X X X V I e A N N é E . 1 9 3 7 . — N o s 5 . 6 .

Hommage de routeur.

(Paru en janvier 1938)

L'ENSEIGNEMENT

MATHÉMATIQUE . M É T H O D O L O G I E E T O R G A N I S A T I O N D E L ' E N S E I G N E M E N T

P H I L O S O P H I E E T H I S T O I R E D E S M A T H E M A T I Q U E S

C H R O N I Q U E S C I E N T I F I Q U E — • M E L A N G E S — B I B L I 0 ( ; R A P H 1 E

R E V U E I N T E R N A T I O N A L E

Fondée en 1899 par C . - A . L A I S A N T et H. FEHR

f c

D I R I G E E PAR

H . F E H R Docteur ès sciences

Professeur à l'Université de Genève.

A . B U H L Docteur ès sciences

Professeur à l'Université de Toulouse.

O r g a n e o f f i c i e l de la C o m m i s s i o n i n t e r n a t i o n a l e de l ' E n s e i g n e m e n t m a t h é m a t i q u e

C H . P E R E L M A N

L ' é q u i v a l e n c e , l a d é f i n i t i o n e t l a s o l u t i o n d u p a r a d o x e d e R u s s e l l .

1 9 3 7

P A R I S

GAUTHIER-ViLLARS & C'^, É D I T E U R S

G E N È V E

GEORG & C'^, ÉDITEURS

IMPRIiMÉ A G E N È V E ( S U I S S E ) PAK A . K U N D I G

L'ENSKIGNEMENT MATHÉMATIQUE R E V U E I N T E R N A T I O N A L E

F o n d é en 1899, L'Enseignement mathématique a r ap idement pr i s place au r ang des g rands périodiques in te rna t ionaux . Depuis plus de t r en te ans ses col laborateurs et ses abonnés l 'ont sou t enu avec une remarquab le fidélité et l 'ont aidé à main ten i r sa r épu ta t ion dans le publ ic scientifique du monde ent ier . Qu'il nous suffise de rappeler ici quelques noms, choisis au hasard , p a r m i les s ignatai res d 'ar t ic les :

J . Andrade , Pau l Appell , P . Barbar in , S. Bays , Ch. Bioche, B. Bobynin , C. Bourle t , G. Boul igand, P . Bou t roux , Viggo Brun , Bura l i -For t i , C. Cailler, F . Cajori , E . Car tan , A. Châtele t , Van de r Corput , L. Crelier, Z. Czui)er, F . Daniels , R. Deaux , A. Denjoy , P . Delens, A. E m c h , F . Enr iques , W . E rmakof f , A. Er re ra , M. Fréchet , B. Gambier , Lucien Godeaux, F. Gonseth, G. Greenhill , J . H a d a m a r d , D. Hi lber t , P . Juve t , 0 . Kellog, F . Klein, L. KoUros, E . Laîné, C.-A. La i san t , H. Lebesgue, F . Levi-Civi ta , G. Loria, Marcolongo, G. A. Miller, D. Miri-manof f , R. de Montessus de Ballore, H. Niewenglowski, M. d 'Ocagne, A. Padoa , G. Peano, M. Pe t rov i tch , E . Picard, M. Plancherel , M. Polya , D. Pompéiu , U. Poincaré , Ch. Riquier , D . E . Smi th , D. Sintsof , G. Tiercy, E . Turr ière , A. Urysohn , Ch. de la Vallée Poussin, G. Valiron, A. Vassilief, R. Wavre , H . Weyl , M. W i n a n t s , W . H. Young , S. Za remba , Zervos.

L'Enseignement mathématique a une physionomie entière-m e n t personnel le ; il ne fa i t double emploi avec aucun au t re journa l . Ce pér iodique s 'adresse à tous ceux qui s ' in téressent a u x progrès de l ' ense ignement des m a t h é m a t i q u e s a u x divers degrés. A u d é b u t une confusion s 'est mani fes tée chez quelques lecteurs qui on t p u croire que nous étions un journa l pu remen t pédagogique, dans le sens exclusif. Le m o t Enseignement a pour nous une signification plus large. Il v e u t dire enseignement des élèves e t aussi enseignement des professeurs e t d 'ai l leurs l 'un ne va pas sans l ' au t re . C'est ainsi que nous avons donné une large place a u x quest ions de Méthodologie, de Philosophie, d 'His to i re , à côté de nombreuses é tudes consacrées à l 'organisa-t ion de l ' ense ignement m a t h é m a t i q u e dans les divers pays . P a r m i les art icles m a t h é m a t i q u e s les uns a p p o r t e n t des résul ta ts nouveaux , ou des mises au poin t , d ' au t r e s p résen ten t de réels mér i tes pédagogiques t o u t en t r a i t a n t de quest ions dé jà classiques.

EXTRAIT DE VEnseignement mathématique, 5-6, 36'' ANNéE, 1937.

L ' É Q U I V A L E N C E , L A D É F I N I T I O N E T L A S O L U T I O N

D U P A R A D O X E D E R U S S E L L i

PAR

Ch. P E R E L M A N (Bruxelles).

On en tend pa r équivalence formelle une équivalence établie en t r e deux fonc t ions proposi t ionnel les; on di t qu 'une telle équiva lence est vra ie quand , quelle que soit la valeur de la variable, les proposi t ions obtenues en r emplaçan t , dans les deux membres de l 'équivalence, la var iable pa r le même a rgumen t ont la même va leur , c 'es t-à-dire sont tou tes les deux vraies ou tou tes les d e u x fausses. Une équivalence formelle est fausse quand ceci n ' e s t pas vra i pour tou tes les va leurs de la var iable .

1 Le présent art ic le complè te un travai l paru dans Mind, v o l . X L V , n" 178 (avril 1936), e t Int i tu lé • L e s P a r a d o x e s de la Logique »; cf. au.ssi m a communicat ion « U n e solution des paradoxes de la logique e t ses conséquences pour la concept ion de l'inllni» dans les Travaux du IX' Congrès International de Phi losophie , Vol . VI .

LE PARADOXE DE RUSSËLL 3 5 1

De cette définit ion de la vér i té de l 'équivalence formelle, il résul te imméd ia t emen t que l 'on peu t définir Vunivers du discours comme l 'ensemble des va leurs qui sa t i s font une équivalence formelle v ra i e ; d ' au t r e p a r t , t o u t e équivalence formelle fausse définit l 'ensemble des va leurs qui sa t i s font cette équivalence, et qui est nécessairement di f férent de l 'univers du discours.

T o u t e équivalence formelle vra ie divise l 'univers du discours en deux sous-ensembles complémenta i res , c 'est-à-dire tels que t o u t é lément de l 'univers d u discours est élément de l 'un d 'eux. Pour s 'en rendre compte , il suffit de dis t inguer , parmi tous les ob je t s qui vérifient l 'équivalence, l 'ensemble des objets qui sa t i s font s imul tanément chacun de ses membres , et celui des ob je t s qui ne sat isfont aucun de ses membres . Comme t o u t é lément de l 'univers du discours vérifie l 'équivalence, et que celle-ci ne peu t ê t re vraie que q u a n d ses deux membres sont ou bien t ous les deux vrais, o u bien tous les deux faux, pour la même va leur de la variable, les deux ensembles que nous venons de définir seront complémenta i res . La classe nulle se présente alors comme la classe complémenta i re de l 'univers du discours, dans le cas d ' une équivalence formelle en t re proposit ions formelles t o u j o u r s vra ies ; en effet, dans ce cas-ci, non seulement l 'équi-valence est vra ie , mais aussi chacun de ses membres est vrai , pour tou tes les valeurs de la var iable . L 'ensemble des objets qui vérif ient l 'équivalence, t o u t en ne sa t i s fa isant aucun de ses membres , const i tue alors la classe nulle.

A pa r t i r d ' une équivalence formelle fausse, on obt ient .des ensembles complémenta i res en considérant , d 'une par t , l 'en-semble des valeurs pour lesquelles l 'équivalence est vraie et , d ' a u t r e p a r t , celui des va leurs pour lesquelles l 'équivalence est fausse. Il est d 'ai l leurs facile de concevoir ces deux ensembles comme ensembles complémenta i res à pa r t i r d ' une équivalence formelle v ra ie ; il suffit de poser l 'équivalence avec elle-même de l ' équivalence fausse don t on est p a r t i ; on déduira de cette équivalence vra ie les ensembles complémenta i res que l 'on désire const rui re .

Or, une équivalence formelle est fausse, s'il existe une valeur de la var iab le pour laquelle u n m e m b r e de l 'équivalence devient v ra i et l ' au t r e f aux . Cette fausse té peu t ê t re prouvée de deux

3 5 2 CH. PERELMAN

façons : ou bien pa r l ' indicat ion d ' u n être qui sat isfai t u n membre de l 'équivalence sans satisfaire l ' aut re , ou bien par la démons-t r a t i o n que, pour une valeur de la variable, il est impossible que les deux m e m b r e s de l 'équivalence aient la même valeur .

Il est év idemment impossible d ' indiquer des règles p e r m e t t a n t de déceler la fausseté d ' une équivalence formelle, si cette fausse té dépend de l 'existence d ' u n être. D ' au t r e pa r t , même si elle dépend de la t ransgression de certains principes, comme la démons t ra t ion d ' une telle transgression doit se faire à l ' intér ieur d ' u n système donné, on ne peut indiquer un sys tème complet de règles p e r m e t t a n t de l 'é tablir , qu 'en connaissant le système par t icul ier à l ' in tér ieur duquel on raisonne.

Il est possible d 'a f f i rmer cependant que, dans t o u t système a d m e t t a n t des équivalences formelles et la not ion de négat ion, on se t rouvera d e v a n t une équivalence formelle fausse si, pour une valeur de la var iable , on peut en déduire l 'équivalence d ' une proposi t ion et de sa négat ion. Ce sera t ou jou r s le cas pour une expression qui posera l 'équivalence d 'une fonct ion et de sa négat ion, l 'un des deux membres de l 'équivalence p o u v a n t , en out re , différer de l ' au t r e pa r l ' in t roduct ion d ' un a r g u m e n t à la place d 'une var iable . Sera également fausse t ou t e équivalence for-melle dont il est possible de déduire une fausse équivalence formelle; or, on peu t t o u j o u r s déduire une fausse équivalence for-melle d 'une équivalence formelle affirmée vra ie pour tou tes les valeurs de ses var iables qui sont, d ' une pa r t , des fonct ions, et d ' au t r e pa r t , les a rgumen t s de ces fonctions, chaque fois qu^un des membres d'une telle équivalence contient une constante à la place de la variable fonction. On en déduira une fausse équivalence en remplaçan t cet te var iable pa r une va leur part icul ière , à savoir la négat ion de la cons tan te se t r o u v a n t dans l ' au t re membre .

Si, malgré la démons t ra t ion de la fausseté d ' u n e équivalence, que lqu 'un con t inua i t à la considérer comme vraie — ce qui revient à poser une cont radic t ion — il serait amené à de graves difficultés. E n effet, la va leur de la var iable ne vér i f iant pas l 'équivalence, et é t a n t quand même censée la vérifier, ne ferai t par t ie ni de l ' ensemble des valeurs sa t isfa isant les deux membres

LE PARADOXE DE RUSSELL 3 5 3

de l ' équivalence ni de celui ne sa t i s fa isant aucun des d e u x ; on cons idérera i t l 'un que l conque de ces ensembles c o m m e m a l défini, et l 'on af f i rmera i t q u e le pr incipe du t iers-exclu ne v a u t pas p o u r t o u t e s les A'^aleurs de la fonct ion proposi t ionnel le « x est é lément du di t ensemble », pu i squ ' i l y a une valeur de la var iab le qui ne fa i t pa r t i e ni de l ' ensemble ni de son complémen ta i r e . A pa r t i r de la d i te fonc t ion proposi t ionnel le , on serai t a m e n é à général iser en che rchan t à déf inir les proposi t ions auxquef ies le pr incipe du t iers-exclu est appl icable et celles auxque l les il ne l 'est pas .

D a n s ce qui sui t , nous m o n t r e r o n s c o m m e n t le d é b a t concer-n a n t les f o n d e m e n t s de la théor i e des ensembles est p a r t i d u cas d ' u n e fausse équ iva lence , considérée comme vraie . P o u r le comprendre , il est nécessaire d ' exposer les r a p p o r t s e x i s t a n t en t re l ' équiva lence formelle e t la défini t ion.

T o u t e déf ini t ion nomina le pose une équivalence formelle . S ' i l s ' agi t de la déf ini t ion d ' u n s igne qui ne représente pas u n e fonc-t ion proposi t ionnel le , l ' équ iva lence s ' énoncera : quel que soit x, « X est désigné pa r le signe déf in i s san t » équ ivau t à « a; est désigné p a r le signe défini », S'il s ' ag i t , en revanche , de la défini t ion d ' u n signe de fonc t ion propcs i t ionne l le , il découlera i m m é d i a t e m e n t de la déf ini t ion que, pour t o u t ob je t , dire qu ' i l sa t is fa i t la fonc-t ion proposi t ionnel le déf in i ssan te équ ivau t à l ' a f f i rmat ion qu ' i l sa t i s fa i t la fonc t ion propos i t ionnel le définie.

Les cons idéra t ions qui p r é c è d e n t s ' app l iquen t , en par t icu l ie r , à la déf in i t ion — si f o n d a m e n t a l e d a n s la théor ie des ensembles , e t qui relie celle-ci à la t héo r i e des fonct ions proposi t ionnel les —, de la no t ion « x est é lément d e E ».

T o u t e déf ini t ion d ' u n ensemble , e t j ' en t ends par là éga lement l ' i nd ica t ion d ' u n e loi de c o n s t r u c t i o n d ' u n ensemble, consiste d a n s la p ré sen ta t ion d ' u n e p r o p r i é t é que tous les é léments de l ' ensemble possèdent et qu ' i l s sont seuls à avoir . Ceci a pe rmis de définir la no t ion « ê t re é l émen t de (e) » p a r la no t ion reprise à la théor ie des fonc t ions propos i t ionnel les « sat isfaire la fonc t ion s e r v a n t de défini t ion à l ' ensemble ». Symbo l iquemen t , on écrira :

(

3 5 4 CH. PERELMAN

P o u r expr imer le fa i t qu 'un ob je t est élément d ' un ensemble par t icu l ie r , disons A, on remplacera dans l 'équivalence (1), aff irmée vraie pour tous les tp, la var iable ç pa r la fonct ion par t icul ière servant de définit ion à A.

Or Russell a découver t que, pour une valeur part icul ière de 9 et pour une valeur part icul ière de y, l 'aff i rmation de la vé r i t é d e l 'équivalence (1) conduisai t à une ant inomie .

Remplaçons, en efîet, 9 pa r la fonction part iculière x e x. On obt ien t l 'équivalence:

(y):y z x--^ X z X • = • y zy . (2)

Quand on donne à y la va leur i - f^ a:ea:, on ob t ien t la propos i t ion

X - < ^ X Z X Z X - ~ ^ X Z X - = • ! ^ X-c^ X Z X Z X-'^^ X Z X .

q u i affirme l 'équivalence d ' une proposi t ion et de sa négat ion, et qu i est donc év idemment fausse.

Après la cons ta ta t ion de la fausseté de cet te dernière propo-si t ion, une seule solution s ' imposa i t : il aura i t fallu reconnaî t re la fausseté de l 'équivalence formelle (2), dont cet te proposi t ion découla i t ; on voit , en efïet , que, dans ce t te équivalence, le second m e m b r e const i tue la négat ion du premier , dans lequel on a remplacé , pa r une de ses Valeurs, la var iable se t r o u v a n t à d ro i te de e. L 'équivalence (2) const i tue un cas part icul ier de l ' équivalence formelle

(x) • xYia . = . xYix ,

d o n t la fausseté éclate quand on remplace x par a. Il y ava i t cependan t un inconvénient à reconnaî t re la fausse té

de l 'équivalence (2): c 'est qu'elle découle de l 'équivalence (1), de la vér i té de laquelle on peu t difficilement douter . Il est difficile de s ' imaginer , en effet, commen t un ob je t pour ra i t sa t i s fa i re une fonction se rvan t de définit ion à un ensemble et

> n e pas ê t re é lément de cet ensemble, ou réc iproquement . Cepen-d a n t , si l 'on considère de plus près l 'équivalence (1), il est facile de comprendre commen t un te l fa i t peu t se produi re . Car,

LE PARADOXE DE RUSSELL 3 5 5

alors que le second membre de cet te équivalence ne cont ient que des variables, le p i emie r con t ien t une constante , « e » ; on y pose une relat ion, celle d 'êfre élément de, entre une relat ion et une expression qui désigne un ensemble chaque fois que l 'on remplace 9 pa r une fonct ion par t icul ière; il suffira de rem-placer tp, comme nous l ' avons indiqué plus hau t , pa r la négat ion de la relat ion e pour voir a p p a r a î t r e la contradict ion.

Les logiciens qui se sont occupés de la question, au lieu d 'ad-m e t t r e la solution la plus simple qui consiste à aff irmer la fausseté de l 'équivalence (1), on t cherché à établir des règles ne p e r m e t t a n t pas de passer de l 'équivalence (1) à l 'équivalence (2), ou de l 'équivalence (2) à la proposit ion contradictoire qui en découle. La première règle, celle que préconisait Henri Poincaré, in te rd i ra les défini t ions non-prédicat ives , et l 'on considérera, pa r conséquent , la définition de l 'ensemble x-'^xzx comme illégitime; la deuxième règle, suggérée par Frege ^, empêchera que, dans l 'équivalence (2), l 'ensemble â;-~ xe x puisse être considéré comme une va leur de y. D ' au t r e s enfin, a d m e t t a n t t o u t ce que nous avons dédui t de l 'équivalence (1), considéreront qu' i l y a des ob je t s qui p e u v e n t n ' ê t re élément ni d ' u n ensemble ni de son complémenta i re , et l imi teront , pa r conséquent , l 'appli-cat ion du principe du t iers exclu. Or, chacune de ces prescr ipt ions nouvelles, cons t i t uan t une cer ta ine refonte des principes de la logique, présenta i t peu t -ê t re des conditions suffisantes pour éviter les cont radic t ions appa rues dans la logique et la théorie des ensembles, mais ces condi t ions n 'é ta ien t point nécessaires. E n effet, des proposi t ions p a r f a i t e m e n t valables — et que l 'on voudra i t conserver — é ta ien t devenues inadmissibles à cause de l ' in t roduct ion de ces nouvelles règles.

Pour éviter tou tes ces difficultés, il suffit de s 'en teni r au respect absolu du principe de con t rad ic t ion et de remarquer que, si toute définition pose une équivalence formelle, cette équivalence n'est pas toujours vraie.

Quand on pa rv ien t à démon t r e r la fausseté d ' une telle équi-valence, deux a t t i t u d e s sont possibles: on peut re je ter , comme contradictoire , la défini t ion d o n t découle une fausse équivalence

> G. FREGE, Grundgesetze der Arilhmetik, v o l . I I , Jena , 1903, p . 262,

356 CH. PERËLMAN

formel le ; ou bien — et c'est la solution de loin la plus écono-mique — on peut restreindre la portée de la définit ion à l 'en-semble des valeurs pour lesquelles l 'équivalence formelle décou-l an t de la définit ion est vérifiée. Dans ce cas-là, on ne dira pas que t o u t ob je t de l 'univers du discours fai t par t ie de l 'ensemble des va leurs qui sa t isfont les deux membres de l 'équivalence ou de celui des valeurs qui ne sat isfont aucun des deux, mais que font partie de Vun de ces deux ensembles seulement les objets qui vérifient Véquivalence formelle. Il en résulte que, alors que tou te défini t ion posant une équivalence formelle vraie divise l 'univers d u discours en deux ensembles complémentai res , une définition don t découle une équivalence formelle fausse ne divise en deux ensembles complémentai res que Vensemble des valeurs vérifiant cette équivalence.

On évi tera a isément tou tes ces difficultés en ne t r a i t a n t pas c o m m e des équivalences formelles vraies celles qui ne le sont pas. E t en part icul ier , on évitera de t o m b e r dans la contradict ion suscitée pa r le pa radoxe de Russell, en r e m a r q u a n t que l 'équi-valence (2), qui sert de définit ion à l 'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas un de leurs éléments, est une équiva-lence formelle qui n 'es t pas vraie pour tous les ob je t s de l 'univers d u discours.

Organe officiel de la Commission internationale de l'enseigne-ment mathématique, ins t i tuée par le Congrès de Rome (1908), la revue a publ ié les t r a v a u x présentés dans les conférences inter-nat ionales organisées pa r le comi té cen t ra l ; elle a r endu compte des nombreuses publ ica t ions des sous-commissions nat ionales. Ses derniers volumes con t i ennen t une série d 'art icles sur les Modifications essentielles de renseignement mathématique dans les principaux pays depuis 1910.

Organe officiel de la Société mathématique suisse, pour ce qui concerne les comptes rendus des séances, UEnseignement mathé-matique donne chaque année le résumé des communica t ions présentées et la reproduct ion in extenso des conférences générales.

Rappelons aussi les ar t ic les consacrés à V Enquête de « U En-seignement mathématique » sur la méthode de travail des mathé-maticiens et qui ont été réun is en u n vo lume en vente séparément (2™e édit ion, suivie d 'une N o t e suvVInvention mathématique, pa r H. Poincaré , 1912, 137 p . ; 5 f rancs suisses. Librairie Georg e t Cie, Genève).

Chronique. — Très appréciée de nos lecteurs, cet te rubr ique comprend des nouvelles de n a t u r e à intéresser tous les ma thé -mat ic iens ; congrès i n t e r n a t i o n a u x , réunions scientifiques ; Union in te rna t iona le m a t h é m a t i q u e ; concours académiques ; sociétés de professeurs de m a t h é m a t i q u e s ; nomina t ions et d is t inct ions; notices nécrologiques, e tc .

Mélanges et correspondance. — Cette rubr ique pe rme t au lec-t eu r de présenter sous une fo rme rapide les idées qui lui semblent utiles, les r emarques suggérées pa r la lecture d ' un article, les quest ions sur lesquelles il a u r a i t besoin d ' un renseignement . Elle comprend aussi la descr ip t ion d ' i n s t rumen t s ou d 'appare i l s n o u v e a u x e t des no tes qui p e u v e n t intéresser les lecteurs sans toucher d i r ec t emen t à l ' ense ignement m a t h é m a t i q u e .

Les Notes et documents con t i ennen t des renseignements sur les p rogrammes et r èg lements d ' un in té rê t général et sur les cours de m a t h é m a t i q u e s .

Bibliographie et Bulletin bibliographique. — L a Rédact ion appor t e un soin t o u t par t i cu l ie r à ces deux rubr iques , afin que le personnel ense ignant soit t enu a u couran t de ce qui peut l ' intéresser, soit dans les ouvrages nouveaux , soit dans les pério-diques. Lorsque, f au te de place , il lui est impossible de publier un compte r endu développé, elle s 'efforce de donner u n aperçu sommaire dans la l iste des « Livres n o u v e a u x ».

Administration. — Depuis 1904 l ' impression du journa l a été confiée à la maison Alber t Kund ig , à Genève. Le service des a b o n n e m e n t s se fa i t pa r l ' in te rmédia i re de la Librair ie Gauthier-Villars et Cie, à Par is , et de la Librair ie Georg et Cie, à Genève.

L ' E N S E I G N E M E N T M A T H É M A T I Q U E

R E V U E I N T E R N A T I O N A L E

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S O M M A I R E D E S Nos 5 .5 ( T o m e X X X V I )

V i t o VoLTERRA. — A p p l i c a t i o n des M a t h é m a t i q u e s à la Biologie ^^^se» ( a v e c 8 f igures) 297

M. P L . \ N C H E R E L . — Su r le ca lcul d u p o t e n t i e l de l 'e l l ipsoïde h o m o -g è n e p a r la m é t h o d e d u f a c t e u r de d i s c o n t i n u i t é 331

M . - H . M.'S.RTiN e t A. S E I D E N B E R G . — Su r le n o m b r e des p o l y n ô m e s à h a u t e u r d o n n é e 346

Ch. P E R E L M . \ N . — L ' équ iva l ence , la dé f in i t ion e t la so lu t ion d u p a r a -d o x e de Russe l l 350

Commission internationale de l'Enseignement mathématique. — Les ten-dances actuelles de l'enseignement mathématique dans les divers pays. Rapports des Délégations nationales: Japon. — Norvège. — Pologne. — Roumanie. — Suisse 357

Société mathématique suisse. — Conférences et communications. Réunion de Genève, 28 août 1937 389

Chronique. — IV'' Congrès international d'Histoire des Sciences . . . . 396 II** Congrès interbalkanique de Mathématiques, Bucarest, 1937 . . . 398 III