Upload
edgard-schwartz
View
110
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
NUMERATION
AU CYCLE 3
Bruno Canivenc, IUFM, Université d’Aix-Marseille
PLAN
1) Numération entière du cycle 2 à la classe de
sixième
2) Numération fractionnaire et décimale du
cycle 3 à la classe de sixième
3) Conséquences sur les progressions annuelles
1) Numération entière
du cycle 2 à la classe de sixième
Numération entière du cycle 2 à la sixième
• L’essentiel de la numération entière est construit de la GS au CM2, le collège devra consolider les acquis et introduire quelques autres écritures (2,3 millions en sixième; puissances de 10 et écriture scientifique en quatrième pour les petits et les grands nombres)
• Évaluations : des lacunes dans la compréhension de la valeur des chiffres dans un nombre et dans la maîtrise des grands nombres pour un nombre significatif d’élèves
Numération entière du cycle 2 à la sixième
• Rôle déterminant du cycle 2 dans la construction de la notion de dizaine, centaine, millier d’unités
• Importance de la manipulation effective de matériel de numération pour percevoir la dizaine comme un regroupement de dix unités et comme un tout (idem pour la centaine) et de la verbalisation pour atteindre l’abstraction.
• Regroupement et échange sont complémentaires• Importance de la frise numérique linéaire et du
tableau avec des lignes de dizaines pour s’approprier l’ordre et la régularité dans l’écriture des nombres
Numération entière du cycle 2 à la sixième
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Numération entière du cycle 2 à la sixième
• L’importance de la reconnaissance immédiate est bien connue pour les premiers nombres et souvent travaillée à partir des doigts, de la constellation du dé et parfois d’autres matériels (cartes à 10, boîte de Picbille…)
• La reconnaissance immédiate de paquets de 10 ou de deux paires de mains(je vois 3 paquets de 10 ou 3 paires de mains, on me montre donc 30) est souvent moins systématisée, elle est pourtant une aide précieuse pour reconnaître 35 sans dénombrer les 35 éléments présentés, pour peu qu’on entraîne par ailleurs la récitation de la suite à partir de n et de 10 en 10
Numération entière du cycle 2 à la sixième
• Difficultés dans l’écriture des dizaines 70, 80 et 90 atténuées par l’introduction simultanée des dizaines 60 et 70 d’une part, 80 et 90 d’autre part.
• Penser aussi à l’utilisation des cartons du type de ceux utilisés dans la pédagogie Montessori : carrés des unités, rectangles des dizaines, rectangles plus grands des centaines, etc… qui se placent l’un sur l’autre pour ne pas « perdre » le 0 de la dizaine quand on écrit 64 à partir de 60 et 4, il est seulement caché !
Numération entière du cycle 2 à la sixième
4
6 0
2 0 0
5 0 0 0
Numération entière du cycle 2 à la sixième
Rien ne justifie l’importance accordée dans les manuels et dans les évaluations de classe à la question : « quel est le nombre de dizaines dans 325? »
L’énorme difficulté de vocabulaire plaide pour utiliser longtemps une formulation du type : « combien y a-t-il de paquets de 10? » ou « combien y a-t-il de dizaines en tout? ».
Relations arithmétiques entre nombres
Les programmes énoncent trois types de relations différentes mais complémentaires :
• double, moitié ou demi, triple, quart : ces expressions ne sont pas forcément reliées aux fractions. En effet, elles font appel à des relations fondamentales entre les nombres qui doivent être connues : la moitié de 30 est 15 ; le quart de 80 est 20 ;
• relations entre des nombres d’usage courant : les décompositions additives et multiplicatives des nombres 100, 1 000 doivent faire l’objet d’une attention particulière. Par exemple : 100 = 20 × 5 ; 100 = 4 × 25 ; 100 = 10 × 10 ; 100 = 75 + 25 ; 100 = 50 + 50 ; 25 est le quart de 100 ; 100 : 4 = 25≪ ≫
• la notion de multiple : peut être abordée dès le CE2. Elle permet de mettre en évidence une caractéristique de certains nombres (par exemple, dans 30, il y a 6 ≪fois le nombre 5 ). Le travail sur la division dépend de la qualité de cet ≫apprentissage, bien différent de l’étude de critères de divisibilité qui ne sont pas exigibles.
Les grands nombres
Voir deux extraits du document
« Ressources pour faire la classe,
Le nombre au cycle 3 »
- Lien entre les unités avec la collection d’étoiles organisée dans l’espace, page 17
- Plusieurs techniques de dénombrement d’une collection organisée avec du matériel de numération, page 20
Les grands nombres La contextualisation des grands nombres dans des
domaines disciplinaires divers est indispensable :• les longueurs : distance Paris/New York : 5 828 km (environ 6 000 km),
distance Paris/Sydney : 16 970 km, distance moyenne Terre/Lune : 384 400 km, distance moyenne Terre/Soleil : 149 600 000 km ;
• les aires : superficie de la France : 551 695 km2 (soit 551 695 millions de m2, ou 551 695 000 000 m2), superficie du Portugal : 91 950 km2 ;
• les masses : masse de déchets électriques, en France, en 2007 : 172 800 tonnes
• le temps : apparition des algues : il y a 450 000 000 d’années, apparition des
plantes à fleurs : il y a 120 000 000 d’années, nombre de secondes en une semaine : 604 800 secondes ;
• la monnaie : prix d’un avion (exemple de l’Airbus A380… à ce jour) :
218 385 000 euros, montant du Smic..
• mais aussi en géographie : population de Marseille, de la France, de l’Union Européenne, de la Terre
Numération entière du cycle 2 à la sixième
Repères pour la progressivité des apprentissages
CP CE1
Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 100
Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20
Écrire une suite de nombres dans l’ordre croissant ou décroissant
Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 1 000
Repérer et placer ces nombres sur une droite graduée, les comparer, les ranger, les encadrer
Écrire ou dire des suites de nombres de 10 en 10, de 100 en 100, etc.
Numération entière du cycle 2 à la sixième
Repères pour la progressivité des apprentissagesCE2 CM1
Les nombres entiers jusqu’au million
Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au million
Comparer, ranger, encadrer ces nombres
Connaître et utiliser des expressions telles que : double, moitié ou demi, triple, quart
Connaître et utiliser certaines relations : entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30 et 60
Les nombres entiers jusqu’au milliard
Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard
Comparer, ranger, encadrer ces nombres
La notion de multiple : reconnaître les multiples des nombres d’usage courant : 5,10, 15, 20, 25, 50
Numération entière du cycle 2 à la sixième
Le programme de la classe de sixième, dans la partie » Nombres et Calculs » détaille les capacités suivantes:
- Connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture d’un entier ou d’un décimal
- Associer diverses désignations d’un nombre décimal : écriture à virgule, fractions décimales
- Comparer deux nombres entiers ou décimaux, ranger une liste de nombres
- Encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres
- Placer un nombre sur une demi-droite graduée
- Lire l’abscisse d’un point ou en donner un encadrement
- Donner une valeur approchée décimale d’un décimal à l’unité, au dixième, au centième près.
Numération entière du cycle 2 à la sixième
Le programme de sixième précise en commentaires :
- l’objectif est d’assurer une bonne compréhension de la valeur des chiffres en fonction du rang qu’ils occupent dans l’écriture à virgule, sans refaire tout le travail réalisé à l’école élémentaire
- La bonne compréhension s’appuie sur le sens et non sur les procédures
- Les procédures utilisées pour comparer, encadrer, intercaler des nombres sont justifiées en s’appuyant sur la signification des écritures décimales ou le placement des points sur une demi-droite graduée
2) Numération fractionnaire et décimale du cycle 3 à la classe de sixièmea) continuité cycle 3 / sixièmeb) quelle introduction au CM1?c) quelle étude au CM2?d) calcul avec les décimaux
a) Continuité du cycle 3 à la classe de sixième
• Programmes du cycle 3 et du collège conçus et écrits dans une vraie continuité pour l ’étude de la numération fractionnaire et décimale
• Choix déjà fait depuis plusieurs programmes est réaffirmé : le nombre décimal se construit mieux sur le long terme s ’il est introduit à partir des fractions décimales (mais cette construction est difficile et longue !)
a) Continuité du cycle 3 à la classe de sixième
Extrait du document d ’accompagnement « Nombres » du programme de collège :
« A l ’école primaire, les fractions sont introduites en
vue d ’aider à la compréhension des nombres
décimaux : des fractions simples sont d’abord
utilisées (dénominateurs 2, 4 ou 5), mais ce sont les
fractions décimales qui sont véritablement visées
de façon à pouvoir interpréter, par exemple 2,405
comme ou » 1000
5
10
42
1000
4052
a) Continuité du cycle 3 à la classe de sixième
« Dans ce but, les fractions sont définies en référence au
partage de l ’unité, soit dans des situations de mesure
(longueurs, aires…) soit dans des situations de repérage
de points sur une ligne graduée régulièrement. Une
fraction comme évoque ce qui est obtenu en
partageant l ’unité en 4 parts égales et en reportant 7
de ces parts, ce qui correspond d ’ailleurs à la lecture
« sept quarts ». c ’est 7 fois le quart de l ’unité. »
4
7
4
7
« Au collège, dès la classe de sixième, l ’écriture fractionnaire prend une autre signification : c ’est le quart de 7 (donc représentée en reportant 7 fois l ’unité, puis en partageant ce qui est obtenu en 4 parts égales) et c ’est aussi le nombre qui, multiplié par 4 donne 7 (4 x = 7 ) . L ’équivalence entre ces deux significations (7 fois un quart et le quart de 7) ne va pas de soi…et doit faire l ’objet de justifications en sixième... »
a) Continuité du cycle 3 à la classe de sixième
4
7
4
7
a) Continuité du cycle 3 à la classe de sixième
Des capacités du programme de sixième :
- connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l ’écriture d ’un entier ou d ’un décimal ;
- associer diverses désignations d ’un nombre décimal : écriture à virgule, fractions décimales ;
- comparer des nombres entiers ou décimaux, ranger une liste de nombres ;
- encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres ;
- placer un nombre sur une demi-droite graduée ;
- lire l ’abscisse d ’un point ou en donner un encadrement
b) Quelle introduction au CM1?
• La première question à se poser est :
Qu’est-ce qui va permettre à des élèves de 9 ou 10 ans de comprendre que cette écriture fractionnaire mystérieuse correspond à un nombre?
• Pour le moment, les seuls nombres connus sont les nombres entiers et on a rencontré les demis et les quarts en apprenant à lire l ’heure.
• De nouveaux objets mathématiques (fractions au CM1, radicaux en quatrième…) prennent lentement le statut de nombres…mais comment?
b) Quelle introduction au CM1?
Ces nouveaux objets acquerront progressivement le statut de nombre. Il faudra comprendre des propriétés qui permettent de les caractériser, en rupture ou en continuité avec les nombres connus et en abordant les pôles suivants :
- utilité dans des situations de mesure
b) Quelle introduction au CM1?
Ces nouveaux objets acquerront progressivement le statut de nombre. Il faudra comprendre des propriétés qui permettent de les caractériser, en rupture ou en continuité avec les nombres connus et en abordant les pôles suivants :
- utilité dans des situations de mesure
- utilité pour se repérer sur une droite
b) Quelle introduction au CM1?
Ces nouveaux objets acquerront progressivement le statut de nombre. Il faudra comprendre des propriétés qui permettent de les caractériser, en rupture ou en continuité avec les nombres connus et en abordant les pôles suivants : :
- utilité dans des situations de mesure
- utilité pour se repérer sur une droite
- possibilité de les comparer entre eux et avec les nombres déjà connus
b) Quelle introduction au CM1?
Ces nouveaux objets acquerront progressivement le statut de nombre. Il faudra comprendre des propriétés qui permettent de les caractériser, en rupture ou en continuité avec les nombres connus et en abordant les pôles suivants :
- utilité dans des situations de mesure
- utilité pour se repérer sur une droite
- possibilité de les comparer entre eux et avec les nombres déjà connus
- possibilité d ’effectuer des calculs
b) Quelle introduction au CM1?
D ’où la progression proposée :• introduction à partir de partage en parts égales de
disques, rectangles…• utilisation d ’une bandelette unité (de longueur 7cm
par exemple) pour mesurer la longueur de segments
ou ou • exercices de comparaisons, de classements de
segments en fonction de leur longueur
• découverte de la possibilité d ’écritures différentes de
la même mesure, par exemple et
u2
1 uu4
31 uu
2
12
uu2
11 u
2
3
b) Quelle introduction au CM1?
• transport de la bandelette-unité marquée avec les plis (quarts, demis) sur une droite que l’on gradue et sur laquelle on va commencer à lire l’abscisse de points et à placer des points d’abscisse donnée et se familiariser avec le fait que correspond au même point que 1, que correspond au même point que 2...
• rencontre éventuelle avec les tiers et les neuvièmes, au moins sur la droite graduée
• reprise d ’un travail de mesure de longueurs avec une bandelette-unité partagée en 10 parts égales, de comparaisons et classements, graduation d’une droite
4
4
4
8
b) Quelle introduction au CM1?
• introduction souhaitable des centièmes, toujours à partir de mesure de longueurs,
• puis graduation d ’une droite à l ’aide de dixièmes et centièmes, lecture d ’abscisses de points, placement de points
• introduction du grand carré unité partagé en 100 carrés. Chaque petit carré représente , chaque ligne représente à la fois et .
• familiarisation avec le codage sur ce carré des fractions inférieures à 1 ( )puis supérieures à 1
100
1
100
10
10
1
100
23
b) Quelle introduction au CM1?
b) Quelle introduction au CM1?
• ce support, permettant de coder toutes les fractions, inférieures ou supérieures à 1(avec un carré unité ou plusieurs carrés unités), sera utilisé pour décomposer des écritures comme :
mais aussi
• on introduira alors la convention d’écriture avec la
virgule, écriture commode inventée au 17ème
siècle : peut aussi s ’écrire 1,23 qui
se lit « 1unité et 23 centièmes » ou « 1 unité 2
dixièmes et 3 centièmes » ou « 1 virgule 23 ».
100
231
100
123 100
3
10
21
100
123
100
3
10
21
100
123
b) Quelle introduction au CM1?
C’est le carré unité qui sera le support pour comparer
et et permettre le passage de
l ’écriture fractionnaire à l ’écriture à virgule. Pour
écrire avec l ’écriture à virgule , je colorie
d ’abord 200 petits carrés, donc je remplis
complètement 2 grands carrés unités et aussi 5 lignes
(donc 5 dixièmes ) et 7 petits carrés (donc 7
centièmes). Ce nombre s ’écrit donc aussi: 2,57. Un
affichage permanent montrera un exemple de passage
d ’une écriture à l ’autre (dans les deux sens)
100
257
10
3
100
27
b) Quelle introduction au CM1?
• une fois l ’écriture à virgule introduite, on va prolonger le tableau de la numération entière en rajoutant les colonnes et (et on ne pourra se contenter d ’écrire en lettres « dixièmes » et « centièmes », l ’écriture fractionnaire est indispensable longtemps)
• et on va à nouveau reprendre la droite graduée pour travailler le lien entre 1,2 et , entre 0,7 et , entre 2 et . Même chose avec les centièmes
• il reste à comparer et ranger des nombres en écriture à virgule, en se limitant à des nombres au même format
10
1
100
1
10
12
10
7
10
20
c) Quelle étude au CM2?
• On ne répète pas l’étude du CM1, on reprend l ’étude en proposant des exercices sur la droite graduée avec des nombres en écriture fractionnaire ou à virgule, on reprend les grands carrés unités de 100 carreaux pour le passage d’une écriture à l’autre, on poursuit les comparaisons et les rangements de nombres au même format, on dicte des nombres lors des séances de calcul mental
• On introduit les millièmes et les dix-millièmes. On prolonge encore le tableau de la numération et on reprend les mêmes types d ’exercices que ceux faits avec les dixièmes et les centièmes
c) Quelle étude au CM2?
• On va consolider des capacités autour de la décomposition d ’un nombre en écriture fractionnaire sous la forme de la somme d ’un entier et d’une fraction inférieure à 1et poursuivre la systématisation du passage d ’une écriture à une autre, l ’encadrement d ’une fraction entre deux entiers consécutifs, l ’addition de fractions de même dénominateur
• On va poursuivre le travail sur la droite graduée, les comparaisons et rangements de nombres décimaux et on décomposera un nombre décimal sous la forme :
23,475 = 2x10 + 3x1 + 4x0,1 + 7x0,01 + 5x0,001
d) Calcul avec les décimaux
• Le programme de l’école élémentaire n’est pas très raisonnable et semble privilégier le travail de la technique au détriment d’un travail préalable sur le sens de l’opération et la compréhension de la technique
• La multiplication de décimaux ainsi que la division décimale d’entiers et la division d’un décimal par un entier sont massivement échouées à l’entrée en sixième et sont reprises en classe de sixième, tant pour le sens que pour la technique
• La division de deux décimaux n’est enseignée qu’en classe de cinquième.
3) Conséquences sur
les progressions annuelles
3) Conséquences sur les progressions annuelles
• Les acquisitions sur la numération entière sont lentes et progressives pour de nombreux élèves : laissons-leur le temps nécessaire . Il est difficile en sixième de revenir sur ces apprentissages maîtrisés par la grande majorité des élèves alors que le programme fait la part belle aux écritures fractionnaires et à virgule.
• Le calcul mental apporte une aide précieuse pour les apprentissages de numération et donne l’occasion de les entretenir
3) Conséquences sur les progressions annuelles en numération au CM1 et au CM2
• les apprentissages en numération sont nombreux et nécessitent beaucoup de temps
• les apprentissages en calcul sont nombreux au CM1:
- addition et soustraction de deux décimaux, - multiplication d ’un décimal par un entier, - division décimale de deux entiers (!)
• il faut laisser du temps pour tous ces apprentissages (numération et calcul), d ’où la nécessité de débuter l ’étude des fractions tôt dans l ’année
3) Conséquences sur les progressions annuelles en numération au CM1 et au CM2
• Il s’agit donc de ne pas traiter toute la numération entière avant d ’aborder la numération fractionnaire et décimale. Il est inutile de savoir lire et écrire un grand nombre tel que 20 030 051 007 pour comprendre ce qu’est un dixième…
• Au CM1, à la rentrée, réactiver et consolider des capacités autour de la compréhension de la valeur des chiffres dans l ’écriture d ’un nombre, comparer des entiers et dès octobre/novembre, aborder les fractions.
• Double but : prendre du temps pour enseigner fractions et décimaux et en avoir pour le calcul en fin d’année
3) Conséquences sur les progressions annuelles en numération au CM1 et au CM2
• Bloc « numération entière » fractionnée en trois parties, dont une en fin d ’année, une fois les décimaux introduits
• Penser à entretenir les capacités acquises en numération entière quand on traite la numération fractionnaire ou décimale et vice-versa : le calcul mental est un bon moyen !
3) Conséquences sur les progressions annuelles en numération au CM1 et au CM2
• Les nombres connus sont les nombres entiers, fractionnaires et décimaux : on reprend leur étude dès le début de l ’année, sans « organiser » l ’oubli du travail fait par les collègues de CM1et on alterne des temps de travail autour de la numération entière et des temps, plus nombreux, autour de la numération fractionnaire et décimale.
• Pendant tout le CM2, on continue de travailler l ’articulation écriture fractionnaire/écriture à virgule qui sera encore au cœur de la progression de la classe de sixième
En guise de conclusion...
En guise de conclusion…(1)
• Les compétences en numération se construisent durablement à plusieurs conditions :
- les élèves comprennent le système d ’écriture
- les nombres sont des outils pour résoudre des problèmes
-on effectue des calculs avec les nombres et, en particulier, du calcul mental
• Il y a interaction entre la construction des compétences en calcul mental et des compétences en numération
En guise de conclusion…(1)
• Les compétences en numération se construisent durablement à plusieurs conditions :
- les élèves comprennent le système d ’écriture
- les nombres sont des outils pour résoudre des problèmes
-on effectue des calculs avec les nombres • Il y a interaction entre la construction des
compétences en calcul mental et des compétences en numération
En guise de conclusion…(2)
• Le programme de la classe de sixième n’a pas accru les exigences en calcul : il revient longuement sur la multiplication de deux décimaux, dont seule la technique est à peu près maîtrisée (et encore…), mais que la majorité des élèves sont incapables d ’utiliser en situation de résolution de problème. Il revient longuement sur la division décimale de deux entiers et d ’un décimal par un entier. Ces deux opérations sont en cours d ’acquisition en fin de CM2
• Ce n’est qu’en cinquième qu’est abordée la division de deux décimaux.
En guise de conclusion…(3)
• Le programme de la classe de sixième consacre encore beaucoup de temps aux capacités étudiées au CM1 et au CM2 sur la décomposition canonique d ’un nombre, sur le passage d ’une écriture à l’autre, sur la graduation d’une droite, sur la comparaison de décimaux. Il considère que « donner une valeur approchée au dixième, au centième… d’un décimal » n’est pas une compétence exigible du socle commun en fin d’année.
Le message est clair :
privilégier la compréhension !
Éléments bibliographiques
• « Le nombre au cycle 3 », MEN 2013 • « Le nombre au cycle 2 », MEN 2011• Noirfalise et Matheron : « Enseigner les
mathématiques à l ’école primaire, tome 2 », Vuibert 2009
• « Activités numériques au cycle 3», Outils pour les cycles, Sceren 2001. Idem au cycle 2
• Les collections Cap Maths, Pour comprendre les maths, Euro Maths et toujours Ermel …
• Le programme de la classe de sixième……