Les plus belles équations de la physique

Les plus belles équations de la physiqueBruno MansouliéService de Physique des Particules IRFU (Institut de Recherche sur les Lois Fondamentales de l’Univers)Division des Sciences de la MatièreCEA / Saclay

Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012

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𝑅𝜇𝜈− 12𝑔𝜇𝜈𝑅+Λ 𝑔𝜇𝜈=

8𝜋 𝐺𝑐4 𝑇 𝜇𝜈

(𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇−𝑚 )𝜓=0Avec autorisation du conférencier Conception B. Mansoulié / CEA-IRFU-SPPNe pas reproduire

A quoi servent les maths dans la physique?• Un petit exemple: Pression d’un liquide en

fonction de la hauteur.– Expérience avec plusieurs hauteurs => P = a × h– Expérience avec plusieurs liquides => P = b × r– J’en déduis une loi:

P = g × r × h

– Description (de mes expériences).

– Extrapolation (construction d’un château d’eau, d’un circuit d’huile etc.)

– Interprétation (modèle de liquide. Simplification de la réalité: liquide « idéal » , pas de parois, de viscosité, de bulles…)

– Questionnement (limites de validité? Ex: tube très fin? Liquide visqueux? etc.)Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012

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Phr

• Maths: servent à intégrer notre savoir et dépasser nos à-priori…

• …comme l’art?

de La Tour Monet Picasso Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012

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Des particules à l’Univers entier• Des questions vieilles comme l’Homme:

– De quoi est fait le monde ? – Comment l’Univers s’est-il construit ?

Réponses philosophiques, théologiques, mystiques suivant les civilisations et l’époque...ex: air-terre-eau-feu, kabbale, yin-yang,cosmogonies africaines ou indiennes d’Amérique…

Jusqu’à la pensée scientifique et les mathématiques…- hypothèse => test ? => confirmation- modélisation mathématique

- abstraction - capacité de « calcul » => prédiction

GaliléeBruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012

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Notre vision du monde• 3 voies qui se rassemblent

– Physique de l’élémentaire – Cosmos– Interactions, modélisation

• Un support commun en permanente évolution: les maths

• Tout ceci s’est construit en parallèle avec observations et expériences,

(mais pas le sujet aujourd’hui)

• L’esthétique des maths joue un grand rôle…


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Physique de l’élémentaire• Particules

• Idée très ancienne (Démocrite, ..): la matière est faite d’un petit nombre de briques élémentaires: « atomes ». C’est leur arrangement (interactions) qui fait la diversité des matériaux. Mais aucune justification…

• Découverte progressive des « éléments »:• 18è siècle: éléments chimiques: une centaine, suffisent à expliquer toute la matière. Réactions chimiques (Lavoisier etc.)

• 19 è : 1 élément = 1 atome. • fin 19è – début 20è: atomes = noyau (protons+neutrons) + électrons.

mi-20è: réactions nucléaires• 1970: proton et neutrons faits de quarks• Autres particules élémentaires: neutrinos, muon, tau…


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Démocrite riantHendrick ter Brugghen

1628

Lavoisier et sa femmeDavid, 1788

• Interactions– Gravitation

• Newton (1686): pomme qui tombe = lune autour Terre!– Décrit bien les mouvements de planètes, satellites…

• Einstein (1919): l’espace-temps est déformé par la matière qu’il contient.– Relativité générale: trous noirs, Univers, … GPS!

– Electromagnétique• 18è : Ampère, Volta, etc.: électricité, magnétisme• 19è effets combinés => moteurs, dynamos…

– Maxwell: unification électromagnétisme => Lumière (radio, X, etc.)

– Nucléaire forte et faible• 20è : noyaux, réactions nucléaires. Bombe, énergie;

Energie du soleil: le soleil brille, mais « lentement ».

– Fin 20è: « Modèle standard » Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012

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Gotlib, 1967

Warhol, 1980

Lichtenstein, 1966

Raysse, 1964

Astres, Cosmos, Univers• Dès l’aube de l’humanité:

– observations, prédiction position planètes– théories de la création du monde (mythes)

• Très riches, mais déconnectées d’un modèle des astres et de la matière.

• 16è siècle occidental: – Appropriation du cosmos:

• Giordano Bruno 1584: les étoiles sont des soleils• Galilée (1610) la lune est un bout de caillou,

Jupiter a des satellites…

• 17-18 è siècle: mécanisation du cosmos: Newton, Lagrange etc etc…

… Equations, calculs…Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012

8Sabatelli, ~1800

• 19è s: Etude des corps célestes: la spectrographie relie étoiles et éléments

• 20è s: Globalisation de la physique. – Pourquoi le soleil brille. Neutrinos solaires. – Etude de l’Univers. Cosmologie

Expansion/ Big Bang

• Fin 20è: Le grand Mystère:Matière noire, énergie noire?


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Pink Floyd, 1973

Modélisation, maths…• Avant le ~17è siècle

– Astronomie: prédiction des planètes, éclipses (Chine, Mayas, Egypte, Grecs..)– Ingénierie: machines, armes…

• Essentiellement modèles mathématiques de reproduction : régularité, extrapolation…

– Beaucoup de maths (géométrie, théorie des nombres…) mais ne rencontrent pas vraiment la physique …

• A partir du 17è– Astronomie: lois de Kepler + Newton = > gravitation UniverselleNotions abstraites sur matière concrète : force, énergie, température, pression – Electricité: courant, tension…

• Champ : notion abstraite intrinsèque.

Mathématiques: une boîte à outils très puissanteBruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012

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Les révolutions de ~1900• Mécanique quantique; RelativitéDans les deux cas, la description du monde est très différente de celle que nous

donnent nos sens. (Anti-intuitif )

• Quantique: une particule peut se trouver à 2 endroits (ou plus) en même temps; des causes identiques peuvent produire des effets différents, etc.

• Relativité: vitesse de la lumière constante (même émise par une source en mouvement)

paradoxe des jumeaux, etc.

Les maths prennent en physique un statut « fondamental »Groupes, espaces courbes, variétés…


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Illustration: quelques équations célèbres


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etc. (Maxwell)

(Schrödinger)

(Dirac)

Pas d’inquiétude…

• Signifie:si j’applique une force F à un solidede masse m, il prend une accélération g

• Portée scientifique:– Définition « correcte » du mouvement: [vitesse], accélération de l’action: force, et de la matière: masse– Pouvoir d’abstraction, de généralisation.

• Différents types de forces (mécanique, électrique..) => même accélération• Seule compte la masse (et non la nature) du corps

Þ Oblige à un effort de définition « propre » des concepts.Þ Ne dit rien sur le « pourquoi? » : modélisation des variables, pas du monde

• Esthétique : 4/5 • Niveau mathématique: élémentaire


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𝐹=𝑚𝛾 Newton, 1687

• Signifie: entre deux corps de masses m et m’ situés à une distance d, il existe une force d’attraction FG donnée par cette formule.

J’appelle cette force « Gravitation ». G est une constante de la nature.Sous-entendu: les masses sont les mêmes que dans F = m g

• Portée scientifique– Les définitions ont déjà été faites– C’est une modélisation (d’une partie) du monde– Je peux expliquer et prédire tous les phénomènes liés à la gravitation : chute des

pommes, mouvements des planètes, trajectoire des obus…

– Ne dit rien sur la nature de la matière (au contraire!) Surface de la sphère ni sur l’origine ou l’évolution de l’Univers… 4p r2

• Esthétique : 2/5• Niveau mathématique: simpleBruno Mansoulié,

CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012

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𝐹𝐺=− 𝐺𝑚𝑚 ′

𝑑2Newton, 1687

Hooke ?

• Pas considérée comme « physique fondamentale », mais extrêmement utile! • Signification: pour un gaz pression P, volume V, le produit PV est proportionnel à la température T (r est une constante de la nature)

• Portée scientifique: – Apparemment n’explique rien: c’est presque une question de définitions. En fait il est facile de mesurer P, V ou T et souvent on peut extrapoler avec. – Applications: chimie « pré-atomique », machines, moteurs thermiques, frigos…

– Fondamentale: source de questions: quand cela n’est-il plus valable? Pourquoi les gaz sont-ils ainsi? => rôle essentiel dans l’hypothèse atomique.

• Esthétique: 3/5• Niveau mathématique: simple à moyen (Thermodynamique)Bruno Mansoulié,


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𝑃𝑉=𝑟𝑇 Clapeyron, 1834Boyle, Charles, Clausius…

Equations de Maxwell • Signification:Les champs électriques (E, D) et magnétiques (B, H) ont certaines propriétés géométriques, sont reliés entre eux, à leur évolution avec le temps et aux charges et courants présents.

• Portée:– Unifie électricité et magnétisme– Permet de calculer tout ça

(ampoules, moteurs, dynamos, …)

– Porte en soi les ondes radio !!!– … et la relativité !!! (Lorentz, Poincaré…)

• Esthétique: 5/5• Niveau mathématique: moyen à avancéBruno Mansoulié,


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1861, (…Ampère, Faraday, Gauss)

Equation de Schrödinger

• Signification:Les objets physiques y sont des fonctions d’ondes sans rapport direct avec une réalité sensible.Leur évolution dans le temps est due à l’inertie et à des interactions extérieures, agissant comme des opérateurs (H)

• Portée:– Définition des objets– Physique microscopique: structure des atomes, spectre de lumière des objets; noyaux…– Applications: solides, électronique, chimie moléculaire…

– Révolution conceptuelle: comportement intime de la matière non intuitif. Paradoxes

• Esthétique: 4/5• Niveau mathématique: moyen à avancé Bruno Mansoulié,


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𝐻 (𝑡 )∨𝜓 (𝑡 ) ⟩=𝑖ℏ 𝑑𝑑𝑡∨𝜓 (𝑡 ) ⟩

1925, (…de Broglie…, etc.)

• L’équation la plus connue de la physique!• Signification: La masse (inertielle) des objets matériels est une forme d’énergie. La vitesse de la lumière est « insurpassable », et est donc une unité de vitesse absolue.

– Sous-entendu: temps et espace sont liés!!!

• Portée:– Aucune nouvelle « définition »! – Applications: physique nucléaire: bombe, énergie.

Energie du soleil, vie des étoiles, création des éléments, …

– Révolution conceptuelle : espace-temps, masse = énergie, Paradoxes.

• Esthétique: 3/5• Niveau mathématique: élémentaire à moyen


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𝐸=𝑚𝑐2 Einstein 1905 …(Poincaré?)

Equation de Dirac

• Une des plus belles équations de la physique

• Signification:– Décrit le comportement d’un électron, en mariant l’aspect quantique (y est une fonction d’onde) et l’aspect relativiste (tout est à 4 composantes: 3 d’espace et une de temps).

• Portée:– Pratique immédiate: décrit bien l’électron, en particulier son spin.– Porte en elle l’existence d’antiparticules: ici le positon, découvert après l’équation (1933)– Conceptuelle immense: marie quantique et relativité. Introduit à la théorie quantique des

champs , où énergie et matière sont libres de se transformer l’un dans l’autre.

• Esthétique: 5+++/5 (hors compétition)• Niveau mathématique: avancé.Bruno Mansoulié,


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(𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇−𝑚 )𝜓=0

Théorie quantique relativiste (après Dirac)• Le nombre de particules n’est pas conservé dans les réactions microscopiques!

– Le « vide » même, change d’interprétation!

Vide classique Videquantique

relativiste

• Collisions de particules (ex : à LHC): concentrer l’énergie pour faire surgir la physique inconnue… du vide!


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ConversionPhoton -> e+e-

LHC: événementp+p -> t t

Relativité générale, équation d’Einstein• L’autre « plus belle équation de la physique »

• Signification: – L’espace-temps est courbe. Sa déformation (termes en R) dépend du contenu en matière et énergie (T). C’est l’origine de la gravitation.– Le terme L n’était pas dans l’équation originale. Einstein l’a introduit par la suite. On l’a

mesuré dans notre univers: il est non nul, son origine est inconnue (énergie noire); son impact sur l’évolution de l’univers est déterminant.

• Portée:– Relie matière/énergie et géométrie de l’espace-temps!– Application: images astronomiques, trous noirs, évolution de l’Univers,….GPS!

– Note: aujourd’hui encore impossible de concilier cette description de la gravitation et la théorie quantique relativiste. Problème lié à L => mystère!

• Esthétique 5/5 Niveau mathématique: avancé.

.


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𝑅𝜇𝜈− 12𝑔𝜇𝜈𝑅+Λ 𝑔𝜇𝜈=

8𝜋 𝐺𝑐4 𝑇 𝜇𝜈

Physique actuelle: le « Modèle Standard »• Signification:

– Décrit nature et comportement des particules élémentaires connues

Sauf gravitation!Et sauf matière Noire!Ni Energie Noire!

– Contient une notion abstraite intéressante (théories de jauge)

• Portée:– Outil de travail quotidien des physiciens. Permet de calculer (« prédire » ) tous les

phénomènes connus ou presque (dans les limites ci-dessus), grâce à une méthode de calcul puissante et intuitive: diagrammes de Feynman, voir plus loin.Toute nouvelle mesure est confrontée au MS.

– Base de réflexion… pour trouver mieux!

• Esthétique: 1/5 . Niveau math: compliqué…Bruno Mansoulié, CEA/IRFU-SPP Divonne, 18/06/2012

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Diagrammes de Feynman• Les calculs devenant très compliqués, un type astucieux a inventé une « symbolisation » des calculs.

• Un électron

• Un photon

• Interaction électron-positron

• Et des trucs bien plus compliqués

(formule hors de portée…)

mp1

p)iemkpmkpiie)p' u()(

)(()((u 22

'*

gg


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Physique future (???)

• Observations – Interactions entre particules (assez) bien comprises– On sait mesurer la structure et le contenu de l’Univers entier…

=>Matière noire, énergie noire inexpliquées…

• Théories– Gros problème entre gravitation et quantique…– Autres problèmes de cohérence interne du modèle– Nombreuses théories, mais une certaine tendance à empiler des solutions

particulières plutôt qu’à simplifier le tout…

• Le monde attend sa nouvelle Equation……probablement une autre « vision »


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? Y = 0

Théorie des cordes• Les “particules” sont des (minuscules) cordes vibrantes, ouvertes ou ferméesCaractérisées par leurs modes de vibration

• Bonnes propriétés quantiques: 9 dimensions d’espace + temps!=> toutes sortes de topologies (n-branes etc.)

• On peut décrire leurs interactions

• Interactions “en douceur” enlèvent le problèmequ’on avait avec la gravitation

• Plusieurs signes que c’est une bonne piste…

• Mais toujours pas de théorie unique et surtout testable…

• Niveau maths: très avancé


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Physique/Maths/Arts

• Notre conception moderne du monde est intimement liée avec nos outils mathématiques.

• Au-delà de la technique mathématique, une équation de la physique propose (doit proposer) une vision du monde

• Modéliser, abstraire, découvrir, exposer, sublimer…

• Très proche de la démarche artistique– L’esthétique de l’équation (de la théorie) joue un grand rôle…


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• Le Modèle Standard

NomType d’interaction

3 familles

u c t Quarks

(Forte et Electro-faible)d s b

e Leptons

(Electro-faible)

e

CONSTITUANTS:Ces constituants élémentaires sont des fermions: spin ½ , statistique de Fermi

- Première colonne (« famille »): constituants des particules « ordinaires »: . électron (et son neutrino) . proton (uud), neutron (udd)

- Deux autres : répliques identiques à tous points de vue sauf la masse: plus lourdOn ne sait pas pourquoi il y a 3 familles!Produites dans des réactions de « haute énergie », soit naturelles (rayons cosmiques) , soit artificielles (accélérateurs…)

electrons quarksProtons,neutrons


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NomType d’interaction

3 familles

u c t Quarks

(Forte et Electro-faible)d s b

e Leptons

(Electro-faible)

e

INTERACTIONS

L’interaction ELECTROMAGNETIQUE est la plus habituelle: charge électrique, liaison de l’atome, molécules.

L’interaction FORTE concerne les quarks. De nombreux états liés existent: les hadrons. Les quarks u et d sont les constituants des protons et des neutrons. La cohésion du noyau est aussi due à l’interaction forte.

L ’interaction FAIBLE se manifeste dans les désintégrations radioactives. C’est elle qui fait « brûler » le soleil. Les neutrinos ne connaissent qu’elle.

GRAVITATION: Concerne toutes les formes de matière et d’énergie. Mais très faible par rapport aux autres interactions au niveau de quelques particules.

Charge électrique

2/3 e

-1/3 e

- e

0

Le Modèle Standard


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