Les expressions algébriques

Manipulations de base

Dans cette présentation, nous verrons comment:

- additionner et soustraire des expressions algébriques;

- multiplier et diviser des expressions algébriques;

L’addition et la multiplication d’expressions algébriques ne répondent pas aux mêmes règles.

Illustrons par des figures géométriques, leurs différences.

x x

y

Pour calculer le périmètre de ces figures, il faut faire la somme des côtés.

le carré: x + x + x + x = 4x

On peut additionner tous ces x car ils représentent la même quantité.

le rectangle: x + y + x + y = 2x + 2y

On peut additionner les x entre eux car ils représentent la même quantité.

On peut additionner les y entre eux car ils représentent la même quantité.

On ne peut pas additionner les x avec les y car ils représentent des quantités différentes; cependant, on peut les écrire ensemble.

Le périmètre du carré est un monôme:

Le périmètre du rectangle est un binôme:

4x

2x + 2y

x x

y

Pour calculer l’aire de ces figures, il faut multiplier leurs côtés.

le carré: x . x = x2

le rectangle: x . y = x y

x2

xy

Si on avait plusieurs carrés identiques, on pourrait additionner leurs aires.

3x2

Si on avait plusieurs rectangles identiques, on pourrait additionner leurs aires.

x2 x2 x2+ + =

x y x y x y x y+ + + = 4 x y

Entre deux lettres, il y a toujours un signe de multiplication.

Ces quelques exemples géométriques ont permis de cerner la nuance existant entre différents termes algébriques.

Voyons maintenant les règles officielles:

Addition et soustraction de termes:

- additionner ou soustraire les coefficients des termes semblables;

- ne pas modifier la partie littérale.

Exemples: 3x2 + x2 =Vérifions pour x = 2: 3(2)2 + 22 = 4(2)2

12 + 4 = 16 égalité vraie

3x2 + x =

4x2

3x2 + x on ne peut pas additionner ces deux quantités car elles représentent des quantités différentes.

Remarque: Se vérifier en donnant aux expressions des valeurs numériques est un bon moyen de savoir si l’opération a été effectuée correctement.

3a2 + 5b + ( - a2 + 2b ) = 2a2 + 7b

Un + en avant d’une parenthèse ne modifie pas les signes des termes à l’intérieur si on enlève les parenthèses.

3a2 + 5b - a2 + 2b =

Remarque:

+ ( - a2 + 2b )

= + 1 ( - a2 + 2b )

+ 1 X – a2 + 1 X + 2b

- a2 + 2b

3a2 + 5b - ( - a2 + 2b ) = 3a2 + 5b + a2 - 2b = 4a2 + 3b

Un - en avant d’une parenthèse modifie les signes des termes à l’intérieur si on enlève les parenthèses.

Remarque:

- ( - a2 + 2b )

= - 1 ( - a2 + 2b )

- 1 X – a2 - 1 X + 2b

+ a2 - 2b

Un - en avant d’une parenthèse modifie les signes des termes si on enlève les parenthèses.

C’est additionner par l’opposé des termes.

3a2 + 5b + a2 - 2b =ou plus simplement

4a2 + 3b

3a2 + 5b - ( - a2 + 2b ) = 3a2 + 5b + a2 - 2b = 4a2 + 3b

3a2 + 5b - ( - a2 + 2b ) =

3a2 + 5b + + a2 - 2b =

Remarque:

2x2 + 3y + x2 + 4y + 5 =

3x2 + 7y + 5

Quand il y a plusieurs termes à additionner, on peut les placer comme suit:

2x2 + 3y + 5+

x2 + 4y

3a2 + 5b - ( - a2 + 2b) = 3a2 + 5b-

- a2 + 2b

Remarque: L’opération par laquelle on regroupe des termes semblables par addition ou soustraction s’appelle la réduction.

++ -

On additionne par l’opposé des termes.

4a2 + 3b

Multiplication de termes

- multiplier les coefficients entre eux;

- multiplier les lettres semblables en additionnant leurs exposants;

- inclure les lettres différentes dans le terme final.

Exemples: 4x2 X 2x1 = 8x3

Cette expression est un monôme car il n’y a pas de signe d’addition ou de soustraction.

On pourrait lire: 4 . x . x . 2 . x donc 8x3

L’addition des exposants vient de lois simples sur les exposants.

23 = 21 X 21 X 21

Quand on multiplie des bases semblables, on additionne les exposants.

23 X 22 = 25

soit 21+1+1

21 X 21 X 21 X 21 X 21 = 25

23+2 =

x . x . x . x . x = x5

4x2 X 2xy = 8x3y

7x X xy X 2y = 14x2y2

2x2 X y X 3x X 2y X 3z = 36x3y2z

- inclure les lettres différentes dans le terme final;

car 36x3y2z signifie 36 X x3 X y2 X z

2 . 2 . 2 . x . x . x2 . x . x

Division de termes

- diviser les coefficients entre eux;

- diviser les lettres semblables en soustrayant leurs exposants;

- inclure les lettres différentes dans le terme final.

Exemples:

En posant la division sous la forme d’une fraction, on pourrait simplifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

8x3

2x2

= = 4x

On peut aussi effectuer la division des coefficients: 8 ÷ 2 = 4

Soustraire les exposants de la variable: x3 ÷ x2 =x3-2 =

8x3 ÷ 2x2

1

1.

. 1

1.

. 1

1.

x

Réponse: 4x

Quand on divise des bases semblables, on soustrait les exposants.

23 ÷ 22 =

2 X 2 X 2

2 X 2 = 2 23

22

= 23-2 =ou 2

22 ÷ 23 =

2 X 2 X 2

2 X 2 =

2

1 22

23

= 22-3 =ou 2-1 =2

1

23 ÷ 22 =

22 ÷ 23 =

6x2 y ÷ 2xy =

3x

12x3 y2 z ÷ 6yz = 2x3y

soit12x3 y2 z

6yz=

2 . 2 . 3 . x . x . x . y . y . z

2 . 3 . y . z

= 2x3 y

soit 12x3 y2 z ÷ 6yz : 12 ÷ 6 = 2

x3

y2 ÷ y1 = y2-1 = y1 =

z ÷ z =

z1 ÷ z1 = z1-1 = z0 = 1

2x3 y

y

2 . x3 . y . 1 =

2x2y3z ÷ 4xyz2 =2 zx y2

soit 2x2y3z

4xyz2

=2 . 2 . x . y . z . z

2 . x . x . y . y . y . z=

2 z

x y2

soit 2x2y3z ÷ 4xyz2 : 2 ÷ 4 = 1

2

x2 ÷ x1 = x1 = x

y3 ÷ y1 = y2

z1 ÷ z2 =

z1-2 = z-1 = 1z

x2-1 =

y3-1 =

2 zx y2

21 ÷ 22 = 21-2 = 2-1 =

1

2

. x . y2 . 1

z=

2 . x . y

2 . 2 . x . x .

4x2 ÷ 2xy =

soit 4x2

2xy= =

2xy

soit

4x2 ÷ 2x1y1

ou 4x2 X 1 ÷ 2x1y1

4x2 X y0 ÷ 2x1y1 : 4 ÷ 2 = 2

x2 ÷ x1 =x2-1 = x

y0 ÷ y1 = y0-1 = y-1 = 1y

y2x

4x2 ÷ 2xy =

2 . x . 1y

=

y2x