Nombres réels

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Nombres relsRationnels et irrationnels

Exercice 1 [ 02092 ] [correction]Montrer que la somme dun nombre rationnel et dun nombre irrationnel est unnombre irrationnel.

Exercice 2 [ 02093 ] [correction]Montrer que

2 nest pas un nombre rationnel

Exercice 3 [ 02094 ] [correction]

Calculer(

22)2

. En dduire lexistence dirrationnels a, b > 0 tels que ab soitrationnel.

Exercice 4 [ 02095 ] [correction]Soit f : Q Q telle que x, y Q, f(x+ y) = f(x) + f(y).a) On suppose f constante gale C quelle est la valeur de C ?On revient au cas gnral.b) Calculer f(0).c) Montrer que x Q, f(x) = f(x).d) Etablir que n N,x Q, f(nx) = nf(x) et gnraliser cette proprit n Z.e) On pose a = f(1). Montrer que x Q, f(x) = ax.

Exercice 5 Centrale MP [ 02472 ] [correction]Montrer que (

23 +

4181

53

)1/3+(23

4181

53

)1/3est un rationnel. On conseille deffectuer les calculs par ordinateur.

Exercice 6 Centrale MP [ 02475 ] [correction]Si n est un entier > 2, le rationnel Hn =

nk=1

1k peut-il tre entier ?

Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02647 ] [correction]a) Montrer lexistence et lunicit des suites dentiers (an)nN et (bn)nN vrifiant(2 + 1)n = an + bn

2.

b) Calculer a2n 2b2n.c) Montrer que pour tout n N, il existe un unique p N? tel que(2 + 1)n = p+p 1.

Nombres rels

Exercice 8 [ 02096 ] [correction]Montrer a, b R, ab 6 12

(a2 + b2

).

Exercice 9 [ 03224 ] [correction]Montrer

u, v > 0, 1 +uv 6 1 + u1 + v

Exercice 10 [ 02097 ] [correction]Montrer a, b, c R, ab+ bc+ ca 6 a2 + b2 + c2.

Exercice 11 [ 02098 ] [correction]Soit a [1,+[. Simplifier

a+ 2

a 1 +

a 2a 1.

Exercice 12 [ 02099 ] [correction]Soit f : R R une application telle que : 1) (x, y) R

2, f(x+ y) = f(x) + f(y)2) (x, y) R2, f(xy) = f(x)f(y)3) x R, f(x) 6= 0

a) Calculer f(0), f(1) et f(1).b) Dterminer f(x) pour x Z puis pour x Q.c) Dmontrer que x > 0, f(x) > 0. En dduire que f est croissante.d) Conclure que f = IdR.


Partie entire

Exercice 13 [ 02100 ] [correction]Montrer que la fonction partie entire est croissante.

Exercice 14 [ 02101 ] [correction]Montrer que x, y R, E(x) + E(y) 6 E(x+ y) 6 E(x) + E(y) + 1.

Exercice 15 [ 02102 ] [correction]Montrer que, pour x, y R, E(x) + E(x+ y) + E(y) 6 E(2x) + E(2y).

Exercice 16 [ 02103 ] [correction]Soit n N? et x R. Montrer que E

(E(nx)n

)= E (x).


Montrer que x R, n N?,n1k=0

E(x+ kn

)= E(nx)

Exercice 18 [ 02105 ] [correction]Soit a 6 b R. Etablir Card([a, b] Z) = E(b) + E(1 a).

Exercice 19 [ 02106 ] [correction]Soit n N?.a) Montrer quil existe (an, bn) N?2 tel que (2 +

3)n = an + bn

3 et

3b2n = a2n 1.b) Montrer que la partie entire de (2 +

3)n est un entier impair.

Borne suprieure, borne infrieure

Exercice 20 [ 02107 ] [correction]Soit

A ={(1)n + 1

n+ 1/n N}

Montrer que A est borne, dterminer inf A et supA.

Exercice 21 [ 02109 ] [correction]Soit A et B deux parties non vides de R telles que (a, b) AB, a 6 b.Montrer que supA et inf B existent et que supA 6 inf B.

Exercice 22 [ 02108 ] [correction]Soit A et B deux parties non vides et bornes de R telles que A B.Comparer inf A, supA, inf B et supB.

Exercice 23 [ 02110 ] [correction]Soient A et B deux parties de R non vides et majores.Montrer que supA, supB et supA B existent et

supA B = max(supA, supB)

Exercice 24 [ 02111 ] [correction]Soient A et B deux parties non vides et majores de R.On forme

A+B = {a+ b/(a, b) AB}Montrer que A+B est majore et

sup(A+B) = supA+ supB

Exercice 25 [ 02113 ] [correction]Pour n N, on pose fn(x) = xn(1 x). Dterminer lim

n+ supx[0,1]fn(x)

Exercice 26 [ 00225 ] [correction]Soit A une partie non vide et minore de R. On pose

m = inf A et B = A ],m+ 1]Montrer que inf B = m.

Exercice 27 [ 02347 ] [correction]Soit f : R2 R. Etablir

supxR

infyR

f(x, y) 6 infyR

supxR

f(x, y)

Exercice 28 [ 02114 ] [correction]Dterminer inf

{(x1 + + xn)

(1x1

+ + 1xn)/x1, . . . , xn > 0

}.


Equations et systmes

Exercice 29 [ 02115 ] [correction]Rsoudre les quations suivantes dinconnue x R :a) x = 2x 1 [1] b) 3x = 2 x [pi] c) nx = 0 [pi] (avec n N?).

Exercice 30 [ 02116 ] [correction]Observer que x = 3

20 + 14

2 + 3

20 142 est solution dune quation de la

forme x3 = x+ avec , R. Rsoudre cette dernire et dterminer x.

Exercice 31 [ 02117 ] [correction]Rsoudre les systmes dinconnue (x, y) R2 :a){x2 + 2y2 = 1x2 + xy = 0

b){x2 + y2 = 12xy = 1

c){x2 = yy2 = x

Exercice 32 [ 02118 ] [correction]Rsoudre les systmes suivants dinconnue (x, y, z) R3 :

a)

x+ 2y z = 1x y + z = 2xyz = 0

b)

x+ 2y z = 1x y + 2z = 23x y + z = 3

c)

x+ y + z = 1x y + 3z = 22x y + z = 3

.


Rsoudre le systme

x ay + z = 2x+ (a+ 1)z = 3x+ ay + 3z = 4

dinconnue (x, y, z) R3, a dsignant un

paramtre rel.

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Corrections

Exercice 1 : [nonc]Soit x un rationnel et y un irrationnel.Par labsurde : Si z = x+ y est rationnel alors y = z x est rationnel pardiffrence de deux nombres rationnels. Or y est irrationnel. Absurde.

Exercice 2 : [nonc]Par labsurde supposons

2 Q. On peut alors crire 2 = p/q avec p, q N? et,

quitte simplifier, p et q de parits diffrentes. On a alors 2q2 = p2.p est ncessairement pair car p2 est pair. Cela permet dcrire p = 2k avec k Npuis q2 = 2k2.Mais alors q est pair. Par suite p et q ont mme parit. Absurde.

Exercice 3 : [nonc] (22)2

=22 = 2

Si22 est rationnel, cest gagn avec a = b =

2. Sinon, on prend a =

22 et

b =2.

Exercice 4 : [nonc]a) La relation f(x+ y) = f(x) + f(y) avec f constante gale C donneC = C + C do C = 0.b) Pour x = y = 0, la relation f(x+ y) = f(x) + f(y) implique f(0) = 0.c) Pour y = x, la relation f(x+ y) = f(x) + f(y) donne 0 = f(x) + f(x) dof(x) = f(x).d) Par rcurrence : n N,x Q, f(nx) = nf(x).Pour n Z, n = p avec p N et f(nx) = f(px) = f(px) = pf(x) = nf(x).e) On peut crire x = p/q avec p Z et q N?.f(x) = f(p 1q ) = pf( 1q ) or a = f(1) = f(q 1q ) = qf( 1q ) donc f( 1q ) = aq puisf(x) = apq = ax.

Exercice 5 : [nonc]On dfinit le nombre x tudi

x:=(2/3+41/81*sqrt(5/3))^(1/3)+(2/3-41/81*sqrt(5/3))^(1/3);

Attention dfinir les racines cubiques par des exposants 1/3 avec parenthses.On peut commencer par estimer la valeur cherche

evalf(x);

Nous allons chercher liminer les racines cubiques. Pour cela on calcule x3

expand(x^3);

Dans lexpression obtenue, on peut faire apparatre x par factorisation du terme(23 +

4124315)1/3(2

3 4124315)1/3

Simplifions ce terme

simplify((2/3+41/243*sqrt(15))^(1/3)*(2/3-41/243*sqrt(15))^(1/3),assume=positive);

On obtient181

(486 + 123

15)1/3 (

486 12315)1/3

Dveloppons selon (a b)(a+ b) = a2 b2

(486^2-123^2*15)^(1/3);

donne 9261. Enfin

ifactor(9261);

permet de conclure que(23 +

4124315)1/3(2

3 4124315)1/3

= 727Ainsi x est solution de lquation

x3 = 43 +79x

En factorisant le polynme sous-jacent


factor(x^3-7/9*x-4/3);

on obtient(3x 4)(3x2 + 4x+ 3) = 0

Puisque 3x2 + 4x+ 3 > 0, on peut conclure

x = 4/3

Exercice 6 : [nonc]On dfinit la suite

H:=n->sum(1/k,k=1..n);

puis on regarde les premiers termes de celle-ci

seq(H(n),n=2..10);

On peut conjecturer que Hn est le rapport dun entier impair par un entier pair.Ceci assurera Hn / Z.Dmontrons la proprit conjecture par rcurrence forte.Pour n = 2, cest immdiat.Supposons la proprit tablie jusquau rang n 1 > 2.Cas n impair.On peut crire n = 2k + 1 et puisque par hypothse de rcurrence Hn1 scrit(2p+ 1)/2q, on obtient Hn = Hn1 + 1/n gale au rapport dun entier impair parun entier pair.Cas n est pair.On peut crire n = 2k avec k > 2 puis Hn = 12Hk + 1 +

13 + + 12k1 .

Par hypothse de rcurrence, Hk est le rapport dun entier impair par un entierpair, donc 12Hk aussi.De plus, comme entrevu dans ltude du cas prcdent, lajout de linverse dunentier impair conserve la proprit.Ainsi Hn est le rapport dun entier impair par un entier impair.Rcurrence tablie.

Exercice 7 : [nonc]a) Lexistence sobtient par la formule du binme de Newton :

an =

062k6n

(n

2k

)2k et bn =

062k+16n

(n

2k + 1

)2k.

Lunicit provient de lirrationalit de2.

b) Par la formule du binme de Newton, (12)n = an 2bn,

a2n 2b2n = (1 +2)n(12)n = (1)n.

c) Lunicit est vidente compte tenu de la stricte croissance de p 7 p+p 1.Si n est pair alors a2n = 1 + 2b2n. Pour p = a2n,(2 + 1)n = an +

2bn =

p+p 1.

Si n est impair alors 2b2n = a2n + 1. Pour p = 2b2n,(2 + 1)n =

2bn + an =

p+p 1.

Exercice 8 : [nonc](a b)2 > 0 donne 2ab 6 a2 + b2

Exercice 9 : [nonc]Compte tenu de la positivit des membres, le problme revient tablir(

1 +uv)2 6 (1 + u)(1 + v)

soit encore2uv 6 u+ v

ce qui dcoule de la proprit (uv)2 > 0

Exercice 10 : [nonc]Sachant 2xy 6 x2 + y2 :ab+ bc+ ca 6 12 (a2 + b2) +

12 (b2 + c2) +

12 (c2 + a2) = a2 + b2 + c2.

Exercice 11 : [nonc]Posons x =

a+ 2

a 1 +

a 2a 1.

On a x2 = 2a+ 2a2 4(a 1) = 2a+ 2(a 2)2.

Si a [1, 2] alors x2 = 2a+ 2(2 a) = 4 donc x = 2.Si a [2,+[ alors x2 = 4(a 1) puis x = 2a 1.

Exercice 12 : [nonc]a) f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) donc f(0) = 0.x R, f(x) = f(1.x) = f(1)f(x)


Comme f est non nulle, on a f(1) = 1.f(1) + f(1) = f(0) = 0 donc f(1) = 1.b) Par rcurrence sur n N : f(n) = n. De plusf(n) = f((1) n) = f(1) f(n) = f(n) = n donc x Z, f(x) = x. Pourx Q, x = pq avec p Z, q N?, f(x) = f(p 1q ) = f(p) f( 1q ). Or f(p) = p et1 = f(1) = f(q 1q ) = f(q) f( 1q ) = q f( 1q ) donc f( 1q ) = 1q . Par suite f(x) = x.c) x > 0, f(x) = f(xx) = (f(x))2 > 0.Pour x, y R, si x 6 y alors f(y) = f(x+ y x) = f(x) + f(y x) > f(x). Ainsif est croissante.d) Pour x R et n N : E(nx)n 6 x < E(nx)+1nComme f est croissante : f(E(nx)n ) 6 f(x) < f(

E(nx)+1n ) puis

E(nx)n 6 f(x) n alors E

(x+ kn

)= q + 1.

Par suiten1k=0

E(x+ kn

)=nr1k=0

E(x+ kn

)+

n1k=nr

E(x+ kn

)= nq + r = m = E(nx).

Exercice 18 : [nonc]Si a / Z alors [a, b] Z = {E(a) + 1, E(a) + 2, . . . , E(b)} doncCard([a, b] Z) = E(b) E(a).Or E(1 a) = 1 + E(a) = E(a) car a / Z doncCard([a, b] Z) = E(b) + E(1 a)Si a Z alors [a, b] Z = {a, a+ 1, . . . , E(b)} doncCard([a, b] Z) = E(b) a+ 1 = E(b) + E(1 a) car 1 a Z.

Exercice 19 : [nonc]a) Par rcurrence sur n N?.Pour n = 1, a1 = 2 et b1 = 1 conviennent.Supposons la proprit tablie au rang n > 1.(2 +

3)n+1 = (2 +

3)(2 +

3)n = (2 +

3)(an + bn

3) = an+1 + bn+1

3

avec an+1 = 2an + 3bn et bn+1 = an + 2bn de sorte que3b2n+1 a2n+1 = a2n + 3b2n = 1.Rcurrence tablie.b) an 1 6 bn

3 < an donc 2an 1 6 (2 +

3)n < 2an donc

E((2 +3)n) = 2an 1.

Exercice 20 : [nonc]n N,1 6 (1)n + 1n+1 6 2 donc A est borne.A est une partie de R non vide et borne donc inf A et supA existent.

n 0 1 2 3 . . .(1)n + 1n+1 2 1 + 12 1 + 13 1 + 14 . . .

.


2 est plus grand lment de A et donc supA = maxA = 2.A est clairement minore par 1 et (1)2p+1 + 12p+2 1 donc il existe une suitedlments de A qui converge vers 1 donc inf A = 1.

Exercice 21 : [nonc]b B on a a A, a 6 b donc A est majore par b.A est une partie de R non vide et majore par b donc supA existe et supA 6 b.B est une partie de R non vide et minore par supA donc inf B existe etsupA 6 inf B.

Exercice 22 : [nonc]A et B sont des parties non vides et bornes de R donc les bornes sup et infconsidres existent.a A, on a a B donc a 6 supB. supB majore A donc supA 6 supB.a A, on a a B donc inf B 6 a. inf B minore A donc inf B 6 inf A.Enfin, puisque A 6= , inf A 6 supA.

Exercice 23 : [nonc]A,B,A B sont des parties de R non vides et majores doncsupA, supB, supA B existent dans R.Pour tout x A B on a x 6 max(supA, supB) donc

sup(A B) 6 max(supA, supB)

Puisque A,B A B on a supA, supB 6 supA B donc

max(supA, supB) 6 supA B

puis lgalit.

Exercice 24 : [nonc]A et B sont deux parties non vides et majores de R donc supA et supB existent.Pour tout x A+B, on peut crire x = a+ b avec a A et b B.On a x = a+ b 6 supA+ supB, donc A+B est majore par supA+ supBA+B est une partie de R non vide et majore donc supA+B existe et

supA+B 6 supA+ supB

Pour tout a A et tout b B, a = (a+ b) b 6 sup(A+B) b donc A estmajore par sup(A+B) b do

supA 6 sup(A+B) bPar suite

b 6 sup(A+B) supAet B est donc major par sup(A+B) supA et par suite

supB 6 sup(A+B) supAFinalement

supA+ supB 6 supA+Bpuis lgalit.

Exercice 25 : [nonc]fn est drivable et f n(x) = nxn1(1 x) xn = nxn1 (n+ 1)xn.

x 0 xn 1fn(x) 0 Mn 0 avec xn =

nn+1 [0, 1] et

Mn = supx[0,1]

fn(x) =(1 1n+1

)n1

n+1 0.

Exercice 26 : [nonc]B A donc inf B > inf A.Il existe une suite (un) dlments de A vrifiant un inf A. A partir dun certainrang un B et donc inf A > inf B.

Exercice 27 : [nonc]infyR

f(x, y) 6 f(x, y0) donc supxR

infyR

f(x, y) 6 supxR

f(x, y0) puis

supxR

infyR

f(x, y) 6 infy0R

supxR

f(x, y0)

Exercice 28 : [nonc]On exploite xixj +

xjxi

= x2i+x

2j

xixj> 2 pour obtenir

(x1 + + xn)(

1x1

+ + 1xn)=

ni,j=1

xixj> n2.

Puisque que pour x1 = . . . = xn = 1 on obtient(x1 + + xn)

(1x1

+ + 1xn)= n2 on peut conclure

inf{(x1 + + xn)

(1x1

+ + 1xn)/x1, . . . , xn > 0

}= n2


Exercice 29 : [nonc]a) x = 2x 1 [1] x = 1 [1] x = 1 [1], S = Z.b) 3x = 2 x [pi] 4x = 2 [pi] x = 12

[pi4], S = {kpi+24 /k Z}.

c) nx = 0 [pi] x = 0 [pin], S = {kpin /k Z}.Exercice 30 : [nonc]x3 = 6x+ 40. 4 est solution apparente de cette quation.x3 6x 40 = (x 4)(x2 + 4x+ 10)Les solutions de lquation sont 4,2 + i6,2 i6. On conclut x = 4.

Exercice 31 : [nonc]a) Si (x, y) est solution alors (2) x(x+ y) = 0 donc x = 0 ou y = x.Si x = 0 alors (1) donne y = 1/2.Si y = x alors (1) donne x = 1/3.Inversement : okFinalement : S = {(0, 1/2), (0,1/2), (1/3,1/3), (1/3, 1/3)}.b) Si (x, y) est solution alors (1) (2) donne (x y)2 = 0 do x = y puis (1)donne x = y = 12 .Inversement : ok. Finalement S = {(1/2, 1/2), (1/2,1/2)}.c) Si (x, y) est solution alors (1) et (2) donnent x4 = x do x = 0 ou x = 1.Si x = 0 alors y = 0. Si x = 1 alors y = 1.Inversement : ok. Finalement S = {(0, 0), (1, 1)}.

Exercice 32 : [nonc]a) Si (x, y, z) est solution alors (3) donne x = 0, y = 0 ou z = 0.Si x = 0 alors y = 3, z = 5. Si y = 0 alors x = 32 , z =

12 . Si z = 0 alors

x = 53 , y = 13 .Inversement : ok. Finalement S = {(0, 3, 5), ( 32 , 0, 12 ), ( 53 , 13 , 0)}.b) S = {( 89 , 49 , 79)}. c) S = {( 54 , 38 , 18)}.Exercice 33 : [nonc]

x ay + z = 2x+ (a+ 1)z = 3x+ ay + 3z = 4

x ay + z = 2ay + az = 1ay + z = 1

x ay + z = 2ay + az = 1(1 a)z = 0

Si a = 1 alors le systme a pour solution les triplets (3 2z, 1 z, z).

Si a 6= 1 alors le systme quivaut

x ay = 2ay = 1z = 0

.

Si a = 0, il ny a pas de solutions.Si a 6= 0, 1 alors le systme possde pour solution unique le triplet (3, 1/a, 0).

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