdxYsAAMw ; lire le commentaire accessible par le lien « à
propos » qui accompagne la vidéo effectuée au Naval Postgraduate School (l’École Navale américaine).
5.1.2. Pression de radiation et photon
Interprétons le cas selon la théorie électromagnétique classique :
Si la lumière tombe sous incidence normale sur un miroir plan immobile dans le référentiel d’étude,
rayonnement incident et rayonnement réfléchi auront même fréquence . Le rayonnement incident va exercer
une pression P sur le miroir appelée « pression de radiation ».
Si désigne le “flux” du rayonnement incident (défini ici comme une puissance transférée sur une unité de
surface placée perpendiculairement à la direction de propagation) et si ’désigne le “flux” réfléchi dans le
cas idéal où ’ = , on montre alors que P = 2
c qui représente aussi la densité volumique d’énergie
électromagnétique dans le voisinage immédiat de la surface réfléchissante.
Interprétons le cas selon une théorie quantique du rayonnement constitué de « photons » :
Le flux incident est constitué par N photons qui tombent chaque seconde sur une unité de surface du miroir ;
chaque photon emporte une énergie = h et une quantité de mouvement p.
Après collision sur le miroir, chaque photon voit sa quantité de mouvement changer de signe en supposant
que le miroir est infiniment lourd pour rester au repos (cf. cas classique du 2.4.).
Figure 19 : radiomètre et pression de radiation https://www.youtube.com/watch?v=vRRdxYsAAMw
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17
La pression de radiation est alors P = 2 N p ; or = N et donc, si l’on veut être cohérent avec la théorie
électromagnétique classique, il faut que P représente aussi la densité d’énergie 2
c qui s’exprime ici par
2 N
c.
Sachant que P = 2 N p, il faut attribuer au photon la quantité de mouvement p =
c ou encore : p =
h
c.
Bien entendu, cette approche simpliste qui laisse supposer que le photon « rebondit » sur le miroir est trop
naïve ; la réflexion ne peut avoir lieu soudainement, comme si le photon était une particule ponctuelle sans
aucune extension spatiale (il lui est associé un train d’onde de longueur finie).
5.1.3. Quantité de mouvement du photon en relativité
Considérons une source monochromatique de photons de fréquence , placée dans un référentiel galiléen R. Considérons un observateur solidaire d’un référentiel galiléen R’ qui s’éloigne à la vitesse V relativement
au référentiel R de sorte que la direction d’émission des photons coïncide avec celle de V⟶
: les photons qui lui parviennent ont pour fréquence apparente ’ du fait de l’effet Doppler.
Par les lois de la relativité restreinte, on obtient : ’ = c V
c + V (effet Doppler longitudinal).
De plus, la transformation de Lorentz appliquée à une particule d’énergie et de quantité de mouvement p
conduit à : ’ = V p
1 (V / c)2 avec, pour un photon, = h et ’ = h’.
On obtient alors : h c V
c + V =
h V p
1 (V / c)2 , qui implique : p =
h
c =
c .
Le photon est donc doté d’une énergie = h et d’une quantité de mouvement p = h
c .
Or la conservation de la norme du quadrivecteur « impulsion-énergie » est telle que :
(m photon c 2 )
2 =
2 p
2 c
2. Puisque = p c, on a donc : m photon = 0.
Le photon est une « particule » de masse nulle.
5.1.4. Photon : vers la dualité onde-corpuscule
Le rayon lumineux symbolise la « trajectoire » d’un photon, tout comme la direction de propagation de
l’énergie électromagnétique lumineuse, à laquelle on associe le vecteur d’onde k⟶
= 2
u⟶
dans le cas d’une
onde monochromatique plane se propageant dans une direction définie par u⟶
.
Le photon, « particule » de masse nulle, est donc qualifié par la donnée de sa quantité de mouvement
p⟶
= ħ k⟶
, et son énergie = ħ , sachant que ħ = h / 2.
Rappelons que DE BROGLIE a associé à tout objet physique, de quantité de mouvement p⟶
et d’énergie , une
onde monochromatique plane, de vecteur d’onde k⟶
= 1
ħ p⟶
et de pulsation 1
ħ .
5.1.5. Quantité de mouvement d’un photon et applications
1) Voile solaire et pression de radiation
Se déplacer dans le cosmos grâce à une voile
soumise au bombardement des photons émis
par le soleil, un rêve ? Non, la NASA prévoit
bientôt son déploiement !
Lire sur science & avenir : http://www.sciencesetavenir.fr/espace/20130819.OB
S3572/une-voile-solaire-geante-dans-l-espace.html
Pour la mission de la NASA : http://www.space.com/19565-worlds-largest-solar-
sail-sunjammer.html
Un TIPE (Mlle CARCY) bien construit : http://www.u3p.net/projets/contrib/r__daction_comp
let.pdf
Figure 20 : voile solaire de la mission « Sunjammer » http://www.space.com/19565-worlds-largest-solar-sail-sunjammer.html
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2) Refroidissement laser et confinement
Les lasers ont permis d’illustrer de façon très spectaculaire la notion de quantité de mouvement emportée
par un photon.
En témoignent tous les dispositifs utilisés pour « ralentir » les atomes (ou « refroidissement » laser).
Un document, assez ancien, de l’ENS : http://www.lkb.ens.fr/recherche/atfroids/tutorial/pages/6_la_pression_de_radiation.htm
Une conférence très complète de C. COHEN-TANNOUDJI sur le sujet : http://www.canal-u.tv/video/universite_de_tous_les_savoirs/le_refroidissement_d_atomes_par_des_faisceaux_laser.1069
Écouter notamment autour de la vingtième minute pour la quantité de mouvement du photon.
Il est nécessaire de bien réviser les mécanismes d’émission et d’absorption d’un photon par un atome ! En
effet, il s’agit ici d’évaluer le recul d’un atome lorsqu’il absorbe un photon puis en réémet un autre.
Et encore, sur le site de l’université de Lille : http://www.phlam.univ-lille1.fr/atfr/refroi.php
En témoignent aussi tous les dispositifs se proposant de réaliser la fusion nucléaire par confinement inertiel.
Tel le laser mégajoule : http://www-lmj.cea.fr/fr/experiences/index.htm
5.2. Effet Compton
C’est une des expériences qui sert de référence pour attribuer au photon une « quantité de mouvement »,
qui, à l’échelle atomique, est souvent appelée « impulsion », terme qui ne revêt pas la même signification
qu’en mécanique classique (voir § 3.2.).
C’est un exemple de diffusion d’une onde électromagnétique par des particules matérielles libres ou
faiblement liées (des électrons d’un atome) que l’on interprète comme une collision élastique entre un photon
et un électron. Le formalisme nécessaire est celui de la mécanique relativiste.
L’onde, de longueur d’onde initiale 0, est diffusée par un électron libre “immobile”, de masse au repos m0,
dans une direction qualifiée par un angle , avec changement de longueur d’onde de sorte que :
0 = h
m0 c (1 cos ). Le terme caractéristique
h
m0 c est appelé « longueur d’onde de Compton ».
C’est la longueur d’onde pour laquelle l’énergie d’un photon est égale à l’énergie d’un électron au repos
(0,511 MeV) ce qui conduit à Compton = 2,426 10 12
m.
Cette relation se démontre classiquement en écrivant les lois de conservation :
de l’énergie totale (et non plus de la seule énergie cinétique) du système constitué par le photon incident et
l’électron immobile, puis par le photon diffusé et l’électron mis en mouvement ;
de la quantité de mouvement des deux entités (photon, électron), avant et après le choc.
Ce calcul est détaillé sur plusieurs sites Internet.
http://www.laradioactivite.com/fr/site/pages/Effet_Compton.htm, excellent site consacré à la radioactivité.
http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/divers/compton.html qui présente un applet Java réalisé par l’université du Mans.
http://electrons.wikidot.com/compton-effect : un des nombreux sites américains que l’on peut consulter.
http://www.kcvs.ca/site/projects/physics.html : ce site canadien offre un applet Java de qualité.
Comme d’habitude, le navigateur doit avoir son plugin Java à jour, et depuis le panneau de configuration de
Java, il faut sélectionner un niveau de sécurité « moyen ».
Figure 21 : faisceaux laser de refroidissement (bleu) et de
pompage (rouge) http://www-lpl.univ-paris13.fr/fr/af.awp
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L’effet Compton est d’autant plus aisé à observer que les photons incidents sont énergétiques (se rapportant
au domaine des rayons X et tout particulièrement de celui des rayons gamma)
5.3. Émission et absorption d’un photon par un atome ; effet Mössbauer
Il ne s’agit plus ici de diffusion élastique. Des particules disparaissent ou apparaissent (des photons ici) à
l’issue de collisions sur une cible atomique ou suite à « l’éclatement » d’un système atomique. Il n’y a plus
conservation de l’énergie cinétique emportée par les particules incidentes.
Lire par exemple : http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_M06_G02/co/Contenu_08.html
L’absorption d’un photon par un atome entraîne le recul de celui-ci ; l’atome, initialement dans un état
d’énergie E 1 est porté dans un état excité E 2 tel que E 2 E 1 = h 12 ; mais l’atome est mis en mouvement par
le photon absorbé qui doit donc posséder une énergie = h > h 12.
On a alors :
Conservation de l’énergie : h + E 1 = p 2 c
2 + m 2
2 c
2, si m 2 est la masse « au repos » associée à l’atome
porté dans son état excité d’énergie E 2 ; on a aussi : E 1 = m 1 c 2.
Conservation de la quantité de mouvement : h / c = p où p désigne la quantité de mouvement liée au recul
de l’atome cible.
On obtient : = 12
1 +
h 12
2 m 1 c 2 .
L’émission d’un photon par un atome entraîne aussi le recul de celui-ci ; l’atome, initialement dans un
état d’énergie excité E 2 est porté dans un état d’énergie plus basse E 1, tel que E 2 E 1 = h 12 ; mais l’atome
recule en émettant un photon, lequel emporte donc une énergie = h’ < h 12.
On obtient dans ce cas : ’ = 12
1
h 12
2 m 2 c 2 .
On remarque que ’ diffère de et toutes deux ne sont pas égales à 12.
Dans le domaine des fréquences optiques, les termes h 12
2 m c 2 sont extrêmement petits devant 1, et l’on peut
envisager des absorptions et émissions résonnantes, telles que = ’ = 12 en ne considérant pas
d’élargissement des raies par effet Doppler ou par d’autres causes.
Mais avec des rayonnements , pour des sources ou des cibles absorbantes suffisamment refroidies pour
limiter l’élargissement Doppler, émission et absorption ne donnent plus des raies de « résonance » : elles
présentent un décalage en fréquence qui est appréciable.
L’effet Mössbauer est un cas particulier d’émission ou d’absorption de photons pour lequel les raies
sont résonnantes, comme s’il n’y avait plus de recul de l’atome émetteur ou de l’atome cible.
Lire : http://iramis.cea.fr/nimbe/Phocea/Vie_des_labos/Ast/ast_sstechnique.php?id_ast=907
Figure 22 : l’effet Compton http://electrons.wikidot.com/compton-effect
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5.4. Accélérateurs et collisions de particules
L’avènement des grands collisionneurs, et le développement des grands détecteurs de particules, autour
des années 1970, ont permis aussi de refonder nos programmes de sciences physiques, en les mettant plus en
prise avec la physique contemporaine. Comme nous l’avons dit plus haut (voir § 3.1.), la « commission
Lagarrigue » fut pionnière dans ce domaine : et pour cause, A. LAGARRIGUE fut un des expérimentateurs qui,
en France, mirent au point ces immenses chambres à bulles dont les clichés ont fait le tour du monde des
laboratoires de physique, y compris plus modestement ceux de nos lycées au titre de dotations déjà bien
anciennes ! Ces clichés donnaient le beau rôle à la quantité de mouvement d’une particule chargée, dont la
trajectoire, courbée dans un puissant champ magnétique, assure sa signature par la fameuse relation
p = | q | R B : la mesure du rayon de courbure (opérée en lycée avec des abaques !) permet de remonter à la
valeur de la quantité de mouvement p pour une intensité de champ magnétique connue.
Pour les nostalgiques de ces beaux clichés, saluons le travail de notre collègue C. LAGOUTE qui a redonné un
second souffle à leur dépouillement, en proposant images numérisées et logiciels dédiés à leur lecture. http://ch.lagoute.free.fr/CollisionsPart/CollisionsPart.pdf
Ce travail est également disponible sur le BUP n° 929 de décembre 2010.
Figure 23 : effet Mössbauer, à la base d’une méthode spectroscopique http://iramis.cea.fr/nimbe/Phocea/Vie_des_labos/Ast/ast_sstechnique.php?id_ast=907
Figure 24 : conservation de la quantité de mouvement lors d’une collision
élastique p-p d’un proton animé d’une grande vitesse sur un proton fixe. http://ch.lagoute.free.fr/CollisionsPart/CollisionsPart.pdf
p avant⟶
p’1
⟶
p’2
⟶
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L’exemple pris sur la figure 24 est relatif à une collision élastique d’un proton p animé d’une grande vitesse
(il est donc « relativiste ») sur une cible fixe constituée d’un autre proton p.
Comparativement au choc élastique équivalent dans la physique du billard (figure 6 du § 2.2.2.), on constate
que l’angle de diffusion entre les trajectoires des deux protons est inférieur à 90°, ce que les lois de la
mécanique relativiste permettent de vérifier.
La chambre à bulles avait été conçue pour détecter des neutrinos (particules qui ne laissent pas apparaître de
traces mais qui peuvent créer à leur passage, avec une probabilité très faible, des gerbes de particules
chargées).
Puisqu’en terminale S, on évoque l’existence des « muons », un des processus de désintégration des « muons
positifs » a été souvent observé sur les clichés de chambres à bulles :
p + p + + p + n puis
+
+ + µ et µ
+ e
+ + e + v µ
qui sont des exemples de collisions
inélastiques.
Par application des lois de conservation, on est en mesure, par déduction, de détecter la présence de
particules qui ne sont pas visibles sur ces clichés et d’en donner quelques caractéristiques !
Pour le dépouillement des clichés de chambre à bulles, lire cette fiche émanant de l’IN2P3 :
http://www.in2p3.fr/actions/formation/DetAMesure-07/F.Didierjean.pdf
De la chambre à bulles de D. GLASER à la chambre à fils de G. CHARPAK, consulter la vidéo : http://www.universcience.tv/video-chambres-a-bulles-particules-elementaires-4883.html
Un regard sur la plus grande chambre à bulles construite en France, « Gargamelle », bel hommage à
F. RABELAIS ! http://home.web.cern.ch/fr/about/experiments/gargamelle
Une vidéo très émouvante pour ceux qui ont la nostalgie des années 70 sur la construction de Gargamelle,
avec tout ce savoir faire incroyable des techniciens français de l’époque ! http://cds.cern.ch/record/43139?ln=fr
Comme le fait remarquer E. KLEIN dans sa rubrique « matinale » de France Culture du 17/04/2014, http://www.franceculture.fr/player/export-reecouter?content=4834952
http://www.franceculture.fr/emission-le-monde-selon-etienne-klein-musique-de-chambre-a-bulles-2014-04-17
il est vain de vouloir comparer la trajectoire d’un avion à réaction matérialisée dans le bleu du ciel par les
traînées de condensations opérées à haute altitude, à ce qui se passe dans une chambre à bulles au passage
d’une particule chargée.
Les particules ne sont pas des objets localisés comme peuvent l’être les avions dans le ciel. C’est en effet
« par une représentation ondulatoire des particules que l’on peut montrer que les bulles qu’elles font
apparaître ont une probabilité très forte de s’établir selon une ligne continue ». C’est donc le concept d’onde
et non pas de particule qu’il est nécessaire d’invoquer pour interpréter ces trajectoires.
Remarque : ces passionnantes émissions peuvent être « podcastées » avant de disparaître du site de France
Culture. http://www.franceculture.fr/podcast/4689330
5.5. Quantité de mouvement et physique quantique
5.5.1. Principe de moindre action et fonction de Lagrange
On peut faire remarquer que les fondements de la physique quantique n’auraient pu naître sans le travail
de LAGRANGE puis HAMILTON, pères de la mécanique analytique.
Il n’est pas notre propos ici de faire la genèse de leurs travaux.
Remarquons que, par une lecture audacieuse du vieux principe de moindre action de MAUPERTUIS,
LAGRANGE a créé ce fameux concept d’action qui a fécondé la physique moderne jusqu’à R. FEYNMAN :
l’action S, ou intégrale de la fonction L (q, q., t) : S = dttqqL
t
t
), ,(2
1
dont on cherche un extremum.
Ainsi, une coordonnée pi de la quantité de mouvement, pour une particule matérielle, s’exprime alors par la
relation : pi =iq
L
. Rappelons que qi et q.
i sont des coordonnées dites « généralisées » de position et de la
vitesse (dérivée première) du système mécanique étudié
HAMILTON a ensuite construit une fonction H selon : H (qi, pi, t) = i
q.
i pi L (qi, q.
i, t)
Cette fonction H, couplée aux opérateurs des espaces de Hilbert, joue un rôle essentiel dans l’appareil
mathématique de la physique quantique.
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5.5.2. Que devient la quantité de mouvement ?
Deux relations témoignent du lien très fort tissé entre la quantité de mouvement d’une « particule » et le
monde quantique : = h
p (dualité onde-corpuscule par L. DE BROGLIE) et px x ≥
ħ
2, une des relations
d’indétermination de W. HEISENBERG.
L’appareil mathématique de la physique quantique fait jouer un rôle essentiel à la fonction d’onde sur
laquelle agiront différents opérateurs.
Ainsi, nous savons que la « quantité de mouvement » d’une « particule » est associée à un opérateur. Par
exemple, à sa coordonnée px, correspond l’opérateur px̂ = iħ
x , opérateur « gradient » qui agira sur la
fonction d’onde .
Nous ne développerons pas ces différentes relations qui ont été proposées ici : simplement, nous dirons que
le concept de « quantité de mouvement » reste pertinent dans un monde où règnent les ondes chères à
SCHRÖDINGER ! Principe de moindre action, un aperçu historique
Une conférence à Polytechnique dont voici les transparents : http://softs.polytechnique.fr/departements/physique/colloques/pdf/2007/Robine_Florence_X-ENS-UPS2007.pdf
Une lecture par des mathématiciens de l’université de Nantes http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/~herau/Docs/Her08-slides-moindreaction.pdf
Révisons notre physique quantique avec l’ENS : http://www.phys.ens.fr/~sinatra/cours.pdf
Et la quantité de mouvement : http://www.physique-quantique.wikibis.com/quantite_de_mouvement.php
6. ET POUR CONCLURE
La notion de quantité de mouvement est une notion difficile qui doit être mise en place progressivement
afin de maîtriser tout son formalisme, ce qui n’est hélas pas le cas actuellement : en terminale S, on peut
vraiment s’interroger sur l’utilité de l’introduire dans les conditions imposées par ces programmes. Mais
pour revenir au but assigné à ces fiches de « l’arpenteur », force est de constater que, dès qu’il s’agit de
formaliser un concept, Internet fournit certes des outils mais ne peut remplacer un travail de fond, structuré et
mené selon un objectif clairement défini.
Les universités numériques, http://www.france-universite-numerique.fr/ vont peut-être évoluer vers des
plateformes interactives innovantes (les fameux MOOCs) mais on est encore loin du compte : une certaine
aridité est consubstantielle des cours proposés en sciences physiques ! Il faut donc lire et travailler ! Mais le
WEB présente quand même de belles surprises qu’il faut apprendre à trouver, y compris pour le sujet qui nous
préoccupe ici, « la quantité de mouvement ».
Bibliographie
Pour s’en tenir au BUP, une requête sur « quantité de mouvement » permet d’extraire 89 articles, de
1911 pour le plus ancien, à 2011 pour le plus récent !
Une sélection bien arbitraire pour des articles plutôt généralistes qui complètent heureusement cette
fiche de l’arpenteur. BUP n°508 (1968) : « Recul des armes à feu », par M. CHÉNIER.
BUP n°524 (1970) : « L’enseignement de la mécanique », par M. PROVOST.
BUP n°538 (1971) : « Conférence sur l’enseignement de la mécanique », par MM. CHARLOT, CROS et
GOUGEON.
BUP n°602 (1978) : « Quantité de mouvement », par M. BARBASTE & IRESP de Bordeaux.
BUP n°603 (1978) : « Mécanique sur coussin d’air », par M. GATECEL.
BUP n°611 (1979) : « Chocs de deux mobiles ; conséquences des frottements », par M. MOREAU.
BUP n°612 (1979) : « Un enseignement expérimental de la relativité et de la physique des particules », par
M. DUBOC.
BUP n°612 (1979) : « Photon et quantité de mouvement », par M. GUINIER.
BUP n°622 (1980) : « Concours général », par M. GIÉ.
BUP n°631 (1981) : « Dynamique des systèmes ouverts. Mouvement d'une fusée », par M. JEAN.
BUP n°634 (1981) : « Les diagrammes énergie-quantité de mouvement en relativité restreinte », par M. GIÉ.
BUP n°929 (2010) : « Une activité moderne et abordable au lycée : les collisions de particules», par
M. LAGOUTE.
