MA31-32

Cours de Mathématiques (2ème année )

Département de Génie Electrique et Informatique Industrielle

IUT du Havre

Gisella Croce

Table des matières

1 Avant-propos 3

2 Fonctions de plusieurs variables 42.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Le graphe d’une fonction à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4.1 Dérivées partielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4.2 Composition de fonctions avec des fonctions à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Intégrales doubles 103.1 Comment calculer un volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Propriétés de l’intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Changement de variables dans une intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Flux d’un champ vectoriel à travers une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Suites numériques 154.1 Définition de suite et de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3 Limites de fonctions et limites de suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4 Rappel sur les limites de fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Séries numériques 185.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.2.1 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Transformées en z 236.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2 Tableau des transformées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.4 Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.5 Relation avec la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.6 Equations aux différences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7 Séries de Fourier 297.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1

8 Transformée de Fourier 348.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.2 Tableau des transformées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

9 Appendice : exemples de DS et exercices de révision 379.1 Exemple de DS module MA31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.2 Exemple de DS module MA32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.3 Document pour le module MA32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

9.3.1 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.3.2 Transformées en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.3.3 Transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

9.4 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.5 Corrigé des exercices du chapitre Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449.6 Corrigé des exercices du chapitre Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.7 Corrigé des exercices du chapitre Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469.8 Corrigé des exercices du chapitre Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.9 Corrigé des exercices du chapitre Transformées en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489.10 Corrigé des exercices du chapitre Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.11 Corrigé des exercices du chapitre Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

10 Retrouver ce cours sur le web : EUREKA 52

2

Chapitre 1

Avant-propos

Ce polycopié a été élaboré à partir de– notes des cours donnés par Adnan Yassine, Aziz Alaoui et Dominique Soudière au Département de Génie

Electrique et Informatique Industrielle de l’IUT du Havre– R.V. Churchill, Fourier series and boundary value problems, McGraw-Hill Book Co., 1963– B. Dacorogna et C. Tanteri, Analyse avancée pour ingénieurs, Presses polytechniques et universitaires ro-

mandes, 2002– E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 1991– E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 1991– E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 1991– E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 1991– J-M. Monier, Analyse MPSI, Dunod, 2006Un grand merci à Dominique Soudière, Pierre Maréchal et Mounsif Ech-cherif el-kettani pour leur aide.

Même s’il a été contrôlé plusieurs fois, ce polycopié pourrait contenir des imprécisions, des fautes... merci auxétudiants qui voudront me signaler les erreurs éventuelles.Ce cours peut être retrouvé en ligne à la page https ://eureka.univ-lehavre.fr (voir chapitre 10 pour plus dedétails).

Gisella Croce

3

Chapitre 2

Fonctions de plusieurs variables

Supposons de vouloir étudier la température en France, par exemple, dans le mois de septembre. Il s’agit détudierune fonction de trois variables : la position (deux variables) et la variable temps...voici un exemple qui illustrel’importance des fonctions à plusieurs variables.

2.1 Définition

On appelle fonction de plusieurs variables de Rn dans R, d’ensemble de définition D ⊆ R

n, toute applicationdéfinie par :

f : D ⊆ Rn → R

(x1, ..xn) → f(x1, ..xn)

Exemple 2.1.1 1. f1(x1, x2) = 3x1 + 4x2 + 7 ; Df1= R

2

2. f2(x1, x2) = ln(2x1 + x2 + 3) ; Df2= {(x, y) ∈ R

2 : 2x+ y + 3 > 0}3. quel est le domaine de définition de la fonction température en France au mois de septembre ?

Dans ce cours on traitera essentiellement les fonctions de deux variables.

2.2 Le graphe d’une fonction à deux variables

Soit f : D ⊂ R2 → R une fonction à deux variables. Pour représenter son graphe, on se donne le plan xy sur

lequel on positionne le couple (x, y) et sur un troisième axe vertical, au dessus du point (x, y), on positionne unpoint à la hauteur f(x, y). Les points ainsi positionnés composent le graphe de f .En général il peut être difficil de représenter le graphe d’une fonction f à deux variables. Cependant on peuts’aider avec les "sections". Considérer la section y = c consiste à considérer les points (x, c, f(x, c)), c’est-à-direla courbe qui se trouve au dessus ou en dessous de la droite y = c (perpendiculaire à l’axe des y). En faitf(x, c) est une fonction à une variable, dont on peut tracer le graphe, qui est justement une courbe. On peutpareilement considérer la section x = C, c’est-à-dire les points (C, y, f(C, y)). Ces points composent la courbeau dessus ou en dessous de la droite x = C (perpendiculaire à l’axe des x).

Exemple 2.2.1 Soit f(x, y) = x2y. La section x = constant nous donne des droites par l’origine ; la sectiony = constant nous donne des paraboles par l’origine.

Considérer les points du graphe de f qui se trouvent à une même hauteur z0 donne aussi une idée du graphede f . On appelera les points de l’ensemble {(x, y) ∈ D : f(x, y) = z0} la ligne de niveau à hauteur z0.

Exemple 2.2.2 Soit f(x, y) = x2 + y2. Les lignes de niveau sont des cercles de centre (0, 0, z) et rayon√C

pour C > 0.

4

Exemple 2.2.3 Il n’est pas difficile de tracer le graphe des fonctions "radiales", c’est-à-dire des fonctions dela forme f(x, y) = g(

√

x2 + y2) pour g : R+ → R. En effet on remarque que f vaut g(α) pour tous les points

(x, y) appartenent au cercle de centre (0, 0) et rayon α. Alors il suffit de tracer le graphe de la fonction t→ g(t)dans le plan (t, z) et d’ajouter une dimension perpendiculaire à la feuille pour pouvoir représenter les cercles etles valeurs de f correspondantes à ces cercles. Cela revient à faire une rotation du graphe de g autour de l’axez.

2.3 Fonctions continues

On dit que f : D ⊆ R2 → R est continue en (x0, y0) ∈ D si

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0)

2.4 Dérivées partielles

Soitf : D ⊆ R

2 → R

(x, y) → f(x, y)

En analogie avec ce qu’on fait pour les fonctions d’une variable, on voudrait connaître comment varient lesvaleurs de f . Pour cela on va utiliser les dérivées partielles.

2.4.1 Dérivées partielles du premier ordre

Les dérivées partielles de f sont deux fonctions de deux variables.

1. Pour obtenir la dérivée partielle de f par rapport à x, on "gèle" la variable y et on dérive f par rapport

à la variable x. Elle sera notée∂f

∂x. Elle nous dit comment varie f par rapport à x.

2. Pour obtenir la dérivée partielle de f par rapport à y, on "gèle" la variable x et on dérive f par rapport

à la variable y Elle sera notée∂f

∂y. Elle nous dit comment varie f par rapport à y.

Définition 2.4.1 Le gradient de f : D ⊂ R2 → R au point (x, y) ∈ D est le vecteur ∇f(x, y) =

(

∂f∂x ,

∂f∂y

)

.

On peut calculer la dérivée directionnelle de f dans une direction h : ∇f · h. Cette quantité nous dit commentvarie f dans la direction h.

Remarque 2.4.2 Le gradient nous donne la direction de plus grande pente. En effet, soit h ∈ R2 un vecteur

direction, c’est-à-dire, |h| = 1. Alors, pour tout vecteur direction on a

|∇f · h| 6 |∇f ||h| = |∇f | =

∣

∣

∣

∣

∇f · ∇f|∇f |

∣

∣

∣

∣

Remarque 2.4.3 On peut montrer que le gradient est orthogonal (à la tangente) aux lignes de niveau en chaquepoint.

Exemple. Soit f(x, y) = cos(

xy

)

+ ln(x2 y). Alors

∂f

∂x= − sin

(

x

y

)

1

y+

2xy

x2 y

∂f

∂y= sin

(

x

y

)

x

y2+

1

y

5

−4

−2

0

2

4

Z

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

X

−4−3

−2−1

01

23

Y

Fig. 2.1 – Graphe de la fonction f(x, y) = x cos y. On remarque que les sections correspondantes à y constantsont des droites, les sections correspondantes à x constant sont des fonctions sinousoidales.

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Z

−4−3

−2−1

01

23 X

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3Y

Fig. 2.2 – Graphe de la fonction f(x, y) = ey sinx. On remarque que les sections correspondantes à x constantsont des exponentielles, les sections correspondantes à y constant sont des fonctions sinousoidales.

6

2.4.2 Composition de fonctions avec des fonctions à une variable

Soientx : R → R

t → x(t)

ety : R → R

t → y(t)

dérivables.Soit

f : R2 → R

(x, y) → f(x, y)

admettant des dérivées partielles. On définit

F (t) = f(x(t), y(t)).

On a alors :

F ′(t) =∂f

∂x

∣

∣

∣

(x(t),y(t))x′(t) +

∂f

∂y

∣

∣

∣

(x(t),y(t))y′(t)

Exemple. Soit f(x, y) = x2y ; soient x(t) = sin t et y(t) = t2. On définit F (t) = f(x(t), y(t)). Alors

∂f

∂x= 2xy ,

∂f

∂y= x2 .

Par conséquentF ′(t) = 2 sin t t2 cos t+ sin2 t 2t

Remarque 2.4.4 Imaginons un point matériel qui bouge sur le graphe de la fonction f . Sa position sera, àchaque instant t, (x(t), y(t), z(t)) = (x(t), y(t), f(x(t), y(t))). Calculer F ′ revient à calculer z′(t), c’est-à-dire latroisième composante de son vecteur vitesse.

2.5 Exercices

Exercice 2.5.1 Représenter graphiquement :

D0 = {(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 4,−1 6 y 6 3}

D1 = {(x, y) ∈ R2 : x− 2y + 3 > 0, 3x− 2y + 1 6 0}

D2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 6x+ 2y + 1 6 0}

D3 = {(x, y) ∈ R2 : y − x2 + x > 0, y − x− 1

2 6 0}D4 = {(x, y) ∈ R

2 : x2 + y2 − 4x+ 12y − 31 6 0}D5 = {(x, y) ∈ R

2 : 0 6 x 6 1, x2 6 y 6 x}D6 = {(x, y) ∈ R

2 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x}

Exercice 2.5.2 Représenter le domaine de définition des fonctions suivantes : a(x, y) = cos(x2+y)−y arctan(x+

2y) b(x, y) =x+ sin(xy)

ln(x3)c(x, y) =

2x√y + x− 2

d(x, y) =√

x3y3 − 1 + y4x

Exercice 2.5.3 Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : f1(x, y) =√

y2 − x2 ; f2(x, y) =x2 + y2

√x+ y

; f3(x, y) = ln

(

x+ y

x− y

)

; f4(x, y) = ln(x2 − y2).

Exercice 2.5.4 1. Quel est le graphe de f1(x, y) = y2 sinx, f2(x, y) = y2ex, f3(x, y) = sinx cos y ? Justifiervotre réponse.

2. Quel est le graphe de f1(x, y) = x cos y, f2(x, y) = sinxey, f3(x, y) = xy4 ? Justifier votre réponse.

7

Fig. 2.3 – Graphes partie 1 de l’exercice 2.5.4

−1

0

1

Z −4

−3

−2

−1

0

1

2

3

X

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

Y

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Z

−4−3

−2−1

01

23

X

−4−3

−2−1

01

23Y

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Z

−4−3

−2−1

01

23 X

−4−3

−2−1

01

23Y

Fig. 2.4 – Graphes partie 2 de l’exercice 2.5.4

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

Z

−4−3−2−101234X

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4Y

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Z

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

X

−4−3

−2−1

01

23

Y

−400

−300

−200

−100

0

100

200

300

Z

−4−3

−2−1

01

23 X

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3Y

8

Exercice 2.5.5 On considère la fonction f(x, y) dèfinie par

f(x, y) =

{

x2 + 2y si (x, y) 6= (1, 2)0 si (x, y) = (1, 2)

Calculer limx→1y→2

f(x, y). En déduire la discontinuité de f en (1, 2).

Exercice 2.5.6 On définit f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2pour (x, y) 6= 0 et f(0, 0) = 0. Dire si f est continue en (0, 0).

Exercice 2.5.7 Calculer les dérivées partielles de

1. A(x, y) = ex+2y

2. B(x, y) = y√x2 + 1

3. C(x, y) = sin(x2(y + 1))

Exercice 2.5.8 Calculer les dérivées partielles d’ordre 1 des fonctions suivantes :

1. a(x, y) = cos(x2 + y) − y arctan(x+ 2y)

2. b(x, y) =x+ sin(xy)

ln(x3)

3. c(x, y) =2x√

y + x− 2

4. d(x, y) =√

x3y3 − 1 + y4x

Exercice 2.5.9 Calculer les dérivées partielles

1. A(x, y) = x3y + exy2

2. B(x, y) = sin(xy2)

Exercice 2.5.10 Utiliser la règle de dérivation de la composée pour calculer dzdt dans les cas suivants :

1. z = x3 − y3 avec x =1

t+ 1et y =

1

t+ 2

2. z = x3 y3 avec x = t+ 1 et y = t3 + 2t

3. z =√

cosx2 + xy avec x =1

sin(t+ 1)et y =

t

t+ 2

9

Chapitre 3

Intégrales doubles

3.1 Comment calculer un volume

Soit D ⊂ R2 un domaine de la forme suivante : D = {(x, y) : a 6 x 6 b, f1(x) 6 y 6 f2(x)}. Soit une fonction

f une fonction de deux variables, définie sur le domaine D, positive. On veut calculer le volume V du cylindredroit de bases D et le graphe de la fonction f . Comment on peut faire ? On peut penser V composé par les"feuilles" verticales suivantes :

F (x0) = {(x, y, z) : x = x0, f1(x0) 6 y 6 f2(x0), 0 6 z 6 f(x0, y)}

On sait calculer l’aire Airex0de chaque feuille F (x0) : Airex0

=

∫ f2(x0)

f1(x0)

f(x0, y)dy. Alors, pour calculer le

volume V il suffit de faire la somme de ces aires, c’est-à-dire

V =

∫ b

a

Airex dx =

∫ b

a

dx

∫ f2(x)

f1(x)

f(x, y)dy .

Mathématiquement on indiquera la valeur de ce volume par

∫∫

D

f(x, y)dx dy.

xy

z

D

graphe de z=f(x,y)

courbe

"feuille" F(x*)

a

b

f (x)1

f (x)2

z=f(x*,y)

x*

10

La construction qu’on vient de faire nous montre l’importance de savoir calculer

∫∫

D

f(x, y)dx dy =

∫ b

a

dx

∫ f2(x)

f1(x)

f(x, y)dy

pour une fonction f quelleconque.

Exemple 3.1.1 Soit le domaine D = {(x, y) ∈ R2, 1 6 y 6 x2, 0 6 x 6 2}. Calculer I =

∫∫

D

f(x, y)dxdy où

f(x, y) = x2 + y2.

Le domaine est caractérisé par

{

1 6 x 6 2

1 6 y 6 x2. Alors

I =

∫ 2

1

dx

[

∫ y=x2

y=1

(x2 + y2)dy

]

=

∫ 2

1

dx

[

x2y +y3

3

]y=x2

y=1

=

∫ 2

1

dx

[

x4 +x6

3− x2 − 1

3

]

=1006

105.

Remarque 3.1.2 Soient D = {(x, y) ∈ R2 : c 6 y 6 d, f1(y) 6 x 6 f2(y)} et g : D → R une fonction. Alors

∫∫

D

g(x, y)dxdy =

∫ d

c

dy

∫ f2(y)

f1(y)

g(x, y)dx .

3.2 Propriétés de l’intégrale double

1. Linéarité∫∫

[f(x, y) + g(x, y)]dx dy =

∫∫

f(x, y)dx dy +

∫∫

g(x, y)dx dy∫∫

k f(x, y)dx dy = k

∫∫

f(x, y)dx dy

2. Domaine partitionné

Si D = D1 ∪D2 avec D1 ∩D2 = ∅ alors

∫∫

D

f(x, y)dx dy =

∫∫

D1

f(x, y)dx dy +

∫∫

D2

f(x, y)dx dy

3. Positivité

Si la fonction est positive sur le domaine alors l’intégrale l’est aussi.

En particulier : f(x, y) > g(x, y) sur D ⇒∫∫

D

f(x, y)dxdy >

∫∫

D

g(x, y)dxdy

3.3 Changement de variables dans une intégrale double

Soient ∆ et D deux domaines de R2. Soit ϕ une application de D en ∆ :

ϕ :∆ → D

(u, v) → (x(u, v), y(u, v))

Exemple 3.3.1

{

x(r, θ) = r cos θ

y(r, θ) = r sin θ

La matrice

∂x

∂u

∂y

∂u∂x

∂v

∂y

∂v

est appelée matrice jacobienne. Son déterminant notéD(x, y)

D(u, v)est appelé le jacobien. On a alors

∫∫

D

f(x, y)dx dy =

∫∫

∆

g(u, v)

∣

∣

∣

∣

D(x, y)

D(u, v)

∣

∣

∣

∣

du dv

avec g(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)).

11

Exemple 3.3.2 Calculer I =

∫∫

D

(x2 + y2)dxdy sur D ={

(x, y);x2 + y2 6 1; y > 0}

.

On utilise les coordonnées polaires, c’est-à-dire la transformation (r, θ) → (x = r cos θ, y = r sin θ). Le jacobiende cette transformation est r. On a que (x, y) ∈ D si et seulement si 0 6 r 6 1 et 0 6 θ 6 π. Alors

I =

∫∫

∆

(r2 cos2 θ + r2 sin2 θ)r dr dθ

où ∆ = {(r, θ) ∈ R2 : 0 6 r 6 1 , 0 6 θ 6 π}. Cette intégrale est facile à calculer.

3.4 Flux d’un champ vectoriel à travers une surface

Définition 3.4.1 Une surface S est l’image d’une application σ : D ⊂ R2 → R

3 qui associe au point (u, v) levecteur (σ1(u, v), σ2(u, v), σ3(u, v)). Le vecteur

ν(u, v) = σu × σv =

(

∂σ1

∂u,∂σ2

∂u,∂σ3

∂u

)

×(

∂σ1

∂v,∂σ2

∂v,∂σ3

∂v

)

représente la normale à S au point σ(u, v).

Remarque 3.4.2 L’application σ est appelée la paramétrisation de S.

Exemple 3.4.3σ : [0, 1] × [0, 2π] → R

3

(h, θ) → (cos θ, sin θ, h)

est un cylindre de hauteur 1 et rayon 1. La normale vaut (cos θ, sin θ, 0).

Exemple 3.4.4 Le graphe d’une fonction à deux variables f : D ⊂ R2 → R est une surface. Il suffit de définir

σ(u, v) = (u, v, f(u, v)) avec (u, v) ∈ D.

Définition 3.4.5 Un champ vectoriel est une application B : R3 → R

3.

Exemple 3.4.6 B(x1, x2, x3) = (x1x23, cos(x1x

42) + lnx, 3 sin(x1 + x3 − x2)) est un champ vectoriel.

Définition 3.4.7 Le flux d’un champ B à travers une surface S est défini par

∫∫

S

B · dσ

c’est-à-dire∫∫

D

B(σ(u, v)) · ν(u, v)du dv .

Exemple 3.4.8 Soit S la surface {(x, y, z) : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 2, z = 3}. S est un rectagle plat à hauteur 3.Sa paramétrisation est σ(u, v) = (u, v, 3) où (u, v) ∈ D = {(u, v) : 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 2}. La normale à S vaut(0, 0, 1). Soit B le champ (x2, y, x+ z). Alors le flux du champ B à travers S est

∫∫

D

(u2, v, u+ 3) · (0, 0, 1)du dv =

∫∫

D

(u+ 3)du dv =

∫ 1

0

du

∫ 2

0

(u+ 3)dv = 7.

Remarque 3.4.9 Le flux est donc une intégrale double !

Remarque 3.4.10 Supposons de considérer un fluide qui passe à travers une surface ; à chaque point du fluideil est associé le vecteur vitesse. Le flux du champ de vitesse du fluide mesure la quantité du fluide qui passe àtravers la surface.

3.5 Exercices de révision

Exercice 3.5.1 Calculer

12

1.)

∫ 2

1

[x4 +1

x2−

√2x] dx

2.)

∫ 2

1

[4x2 + 1 − 2

x3] dx

3.)

∫ 1

0

√2x+ 1 dx

4.)

∫ 1

0

x√

1 + x2 dx

5.)

∫ 1

0

x2(2 + x3)2 dx

6.)

∫ 1

0

(x+ 2)(x2 + 4x+ 1)32 dx

7.)

∫ π

0

[sin(2x) + cos(3x)] dx

8.)

∫ π

0

cos2 x sinx dx

9.)

∫ 1

0

sinx

1 + cos2 xdx

10.)

∫ 1

0

cosx√sinx

dx

Exercice 3.5.2 Calculer les intégrales suivantes :

1.)

∫ π/2

0

sin t√1 − cos2 t

dt

2.)

∫ 12

0

t√1 − t2

dt

3.)

∫ 9

4

dt√t− 1

(poser u =√t)

4.)

∫ 2

1

lnx dx

5.)

∫ 2

1

x lnx dx

6.)

∫ 1

0

x2 ex dx

7.)

∫ π/2

0

x cosx dx

8.)

∫ π/2

0

x2 sinx dx

9.)

∫ 1

0

x2

1 + x2dx

10.)

∫ 1

0

x3 + 3x2 + 5x+ 3

x2 + 2x+ 3dx

11.)

∫ 3

2

x− 1

x3 + x2 − x− 1dx

Exercice 3.5.3 Calculer, à l’aide des formules trigonométriques

1.)∫

sin2 x dx

2.)∫

cos2 x dx

3.6 Exercices


∫∫

D

f(x, y) dxdy :

1. D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0, x+ y 6 1},

f(x, y) = xy.

2. D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 1, y > 1, x+ y 6 4},

f(x, y) =1

x+ y.

3. D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 1, y > 1, x+ y 6 4}

f(x, y) = ln(x+ y + 1).

4. D = {(x, y) ∈ R2 ; y > 0, x+ y 6 1, y − x 6 1},

f(x, y) = x2y.

5. D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 6 R2},

f(x, y) = x2y.

6. D = {(x, y) ∈ R2 ; 0 6 x 6 1 − y2

4},

f(x, y) = x2 + y2.

7. D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0, x+ y 6 1},

f(x, y) = x+ y + 1.

8. D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0, x+ y 6 π},

f(x, y) = (x+ y) sinx sin y.

9. D = {(x, y) ∈ R2 ; 1 6 y 6 x2, 0 6 x 6 2},

f(x, y) = x2 + y2.


∫∫

D

sinπx

2ydxdy où D est le domaine délimité par les courbes y = 2, y = x, y =

√x.

Exercice 3.6.3 Calculer le volume du domaine

{(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 1, x 6 y 6 3x, 0 6 z 6 x2 + y}

13

Exercice 3.6.4 Soit D le quadrilatère de sommets (0, 0), (2, 2), (0, 2), (1, 4). Calculer

∫∫

D

(x+ y) dxdy.

Exercice 3.6.5 Soit D le domaine délimité par l’axe des x et la parabole y = 1 − x2. Calculer le volume ducilindre de base D et hateur 4.


∫∫

D

(x + y) dxdy où D est le domaine délimité par l’axe des y, la droite y = 4, la

courbe y = 4x , la droite y = x.

Exercice 3.6.7 Changements de variables en coordonnées polairesCalculer

1.

∫∫

D

1

1 + x2 + y2dxdy où D = {(x, y) ∈ R

2 ; x2 + y2 6 1}

2.

∫∫

D

(x2 + y2) dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 − x < 0 , x2 + y2 − y > 0}

3.

∫∫

D

√

x2 + y2 dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; 1 < x2 + y2 < 4 , x > 0, y > 0}

4.

∫∫

D

xy√

x2 + y2 dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 6 1, x > 0, y > 0, y 6 x}

5.

∫∫

D

x2 dxdy où D est le secteur du cercle de centre (0, 0), rayon 1, délimité par les droites y = ±√

3x

pour x > 0


∫∫

D

x dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; (x− 1)2 + y2 6 1}


∫∫

D

(x2 + y2 − 2y) dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; (x− 1)2 + (y − 1)2 6 1}


∫∫

D

cosx− y

x+ ydxdy où D = {(x, y) ∈ R

2 ; x > 0 , y > 0 , x + y 6 1} en posant

u = x− y et v = x+ y.


∫∫

D

1

x2ydxdy où D est l’ensemble délimité par les droites y = x, y = 2x, y + x =

2, y + 2x = 2.Suggestion : poser x = 2

u+v et y = 2uu+v .

Exercice 3.6.12 Calculer l’aire du domaine D = {(x, y) : 0 < x < y < 2x, 1 < xy < 2}.Suggestion : poser x =

√

u/v et y =√uv.


∫∫

D

(x+ y) dxdy où D = {(x, y) : 0 < x < y < 2x, 1 < xy < 2}.Suggestion : poser u = y/x et v = xy.

Exercice 3.6.14 Calculer l’aire du domaine D = {(x, y) : 0 < x < y < 2x, 1 < x+ y < 3}.Poser x = u

1+v et y = uv1+v .


∫∫

D

1

xydxdy où D = {(x, y) : 0 < x < y < 2x, 1 < x+ y < 3}.

14

Chapitre 4

Suites numériques

4.1 Définition de suite et de limite

Définition 4.1.1 Une suite est une application qui à un nombre entier n associe un nombre réel an.

Exemple 4.1.2 1. an = 1n est une suite

2. an = 13n est une suite

3.

{

u0 = 0un+1 = 2un + 3

est une suite définie par récurrence

4. Soit f : [0,+∞) → R une fonction d’une variable réelle ; an = f(n) est une suite

Définition 4.1.3 On dit que an est croissante (décroissante) si an 6 an+1 (an > an+1) pour tout n.

Exemple 4.1.4 an = 1n est décroissante ; an = n3 est croissante

Définition 4.1.5 On dit que an est bornée si l’on peut trouver une constante positive C telle que |an| 6 C pourtout n.

Exemple 4.1.6 an = 1n , sinn sont bornées ; an = n3 n’est pas bornée.

Définition 4.1.7 On dit que an → l (l inR) pour n→ ∞ si

∀ ε ∃ n0 = n0(ε) ∈ N tel que |an − l| 6 ε ,∀n > n0

Exemple 4.1.8 an = 1n2 → 0.

Définition 4.1.9 On dit que an → +∞ pour n→ ∞ si

∀M > 0 ∃n0 = n0(M) ∈ N tel que an > M ,∀n > n0

Exemple 4.1.10 an = lnn→ +∞.

4.2 Opérations sur les limites

• Somme de limites

Limite de an l l l +∞ −∞ +∞Limite de bn l′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞Limite de an + bn l + l′ +∞ −∞ +∞ −∞ ??

• Produit de limites

Limite de an l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 +∞ +∞ −∞ 0Limite de bn l′ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ∞Limite de an bn ll′ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ +∞ ??

15

• Inverse d’une limite

Limite de an l 6= 0 ±∞ 0+ 0−

Limite de 1/an 1/l 0 +∞ −∞

Les cases ? ? correspondent aux formes indétermines ; ce sont :

+∞−∞; 0 · ∞;1

0;

∞∞ ;

0

0

• Limites et composition : Si limn→∞

an = l et limx→l

g(x) = G alors limn→∞

g(an) = G.

• Théorème des gendarmes : Supposons que an 6 bc 6 cn pour tout n. Si an, bn → l alors bn → l.

4.3 Limites de fonctions et limites de suites numériques

Quelle est la rélation entre les limites de fonctions f d’une variable réelle et les limites de suites ?

Proposition 4.3.1 Soit un une suite numérique définie par un = f(n), avec f : R+ → R. Supposons qu’il

existe limx→+∞

f(x). Alors

limn→+∞

un = limx→+∞

f(x).

Proposition 4.3.2 Soit un une suite numérique définie par un = g(1/n), avec g : (0, a] → R. Supposons qu’ilexiste lim

x→0+g(x). Alors

limn→+∞

un = limx→0+

g(x).

4.4 Rappel sur les limites de fonctions numériques

Fractions rationnelles

Soient p et q deux polynomes ; alors

limx→±∞

p(x)

q(x)= lim

x→±∞monome de plus haut degré de p

monome de plus haut degré de q

limx→0

p(x)

q(x)= lim

x→0

monome de plus bas degré de p

monome de plus bas degré de q

Croissance comparée à l’infini de ex, ln(x) et xα

limx→+∞

ex

xα= +∞ ; lim

x→+∞ln (x)

xα= 0 α > 0 ; lim

x→0ln (x)xα = 0 ; lim

x→−∞ex|x|α = 0

Applications des dérivées

Théorème 4.4.1 Soit a < c < b. Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b] et dérivables sur (a, b) \ c. Si

limx→c

f(x) = 0 = limx→c

g(x), si g et g′ ne s’annullent en aucun point de l’intervalle (a, b) \ c et s’il existe limx→c

f ′(x)

g′(x)alors

limx→c

f(x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g′(x).

Remarque 4.4.2 On a le même résultat si limx→c

f(x) = +∞ = limx→c

g(x) .

16

Théorème 4.4.3 Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur (a,+∞). Si limx→+∞

f(x) = 0 =

limx→+∞

g(x), si g et g′ ne s’annullent en aucun point de l’intervalle (a,+∞) et s’il existe limx→+∞

f ′(x)

g′(x)alors

limx→+∞

f(x)

g(x)= lim

x→+∞f ′(x)

g′(x).

Remarque 4.4.4 On a le même résultat si limx→+∞

f(x) = +∞ = limx→+∞

g(x) .

4.5 Exercices

Exercice 4.5.1 Etudier la convergence des suites :

1.

(

1

2

)n

et 2n

2.n+ 3

2n+ 13. n2 − n

4.lnn

n

5.√n+ 1 −

√n+ 2

6. n√n

Exercice 4.5.2 Calculer limn→∞

an pour

1. an =n2 + 5n− 2

3n2 + 7

2. an =n4 + 5n7 − 2

3n2 + 1

3. an =n4

3n− π

4. an =2n

n3 + n8 − 6

5. an =n√

2 (utiliser la définition de ax)

6. an =cosn

n3

7. an =n√

n2 + n− 3

8. an =n√

n2 + 3

9. an =

√n+ 5 −√

n

210. an = sin(1/n)

11. an = n sin(1/n)

12. an = n√n− n

n+ 2

13. an =en

n3 − 2

14. an =lnn

n7 + 38

15. an =en2+3

√n− 4

16. an =

(

1

n+ 2

)

ln(n5)

17

Chapitre 5

Séries numériques

5.1 Définition

Dans ce chapitre nous allons considérer des sommes infinies : par exemple

1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ ...+

1

2n+ ...

ou

1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5+ ...+

1

n+ ...

Il s’agit de sommes d’un nombre infini de termes. Elles valent toujours l’infini ?Déjà, pour pouvoir bien travailler il faudrait donner un sens aus quantités précédentes, car sinon, commentcalculer une somme infinie ? On n’a pas le temps !

Définition 5.1.1 Soit an une suite. On pose

1. S1 = a1

2. S2 = a1 + a2

3. S3 = a1 + a2 + a3

4. S4 = a1 + a2 + a3 + a4

5. ...

6. Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ...+ an

Toutes ces sommes sont bien définies, car elles sont composées par un nombre fini de termes. On a donc contruitune suite, Sn (qui s’appelle suite des sommes partielles). Pour obtenir alors

a1 + a2 + a3 + a4 + ...+ ...

il suffit de calculer la limite de la suite Sn : on appelle série de terme général an la limite de la suite des sommes

partielles Sn =n∑

i=1

ai :

∞∑

i=1

ai = limn→∞

Sn

On dira que la série de terme général an est convergente si∞∑

i=1

ai est finie.

On dira que la série de terme général an est divergente si∞∑

i=1

ai = ∞

Remarque 5.1.2 Il existe des séries "indéterminées", comme la série de terme général an = (−1)n. Essayerde calculer la suite des sommes partielles ! Cependent une série à termes positifs ne peut pas être indétérminée :elle est convergente ou divergente.

18

Exemple 5.1.3 On va maintenant montrer que

X = 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ ...

a une valeur finie. On peut écrire

1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ ...+

1

2n= Xn

et on a que1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ ...+

1

2n+

1

2n+1=Xn

2

Si on soustrait on obtient

1 − 1

2n+1=Xn

2

et donc Xn = 2− 12n . Mais on voulait calculer X ! Comment on peut faire ? Il suffit juste de faire la limite pour

n→ ∞ de Xn. On obtient

limn→∞

Xn = limn→∞

2 − 1

2n= 2

Exemple 5.1.4 Avec la même astuce de la section précédente, on peut montrer que la série géométrique∞∑

i=1

xn

est convergente si |x| < 1.

Exemple 5.1.5 On va montrer que

∞∑

n=1

1

nest divergente :

– S1 = 1 >∫ 1

01

x+1dx

– S2 = 1 +1

2>

∫ 2

0

1

x+ 1dx

– S3 = 1 +1

2+

1

3>

∫ 3

0

1

x+ 1dx

– ...

– Sn = 1 +1

2+

1

3+

1

4+ ...

1

n>

∫ n

0

1

x+ 1dx

Par conséquent∞∑

n=1

1

n= lim

n→∞Sn > lim

n→∞

∫ n

0

1

x+ 1dx = +∞.

5.2 Critères de convergence

Comment peut-on étudier le comportement d’une série ? Il faut calculer la suite des sommes partielles et aprèscalculer la limite de cette suite ? Cela peut être difficile ! On utilise en général des critères de convergence, selonle signe du terme général.

Théorème 5.2.1 Si an ne converge pas vers 0, alors la série de terme général an n’est pas convergente.

Théorème 5.2.2 Si an ne converge pas vers 0, et elle est positive, alors la série de terme général an diverge.

Ce théorème nous suggère le schéma suivant pour étudier

∞∑

n=1

an :

On étudie limn→∞

an. Deux cas sont possibles :

1. Si limn→∞

an = 0 alors on cherche un critère de convergence selon le signe de an (la série peut converger,

diverger, ou être indéterminée).

2. Si limn→∞

an n’est pas 0 ou elle n’existe pas, alors la série diverge ou elle est indéterminée. En particulier, si

an est positif pour tout n > n0,∞∑

n=1

an = +∞.

19

5.2.1 Critères de convergence

Critères de convergence sur les séries à termes positifs

a) Soit f : [a,+∞[→ R+ une fonction continue décroissante. Alors la série

∞∑

n=1

f(n) a le même comportement

que∫ +∞

af(x)dx.

b) Soient un, vn deux suites positives telles que un 6 vn à partir d’un certain rang.

Si∞∑

n=1

vn converge alors∞∑

n=1

un converge. Si∞∑

n=1

un diverge alors∞∑

n=1

vn diverge.

c) Si l’on peut trouver α > 1 tel que limn→∞

nαun <∞ alors la série∞∑

n=1

un converge.

Si l’on peut trouver 0 < α 6 1 tel que limn→∞

nαun > 0, alors la série

∞∑

n=1

un diverge.

d) Siun

vn→ l avec l > 0 et l < +∞, alors les séries

∞∑

n=1

un et

∞∑

n=1

vn ont le même comportement.

e) Soit l = limn→∞

n√un (si elle existe). Si l < 1 la série

∞∑

n=1

un converge. Si l > 1,

∞∑

n=0

un diverge.

f) Soit l = limn→∞

un+1

un(si elle existe). Si l < 1 la série

∞∑

n=1

un converge. Si l > 1

∞∑

n=1

un diverge.

Séries alternées

La série∞∑

n=1

(−1)nun avec un > 0 est dite alternée. Si limn→∞

un = 0 et un est décroissante alors∞∑

n=1

(−1)nun est

convergente.

Séries à termes de signes quelconques

Si

∞∑

n=0

|un| converge, alors

∞∑

n=0

un converge.

Exemple 5.2.3 Grâce au critère de convergence a) on peut montrer que la série de Riemann

+∞∑

n=1

1

nαest

convergente si α > 1 et divergente si α 6 1.

5.3 Appendice

Nous allons illustrer un paradoxe du au philosophe Zenone. Supposons de vouloir mesurer le temps qu’il nousfaut pour aller d’un point A à un point B en marchant à vitesse constante :

A−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−B

Pour aller de A à B1 qui se trouve à mi-chemin entre A et B

A−−−−−−−−−−−−−−−−B1 −−−−−−−−−−−−−−−−B

il nous faut t0 minutes. Or, pour aller de B1 à B2 qui se trouve à mi-chemin entre B1 et B

20

A−−−−−−−−−−−−−−−−B1 −−−−−−−−B2 −−−−−−−−B

il nous faut t02 minutes. Pour aller de B2 à B3 qui se trouve à mi-chemin entre B2 et B

A−−−−−−−−−−−−−−−−B1 −−−−−−−−B2 −−−−B3 −−−−B

il nous faut t04 minutes. Pour aller de B3 à B4 qui se trouve à mi-chemin entre B3 et B

A−−−−−−−−−−−−−−−−B1 −−−−−−−−B2 −−−−B3 −−B4 −−B

il nous faut t08 minutes. Si on continue ce raisonnement, il nous faut t0 + t0

2 + t04 + t0

8 + t016 + ... minutes pour

parcourir une distance inférieure ou égale à la distance entre A et B, c’est-à-dire, on n’arrivera jamais à B.

............BIZZARRE..........

Où est la faute ? La faute est que même si

t0 +t02

+t04

+t08

+t016

+ ...

est une somme composée par un nombre infini de termes, cela n’implique pas qu’elle vaut +∞ !

5.4 Exercices

Exercice 5.4.1 Calculer les sommes et étudier leur convergence :

1. S1 =n∑

i=1

i (calculer en ordre inversé S1 + S1)

2. S2 =n∑

i=1

1

i(i+ 1)(décomposer en éléments simples puis ajouter les termes)

Exercice 5.4.2 Etudier la convergence des séries de terme général :

1. an =1

n2

2. an =1√n

3. an =1

√

n(n2 + 1)

4. an =lnn

n

5. an =lnn

n2

6. an =1

n− ln

(

1 +1

n

)

7. an =1 − cos( 1

n )

sin( 1n )

8. an = 1n2 sin(π

n )

9. an =(−1)n

2n

10. an =1

n(n+ 1)

11. an =1

3n4 + 1

12. an =sinn

n3 + 1

13. an =sinn+ cosn

n3 + n8 − 6

14. an =1

2n + n3

15. an =1√n− 1

16. an = (−1)n (−1)n

√n

17. an = sin

(

1

n2

)

18. an =n2

2n

21

19. an = 1 − cos1

n

20. an = e√

n

21. an =1

lnn

22. an =

[

2n+ 1

n+ 1

]n

23. an = ln

[

1 +1

n2

]

24. an =n2 + 1

n2

25. an = sin1

2n

26. an = cos(nπ

2

)

27. an = 3 − (−1)n

Exercice 5.4.3 1. Calculer S1(z) =∞∑

k=0

zk ;

2. en calculant S′1 en déduire S2(z) =

∞∑

k=0

kzk ;

3. faire de même pour trouver S3(z) =∞∑

k=0

k2zk

22

Chapitre 6

Transformées en z

Il s’agit d’un outil mathématique utilisé dans le traitement d’un signal discrétisé en temps.

6.1 Définition

On considère une fonction f de la variable t rèelle, nulle pour t < 0. La suite de terme général f(n) est appeléeéchantillonnage de f .

Définition 6.1.1 La série Z(f)(z) =+∞∑

n=0f(n)z−n est appelée "transformée en z" de la fonction f.

On remarque que l’on peut définir la transformée en z d’une fonction constante par morceaux de type∞∑

i=0

f(i)χ[i,i+1),

car pour calculer la transfomée en z d’une grandeur il suffit de connaître telle grandeur en 0, 1, 2, ...

6.2 Tableau des transformées

f(t) Z(f)

U(t) = 1 , t > 0z

z − 1tU(t)

z

(z − 1)2

t2U(t)z(z + 1)

(z − 1)3

atU(t), a > 0z

z − a

cos(ωt)U(t)z2 − z cos(ω)

z2 − 2z cos(ω) + 1

sin(ωt)U(t)z sin(ω)

z2 − 2z cos(ω) + 1

6.3 Propriétés

Soient f, g deux fonctions, supposées nulles pour t < 0, et λ ∈ R. Alors, en utilisant la définition de trasforméeen z on peut montrer les propriétés suivantes :

1. Z(f + g) = Z(f) + Z(g)

2. Z(λf) = λZ(f)

3. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . Soit a > 0. On définit g(t) = atf(t). Alors

Z(g)(z) = H(z

a

)

23

4. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = tf(t). Alors

Z(g)(z) = −z H ′(z)

5. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = f(t−m), avec m ∈ N. Alors

Z(g)(z) = z−mH(z)

6. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = f(t+m)U(t), avec m ∈ N. Alors

Z(g)(z) = zm

[

H(z) −m−1∑

i=0

f(i)z−i

]

7. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = f(t)U(t−m), avec m ∈ N. Alors

Z(g)(z) = H(z) −m−1∑

i=0

f(i)z−i

8. Soient f =

∞∑

i=0

f(i)χ[i,i+1) et g =

∞∑

i=0

g(i)χ[i,i+1) ; on a f ∗ g(n) =

n∑

k=0

f(k)g(n − k). Alors Z(f ∗ g) =

Z(f)Z(g).

Remarque 6.3.1 On rappelle que pour deux fonctions f1, f2 : R → R le produit de convolution est défini par

f ∗ g(x) =

∫ +∞

−∞f(t)g(x− t)dt .

Exemple 6.3.2 Soit g(t) = t2t U(t). La transformée en z de g peut être calculée à l’aide de la propriété 4. Enfait g(t) = tf(t) pour f(t) = 2tU(t). Par conséquent

Z(g)(z) = −z ddz

z

z − 2=

2z

(z − 2)2.

Exemple 6.3.3 Soit g(t) = (t−3)2U(t−3). La transformée en z de g peut être calculée à l’aide de la propriété5. En fait g(t) = f(t− 3) pour f(t) = t2U(t). Par conséquent

Z(g)(z) = z−3 z(z + 1)

(z − 1)3=

z + 1

z2(z − 1)3.

Exemple 6.3.4 On veut calculer la transformée en z des deux fonctions suivantes :

f1(t) =

{

t2, t > 50, t < 5

et

f2(t) =

{

(t− 5)2, t > 50, t < 5

On remarque que f1(t) = t2U(t)U(t− 5). En utilisant la propriété 7 on a

Z(f1)(z) = Z(t2 U(t)) − 1

z− 4

z2− 9

z3− 16

z4=z(z + 1)

(z − 1)3− 1

z− 4

z2− 9

z3− 16

z4.

Par contre f2(t) = g(t− 5) pour g(t) = t2U(t). Cela implique que

Z(f2) = z−5Z(t2 U(t)) =z + 1

z4(z − 1)3.

Dans les graphes qui suivent sont représentés respectivement f(t) = [sin(t) + 3]U(t), f(t − 3), f(t + 4)U(t),f(t)U(t− 2) :

24

25

6.4 Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale

Théorème 6.4.1 (de la valeur initiale) limn→0

f(n) = limz→+∞

Z(f)(z)

En fait, Z(f)(z) = f(0) +

∞∑

n=1

f(n)z−n ; lorsque z → ∞, f(n)z−n → 0, ce qui fait que Z(f)(z) → f(0).

Théorème 6.4.2 (de la valeur finale) limn→+∞

f(n) = limz→1

(z − 1)Z(f)(z)

En fait

(z − 1)Z(f)(z) =∞∑

n=0

f(n)z−n+1 −∞∑

n=0

f(n)z−n =∞∑

n=−1

f(n+ 1)z−n −∞∑

n=0

f(n)z−n

Or,

limz→1

[

N∑

n=−1

f(n+ 1)z−n −N

∑

n=0

f(n)z−n

]

= f(N + 1)

et donc

limz→1

(z − 1)Z(f)(z) = limN→∞

limz→1

[

N∑

n=−1

f(n+ 1)z−n −N

∑

n=0

f(n)z−n

]

= limN→∞

f(N + 1)

6.5 Relation avec la transformée de Laplace

On rappelle que la transformée de Laplace d’une fonction f : [0,+∞[→ R est

L(f)(p) =

∫ +∞

0

f(t)e−ptdt .

Or, soit f une fonction ; considérons la fonction f̃(t) =

∞∑

n=0

f(t)δ(t−n) ; on peut montrer que sa transformée de

Laplace vaut

L(f̃)(p) =

∞∑

n=0

f(n)e−np .

Par ailleurs, par définition de transformée en z on obtient

Z(f)(z) =

∞∑

n=0

f(n)z−n :

cela montre queL(f̃)(p) = Z(f)(ep) .

6.6 Equations aux différences

Une équation au différences est une équation de la forme

ay(n+ 1) + by(n) = x(n)

où a, b ∈ R, x(n) sont donnés et y(n) est l’inconnue. Soit X(z) la transformée en z de x et Y (z) la transformée

en z de y (cela veut dire qu’on considère la transformée en z des deux fonctions y =∞∑

i=0

y(i)χ[i,i+1) et x =

∞∑

i=0

x(i)χ[i,i+1)). La transformée en z de y(n+1) vaut alors z[Y (z)− y(0)]. Par conséquent l’équation de départ

peut s’écrire sous la formeaz[Y (z) − y(0)] + bY (z) = X(z)

26

c’est-à-dire

Y (z) =ay(0)z

az + b+

X(z)

az + b.

Il suffit maintenant de calculer la transformée en z inverse.

Exemple 6.6.1 Soit 2y(n+ 1) + y(n) = n , y(0) = 0 . La méthode précédente nous donne

Y (z) =z

(2z + 1)(z − 1)2=

z

3(z − 1)2− 2z

9(z − 1)+

2z

9(z + 1/2)

d’où

y(n) =1

9

[

3n− 2 −(

−1

2

)n−1]

U(n) .

La méthode précédente peut s’appliquer à des équations de la forme

y(n) +

N∑

k=1

aky(n+ k) = x(n) +

N∑

k=1

bkx(n+ k);

en particulier on peut résoudre

y(n) +

N∑

k=1

aky(n+ k) = x(n)

ave les conditions y(j) = 0 pour j = 0, ..., N − 1. Si on applique la transformée en z on a

Y (z) =1

1 +N∑

k=1

akzk

X(z)

et donc y(n) = h ∗ x(n) où h = Z−1

1

1 +N∑

k=1

akzk

.

6.7 Exercices

Exercice 6.7.1 Représenter les fonctions suivantes et calculer leurs transformées en Z, en utilisant la défini-tion :

1. U(t) =

{

1 si t > 0

0 si t < 0

2. f(t) = tU(t)

3. f(t) = (3t+ 1)U(t)

Exercice 6.7.2 Représenter les fonctions suivantes et calculer leurs transformées en Z, en utilisant le tableauusuel des transformées.

1. U(t), U(t+ 2)U(t), U(t− 3)

2. f(t) = (t+ 1)U(t) ; f(t− 1) ; f(t− 1)U(t− 1)

3. f(t) = (t2 + 1)U(t)

4. f(t) = (t− 1)2 U(t)

5. f(t) = e−t+ 2

2 U(t)

6. f(t) = [e−(t+2)/2 U(t+ 2)]U(t)

7. f(t) = cos(ωt+ φ)U(t)

Exercice 6.7.3 Calculer les transformées en z inverses de :

1. F (z) =z

2z − 1+

z

z2 + 1

2. F (z) =z2 − 3

z2 − 3z + 2(suggestion : décomposer en éléments simples F (z)

z )

27

Exercice 6.7.4 Résoudre en utilisant les transformées en z de an, an+1 et an+2 l’équation récurrente

2an+2 − 3an+1 + an = 0

a0 = 1; a1 = −1

Exercice 6.7.5 Représenter les fonctions suivantes et calculer leurs transformées en Z :

1. f1(t) =

{

t, t > 20, t < 2

2. f2(t) = (t− 2)U(t− 2)

3. f3(t) = [(t+ 2)U(t+ 2)]U(t)

Exercice 6.7.6 Calculer la transformée en z inverse de la fonction suivante :

F (z) =2

z2 + 1+

1

(z − 3)z3

Exercice 6.7.7 Calculer la transformée en z inverse des fonctions suivantes :

F1(z) =z − cos 3

z2 − 2z cos 3 + 1; F2(z) =

z(z + 1)

(z − 1)3− 1

z.

Exercice 6.7.8 Calculer la transformée en Z de la fonction suivante :

f(t) =

0, t < 0et, 0 6 t < 3t2, t > 3 .

28

Chapitre 7

Séries de Fourier

Les séries de Fourier sont un outil fondamental dans le traitement du signal, car elles permettent d’approximerun signal périodique à l’aide de sommes de signaux sinusoïdaux.

7.1 Définition et propriétés

Définition 7.1.1 Une fonction f : [a, b] → R admet un saut en c ∈ (a, b) si limx→c+

f(x) existe finie, limx→c−

f(x)

existe finie, mais ces deux limites ne sont pas égales.

Exemple 7.1.2 La fonction χ(0,1) définie sur (−2, 2) admet un saut en 0 et un saut en 1.

Définition 7.1.3 Une fonction f : [a, b] → R est continue par morceaux si limx→a+

f(x) existe finie, limx→b−

f(x)

existe finie et si elle est continue sur [a, b] sauf en un nombre fini de sauts.

Exemple 7.1.4 La fonction de l’exemple 7.1.2 précédent est continue par morceaux sur (−2, 2).

Définition 7.1.5 Soit f : R → R une fonction T−périodique et intégrable sur [0, T ]. On pose

a0 =2

T

∫ T

0

f(x)dx

an =2

T

∫ T

0

f(x) cos

(

2πn

Tx

)

dx , n > 1

bn =2

T

∫ T

0

f(x) sin

(

2πn

Tx

)

dx , n > 1 .

On définit la somme de Fourier au rang n comme

Fn(f) =a0

2+

n∑

j=1

aj cos

(

2πj

Tx

)

+ bj sin

(

2πj

Tx

)

.

La série de Fourier de f est la limite de Fn(f) lorsque n→ ∞. On la notera F (f).

Théorème 7.1.6 Soit f : R → R une fonction T−périodique et intégrable sur [0, T ]. Supposons que f soitcontinue par morceaux sur [0, T ]. Alors

F (f)(x) =f(x+ 0) + f(x− 0)

2

dans chaque point où f admet une dérivée droite et une dérivée gauche finie.

Remarque 7.1.7 Ce résultat nous dit que la série de Fourier d’une fonction périodique f est une approximationde la fonction f . On l’utilise dans le traitement du signal, quand on écrit le signal comme la somme d’un signalutile (somme de Fourier) et d’un bruit.

29

Exemple 7.1.8 Soit f(x) = x13 , x ∈ (−π, π] et étendue par 2π−périodicité sur R. Alors la série de Fourier de

f converge à f pour tout x 6= kπ, k ∈ Z. En effet f n’est pas continue en ±π et n’admet pas une dérivée droiteou gauche en 0.

Remarque 7.1.9 Si f est paire alors bn = 0. Si f est impaire alors an = 0.

Théorème 7.1.10 (Identité de Parseval) Soit f : R → R une fonction T−périodique, bornée et intégrablesur [0, T ]. Alors

2

T

∫ T

0

|f |2 =a20

2+

∞∑

n=1

(a2n + b2n)

Théorème 7.1.11 (Dérivation) Soit f : R → R une fonction T−périodique et continue sur R ; supposonsque f ′ soit continue par morceaux sur [0, T ]. Si

a0

2+

∞∑

n=1

an cos

(

2πn

Tx

)

+ bn sin

(

2πn

Tx

)

est la développement de f alors

2π

T

∞∑

n=1

nbn cos

(

2πn

Tx

)

− nan sin

(

2πn

Tx

)

converge versf ′(x+ 0) + f ′(x− 0)

2.

Remarque 7.1.12 Si f et f ′ sont continues par morceaux dans un intervalle, alors les dérivées droite et gauchede f existent finies en chaque point.

Théorème 7.1.13 (Intégration) Soit f : R → R une fonction T−périodique et continue par morceaux ; soientan, bn les coefficients de Fourier de la fonction f . Alors

∫ x

−T/2

f(x)dx =a0

2

(

x+T

2

)

+T

2π

∞∑

n=1

−bnn

[

cos

(

2πn

Tx

)

− cos (nπ) +an

nsin

(

2πn

Tx

)]

Remarque 7.1.14 On observe que l’on peut utiliser aussi la notation complexe suivante pour indiquer unesérie de Fourier :

n=+∞∑

n=−∞cn(f)eint 2π

T

où

cn =1

T

∫ T/2

T/2

f(x)e−inx 2πT dx .

Proposition 7.1.15 Soit f : [0, L] → R une fonction continue par morceaux. Soit

an =2

L

∫ L

0

f(y) cos(πn

Ly)

dy , n > 1 .

Alorsa0

2+

∞∑

n=1

an cos(πn

Lx)

=f(x+ 0) + f(x− 0)

2


Proposition 7.1.16 Soit f : [0, L] → R une fonction continue par morceaux. Soit

bn =2

L

∫ L

0

f(y) sin(πn

Ly)

dy , n > 1 .

Alors ∞∑

n=1

bn sin(πn

Lx)

=f(x+ 0) + f(x− 0)

2


30

Exemple 7.1.17 Soit

f(x) =

{

π si x ∈ [0, π)0 si x ∈ [π, 2π)

et étendue par 2π-périodicité à R. Si on calcule les coefficients de la série de Fourier on trouve a0 = π et an = 0pour tout n > 1 ; bn = 0 si n est pair et 2

n pour n impair.Cela implique que

1. F1(f) =π

2+ 2 sinx

2. F2(f) =π

2+ 2 sinx

3. F3(f) =π

2+ 2 sinx+

2

3sin(3x)

4. F4(f) =π

2+ 2 sinx+

2

3sin(3x)

5. F5(f) =π

2+ 2 sinx+

2

3sin(3x) +

2

5sin(5x)

6. F6(f) =π

2+ 2 sinx+

2

3sin(3x) +

2

5sin(5x)

7. ...

A la page suivante sont représentés f et F1(f) ; f et F3(f) ; f et F5(f) ; f et F7(f) ; f et F9(f) pour x ∈ [0, π] :

7.2 Applications

Soit f une fonction T−périodique. Le terme de la série de Fourier de f a1 cos(ωx) + b1 sin(ωx), pour ω = 2πT ,

et appelé le "fondamental" ; les termes suivants, an cos(ωnx) + bn sin(ωnx), n > 2 sont appelés "harmoniques".On remarque que

un = an cos(ωnx) + bn sin(ωnx) = An cos(nωx− ϕn)

pour An =√

a2n + b2n ("amplitude") et tan(ϕn) = bn

an("phase"). On peut représenter sur un plan les points

(n,An), ce qui nous donne le "spectre" du signal f (la théorie des séries nous dit que An → 0 pour n→ ∞).

Les séries de Fourier peuvent être utilisées pour étudier des équations différentielles. Supposont que

as′(t) + bs(t) = e(t)

décrive un système électrique, où e est la grandeur d’entrée, périodique, et s celle de sortie.On sait de la théorie de équations différentielles qu’on doit trouver une solution particulière s. On peut lachercher sous la forme d’une série de Fourier

s(t) = b0 +∞∑

n=1

Bn cos(nωt− ψn).

La connaissance des harmoniques de e permet de connaître le signal de sortie, car elle permet de calculer Bn

par identification.

31

32

7.3 Exercices

Exercice 7.3.1 Trouver la série de Fourier de f(x) =x

2pour x ∈ (−π, π] et étendue par 2π-périodicité à R.

Trouver la série de Fourier de f et la comparer à f .

Exercice 7.3.2 Soit

F (x) =

{

x si x ∈ [0, π/2)π − x si x ∈ (π/2, π]

Trouver sa série de Fourier en sinus et la comparer à f .

Exercice 7.3.3 Soit f la fonction 2π-périodique, qui vaut ex−π pour x ∈ [0, 2π). Trouver la sèrie de Fourier

de f et la comparer à f . En déduire que

∞∑

n=2

(−1)n

n2 + 1=

π

eπ − e−π.

Exercice 7.3.4 Soit f la fonction 2π-périodique, qui vaut (x−π)2 pour x ∈ [0, 2π). Trouver la série de Fourier

de f et la comparer à f sur [0, 2π]. En déduire que

∞∑

n=1

1

n2=π2

6.

Exercice 7.3.5 Ecrire la série de Fourier de la fonction 2π−périodique définie par f(x) = |x| pour x ∈ [−π, π).

33

Chapitre 8

Transformée de Fourier

8.1 Définition et propriétés

Soit f : R → R une fonction intégrable sur (−∞,+∞) telle que

∫ +∞

−∞|f | <∞. On définit, pour s ∈ R

F(f)(s) =

∫ +∞

−∞e−istf(t)dt .

La fonction F(f) est une fonction de R en C.Il est évident que si f est paire, F(f)(s) est un nombre réel pour tout s ; si f est impaire, F(f)(s) est un nombreimaginaire pur pour tout s.Voici les propriétés de la transformée de Fourier :

1. F(f) est une fonction bornée

2. lims→∞

F(f)(s) = 0

3. F est linéaire : F(λf + µg) = λF(f) + µF(g), pour λ, µ ∈ R

4. F(f ′) = isF(f)(s)

5. F(t f(t)) = i ddsF(f)(s)

6. F(f(t− a)) = e−iasF(f)(s)

7. F(eiatf) = F(f)(s− a)

8. F(f(ωt)) = 1|ω|F(f)

(

sω

)

9. Soit f ∗ g =

∫ +∞

−∞f(t)g(x− t)dt. Alors F(f ∗ g) = F(f)F(g).

10.

∫ +∞

−∞|F(f)(s)|2ds = 2π

∫ +∞

−∞|f(t)|2dt (théorème de Plancherel)

11. Soit F(g) =1

2π

∫ +∞

−∞eistg(t)dt. Alors F(F(f)) = 1

2 [f(t+ 0) + f(t− 0)] .

Exemple 8.1.1 La transformée de Fourier de la fonction χ(−1,1) vaut 2sin(s)

s.

Remarque 8.1.2 Quel est le lien entre la transformée de Fourier et la transformée de Laplace ? On posef+(s) = f(t)χ(0,+∞) et f−(s) = f(−t)χ(0,+∞). Alors F(f)(s) = L(f+)(is) + L(f−)(−is).

Remarque 8.1.3 D’où vient la définition de transformée de Fourier ? On rappelle que

f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

an cos

(

2nπx

L

)

+

∞∑

n=1

bn sin

(

2nπx

L

)

(8.1)

où

an =2

L

∫ L/2

−L/2

f(x) cos

(

2nπx

L

)

dx , bn =2

L

∫ L/2

−L/2

f(x) sin

(

2nπx

L

)

dx .

34

Alors

f(x) =1

L

∫ L/2

−L/2

f(u)du+2

L

∞∑

n=1

∫ L/2

−L/2

f(u) cos

(

2nπ

L(u− x)

)

du

On pose 2πL = ∆α. Alors

f(x) = lim∆α→0

∞∑

n=1

∆αF (n∆α)

où

F (α) =1

π

∫ +∞

−∞f(u) cos (α(u− x)) du

Cela implique que

f(x) =

∫ +∞

0

F (α)dα =1

π

∫ +∞

0

∫ +∞

−∞f(u) cos (α(u− x)) du =

1

2π

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(u)eiα(x−u)dudα

=1

2π

∫ +∞

−∞eiαxdα

∫ +∞

−∞f(u)e−iαudu .

8.2 Tableau des transformées

f(t) F(f)

χ(−T,T ) 2sin(sT )

s

χ(b,c)e−isb − e−isc

is

e−ωtχ(0,+∞)(ω > 0)1

ω + is

e−ω|t| 2|ω|

ω2 + s2

e−iωtχ(b,c) −ie−i(ω+s)b − e−i(ω+s)c

ω + s

e−ωtχ(b,c)e−(ω+is)b − e−(ω+is)c

ω + issin(|ω|t)

tπχ(−|ω|,|ω|)

e−ω2t2√π

|ω| e−s2/4ω2

1

ω2 + t2πe−|ω|s

|ω|

35

8.3 Exercices

Exercice 8.3.1 Calculer la transformée de Fourier de f(t) = e−|t|.

Exercice 8.3.2 Calculer la transformée de Fourier de f(t) = (1 − |t|)χ(−1,1).

Exercice 8.3.3 Calculer la transformée de Fourier de f(t) = t2χ(−1,1).

Exercice 8.3.4 Calculer la transformée de Fourier de f(t) = e−|t| cos t.

Exercice 8.3.5 Soit f(t) = χ(−1,1)(t). Représenter graphiquement f ∗ f et calculer sa transformée de Fourier.

Exercice 8.3.6 Soit f(t) = e−πt2 . Quelle équation différentielles satisfait F(f) ? (utiliser le tableau des trans-formées et la transformée de la dérivée).

Exercice 8.3.7 Soit f(t) la fonction qui vaut 0 pour t 6 −3, 1 pour t ∈ (−3, 0) et e−2t pour t > 0. Calculer satransformée de Fourier.

Exercice 8.3.8 Soit f(t) = e−2|t+3|. Calculer sa transformée de Fourier.

36

Chapitre 9

Appendice : exemples de DS et exercices

de révision

9.1 Exemple de DS module MA31

Durée : 1 heure 30Les documents et les calculatrices sont interdits. Toutes vos réponses doivent être justifiées et bien présentées.

Exercice 1 Calculer les dérivées partielles de f(x, y) = ex sin y +xy

x+ 1.

Exercice 2 Représenter le domaine de définition de la fonction f(x, y) = ln(x2 − y).

Exercice 3 Quels sont les ensembles de niveau de la fonction f(x, y) = y − x2 ?

Exercice 4 Calculer∫∫

D

f(x, y)dxdy

avecD = {(x, y) : y > 0, x− y + 1 > 0, x+ 2y − 4 6 0}

etf(x, y) = x .

Exercice 5 En utilisant les coordonnées polaires calculer :

∫∫

D

xy√

x2 + y2dxdy

où D = {(x, y) ∈ R2 ;x2 + y2 < 1; y > 0}

Execice 6 Calculer les limites suivantes :

1. limn→∞

en + n3 + 2

2n3 + 1

2. limn→∞

ln( 1n )

n

9.2 Exemple de DS module MA32

Durée : 1 heure 30Les documents et les calculatrices sont interdits. Toutes vos réponses doivent être justifiées et bien présentées.

Execice 1 Etudier la convergence des séries suivantes :

37

1.

∞∑

n=1

1

πn

2.

∞∑

n=1

(−1)n

n2 + 5

3.∞∑

n=1

2n

2n + 1

4.

∞∑

n=1

sinn+ cosn

n6

5.

∞∑

n=1

e−2n

n

Execice 2 Calculer la transformée en Z de la fonction suivante :

f(t) =

t3, t > 22, 0 6 t < 20, t < 0

Execice 3 Calculer la transformée en Z inverse de la fonction suivante :

F (z) =2

z2 + 1+

1

(z − 3)z3.

Execice 4 Calculer la série de Fourier de la fonction 2−périodique qui, sur [0, 2[ vaut

f(t) =

{

t, t ∈ [0, 1[0, t ∈ [1, 2[ .

Execice 5 Calculer la transformée de Fourier de la fonction t3χ(2,3)(t).

38

9.3 Document pour le module MA32

9.3.1 Séries

Critères de convergence sur les séries à termes positifs

a) Soit f : [a,+∞[→ R+ une fonction continue décroissante. Alors la série

∞∑

n=1

f(n) a le même comportement

que∫ +∞

af(x)dx.

b) Soient un, vn deux suites positives telles que un 6 vn à partir d’un certain rang.

Si

∞∑

n=1

vn converge alors

∞∑

n=1

un converge. Si

∞∑

n=1

un diverge alors

∞∑

n=1

vn diverge.

c) Si l’on peut trouver α > 1 tel que limn→∞

nαun <∞, alors la série

∞∑

n=1

un converge.

Si l’on peut trouver 0 < α 6 1 tel que limn→∞

nαun > 0, alors la série∞∑

n=1

un diverge.

d) Siun

vn→ l avec l > 0 et l < +∞, alors les séries

∞∑

n=1

un et∞∑

n=1

vn ont le même comportement.

e) Soit l = limn→∞

n√un (si elle existe). Si l < 1 la série

∞∑

n=1

un converge. Si l > 1,∞∑

n=0

un diverge.

f) Soit l = limn→∞

un+1

un(si elle existe). Si l < 1 la série

∞∑

n=1

un converge. Si l > 1

∞∑

n=1

un diverge.

Séries alternées

La série

∞∑

n=1

(−1)nun avec un > 0 est dite alternée. Si limn→∞

un = 0 et un est décroissante alors

∞∑

n=1

(−1)nun est

convergente.

Séries à termes de signes quelconques

Si

∞∑

n=0

|un| converge, alors

∞∑

n=0

un converge.

9.3.2 Transformées en Z

Quelques transformées

f(t) Z(f)

U(t) =

{

1 si t > 0

0 si t < 0

z

z − 1

tU(t)z

(z − 1)2

t2U(t)z(z + 1)

(z − 1)3

atU(t) , a > 0z

z − a

cos(ωt)U(t)z2 − z cos(ω)

z2 − 2z cos(ω) + 1

sin(ωt)U(t)z sin(ω)

z2 − 2z cos(ω) + 1

39

Propriétés

Soient f, g deux fonctions, supposées nulles pour t < 0, et λ ∈ R. Alors

1. Z(f + g) = Z(f) + Z(g)

2. Z(λf) = λZ(f)

3. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . Soit a > 0. On définit g(t) = atf(t). Alors

Z(g)(z) = H(z

a

)

4. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = tf(t). Alors

Z(g)(z) = −z H ′(z)

5. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = f(t−m), avec m ∈ N. Alors

Z(g)(z) = z−mH(z)

6. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = f(t+m)U(t), avec m ∈ N. Alors

Z(g)(z) = zm

[

H(z) −m−1∑

i=0

f(i)z−i

]

7. Soit H(z) la transformé en Z de la fonction f . On définit g(t) = f(t)U(t−m), avec m ∈ N. Alors

Z(g)(z) = H(z) −m−1∑

i=0

f(i)z−i

9.3.3 Transformées de Fourier

Quelques transformées

f(t) F(f)

χ(−T,T ) 2sin(sT )

s

χ(b,c)e−isb − e−isc

is

e−ωtχ(0,+∞)(ω > 0)1

ω + is

e−ω|t| 2|ω|

ω2 + s2

e−iωtχ(b,c) −ie−i(ω+s)b − e−i(ω+s)c

ω + s

e−ωtχ(b,c)e−(ω+is)b − e−(ω+is)c

ω + issin(|ω|t)

tπχ(−|ω|,|ω|)

e−ω2t2√π

|ω| e−s2/4ω2

1

ω2 + t2πe−|ω|s

|ω|

Propriétés

Soient f, g deux fonctions.

1. F(λf + µg) = λF(f) + µF(g), pour λ, µ ∈ R

2. F(f ′) = isF(f)(s)

3. F(t f(t)) = i ddsF(f)(s)

4. F(f(t− a)) = e−iasF(f)(s)

40

5. F(eiatf) = F(f)(s− a)

6. F(f(ωt)) = 1|ω|F(f)

(

sω

)

7. Soit f ∗ g =

∫ +∞

−∞f(t)g(x− t)dt. Alors F(f ∗ g) = F(f)F(g).

8.

∫ +∞

−∞|F(f)(s)|2ds = 2π

∫ +∞

−∞|f(t)|2dt (identité de Plancherel)

41

9.4 Exercices de révision

Exercice 9.4.1 Représenter le domaine de définition et calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes :

1. f(x, y) =√

y − x2 + 3

2. f(x, y) = ln (y2 − x2) + cos

(

x

y

)

3. f(x, y) = ey3−x4

Exercice 9.4.2 Décrire les sections des graphes des fonctions suivantes :

1. f(x, y) = ex(y + 2)

2. f(x, y) = cos(xy)

3. f(x, y) = eyx3

Exercice 9.4.3 Utiliser la règle de dérivation de la composée pour calculer dzdt pour z = x4 − y2 avec x =

2t

t+ 1et y = t+ 1.


∫∫

D

f(x, y) dxdy :

1. D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0, x+ y 6 2}, f(x, y) = x2y.

2. D = {(x, y) ∈ R2 ; y > 0, x+ y 6 1, y − x 6 1}, f(x, y) = xy2.


1.

∫∫

D

√

x2 + y2

1 + x2 + y2dxdy où D = {(x, y) ∈ R

2 ; x2 + y2 6 1}

2.

∫∫

D

x2 dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; 1 < x2 + y2 < 4 , x > 0, y > 0}

3.

∫∫

D

xy dxdy où D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 6 1, x > 0, y > 0, y 6 x}

Exercice 9.4.6 Calculer limn→∞

an pour

1. an = 3n+ 2 +n4 + 5n7 − 2

3n2 + 1

2. an =2n + 3n2

n3 − 6

3. an =sinn

2n − n

4. an =√

n2 + 5 − n

5. an =lnn+ n3

en + 3n2

Exercice 9.4.7 Etudier la convergence des séries de terme général :

1. an =3n

n3 + 4n2 − 5

2. an =3

n23

3. an =(−1)n

2n + 3n− 5n4

4. an =sin(3n) cos(n)

n3 + 15. an = −4 − (−1)n

6. an =

√n+ 3 + 3n

7n7 + 4n4

7. an =en

3n7 + 4n45

8. an =lnn+ 2n3

3n7 + 4n45

9. an =

√n+ 1

2n4 − 4n+ 3

10. an =sinn+ 4 + n

en + n2

11. an =

(

2n+ 1 + n3

3n3 + 4

)n

12. an =n+ 4 +

√n

12n + 4

13. an =−n+ en

en + n2

14. an =(−1)n

en +√n+ 1

15. an = e1n

16. an = (−1)nn

42

17. an = [1 + (−1)n] 18. an =arctann

n+ 2

Exercice 9.4.8 Représenter les fonctions suivantes et calculer leur transformée en z :

f1(t) =

0, t < 0et + 4, 0 6 t < 3t2, t > 3

f2(t) =

0, t < 0t, 0 6 t < 33, t > 3

Exercice 9.4.9 Calculer la transformée en z des fonctions f(t) = tatU(t) et g(t) = t2atU(t).

Exercice 9.4.10 Calculer la transformée en z inverse de

F1(z) =1

z3(z − 3)− 4

z + 1

(z − 1)3z7;

F2(z) =z + 1

(z − 1)3− 2z

z − 5.

Exercice 9.4.11 Ecrire la série de Fourier de la fonction 2π−périodique définie par f(x) = −2|x| pour x ∈[−π, π). Comparer la série de Fourier à la fonction.

Exercice 9.4.12 Calculer la transformée de Fourier des fonctions χ(2,3)(t)+4χ(7,10)(t), tχ(2,3)(t)+4χ(7,10)(t),

e−|t| sin t, (e−t + 3)χ(0,+∞) − χ(−1,0).

43

9.5 Corrigé des exercices du chapitre Fonctions de plusieurs variables

Corrigé de l’exercice 2.5.1D0 est un rectangleD1 : représenter les deux demiplans {(x, y) ∈ R

2 : x − 2y + 3 > 0}, {(x, y) ∈ R2 : 3x − 2y + 1 6 0} et faire

intersectionD2 : x2 + y2 − 6x+ 2y + 1 = (x− 3)2 − 9 + (y + 1)20 : on a donc un cercle !D3 : représenter {(x, y) ∈ R

2 : y − x2 + x > 0}, {(x, y) ∈ R2 : y − x− 1

2 6 0} et après faire intersectionD4 : {(x, y) ∈ R

2 : x2 + y2 − 4x+ 12y − 31 = 0} est un cercle !

Corrigé de l’exercice 2.5.2

a(x, y) = cos(x2 + y) − y arctan(x+ 2y) a comme domaine de définition R2

b(x, y) =x+ sin(xy)

ln(x3): il fait que ln(x3) 6= 0 et x3 > 0

c(x, y) =2x√

y + x− 2: il faut que

√y + x− 2 6= 0 et y + x− 2 > 0

d(x, y) =√

x3y3 − 1 + y4x : il faut que x3y3 − 1 > 0

Corrigé de l’exercice 2.5.3f1(x, y) =

√

y2 − x2 : il faut que |y| > |x|f2(x, y) =

x2 + y2

√x+ y

: il faut que x+ y > 0 et√x+ y 6= 0

f3(x, y) = ln

(

x+ y

x− y

)

: il faut quex+ y

x− y> 0 et x− y 6= 0

f4(x, y) = ln(x2 − y2) : il faut que x2 > y2 et donc |x| > |y|Corrigé de l’exercice 2.5.4

1. Le graphe de f1 est le dernier ; celui de f2 le deuxième et celui de f3 est le premier.

2. Le graphe de f1 est le deuxième ; celui de f2 le premier et celui de f3 est le dernier.

Corrigé de l’exercice 2.5.5 limx→1y→2

f(x, y) = 5 et donc f est discontinue

Corrigé de l’exercice 2.5.6Il suffit de poser y = x et après y = x2 : si on fait la limite pour x→ 0 on obtient des valeurs differentes !

44

9.6 Corrigé des exercices du chapitre Intégrales doubles


Calculer

∫∫

D

f(x, y) dxdy :

1. D = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0, y > 0, x+ y 6 1} = {(x, y) ∈ R

2 ; x ∈ [0, 1], 0 6 y 6 1 − x}

2. D = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ [1, 3], 1 6 y 6 4 − x}. Par conséquent on a

∫ 3

1

dx

∫ 4−x

1

1

x+ ydy =

∫ 3

1

dx[ln(x+y)]y=4−xy=1 =

∫ 3

1

dx[ln 4− ln(x+1)] = 2 ln 4− [x ln(x+1)]31 +

∫ 3

1

x

x+ 1

= 2 ln 4 − [x ln(x+ 1)]31 +

∫ 3

1

x+ 1 − 1

x+ 1= 2 ln 4 − [x ln(x+ 1)]31 +

∫ 3

1

1 +1

x+ 1= ...

3. D = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ [1, 3], 1 6 y 6 4 − x}

4. D = {(x, y) ∈ R2 ; y ∈ [0, 1], y − 1 6 x 6 1 − y}

5. D = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ [−R,R],−

√R2 − x2 6 y 6

√R2 − x2}

6. D = {(x, y) ∈ R2 ; y ∈ [−2, 2], 0 6 x 6 1 − y2

4}

7. D = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ [0, 1], 0 6 y 6 1 − x},

8. D = {(x, y) ∈ R2 ; x ∈ [0, π], 0 6 y 6 π − x}

9. D = {(x, y) ∈ R2 ; 1 6 y 6 x2, 0 6 x 6 2}.

Corrigé de l’exercice 3.6.2 D = {(x, y) : y ∈ [1, 2], y 6 x 6 y2}. Par conséquent on a

∫ 2

1

dy

∫ y2

y

sin

(

πx

2y

)

dx =

∫ 2

1

dy

[

−2y

πcos

(

πx

2y

)]x=y2

x=y

= − 2

π

∫ 2

1

dyy cos(πy

2

)

=

= − 2

π

[

y sin(πy

2)2

π

]2

1

+

(

2

π

)2 ∫ 2

1

sin(πy

2) = ... =

4

π2− 8

π3


1. I =

∫∫

∆

r

1 + r2drdθ où ∆ = {(θ, r) : θ ∈ [0, 2π], r ∈ [0, 1]}

2. I =

∫∫

∆

r3 drdθ où ∆ = {(θ, r) : θ ∈ [−π/2, π/4], r ∈ [sin θ, cos θ]}

3. I =

∫∫

∆

r2 drdθ où ∆ = {(θ, r) : θ ∈ [0, 2π], r ∈ [1, 2]}

4. I =

∫∫

∆

r4 cos θ sin θ drdθ =

∫ 1

0

r4dr

∫ π/4

0

sin(2θ)dθ où ∆ = {(θ, r) : θ ∈ [0, π/4], r ∈ [0, 1]}

5. I =

∫∫

∆

rr2 cos2 θ drdθ =

∫∫

∆

r31 + cos(2θ)

2drdθ où ∆ = {(θ, r) : θ ∈ [−π/3, π/3], r ∈ [0, 1]}

Corrigé de l’exercice 3.6.8 On pose x = r cos θ + 1; y = r sin θ. Alors I =

∫∫

∆

r(r cos θ + 1) drdθ où

∆ = {(θ, r) : θ ∈ [0, 2π], r ∈ [0, 1]}Corrigé de l’exercice 3.6.13

On trace D et on trouve que (u, v) ∈ [1, 2]2. Par ailleurs on a x = 2u+v et y = 2u

u+v d’oùD(x, y)

D(u, v)= 4/(u + v)3

Par conséquent

I =

∫ 2

1

dv

∫ 2

1

1

2udu = ...

45

9.7 Corrigé des exercices du chapitre Suites numériques

Corrigé de l’exercice 4.5.1Etudier la convergence des suites :

1.

(

1

2

)n

→ 0 car 2n → ∞

2.n+ 3

2n+ 1: fraction rationnelle

3. n2 − n : écrire comme n(n− 1) → ∞

4.lnn

n: utiliser les théorèmes de comparaison

5.√n+ 1 −

√n+ 2 : multiplier et diviser par

√n+ 1 +

√n+ 2

6. n√n : écrire comme eln( n

√n) = eln(n

1n ) = e

1n ln(n) → 1

Corrigé de l’exercice 4.5.2Calculer lim

n→∞an pour

1. an =n2 + 5n− 2

3n2 + 7→ 1

3(fraction rationnelle)

2. an =n4 + 5n7 − 2

3n2 + 1→ ∞ (fraction rationnelle)

3. an =n4

3n− π→ ∞ (fraction rationnelle)

4. an =2n

n3 + n8 − 6>

2n

2n8→ ∞ (voir comparaisons)

5. an =n√

2 = 21n → 20 = 1

6. an =cosn

n3→ 0 (| cos n

n3 | 61

n3 → 0)

7. an =n√

n2 + n− 3=

√

n2

n2 + n− 3→

√1 = 1 (fraction rationnelle)

8. an =n√

n2 + 3 = elnn√n2+3 = e

1n ln(n2+3) → e0 = 1

9. an =

√n+ 5 −√

n

2: multiplier et diviser par

√n+ 5 +

√n

10. an = sin(1/n) → 0 (banale !)

11. an = n sin(1/n) → 1 (on étudie limx→0sin x

x = 1)

12. an = n√n− n

n+ 2→ 1 − 1 = 0 (voir exo 1 + fraction rationnelles)

13. an =en

n3 − 2>en

n3→ ∞ (voir comparaison)

14. 0 6 an =lnn

n7 + 386

lnn

n7→ 0 (voir comparaison)

15. an =en2+3

√n− 4

>en

√n→ ∞ (voir comparaison)

16. an =

(

1

n+ 2

)

ln(n5) → ∞ (banale !)

46

9.8 Corrigé des exercices du chapitre Séries numériques


1. S1 =n∑

i=1

i =n(n+ 1)

2divergente

2. S2 =n∑

i=1

1

i(i+ 1)=

n∑

i=1

(

1

i− 1

i+ 1

)

= 1 − 1

n+ 1


1. série de Riemann avec α = 2 > 1 convergente.

2. série de Riemann avec α =1

2< 1 divergente.

3.1

√

n(n2 + 1)6

1

n3/2dont la serie converge

4. ln xx est decroissante ; on peut appliquer le critère des intégrales :

∫ +∞1

ln xx dx = [12 ln2 x]∞1 = ∞

5. ln xx2 est decroissante ; on peut appliquer le critère des intégrales ; pour calculer

∫ ∞1

ln xx2 , il suffit de poser

lnx = t ; la série est divergente. Sinon on pourrait remarquer que ln xx2 6

cx3/2

6. la série est à termes positifs. On a que [x − ln(1 + x)]/x2 → 12 pour x → 0 et donc la série est de même

nature que la série de Riemann avec α = 2 donc convergente.

7. 1−cos xx sin x → 1/2 et donc la série est de même nature que la série de Riemann pour α = 1

8. an 61

n2 dont la serie correspondante est convergente (série de Riemann avec α = 2)

9. série alternée convergente pour Leibnitz

10. an 61

n2 (serie de Riemann convergente)

11. an 61

3n4 (serie de Riemann convergente)

12. |an| 61


13. |an| 62


14. an 612n (serie geometrique convergente)

15. an >1√n

qui diverge

16. an = 12n dont la série converge

17. an est equivalent a 1n2 (serie de Riemann convergente)

18. an 63n

2n2n (serie geometrique convergente)

19. an est equivalent a 1n2 (serie de Riemann convergente)

20. an ne tend pas vers 0, et donc la série est divergente

21. an >1n dont la série diverge

22. la série diverge par le critère de la racine

23. an est équivalent à 1/n2 et donc la série converge

24. an ne tend pas vers 0, et donc la série est divergente

25. an est équivalent à 1/2n et donc la série converge

26. série indéterminée : il suffit de calculer les sommes partielles

27. série divergente : an > 1


1. Les convergences sont assurées pour |z| < 1. On a alors S1(z) =∞∑

k=0

zk =1

1 − z

2. D’un coté on a S′1(z) = 1 + 2z + 3z2 + · · · + nzn−1 + · · · =

1

(1 − z)2. Par ailleurs S2(z) =

∞∑

k=0

k zk =

0 + z + 2z2 + · · · + nzn + · · · = z S′1 d’où S2(z) =

z

(1 − z)2

3. En dérivant terme à terme, on a S′2(z) = 1+4z+9z2 +16z3 + · · ·+n2zn−1 + · · · =

(1 + z)

(1 − z)3. Cela implique

que S3(z) =∞∑

k=0

k2 zk = z + 4z2 + 9z3 + ... = zS′2 =

z(1 + z)

(1 − z)3.

47

9.9 Corrigé des exercices du chapitre Transformées en z


1. Z(f)(z) =∞∑

0z−n =

z

z − 1

2. Z(f)(z) =∞∑

0n z−n =(voir ex 5.4.3)S2(z

−1) =z

(z − 1)2

3. Z(f)(z) =∞∑

0(3n+ 1) z−n = 3

∞∑

0n z−n +

∞∑

0z−n =

3z

(z − 1)2+

z

z − 1


1. Z(U(t)) =z

z − 1

U(t+ 2)U(t) : on utilise la propriété 6 : Z(U(t+ 2)U(t)) = z2Z(U(t)) − z21

∑

i=0

z−i =z3

z − 1− z2

(

1 − 1

z

)

U(t− 3) : on utilise la propriété 5 : Z(U(t− 3)) = z−3Z(U(t)) =z−2

z − 1

2. (a) Z((t+ 1)U(t))(z) = Z(t U(t))(z) + Z(U(t))(z) =z

(z − 1)2+

z

z − 1

(b) On utilise la propriété 5 avec m = 1 et f(t) = (t+ 1)U(t) (dont on vient de calculer la transformée

en Z) : on obtient Z(f(t− 1)) =1

(z − 1)2+

1

z − 1

(c) f(t− 1)U(t− 1) = t U(t− 1) : on calcule d’abord Z(U(t− 1)) et après on utilise la propriété 4.

3. f(t) = (t2 + 1)U(t)

Z((t2 + 1)U(t)) = Z(t2 U(t)) + Z(U(t)) =z(z + 1)

(z − 1)3+

z

z − 1

4. f(t) = (t− 1)2 U(t)

Z((t− 1)2 U(t)) = Z(t2 U(t)) − 2Z(t U(t)) + Z(U(t)) =z(z + 1)

(z − 1)3− 2

z

(z − 1)2+

z

z − 1

5. f(t) = e−t+ 2

2 U(t)

Z

e−t+ 2

2 U(t)

= e−1Z

e−

1

2

t

U(t)

= e−1 z

z − e−1

2

6. e−t+ 2

2 U(t + 2)U(t) = g(t + 2)U(t) où g(t) = e−t/2U(t) =(

e−1/2)tU(t) dont la transformée en z vaut

z

z − e−1

2

. Il suffit maintenant d’utiliser la propriété 6 avec m = 2.

7. Z(cos(ωt+ φ)U(t)) = cos(φ)Z(cos(ωt)U(t)) − sin(φ)Z(sin(ωt)U(t)) = ...


1. F (z) =z

2z − 1+

z

z2 + 1: on reconnait f(t) =

[

1

2(1

2)t + cos(t

π

2)

]

2. on décomposeF (z)

z:F (z)

z=

z2 − 3

z(z2 − 3z + 2)=

−3/2

z+

2

z − 1+

1

2(z − 2)

d’où F (z) = −3

2+ 2

z

z − 1+

1

2

z

z − 2et par lecture inversée du tableau des transformées, on reconnait

f(t) =

[

−3

2δ(t− 1) + 2t+

1

22t

]

U(t)

Corrigé de l’exercice 6.7.4 Soit Z = Z(an). On a alors Z(an+1) = z (Z − a0) = z(Z − 1) et Z(an+2) =z2

(

Z − a0 − a1z−1

)

= z2(Z − 1 + z−1)

d’où en substituant et en isolant Z : Z =z

z − 1. On en déduit an = 1


48

1. f1(t) = tU(t)U(t− 2). On peut donc utiliser la propriété 7 avec m = 2 et f(t) = tU(t).

2. (t − 2)U(t − 2) = f(t − 2) où f(t) = tU(t) : il suffit alors d’utiliser la propriété 5 avec f(t) = tU(t) etm = 2

3. il suffit d’utiliser la propriété 6 avec f(t) = tU(t) et m = 2.

Corrigé de l’exercice 6.7.6 On a

F (z) =2

z

z

z2 + 1+

1

z4

z

z − 3=

2

zZ

(

sin(π

2t))

+1

z4Z(3t)

Il suffit maintenant d’utiliser la propriété 5.

Corrigé de l’exercice 6.7.7 On a F1(z) =z − cos 3

z2 − 2z cos 3 + 1=Z(cos(3t))

z= Z(cos(3(t− 1))) .

F2(z) =z(z + 1)

(z − 1)3− 1

z= Z(t2U(t)) − 1

z. Grâce à la propriété 7 F2(z) = Z(g(t)) où g(t) =

{

0, t < 2t2, t > 2 .

Corrigé de l’exercice 6.7.8 f(t) = f1(t) + f2(t) où

f1(t) =

0, t < 0et, 0 6 t < 30, t > 3 .

et

f2(t) =

{

0, t < 3t2, t > 3 .

= t2U(t)U(t− 3) .

On a Z(f) = Z(f1) + Z(f2) : pour calculer Z(f1) on utilise la définition de transformée en Z ; pour calculerZ(f1) on utilise la propriété 7.

49

9.10 Corrigé des exercices du chapitre Séries de Fourier

Corrigé de l’exercice 7.3.1 La fonction est impaire, donc an = 0. Pour bn on trouve (−1)n−1

n . La fonction fcoincide avec sa série de Fourier si x ∈ (−π, π).

Corrigé de l’exercice 7.3.2 On trouve bn = 4n2π sin

(

nπ2

)

.On va maintenant comparer f et sa série en sinus. Si on prolonge par imparité f sur l’intervalle [−π, 0] et aprèson prolonge par périodicité la fonction ainsi obtenue on trouve une fonction g qui est continue. La série deFourier en sinus de f coincide avec la sére de Fourier de g, sur l’intervalle [0, π]. Puisque g est continue, sa sériede Fourier coincide avec g sur [0, π] et donc f coincide avec sa série en sinus sur l’intervalle [0, π].

Corrigé de l’exercice 7.3.3 On trouve an = 1π(n2+1) (e

π − e−π) et bn = − nπ(n2+1) (e

π − e−π).

Grâce au thèorème de Dirichlet on a que la série de Fourier de f coincide avec f si x ∈ (0, 2π). Pour calculer lavaleur de la sérier demandée il suffit de choisir x = π dans l’ègalité F (f) = f .

Corrigé de l’exercice 7.3.4 On trouve a0 = 23π

2, an = 4n2 et bn = 0. On constate que f est continue sur R

et donc la série de Fourier de f concide avec f .

Pour calculer la valeur de la série∞∑

n=2

(−1)n

n2+1 il suffit de choisir x = 0 dans l’égalité F (f) = f .

Corrigé de l’exercice 7.3.5 La fonction est paire, donc bn = 0. On trouve a0 = π et an = 0 si n est pair et− 4

πn2 si n est impair.

50

9.11 Corrigé des exercices du chapitre Transformée de Fourier

Corrigé de l’exercice 8.3.1 En utilisant la définition on arrive a

∫ 0

−∞et(1−is)dt+

∫ +∞

0

e−t(1−is)dt

Il suffit maintenant d’intégrer pour retrouver la formule du tableau.

Corrigé de l’exercice 8.3.2 Ecrire f(t) = χ(−1,1) − tχ(0,1) + tχ(−1,0). Alors F(f) = F(χ(−1,1))−F(tχ(0,1)) +F(tχ(−1,0)). Pour calculer le premier terme il suffit d’utiliser le tableau ; pour le deuxième et le troisème utiliserle tableau et la propriété 5.

Corrigé de l’exercice 8.3.3 Il suffit d’utiliser deux fois de suite la formule F(tf(t)) = i ddsF(f).

Corrigé de l’exercice 8.3.4 Il suffit d’écrire cos t = eit+e−it

2 et utiliser ensuite la propriété 7.


f ∗ f =

∫ 1

−1

χ(−1,1)(x− t)dt =

∫ x+1

x−1

χ(−1,1)(s)ds

Alors f ∗ f vaut −|t| + 2 pour |t| 6 2 et 0 sinon. Pour calculer sa tranformée de Fourier, il suffit d’utiliser lapropriété 9.

Corrigé de l’exercice 8.3.6 Si on calcule F(f) et [F(f)]′ on a [F(f)]′ + s2πF(f) = 0.

Corrigé de l’exercice 8.3.7 f(t) = χ(−3,0)+e−2tχ(0,+∞). Il suffit maintenant d’utiliser le tableau et la linéarité

de la transofrmée de Fourier.

Corrigé de l’exercice 8.3.8 Il suffit d’utiliser le tableau et la propriété 6.

51

Chapitre 10

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