TD 4 - Exercice 3 - Splines cubiques

Objectif :Trouver un polynome qui passe par 2 pts etdont on fixe les valeurs des dérivées en ces points .

F- tape 1 ( Question 1)chercher P de degré f3 tel que

en x = a : P (x : a) = 1 et P'

( x :a) = 0

en a :b P (x = b) = 0 et P'

( x : b) =O

P n ( P est noté Pais par la suite)"

Ïqµ )x

a

Rem : on prend PE Mz ( x) pour avoir 4 coefficients pourles 4 conditions sur P

,qui s' écrirait

P ( x ) = au t un x t azi t az ai

Ici on réfléchit en regardant les conditions sur P :

Pl b) :O ⇒ P (x ) = ( x - b) R, Ix ) où R.t Raté

Et P'

(b) = 0 ⇒ Plat = (x - b)'R (x ) où R C- Rr LA

avec R (x ) = du tp d,B TIR

Il faut déterminer ± et ¥ telque les 2 conditions

pas encoreutilisées soient satisfaites ,

c'est à dire :

t' (a) = 1 et t' (a) = 0

Rem : Plat = la - b)'

( xxtp )

P'tit : 2K - b) lxxtps ) + (x - blaOn voit qu' on a bien t' (b) :O et l' (b) :O

• Plat = 1 = ) ( a- b)'

( da tp ) = 1

• t' (a) = 0 =) 2 la - b) lxatp ) + (a -bit :O

avec a # b. Ces 2 conditions forment un système d' inconnues

* a tp = Ka - b) adetp .

{zlxatp ) + la - bla --0

⇐ s ad t B = % - bl?

{( 3A - b) d t 213 = 0

⇒ Zax - ( 3 a- b) x t 213/-2/13=1 la c- 2h - lz(a-b)

2{ a- b)a- 43--0

⇐ s

{alla -3A + b) -

_¥, ⇒ xlb - al Ça ,2ps = - ( 3A -Hd (

p :{ ( b- 3 a) d

⇒ a =L

(b- apet p =

1¥

(b-ai

=) Plat = ( x - b)?

( La + B)

Plat = (x - b l' (s-3a)

(b- ap

et en développant :

P lait[Ép ( 2x? _ Hath ) ait Oabxtlb -3 a) b)

notation danspas satisfait Pas (a) = 1 et Plais la ! "

l' énoncébien { pays (b) = 0 et t'qblb ) :O

Etape 2 ( Question ) : On cherche QE Rz (x) tel que

{ d' la ) --1 et Qlat :O

Q'

(b) = 0 et Q (b) = O

Q n ( Q est noté Qqb par la suite )⇒

f.TT "tangente a

de pente égale à 1

Qlq 1=0

QUI :O } ⇒ Qlx ) : la - a) (x - b)'

a,XER

Q'

(b) = 0

& est telque Q

'

(a) = 1 ( la dernière condition pas encore

QKI : la - b)'

a + (x - a) × z (x.b) autilisée )

⇒ Q'

(a) = (a- b l' a = 1 ⇒ D= 1

⇒ Qlx ) =

(x - a) ( x. b)2

la -312

-

noté Qqblnl dans l' énoncé .

(a - b l'

Etape 3 ( Questions ) : On cherche SE Rzlt) tel que

• en a -_ a : S (a) = x et s' (a) = x'

x. t' en finis• en x :b : S (b) =p et s' (b) =p

'

19,13'ER fixés

D- d' etp 'sont des nombres réels donné et ne sont pas les

dérivées de xetp . . . 5 /

^n ← pente ps

B -- - -

- - - - - - - oe

×÷.•

i il l

/ 1 a >

a b X

(

pente à

On construit 5 grace aux polynômes Pais et Qa,b .

④ Pour satisfaire les conditions en x : a

On définit Sap (x ) = d Pa,bla ) + d' Qa

,bla )

qui satisfaitsa

,b (a) = d Pais (a) + d' Qa

,bla ) = d

- -

1 0

s'ais (a) = & Plais (a) t d

'

Q'

ais (a) = d'

--

O 1

Rey : Sa,b (b) = 0 et s'a. b (b) = 0

et sa,b me satisfait pas les conditions requises en x :b .

⑦ Pour satisfaire les conditions en ai :b

On construit Pb,a

à partir de Pais en échangeant aetb .

=) Pb,a satisfait Pb

,a (b) -

_

1 et Pfa (b) :OPb,a (a) = 0 et P'pa (a) = 0

(x -b) (x - al'

similairement : Qb,al" ) :

(b. a)2

satisfait Qb,a (b) = 0 et Q ! a (b) = 1

Qb,a (a) = 0 et Qb

,a (a) :O

On définit Spa (x ) =p Ppa (x ) tp'

Qb,alu ) qui satisfait :

Sb,a (b) = p Ps

,a (b) tp

'

Qb,a(b) =p

- -

1 0

s'b. a (b) = pria (b) tp

' QI,a(b) =p

'

- -

O 1

mais ne modifie rien en ai = a un

Sb,a (a) = 0 et s'

b. a (a) =0grace aux

propriétés de Pb,a

et Qb,

aen ai -- O

⑤ Il me reste alors qu' a construire S comme

S (x ) = Sais 44 t Sb,a 44

S (x) = d Pais (x ) t d' Qa , b txt t p Ps, a lxlt M' Qb, a 44--

satisfait les conditions satisfait les conditionsen ai = a sans affecter en x =

boum affectece qui se passe en ai :b ce qui se passe en x

-

_ a.