maths_LivreVert

Chapitre

Nombres complexesGroupement B x x x

Groupement CGroupement D

Ce chapitre couvre le module de programme des BTS: nombres complexes 1. 1\ est conu pour permettre aux tudiants, selon leurs tudes antrieures, soit de se fami liariser avec de nouveaux nombres, soit de consolider leurs acquis ce sujet, certains paragraphes du cours et certains types d'exercices et de problmes pouvant alors tre sauts s'ils constituent des rvisions inutiles. L'objectif est d'une part de mettre en vidence les interventions des nombres complexes en analyse: calcul intgral, rsolution d' quations diffrentielles et d'autre part de fournir des outils qui sont utiliss en lectricit. en lectronique et en mcanique.

Pensez r + 1 = 0 et. plus gn~ralement. 3U cas o.6. < Q.

VOUS savez que certaines quations du second degr n'ont pas de solu-

lion dans R. partir du XV Ie sicle, pour obtenir des solutions pour di vers types d'quations. on a cr, en plus des nombres rels, de nouveaux nombres appels d' abord impossibles, pui s imaginaires (Descartes en 1637) el enfin complexes au dbut du XIX' sicle.

A. FORME ALGBRIQUE. , " REPRESENTATION GEOMETRIQUE 1. ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXESa. Nombres complexesNous admettons l'existence d'un nouve l e nsemble, not C, de nombres

appels nombres complexes.j est la premj lettre du motgin(lir~

ima-

. la notation

j

a t int ro-

duite par Euler en 1777.

Les nombres complexes sont de la forme a + bi. o a et b sont des nombres dels quelconques et i un nombre nouveau.

Chap. 1 : Nombres complexes

9

galit de nombres complexesa

+ bi

= a'

+ h' i, si et seulement si, a

= a' et b = h'.

RemarqueLes nombres complexes sont trs utiliss en lectronique; afin d'viter des confusions avec l'intensit i d'un courant lectrique, un nombre complexe est alors not a + bj au lieu de a + bi qui demeure ['criture utilise Izahituellemellf en mathmatiques.

b. Oprations sur les nombres complexesNOLIS

admettons le thorme suivant:

Toute construction de l'ensemble C muni de ces oprations est hors programme. i 2 = - 1, donc i est une solution dans C de l'quation.~ + 1 = O.

On peut dfinir dans C une addition et une multiplication pour lesquelles les rgles de calcul sont les mmes que dan. R, avec i' = - 1.

Remarques-3i

R

C

0.1

4~2;j

i n'est pas un nombre rel puisque son carr est ngatif. Tout nombre rel a peut s'crire a + Qi; c'est donc un lment de C.

-5

t)

L'ensemble R des nombres rels est un sous-ensemble de l'ensemble C des nombres complexes.Fig. 1

Voir, ci-dessus, \' galit de nombres complexes.

Ce rsultat se note IR C C qui se lit . IR est inclus dans C . Pour tout nombre complexe Z, les nombres rels a et h tels que Z = a + hi sont uniques.

DfinitionsSoit :- = a + hi un nombre complexe. a est ta partie rleUe de :-. Notation: a = Re(:-). b est la partie imaginain de :. Notation: h = Im(:). a + hi est la/orme algbrique du nombre complexe :-.i est un imaginaire pur.

Un nombre complexe dont la partie relle est nulle s'crit il est dit imaginaire pur.

Z

bi;

Voir l'utilisation de ces rsultats dans r exercice corrig 1.

Les identits remarquables suivantes restent vraies dans le cas o A et B sont des nombres complexes: (A + B)' A' + 2AB + B'; (A - B)' = A' - 2AB + B' ; (A + Bl' A3 + 3A'B + 3AB' + B3; (A - B)3 A3 - 3A' B + 3AB' - B3 ; A' - B' (A + B) (A - B).

=

= = =

Dveloppez le second membre;j2

=_

1.

Observez ce nouveau rsultat dans C : A' + B' (A + iB) (A - iB).

=

10

2. REPRESENTATIONS GEOMETRIQUES D'UN NOMBRE COMPLEXEa. Image et affixePour ne pas crer de confusion avec le nombre complexe i. la b3se du repre n'est pas note (J'. mai s

,

,

,

h

(I,

li').

On considre le plan muni du repre orthonormal (0; , V). tout nombre complexe ~ = a + bi, on peut associer le point M de coordonnes (a, h). Rciproquement, tout point M de coordonnes (a, b), on peut associer le nombre complexe z = a + hi.

Dfinitions2

L' i"llIg~ du nombre complexe:: = a nes (0, h).,i 3 Fig. 2

+ hi est le point M de coordon-

o

L'affixe du point M de coordonnes (a. b) est le nombre complexe : = a + hi.

M ] est J'image de:]not~ M(:).

= 3 + 2i.

Le point M d'affixe;: e.lit souven t

En particulier le nombre complexe a = a + ai est l'affixe de l'origine 0 du repre orthonormal (0; il, v). Le plan P muni du repre orthonormal permettant de reprsenter gomtriquement les nombres complexes s'appelle le plan complexe. On peut aussi reprsenter gomtriquement un nombre complexe par un vecteur.

Dfinitions2

Le t't'Ueur image du nombre complexe z = a O M = a +

L 'affut' du vecteur OM = ail + bvest le nombre complexe

- -

+ hi est le vecteur

bv.

o

3Fig. 3

:=a+bi.En particulier 1 est l'affixe du vecteur et i est l'affi xe du vecteur

v,

OM) est le vecteur image de ;:] = 3 + 2i.

b. Lignes de niveau de z de z 1-7 Im(z)

1-7

Re(z) et

Voir la dfini tio n de Re(;:) au paragmphe Lb.

Pour: = 3 + 2i, nous avons vu que Re(z) = 3. D'autres nombres complexes ont 3 pour partie relle: z' = 3

+ i,

M M'

oRet::) =-1

M"

M'"Re!::) = 3 Fig. 4

3, Z" = 3 ~ 'u = 3 - "2 1 ". L' ensemble des nombres complexes z tels que Re(:) = 3 est l'ensemble des nombres de la forme z = 3 + hi o b est un nombre rel quelconque. Ces nombres ont pour images dans le plan complexe les points M(3, h) dont l'ensemble est la droite d'quation x = 3, parallle l'axe des ordonnes. C'est la ligne de niveau de la Conction z ,.... Re (z) correspondant au niveau 3. De mme la ligne de niveau de la fonction z ,.... Re(:) correspondant, par exemple, au niveau - 1 est la droite, parallle l'axe des ordonnes, d'quation x = - 1.11


lm! ::)=:!

o

ii Fig. 5

D'une manire analogue. on dmontre que l'ensemble des nombres complexes Z tels que Im(:) = 2 est l'ensemble des nombres de la forme .: = a + 2i o Cl est un nombre rel quelconque. Ces nombres ont pour images dans le plan complexe les points M(a, 2) dont l'ensemble est la droite d'quation )' = 2, parallle l'axe des ordonnes. C'est la ligne de niveau de la fonction z >-> Im(z) correspondant au niveau 2. En remplaant 3 (respectivement 2) par un nombre rel k quelconque nous obtenons de mme:

Thorme

0

"

,7

La ligne de niveau de la fonctioa' .... Re(z) (respectivement z .... Im(z)) correspondant au niveau l est la droi.... pualIle l'axe des oroonnes, d'iquationx = k (respectivement ponIIIe ll'axe des abscisse., d'iqualion y l).

=

Fig. 6en[i~res de k ces lignes de ni\eau formenr un quadrillage du plan comple x.e.

Pour les valeurs

Cas particulier: k = O. L'axe des abscisses, ensemble des images des nombres li + Oi = a o a est un nombre rel, est appel axe des rels du plan complexe.

L'axe des ordonnes, ensemble des images des nombres imaginairespurs 0

+ hi =

hi, est appel axe des imaginaires purs du plan complexe.

c, Oprations

v,

AdditionSi 41

- VI

+ h2; sont les affixes respectives de MI et de M" donc de OM, = -+ et de - - al"", z, + z, est l'affixe de V, OM, = V"a2

= al + hl; et ':2 =V2,

+

L' addition des nombres complexes correspond l'addition des vecteurs.

ExempleFig. 7

La somme de ';: l = 3

+ 2;

et z:2 = - 1 - 4i est

""1

+ ':2 = 2

- 2;.

2

-2

"0

Multiplication par un nombre rel -~ Si '::1 = al + hl est l'affix.e de MI' donc de OMI = VI' et si u est un

-

2

3

nombre rel, alors a':: l est l'affixe de a~. La multiplication d'un nombre complexe par un nombre rel correspond la multiplication d'uil vecteur par un nombre rel.

M(-HOM 1 = -2 0M,. Fig. 8

Exemple Pour z, = 3 + 2i et CL12

= - ~, on a CL:, = - ~ -

i.

Consquencea est la. lettre grecque alpha.

f3 est la lettre grecque bta.

Soil:, et ::, dfinis comme pour l'addition et IOil a et rel.a~,

Il deux nombres

+ 13~, est l'affixe de a V, + Il V,.

~

~

En particulier (a-,l> -,l>

- V, + V, =-,l> -,l>

V, - V, =~ ~

= - 1,13 = 1): - OM, + OM" M,O + OM"_ _ _

-7

~

V2

-

V, = M,M,.

--+ :, - :, esll'affixe de V, - V, = M,M, '

Cette proprit est utilise en sciences physiques. Sur la figure 9, on a reprsent le vecteur M a pour affixe Z2 - ~l.

aM

=

~2;

3. CONJUGU D'UN NOMBRE COMPLEXEDfinitionLe nombre complexe conjugu de~ =

a + bi est le nombre complexe

a - hi, not : .-: se lit .;; barre :..

Exempleb

Le conju gu de

z = 3 + 2i est f = 3 -

2i.

Reprsentation gomtrique

o

i

-b --- - - -- -- ; M'(,lFig. 10

Soit M l'image de : = a + bi. L'image M' du conjugu de:: = a - !Ji de z est le point M' symtrique de M par rapport la droite des rels. En particulier, dans le cas o z est un nombre rel , c'est--dire o b = 0, on a = : et M' = M.

z

RemarqueEffectuez donc ces calculs! Nous retrouverons a2 paragraphe B.

+

b2 dans le

Soit : = a + bi. En utili sant les rgles de calcul dans C, on obtient: + :: = 2a et ~:: = a 2 + b2 . O n en dduit:~

La somme elle produil d'un nombre complexe el de son conjugu sonl des nombres rels,


13

Voir l'exercice corrig 2. Cette mthode est retenir.

Ce rsultat sur Je produit est utilis en particulier pour obtenir la forme algbrique d'un inverse ou d'un quotient: on multiplie numrateur et dnominateur de ~ Olt de ~,par le conjugu du dnominateur. ...

Conjugu d'une sommeLe conjugu d'une somme est la som me des conj ugus.

Pourlous nombres complexes:, ::', on a ::+::'=:-

+~:

----~

Conjugu d'un produitLe conjugu d'un produit est le produit des conjugus.

Pour tous nombres complexes z. :'. on a .::' =

~ . ~'.

Pour dmontrer chacun e de ces deux proprits: crire deux nombres complexes quelconques ::, ::' sous forme algbrique et dterminer la forme algbrique de chaque membre de l'galit.

Conjugu de l'inverse d'un nombre complexe non nulLe conjugu de l'inverse est l'in verse du conjugu.

Pour lOul nombre complexe z non nul, on 0 (~) =~.crire la dfinition de l' inverse d'un nombre complexe z non nul:

zx~=l.Utiliser le conjugu d'un produit pour.::

Dterminer le conjugu de chaque membre de cette gal it. En dduire

x . !.

-

(?).

Conjugu d'un quotientLe conjugu d'un quoti ent est le quotient des conjugus.

Pour tous nombres complexes.;: et .;:', .;:' n'tant pas nul, ono("'}

:'

=~. z'

crire la dfinition du quotient de;: par ;:':

?=ZX?Dterminer le conjug u de sur l'inverse.

z x ~,-> 11(1) = cos (wt + ",) pour la tension. lectricit de France distribue des tensions lectriques sinusodales de frq uence constante f = 50 hertz.

U n


23

1

Il c=n est rJe mme pour chaque fonction 1 ...... i(t) a"ec 1 et 'P, Cette notalon est util s~e cn sciences physiques,

La pulsation est w = 2'TrI = 3 14 rad s - 1: c'est la mme constante pour toutes les fo nctions jet /1 ainsi dfinies, Il en rsulte que chaque foncrion 1 ..... 11(1) est caractrise par la donne du rel positif U et de la mesure !P (e n radians) d'un angle. Ainsi, chaque fonction u, on peut assoc ier le nombre complexe de forme trigonomtrique [U, !pl , toute tension si nusodaleIl

on associe le nombre complexe, not !.L

- de module U, la valeur effi~ace de Il, - d'argument ~, la phase initiale de Il,des confu:,ion.s av!!c lect rique i. on nOIe ici) le nombre com plexe de module 1 et d'argument ~,rnl e n ~i t 6

Pour

~v it e r

11(1)

=

ufi cos (wt +!p)

et

!J. = U (cos!p

+ j sin !pl,

Dans le plan complexe si M eSlI'image de!J. = rU, !pl + le vecteur dt! Fre.m el de la fonL'tion sinusodale Il e:-:;t le vecteur DM,

,. M

ut!

ExempleSoit un diple soumi s la tension sinusodale11(1)

.)

4Fig, 24

= 220 ,'2 cos (wt +

~)

On peut associer Il le nombre complexe!J. = [220, ~l et le vecteur de Fresnel

DM (figure 24).

2. IMPDANCE COMPLEXELorsqu'on applique aux bornes d'un ci rcuit une tension sinusodale tt de pulsation w. un courant d'intensit sinusodale i, de mme pulsation w, parcourt ce circuit.Ces choix de ph:l~S l){)nl habituellement utili ~s en ~Iectricit, On rencontre aussi j = 1\2 cos WI et1/

Alors

11(1) = ufi cos wl

et

i(l) = l fi cos (WI - !pl.

= U,2 co.s (wi + 'P)'aJo~

Nous venons de voir qu'on associe alors i et u deux nombres complexes let !J. : l = li, -!pl et !J. = [U, 0]. L'impdance complexe du circuit est le nombre complexe Z = L'impdance du circuit e~t le module

On a

1 ~ [/,Ol_llL

~

[U,.,].

~,

IZI de l'impdance complexe,

ExemplesVoici les impdances complexesR~hlance

Z. de trois circuits simples:

pure

Bobine

-_

......

Condensateur

R esl la rbisumadu circuit

Lest l' ldllct{jflC~ de la bobine

C est la cO/JOdli du condensateur

24

En sciences physiques on tablit le rsultat suivant:Ce rsultat montre l'intrt de la notion d'impdance complexe. La loi d'assoc iation des rsistances en courant continu est mppele cidessous .

En courant sinusodal, dans un cin.::uit en srie ou en parallle, la loi d'association des impdances complexes est la mme que celle des rsistances, en courant conlinu, dans le mme type de cin.:uil.

En courant continu, partir de delLt rsistors de rsistances re:,p ectives RI et R1' Olt obtienllll1e rsistance quiralente R dans une association en srie et une rsistance quivalente r dans ulle association en pa rallle.

Association en srieR, ~_HL_--..JFig. 28

Association en parallleR,

Fi g. 29


25

TRAVAUX PRATIQUESEXEMPLES DE MISE EN UVRE DES FORMULES DE MOIVRE ET D'EULERcn""aissona Il'~St ~xig;blt! c) ct! sujet dans lt! cadrt! du programme dt! math!matiqllt!s.

TP2

Linarisation de polynmes trigonomtriques avec la formule d'Euler

]0

Transformation de produit en somme

AlIi'Wlt

On donne la fonction dfinie pour tout nombre rel x par J(x) = cos 3x sin 4x. Utiliser les formules d'Euler pour montrer que, pour tout nombre rel x,f(x)

TP 1

Linarisation de polynmes trigonomtriques avec la formule de Moivre

=

!

(sin 7x

+

sin x).

1

Cette transformation e!';t utile pour calculer des primitives de la fonction f.

1 a) criTe la formule de Moivre pour 11 = 2. En dvelopp'lnt (cos 8 + ; sin of retrouver les formules:

2 Linarisation de cos2 x et sin2 x Dvelopper (e

+ e- Ix )2.

cos 28et

= cos2 8 -

sin 2 e

l+cos2x En ddu ire la formule cos:! x = - - - - . 2 l -cos2x -'--'==

sin 2 8 = 2 sin 8 cos

e.En dduire la formule sin 2 x =

11

R(Jpp~l.'

A, B, A', B' lant des nombres els.

A

+

jB = A'

+ iB'

quivaut A = A' el B

= B',

2

b) En dduire des expressions de cos 1 en fonction de cos 28.R(jl'P~l.' Pour IQut nombre r~1

e et de sin1 e

3 Linarisation de cos) x Dvelopper (e ir + e- b )3. Retrouver l'expression de cos 3 x en fonct ion de cos x et cos 3x figurant au TPl.

e,

cos::!

e + sin1 e = 1.

2 a) crire la formule de Moivre pour" = 3.

1(a

Dans C , comme dans R:

+ b)' =

(a

(a + b)' (a + hl + b)3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + h 3,

RSOLUTION DES QUATIONS DU SECOND DEGR COEFFICIENTS RELSTP3} O L'quation 3.~ dans R?

b) tablir des formules analogues celles obtenues au 10 donnant cos 38 et sin 39 en fonction de cos 8 etsin

O.

Exemple+ 6x +4

En dduire que, pour tout nombre rel sin)et

a,

a = 1 sin a - .1 sin 38 44'1 cos 8 + .! cos 36. 4 4

= 0 a-t-elle des solutions

cos) 8 =

2 On se propose maintenant de dterminer s'i l existe des nombres complexes.:: solutions de J'quation:

1

* On dit que l'on a l inari~ sin) El et cos 3 El (lin:.riser un

polynme trigonomtrique con 0, deux solutions rt!elles,

- b

+ ,2a

et

-

-h-''.6.2a

- si

a = 0, une solution relle double,

'::1

= Z, = - ~;2a'::1

- si .6.

< 0, deux solutions complexes conjugues,

= -

b

2a \ -

+ i

et

""2"'1

= __ -

b - i \~ 2a

Dans tous les cas: a~.:1

+ b.:: + ( = a(.:: := _.]z a'"1""'2

'::1)( O.gll(t~ si 11 eSI.impair. SI 11 est pai r. Nous rev iendrons sur limites et asymptotes au paragraphe n.h ( _ t)

C n et C ~I sont symtriques par rapport l' axe des ordonnes.

"

= f-

l gnV)

Dans chaque cas, les axes des coordonnes sont les asymptotes des courbes C n et C~.

38

4. FONCTION LOGARITHME NPRIENa. DfinitionLa notion de primitive figure paragraphe D. 1.~u

La fonction logarithme nprien, note ln, est la primitive de x ~ ~ sur ]0, + oo [ qui prend la valeur a pour t = 1.

Graphiquement. pour lout 1 > O. In 1 est l'aire algbrique colorie. avec la convention : cene aire algnrique est ngati\'e si 0 < t < 1.

b. Relation fonctionnellePour tous nombres rels strictement positifs a et b, pour tout nombre entier relatif Il , ln 1. = - ln a ln f! = ln a - ln b ln ab = ln a + ln b; a 'b ' ln an = Il ln li; ln l;; = (1.

.

\'=

!

21 - - - --

.Inl

41n

c. Variations. Courbe reprsentative1

0

)+

+~

o

x fig. 9

In'In=fln 1-~

____ +00______ 0

Fig. JO

La courbe reprsentative de la fonction ln a pour asymptote l' axe des ordonnes.

5. FONCTION EXPONENTIELLEa. DfinitionLa fonclion exponentielle, nOle exp, est la fonction qui, tout nombre rel t, associe le nombre str;ctem~nt positif unique )' tel que t = ln y. exp: t >-+ Y = exp t dfini par t = ln y.

IR

-t

]0, + 00 [.

Pour tout nombre rel t, exp t

= el.

b. Relation fonctionnellePour tous nombres rels a et b, pour tout nombre entier relatif " ,e(l +b = ca X eh. ea-b = co. eh'e -a =

1-.ea '

(ea)" = ena.

Chap. 2 : Fonctions d'une variable relle

39

c. Variations. Courbe reprsentative}'+~

+

'ft,) = e'

Fig. I l

Les courbes reprse ntatives des fonction s exp et ln se ddui sent l' une de l'autre par la sy mtrie orthogonale d'axe la droite d 'quation y = , .

6. FONCTIONS PUISSANCES D'EXPOSANT RELa. DfinitionsPour tout a de ]0, + oo [ et tout b de IR, ab = e blna . a tant un nombre rel, la fonctio n puissance (d'exposant ) a , note f., est la fonction qui, tout nombre 1 de ]0, + 00 [, associefa(l)

= la

c'est--dire fa(1}

= e aln ,.

Exemple Dans le cas o a = ~, pour tout r de ]0,

+ co [. t! = d In r,

donc r! = e ln \~, d'a;rs le paragraphe 4.b, doncSauf en 0 o seule la fonc ti on racine carre est dfinie.

ri = li,

car

e ln \'

=

li.

La fonction puissance! est la fonction racine carre.

b. Drive d'une fonction puissanceVoir le paragraphe C.

En utili sant la dfinition el le thorme de drivation des fonction s composes, on tablit :

d~rivati on de 1 t--i- I" au paragraphe 3.a. pour des e.~posa nts entiers naturels s'tend aux exposants rtels.

La formule de

Pour tout nombre rel cr, la fonction fa :

donn~e

p_.,a est drivable sur ]0,

+ x[ et

f~(t)

= a,a-l.

40

c. Sens de variation d'une fonction puissance1 est strictement positif.

Dans le cas o 0. = 0, la fonction fo: t ~ ,0 = 1 est constante sur ]0, + cc l. Dans le cas o a "" 0, sur ]0, + cc[. f~ (t) = at a - 1 est du signe de a. Nous obtenons, suivant le signe de ex, le tableau de variation:

Casa < 0Pour dterminer les li miles en 0 et en + !Xl, on utili~ les rsultats sur les lim ites concernanl les fonctions ln et exp, ainsi que le thorme sur la limite d'une fonction composte:" 1>---+

Cas a> 0+~

0

0f~(t)

+~

/:.{t)fuit)

+

a In t>---+Io..

~p

+~~ O

1.(1)

--------+~0

VOr le paragraphe B,

d. Allure de la courbe reprsentative d'une fonction puissancea .. son t pris ici dan'l leur sens ul>ud en

Dans ce paragraphe, nous nOliS intressons au comportement de fonctions lorsque la variable prend soit des grandes valeurs positives ou ngatives. soit des valeurs proches de 0 ou d'un nombre rel fix a.Les puissances de lOvant jouer un grand rle: ID' = 10, 102 = 100, ... , 108 = 100 000 000, ... et d'une manire gnrale lO", o P est un nombre entier naturel, pour de grandes valeurs positives et leurs opposs - IO P pour de grandes valeurs ngatives; 10 - 1 = 0,1; 10 - 2 = 0,01; ... ; 10 - 8 = 0,000 000 01; ... et d'une Ir:anire gnrale 10 - 1' et leurs opposs - 10 - 1' au voisinage deO.

franais,C'est a\"c!.: ces valeurs de lavariable que nous alln3 ob:.er\"cr

numriquement le comportement

des

fonclion~.

1. INTRODUCTION DE LA NOTATIONa dsigne un nombrrr~e1 fi )(~ li

ou00,

le symbole + oc ou le symbole -

t -? OL

lim j(t)

a. Limite finie d'une fonction en a

10-'1 10 -'1Voir au paragmphc A. les rep~~ ntalions graph iques des fonction s.

On observe sur des tableaux de valeurs numriques et graphiquement que des fonctions telles que : o 3 r h I-i> h, h.......". h-, h I-i> li , h I-i> , h prennent des valeurs proches de 0 lorsque h est proche de O. Plus prcisment, on d montre pour chacune de ces fonctions f la proprit suivante:10- P tant choisi i.tUssi petit que )"on veut, que li est assez petit.

fJ est un nombre entier naturel.

If +oc +oc

+0>

-0>

+ \'(1)

= \'(1)

+

lI(t).

Dans le cas menant au point d'interrogation , on ne peut conclure directement; il faut effectuer une tude supplmentaire.

"

hm1-+ Il

I"(()

=

- oc

- oc - oc

alnn, lim [uft)t-+U

+ l'fil]

L + L'

-oc

'!

Si li. = 0, alors, pour toul t de l,kll(t) =

Produit d'une fonction par une constante On suppose que la constante k n'est pas nulle,Si lim u(l) = HaI~a

O.L kL+oc -oc

*oc correspond soil li. + cc, soil - cc. Le signe + ou - s'obtienl de fa\on vidente dans chaque e:w.emple.

aJan hm b( 1) =

'oc

'oc

Produit de deux fonctionsN'oubliez pOb que1/(1) 1'(1)

= rU) U(I).

Si

lim,~U

/lit)

= =l'(()] -

L L' LL'

L "O+oc

0+oc -oc

+oc -oc +oc -oc ' oc

ou

correspond w il + 00, soit - 00. Le signe + ou - s'obtient de faon vidente dans chaque exemple,00

el

lim,~u

Ifl)

ou- oc oc

ou

ou

(Ilor.. lim [u{t) xt .-+/1

?

C'est une consquence des trois tableaux prcdents.

Soit f unt! fonction polynme et li un nombre rel. lim f(/) = fla).1-> u


51

Application aux fonctions polynmes et au.x fonctions rationnelles au voisinage de + 00 ou de - 00.En mettant en facteur le mon me de plus haut degr de chaque po lynme , on dmontre:

Thormes Au voisinage de + oc. ou de 00, une fonction polyn me a mme limite que sa fonction monme de plus haut degr .

Au vobinage de + 00 ou de - oc, une fonction rationnelle a mme limite que le quotient des fonctions monmes de plus haut degr de son numrateur et de son dnominateur.

b. ComparaisonNous admettons les thormes su ivants:JI(t) 1

Thorme 1Si, pour tout 1 d ' un intervalle siFig. 30 a

lA, + co[, on a f(l)lim f(l)I~+~

,. L1(1) et

lim 11(1)I~+~

= + 00,

alors

= + 00,

Thorme 21'(1,

1

Si, pour tout 1 d'un intervalle lA, + oc [, on a f(l) '" 1'(1) et SI lim \'(1) = - IX, alors lim J(t) = - 00.Fig. 30 br~+~ I~+ ~

1 - LI est la disfance de 1(/) L. 1u)L - I/(t) 1

Thorme 3Si, pour tout 1 d'un intervalle SI lim 11(1) = 0, alorst~+~

LfIt)

L + U(I)1

lA, + co [, on a If(l)r~+

-

LI '" 11(1) et

lim f(l)

= L.

Fig. 31 a

Le thorme 3 est un cas particulier du tho r me sui va nt , souvent appel th or me des gend armes :

Thorme 4U(I)1

"(1)1

Jct)Fig. 3 1 b

Si, pour tout 1 d'un intervalle lA, + 00 [, on a u(l) '" f(l) '" 1'(1) et si lim u(l) = lim 1'(1) = L, alors lim f(l) = L.t~ +oo t~+ :xl t ~+~

RemarqueTous ces thormes concernent le cas des limites en + 00 ; on d ispose d 'noncs analogues pour les limites en - 00 et les limites en un point a.


53

c. Compatibilit avec l'ordreNous admettons le thorme suivant:

Thorme 5Ici aussi. ce thorme est encore vrai en remplaant + 00 par - ec ou par un nombre r6el (/. Ne pas remplacer :E; par < dans ce thorme.

Si, pour loull d'un inlervalle lA, + 00[. on a f(t) '" g(t) el si lim f(l) = L el lim g(l) = L', alors L '" L'.,~+oo ,~+

L'ordre est conserv par passage la limite.

d. Limite d'une fonction compose Exemple de fonction compose Soil f la fonclion dfinie sur ~ par f(l) = e 2r - 3 Pour calculer f(IO), nous pouvons: 1 Calculer d'abord 21 - 3 dans le cas o 1 = la; on oblienl 17. 2 Appuyer ensuite sur la touche exponentielle de la calculatrice; on obtienl e 17 = 24 154953. /' Nous pouvant schmatiser ce calcul de la faon suivante: 10>-> 2 x 10 - 3 = 17>-> e 17 = 24154953. 10 1 ) e2 x 10 - 3=24 154953. De faon gnrale, pour calculer e2t - 3, nous pouvons de mme: 10Caleuier 21 - 3, c'esl-il-dire prendre l'image de 1 par la fonclion 1/: 1 >-> 21 - 3.~~~

On oblienl le nombre 21 - 3 que l'on noIe x. l"Prendre l'image de x par la fonction exponenlielle g : x >->.,....~~~

On oblienlle nombre e' = e 2r - 3, c'esl--dire f(l). Nous pouvons schmatiser le calcul de l'image du nombre 1 par la fonction f :I.!!. 21 - 3 = = e2/ - 3 1 - - - - - - - _ + ) e2t - 3 .1-1

x!..,...

f

Ainsi, pour loul nombre l, f(l) = g[I/(I)].Par dfinition,g0 11

f est la compose de u suivie de g, que l'on nOlego u : 1 >-> g 0 u(l) = g [1/(1)].~>->~

se lit fIg rond /1 :'. Atlention J'ordre de g et u.

0.!4 - 3.!. e-) _ 0,05. lOO.!4197!...eI97 . 3,6 x 10 115.

Par exemple, g u(O) = g[u(O)] = g( - 3) = e - 3 = 0,05.

go 1/(100) = g[I/(lOO)] = g(l97) = e 197 = 3,6 x 10 85

ThormeNous admettons le thorme suivant:

Thorme Soit Il et g deux fonctions telles que:r ......\ = 1/(1) ..... Y = g(x) = g(I/(I. = b el lim g(x) = c, alors lim g(II(1 = c.x~h t~tI

u

g

a, h , c peuvent M sig ner des nombres els ou - --+ f(t) Le point de vue adopt consiste assimiler sur la figure 38 le nombre LM = f(a + h) - f(a) au nombre LT = hf'(a), c'est--dire ngliger TM = hE(h) devant LT = hf'(a) lorsque h est s uffisammen t petit. etLe statut mathmatique de di et de dt n' est p;l5 au programme des sec-

tions de techniciens suprieurs.

lorsq ue f'(a) .. O. Alors, en s'app uyant sur le cas parti culier de la fonction 1 ~ 1 dont la drive est 1 ~ l , la variation 6.1 = Il de la variable 1 entre a et a + Il est note dl lorsq u'ene est considre comme infiniment petite . Dans les mmes conditions, 6.f = f(a + 6.t) - f(a), assimil f'(a) dt, est not df. Ainsi, en tout t o f est drivable et o f'(t) n' est pas nul, df = f'(t) dt et

1r,

gal f'(t), peut tre considr comme un rapport.

2. DRIVATION SUR UN INTERVALLE FONCTION DRIVEa. DfinitionVoir le paragraphe J.

Nous avons vu que la fonction f: 1 ~ [2 est drivable en tout a rel et que son nombre driv en a est A = 2a. On peut donc dfinir sur IR un e nouvelle fonction: a ~ A = 2a. C'est aussi la fonction dfinie sur IR par 1 ~ 21. On l'appelle fOllctioll drive de f et on la note f' . Si une fonction J, dfinie sur un inter valle l, est drivable en tout point de l , on dit que J est dril-'able sur 1.

La fonction qui, tout [de I, associe l'unique nombre dri v de f en s'ap pellefonch'on drive de J et se note 1'.

f

b. Drives des fonctions usuellesRappelons les fo ncti ons drives figurant dan s le formulaire des baccalaurats technologiques ST! et STL.

IV)k1

j'V)

Inten'ulle de ,'alidit

1

]- cc, +oo[] - 00,

[/l, li E N1

"t

n

1

] _ 00,

+ oo[ + oo[

t

1.

,R'

II

E N.

- tn + 11

-"1

]_ cc, O[ ou ]0, +cc[] - ~,

n

O[ ou ]0, ]0,+~[

+~[

fila, a E R

2/ial a - 1

]0, +oo[ ]0,+~[

ln'e'cos t si n [

t

1

e'- sinlcos [

]_ c:c, + c:c[ ]_ c:c, +c:c[ ]_ c:c, +cc[

Chap, 2 : Fonctions d'une variable r,elle

61

RemarquesVoir le paragraphe 1.b.

= 0, on a si n' 0 = cos 0, donc sin' 0 = 1 car cos 0 = 1. ., lm sin (0 + h) - sin 0 d' apr s 1 l' entre nom bre e len O r Sin 0 = l'Pourt

/'--;0

(O+h)-O

driv et taux de variation. . sin Il Donc hm - - 1. II ~ o Il

=

De mme, de ln' 1 = 11 nous dduisons Hm ln (1h--;O "

+ h)

= J,

et de (exp)'(O) = e Onous dduisons HmIt --+o

eh -

h

1 = 1.

c. Oprations sur les drivesRappelons des rsultats figurant dans le for mulare des baccalaurats technologiq ues ST! et STL.Des deux premires propri~ t s. on dduit la linarit de la dtri\'ation:(aila

u et

+ pv)' = (1// ' + Pl'" et f3 ~Iant des constantes relles,

tant des fonctions drivables sur un mme inten'alle l, -(Il + J.')' u'+ l";J.'

=

= ku', k tant une constante relle; - (uv)' = Il'V + uv'; -(!)' = - U2' , Il ne s'annulant pas sur 1; u U- (kil)'

(U) ' = v

Il 'v -

uv'Il)

)12'

v ne s'annulant pas sur l' ,u', u tant drivable sur 1 et g sur u(I);

r

En particulier pour /1:1...-+

t...-+

ar + b,

- (g 0 u)' = (g' 0- (ell )'

8(a1 + b) a pour drive

l': t...-+ IIg'(at +

b).

= eUIl';

(In u)' =~, u tant valeurs strictement positives sur 1 ; tant un nombre rel fix, non nul, a\'ec: u ne s'annulant pas sur 1 si a est un nombre entier ngatif, Il tant valeurs strictement posithcs sur 1 si a n'est pas un nombre entier. (ua)'

En particulier pou r a = ~.

= aua - 1u ' , a

"

l\~)'=~.2\11

Consquences et exemplesUne fo nction rationnel le est un quotient de deux fonctions poly nmes.

Toute fonction polynme est drivable sur R. Toute fonction rationnelle est drivable sur chaque intervalle o elle est dfinie .

Exemple 1Dans les activits la variable est x ou " suivant les cas.lei

Soit f la fonction dfinie sur ]0, Pour tout x de ]0,

+ oo[

,

= x 2 (1 - ln x). f'(x) = 2x (1 - ln x) + x 2 (- ...L),

+ oo[ par f(x)

x

f = Il .

II(X)

= .r2

l' avec et ,-(x) = ( 1 - In x),

donc Il'(X) = 2t el ,,'(x) = _1., x et J'(x} = Il'(X) l'(.t) + II(X) v'(x),

f'(x) = lx - lx ln x - :- ' f'(x) = lx - x - 2t ln x, f'(x) = x - lx ln x, f'(x) = x( 1 - 2 ln x).

62

Ici g = eU :wec11(1)

= 0,01 (1 - 10) donc

U'(I) =

D,DI, et

Exemple 2 Soit g la foncti on dfinie sur [0, + "'[ par g(t) Pour tout / de [0, + "'[,g'( /) = O,Ole 0.01(/-10).

= eO,O I (r - 10).

g'(I) = u'(t)el'(tJ.

Exemple 3Ici tan = avec u(l) = sin 1 et \'(1)

*

Sur l'intervalle

= cos t.done tant -

J :!! :!![ tan t = - 2' 2cos21

sin t cos t

' _ (cos /)(cos /) - (sin t)(- sin t)

tan

,

t =

cos2

t

+ sin 2 t2t

cos

Nous pouvom. transformer l'criture de ce rsultat de deux faons:Ces deux formules figurent dans le formulaire de mal h~matiq u es pour les BTS.

tan' t:::

_1_

,tan't =

cos 2 t

car cos 2 t + sin2 t = 1.

cos- t cos 2 t

+

.

,

SIO- t

cos 2 t'

donc tan' t ::: 1 + tan 2 t.

Aucune connaissance n'est exigible en BTS la propos de cesfonctions.

Exemple 4 Les fonctions sh et ch sont dfinies sur R par:shl=e -e1 - 1

2

et Chl=e

1

+ e. -,2

Voir le chapitre 1. Ces fonctions culatrices.figu~nt

sur les cal-

... Attention au signe -.

sh 1 = ~ (e' - e- l ).C'est une nouvelle analogie avec les fonctions sin et cos, mais ici il n'y a pas de signe - pour la d~ri v~e du cosinus hyperbolique.

Par analogie avec les formules d'Euler pour les fonctions circulaires sin et cos, les fonctions sh et ch sont appeles sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique. Pour driver t ~ e- I nous utilisons (eu)' = e"u' dans le cas o u: t.......". - l , donc u': t~ - 1. L'l drive de t ~ e- t est donc 1 ~ - e- t . et + e- t e' - (- e- /) Alors pour tout t de R, sh' / = 2 ' donc sh' t = - - ; c - 2 Pour tout 1 de R, sh' 1 = ch 1. De mme ch' 1 = sh t.

d. Drives successivesSoit f une fonction drivable sur un intervalle 1. Si la fonction drive j'est elle aussi drivable sur l, sa fonction drive (j')' est note f" et est appele drive seconde de f sur 1. Lorsque cela est possible on dfinit les drives successives de f notes

f"

On note parfois ~ Pl, j'" ~

!'-J).

j',

f", J"', .. ., f(n ).df au lieu de j',dx

P")

se lit f Jli ~me et est la drive ni~me , ou d'ordre 11 de f.

En physique et en mcanique on utili se la notation diffrentielle:d2f

dx2

au lieu de f".


63

Ainsi, dans un circuit R, L, C en srie o, d'aprs des rsultats des sciences physiques, nous avons d'une partdq ,. =dt

et, d'autre part, e

=-

di L-

dt '

on note

ExempleSoit f dfi nie sur IR par f(x) = 2x3 - x 2

+ x + 3.+ 1,

l'

est dfinie sur IR par l'(x) = 6x 2 - 2t est dfinie sur IR par f"(x) = 12t - 2, est dfi nie sur IR par l'''(x) = 12,

1" f'"

J 0; f est donc strictement croissante sur [- l, 0]; f( - 1) = - 1 et f(O) = J. On construit la courbe reprsentative (fig. 49). f est drivable et strictement croissante sur [- 1,0]. L'intervalle [f(- 1), f(O)] est [- l, 1]. est lment de]- l , 1[. Donc, d'aprs le thorme l , il existe to unique dans ] - l, O[ tel que f(t 0) = O.

o

On recherche une valeur approche de la solution. On cherche placer t 0 par rapport au centre]-I,O[:f(-!)=0,375 et f(-I)= -1;0,375

-!

de l'intervalle

f (-

! )>

0

et

f( - 1) < 0 donc to appartient ]- l ,

-! [

o

(fig. 50) en utilisant le thorme 1 avec la restriction de

valle [ - l, -------------1

!l

f l' inter-

c'est--dire avec la fonction obtenue partir de f en

rduisant son ensemble de dfinition cet intervalle.Fig. 50

On cherche de mme placer t 0 par rapport au centre tervalle ] _ 1 _! [. , 2'

_1 de l'in4

66

f(-~)=-0, 1 71875------- 0.375 : 1

et

f(-~)=0,375;f l'intervalle

f(- ~) > et f (- ~) < donc 10 appartient ]-~, - M 51) (fig.en utilisant le thorme 1 avec la restriction de

;-2

]-~,Fig. 51 On peut ~galement Mterm iner directement une valeur appnx:hede 10 avec une calculatrice. Voir

-H

On continue jusqu' ce qu'on obtienne la prcision demande.- - -- - - - - - - - - - - 1

C'est la mthode de dichotomie (ainsi appele parce qu' chaque tape, on divise un intervalle en deux). Une calculatrice permet de faire rapidement ces calculs.

les pages cakulatrices la fin deceIOUvr:lge.

4. FONCTION RCIPROQUE D'UNE FONCTION DRIVABLE ET STRICTEMENT MONOTONE SUR UN INTERVALLEa. ExempleLa fonction carr est drivable et strictement croissante sur [0, 2].4

o

2 Fig. 52

D'aprs le thorme 1 du paragraphe 3.c, pour tout y de [0, 4]I'quation 1 2 = y, o l'inconnue est l, a une solution unique dans [0, 2]. Noussavons que t =

lY.

La fonclion carr dfin it ;J 'aller:.;

Nous pouvons donc associer tout nombre y de [0,4] le nombre rel unique 1 de [0, 2] tel que 1 2 = y, c'est--dire 1 = .fY. Nous avons donc: f 1 carr J )' = (2 [0,2] [0,4]

la fonction racine carre dfinit le relOue:..

-' racine t = \1 c carre 1 y )


67

Nous dirons que la fonction racine carre dfinie sur [0,4] est la fonction rciproque de la fonction carr dfinie sur [0, 2].r:;Pour tout 1 de [0, 4], \ 1- =

Remarques

1.

Pour tout t de [0, 2], (/)2 = 1.

Reprsentation graphiqueLe plan est muni du repre orthonormal (0; T,J). Puisque y = / , si, et se ulement si, 1 = .1'2, au point M(I, y) de la co urbe reprsentati ve de la fonction racine carre peut tre associ le point M I()', 1) de la courbe reprsentative de la fonction carr (figure 53). M et MI se correspondent par la sy mtri e orthogonale d'axe la droite d'quation y = t.

y 1----7I~-"

o ~-" y'----:--Fig. 53On emploieau~si

J

le

mot

Les courbes reprsentatives des fonctions racine carre et carr sedduisent l'une de l'autre par symtrie orthogonale d 'axe la droite d'quation y t.

.. rflexion _ la pla('e de symtrie orthogonale .

=

Au point d'abscisse 0, la courbe reprsentative de la fonction carr a pour tangente l'axe des abscisses. Pur symtrie. la courbe reprsentative de la fonction racine carre a une tangente qui est J' axe des ordonnes au point d'abscisse O.y

o

fig. 54

b. Cas gnral DfinitionNou:,> reprenons la mme dmarche

qu'avec la foncti on racine canic.

Soit f une fonction drivable et strictement croissante sur un intervalle [a, bl D'aprs le thorme du paragraphe 3_c_, pour tout y de [fla), f(b)] l'quation f(l) = y, dont l'inconnue est 1, a une solution unique dans

[a,

bl

Nous pouvons dfinir une nouvelle fonction, appele fonction rciproque de f et note f - I, dfinie sur [fla), f(b)] et prenant ses valeurs dans [a, b].

68

DfinitionDan ~ le as oD f est Slrictement dcrois ...ante. rtmplacer (f{a). f(b)] par (J(bl. f(al]. Pour les fonctions usuelles, est accessible par la mme lo uche de la calcu latrice que f . n'ec

Soil f une fonction ~rh'able et strictement croissante sur [u, b]. La fonction rdproque f - 1 de f est dfinie par:

ri

1\' = r l ( t )\ 1

E [j(a), J(b)

si. et seulement si,

' = f()') { )' E [a, b).

tEl

ou

~

ou

li3 . Reprsentation graphique Dans le plan muni d'un repre orthonormal (0 ;/'J), les courbes reprsentatives des fonctions f et f- 1 se dduisent l'une de l'autre par symtrie orthogonale d'axe la droite d'quation y = t.Le rs ultat obtenu au paragraphe a. ce sujet est gnral.

c. Autres exemples de fonctions rciproques rencontres en TerminaleVoir le p..uagraphe A.S.

Fonction exponentielle La fonction exponentielle a t introd uite comme fonction rciproqueOn rtmplace l'imer\'alle [a, bl parun inten'alle ou\'ert en ajoutant des conditions de limite aux bornes de "inten'alle,

de la fonction logarithme np rie n, en admettant que le thorme du paragraphe 3.c. s'tend au cas o [a, b] est remplac par ]0, +co[ et (f(a), f(b )] par] - co, + col condition que lim f (x) = - co>->0

et

lim f(x) =X~ +OO

+ co,

ce qui est vrifi pour la fonction ln.

Fonction racine nimeOnC!lr,

r,e restreint

,...-?

l'interval le [0, +oc[ dans le ca!) o n CM pair. f" n'est pas monotone sur R.

Soit

Il

un nombre entier naturel non nul.

t ~ est drivable et strictement croissante sur [0, + co [. hm (fi = +00, ---t+X>

La fonction

,n

D'aprs l'extension du thorme du paragraphe 3.c. au cas o [a , b] et [f(a), f(b)] sont re mplacs par [0, +co [ avec lim f(l) = + co, la

,,+00

fonction t ~ 1" admet une fonction rciproque, appele racine nime et note "F, dfinie sur [0, + co l et pre nant ses valeurs dans [0, + co[.~8 = 2 car 23 = M, ~ = 5 car 54 = 625.

\' = ~( { 1 E [O. + oc[Dans le cas particulier o

.i, et seulement si,Il

J1 = ,," 1y E '[0, + ocr.

= 2,

2/; est not plus simplemen t \~.1 1

RemarqueVoir le paragraphe A.6.

> 0, {ii est dfini par ( ft = ei ln ,. 1 nt: '~ Pour tout t > 0, les nombres I ii et \ 1 sont gaux car leur puissance ,,1 mePour tout est t.t

1

Chap. 2 : Fonctions d' une va riable relle

69

On tend celle galit au cas o 1 = 0 en posant 0 - = O.

1

Pour tout t

~

0,

n\1

1 = (if.

d. Fonctions circulaires rciproquesVoir le paragntphe A. 7.

Fonction Arcsin La fonction sinus est drivable et strictement croissante sur [ - ~ . ~J)'

\. = sinl

A

"in t

- ---11 I

..2'-1

Fig. 56

Ici f est croissante; c'est la restric lion de la fonction sinus l'inter

valle[-l~lLa fonction Arcsin est la fonction si n- 1 des calculatrices.

Elle admet donc une fonction rciproque, appele arc sinus et note Arcsin, dfinie sur [- l , 1) et prenant ses valeurs dans [ -~, ~l

l' = Arcsin t 1 ;;;:: sin \' . si, et seulement si, [_. 'Ir IE[-l,l) yE 2'2'

'!!]

Les courbes reprsentatives des fonctions Arcsin et sin se dduisent l'une de l'autre par symtrie orthogonale d'axe la droite d'quationy = t,Arcsin (- 1) = - ~. Arcsin 0 = 0, ~ Arcsin 1 =~, Arcsin

Aux points d'abscisses - ~ et ~ la courbe reprsentative de la fonction sinus a une tangente parallle l'axe des abscisses. Par symtrie la courbe reprsentative de la fonction Arcsin a une tangente parallle l'axe des ordonnes aux points d'abscisses - 1 et 1.

! = ~. \'oir les valeurs cor

respondantes de sin t au paragraphe

A.7.g.y )' = Arcs in 1

Fig. 57

70

Fonction ArccosVoir le p;uagraphe A.7.

La fonction cosinus est drivable et strictement dcroissante sur [0, '!Tl

ocos t

-----1Fig. 58

Ici' est dcroissante: c'est la restriction de la fonction cosinus il l'intervalle [0,11"].

Elle admet donc une fonction rciproque, appele arc cosinus et note Arccos, dfinie sur [- 1, 1] et prenant ses valeurs dans [0, '!Tl)' = Arccos 1 {

C'est la fonction C05- 1 des calculatrices.

tE[-I,I]

si, et seulement

SI ,

. {t =cosv

y E [0, ;"].

Arccos (- 1) = Arccos 1 = 0, Arccos

'TT.

4

=

~ : voir les valeurs cor-

respondantes de cos t au paragraphe A.7.g.

Aux points d'abscisses et '!T la courbe reprsentalve de la fonction cosinus a une tangente parallle l'axe des abscisses. Par symtrie, la courbe reprsentative de la fonction Arccos a une tangente parallle J'axe des ordonnes aux points d'abscisses - J et 1.

y

=

Arc cost

y=t

" :1

-1

" '1-1

Fig. 59

Fonction ArctanLa fonction tangente est drivable et strictement croissante sur

J-~, ~[.Au paragraphe A.7.f, nous avons rduit l'intervalle d'~tude de celle fonction il ~[ car elle est impaire.t

-" 2~-~

"2 "

La restriction de la fonction tan l'intervalle

[0,

~+ '"

J i, ~[ a pour 00

tant

limites -

00

en - ~ et +

en ~.

On remplace l'intervalle ferm [a, h] par un intervalle ouvert cn ajoutant des conditions de limite aux bornes de cet intervalle.

Nous admettons que le thorme du paragraphe 4.b. s'tend au cas o[a, h] est remplac par J-~, ~[ et [J(a), f(b)] par ]- 00, +oo[ condi-

tion que lim f(t)I~ - ~

=-

00 et lim f(t)t~~

= + 00, ce qui est vrifi pour

la restriction de la fonction tangente l'intervalle

J ~,~[. -


71

Cette fonction a donc une fonction rciproque, appele arc tangente et note Arctan, dfinie sur (R et prenant ses valeurs dans ]-

i, ~[.

Cest la fonction tan- I des calcu latrices. Arctan 0

,. = Arctan 1 { 1 E IR

-

si et seulement si

'=tanv { )' E ]_.~. ~[.

= O. =

Par symtrie orthogonale par rapport la droite d'quation y = t, les asymptotes verticales de la courbe reprsentative de la fonction tan se transforment en asymptotes hori zontales, d'quationsy = - ~

Arctan 1 = !E 4'

Aretan /3

'5: voir les valeurs cor-

el

respondantes de tan t au paragraphe

A.7.f.

y =~, de la courbe reprsentative de la fonction Arctan.yy=tilnl

y=1

I~- OD

lm Arctan t = - '!!lim Aretan t

)' = Aretanl

2'

1 ~+OD

= '!!.2

"+----71'----1--1" 2 2

----+

Fig. 60

e. Drives des fonctions circulaires rciproquesArcsin et Arccos sont [- l , 1]; voir C.4.d.d~finies

sur

On dmontre, et nous l'admettons, que les fonctions Arcsin et Arccos sont drivables sur)- l, 1[et que la fonction Arctan est drivable sur IR. Di terminons la drit'e de la fonction Arcs;n. Par dfinition d' Arcsin: Arcsin Arcsin . sin. A . t r------- Arcsin t Donc t .....--- Arcsm t ~ sm ( rcsm t) sin (Arcsin t) ~ Arcsin t f sm 0 rcstJ1 t Pour (ou( t de)- l, 1[, sin (Arcsin t) = t. Or la drive de t >-+ t est t >-+ 1. La drive de sin 0 Arcsin est sin' (Arcsin) X (Arcsin)'. Donc, pour (out r de)- 1,1[, cos (Arcsin 1) X (Arcsin)'(I) = l , donc (Arcsin)'(r)

=

1. . (1) cos (ArcsIn r)

72

Exprimons cos (Arcsin f) plus simplement en fonction de [. Nous savons que, pour tout nombre rel donc cos2 = 1 - sin 2 donc cos =

e, cos2 e + sin2 e =~I- sin 2 e si cos

l,

e-

et cosVoir la dfinition de Arl'sin.

e=e=

\ 1 - sin2

e, e e si cos e < O.

e ;;. 0

Or ici

Arcsin t appartient, par dfinition, l'intervalle ]-~, ~[.

donc cos (Arcsin 1)

> O.

Donc cos (Arcsin 1) = \ 1 - sin 2 (Arcsin 1) . Par dfinition de Arcsin, sin (Arcsin 1) = t, donc sin 2 (Arcsin 1) . r---:; donc cos (Arcslll 1) = \ 1 - 1-. En reportant ce rsultat dans (1) nous obtenons: (Arcsin)' (1)

r------=---

= 12,

=

h _/2

1

.

Les drives des fonctions Arccos et Arctan peuvent tre obtenues de faon analogue.

Thorme Pour tout 1 de lntervalle (Arcsin)' (/) =La drh'e d'Arctan est une fonction rntionnelle.

J- 1./2

1[. et (Arccos)' (1)= -

1 \1-

~\ 1 - /2

Pour tout nombre rel t,

1 (Arctan)' (/) = - - 2 . 1+/

,

,

5. DERIVEE D'UNE FONCTION VALEURS COMPLEXESa. Cas particulierSoit" la fonction qui, tout nombre releit.f,

associe le nombre complexe

On drh'e partie l'telle et partie imaginaire de h.

Pour tout 1 de IR. "(t) = cos 1 + i sin 1. Les fonctions [ ~ cos [ et t ~ sin t sont drivables sur IR et ont pour drives respectives t ~ - sin 1 et t ~ cos 1. Par dfinition, la fonction h est drivable sur R et, pour tout 1 de R, "'(1) = - si n 1 + i cos 1.

b. Cas gnralSoit li une fonclion qui tout nombre rel 1 d'un intervalle 1 associe le nombre complexe "(1). Notons J(I) la partie relle et g(l) la partie imaginaire de h(I). Pour tout 1 de l, "(1) = J(I) + i g(I).

Dans l'exemple ci-dessus

IV)

=

cos t et

g(1) = sin t.


73

Dfinitions La fonction h est drivable en to si et seulement si f et g sont drivables en to' Si h est drivable en to le nombre driv de h en to est '/'(10)

+

i g' (10)'

Il'(1) = -

Dans l'exemple cidessus 1 = Ret sin t + i cos t.

La fonction li est drivable sur 1 si et seulement si " est drivable en tout point de 1. La fonction qui tout t de 1 associe le nombre driv de " en test

la fonction drive de h et se note h'.

c. ExempleVoir le paragraphe A.S.

Reprenons la fonction "a de IR dans C dfinie sur IR par "0(1) a est un nombre complexe fix de forme algbrique a + ii3. Pour tout t de IR , h a (t) = ela + i~), ' donc ha(l) = e a ' (cos i3t + i sin i3t), " 0(1) = e a ' cos i3t + ie a , sin i3t.

= e at o

"o(t) a pour partie relle fa(t) = e a , cos i3t et pour partie imaginaire go(t) = e a ' sin i3t. Les fonctions fa et go sont drivables sur IR et

f;, (t)

= a e a ' cos

g~(t) =

Donc h ~(t) =

i3t - 13 e a ' sin i3t, ae a , sin i3t + i3e a , cos i3t. e a , [a cos i3t - 13 sin i3t + i (a sin i3t + 13 cos i3t)],

- f3 sin f3t = jf3 (i sin;2 =_

f3t) car

h ~(t) = e a ,

1.

[a (cos i3t + i sin i3t) + ii3 (cos i3t a , (a + ii3) (cos 131 + i sin 131), " ~(t) = e "~(t) = ae a , ei~',"~(t) = ae a'.

+ i sin i3t)],

ConclusionDans J cas particulier du 8. : e 1 t-+ e il a pour Mrive t t-+ i~;'.Ceci montre une nouvelle fois l'intrt de la notation exponentielle des nombres compl exes.

La fonction ha: t ~ e at , o a est un nombre complexe fix, est dri

vable sur IR et, pour tout 1 de IR, ,,~(t)Remarque

= ae ot .

La formule permettant d'obtenir la drive de 1 ~ e at dans le cas o laconstante a est relle s'tend au cas o la constante a est complexe.

74

D. PRIMITIVES D'UNE FONCTION DRIVABLE SUR UN INTERVALLE1. EXEMPLE. DFINITIONExempleSoit les fon ctions dfinies sur IR par f: /0--+ 6/ 2 - 3 et F: / 0--+ 2/ 3 - 3/ + 4. Vrifiez que, pour tout nombre rel /, F'(I) = f(l). f est la fonction drive de F ; on dit que F est une primitive de sur IR.

f

DfinitionSoit f une fonction dfinie sur un intervalle l, Une fonction F dfinie sur 1 est une primitive de est drivable sur 1 et que F' = f.

f

sur 1 lorsqu'elle

Les fo nctions polynmes et rationnelles admenent donc des pri miI \-'ell surl~

Thorme (admis)Toute fonctio n drivable sur un intervalle J admet des primitives sur 1.

intervalles o elles

sont dfin es.

2. ENSEMBLE DES PRIMITIVES D'UNE FONCTION DRIVABLE SUR UN INTERVALLEProblmeSoit f: F:/ 0--+ / 0--+

2/, dfinie sur IR,

/2 , dfini e sur IR, est une primitive de f puisqu e F '(/) = f (l),/0--+

De mme, F I:

/2

+

l, F2 :

/0--+

/ 2 - 4, .. " sont des primitives de

f.

f

admet-elle d' autres primiti ves sur [Il que les fonctions f ~ 12

+ C o

C est une constante relle?La rponse est donne par le thor me sui vant que nous admettons.

ThormeNous pouvons ~Ie n ir en abrg: sur un intervalle deux primi li \'es d'une mme fonc tion diffren t d'une constante.

Soit J une fonction drivable sur un inter valle 1 et soit F une primitive de f. Les primitives de f sont les fonctions dfinies sur 1 par / 0--+ F(I) + C, o C est une constante relle.


75

ExempleLes primitives de la fo nction 1 dfinie su r Hl! par lU) = 31 2 - 3 sont les fonctions t 1---7 t 3 - 3t + C o C est une constante relle.

RemarqueParmi les primiti ves de la fonction f dfinie dans l'e xemple ci-dessus, cherchons s' il existe une f''nction F telle que F(2) = 6.Ob~r\'eL

que C esl la solution unique d'une quation du premier

F convient si, et seulement avec c'est--dire

!',

degr.

F(t)

= 13 -

31 + C

2) - (3 X 2)

+C

= 6,

C = 4.

Il existe donc un e primitive unique de f prenant la valeur 6 pour t c'est F: 10-> 13 - 31 + 4.r~me

= 2;

Plus gnralement, nous allons dmontrer de la mme faon le thosuivant:

Dans le cas particulier cj dessu .. Yo=6 et 10 =2.4

Soit f une fonction --lo giat + h) a lXJur drive f': t>--lo ag'(lIt + b).

Nous avons vu qu'une fonction f = g 0 Il , o LI est une fonction drvable sur un intervalle 1 et g une fonction drivable sur Il (1), est drivable sur 1 et que, pour tout, de 1, J'(I) = g'(II(IIl'(1).


77

Nous en dduisons qu'une fonction f dfinie sur un intervalle 1 par f(l) = g(II(1))II'(t), o g eSI une fonction drivable sur 11(1), a pour primitives les fonctions F dfinies sur 1 par F(t) = G(II(t + C, o G est une primitive de g sur 11(1) et o C est une constante relle quelconque. Par exemple, pour Il dlinie sur IR par II(t) = at + b avec a .. 0 et g = cos, nous obtenons que les primitives de la fonction f dfinie sur IR par f(t) = cos ((ltDrivez F pour le vrifier.

+ hl qui peut

s'crire f(t) =

sont les fonctions F dfinies sur IR par F(t) = est une constante relle quelconque,

hsin (at + b) + C, o C

h((1 cos (at + b,

Voir le paragraphe C.2.c.

Des rsultats sur la drivation de fonctions composes g 0 li et notamment de e ll , ln u, t/:J correspondant aux cas particuHers o g = exp, g = ln, g: x ~ xcI, nous dduisons de mme le tableau de primitives suivant dans lequel:

f est une fonction dfinie sur un intervalle l, li est une fonction drivable sur l, F est une primitive quelconque de f, dfinie sur 1, C est uneconstante relle quelconque,fit)Ces deux premi~rts fonctions. o a ~ O. sont des cas particuliers o g "" sin ou g = cos de la fonction figurant la ligne suivante.Il: 1 H al

Fil)

sin (al

+ b)

- ;\ cos (al + b) + C

cos (al + b)g(al

Asin {al,,(1)

+ b) + C

+ b avec

a tF

O.

+ b)SUI'

AG (at + b) + Co G est une primitive de g_1_ [u(l)l" n + 1Inu(/)

o g est drivableEn particulier. pour II = 1.

[u(t)]" ,,'(t), 11 E N

++ C .+ C

f: 1>-+ 11(1) Il'(1) a pou r primitives

F : 1 >-+ ~ 112(1) + C.Sil "~ = - /1 ' valeurs stricte ment posil\'es sur 1.l'

!Lillu(l)

o u est valeurs strictement posiliv~sIl'V) Il (1)

SUl'

1.

= -

Il,

alorsl'

et

71' ="l

f, a\'ec

ln ( - u(I + C"igal;"~s

o u est valeurs strictement

sur I.

Il '(1)

=

Il'(I}

pour"

= 2,oIl

...!L!l.L[u(l)}'

[,,(1)]14'(t}

[,,(1)1"

_ _ I_ + CSUl'

ne s'annule pas

1.

u(l)

- [ ~ [" (1)]- "'(1). ,. u(t)J

[u(l)l'"

..!!.1tl...

Il

E

N - {Il

-

\ \ n - \ [u(l)]"

. + C

L.C!L ,'U(/)o Observe z que ce rsultat ressemble ceult obtenu s plu s haut pour Cl = 11 et pour Cl = - ,,; dans ceIl

2 \~ + C]

est valeurs strictement posilives SUI'[u(l)]" u'(I),

a E R - {- I}

o u est nleurs strictement posit\'es sur 1.

a+ \

_1_[u(l)]" + 1 +

C

dernier Ca.l; _ _ I _~ __I ,,- 1 - " + 1__1 _ _

e.e"(I)u'(t)

= [11(1)]-,,+ 1.e UlI ) + C

[U(I)]" -

78

Nous :wons rell1arqu~ qu' en d~ri yanl sinus ou ;;inus. on tourne de + 1f. In\'ersment on _tourne de - ~ .

En sciences physiques, on utilise les deux premiers rsultats de ce tableau de la faon suivante: une primitive de1 r-7t ~-

sin (wt

+ "p) est

bcos (wt + ",) = bsin (WI + '" - ~),cos (WI + ",) est

une primitive de

1 r-7

1 r-7

bsin (wl + ",) = bcos (WI + '" - ~).

Voir les exercices corrigs nOi 42 51.

~

Remarques 10Pour dterminer des fonctions drives et des fonctions primitives il faut, dans un cas comme dans l'autre, trouver la bonne formule , Mais le problme est plus difficile dans le cas des primitives que dans celui de drives car il faut identifier une fonction Li et sa drive u' et, le plus souvent, choisir une constante multiplicative. 2 Lorsqu'on a trouv une primitive d'une fonction il est prudent de procder une vrification en drivant la primitive obtenue. 3Les calculatrices quipes d'un logiciel de calcul formel permettent d'obtenir les primitives des fonctions usueHes,

Ce qui \'eut dire que. pour dterminer des primitives. il faut savoir dtri\'er les fonctjon.;; usuelles.

Chap, 2 : Fonctions d'une variable relle

79

1

TRAVAUX PRATIQUESpoints A, B, C de coordonnes respectives (l , 5), (3, 13), (- 5, 5).

PRATIQUE DE LA MTHODE DU PIVOT DE GAUSS POUR LA RSOLUTION DE SYSTMES D' QUATIONS LINAIRESTP 1Dtermination d'une fonction

1

D'autres exe~ples de rtsolutions de systmes d'~quations linaires figurent au chapitre 6 de cet ouvrage.

L a mthode du Pivot de Gauss consiste obtenir un sys-

tme triangulaire quivalent au systme propos en ulili~ant les oprations lmentaires suivantes entre les lignes:changer les lignes Li et Lj : Li H Lj multiplier une ligne par un nombre rel non nul :

Li +- aL; additionner un multiple d' une ligne une autre:Li +- Li + a L} Exe rcice rsolu prliminaire:

EXEMPLES D' EMPLOI DU CALCUL DIFFRENTIEL POUR LA RECHERCHE D'EXTREMUMS, l'TUDE DE LA VARIATION ET LA CONSTRUCTION DES REPRSENTATIONS GRAPHIQUES DES FONCTIONSCes TP 2 et 3 concernent particulireme nt les tudiants titulaires d'un aulre diplme que le STn STI ou STL.

On sait rsoudre dans 1R3 le systme (triangulaire o u en cascade) :

~

X+2Y+ 2~ = 5

y- ::. =-3 -8,=- 16

qui est quiva-

~~ =2yx

lent

=- 3 + 2 =- 1 = 5 + 2 - 4 = 3.L,~

TP2y

Lectures graphiques

Le systme a une solution unique: (3, - 1. 2).Soit Je systme

t9

21

~

II est quivalent ta chacun des systmes suivants:

~

x x

+ 2y + 2~ = 5 + y + 1:: = 8~=3

ttx~

0-1

2r+ y-

L3

~

L, L, o [ .... R

1f:

(x

~

""""X"+).

-x+2

~e2' - ~ex -

x.

On dsigne par ~ sa courbe reprsentative dans un repre orthonorma l (0; T.J) du plan; unit: 2 CIn.1 Dterminer la limite de f(x) quand x tend vers en c rivant f(x) sous la forme:

+ 00,

~ .. Deux asymptotes dont une obliqueSoit f la fonction dfinie sur ]2,

J(x)

= e2'(~ - ~ e-" - , ,,- 2,).-00.00 .

+ oc[

par:

2 Trouver la limite de f(x) quand x tend versDterminer la limite de f(x) Interprter graphiquement ce rs ultat.

ft')

="(1/

+ 3',+ 4

,

+ x quand x tend vers -

-

1 Dterminer troi s nombres re ls tout nombre relr de ]2, + 00[.

li,

b, (' tels que pour

ft')

=

+ b + _c_. , - 2

3 tudier la position de O. 3 Rsoudre 1'6quation f(x) = 2, puis l'inquation f(x) > 2. 4 Donner le coefficient directeur de la tangente la courbe au point d'abscisse - l , sachant qu'elle passe par le point de coordonnes (0, 3). En dduire J'(-I).

courbe reprsentative dans un repre orthonormal est donne par la figure 74.

11071" Fonction inconnueSo it f la fonct ion dfi nie et drivable sur IR, dont la courbe reprsentative, dans le plan muni d'un repre orthonorma l (0; T,) est la courbe Cci-dessous:y4 A

Parmi les tro is courbes suivantes, quelle est la seu le qui soit susceptible de reprsenter la fonction drive de f? (On explicitera le choix fai t).y

oFig. 75

Fig. 73

10 Sa~hant que la courbe C admet la droite D, d'quation y = - 2, pour asymptote en -00 et l'axe des abscisses pour asymptote en + cc, dterm in er: lim f(x) et Iim f(x).x -t -ot x-t+ ::o

Fig. 77

11091 Trois fonctions candidatespour une drive

2 La courhe C admet aux seuls po ints A(1,4) et B(4, -1) une tangente parall le l' axe des abscisses. l'aide du graphique et des renseignements fournis sur la courbe C, dterminer le sens de variation de f et prciser le signe de sa drive f'.

On connat une partie des reprsentations graphiques de trois fonctions polynmes du troisime degr x 1-+ cu3 + bx 2 + ex + d, coefficients rels, donnes par les figures 78, 79 et 80, notes Ft, F2. F,.

98

y

)'

D,

D,

oFig. 78

4xO

4x Fig. 80

Fig. 79

L'une des trois fom:tions prcdentes a pOUI fonction drive une fonction f du second degr dont la reprsentation graphique est donne par la figure 81.)'

bc

-1

Fig. 82

2 0 En utili sant le 1 0 et en remarquant que la courbe 'C passe par le point A( - l, - 1), dterminer les nombres 1"6e15 (1. b, c, d.

Fig. 81

111 O on compose les fonctions

Le plan est rapport un repre orthonormal. 1 0 Quelle est celle des trois fonctions FI' F:l ou F) qui a pour drive f?(La rponse devra tre soigneusement justifie.)

Sur le graphique ci-aprs, la courbe CC reprsente unefonction

f dfinie et drivable sur l' inter va lle [- ~

,4].

On nOiera F cette fonction. Que reprisente F pour f1

On p1"6cise que:- la courbe ..(>.. > 0) situs respectivement sur C et D. Dterminer, en fonction de >.., la distance LL'. Le rsultat sera exprim en millimtres. b) Dterminer le plus petit entier (l positif tel que, pour >.. ~ a, la distance LL' soit infrieure il 0,5 mm (c'est--dire que l'on ne puisse plus dj stinguer les tracs de C et D ds que l'paisseur du trait a plus de 0,5 mm).

Avec un logarithme

!127j Un cosinusLe 'plan est muni du repre orthonormal (0; T,J) (un it graphique; 3 cm).

1 . Logarithme et acoustique 1301A. tude d~s varialiolls d',It!(!!ollctioll On considre la fonction f dfinie sur l'intervalle [0,5 ; 25] par; f(x) = 8,68 Inx + 93,28.


105

On appelle ~ sa courbe repr6se ntative. 1 a) Calculer j'ex). h) tud ier le sig ne de f'(x) sur l'intervalle [0,5;25]. c) Dresser le tableau de variati on de la fonction f sur l'intervalle [0,5 ; 25 ]. 2 Reproduire et complter le tableau de valeurs num riques suivant, en faisant figurer les valeurs arrondies l'entier le plus proche.

5 On admet que J'quation !(t) = 0 a deux solutions: Oet a. Vrifier que a appartient l'intervalle ] -0,72; -0,7 1[.

11321

Trac de courbe

On considre la fonction f dfinie sur ]0, +co[ par:f(t) ~ (In t)2

On appelle -+

e' sur l'interva lle [0, 2], 1 ayant pour nouvelle abscisse 2.

et dt =

[e'to=134

el - 1.

li est l'aire ha(:hur~e mesure avec,pour nolt\~ll~ unit d'ajr~, l'aire du

rectangle Ol'K'J, donc la l'uni~ d'aire initiale.

mojti~

de au

Donc

fio

e 2/ dt

=12

I

1x 2

e/dt.Ox2

Le coefficientchangement

b correspondd'aire.

Ce rsultat esl de la forme:

d'unit~

I ~ f(at) dt = ~ I~ f(t) dtaaD

o

Ct

= 0, i3 =

l, a

=2

et f(t)

= e'.

ThoTme (admis) Soit f une fonction drivable sur l'intervalle [ua,

I:

~l

f(al) dt =

~

I:

f(l) dt.

Exercice d'applicationCalculer K

=

f:

,

IOle" dl.

RponseK =

lI' 55

0

2le'dl el a

car ici f(l)

= 21e',

Ct

= 0, " = l5 IlK='l,f',e'dt0 '

= 5.

Voir le paragraphe 1. ci-dessus.

K

= ~car

I>e'

dl

= 1.

c. Exemple de changement de variablet~

!p(t)

La fonction f: 1- ~ est dfinie et drivable sur [0, 4]. 1 + ,t

L'intgrale 1 =

f4~ est donc dfinie, mais nous ne connaissons1

1

pas de primitive det

+ \t f.1

+ '1 nouvelle variable x = liDans 1 =

apparaissant dans ~ sous la forme

lI. nous allons prendre pour

f4 1 + VI dl r ,1+'1

la variable l, qui prend des valeurs entre 1 et 4,

apparat dans ~ et dans dl. Soit -> 1 +

~-

')

(3

r(4

+ 3x 21 + 4 x 3 1 '

qui peut aussi s'crire :(n+ l ) x n!=(n+ l )!carc' estle produit de tous les enliers non nul s j usqu' fi + 1.(2 (3

1 >-> 1 +

21

+31+41.2 3 (4

Le polynme 1 + ~ 1 + ~ 1 + 41 ressemble la partie rgulire du dveloppement limit d'ordre 4 en 0 de la fonction exponentielle, maisil manque la constante 1.

exp' = exp

eO= 1

Or nous savons que la fonction exponentielle est la primitive sur IR de la fonction expentielle, qui prend la valeurl en O.

144

Nous observons donc, dan s le cas par ticuli er de la fo nction exponentielle, pour 11 = 3, le rs ultat sui vant :

Retenez celle mthode gnrale

Soit f une fonction admettant un dveloppement limit d'ordre n en oet soit F une primitive de f sur un intervalle 1 contenant O. On obtient la partie rgulire du dveloppement limit d'ordre n + 1 de F en 0 en intgrant terme terme la partie rgulire du dveloppement limit d'ordre n en 0 de 1 et en ajoutant la cons tante F(O). Si 1(1)

La fonction E n'est JXls la mme pour f et pour F.

=a o + a,t + a,t '

+ ... + a.t + 1" E(I) avec lim E(I)Q Q

alors F(" = F(O) + aot +....! t ' +...l,. + ... + -"- t +' + t"+' E(t), 2 3 n +1 avec lim E(t) = O.O

a

=0,

1 -+ 0

,~o

ExempleObservez dans chaque cas, au paragraphe 2.b, les dve loppements limits des fonc ton s correspondantes.

La fo nction F:

t ....

ln( 1+ t) est, sur l'inter va lle ]- 1, 1 ~ t ' telle que F(O) = O.

+~[, Ia

primitive

de la fonction f:

t ....

La fonction t t---+ sin t est la primiti ve de la fonc ti on f t---+ cos f , qui prend la va leur 0 en O. La fo nction 1 t---+ -cos 1 est la primitive de la fonc ti on 1 t---+ sin l , qui prend la valeur - 1 en O.

E. COURBES PLANES

Groupement B Groupement C Groupement 0

x

1. FONCTIONS D'UNE VARIABLE RELLE VALEURS DANS 1R2 OU 1R3a.y

Insuffisance des fonctions valeurs dans IR

M

Exemplej

x

o

Le plan tant muni d'un repre orthonormal (0 ; i.J), co nsidrons le cercle 'Il de centre 0 et de rayon 2.

Fig. 25

Un point M, de coordonnes x et y, appartient 'Il si et seulement si OM = 2, qui q uivaut OM' = 4, donc + y' = 4 : c'est une qua tian cartsienne de -> F(t) = (2 cos t, 2 sin 1); c'est une fonction de la variable relle 1 valeurs dans !RI 2.

--

j

x~

o

2eo51

Fig. 26 Un tour complet correspond 2n radians. En cinmatique, M e.

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