Méthode différentielle

Mercredi 8 mars 2006

Principe, historique, recherches actuelles

Principe…

1. Réduction des équations de Maxwell à un système différentiel du premier ordre

z

(x) : zone modulée

x

y

M : superstrat

substrat

Résolution analytique des équations de Maxwell

Résolution analytique des équations de Maxwell

Résolution numérique des équations de Maxwell

…principe2. Intégration du système différentiel à travers

la zone modulée

3. Raccordement aux limites 4. Connaissance du champ

1. dans les zones homogènes2. dans la zone modulée

z

(x) : zone modulée

x

y

M : superstrat

substrat

Résolution analytique des équations de Maxwell

Résolution analytique des équations de Maxwell

Résolution numérique des équations de Maxwell Raccordement

aux limites

Comment obtenir un système différentiel ordinaire à partir des équations de Maxwell?

z

(x) : zone modulée

x

y

M : superstrat

substrat

E/H(x,y,z) : Comment calculer les dérivées partielles suivant x et z?

Le champ est invariant suivant z: la dérivée ∂/∂z est nulleLe champ est pseudo-périodique → développement en

séries de Fourier → fonction exponentielle suivant x: sa dérivée est très simple

Développement du champ en séries de Fourier

( , ) ( , )rot x y i x yH D

/ 2 / 2

/ 2 / 2

2 2ˆ( ) ( ) exp ( ') ( ) exp ( ')

d d

n n n nn nd d

rot y i y i n n x dx i y i n n x dxd d

H x H D

0

2( )exp ( )exp ,n n n n n

n n

rot y i x i y i x avec nd

H D

Il reste à exprimer Dn(y) en fonction de En(y)

0 n

ˆ( ) ( ) ( )

ˆ( ) ( ) ( ) ( )n n n n

n n n n

rot y i y i y

rot y i y i y i y

H x H D

E x E B H

( , ) ( , )rot x y i x y E B

ˆ( ) ( ) ( )exp expn n n nn n

n nrot y i y i yi x i x

H x H D

Factorisation de la relation de constitution,ou: « comment calculer les composantes de Fourier d’un produit de fonctions à partir des composantes de Fourier des fonctions? »

Relation de constitution Dans une base complète, règle de Laurent:

m nn=-

( ) ( ) ( )m ny y y

D E

Mais la base est tronquée:

La convergence du calcul dépend de la continuité de E:

converge seulement si E est continu (c.à.d en TE)

( , ) ( , ) ( , )x y x y x yD E

m nn=-

( ) ( ) ( )N

m nN

y y y D E

mm=-

0 n

ˆ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ( ) ( ) ( )

N

n n n n mN

n n n

rot y i y i y y

rot y i y i y

H x H E

E x E H

en TE!!!!

Système différentiel

6x(2N+1) équations à 6x(2N+1) inconnues On isole les d/dy, on élimine les composantes [y,n] et [Ey,n]

et on obtient:

§ ̈ 0

ˆ

ˆ

n

n

rot i i

rot i i

H x H E

E x E H

4 (2 1)

z z

x x

z z

x x

E E

H HdM N

H Hdy

E E

z

x

z

x

E

H

H

E

F

Méthodes d’intégration

Si M dépend de y, l’intégration est numérique (Runge-Kutta, Adams Moulton…)

Si M est invariant suivant y, intégration suivant la méthode des valeurs et des vecteurs propres de M:

( ) (0)1MV V F F

( ) ( ) ( )d

y M y ydy

F F

exp( )mn m nmh

Raccordement aux limites…

,

,

,

,

exp( )

exp( )

exp( )

exp( )

z n n

z n n

z n n

z n n

E i y

H i y A

E i y A

H i y

Α

PF A

1 1( ) ( ) ( ) (0)( ) ( ) (0) (0)1 1 1( ) ( )

11 12

21 22

M M MM MP P V h V P V h V P

T TT

T T

A F F A144444444424444444443

, , ,

, , ,0

, , ,

, , ,

Milieu homogène, développement de Rayleigh:

exp( ) exp( )

exp( ) exp( )

exp( ) exp( )

exp( ) exp( )

z n z n n z n n

nx n z n n z n n

z n z n n z n n

nx n z n n z n n

E E i y E i y

H E i y E i y

H H i y H i y

E H i y H i y

20n n

1 1( ) (0) ( )

11 12 22 21 12 22

1 1(0) ( ) (0)

22 22 21

M M

M

T T T T T T

T T T

A A A

A A A

Et c’est fini!!Mais des problèmes numériques surgissent

lors de l’intégration

( )

11 12

21 22

(0)( )

M

A AT TMT TA A

A

… Raccordement aux limites

Données initiales

inconnues

Algorithme S Si la hauteur d’intégration est grande

relativement à la longueur d’onde, l’inversion numérique de la matrice T22 entraîne des problèmes numériques.

Pour palier ce problème, on utilise l’algorithme S introduit en 1994 dans la théorie des réseaux.

L’inversion unique de T22 est remplacée par de multiples inversions au cours de l’intégration

Réseaux de compression du laser Petawatt Réseaux blazés gravés sur un empilement

diélectrique:importance du profil sur le seuil d’endommagement laser

Développement à partir du milieu des années 60

En 1973, modélisation des réseaux diélectriques peu profonds en TE et TM

Réseaux métalliques : résultats fiables en TE mais faible convergence en TM

Réseaux profonds : problèmes dans les 2 polarisations

Historique. Années 70Naissance d’une méthode

Historique. Années 80Des solutions sont apportées, mais des difficultés persistent Problèmes d’intégrations numériques : Développement

(1981-1982) de la méthode RCW pour une intégration à partir des valeurs et des vecteurs propres de la matrice M (uniquement si M ne dépend pas de la variable d’intégration)

Extension de la méthode aux autres profils :1. Staircase approximation: incorrecte!!!2. Transformation non conforme du profil du réseau en un

plan (1982): bien adaptée aux réseaux sinusoïdaux Mais toujours pas de solution pour les réseaux profonds

et pour la polarisation TM Le doute s’instaure … en 1987, Depine et Simon mettent

en cause la validité de la formulation de la méthode en polarisation TM, à tort…

Historique-Années 90tout s’accélère …

1994:Introduction de l’algorithme S dans la théorie des réseaux:

Permet la modélisation des réseaux profonds,mais persistance des problèmes en TM

1996: Découverte empirique d’une formulation convergente de la méthode RCW en TM.

1996: Règles de factorisation convergentes dans une base de Fourier tronquée

Règles de factorisation Si E(x) est continu:Cas de la polarisation TE: Vecteur colonne contenant les composantes de Fourier de D(x): Matrice de Toeplitz des composantes de Fourier de (x)

Si D(x) est continu:Cas de la polarisation TM dans les réseaux lamellairesIl s’agit de la formulation empirique présentée en 1996

Si les 3 fonctions sont simultanément discontinues: pas de règles de factorisation convergenteEt c’est le cas de la polarisation TM dans un profil arbitraire !!!!La méthode différentielle est-elle condamnée à ne jamais converger en TM?

§ ̈ D E

§ ¨ 11/ D E

D§ ¨

Fast Fourier FactorizationRésout les problèmes de convergence en TM pour un profil arbitraire

§ ¨ § ¨ 1( ) C ( ) ( ) ( )y y C y y D E

1

2

1

2

E ( , )( , ). ( , )

( , ) ( , ). ( , ) D ( , )

( , ). ( , ) E ( , )

T

N

T

x yx y x y

x y x y x y x y

x y x y x y

E T

F D N

E T

F(x) est une fonction continue!!

§ ¨ ( ) ( ) ( )y y yD EJusqu’en 1996:

A partir de 2000:

x

N(x,y)

T1(x,y)T2

N(x,y)

N(x,y)

N(x,y)

2000-2001: Formulation d’une méthode différentielle convergente en TM: la FFF (Fast Fourier Factorization)

( , ) ( , ) ( , )x y C x y x yE F

Pourquoi tant d’années pour énoncer une formulation convergente de la méthode?

2 problèmes indépendants:

1. Erreurs numériques lors de l’intégration,2. Factorisation non convergente,

mais qui se renforçaient mutuellement:

Plus on augmentait le nombre de coefficients de Fourier, plus

les termes en exp(±iny) explosaient rapidement.

Derniers travaux de l’équipe

r

z x

Zonemodulée

(r,)

• 2004: extension de la méthode FFF aux coordonnées cylindriques

z

(x) : zone modulée

x

y

M : superstrat

substrat

Derniers travaux de l’équipe

2004: généralisation des règles de factorisation à d’autres types de bases de fonctions

2005: Formulation d’une méthode différentielle en coordonnées cylindriques. Le champ est développé sur une base Fourier-Bessel

M r

z

x

y

O

1 2 3

Derniers travaux de l’équipe

-1000-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200SIVerre

Air

norme |E| du champ électrique

axe

z e

n n

m

axe x en nm

0.5000

0.6500

0.8000

0.9500

1.100

1.250

1.400

1.550

1.700

-400 -200 0 200 400

-400

-200

0

200

400 SI

Norme |E| du champ électriquereprésentation dans le plan Oxy en z=-30nm.

1.250

1.325

1.400

1.475

1.550

1.625

1.700

1.775

1.850

axe X en nmax

e Y

en

nm

Exemple de résultats sur un disque cylindrique

2005: Méthode différentielle en coordonnées sphériques

Développement du champ sur une base d’harmoniques sphériques

Extension aux milieux anisotropes

A venir : écriture du code numérique

Travaux effectués dans le laboratoire depuis