TD m? 3 - exercice 3

1) Pour comprendre⑦ Nuage de 3 points : N = ( " i i Yi ) itw ,

2,} modèle

initial⑦ modèle : f44 = 1-

art b

Y a schématiquement

¥ËË...0 1 2

a) modèle linéaire par rapport aux paramètresExemple de la droite :

ff4 = au + b = a fa KI t bfblx )

où : fa : x h x et fb : x h 1

f n' écrit comme une combinaison linéaire ( c. L . ) dans laquelle :.les coefficients a et b sont les coefficients de la C. L

.

•les fonctions fa et fb ne contiennent pas de paramètresà déterminer

Ici : f44 =1- n' a pas

cette structurea) ltb

b) ylnl : ¥,

= axtb ( transformation du modèle initial )

le modèle transformé yest une C. L des fonctions

fa et fb : il a la bonne structure

problème transformé :.modèle transformé y°

. Nuage transformé : Ny

c) Initial Transformé

{ . modèle f -4 . modèle y• nuage N . nuage Ny

y ( x ) = ¥ ,: si inchangés ( abscisses )

y changent ( ordonnées )

( xiiyi ) → lui, ¥ )

N → Ny( 0,11 - l 0,1 )

( 1% ) → ( 1 ,3)

14%1 → le, a)

⇒ N'y

: ( 0,11,11,3 )

,12

,6)

nuage transformé

d) Problème transformé { j'y

"

! ! µ.»

,vos

options :r ) Formules de régression linéaire4 Système des équations normales

Option 2 :

⑦ contraintespour que

le modèle passe exactement parles points :

Vittel, 2,3J ylkil = y i

Oat b = 1

{ % :L : ; ⇐ s Faxai ! ! ) Ati )et Y = § )

le système des équations normales est ( ttF) A =tfy

§ ! )tpf est :

''FF : ( op ? } ) ( { § ) . carrie

• symétrique

TFY

:( ç ; ; )( Ê ) "

inversible- - -

à montrer

tt10Système des équations normales

résonnons :X :) :(%)1%1 l'⇒ toit hum

. "

⇐s bb : 5,b : Tg

{ Ja +36--15 es Ja : 15-34=15 - ¥ : 90 = ¥

on trouve donc

a = É

A :( Il-

- foi :( ¥;)et ya -

- fait Êmodèle transforméoptimal pour Ny

Rem : en suivant le cours

F.

(la " ' bb (x )

|où fa KI ± 0

%! Haut:X"

zet × :( § )

et fb K ) :

µ )avec fb : au 1

1

⇒ E-

% ! )e) Retour au problème initial : trouver ff4

On obtient ftp.yfz , ( transformation qui permet de

car ylx ) = 1revenir au problème initial )

fkl

⇒ ff4 =

1 modèle initial

Êxtz optimal pourN

2) Un cas classique bien utile

Problème initial Problème transformé• Nuage ( ti ,Vili c-Gary . Nuage (Xiii ) ich .

.- il•modèle Ult ) = Va e-tri . modèle yln ) = axtb

Trouver vu et T Trouvera et b

a) transformation { Y = enpupyp.enlultlllun.it )

doncy = lnluoe.tt/=lnluoI+ln ( e

-

%)= lnluo ) t f-¥ ) =

-Êttbnluo )⇒ ylxl = axtb en posant a : - Ê et bien ( Ua )

( context

b) transformation du modèle :

( t, ULHI → (x -- t

, ylx ) -_ yltl -_ lnlulhl )

transformation des points :

( ti , vit → ( xi -- ti, y en lui ) )

=) nuage transformé :

( " iiyilic.gr/..s-y--ltiilnlUillieLy..s- y

c) Système des équations normales (tFF1 A = TFY

"

ï: """

ËËË.it?i::!::l⇒ l : : i. HÏË⇐ - tu :pRex : . ÊÎÉ alien luit = - 2.78 ( moyenne des xiln lui ) )

• ÊÎÉ,

ln ( vit = 0.17 ( moyenne des en lui 1)

solutions : ( ab )-

- fait :( %:L" )Modèle transformé optimal ylx ) = a

*x t E- - 0.41×+1.4

d) On déduit de la question (a) :

{a =

-%

b.- ln ( Vo )

queT =

- Va et va =eb

Ainsi,

le modèle initial optimal est obtenu pour

t' = - Ya * = 2.43 et UE =eb? 4.06

c'est à dire Ultl = 4.06 exp ( ¥z )