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Les Tenseurs

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cours de base

Text of Les Tenseurs

  • Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    1 / 95

    MEC6418 - NOTES DE COURS

    Notions lmentaires sur les tenseurs

    Par: Martin Lvesqueprofesseur du dpartement de gnie mcanique

    Hiver 2011

  • Espaces vectoriels

    Rappels

    EspaceApp. n-Lin.

    Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    2 / 95

    Corps

    Ensemble de nombres (R, C, etc.) utiliss pour dfinir unespace vectoriel.

    Espace vectoriel linairel

    Ensemble dentits mathmatiques (scalaires, vecteurs,fonctions, matrices, etc.) dfinis sur un corps et ayantcertaines proprits communes.

    Par exemple, R3, qui pourrait tre not R R R,pourrait tre lensemble des triplets (x1, x2, x3) oxi R.

    Les rgles pour un espace vectoriel linaire sont:

    1. Si x et y E, alors x+ y E.2. Si R et x E, alors x E

    Il est intressant de noter que les objets dun espacevectoriel (x, y, etc.) sont appels vecteurs mme sil sagitde scalaires, vecteurs, matrices, fonctions, etc.

  • Espaces vectoriels

    Rappels

    EspaceApp. n-Lin.

    Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    3 / 95

    Produit scalaire

    Pour x, y E, le produit scalaire dnot < x, y > est unefonction qui associe le doublet (x, y), compris dans lespaceE E, un lment de R. En langage mathmatique,cette phrase scrit: < , >: E E R .

    Les proprits du produit scalaire sont les suivantes:

    1. < x, y >= < x, y >2. < x+ y, z >=< x, z > + < y, z >3. < x, x >> 0 si x 6= 0, < x, x >= 0 x = 0

    Des exemples de produit scalaires sont:

    1. < x, y >=n

    k=1 xkyk o x, y Rn2. < f, g >=

    10 f(x)g(x)dx o f, g sont des fonctions

    continues pour x [0, 1]

  • Application n-linaire

    Rappels

    Espace

    App. n-Lin.Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    4 / 95

    Une application n-linaire est une application qui faitcorrespondre un vecteur w, n vecteurs. La Figure 1 illustreschmatiquement une application bi-linaire.

    Application

    n-linaire

    Figure 1: Reprsentation dune application bi-linaire qui prend lecouple de vecteurs (u, v) de lespace E F et y fait correspondreun vecteur w dans un espace S. Si on nomme l cette application

    linaire on crira: l : E F S.

  • Application n-linaire

    Rappels

    Espace

    App. n-Lin.Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    5 / 95

    Les proprits de n-linarit sont les suivantes. Soient(u1, u2, . . . , un) n vecteurs appartenant diffrents espacesvectoriels, 1, 2, . . . n R et T cette application n-linaire.On aura:

    T (1u1, 2u2, . . . , nun) =(1 2 . . . n) T (u1, u2, . . . , un) (1a)

    T (u1 + un+1, u2 + un+2, . . . , un + un+n) =i1=1

    i1=0

    i2=1

    i2=0

    . . .

    in=1

    in=0

    T (uni1+1, uni2+2, . . . , unin+n) (1b)

  • Application n-linaire et forme n-linaire

    Rappels

    Espace

    App. n-Lin.Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    6 / 95

    Par exemple, pour une application bi-linaire, on aurait

    T (1u1, 2u2) = 12T (u1, u2) (2a)

    T (u1 + u3, u2 + u4) =T (u1, u2) + T (u1, u4) + T (u3, u2) + T (u3, u4) (2b)

    Une forme n-linaire est une application n-linaire qui faitcorrespondre n vecteurs un scalaire appartenant un corps.

    Particularits notre cours

    On notera par E lensemble de tous les triplets de scalairesrels permettant de dfinir tous les vecteurs de dimension 3.En dautres termes E est R R R, o R est considrcomme un espace vectoriel.

    On notera par {~e1, ~e2, ~e3} les vecteurs formant une baseorthonorme de E.

  • Tenseur dordre 1

    Rappels

    Dfinitions

    Tens. 1Tens. 2

    Tens. 4

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    7 / 95

    Dfinition:

    Un tenseur dordre 1 permet de dfinir une forme linaire

    sur E.

    Si on note par t un tenseur dordre 1, alors on aura:

    t(u) = o u E et R (3)

    Le produit scalaire classique est une forme linaire. Si u E,dans ce cas on aurait:

    t(u) =

    i=3

    i=1

    tiui

    = t1u1 + t2u2 + t3u3

    =

    (4)

    On peut montrer que les composantes de t sont donnes par:

    t (~ei) = ti (5)

    Voir dmonstration au tableau pour la linarit et (5).

  • Tenseur dordre 2

    Rappels

    Dfinitions

    Tens. 1

    Tens. 2Tens. 4

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    8 / 95

    Un tenseur dordre 2 permet de dfinir une forme bi-linaire sur

    E E. Si on note par un tenseur dordre 2, alors on aura:

    (u, v) = o u, v E et R (6)

    La forme bi-linaire suivante est un tenseur dordre 2:

    (u, v) =

    i=3

    i=1

    j=3

    j=1

    uiijvj

    =i=3

    i=1

    uii1v1 + uii2v2 + uii3v3

    = u111v1 + u221v1 + u331v1+

    u112v2 + u222v2 + u332v2+

    u113v3 + u223v3 + u333v3

    =

    (7)

    Voir dmonstration au tableau pour la bi-linarit

  • Tenseur dordre 4

    Rappels

    Dfinitions

    Tens. 1

    Tens. 2

    Tens. 4Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    9 / 95

    Un tenseur dordre 4 peut avoir plusieurs significations. Forme 4-linaire de E4 : T(u, v, w, a) = o u, v, w et a E

    et R. Par exemple,

    T(u, v, w, a) =3

    i=1

    3

    j=1

    3

    k=1

    3

    l=1

    uivjwkalTijkl = (8)

    La proprit de 4-linarit se vrifie de manire analogue la bi-linarit pour les tenseurs dordre 2.

    Cette interprtation est rarement utilise en mcanique.

  • Tenseur dordre 4

    Rappels

    Dfinitions

    Tens. 1

    Tens. 2

    Tens. 4Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    10 / 95

    Un tenseur dordre 4 peut avoir plusieurs significations. Forme bi-linaire de F F , o F est lespace des tenseurs

    dordre 2.

    Par exemple,

    T(

    , )

    =3

    i=1

    3

    j=1

    3

    k=1

    3

    l=1

    ijTjiklkl = (9)

    Si et sont la dformation et si T est le tenseur de

    rigidit C, alors un tenseur dordre 4 peut servir dfinir

    lnergie de dformation.

  • Tenseur dordre 4

    Rappels

    Dfinitions

    Tens. 1

    Tens. 2

    Tens. 4Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    11 / 95

    Un tenseur dordre 4 peut avoir plusieurs significations. Application linaire de F F , o F est lespace des tenseurs

    dordre 2.

    Par exemple,

    T(

    )

    =3

    k=1

    3

    l=1

    Tijklkl = ij = (10)

    Si est la dformation et si T est le tenseur de rigidit C,

    est le tenseur des contraintes . Un tenseur dordre 4 peut donc faire le lien entre les

    dformations et les contraintes.

  • Produit tensoriel

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    ProduitEinstein

    Contraction

    Delta

    Identits

    Drive

    Ch. base

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    12 / 95

    Deux tenseurs dordre m et n permettent de crer un tenseurdordre m+ n par lopration suivante:

    Ai1i2...im Bj1j2...jn = Ai1i2...imBj1j2...jn (11)

    Par exemple:

    a b = = aibj = ij =

    a1b1 a1b2 a1b3a2b1 a2b2 a2b3a3b1 a3b2 a3b3

    (12)

    o a t reprsent comme une matrice.

  • Produit contract et notation dEinstein

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Produit

    EinsteinContraction

    Delta

    Identits

    Drive

    Ch. base

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    13 / 95

    Le produit scalaire de deux vecteurs peut sexprimer par~u ~v =

    3i=1 uivi.

    Avec la notation dEinstein, on suppose quil y a somme surtous les indices rpts. On pourra donc crire:

    3

    i=1

    uivi = uivi (13)

    On qualifiera les indices rpts de muets car on aurait puobtenir le mme rsultat en crivant ujvj , uzvz, etc.

    On qualifiera de franc un indice qui ne disparat pas lors delopration.

  • Produit contract et notation dEinstein

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Produit

    Einstein

    ContractionDelta

    Identits

    Drive

    Ch. base

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    14 / 95

    Le produit n-fois contract consiste dans un premier temps effectuer le produit tensoriel entre deux tenseurs et par la suiterpter n paires dindices o un indice appartient chaquetenseur originel.

    Par exemple, considrons le produit simplement contract, notpar un point (), entre deux tenseurs dordre 1, qui scrira:u v:1. On ralise le produit tensoriel: u v = uivj2. On rpte une paire dindices: uivj devient uivi

    Alors, en vertu de la convention dEinstein,u v = u1v1 + u2v2 + u3v3.

  • Produit contract et notation dEinstein

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Produit

    Einstein

    ContractionDelta

    Identits

    Drive

    Ch. base

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    15 / 95

    Considrons le produit simplement contract entre un tenseurdordre 2 et un tenseur dordre 1, qui scrira: u:1. On ralise le produit tensoriel: u = ijuk2. On rpte une paire dindices: ijuk devient ijuj = vi

    On aura un indice franc (i) et un indice rpt (j), ce quidonne comme rsultat un tenseur dordre 1.

    Pour le produit doublement contract, not par (:), oncontracte deux paires dindices. Par exemple, si on calculait : , on aurait:

    1. On ralise le produit tensoriel: = ijkl2. On rpte deux paires dindices: ijkl devient ijji = a

    ce qui est un scalaire.

  • Produit contract et notation dEinstein

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Produit

    Einstein

    ContractionDelta

    Identits

    Drive

    Ch. base

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    16 / 95

    Le produit C : conduit

    1. On ralise le produit tensoriel: C = Cijklmn2. On rpte deux paires dindices: Cijklmn devient

    Cijklkl = ij

    On aura deux indices francs (ij) et deux indices rpts (kl), cequi donne comme rsultat un tenseur dordre 2.

    Le produit C : M conduit

    1. On ralise le produit tensoriel: CM = CijklMmnop2. On rpte deux paires dindices: CijklMmnop devient

    CijklMklop = Aijop

    On aura quatre indices francs (ijop) et deux indices rpts(kl), ce qui donne comme rsultat un tenseur dordre 4.

  • Produit contract et notation dEinstein

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Produit

    Einstein

    ContractionDelta

    Identits

    Drive

    Ch. base

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    17 / 95

    Pour le produit quatre fois contract, not par (::), oncontracte quatre paires dindices. Par exemple, si on calculaitA :: B, on aurait:

    1. On ralise le produit tensoriel: A B = AijklBmnop2. On rpte quatre paires dindices: AijklBmnop devient

    AijklBklij

    ce qui est un scalaire. Il doit tre not que la position des indices contracts vient

    dune convention. On aurait pu contracter des indices despositions diffrentes. On verra pourquoi plus tard cetteconvention est utile.

    Il est intressant de noter que les produits contractspermettent de dfinir des formes et des applications linaires.

  • Le Delta de Kronecker

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Produit

    Einstein

    Contraction

    DeltaIdentits

    Drive

    Ch. base

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    18 / 95

    Par dfinition, le Delta de Kronecker, ij est:

    ij =

    {

    1 pour i = j

    0 autrement(14)

    Cest une quantit fort utile pour les manipulations des tenseurset il est important de la matriser.

    Par exemple, le produit:

    : = ijjk = ik = (15)

    Voir dmonstration complte au tableau.

    La contraction dun tenseur dordre 2 avec le fait en sorte quele tenseur rsultant est celui qui a t contract o lonremplace lindice contract par celui qui ne lest pas dans leDelta de Kronecker.

  • Les tenseurs identits

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Produit

    Einstein

    Contraction

    Delta

    IdentitsDrive

    Ch. base

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    19 / 95

    Lidentit dordre deux, nomme i, est dfinie par i : = . Onvoit avec lquation (15) que ikl = kl.

    Lidentit dordre 4 gnrale, nomme Ig, fait en sorte que

    Ig : A = A

    Si lon dfinit Igijkl = ikjl et que lon calcule Ig : A, on

    aura:

    1. Produit tensoriel Ig A = ikjlAmnop2. Contraction sur deux paire dindices:

    ikjlAmnop ikjlAklop.3. Application de la proprit du Delta de Kronecker:

    ikjlAklop = Aijop = A.

    On a donc dmontr que la dfinition didentit proposerencontre la proprit de lidentit.

  • Les tenseurs identits

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Produit

    Einstein

    Contraction

    Delta

    IdentitsDrive

    Ch. base

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    20 / 95

    Lidentit gnrale nest pas utilise en mcanique car elle neconduit pas une reprsentation matricielle (on verra plus loin).Comme les tenseurs dordre 4 utiliss en mcanique sontsymtriques, on utilisera lidentit dfinie par:

    Iijkl =ikjl + iljk

    2(16)

    Si on calcule I : A, on trouve que:

    I : A =Aijkl +Ajikl

    2(17)

    ce qui est gal A uniquement si Aijkl = Ajikl

  • Drive par rapport un tenseur

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Produit

    Einstein

    Contraction

    Delta

    Identits

    DriveCh. base

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    21 / 95

    La drive dun tenseur A Em par rapport un tenseurB En est dfinie par:

    Ai1i2...imBj1j2...jn

    = Ci1i2...imj1j2...jn (18)

    o, comme pour le produit tensoriel, le tenseur rsultant est untenseur dordre m+ n.

    Voir exemple au tableau portant sur la drive delnergie de dformation.

  • Changement de base dun tenseur

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Produit

    Einstein

    Contraction

    Delta

    Identits

    Drive

    Ch. baseSymtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    22 / 95

    Problme

    On souhaiterait, partir de la connaissance des composantes de~V exprimes dans le repre xyz obtenir celles dans le reprexyz

    Cela peut se faire laide de la connaissance des cosinusdirecteurs. En 2D on aura les angles directeurs:

    Figure 2: Illustration des angles directeurs

  • Changement de base dun tenseur

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Produit

    Einstein

    Contraction

    Delta

    Identits

    Drive

    Ch. baseSymtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    23 / 95

    En 3D, on aura:

    V xV yV z

    T

    =

    {

    Vx Vy Vz}

    cos (x, x) cos (y, x) cos (z, x)cos (x, y) cos (y, y) cos (z, y)cos (x, z) cos (y, z) cos (z, z)

    (19)

  • Changement de base dun tenseur

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Produit

    Einstein

    Contraction

    Delta

    Identits

    Drive

    Ch. baseSymtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    24 / 95

    8

    0 (100)

    Il est commun de noter A > 0 pour indiquer quil est dfinipositif, bien que cette relation nait pas de sens.

    Lorsque A possde les symtries majeures et mineures, on a vuque la relation prcdente scrit sous la forme

    {}T [A] {} > 0 {} (101)

    o {} est un vecteur 6 composantes et [A] est une matrice6 6 symtrique.

    Lorsque lon a une matrice carre et symtrique, il est toujourspossible de trouver une base dans laquelle cette matrice estdiagonale. Si on nomme par ii les termes sur la diagonale, quisont en fait les valeurs propres, la relation (101) devient:

    iiii > 0 ii > 0 (102)

  • Tenseurs dfinis positifs

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    Introduction

    Orthotropie

    Isotropie

    Cubique

    Iso. Transverse

    Df. Positif

    90 / 95

    Alors, pour dterminer si A > 0, il suffit de calculer ses valeurspropres et de sassurer quelles soient toutes strictementpositives.

    En mcanique, on montrera plus tard que S > 0 et C > 0,sinon, le matriau nest pas admissible thermodynamiquement.Si on entre une matrice de rigidit qui nest pas dfinie positivedans un code de calculs par lments finis, on peut obtenir deserreurs. Cest ce qui arrive typiquement lorsque lon ne connatpas toutes les proprits mcaniques (constantes dingnieur) etque lon fait des suppositions.

    Dterminer si la rigidit ou la souplesse de notre matriau estdfinie positive est donc trs important et a des implicationspratiques.

  • Tenseurs dfinis positifs - isotropie

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    Introduction

    Orthotropie

    Isotropie

    Cubique

    Iso. Transverse

    Df. Positif

    91 / 95

    Pour un matriau isotrope, la matrice de rigidit C est donnepar:

    C =

    +23

    3

    3 0 0 0

    3

    +23

    3 0 0 0

    23

    3

    +23 0 0 0

    0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

    (103)

    Les valeurs propres de C sont obtenues en rsolvant le systmedet[C I] = 0. Compte tenu de la forme de C, on peut voirque lon aura trois valeurs propres rptes qui valent (troisderniers termes sur la diagonale) et les autres valeurs propresseront donnes par:

    det1

    3

    + 2 + 2 + 2

    = ( )( )2 = 0 (104)

  • Tenseurs dfinis positifs - isotropie

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    Introduction

    Orthotropie

    Isotropie

    Cubique

    Iso. Transverse

    Df. Positif

    92 / 95

    Il faut donc que = 3k > 0 et = 2 > 0 pour que C > 0. Avec les constantes dingnieur, on a que k = E3(12) . On voit

    que E > 0 et que 0.5. Avec les constantes dingnieur, on a que = E2(1+) . On voit

    que E > 0 et que 1. Donc, un tenseur isotrope sera dfini positif uniquement si

    E > 0 et 1 0.5.

  • Tenseurs dfinis positifs - symtrie cubique

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    Introduction

    Orthotropie

    Isotropie

    Cubique

    Iso. Transverse

    Df. Positif

    93 / 95

    Pour un matriau symtrie cubique, la matrice de rigidit Cest donne par:

    C =

    +23

    3

    3 0 0 0

    3

    +23

    3 0 0 0

    23

    3

    +23 0 0 0

    0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

    (105)

    Les valeurs propres de cette matrice sont {, , , , , }.Donc, pour un tenseur symtrique cubique dfini positif, onaura:

    1. E > 02. G > 03. 1 0.5

  • Tenseurs dfinis positifs - isotropie transverse

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    Introduction

    Orthotropie

    Isotropie

    Cubique

    Iso. Transverse

    Df. Positif

    94 / 95

    Pour un matriau isotrope transverse, la matrice de rigidit Cest donne par:

    C =

    +2

    2

    2

    0 0 0

    2+

    22

    0 0 02

    2

    0 0 0

    0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

    (106)

    Comme pour lisotropie et la symtrie cubique, on peut voir que{, , } seront des valeurs propres. Pour les autres valeurspropres, on doit solutionner pour

    det

    +2

    2

    2

    2

    +2

    2

    2

    2

    = 0 (107)

  • Tenseurs dfinis positifs - isotropie transverse

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    Introduction

    Orthotropie

    Isotropie

    Cubique

    Iso. Transverse

    Df. Positif

    95 / 95

    Si on fait les calculs, on aura lquation caractristique suivante:

    ( )(

    2 (+ )+ 2)

    = 0 (108)

    On voit que est une valeur propre et les deux autres serontdonnes par la solution de lquation de la parenthse de droite,soit

    5, 6 =+

    (+ )2 4 ( 2)2

    (109)

    On voit donc que les deux dernires valeurs propres serontpositives si > 0, > 0 et 2.

    Alors, si on rcapitule, C > 0 si et seulement si:

    > 0; > 0; > 0; > 0; 2 (110)

    En connaissant le lien entre les constantes dingnieur et lesmodules donns plus haut, on peut tirer les ingalits respecter entre les diverses constantes.

    NotationEspaces vectorielsEspaces vectorielsApplication n-linaireApplication n-linaireApplication n-linaire et forme n-linaire

    DfinitionsTenseur d'ordre 1Tenseur d'ordre 2Tenseur d'ordre 4Tenseur d'ordre 4Tenseur d'ordre 4

    Oprations sur les tenseursProduit tensorielProduit contract et notation d'EinsteinProduit contract et notation d'EinsteinProduit contract et notation d'EinsteinProduit contract et notation d'EinsteinProduit contract et notation d'EinsteinLe Delta de KroneckerLes tenseurs identitsLes tenseurs identitsDrive par rapport un tenseurChangement de base d'un tenseurChangement de base d'un tenseurChangement de base d'un tenseurChangement de base d'un tenseurChangement de base d'un tenseurChangement de base d'un tenseur

    Symtries sur les tenseursSymtries majeures et mineuresReprsentation matricielle des tenseurs symtriquesReprsentation matricielle des tenseurs symtriquesReprsentation matricielle des tenseurs symtriquesConventions

    Les symtries matriellesIntroductionTricliniqueTricliniqueMonocliniqueMonocliniqueMonocliniqueMonocliniqueMonocliniqueMonocliniqueMonocliniqueOrthotropeOrthotropeOrthotropeOrthotropeQuadratiqueQuadratiqueQuadratiqueCubiqueCubiqueCubiqueRhombodriqueRhombodriqueIsotropie transverseIsotropie

    Les tenseurs projecteursProjecteurs isotropesProjecteurs isotropesProjecteurs isotropesProjecteurs isotropesProjecteurs isotropesProjecteurs isotropesProjecteurs isotropesProjecteurs pour la symtrie cubiqueProjecteurs pour la symtrie cubiqueProjecteurs pour la symtrie cubiqueProjecteurs pour l'isotropie transverseProjecteurs pour l'isotropie transverseProjecteurs pour l'isotropie transverseProjecteurs pour l'isotropie transverseProjecteurs pour l'isotropie transverseProjecteurs pour l'isotropie transverseProjecteurs pour l'isotropie transverseProjecteurs pour l'isotropie transverseProjecteurs pour l'isotropie transverseProjecteurs pour l'isotropie transverseProjecteurs pour l'isotropie transverseProjecteurs pour l'isotropie transverse

    Les constantes d'ingnieurIntroductionOrthotropieIsotropieIsotropie - note sur le module de compressibilitSymtrie cubiqueIsotropie transverseIsotropie transverseIsotropie transverseIsotropie transverseIsotropie transverseTenseurs dfinis positifsTenseurs dfinis positifsTenseurs dfinis positifs - isotropieTenseurs dfinis positifs - isotropieTenseurs dfinis positifs - symtrie cubiqueTenseurs dfinis positifs - isotropie transverseTenseurs dfinis positifs - isotropie transverse