Localisation des courbes anormales et couples de tenseurs de Poisson en petite dimension

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  • Bull. Sci. math. 124, 6 (2000) 459515 2000 ditions scientifiques et mdicales Elsevier SAS. Tous droits rservs

    LOCALISATION DES COURBES ANORMALES ET COUPLESDE TENSEURS DE POISSON EN PETITE DIMENSION

    PAR

    PATRICK CABAU, FERNAND PELLETIERLaboratoire de Mathmatiques, Universit de Savoie,

    73376 Le Bourget-du-Lac Cedex, France

    Manuscrit prsent par J.-P. FRANOISE, reu en Juillet 1999

    RSUM. Nous construisons des stratifications en dimension 4 et 5 permettant delocaliser les courbes anormales pour des distributions gnriques de codimension 2 endimension 6 et 7. Ces stratifications permettent aussi, en dimension 4 et 5, de dcrire lessingularits des feuilletages de Weinstein associs un couple de tenseurs de Poissoncompatibles intervenant dans le contexte des varits bihamiltoniennes. 2000 ditionsscientifiques et mdicales Elsevier SAS

    AMS classification: 49J15, 53B50Mots Cls: Anormales, Systmes bihamiltoniens, Stratifications

    1. Introduction

    Considrons une distribution E rgulire sur une varit M . Onnote a(E) la varit des chemins de classe H 1 tangents presquepartout E, dorigine a M et paramtriss sur [0,1]. Si E 6=TM , lapplication extrmit ext :a(E)M nest pas en gnral unesubmersion : le chemin constant est toujours un point singulier. Lesautres points singuliers de ext sont appeles des courbes anormales. Sousdes conditions gomtriques trs restrictives dnommes conditions H 2fortes [21] ou fat distribution ([24]), lapplication ext ne possde pas desingularits en dehors du chemin constant. Ce contexte a donn lieu denombreux travaux ([3,5,19], . . .). Dautre part, une importante recherchercente sest intresse ltude des courbes anormales ([1,7,1113,25],. . .). Le premier objectif de ce travail est de donner une localisation des

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    courbes anormales pour des distributions gnriques de codimension 2sur des varits de dimension 6 et 7 (Thormes 3.1 et 3.2). En particulier,en dimension 6, gnriquement, la distribution ne possde pas de courbesanormales (non constantes) sur une partie ouverte de la varit mais enpossde par ailleurs sur le complmentaire.

    Lintrt de ltude des couples de 2-tenseurs de Poisson compatiblessur une varit rside dans le fait que les systmes hamiltoniensintgrables apparaissent comme des champs particuliers sur de tellesvarits. Lexistence de loprateur de rcursion permet, dans certainscas, de construire par induction des intgrales premires de tels systmes([8,20], . . .). Le deuxime objectif est de faire une tude gomtriquedun tel couple de tenseurs dans des situations gnriques en petitedimension. Plus prcisment, en dimension 4 et 5, pour un couplede tenseurs de Poisson gnrique, nous donnons une description dessingularits de rang de loprateur de rcursion associ (Thorme 4.2)et des singularits des feuilletages de Weinstein associs (Thorme4.3). Dans ce contexte, nous tablissons aussi des conditions ncessaireset suffisantes pour quun champ de vecteurs soit bihamiltonien et plusgnralement bidynamique (Thormes 4.4 et 4.5).

    La Section 2 est consacre la construction de stratifications ad-quates dans des espaces de jets de couples de 1-formes (resp. de bi-vecteurs). La transversalit ces stratifications permettra dtablir lagnricit et les proprits annonces. Les rsultats sur la localisationdes courbes anormales sont dtaills dans le premier paragraphe de laSection 3. Ces rsultats sont des consquences de rsultats plus g-nraux (troisime paragraphe) et permettent de dcrire compltementla situation de courbes anormales sur les varits homognes de di-mension 6 et 7 (quatrime paragraphe). Les rsultats sur les couplesde tenseurs de Poisson compatibles sont dtaills dans le premier pa-ragraphe de la Section 4. On montre ensuite lexistence de tenseursde Poisson compatibles transverses (deuxime paragraphe). Pour fi-nir, on tablit des conditions ncessaires et suffisantes dexistence dechamps de vecteurs bidynamiques et localement bihamiltoniens. En par-ticulier, on montre lexistence de solutions pour une quation du typeAX = B o A est une matrice antisymtrique gnrique de dimen-sion 5.

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    2. Stratification de couples de champs de bivecteurs (resp. de1-formes)

    Lobjet de cette partie est de dfinir des stratifications sur des espacesde jets qui seront utilises, dune part, pour localiser les anormalesrelatives des distribributions de codimension 2 sur des varits dedimension 6 et 7 et dautre part, pour tudier la gnricit des couplesde champs de bivecteurs de Poisson compatibles sur des varits dedimension 4 et 5 et lexistence de champs de vecteurs localementbihamiltoniens.

    Les stratifications cherches sur des fibrs sont obtenues partirde stratifications sur des espaces vectoriels ou sur des ouverts de telsespaces. Le passage de la stratification des couples de bivecteurs auxcouples de formes se fera par passage au dual et par identification delespace vectoriel avec son bidual.

    On dveloppera une stratification utilise sur un espace de jets de bi-vecteurs qui aura t raffine par le rang du deuxime lment, stratifi-cation que lon utilisera pour obtenir des rsultats de gnricit sur lescouples de tenseurs de Poisson compatibles et sur lexistence de champsde vecteurs localement bihamiltoniens sur des parties de la varit. Lastratification que lon utilisera sur les jets de couples de 2-formes se d-duira facilement de la stratification non raffine prcdente ; elle permetune classification des anormales dune distribution de codimension 2.

    2.1. Notations

    Pour p appartenant {4,5}, on introduit les ensembles suivants :Vp2 : espace vectoriel des bivecteurs sur Rp.CVp2 : ouvert de Vp2 Vp2 des couples (w1,w2) dlments indpendants

    de Vp2 .Fp2 : espace vectoriel des 2-formes antisymtriques sur Rp .CFp2 : ouvert de Fp2 Fp2 des couples (1, 2) dlments indpendants

    de Fp2 .On note suppw0 le support du bivecteur w0 de Vp2 , i.e. limage

    de lapplication linaire : 7 w0(, .) dans Rp . Lespace suppw0 estlorthogonal du noyau de lapplication linaire prcdente.

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    Il existe une action de GL(p,R) sur CVp2 dfinie pour w = (w1,w2)par (A,w) 7 (A w1,A w2) o

    A wi(,)=wi(tA, tA).Pourw CV2, on dsigne par Epw (ouEw , sil ny a pas dambigut) le

    sous-espace vectoriel de Vp2 (de dimension 2) engendr par les bivecteursw1 et w2. Il existe alors une action naturelle de GL(2,R) sur CVp2 qui agitde manire transitive sur les bases de Epw.

    2.2. Stratification dans lespace des couples de bivecteursindpendants

    2.2.1. Stratification dans CV42On dfinit tout dabord une stratification de CV42 comme image

    rciproque par une submersion de la stratification lie la signature delensemble des classes projectives de formes quadratiques non nullessur R2, laquelle on adjoint lensemble des bivecteurs dimage nulle.On raffine ensuite cette stratification en fonction du rang du bivecteurw2. Il est bien connu que la stratification par le rang de lensemble desbivecteurs non nuls sur R4 donne 2 strates notes 4 (constitue desbivecteurs de rang maximum) ouverte et 2 (ensemble des bivecteurs derang 2) de codimension 1.

    On dsigne par Q lensemble des formes quadratiques sur R2.A laide dun quelconque quadrivecteur non nul sur R4, on dfinit

    lapplication q par :

    q : CV42 Qw 7 AX2 + 2BXY +CY 2

    o w1 w1 =A, w1 w2 =B, w2 w2 = C pour w = (w1,w2).On dfinit alors les sous-ensembles de CV42 suivants en fonction de la

    signature de q(w) : SE = {w CV42, sgnq(w)= (2,0) ou (0,2)}, SH = {w CV42, sgnq(w)= (1,1)}, SP = {w CV42, sgnq(w)= (1,0) ou (0,1)}, S0 = {w CV42, sgnq(w)= (0,0)}.

    Ces ensembles sont indpendants du quadrivecteur .

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    PROPOSITION 2.1. (1) On a les caractrisations suivantes :SE est l ensemble des couples w pour lesquels tous les lments de Ew

    sont de rang 4.SH est l ensemble des couples w pour lesquels lensemble des l-

    ments de Ew qui sont de rang 2 est form de deux sous-espaces vectoriels(privs de 0), supplmentaires, de dimension 1.SP est l ensemble des couples w pour lesquels lensemble des l-

    ments de Ew qui sont de rang 2 est form dun sous espace vectorielde dimension 1 (priv de 0).S0 est l ensemble des couples w pour lesquels tous les lments non

    nuls de Ew sont de rang 2.(2) Soit w une autre base de Ew, alors w et w appartiennent au mme

    sous-ensemble Si , i =E,H,P,0.Preuve. On reprend les notations prcdemment introduites (le qua-

    drivecteur non nul tant fix).(1) Comme un lment u Ew scrit u = 1w1 + 2w2, il est clair

    quun lment u de Ew est de rang 2 si et seulement si u u = 0,i.e. q(u)(1, 2) = 0 ; les proprits classiques des formes quadratiquespermettent dtablir le rsultat.

    (2) Soit w une autre base de Ew et P la matrice des composantes dew dans la base w. Si B est la matrice associe la forme polaire deq(w) alors la matrice de la forme polaire de q(w) est gale tPBP ;il en rsulte que les formes quadratiques q(w) et q(w) ont les mmesinvariants caractristiques, ce qui achve le dmonstration. 2

    Remarque 2.1. Ecritures simultanes des bivecteurs w1 et w2 dansune base (e1, e2, e3, e4) adapte : w1 = e1 e2 + e3 e4 et

    w SE si et seulement si w1 = e1 e2 + e3 e4, w2 = (e1 e2 +e3 e4)+(e1 e4 + e2 e3), 6= 0,

    w SH si et seulement si w1 = e1 e2 + e3 e4, w2 = a.e1 e2 +b.e3 e4, a 6= b,

    w SP si et seulement si w1 = e1 e2 + e3 e4, w2 = a.e1 e2 +e1 e4 + a.e3 e4,

    w S0 si et seulement si w1 = 1 2 et w2 = 1 3.LEMME 2.1. {Si} i=E,H,P,0 est une stratification de CV42 o chaque

    strate Si o i = E,H,P,0 est une sous-varit de CV42 invariante parles actions respectives de GL(4,R) et GL(2,R).

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