Localisation des courbes anormales et couples de tenseurs de Poisson en petite dimension

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    02-Jul-2016

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<ul><li><p>Bull. Sci. math. 124, 6 (2000) 459515 2000 ditions scientifiques et mdicales Elsevier SAS. Tous droits rservs</p><p>LOCALISATION DES COURBES ANORMALES ET COUPLESDE TENSEURS DE POISSON EN PETITE DIMENSION</p><p>PAR</p><p>PATRICK CABAU, FERNAND PELLETIERLaboratoire de Mathmatiques, Universit de Savoie,</p><p>73376 Le Bourget-du-Lac Cedex, France</p><p>Manuscrit prsent par J.-P. FRANOISE, reu en Juillet 1999</p><p>RSUM. Nous construisons des stratifications en dimension 4 et 5 permettant delocaliser les courbes anormales pour des distributions gnriques de codimension 2 endimension 6 et 7. Ces stratifications permettent aussi, en dimension 4 et 5, de dcrire lessingularits des feuilletages de Weinstein associs un couple de tenseurs de Poissoncompatibles intervenant dans le contexte des varits bihamiltoniennes. 2000 ditionsscientifiques et mdicales Elsevier SAS</p><p>AMS classification: 49J15, 53B50Mots Cls: Anormales, Systmes bihamiltoniens, Stratifications</p><p>1. Introduction</p><p>Considrons une distribution E rgulire sur une varit M . Onnote a(E) la varit des chemins de classe H 1 tangents presquepartout E, dorigine a M et paramtriss sur [0,1]. Si E 6=TM , lapplication extrmit ext :a(E)M nest pas en gnral unesubmersion : le chemin constant est toujours un point singulier. Lesautres points singuliers de ext sont appeles des courbes anormales. Sousdes conditions gomtriques trs restrictives dnommes conditions H 2fortes [21] ou fat distribution ([24]), lapplication ext ne possde pas desingularits en dehors du chemin constant. Ce contexte a donn lieu denombreux travaux ([3,5,19], . . .). Dautre part, une importante recherchercente sest intresse ltude des courbes anormales ([1,7,1113,25],. . .). Le premier objectif de ce travail est de donner une localisation des</p></li><li><p>460 P. CABAU, F. PELLETIER / Bull. Sci. math. 124 (2000) 459515</p><p>courbes anormales pour des distributions gnriques de codimension 2sur des varits de dimension 6 et 7 (Thormes 3.1 et 3.2). En particulier,en dimension 6, gnriquement, la distribution ne possde pas de courbesanormales (non constantes) sur une partie ouverte de la varit mais enpossde par ailleurs sur le complmentaire.</p><p>Lintrt de ltude des couples de 2-tenseurs de Poisson compatiblessur une varit rside dans le fait que les systmes hamiltoniensintgrables apparaissent comme des champs particuliers sur de tellesvarits. Lexistence de loprateur de rcursion permet, dans certainscas, de construire par induction des intgrales premires de tels systmes([8,20], . . .). Le deuxime objectif est de faire une tude gomtriquedun tel couple de tenseurs dans des situations gnriques en petitedimension. Plus prcisment, en dimension 4 et 5, pour un couplede tenseurs de Poisson gnrique, nous donnons une description dessingularits de rang de loprateur de rcursion associ (Thorme 4.2)et des singularits des feuilletages de Weinstein associs (Thorme4.3). Dans ce contexte, nous tablissons aussi des conditions ncessaireset suffisantes pour quun champ de vecteurs soit bihamiltonien et plusgnralement bidynamique (Thormes 4.4 et 4.5).</p><p>La Section 2 est consacre la construction de stratifications ad-quates dans des espaces de jets de couples de 1-formes (resp. de bi-vecteurs). La transversalit ces stratifications permettra dtablir lagnricit et les proprits annonces. Les rsultats sur la localisationdes courbes anormales sont dtaills dans le premier paragraphe de laSection 3. Ces rsultats sont des consquences de rsultats plus g-nraux (troisime paragraphe) et permettent de dcrire compltementla situation de courbes anormales sur les varits homognes de di-mension 6 et 7 (quatrime paragraphe). Les rsultats sur les couplesde tenseurs de Poisson compatibles sont dtaills dans le premier pa-ragraphe de la Section 4. On montre ensuite lexistence de tenseursde Poisson compatibles transverses (deuxime paragraphe). Pour fi-nir, on tablit des conditions ncessaires et suffisantes dexistence dechamps de vecteurs bidynamiques et localement bihamiltoniens. En par-ticulier, on montre lexistence de solutions pour une quation du typeAX = B o A est une matrice antisymtrique gnrique de dimen-sion 5.</p></li><li><p>P. CABAU, F. PELLETIER / Bull. Sci. math. 124 (2000) 459515 461</p><p>2. Stratification de couples de champs de bivecteurs (resp. de1-formes)</p><p>Lobjet de cette partie est de dfinir des stratifications sur des espacesde jets qui seront utilises, dune part, pour localiser les anormalesrelatives des distribributions de codimension 2 sur des varits dedimension 6 et 7 et dautre part, pour tudier la gnricit des couplesde champs de bivecteurs de Poisson compatibles sur des varits dedimension 4 et 5 et lexistence de champs de vecteurs localementbihamiltoniens.</p><p>Les stratifications cherches sur des fibrs sont obtenues partirde stratifications sur des espaces vectoriels ou sur des ouverts de telsespaces. Le passage de la stratification des couples de bivecteurs auxcouples de formes se fera par passage au dual et par identification delespace vectoriel avec son bidual.</p><p>On dveloppera une stratification utilise sur un espace de jets de bi-vecteurs qui aura t raffine par le rang du deuxime lment, stratifi-cation que lon utilisera pour obtenir des rsultats de gnricit sur lescouples de tenseurs de Poisson compatibles et sur lexistence de champsde vecteurs localement bihamiltoniens sur des parties de la varit. Lastratification que lon utilisera sur les jets de couples de 2-formes se d-duira facilement de la stratification non raffine prcdente ; elle permetune classification des anormales dune distribution de codimension 2.</p><p>2.1. Notations</p><p>Pour p appartenant {4,5}, on introduit les ensembles suivants :Vp2 : espace vectoriel des bivecteurs sur Rp.CVp2 : ouvert de Vp2 Vp2 des couples (w1,w2) dlments indpendants</p><p>de Vp2 .Fp2 : espace vectoriel des 2-formes antisymtriques sur Rp .CFp2 : ouvert de Fp2 Fp2 des couples (1, 2) dlments indpendants</p><p>de Fp2 .On note suppw0 le support du bivecteur w0 de Vp2 , i.e. limage</p><p>de lapplication linaire : 7 w0(, .) dans Rp . Lespace suppw0 estlorthogonal du noyau de lapplication linaire prcdente.</p></li><li><p>462 P. CABAU, F. PELLETIER / Bull. Sci. math. 124 (2000) 459515</p><p>Il existe une action de GL(p,R) sur CVp2 dfinie pour w = (w1,w2)par (A,w) 7 (A w1,A w2) o</p><p>A wi(,)=wi(tA, tA).Pourw CV2, on dsigne par Epw (ouEw , sil ny a pas dambigut) le</p><p>sous-espace vectoriel de Vp2 (de dimension 2) engendr par les bivecteursw1 et w2. Il existe alors une action naturelle de GL(2,R) sur CVp2 qui agitde manire transitive sur les bases de Epw.</p><p>2.2. Stratification dans lespace des couples de bivecteursindpendants</p><p>2.2.1. Stratification dans CV42On dfinit tout dabord une stratification de CV42 comme image</p><p>rciproque par une submersion de la stratification lie la signature delensemble des classes projectives de formes quadratiques non nullessur R2, laquelle on adjoint lensemble des bivecteurs dimage nulle.On raffine ensuite cette stratification en fonction du rang du bivecteurw2. Il est bien connu que la stratification par le rang de lensemble desbivecteurs non nuls sur R4 donne 2 strates notes 4 (constitue desbivecteurs de rang maximum) ouverte et 2 (ensemble des bivecteurs derang 2) de codimension 1.</p><p>On dsigne par Q lensemble des formes quadratiques sur R2.A laide dun quelconque quadrivecteur non nul sur R4, on dfinit</p><p>lapplication q par :</p><p>q : CV42 Qw 7 AX2 + 2BXY +CY 2</p><p>o w1 w1 =A, w1 w2 =B, w2 w2 = C pour w = (w1,w2).On dfinit alors les sous-ensembles de CV42 suivants en fonction de la</p><p>signature de q(w) : SE = {w CV42, sgnq(w)= (2,0) ou (0,2)}, SH = {w CV42, sgnq(w)= (1,1)}, SP = {w CV42, sgnq(w)= (1,0) ou (0,1)}, S0 = {w CV42, sgnq(w)= (0,0)}.</p><p>Ces ensembles sont indpendants du quadrivecteur .</p></li><li><p>P. CABAU, F. PELLETIER / Bull. Sci. math. 124 (2000) 459515 463</p><p>PROPOSITION 2.1. (1) On a les caractrisations suivantes :SE est l ensemble des couples w pour lesquels tous les lments de Ew</p><p>sont de rang 4.SH est l ensemble des couples w pour lesquels lensemble des l-</p><p>ments de Ew qui sont de rang 2 est form de deux sous-espaces vectoriels(privs de 0), supplmentaires, de dimension 1.SP est l ensemble des couples w pour lesquels lensemble des l-</p><p>ments de Ew qui sont de rang 2 est form dun sous espace vectorielde dimension 1 (priv de 0).S0 est l ensemble des couples w pour lesquels tous les lments non</p><p>nuls de Ew sont de rang 2.(2) Soit w une autre base de Ew, alors w et w appartiennent au mme</p><p>sous-ensemble Si , i =E,H,P,0.Preuve. On reprend les notations prcdemment introduites (le qua-</p><p>drivecteur non nul tant fix).(1) Comme un lment u Ew scrit u = 1w1 + 2w2, il est clair</p><p>quun lment u de Ew est de rang 2 si et seulement si u u = 0,i.e. q(u)(1, 2) = 0 ; les proprits classiques des formes quadratiquespermettent dtablir le rsultat.</p><p>(2) Soit w une autre base de Ew et P la matrice des composantes dew dans la base w. Si B est la matrice associe la forme polaire deq(w) alors la matrice de la forme polaire de q(w) est gale tPBP ;il en rsulte que les formes quadratiques q(w) et q(w) ont les mmesinvariants caractristiques, ce qui achve le dmonstration. 2</p><p>Remarque 2.1. Ecritures simultanes des bivecteurs w1 et w2 dansune base (e1, e2, e3, e4) adapte : w1 = e1 e2 + e3 e4 et</p><p> w SE si et seulement si w1 = e1 e2 + e3 e4, w2 = (e1 e2 +e3 e4)+(e1 e4 + e2 e3), 6= 0,</p><p> w SH si et seulement si w1 = e1 e2 + e3 e4, w2 = a.e1 e2 +b.e3 e4, a 6= b,</p><p> w SP si et seulement si w1 = e1 e2 + e3 e4, w2 = a.e1 e2 +e1 e4 + a.e3 e4,</p><p> w S0 si et seulement si w1 = 1 2 et w2 = 1 3.LEMME 2.1. {Si} i=E,H,P,0 est une stratification de CV42 o chaque</p><p>strate Si o i = E,H,P,0 est une sous-varit de CV42 invariante parles actions respectives de GL(4,R) et GL(2,R).</p></li><li><p>464 P. CABAU, F. PELLETIER / Bull. Sci. math. 124 (2000) 459515</p><p> SE et SH sont ouverts, SP est de codimension 1, S0 est de codimension 3.Preuve. Soit w CV42. Pour tout A GL(4,R), il existe un nombre</p><p>rel non nul tel que lon ait : q(A.w) = q(w) pour w SE SH SP S0. Par suite, chaque ensemble Si , i = E,H,P,0 est invariant parcette action.</p><p>(a) Dsignons par CV42 le complmentaire de S0 dans CV42. Cetensemble est ouvert et invariant par laction de GL(4,R). De plus, laforme quadratique q(w) associ llment w de CV42 est non nulle.Dsignons par Q lespace projectif associ Q et par q : CV42 Qlapplication induite par q. De plus, q est indpendante du choix de. Par passage au projectif, laction naturelle de GL(2,R) sur Q donnenaissance une action sur Q et les orbites de cette action constituent unestratification de cette varit. On a deux orbites ouvertes : la projectionde lensemble des formes quadratiques de signature (2,0) ou (0,2) et laprojection de lensemble des formes quadratiques de signature (1,1). Latroisime orbite est la projection de lensemble des formes quadratiquesde signature (1,0) ou (0,1) qui est une sous-varit de codimension 1.</p><p>Pour prouver que {Si} i=E,H,P est une stratification de CV42 et calculerla codimension des strates, il suffit dtablir que q est une submersion enchaque point w de CV42.</p><p>Afin dtablir la surjectivit de dqw on distingue le cas o rangw1 =rangw2 = 2 du cas rangw1 = 4 ou rangw2 = 4 ; un simple calculmne alors au rsultat en utilisant le fait que limage rciproque dunestratification par une submersion est encore une stratification.</p><p>(b) Si w S0 on introduit lapplication (w1,w2) 7 (w1 w1,w1 w2,w2 w2) ; S0 apparait alors comme lensemble des bivecteurs noncolinaires ayant pour image (0,0,0) : le rsultat dcoule du fait quecette application est une submersion en les points considrs. 2</p><p>On raffine alors la stratification prcdente en considrant le rang dudeuxime bivecteur w2.</p><p>Puisque tous les lments de SE sont de rang 4, on obtient lastratification raffine suivante :{</p><p>SE,SH,4, SH,2, SP,4, SP,2, S0}</p><p>o :</p></li><li><p>P. CABAU, F. PELLETIER / Bull. Sci. math. 124 (2000) 459515 465</p><p> SH,4 = {w CV42, sgnq(w)= (1,1), rangw2 = 4}, SH,2 = {w CV42, sgnq(w)= (1,1), rangw2 = 2}, SP,4 = {w CV42, sgnq(w)= (1,0) ou (0,1), rangw2 = 4}, SP,2 = {w CV42, sgnq(w)= (1,0) ou (0,1), rangw2 = 2}.On peut aussi donner une caractrisation analytique de chacun de ces</p><p>sous-ensembles :on choisit une base (e1, e2, e3, e4)de R4 dans laquelle w1 scrit sous</p><p>la forme simplifiew1 = e1 e2+ e3 e4. On choisit alors le quadrivecteur = e1 e2</p><p>e3 e4. Le bivecteur w2 scrira alors sous la forme gnrale :w2 =16i 0, 6= 0, S</p><p>H,2:</p><p>{&gt; 0, = 0,</p><p>SP,4:</p><p>{= 0, 6= 0, S</p><p>P,2:</p><p>{= 0, = 0.</p><p>PROPOSITION 2.2. Proprits de la stratification raffine de CV42(1) S4 = {SE,SH,4, SH,2, SP,4, SP,2, S0} est une stratification de CV42</p><p>invariante sous laction de GL(4,R).(2) (a) SE et SH,4 sont ouverts.</p><p>(b) SH,2 et SP,4 sont des sous-varits de codimension 1.(c) SP,2 est une sous-varit de codimension 2.(d) S0 est une sous-varit de codimension 3.</p></li><li><p>466 P. CABAU, F. PELLETIER / Bull. Sci. math. 124 (2000) 459515</p><p>(3) SE = SE SP S0, SH,4 = SH SP S0, SP,4 = SP S0,SH,2 = SH,2 SP,2 S0, SP,2 = SP,2 S0.</p><p>Preuve. (1) (2) On utilise les rsultats dj obtenus au Lemme 2.1.Linvariance de chacun des sous-ensembles sous laction de GL(4,R)</p><p>est vidente.(a) SE est ouvert comme dj prouv au lemme cit (SE est aussi gal</p><p> limage rciproque de louvert R par lapplication continue ).(b) SH,4 est ouvert comme intersection des deux ouverts 1(R+) et</p><p> 1(R). SH,2 est une sous-varit de codimension 1 car dfinit unesubmersion en tout point de SH,2 puisque sa diffrentielle est non nulleen tout point de SH,2 (un, au moins, des rels a12, . . . , a34 nest pas nul).SP,4 est une sous-varit de codimension 1 car dfinit une submersionen tout point de SP,4 puisque la diffrentielle de est de rang 1 en toutpoint de SP,4 car le coefficient de da23 est non nul. SP apparat commela runion dorbites des lments de la forme</p><p>(e1 e2 + e3 e4, ae1 e2 + e1 e4 + ae3 e4) (o a R)sous laction du groupe de Lie GL(4,R).</p><p>(c) SP,2 est alors lorbite correspondant a = 0 et est donc decodimension 1 dans SP .</p><p>(d) S0 est une sous-varit de codimension 3 (rsultat dj tabli).(3) Etablissons, par exemple, que SH,4 = SH SP S0 : il est vident</p><p>que SH,4 SH,2 puisque llment de SH,2 (e1 e2+ e3 e4, a.e1 e2),o a 6= 0, est la limite de la suite des lments (e1 e2 + e3 e4, a.e1 e2 + 1n .e3 e4) appartenant SH,4 (pour n suffisamment grand).</p><p>Dautre part, llment (e1 e2 + e3 e4, a.e1 e2 + e1 e4 + a.e3 e4) apparait comme limite de la suite (e1 e2+ e3 e4, (a+ 1n).e1 e2+e1 e4 + a.e3 e4) dlments de SH,4.</p><p>Llment (e1 e2, e1 e3) de S0 apparait, quant lui, comme limitede la suite (e1e2+ 1n .e3e4, .e1e3+ 1n .e2e4+ 1n .e3e4) dlmentsde SH,4. 22.2.2. Stratification dans CV52</p><p>On adopte une dmarche analogue au paragraphe prcdent en dfi-nissant tout dabord une stratification de CV52 partir dune stratificationde lensemble des matrices non nulles 3 colonnes et 5 lignes puis onraffine cette stratification en fonction du rang du bivecteur w2.</p></li><li><p>P. CABAU, F. PELLETIER / Bull. Sci. math. 124 (2000) 459515 467</p><p>On dsigne parM3,5(R) lensemble des matrices coefficients rels 3 colonnes et 5 lignes, et on considre lapplication continue</p><p>k : CV52 M3,5(R),w 7 MatB(w21,w1 w2,w22),</p><p>o B = (e1, e2, e3, e4, e5) avec ei = e1 ei e5 (quadri-vecteu...</p></li></ul>