Vibrations et Ondes Mécaniques - cu-elbayadh.dz · Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA Page 2 Avvaannt-pprrooppooss Le présent polycopié de cours, intitulé : « Vibrations et Ondes Mécaniques

Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA Page 1

𝑹é𝒑𝒖𝒃𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝑨𝒍𝒈𝒆𝒓𝒊𝒆𝒏𝒏𝒆 𝑫é𝒎𝒐𝒄𝒓𝒂𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒕 𝑷𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒊𝒓𝒆

𝑴𝒊𝒏𝒊𝒔𝒕é𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒍′𝑬𝒏𝒔𝒆𝒊𝒈𝒏𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒆𝒖𝒓 𝒆𝒕 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑹𝒆𝒄𝒉𝒆𝒓𝒄𝒉𝒆

𝑺𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒊𝒇𝒊𝒒𝒖𝒆

Centre universitaire : Nour Bachir-EL Bayadh

Institut : des sciences

Département : Technologie

Domaine : ST

POLYCOPIE :

Vibrations et Ondes Mécaniques

Module : PHYSIQUE 03

Niveau : 2eme Année Licence

Présenté Par :

Dr. BOUZOUIRA Nour Eddine

Année Universitaire : 2017/2018


AAvvaanntt--pprrooppooss

Le présent polycopié de cours, intitulé : « Vibrations et Ondes Mécaniques »

(physique 3) est élaboré et présenté en conformité au canevas relatif à la

formation Licence LMD-S3 dans le domaine ‘’ Science de la matière (SM) et

Science et Technologie (ST)’’.

Ce cours est structuré en deux parties :

La première, répartie en Cinq chapitres, traite le problème des vibrations. Le

premier chapitre porte sur l’utilisation du formalise de Lagrange qui décrit

les oscillations des systèmes physiques. L’étude des oscillations linéaires (de

faible amplitude) libres des systèmes à un degré de liberté est présentée

dans le deuxième chapitre. Le troisième chapitre traite le mouvement amorti

qui prend en compte les forces de frottements de viscosité proportionnelles

à la vitesse du mobile. La notion de résonance consacrée aux oscillations

forcées est présentée au quatrième chapitre. Le cinquième chapitre présente

les vibrations aux plusieurs degrés de liberté.

La deuxième partie, que constituent les deux derniers chapitres, est

consacrée au traitement des phénomènes de propagation des ondes.

Le cours présenté avec un enchaînement logique, chaque nouveau concept

défini est clarifié par des exemples simples et utiles, une série de problèmes

venant enrichir le cours, le tout a été réalisé avec l’esprit de permettre une

meilleure assimilation par l’étudiant.

Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA


Sommaire

Avant Propos……..................................................................................................................2

PREMIERE PARTIE : VIBRATIONS

CHAPITRE .1 . Généralité sur les oscillations.) ...............................................................6

Définition d’une oscillation (Vibration) ..............................................................................6

1.1.1Exemples……………………………………………………………………………….6

1.2 Définition d’un mouvement périodique ............................................................................6

1.2.1 Exemples .......................................................................................................................7

1.3 La représentation complexe ...............................................................................................7

1.3.1 Exemples ........................................................................................................................7

1.4 Superposition des grandeurs périodique ............................................................................7

1.4.1 Grandeurs sinusoïdal de même pulsation........................................................................ 7

1.4.2 Exemples ....................................................................................................................... 8

1.4.3 Grandeurs sinusoïdal de même amplitude ...................................................................... 8

1.4.4 Exemple ...........................................................................................................................8

1.4.5 Grandeurs sinusoïdales quelconques .............................................................................. 8

1.4.6 Exemples ......................................................................................................................... 8

1.5 Définition des sériés de fourrier ......................................................................................... 8

1.5.1 Cas des fonctions paires et impaires ................................................................................ 9

1.5.2 Exemple ...........................................................................................................................9

CHAPITRE .2 . Systèmes linéaires libres à un degré de liberté .........................................10

2.1 Oscillateurs libres ................................................................................................................10

2.2 Oscillateur harmonique ...................................................................................................... 10

2.2.1 Exemples .......................................................................................................................... 10

2.3 Pulsation propre d’un oscillateur harmonique .................................................................... 10

2.3.1 Exemples ..........................................................................................................................11

2.4 L’énergie d’un oscillateur harmonique ............................................................................... 11

2.4.1 Exemple ............................................................................................................................12

2.5 Condition d’équilibre .......................................................................................................... 12

2.5.1 Exemple ........................................................................................................................... 13

2.6 Equation de Lagrange (1788) .............................................................................................13

2.6.1 Exemple ........................................................................................................................... 13

2.6.2 Exercices .......................................................................................................................... 14

CHAPITRE.3. Systèmes linéaires libres amortis à un degré de liberté...............................16

3.1 Force d’amortissement ........................................................................................................ 16

3.2 Equation de Lagrange des systèmes amortis ....................................................................... 16

3.3 Equation du mouvement des systèmes amortis ................................................................... 16

3.4 Résolution de l’équation du mouvement ............................................................................ 17

3.5 Décrément logarithmique .................................................................................................... 18

3.5.1 Exemples .......................................................................................................................... 18

3.5.2 Exercices .......................................................................................................................... 19

CHAPITRE.4. Systèmes linéaires forcés à un degré de liberté ..........................................21

4.1 Force d’excitation............................................................................................................... 21

4.2 Equation de Lagrange des systèmes forcés .................................................................. 21

4.3 Equation du mouvement des systèmes forcés......................................................................21

4.4 Résolution de l’équation du mouvement .............................................................................21

4.5 Résonance ............................................................................................................................22


4.6 Bande passante et facteur de qualité ................................................................................... 23

4.6.1Exercices ........................................................................................................................... 25

CHAPITRE.5. Systèmes linéaires forcés à plusieurs degrés de liberté .............................. 27

5.1 Degrés de libertés................................................................................................................ 27

5.2 Systèmes libres à deux degrés de libertés ................................................................... 27

5.2.1 Equation du mouvement.................................................................................................... 27

5.2.2 Modes propres (normaux) ................................................................................................ 27

5.3 Système forces a deux degrés de libertés ............................................................................28

5.3.1 Equations de mouvement ................................................................................................. 28

5.3.2 Résonance et antirésonance ............................................................................................. 29

5.3.3 Impédance d’entrée et de transfert ...................................................................................30

5.3.4 Exercices .......................................................................................................................... 31

DEUXIEME PARTIE : ONDES MECANIQUES

CHAPITRE.6. Généralité sur le phénomène de propagation ............................................ 34

6.1 Rappel théorique.................................................................................................................. 34

6.2 Applications ........................................................................................................................ 37

CHAPITRE.6. Propagation d’ondes mécaniques dans différents milieux ....................... 41

7.1 Rappel théorique.................................................................................................................. 41

7.2 Applications ........................................................................................................................ 42

Références bibliographiques ……………………………………………………….48

Liste des figures

Figure 6.1 Propagation d’une onde mécanique ........................................................................ 34

Figure 6.2 Onde longitudinal................................................................................................... 35

Figure 6.3 Onde transversale ..................................................................................................35

Figure 6.4 Mouvement circulaire à la surface d’eau ............................................................. 35

Figure 6.5 phénomène de diffraction est caractéristique des ondes. ................................. 36

Figure 6.6 Expérience de Young ..............................................................................................37

Figure 6.7 ondes émises par deux hauts parleurs ...............................................................37


PARTIE I :

Vibrations

Chapitre 1 : Généralité sur les oscillations


1.1 Définition d’une oscillation (Vibration)

On appelle oscillation, un mouvement qui s’effectue de part et d’autre d’une position d’équilibre. (Par vibration, on désigne les oscillations rapides des systèmes mécaniques.)

1.1.1 Exemples

a) Masse-ressort b) Circuit électrique oscillant c) cylindre flottant dans un liquide

1.2 Définition d’un mouvement périodique Un mouvement est dit périodique s’il se répète identique a lui-même pendant des

intervalles de temps égaux. Le plus petit intervalle de répétition est appelé période

(notée T, mesurée en secondes s.) le nombre de répétitions par seconde est appelé

fréquence (notée f, mesurée en Hertz ou s-1.) Elle est reliée à la période par

𝑓 =1

𝑇 (1.1)

Le nombre de tours par seconde est appelé pulsation (notée ω, mesurée en rad/s.)

𝜔 = 2𝜋𝑓 =2𝜋

𝑇 (1.2)

Mathématiquement, la périodicité s’exprime par 𝑔(𝑡 + 𝑇) = 𝑔(𝑇) .Une grandeur

périodique est dite Sinusoïdale lorsqu’elle est de la forme 𝑔(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) .A est

appelée amplitude, ω : la pulsation, φ : la phase initiale. Parmi les grandeurs physiques

étudiées des systèmes oscillants, on trouve :

• Le déplacement 𝑥.

• L’angle𝜃.

• La charge𝑞.

• Le courant𝑖.

• La tension𝑈.

• Un champ𝐸.

1.2.1 Exemple


𝑎) Soit la grandeur périodique 𝑔(𝑡) représentée ci-contre.

𝑇 = 2𝑠. 𝑓 =1

𝑇= 0,5𝐻𝑧.

𝜔 = 2𝜋𝑓 =𝜋𝑟𝑎𝑑

𝑠.

1.3 La représentation complexe

Pour faciliter les calculs, nous transformons les grandeurs sinusoïdales en des

exponentielles qui sont plus simples à manipuler. Ceci possible grâce à la formule d’Euler

(1748)

cos 𝜃 + 𝑗 sin 𝜃 = 𝑒𝑗𝜃 𝑗2 = −1 (1.3)

1.3.1 Exemples

𝑏) Soit un condensateur et un courant 𝑖(𝑡)=𝐼0 cos𝜔𝑡.

Trouver l’impédance complexe 𝑍𝑐 =𝑢𝑐

𝑖 . 𝑅𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙: 𝑢𝑐 =

𝑞

𝑐=

∫ 𝑖𝑑𝑡

𝑐. 𝐶𝑎𝑟 𝑖 =

𝑑𝑞

𝑑𝑡.

{𝑖(𝑡) = 𝐼0 cos𝜔𝑡 → 𝑖(𝑡) = 𝐼0𝑒

𝑗𝜔𝑡.

𝑢𝑐(𝑡) =∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡

𝑐→ 𝑢𝑐(𝑡) =

∫ 𝐼0𝑒𝜔𝑡𝑑𝑡

𝑐=

𝐼0𝑒𝑗𝜔𝑡

𝑗𝑐𝜔=

𝑖

𝑗𝑐𝜔.⇒ 𝑧𝑐 =

𝑢𝑐

𝑖=

𝑖

𝑗𝑐𝜔𝑖=

1

𝑗𝑐𝜔.

𝑐) Soit une bobine 𝐿 et un courant 𝑖(𝑡) = 𝐼0 cos𝜔𝑡.

Trouver l’impédance complexe 𝑧𝐿 =𝑢𝐿

𝑖. Rappel : 𝑢𝐿 = 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡.

{

𝑖(𝑡) = 𝐼0 cos𝜔𝑡 → 𝑖(𝑡) = 𝐼0𝑒𝑗𝜔𝑡.

𝑢(𝑡) =𝑑𝑖

𝑑𝑡→ 𝑢(𝑡) = 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡= 𝐿

𝑑(𝐼0𝑒𝑗𝜔𝑡)

𝑑𝑡= 𝑗𝐿𝜔𝐼0𝑒

𝑗𝜔𝑡 = 𝑗𝐿𝜔𝑖⇒ 𝑧𝐿 =

𝑢𝐿𝑖=𝑗𝐿𝜔𝑖

𝑖= 𝑗𝐿𝜔

1.4 Superposition des grandeurs périodique

L’addition de deux ou plusieurs grandeurs de même nature est appelée superposition.

1.4.1 Grandeurs sinusoïdales de même pulsation

La superposition de deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation ω est une

grandeur sinusoïdale de pulsation ω.

1.4.2 Exemple


𝑎) Soit les deux grandeurs sinusoïdales : 𝑔1(𝑡) = √2 cos(3𝑡 −𝜋

4) et 𝑔2(𝑡) = √2 sin(3𝑡 +

𝜋).

√2 cos(3𝑡 −𝜋

4) +√2 sin(𝜔𝑡 + 𝜋). → √2𝑒

𝑗(𝜔𝑡− 𝜋

4) + 𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝜋−

𝜋

2) = (√2𝑒

−𝑗𝜋

4 + 𝑒𝑗𝜋

2) 𝑒𝑗𝜔𝑡 =

1. 𝑒𝑗𝜔𝑡 = cos(𝜔𝑡) 𝐷𝑜𝑛𝑐. 𝐴 = 1. 𝜑 = 0.

1.4.3 Grandeurs sinusoïdales de même amplitudes

La superposition de deux grandeurs sinusoïdales de même amplitude est une

grandeur sinusoïdale à amplitude modulée si les deux pulsations sont différentes.

1.4.4 Exemple

Soit les deux grandeurs sinusoidales: 𝑔1(𝑡) = 𝑎 cos𝜔1𝑡 , 𝑔2(𝑡) = 𝑎 cos𝜔2𝑡.

La superposition est : 𝑔1(𝑡) = 𝑎 cos𝜔1𝑡 + 𝑔2(𝑡) = 𝑎 cos𝜔2𝑡.

= 2𝑎 cos(𝜔1−𝜔22

𝑡) cos(𝜔1 + 𝜔2

2𝑡)

1.4.5 Grandeurs sinusoïdales quelconques.

La superposition de deux grandeurs sinusoïdales de pulsations différentes ω1 et ω2 ne

sera une grandeur périodique que si le rapport entre leur périodes est un nombre

rationnel : 𝑇1

𝑇2=

𝑛

𝑚 . La période résultante est le plus petit multiple commun : 𝑇 = 𝑚𝑇1 =

𝑛𝑇2.

1.4.6 Exemple

𝑎) Soit les deux grandeurs sinusoïdales : 𝑔1(𝑡) = 5 cos(5𝑡 + 2) , 𝑔2(𝑡) = 2 cos(7𝑡 + 3).

Leur superposition est : 5 cos(5𝑡 + 2) + 2 cos(7𝑡 + 3).

Comme 𝑇1

𝑇2=

2𝜋/5

2𝜋/7=

𝑛

𝑚 est un nombre rationnel

( 𝑛 = 7 ,𝑚 = 5 ), 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑢𝑟 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒

𝑇 = 𝑚2𝜋

5= 𝑛

2𝜋

7= 2𝜋𝑠.

1.5 Définition des séries de fourrier

Il est possible d’exprimer une grandeur périodique par une somme de sinus et de

cosinus qui sont plus simples à manipuler physiquement et mathématiquement. Cette

somme est appelée série de fourrier (1807).

La série de Fourier d’une fonction f (t) périodique de période T, est définit par :


𝑓(𝑡)= a0 + ∑ 𝑎𝑛 ∞𝑛=1 cos(𝑛𝜔𝑡)+ ∑ 𝑏𝑛

∞𝑛=1 sin(𝑛𝜔𝑡). (1.4)

• Le a0 , les 𝑎𝑛 , et les 𝑏𝑛 sont appelée les coefficients de Fourier.

• La pulsation ω= 2𝜋

𝑇 est appelée la pulsation fondamentale.

• Les pulsations supérieures 𝑛𝜔 (multiple de ω) sont appelées les harmoniques.

• Les coefficients de Fourier sont définit par :

a0 = 1

𝑇 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑇

0 , 𝑎𝑛 =

2

𝑇 ∫ 𝑓(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡)𝑑𝑡𝑇

0 , 𝑏𝑛 =

2

𝑇 ∫ 𝑓(𝑡) sin(𝑛𝜔𝑡)𝑑𝑡𝑇

0 (1.5)

• Le graphe de 𝑎𝑛 et 𝑏𝑛 (et parfois √𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛2 ) en fonction de 𝑛𝜔 est appelé le

spectre de la fonction.

1.5.1Cas des fonctions paires et impaires

• Fonctions paires : Une fonction est dites paire si 𝑓 (−1) = 𝑓 (𝑡).

Dans la série de Fourier des fonctions paires, il n’y a que les termes en cosinus

et parfois la constante a0 qui est la valeur moyenne de la fonction : 𝑏𝑛 = 0 .

• Fonctions impaires : Une fonction est dite impaire si 𝑓 (−𝑡) = − 𝑓(𝑡).

Dans la série de Fourier des fonctions impaires, il n’y a que les termes en sinus :

a0 = 𝑎𝑛 = 0.

1.5.1 Exemple

1. La période de la fonction est T=2s.

2. 𝑎0 =1

𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =

1

2[∫ 1. 𝑑𝑡𝑇

0+ ∫ (−𝑡 + 2)𝑑𝑡

2

1]

𝑇

0=

3

4.

𝑎𝑛 =2

𝑇∫ 𝑓(𝑡) cos

2𝜋𝑛𝑡

𝑇𝑑𝑡

𝑇

0

=2

2[∫ cos 𝜋𝑛𝑡𝑑𝑡 + ∫ (−𝑡 + 2)𝑑𝑡 cos 𝜋𝑛𝑡𝑑𝑡

2

1

1

0

]

=cos 𝜋𝑛 − 1

𝜋2𝑛2=(−1)𝑛 − 1

𝜋2𝑛2= {

0 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟−2

𝑛2𝜋2 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟.

𝑏𝒏 =2

𝑇∫ 𝑓(𝑡) sin

2𝜋𝑛𝑡

𝑇𝑑𝑡

𝑇

0

=2

2[∫ sin 𝜋𝑛𝑡𝑑𝑡 + ∫ (−𝑡 + 2) sin 𝜋𝑛𝑡𝑑𝑡

2

1

1

0

]

=1

𝜋𝑛.


𝐷𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑡 , 𝑓(𝑡) =3

4+ ∑

(−1)𝑛−1

𝜋2𝑛2cos 𝑛𝜔𝑡 +∞

𝑛=1

∑1

𝜋𝑛sin 𝑛𝜔𝑡 𝑙𝑒 𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑟𝑎 ∞

𝑛=1 pris comme étant le graphe des an et bn

en fonction de 𝑛𝜔.

Chapitre 2. Systèmes linéaires libres à un degré de liberté.

2.1 Oscillateurs libres

Un système oscillant en absence de toute force d’excitation, est appelé oscillateur libre.

Le nombre des grandeurs indépendantes intervenant dans le mouvement est appelée

degré de liberté.

2.2 Oscillateur harmonique

En mécanique, on appelle oscillateur harmonique qui, dés qu’il soit écarté de sa position

d’équilibre d’une distance 𝑥 (ou angle 𝜃), est soumis à une force de rappel opposée et

proportionnelle à l’écartement 𝑥 (ou 𝜃) :

𝐹 = −𝐶𝑥. (2.1)

𝐶 : Une constante positive

2.2.1 Exemples

𝑎) Le système masse-ressort ci-contre est un oscillateur harmonique car la

force de rappel est 𝑇 = −𝑘𝑥.

𝑏) La force de rappel du pendule simple est 𝐹𝜃 = −𝑚𝑔 sin 𝜃. Le pendule

devient un oscillateur harmonique lorsque 𝜃 ≪ 1: 𝐹𝜃 = −𝑚𝑔 sin 𝜃 ≈ −𝑚𝑔𝜃.

2.3 Pulsation propre d’un oscillateur harmonique

L’équation du mouvement d’un oscillateur harmonique est linéaire et de la forme

𝑞 ̈ + 𝜔02𝑞 = 0 (2.2)

(En mécanique 𝑞 = 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 , 𝜃 , 𝜑 , … En électricité = 𝑖 , 𝑢 , 𝑞 , … ).

L’équation horaire 𝑞 (𝑡) (solution de (2.2)) est de la forme :

𝑞 (𝑡) = 𝐴 sin(𝜔0 + 𝜑 ) (2.3)

ω0 est appelée pulsation propre car elle ne dépend que des grandeurs propres à

l’oscillateur.


L’amplitude A et la phase φ dépendant des conditions initiales.

2.3.1 Exemples

𝑎) Trouver à l’aide du PFD l’équation du mouvement du système ci-contre.

- Calculer sa pulsation propre pour 𝑚 = 1𝑘𝑔 𝑒𝑡 𝑘 = 3𝑁/𝑚.

- Trouver l’amplitude 𝐴 et la phase ∅ sachant qu’initialement la

masse est poussée 2𝑐𝑚 vers le bas puis lancée vers le haut à une

vitesse de 2𝑐𝑚/𝑠.

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛

- PFD en équilibre : ∑ �⃗� = 0⃗⃗ ⇒ 𝑚�⃗� + 𝑇 ⃗⃗⃗⃗ = 0 ⃗⃗⃗ ⃗⇒ 𝑚𝑔 − 𝑘𝑧0 = 0.

PFD en mouvement : ∑ �⃗� = 𝑚�⃗� ⇒ 𝑚�⃗� + �⃗⃗� = 𝑚�⃗� ⇒ 𝑚𝑔 − 𝑘(𝑧 + 𝑧0) = 𝑚𝑧.̈

Grace à l’équation d’équilibre𝑚𝑔 − 𝑘𝑧0 = 0, l’équation du mouvement se

simplifie : �̈� +𝑘

𝑚𝑧 = 0.

• La pulsation propre est 𝜔0 = √𝑘

𝑚= √3 rad/s.

• L’équation horaire est : 𝑧(𝑡) = 𝐴 sin( √3𝑡 + ∅). Utilisons les conditions

initiales pour trouver 𝐴 et ∅ :

{𝑧(0) = 𝐴 sin∅ = 2𝑐𝑚

𝑧(0) = 𝐴√3̇ cos ∅ = −2𝑐𝑚 /𝑠⇒ {

𝑡𝑎𝑛∅ = −√3 ⇒ ∅ =2𝜋

3

𝐴 =2

sin∅≈

2

0.87≈ 2,3𝑐𝑚

𝑏) Trouver à l’aide de la loi des mailles l’équation du mouvement de la charge 𝑞 dans le

circuit ci-contre, puis déduire la pulsation propre 𝜔0.

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 : La loi des mailles s’écrit :

𝑢𝑐 +𝑢𝐿 = 0 ⇒𝑞

𝑐+ 𝐿

𝑑𝑖

𝑑𝑡= 0 ⇒ �̈� +

1

𝐿𝑐𝑞 = 0.

La pulsation propre est donc 𝜔0 =1

√𝐿𝑐.

2.4 L’énergie d’un oscillateur harmonique

L’énergie d’un oscillateur harmonique est la somme de ses énergies cinétiques et

potentielles :

𝐸 = 𝑇 + 𝑈 (2.5)

• L’énergie cinétique de translation d’un corps de masse 𝑚 et de vitesse 𝑣 est

𝑇𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 1

2 𝑚𝑣2 . Pour une bobine 𝑇 =

1

2 𝐿𝑖2 . (2.6)

• L’énergie cinétique de rotation d’un Corps de moment d’inertie 𝐼∆ autour

d’un axe ∆ et de vitesse angulaire �̇� est

𝑇𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 1

2 𝐼∆ �̇�

2 (2.7)


• L’énergie potentielle d’une masse 𝑚 dans un champ gravitationelle constant

𝑔 est : 𝑈𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 = 𝑚𝑔ℎ . Lors d’une ascension d’une hauteur ℎ (2.8)

• 𝑈𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 = −𝑚𝑔ℎ . Lors d’une descente d’une hauteur ℎ (2.9)

• L’énergie potentielle d’un ressort à boudin de raideur 𝑘 lors d’une

déformation 𝑑 est :

𝑈𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡 = 1

2 𝑘𝑑2. Pour un condensateur 𝑈 =

1

2 1

𝐶 𝑞2. (2.10)

• L’énergie potentielle d’un ressort de torsion de raideur 𝑘 lors d’une

déformation 𝜃 est :

𝑈𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡 = 1

2 𝐾𝜃2. (2.11

Remarque : L’énergie totale 𝐸 = 𝑇 + 𝑈 est conservée (constante) durant le mouvement :

𝑑𝐸

𝑑𝑡= 0. (2.12)

Cette équation de conservation donne l’équation du mouvement des systèmes

conservés.

2.4.1 Exemple

𝑇 =1

2𝑚�̇�2. 𝑈 =

1

2𝑘(𝑧 + 𝑧0)

2 −𝑚𝑔(𝑧 + 𝑧0).

=1

2𝑘𝑧2 + 𝑘𝑧0𝑧 − 𝑚𝑔𝑧 −𝑚𝑔𝑧0 +

1

2𝑘𝑧0

2 Grâce à la condition d’équilibre

𝑚𝑔 − 𝑘𝑧0 = 0 , on a 𝑘𝑧0𝑧 − 𝑚𝑔𝑧 = 0. 𝑈 se simplifie alors en 𝑈 =1

2𝑘𝑧2 −𝑚𝑔𝑧0 +

1

2𝑘𝑧0

2

=1

2𝑘𝑧2 + 𝐶𝑡𝑒 .

𝐸 =1

2𝑚�̇�2 +

1

2𝑘�̇�2 + 𝐶𝑡𝑒 .

𝑑𝐸

𝑑𝑡= 0 ⇒ 𝑚�̇��̈� + 𝑘𝑧�̇� = 0 ⇒ �̈� +

𝑘

𝑚𝑧 = 0. qui est bien l’équation

du mouvement trouvée à l’aide du PFD.

2.5 Condition d’équilibre

La condition d’équilibre est 𝐹 = 0. si l’équilibre est en 𝑥 = 𝑥0 , on écrit 𝐹 ⃒𝑥= 𝑥0= 0.

Pour une force dérivant d’un potentiel ( − 𝜕𝑈

𝜕𝑥 ) , la condition d’équilibre s’écrit :

𝜕𝑈

𝜕𝑥 ⃒𝑥= 𝑥0 > 0. (2.13)


L’équilibre d’un système est stable si, une fois écarté de sa position d’équilibre, il ya

retourne. Le système retourne a son équilibre si 𝐹 est une force de rappel. Puisque 𝐹 =

−𝐶𝑥. on aura une force de rappel si 𝐶 > 0.

Comme = − 𝜕𝐹

𝜕𝑥=

𝜕2𝑈

𝜕𝑥2 , la condition d’équilibre stable s’écrit :

𝜕2𝑈

𝜕𝑥2 ⃒𝑥= 𝑥0 > 0. (2.14)

Cette condition est aussi une condition d’oscillation.

L’équilibre d’un système est instable si le système ne regagne pas son équilibre lors d’un

écartement, c.-à-d. si 𝐶 < 0. la condition d’équilibre instable s’écrit donc :

𝜕2𝑈

𝜕𝑥2 ⃒𝑥= 𝑥0 <0. (2.15)

(pour les rotation, (2.13), (2.14), et (2.15) deviennent 𝜕𝑈

𝜕𝜃 ⃒𝜃= 𝜃0 > 0. ,

𝜕2𝑈

𝜕𝜃2 ⃒𝜃= 𝜃0 > 0.

𝜕2𝑈

𝜕𝜃2 ⃒𝜃= 𝜃0 < 0.)

2.5.1 Exemple

Trouver les positions d’équilibre et leur nature pour le système ci-contre.


L’énergie potentielle lors d’un écartement 𝜃 de la verticale est :

𝑈 = −𝑚𝑔ℎ = −𝑚𝑔(𝑙 − 𝑙 cos 𝜃). Les positions d’équilibre sont données par 𝜕𝑈

𝜕𝜃 0.

𝜕𝑈

𝜕𝜃= 0 ⇒ −𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 = 0 ⇒ sin 𝜃 = 0.

Les positions d’équilibres sont donc : 𝜃 = 0 𝑜𝑢 𝜃 = 𝜋.

∗ 𝜕2𝑈

𝜕𝜃2 ⃒𝜃=0 = −𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 ⃒𝜃=0 = −𝑚𝑔𝑙 < 0 ∶ 𝜃 =

0 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑′é𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒.

∗ 𝜕2𝑈

𝜕𝜃2 ⃒𝜃=𝜋 = −𝑚𝑔𝑙 cos 𝜃 ⃒𝜃=𝜋 = 𝑚𝑔𝑙 > 0 ∶ 𝜃 = 𝜋 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑

′é𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒.

2.6 Equation de Lagrange (1788)

L’équation de Lagrange (appelée aussi équation d’Euler-Lagrange) est :

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝑞= 0. (2.16)


𝐿 = 𝑇 − 𝑈 est appelé le Lagrangien

L’équation de Lagrange donne aussi directement l’équation du mouvement.

(Pour les translations𝑞 = 𝑥 , 𝑦 , 𝑧. Pour les rotations 𝑞 = 𝜃 , 𝜑 , … En électricité 𝑞 = 𝑞. )

2.6.1 Exemple

𝑇 =1

2𝑚�̇�2. 𝑈 =

1


Le lagrangien est : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 =1

2𝑚�̇�2 −

1


L’équation du mouvement est donc :

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝑧= 0 ⇒

𝑑

𝑑𝑡(𝑚�̇�) + 𝑘𝑧 = 0 ⇒ �̈� +

𝑘

𝑚𝑧 = 0.

Qui est bien l’équation obtenue à l’aide du PFD puis à l’aide de l’équation de conservation.

2.6.2 Exercices

Exercice n° 1 :

On considère les trois systèmes mécaniques de la figure ci-contre.

La masse m peut coulisser sans frottement sur le plan horizontal.

1- Trouver le ressort équivalent pour chaque système.

2- Déduire l’énergie potentielle U pour chaque système.

3- Trouver l’énergie mécanique E pour chaque système.

4- A l’aide de l’équation de conservation, trouver l’équation du mouvement, et la

pulsation propre de chaque système.

Exercice n° 2 :

Deux ressort de même raideur K ont une longueur a vide l0 ˂ d0 .une

masse m reliée a leur extrémités peut coulisser sans frottement sur l’axe

X’O X.

1- Trouver l’énergie potentielle U du système en fonction de x.

2- Monter que pour les petits mouvements (x « d0) U s’écrit :

U = K [(1 – l0 / d0) x2 + (d0 – l0)2].

3- Trouver l’énergie cinétique T puis l’énergie Totale E = T + U du

système.

4- Trouver l’équation du mouvement a l’aide de l’équation de conservation et la

pulsation propre ω0 du système.


Exercice n° 3 :

Une tige de longueur totale L+l et de masse négligeable, porte a son

extrémité supérieure une masse ponctuelle m. l’autre bout de la tige est relié a un

ressort de raideur k. Celui-ci n’était pas déformée a l’équilibre et supposé rester

horizontal lors des petits mouvements. La tige peut tourner librement autour du

point O. a l’équilibre la tige était verticale.

1- Trouver l’énergie potentielle U et l’énergie cinétique T du système si

et (sin 𝜃 ≈ 𝜃 , cos 𝜃 ≈ 1 −𝜃2

2). .

2- Trouver l’équation du mouvement et la pulsation propre ω0 ; soit avec l’équation

de Lagrange, soit avec l’équation de la conservation de l’énergie totale.

3- Trouver la condition d’oscillation du système.

Exercice n°4 :

Une masse m est suspendue par un fil inextensible et non glissant enroulé

autour d’un disque de masse M. Le disque, pouvant tourner librement autour de

son centre, est suspendu par un ressort de raideur k.

1. Calculer l’énergie potentielle U du système en fonction de z.

2. Déduire l’allongement z0 du ressort a l’équilibre puis simplifier U.

3. Trouver l’énergie cinétique T du système.

4. Trouver le lagrangien L et déduire l’équation du mouvement.

5. Trouver la pulsation propre ω0. (A.N; m = 1 kg, k=44N, M= 1kg).

Exercice n°5 :

Deux disque de taille différents et relies par un fil non glissant et inextensible,

peuvent tourner librement autour de leurs axes fixes. Le grand disque porte a sa

périphérie une masse ponctuelle m. A l’équilibre la masse était a la

verticale (représenter en pointillé).

1. Trouver l’énergie cinétique T et l’énergie potentielle U du

système en termes de la variable

2. Déduire le lagrangien puis l’équation du mouvement et la pulsation propre ω0 .

3. Ecrire l’équation de conservation de l’énergie et retrouver l’équation du

mouvement.


Exercice n° 6 :

La tige de longueur l (masse négligeable) peut tourner sans frottement autour de

son axe en O. A l’équilibre la tige était horizontale. Les boules sont ponctuelles.

1. Remplacer les deux ressort par un seul ressort équivalent de raideur k,

puis trouver l’énergie potentielle U du système en fonction de .

2. Ecrire la condition d’équilibre et déduire l’allongement z0 a l’équilibre du

ressort équivalent. Simplifier U a l’aide de la condition d’équilibre.


4. Trouver le lagrangien et déduire l’équation du mouvement, puis la pulsation

propre ω0.

Chapitre 3. Système linéaire libres amortis à un degré de liberté.

3.1 Force d’amortissement.

Un système soumis à un frottement est dis amorti. Le frottement le plus simple est le

frottement visqueux. Les frottements visqueux sont de la forme

𝑓 = −𝛼𝑣 (3.1)

Est une Constante positive appelé coefficient de frottement et 𝑣 est la

vitesse du corps en mouvement. En mécanique, l’amortissement est

schématisé par : la vitesse 𝑣 est dans ce cas la vitesse relative des deux bras de

l’amortissement.

3.2 Equation de Lagrange des systèmes amortis

S’il existe un frottement 𝑓 = −𝛼�̇� , l’équation de Lagrange devient :

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝑞= −𝛼�̇�. En introduisant la fonction de dissipation 𝐷 =

1

2𝛼�̇�2 , nous pouvons

écrire : 𝑓 = −𝛼�̇�2 = − 𝜕𝐷

𝜕�̇� . (En translation 𝐷 =

1

2𝛼𝑣2 =

1

2 𝛼�̇�2 . En électricité 𝐷 =

1

2𝑅𝑖2 =

1

2 𝑅�̇�2 . ) L’équation de Lagrange des systèmes amortis s’écrit alors (où 𝑞 =

𝑥 , 𝑦 , 𝑧 , 𝑞 , 𝜃 …)

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝑞= −

𝜕𝐷

𝜕�̇� . (3.2)

3.3 Equation du mouvement des systèmes amortis

L’équation du mouvement des systèmes linéaires amortis par 𝑓 = −𝛼�̇� est de la forme

�̈� + 2𝛿�̇� + 𝜔02𝑞 = 0. (3.3)


Est appelé facteur (ou coefficient, ou constante) d’amortissement. 𝜔0 est la pulsation

propre.

𝜔0

2𝛿= 𝑄 est appelé facteur de qualité.

(Parfois, l’équation 3.3 est écrite sous la forme �̈� + 𝛾�̇� + 𝜔02𝑞 = 0. )

3.4 Résolution de l’équation du mouvement

La solution de l’équation (3.3) est de la forme 𝑞 (𝑡) = 𝐴𝑒𝑟𝑡 . En injectant ceci dans (3.3)

on obtient 𝑟2𝐴𝑒𝑟𝑡 + 2𝛿𝑟𝑒𝑟𝑡 + 𝜔02𝑒 𝑟𝑡 = 0 ⇒ 𝑟2 + 2𝛿𝑟 + 𝜔0

2 = 0

appelé l’équation caractéristique. On distingue alors trois cas suivant le signe du

discriminant réduit

∆́= 𝛿2 − 𝜔02 .

𝛿2 − 𝜔02 > 0 : (amortissement important : 𝑄 < 0,5 )

Deux solutions réelles pour l’équation caractéristique {𝑟1 = −𝛿 − √𝛿2 − 𝜔0

2.

𝑟2 = −𝛿 + √𝛿2 − 𝜔02.

Le mouvement résultant est 𝑞 (𝑡) = 𝐴1𝑒𝑟1 𝑡 + 𝐴2𝑒

𝑟2 𝑡 , soit :

𝑞 (𝑡) = 𝑒−𝛿𝑡 ( 𝐴1𝑒−√𝛿2− 𝜔0

2 𝑡+ 𝐴2𝑒

−√𝛿2− 𝜔02 𝑡 ). (3.4)

Le mouvement est dit apériodique.

• 𝛿2 − 𝜔02 = 0 : (amortissement critique : 𝑄 = 0,5 )

Une solution double pour l’équation caractéristique : 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟 = −𝛿 .

Le mouvement résultant est :

𝑞 ( 𝑡 ) = ( 𝐴1 + 𝐴2 𝑡)𝑒𝑟𝑡. (3.5)

Le mouvement est dit en régime critique


• 𝛿2 − 𝜔02 < 0 : (amortissement faible : 𝑄 > 0,5 )

Deux solutions complexes pour l’équation caractéristique :

{𝑟1 = −𝛿 − 𝑗√ 𝜔0

2 − 𝛿2.

𝑟2 = −𝛿 + 𝑗√𝜔02 − 𝛿2.

Le mouvement résultant est 𝑞 (𝑡) = 𝐴1𝑒𝑟1 𝑡 + 𝐴2𝑒

𝑟2 𝑡 , soit :

𝑞 (𝑡) = 𝐴𝑒−𝛿𝑡 cos( 𝜔𝑡 + 𝜑 ) (3.6)

Le mouvement est dit pseudo- périodique. 𝜔 = √𝜔02 + 𝛿2 est appelé pseudo-

pulsation.

𝑇 = 2𝜋

𝜔=

2𝜋

√𝜔02− 𝛿2

est appelé pseudo période.

3.5 Décrément logarithmique

Pour évaluer la diminution exponentielle de l’amplitude du mouvement pseudo-

périodique, nous utilisons le logarithme. Le rapport 𝛿 = 𝑙𝑛𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡+𝑇) (ou encore

1

𝑛𝑙𝑛

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡+𝑛𝑇) ) :

est appelé le décrément logarithmique. En utilisant (3.6), on trouve 𝛿 = 𝑙𝑛𝐴𝑒−𝛿𝑡

𝐴𝑒−𝛿(𝑡+𝑇)

⇒ 𝐷 = 𝛿 𝑇 (3.7)

3.5.1 Exemples

𝑎) Soit le système masse-ressort ci-contre. Trouver l’équation du mouvement d’abord

avec le Lagrangien puis avec PFD.

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎) Soit le système masse-ressort ci-contre. Trouver

l’équation du mouvement d’abord avec le Lagrangien puis avec PFD.


• A l’aide du Lagrangien :

Le Lagrangien est : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 =1

2𝑚�̇�2 −

1

2𝑘𝑥2. 𝐷 =

1

2𝛼�̇�2.

L’équation de Lagrange s’écrit alors : 𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝑥= −

𝜕𝐷

𝜕�̇� ⇒𝑚�̈� + 𝑘𝑥 = −𝛼�̇� ⇒ �̈� +

𝛼

𝑚�̇� +

𝑘

𝑚𝑥 =0.

• à l’aide du PFD : ∑ �⃗� = 𝑚�⃗� ⇒ �⃗⃗� + 𝑚�⃗� + �⃗⃗� + 𝑓 = 𝑚�⃗�

⇒ −𝑘𝑥𝑖 − 𝑚𝑔𝑗 + 𝑅𝑗 − 𝛼�̇�𝑖 = 𝑚�̈�𝑖


Par projection sur 𝑥′𝑂𝑥 ∶ −𝑘𝑥 − 𝛼�̇� = 𝑚�̈� ⇒ �̈� +𝛼

𝑚�̇� +

𝑘

𝑚𝑥 = 0.


Le Lagrangien est : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 =1

2𝑚�̇�2 −

1

2𝑘𝑥2. 𝐷 =

1

2𝛼�̇�2.

L’équation de Lagrange s’écrit alors : 𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝑥= −

𝜕𝐷

𝜕�̇� ⇒𝑚�̈� + 𝑘𝑥 = −𝛼�̇� ⇒ �̈� +

𝛼

𝑚�̇� +

𝑘

𝑚𝑥 =0.

• à l’aide du PFD : ∑ �⃗� = 𝑚�⃗� ⇒ �⃗⃗� + 𝑚�⃗� + �⃗⃗� + 𝑓 = 𝑚�⃗�

⇒ −𝑘𝑥𝑖 − 𝑚𝑔𝑗 + 𝑅𝑗 − 𝛼�̇�𝑖 = 𝑚�̈�𝑖

Par projection sur 𝑥′𝑂𝑥 ∶ −𝑘𝑥 − 𝛼�̇� = 𝑚�̈� ⇒ �̈� +𝛼

𝑚�̇� +

𝑘

𝑚𝑥 = 0.

𝑏) Soit le système disque-ressort ci- contre. 𝜃 ≪ 1. Trouver l’équation du

mouvement si 𝑀 = 1𝑘𝑔 , 𝑘 = 2 𝑁/𝑚 , 𝑅 = 10𝑐𝑚 , 𝑟 = 5𝑐𝑚 , 𝛼 = 8𝑁𝑠/𝑚.


𝐿 = 𝑇 − 𝑈. 𝑇 =1

2𝐼/0�̇�

2 =1

2(1

2𝑀𝑅2) �̇�2. 𝑈 =

1

2𝑘(𝑅𝜃)2.

𝐿 = 1

2(1

2𝑀𝑅2) �̇�2 −

1

2𝑘(𝑅𝜃)2 𝐷 =

1

2𝛼𝑣𝐵

2 =1

2𝛼(𝑟�̇�)2.

L’équation de Lagrange nous donne alors l’équation du mouvement :

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝜃= −

𝜕𝐷

𝜕�̇�⇒

1

2𝑀𝑅2�̈� + 𝑘𝑅2𝜃 = �̈� +

2𝛼𝑟2

𝑀𝑅2 �̇� +

2𝑘

𝑀𝜃=0.

3.5.2 Exercices

Exercice n° 1 :

Soit le système amorti ci- contre. A l’équilibre la tige était verticale (en pointillé) et

le ressort au repos. Le fil autour du disque est inextensible et non

glissant.


2. Trouver l’énergie potentielle U en fonction de (θ « 1).

3. Trouver le lagrangien et la fonction de dissipation D.

4. Déduire l’équation du mouvement.


Exercice n°2 :

Soit le système amorti ci-contre. A l’équilibre le ressort K1 était comprimé et K2

allongé chacun d’une distance y0.

1. Trouver l’énergie cinétique T et potentielle U du système.

2. Simplifier U a l’aide de la condition d’équilibre.

3. Trouver le lagrangien et la fonction de dissipation D.

4. Déduire l’équation du mouvement.

Exercice n°3 :

En tournant le disque ci-contre peut monter et descendre grâce au fil non

glissant et inextensible enroulé autour du sillon circulaire de rayon r.

à l’équilibre le ressort k était comprimé d’une distance y0.

L’amortisseur α représente les frottements.


2. Trouver l’énergie potentielle U en fonction de y.

3. Simplifier U a l’aide de la condition d’équilibre.

4. Trouver le lagrangien et la fonction de dissipation D. et Déduire

l’équation du mouvement.

5. Sachant que M = 2kg , R = 50 cm , r = 25cm k = 10N/m , trouver la

va leur maximal que le coefficient α ne doit pas atteindre pour

que le système oscille.

6. Avec un amortisseur de coefficient α = 5 N.m-1 , le système oscille mais son

amplitude diminue au cours du temps. Trouver le temp τ nécessaire pour

que l’amplitude diminue a ½ de sa valeur.

7. Calculer le décrément logarithmique.

Exercice n°4 :

Soit le circuit électrique ci-contre.

1. Trouver à l’aide de la loi des mailles l’équation du mouvement de

la charge q dans le circuit.

2. Déduire l’équation différentielle du courant i.

3. Déduire l’équation différentielle de la tension UL aux bornes de L.


Chapitre 4. Systèmes linéaire forcés à un degré de liberté

4.1 Force d’excitation

Pour vaincre les frottements responsables des pertes d’énergie et des ralentissements des

systèmes en mouvements, il faut appliquer une force externe qu’on appelle excitation.

4.2 Equation de Lagrange des systèmes forcés

Si en plus du frottement 𝑓 = −𝛼�̇� , il existe une force d’excitation externe 𝐹 ( 𝑡 ) ,

l’équation de Lagrange s’écrit :

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝑥= −

𝜕𝐷

𝜕�̇�+ 𝐹 ( 𝑡 ) (En translation) (4.1. 𝑎)

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�) −

𝜕𝐿

𝜕𝜃= −

𝜕𝐷

𝜕�̇�+ ℳ ( 𝑡 ) (En rotation. ℳ est le moment de la force𝐹.) (4.1. 𝑏)

4.3 Equation du mouvement des systèmes forcés

L’équation du mouvement des systèmes linéaires amortis par 𝑓 = −𝛼�̇� et excités par

𝐹 ( 𝑡 ) est de la forme ( 𝑎 est une constante)

�̈� + 2𝛿�̇� + 𝜔02𝑞 =

𝐹 ( 𝑡 )

𝑎. (4.2)

4.4 Résolution de l’équation du mouvement

La résolution de l’&équation (4.2) est très simple pour une excitation sinusoïdal 𝐹 ( 𝑡 ) =

𝐹0 cos𝜔𝑡. Dans ce cas ( 4.2 ) s’écrit : �̈� + 2𝛿�̇� + 𝜔02𝑞 =

𝐹0

𝑎 cos𝜔𝑡. La solution générale

de cette équation est : 𝑞 ( 𝑡 ) = 𝑞𝑇( 𝑡 ) + 𝑞𝑃 ( 𝑡 ).

• 𝑞𝑇( 𝑡 ) est la solution (transitoire) de l’équation homogène (sans 𝐹). Elle

dépend du signe de 𝛿2 − 𝜔02 . Elle est dite transitoire car elle s’éteint au

cours du temps (voir chap. III.)

• 𝑞𝑃 ( 𝑡 ) est la solution (permanente) de l’équation non homogène (avec 𝐹 ).

Elle est appelée permanente car elle dure tout au long du mouvement. Elle

est de la forme 𝑞 (𝑡) = 𝐴 cos( 𝜔𝑡 + 𝜑 ). On trouve 𝐴 et 𝜑 à l’aide de la

représentation complexe comme suit :

𝐹0 cos𝜔𝑡 → 𝐹0𝑒𝜔𝑡.

𝑞 (𝑡) = 𝐴 cos( 𝜔𝑡 + 𝜑 ). → 𝑞 ( 𝑡 ) = 𝐴𝑒𝑗 (𝜔𝑡+ 𝜑 ) = 𝐴𝑒𝑗𝜔𝑡

�̈� + 2𝛿�̇� + 𝜔02𝑞 =

𝐹0

𝑎 cos𝜔𝑡 → �̈� + 2𝛿 �̇� + 𝜔0

2 𝑞 = 𝐹0

𝑎 𝑒𝑗𝜔𝑡

⇒ - 𝜔2𝐴𝑒𝑗𝜔𝑡 + 2𝛿𝑗𝜔𝐴𝑒𝑗𝜔𝑡 + 𝜔02 𝐴𝑒𝑗𝜔𝑡 =

𝐹0

𝑎 𝑒𝑗𝜔𝑡

⇒ (- 𝜔2 + 2𝛿𝑗𝜔 + 𝜔02 ) = 𝐹0/𝑎


⇒ 𝐴 = 𝐹0/𝑎

( 𝜔02− 𝜔2)+ 𝑗2𝛿𝜔

(4.3)

L’amplitude du mouvement est donc :

𝐴 = |𝐴| = 𝐹0/𝑎

√(𝜔02− 𝜔2)2+4𝛿2𝜔2

(4.4)

La phase 𝜑 du mouvement (déphasage entre 𝑞 (𝑡) et 𝐹 (𝑡) ) est donner par :

tan𝜑 = 𝐼𝑚 ( 𝐴)

𝑅𝑒 ( 𝐴)= −

2𝛿𝜔

( 𝜔02− 𝜔2 )

. (4.5)

Finalement la solution du mouvement en régime permanent est :

𝑞 (𝑡) = 𝐴Cos (ωt+ φ). (Avec 𝐴 donné par (4.4) et 𝜑 donné par (4.5)) (4.6)

4.5 Résonnance

La pulsation d’excitation 𝜔 pour laquelle l’amplitude 𝐴 atteint son maximum est appelée

pulsation de résonance (d’amplitude) ωR. 𝐴 est maximale lorsque 𝜕𝐴

𝜕𝜔= 0 .D’après

(4.4) :

𝜕𝐴

𝜕𝜔= 0 ⇒

[−4𝜔 ( 𝜔02− 𝜔2 )+ 8𝛿2𝜔] (

𝐹0𝑎 )

2[[(𝜔02− 𝜔2)2+ 4𝛿2𝜔2 ]]

3/2 = 0 ⇒ −4(𝜔02 − 𝜔2) + 8𝛿2 = 0 , soit

𝜔 = √𝜔02 − 2𝛿2 ≡ 𝜔𝑅 ⇔ 𝜔𝑅 = 𝜔0√1 −

1

4𝑄2 . (4.7)

A cette pulsation, l’amplitude est :

𝐴max=

𝐹0 /𝑎

√4𝛿2𝜔02− 4𝛿4

⇔ 𝐴𝑚𝑎𝑥 =

𝐹0

𝑎𝜔02

𝑄

√1−1

4𝑄2

. (4.8)

Pour qu’il y ait résonance il faut que : 𝜔02 − 2𝛿2 > 0 ⇒ 1 −

1

2𝑄2 > 0 ⇒ Q >

1

√2 :

Le facteur de qualité doit donc être supérieur a 1

√2 ⇒ l’amortissement doit être faible.

D’après (4.5), tan𝜑 = − ∞ ( 𝜑 = − 𝜋

2 ) lorsque

𝜔 = 𝜔0 . (4.9)

Cette pulsation est appelée pulsation de résonance de phase


4.6 Bande passante et facteur de qualité

La puissance instantanée fournie par la force d’excitation est : Ƥ = 𝑑𝑊

𝑑𝑡=

𝐹.𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝐹. �̇�.

En utilisant (4.6), on trouve :

Ƥ = −𝐹0 cos𝜔𝑡. 𝜔𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) = −1

2𝜔𝐴𝐹0[sin𝜑 + sin(2𝜔𝑡 + 𝜑)].

La puissance moyenne est ⟨Ƥ⟩ = 1

𝑇∫ Ƥ𝑑𝑡𝑇

0= −

1

2𝜔𝐴𝐹0 sin𝜑 = −

1

2𝜔𝐴𝐹0

𝑡𝑎𝑛𝜑

√1+𝑡𝑎𝑛2𝜑 . D’après

(4.4) et (4.5) :

⟨Ƥ⟩ = 𝜔2𝛿( 𝐹0

2/𝑎 )

(𝜔02− 𝜔2)2+ 4𝛿2𝜔2

. (4.10)

⟨Ƥ⟩ est maximale lorsque 𝜕⟨Ƥ⟩

𝜕𝜔= 0 ⇒ {

𝜔 = 𝜔0

⟨Ƥ⟩𝑚𝑎𝑥 = 𝐹02

4𝜔𝑎

(4.11)

La pulsation 𝜔𝑐1 et 𝜔𝑐2 pour lesquelles ⟨Ƥ⟩ est à moitié de son maximum sont appelées

pulsations de coupure. La largeur 𝜔𝑐2 - 𝜔𝑐1 = B est appelée la Bande passante. D’après

(4.10), ⟨Ƥ⟩ = ⟨Ƥ⟩𝑚𝑎𝑥

2 (à faible amortissement : 𝛿 ≪ 𝜔0) pour 𝜔𝑐1 ≈ 𝜔0−𝛿 et 𝜔𝑐2 ≈

𝜔0−𝛿 .Donc

𝐵 = 2𝛿. (4.12)

𝜔0

𝐵=

𝜔0

2𝛿= 𝑄 est le facteur de qualité (voir chap. III).

Les graphes de 𝐴 , 𝜑 , 𝑒𝑡 ⟨Ƥ⟩ en fonction de la pulsation d’excitation 𝜔 sont :



4.6.1Exercices

Exercice n° 1 :

Le fil autours des disques ci-contre est inextensible et non glissant tFtF sin)( 0= .

5. Trouver T, U, et la fonction de dissipation𝐷.

6. Trouver le lagrangien puis l’équation du mouvement en fonction de 𝑥. ).1(

7. Trouver en utilisant la représentation complexe la solution permanente de

l’équation (Préciser son amplitude réelle A et sa phase ).

8. Donner la pulsation de résonance .R

9. Donner les pulsations de coupures 21, CC , et déduire la bande passante 𝐵

).( 0

10. CalculerR , B, et le facteur de qualité pour

./.6,0,/27,1,2 msNmNKKgmKgM ====

Exercice n°2 :

Soit le circuit excité ci-contre .cos)( 00 tEtE = système amorti ci-contre. A l’équilibre le

ressort K1 était comprimé et K2 allongé chacun d’une distance y0.

5. Trouver l’équation du mouvement de la charge 𝑞

circulant dans le circuit à l’aide de la loi des mailles.

6. Trouver en utilisant la représentation complexe la

solution permanente de l’équation (Préciser son

amplitude réelle A et sa phase ).


8. Donner les pulsations de coupures 21, CC , et déduire la bande passante 𝐵

).( 0

9. CalculerR , B, et le facteur de qualité pour HLFCR 5,1,20 === .

Exercice n°3 :

Soit Le système ci-contre. Un déplacement .cos)( 0 tStS =

1. Trouver T, U, et la fonction de dissipation D.

2. Trouver le lagrangien puis l’équation du mouvement en

fonction de x. ).1(

3. Trouver en utilisant la représentation complexe la solution

permanente de l’équation (Préciser son amplitude réelle A et

sa phase ).



5. Donner les pulsations de coupures 21, CC , et déduire la bande passante B

).( 0

6. CalculerR , B, et le facteur de qualité pour

cmrmRmsNmNkKgM 75,1,/.6,0,/19,2 ===== .

Exercice n°4 :

Soit le système excité ci-contre .cos)( 0 tFtF =

4. Trouver T, U, et la fonction de dissipation D.

5. Trouver le lagrangien puis l’équation du mouvement.

6. Trouver en utilisant la représentation complexe la solution

permanente de l’équation (Préciser son amplitude réelle A et sa

phase ).


8. Trouver la puissance moyenne fournie au système.

9. Déduire la puissance moyenne max

fournie au système.

10. Donner les pulsations de coupures 21, CC , pour lesquelles2

max

= , déduire la

bande passante .21 CCB −= (On suppose que ).( 0 amortissement très

faible).

11. Trouver la puissance moyenne r dissipé par frottement.


Chapitre 5. Systèmes linéaires à plusieurs degrés de liberté

5.1 Degrés de libertés

Les variables indépendantes nécessaires à la description d’un système en mouvement

sont appelées degrés de liberté. S’il ya N variables indépendantes 𝑞𝑖 , on écrit N

équations de Lagrange :

{

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�1) −

𝜕𝐿

𝜕𝑞1= −

𝜕𝐷

𝜕�̇�1+ 𝐹1 ( 𝑡 ),

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�2) −

𝜕𝐿

𝜕𝑞2= −

𝜕𝐷

𝜕�̇�2+ 𝐹2 ( 𝑡 ),

.

.𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�𝑁) −

𝜕𝐿

𝜕𝑞𝑁= −

𝜕𝐷

𝜕�̇�𝑁+ 𝐹𝑁 ( 𝑡 ).

5.2 Systèmes libres à deux degrés de libertés

5.2.1 Equation du mouvement

Soit le système libre ci-contre. Les deux variables

indépendantes sont 𝑥1 et𝑥2. 𝑘0 est appelé élément de

couplage.

{𝑇 =

1

2𝑚1�̇�1

2 + 1

2𝑚2�̇�2

2 .

𝑈 = 1

2𝑘1�̇�1

2 + 1

2 𝑘0 (𝑥1 − 𝑥2)

2 + 1

2𝑘2𝑥2

2.

Le lagrangien est : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = 1

2𝑚1�̇�1

2 + 1

2𝑚2�̇�2

2 - 1

2𝑘1�̇�1

2 − 1

2 𝑘0 (𝑥1 − 𝑥2)

2 − 1

2𝑘2𝑥2

2.

Les deux équations de Lagrange s’écrivent :

( 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝐷 = 0 , 𝐹 = 0 ∶ 𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖 𝑒𝑡 𝑛𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑐é . )

{

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�1) −

𝜕𝐿

𝜕𝑥1= 0

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�2) −

𝜕𝐿

𝜕𝑥2= 0

⇒{�̈�1 + (𝑘1 + 𝑘0)𝑥1 − 𝑘0𝑥2 = 0.

�̈�2 + (𝑘0 + 𝑘2)𝑥2 − 𝑘0𝑥1 = 0. (5.1)

5.2.2 Modes propres (normaux)

En mode normale (ou propre) la solution de (5.1) est

𝑥1 = 𝐴1 cos(𝜔𝑡 + 𝜑1).

𝑥2 = 𝐴2 cos(𝜔𝑡 + 𝜑2). (5.2)

𝐴1 , 𝐴2 , 𝜑, Dépendant des conditions initiales. Pour trouver 𝜔 , utilisons la représentation

complexe :


𝑥1 = 𝐴1 cos( 𝜔𝑡 + 𝜑1 ). → 𝑥1 = 𝐴1𝑒𝑗𝜔𝑡

𝑥2 = 𝐴2 cos( 𝜔𝑡 + 𝜑2 ). → 𝑥2 = 𝐴2𝑒𝑗𝜔𝑡

(5.1) devient

{

(−𝜔2 +𝑘1+𝑘0

𝑚1 ) 𝐴1 −

𝑘0

𝑚1𝐴2 = 0.

−𝑘0

𝑚2𝐴1 + (−𝜔

2 +𝑘0+𝑘2

𝑚2 ) 𝐴2 = 0.

⇔ {(−𝜔2 + 𝑎)𝐴1 + 𝑏𝐴2 = 0.

−𝑐𝐴1 + (−𝜔2 + 𝑑)𝐴2 = 0.

(5.3)

Pour que (5.3) soit vrai sans que 𝐴1 et 𝐴2 soient tous les deux nuls, il faut que son

déterminant caractéristique soit nul :

∆ (𝜔) = |−𝜔2 + 𝑎 −𝑏−𝑐 −𝜔2 + 𝑑

| = 0.

Ceci nous donne l’équation caractéristique :

𝜔4 − (𝑎 + 𝑑)𝜔2 + (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) = 0.

Les deux solutions réelles et positives 𝜔1 et 𝜔2 de cette équation sont appelées

pulsations propres ou normales. La plus petite est appelée la fondamentale, l’autre est

appelée l’harmonique.

• Première mode propre : Pour𝜔 = 𝜔1, le système (5.3) implique que :

𝐴1(1)

𝐴2(1)=

−𝜔12+𝑑

𝑐> 0. La vibration est dite en phase car la solution (5.2) s’écrit dans

ce cas :{𝑥1 (1) = A1 (1) cos(ω1t + φ).

𝑥2 (1) = A2 (1) cos(ω1t + φ).

• Deuxième mode propre : Pour 𝜔 = 𝜔2, le système (5.3) implique que :

• 𝐴1(2)

𝐴2(2)=

−𝜔22+𝑑

𝑐< 0. La vibration est dite en opposition de phase car la solution

(5.2) s’écrit dans ce cas :{𝑥1 (2) = A1 (2) cos(ω2t + φ).

𝑥2 (2) = −A2 (2) cos(ω2t + φ).

Dans le cas général, le système vibre dans une superposition de ces deux modes propres.

5.3 Système forces a deux degrés de libertés

5.3.1 Equations de mouvement

Soit le système ci- contre.

Le lagrangien est : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 = 1

2𝑚1�̇�1

2 + 1

2𝑚2�̇�2

2 -

1

2𝑘1�̇�1

2 − 1

2 𝑘0 (𝑥1 − 𝑥2)

2 − 1

2𝑘2𝑥2

2.


Les deux équations de Lagrange s’écrivent :

( 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝐷 =1

2𝛼1�̇�1

2 +1

2𝛼2�̇�2

2 𝑒𝑡 𝐹0 cos𝜔𝑡.)

{

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�1) −

𝜕𝐿

𝜕𝑥1= −

𝜕𝐷

𝜕�̇�1+ 𝐹

𝑑

𝑑𝑡(𝜕𝐿

𝜕�̇�2) −

𝜕𝐿

𝜕𝑥2= −

𝜕𝐷

𝜕�̇�2

⇒{𝑚1�̈�1 + (𝑘1 + 𝑘0)𝑥1 + 𝛼1�̇�1 − 𝑘0𝑥2 = 𝐹0 cos𝜔𝑡 .

𝑚2�̈�2 + (𝑘0 + 𝑘2)𝑥2 + 𝛼2�̇�2 − 𝑘0𝑥1 = 0. (5.4)

5.3.2 Résonance et antirésonance

(𝐴𝑣𝑒𝑐 𝐷 = 0 𝑒𝑡 𝐹 ≠ 0 ∶ 𝑠𝑦𝑠𝑡é𝑚𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑐é 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖. ) La solution permanente de

(5.4) est :

𝑥1 = 𝐴1 cos(𝜔𝑡 + 𝜑1).

𝑥2 = 𝐴2 cos(𝜔𝑡 + 𝜑2). (5.5)

𝐴1, 𝐴2, 𝜑2 dépendent de la pulsation d’excitation 𝜔 et de 𝐹0. Pour trouver 𝐴1, 𝐴2 , utilisons

La représentation complexe :

𝐹(𝑡) = 𝐹0 cos𝜔𝑡 → 𝐹(𝑡) = 𝐹0𝑒𝑗𝜔𝑡

𝑥1 = 𝐴1 cos(𝜔𝑡 + 𝜑1) → 𝑥1 = 𝐴1𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝜑1) = 𝐴1𝑒

𝑗𝜔𝑡

𝑥2 = 𝐴2 cos(𝜔𝑡 + 𝜑2) → 𝑥2 = 𝐴2𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝜑2) = 𝐴2𝑒

𝑗𝜔𝑡

(5.4) devient lorsque 𝐷 = 0:

{𝑚1�̈�1 + (𝑘1 + 𝑘0)𝑥1 − 𝑘0𝑥2 = 𝐹0𝑒

𝑗𝜔𝑡

𝑚2�̈�2 + (𝑘0 + 𝑘2)𝑥2 − 𝑘0𝑥1 = 0 ⇒{

(−𝜔2 +𝑘1+𝑘0

𝑚1)𝐴1 −

𝑘0

𝑚1𝐴2 =

𝐹0

𝑚1.

(−𝜔2 +𝑘0+𝑘1

𝑚2)𝐴2 −

𝑘0

𝑚2𝐴1 = 0.

(5.6)

. Cas où : 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚 𝑒𝑡 𝑘0 = 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘.

En Posant 𝑘

𝑚= 𝜔0

2, (5.6) devient {(−𝜔2 + 2𝜔0

2)𝐴1 − 𝜔02𝐴2 =

𝐹0

𝑚.

(−𝜔2 + 2𝜔02)𝐴2 −𝜔0

2𝐴1 = 0.

⇒ 𝐴1 =𝐹0

𝑚

|2𝜔02−𝜔2|

|(2𝜔02−𝜔2)2−𝜔0

4|.

𝐴2 =𝐹0

𝑚

𝜔02

|(2𝜔02−𝜔2)2−𝜔0

4|. (5.7)

D’après (5.7)

• 𝐴1 = 𝐴2 = ∞ lorsque


• {

𝜔 = 𝜔0 ≡ 𝜔𝑅1 (𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é𝑒 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊é𝒓𝒆 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑟é𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑒. ) 𝑜𝑢

𝜔 = √3𝜔0 ≡ 𝜔𝑅2(𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é𝑒 𝒅𝒆𝒖𝒙𝒊é𝒎𝒆 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑟é𝑠𝑜𝑛𝑎𝑛𝑐𝑒. )

• 𝐴1 = 0 lorsque 𝜔 = √2𝜔0 ≡ 𝜔𝐴. (𝑎𝑝𝑝𝑒𝑙é𝑒 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑′𝒂𝒏𝒕𝒊𝒓é𝒔𝒐𝒏𝒂𝒏𝒄𝒆. )

5.3.3 Impédance d’entrée et de transfert

( 𝐴𝑣𝑒𝑐 𝐷 ≠ 0 𝑒𝑡 𝐹 ≠ 0: 𝑆𝑦𝑠𝑡é𝑚𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖 𝑒𝑡 𝑓𝑜𝑟𝑐é. )

En électricité, l’impédance est définie par𝑧 =𝐹

𝑖1. Par analogie, on définie

l’impédance mécanique par 𝑧 =𝐹

𝑣. 𝑧𝐸 =

𝐹

𝑣1 est appelée impédance d’entrée. 𝑧𝑇 =

𝐹

𝑣2 est

appelée impédance de transfert. Pour les trouver on utilise encore la représentation

complexe :

𝐹(𝑡) → 𝐹(𝑡) = 𝐹0𝑒𝑗𝜔𝑡

𝑥1 → 𝑥1 = 𝐴1𝑒𝑗𝜔𝑡. 𝑥2 → 𝑥2 = 𝐴2𝑒

𝑗𝜔𝑡.

𝑣1 = 𝑗𝜔𝑥1 ⇒ 𝑥1 =𝑣1𝑗𝜔. 𝑣2 = 𝑗𝜔𝑥2 ⇒ 𝑥2 =

𝑣2𝑗𝜔.

�̈�1 = 𝑗𝜔𝑣1. �̈�2 = 𝑗𝜔𝑣2.

(5.6) devient

{𝑚1�̈�1 + (𝑘1 + 𝑘0)𝑥1 + 𝛼1�̇�1 − 𝑘0𝑥2 = 𝐹

𝑚2�̈�2 + (𝑘0 + 𝑘2)𝑥2 + 𝛼2�̇�2 − 𝑘0𝑥2 = 0 ⇒{

(𝑗𝜔𝑚1 +𝑘1

𝑗𝜔+

𝑘0

𝑗𝜔+ 𝛼1) 𝑣1 −

𝑘0

𝑗𝜔𝑣2 = 𝐹.

(𝑗𝜔𝑚2 +𝑘2

𝑗𝜔+

𝑘0

𝑗𝜔+ 𝛼2) 𝑣2 −

𝑘0

𝑗𝜔𝑣1 = 0.

En Posant 𝑗𝜔𝑚1 +𝑘1

𝑗𝜔+ 𝛼1 = 𝑧1 , 𝑗𝜔𝑚2 +

𝑘2

𝑗𝜔+ 𝛼2 = 𝑧2 ,

𝑘0

𝑗𝜔=𝑧0. on obtient

{(𝑧1 + 𝑧0)𝑣1 − 𝑧0𝑣2 = 𝐹.

(𝑧2 + 𝑧0)𝑣2 − 𝑧0𝑣1 = 0. ⇒ 𝐹 = (𝑧1 + 𝑧0 −

𝑧02

𝑧2+𝑧0)𝑣1 = (𝑧1 +

𝑧0𝑧2

𝑧2+𝑧0)𝑣1


• L’impédance d’entrée est 𝑧𝐸 =𝐹

𝑣1= 𝑧1 +

𝑧0𝑧2

𝑧2+𝑧0≡ 𝑧1 + 𝑧0 ∕ 𝑧2⁄ .

• L’impédance de transfert est 𝑧𝑇 =𝐹

𝑣2= 𝑧1+𝑧2 +

𝑧1𝑧2

𝑧0.

5.3.4 Exercices

Exercice No1 :

1.1 Dans le système ci-contre : 𝜃1 ≪ 1, 𝜃2 ≪ 1.

1. Trouver l’énergie cinétique T puis l’énergie potentielle U.

2. Trouver le lagrangien puis les équations du mouvement.

3. Trouver à l’aide de la représentation complexe les deux

modes propres de vibration.

4. Trouver la nature de la vibration pour chaque mode, sachant que 𝑚1 = 1𝑘𝑔 ,𝑚2 =

2𝑘𝑔 , 𝑙 = 1𝑚 , 𝑘 = 20𝑁 𝑚⁄ , 𝑔 = 10𝑚. 𝑠−2

Exercice No2 :

1.2 Le fil autour du disque auquel est suspendue 𝑚1 est inextensible et

non glissant. (θ ≪ 1).



3. Trouver à l’aide de la représentation complexe les deux modes propres de vibration.

4. Trouver la nature de la vibration pour chaque mode, sachant que 𝑀 = 1𝑘𝑔 ,𝑚1 =

0,5𝑘𝑔 , 𝑙 = 1𝑚 , 𝑘1 = 15𝑁 𝑚⁄ , 𝑘1 = 10𝑁 𝑚⁄


Exercice No3 :

1.3 Dans le système ci-contre(θ ≪ 1).



3. Trouver à l’aide de la représentation complexe les deux modes propres de vibration.

4. Trouver la nature de la vibration pour chaque mode, sachant que 𝑀 = 2𝑘𝑔 ,𝑚 =

0,5𝑘𝑔 , 𝑙 = 1𝑚 , 𝑘 = 5𝑁 𝑚⁄ , 𝑅 = 1𝑚 , 𝑟 = 80cm.

Exercice No4 :

1.4 Dans le circuit ci-contre 𝐸(𝑡) = 𝐸0 cos𝜔𝑡.

1. A l’aide de la loi des mailles, trouver les deux équations du

mouvement des courants 𝑖1 , 𝑖2.

2. Trouver à l’aide de la représentation complexe l’impédance

d’entrée 𝑧𝐸 = 𝐸

𝑖1.

3. Déduire à l’aide de l’analogie de Maxwell , le système mécanique équivalent.

Exercice No5 :

1.5 Dans le circuit ci-contre 𝐹(𝑡) = 𝐹0 sin𝜔𝑡.

1. Trouver l’énergie cinétique T, l’énergie potentielle U, et la

fonction de dissipation 𝐷. (𝜃 ≪ 1. )


3. A l’aide de la représentation complexe l’impédance d’entrée

𝑧𝐸 = 𝐹

𝑣1.

4. Déduire à l’aide de l’analogie de Maxwell, le système mécanique équivalent.


PARTIE II :

Ondes Mécaniques


Chapitre 6 : Généralité sur le phénomène de propagation

6.1 Rappel théorique

▪ L’onde mécanique est une perturbation locale temporaire qui se déplace dans

un milieu matériel élastique, homogène et isotrope sans transport de la

matière, comme le montre la figure 6.1.

Figure 6.1 : Propagation d’une onde mécanique

▪ L’onde mécanique se propage avec transport d’énergie.

▪ Il existe deux types de milieux :

❖ Milieu dispersif : La célérité de l’onde dépend des caractéristiques du

milieu et de longueur d’onde.

Exemple : ce phénomène se perçoit par exemple dans l’air lorsque

l’amplitude est importante (dans le cas du tonnerre, les ondes de haute

fréquence se propagent plus rapidement que les ondes a basse

fréquence, l’air est dispersif)

❖ Milieu non dispersif : La célérité dépend uniquement des propriétés du

milieu de propagation.

▪ Il existe deux types d’onde :

❖ Onde longitudinale : L’ébranlement est parallèle à la direction de

propagation, comme le montre la figure 6.2.


Figure 6.2 : Onde longitudinal

❖ Ondes transversale : L’ébranlement est perpendiculaire à la direction de

propagation comme le montre la figure6.3.

Figure 6.3 : Onde transversale

▪ La célérité de l’onde est constante dans un milieu linéaire, homogène, isotrope

et non dispersif. Elle dépend de l’inertie, de la rigidité et de la température du

milieu.

▪ L’onde mécanique se propage à partir d’une source sous différentes formes :

❖ A une dimension : Mouvement le long d’une corde, d’un ressort.

❖ A deux dimensions : Mouvement circulaire à la surface d’eau, comme la

montre la figure 6.4 ci-dessous :

Figure 6.4 : Mouvement circulaire à la surface d’eau


Le phénomène apparent dans l’image est une onde circulaire se propageant dans un plan

❖ A trois dimension : ondes sonores.

▪ Les ondes mécaniques présentent une double périodicité :

❖ Périodicité temporelle : Caractérisé par la période 𝑇 (𝑠).

❖ Périodicité spatiale : Caractérisée par la longueur d’onde 𝜆𝑤(𝑚).

▪ Le phénomène de diffraction est caractéristique des ondes. Il se manifeste

l’orsqu’une onde rencontre un obstacle ou une ouverture dont les dimensions

sont du même ordre de grandeur que la longueur d’onde, voir la figure 6.5 :

Figure 6.5 : phénomène de diffraction et caractéristique des ondes

D’autres exemples pour le phénomène d’interférence sont :

❖ L’expérience de Young : la lumière passe a travers deux trous séparés par

une distance 𝑑. Il apparait sur l’écran alors des interférences circulaires

comme le montre la figure 6.6 ci-dessous :


Figure 6.6 : Expérience de Young

❖ Les ondes émises par deux hauts parleurs comme le montre la figure 6.7 :

Figure 6.7 : ondes émises par deux hauts parleurs

Applications :

Probléme1 :

Une source émet une onde mécanique ѱ de fréquence ν se propageant dans la direction

𝑜𝑥 avec une vitesse 𝑉 constante.

▪ Ecrire l’équation de propagation

Posant les variable suivantes : 𝑝 = 𝑡 +𝑥

𝑉 𝑒𝑡 𝑞 = 𝑡 −

𝑥

𝑉 .

▪ Montrer que la solution de l’équation est la somme de deux types de signaux.


▪ En déduire la forme de la solution dans le cas d’un milieu homogène linéaire et

infini en régime sinusoïdal

Solutions :

▪ L’équation de propagation :

𝜕2ѱ

𝜕𝑡2= 𝑉2

𝜕2ѱ

𝜕𝑥2

C’est une équation aux dérivées partielles unidimensionnelles.

▪ Les solutions générales en utilisant la méthode du changement de

variables sont :

⟨𝑝=𝑡+

𝑥

𝑉

𝑞=𝑡−𝑥

𝑉

⟩ ⇒{

𝜕2ѱ

𝜕𝑝𝜕𝑞= 0 ⇒ ѱ1(𝑞)

𝜕2ѱ

𝜕𝑞𝜕𝑝= 0 ⇒ ѱ2(𝑝)

⇒ѱ𝑇 = ѱ1(𝑞) + ѱ2(𝑝)

▪ En régime sinusoïdal, la solution est de forme :

ѱ(𝑡, 𝑥) = 𝐴 cos𝜔(𝑡 −𝜔

𝑉𝑥)

Probléme2 :

Une onde mécanique 𝑆 de fréquence ν se propageant dans un milieu a symétrie radiale

avec une vitesse 𝑉 constante.

▪ Ecrire l’équation de propagation de 𝑆 .

▪ Résoudre l’équation aux dérivées partielles.

▪ Exprimer la solution générale dans le cas d’un milieu infini en régime

sinusoïdal. Interpréter les résultats.

Solutions :


𝜕2𝑆

𝜕𝑡2= 𝑉2∆𝑆

▪ La solution générale dans le cas d’un régime sinusoïdal :

𝑆(𝑟, 𝑡) =1

𝑟[𝑓 (𝑡 −

𝑟

𝑉) + 𝑔(𝑡 +

𝑟

𝑉)] Avec 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

▪ La solution générale dans le cas d’un régime sinusoïdal :

𝑆(𝑟, 𝑡) =1

𝑟cos𝜔(𝑡 −

𝑟

𝑉) Avec 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

▪ On obtient une onde sphérique incidente sinusoïdale comme le montre la figure


Figure 6.8 : Propagation d’une onde sphérique

Le facteur 1

𝑟 représente l’amortissement de l’amplitude de l’onde sphérique qui est due à

la répartition énergétique de l’onde dans toutes les directions de la même manière.

Probléme3 :

Soit une onde mécanique ѱ de fréquence ν se propageant dans le plan (𝑂𝑥𝑦) avec une

vitesse 𝑉 constante.

▪ Ecrire l’équation de propagation.

▪ Déterminer les solutions en utilisant la méthode de séparation des variables.

▪ On pose les conditions suivantes :

ѱ(𝑥 = 0) =𝜕ѱ

𝜕𝑦(𝑦 = 0) = 0

▪ Déterminer les solutions générales.

Solutions :

▪ L’équation de propagation a deux dimensions :

𝜕2ѱ

𝜕𝑡2= 𝑉2(

𝜕2ѱ

𝜕𝑥2+

𝜕2ѱ

𝜕𝑦2)

▪ Les solutions de l’équation différentielle par la méthode de séparation des

variables :

𝑆(𝑡, 𝑥, 𝑦) = 𝐴(𝑥)𝐵(𝑦)𝑇(𝑡) ⇒ �̈�(𝑥)

𝐴(𝑥)+�̈�(𝑦)

𝐵(𝑦)=

1

𝑉2�̈�(𝑡)

𝑇(𝑡)= 𝐶𝑠𝑡𝑒

❖ Après le calcul on obtient alors :


{

�̈�(𝑥) + 𝑘𝑥2𝐴(𝑥) = 0

�̈�(𝑦) + 𝑘𝑦2𝐵(𝑦) = 0

�̈�(𝑡) + 𝜔2𝑇(𝑡) = 0

Avec {𝑘𝑜2 = 𝑘𝑥

2 + 𝑘𝑦2

𝑘𝑜 =𝜔

𝑉

⇒{

𝐴(𝑥) = 𝐴1 cos 𝑘𝑥𝑥 + 𝐴2 sin 𝑘𝑥𝑥

𝐵(𝑦) = 𝐵1 cos 𝑘𝑦𝑦 + 𝐵2 sin 𝑘𝑦𝑦

𝑇(𝑡) = 𝑇1 cos𝜔𝑡 + 𝑇2 sin𝜔𝑡

▪ L’espace de propagation est limité (fini) , on obtient des ondes stationnaires dans

les trois directions.

❖ En appliquant les conditions aux limites on obtient :

{ѱ(𝑥 = 0) = 0𝜕ѱ

𝜕𝑦(𝑦 = 0)

⇒{𝐴1 = 0𝐵2 = 0

et 𝑘𝑥(𝑛)

=𝑛𝜋

𝑎 ⇒{

𝐴(𝑥) = 𝐴2 sin 𝑘𝑥(𝑛)𝑥

𝐵(𝑦) = 𝐵1 cos 𝑘𝑦𝑦

❖ Les solutions générales sont :

𝑆𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑡) = ∑ 𝛬 sin 𝑘𝑥(𝑛)𝑥 cos 𝑘𝑦

(𝑚)𝑦𝑇(𝑡) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛬 = 𝐴2𝐵2𝑛


Chapitre 7 : Propagation d’ondes mécaniques dans différents milieux

7.1Rappel théorique :

Nous allons voir comment une onde peut progresser dans une corde.

Soit un fil de longueur 𝑙 et de masse 𝑚 , la masse linéique du fil (supposé constante

le long de celui-ci) est alors :

𝜇 =𝑚

𝑙=

𝑑𝑚

𝑑𝑥

Par un léger choc, créons une petite perturbation transversale (afin de ne pas

déformer le câble et maintenir constant sa masse linéique). Isolons, dans la zone

perturbée, un élément de fil, de longueur𝑑𝑙 :

Approximations :

▪ La corde est considérer comme déformable mais non allongeable donc la norme

des forces dans la corde est constante en tout point quelque soit la déformation.

Pour la suite du raisonnement, nous nous servons de la figure ci-dessous :

Le bilan des forces donne :

∑ �⃗� = 𝑑𝑚�⃗� ⇒ {𝐹[cos 𝜃𝑥+𝑑𝑥 − cos 𝜃𝑥] ≅ 0

𝐹[sin 𝜃𝑥+𝑑𝑥 − sin 𝜃𝑥] ≅ 𝑑𝑚𝜕2𝑦

𝜕𝑡2

avec 𝑑𝑚 = 𝜇𝑑𝑙

Ce que signifie qu’il n’y pas de déplacements selon 𝑥 , et �⃗� représente l’accélération selon

𝑦 . Si les angles sont vraiment petits , nous avons le premier terme du développement qui

donne :

sin 𝑥 ≅ 𝑡𝑎𝑛𝑥 ≅𝜕𝑦

𝜕𝑥

𝑑𝑙 ≅ 𝑑𝑥


La loi de Newton appliquée à la masse 𝑑𝑚 = 𝜇𝑑𝑥 donne (nous considérons que chaque

point de masse se déplace seulement selon 𝑦 car il n’ya pas allongement) :

Les tangentes sont données par les dérivées partielles de la fonction 𝑦(𝑥) :

𝐹 [𝜕𝑦

𝜕𝑥⃒𝑥+𝑑𝑥 −

𝜕𝑦

𝜕𝑥⃒𝑥] ≅ 𝜇𝑑𝑥

𝜕2𝑦

𝜕𝑡2

Il en résulte l’équation aux dérivées partielles :

𝜕2𝑦

𝜕𝑡2=

𝐹

𝜇

𝜕2𝑦

𝜕𝑥2 ⇒ 𝑉 = √

𝐹

𝜇

Elle se nomme « l’équation des cordes vibrantes ».

Nous vérifions les unités de 𝐹

𝜇 sont celles d’une vitesse (𝑚 ∕ 𝑠)2 , comme l’exige l’analyse

dimensionnelle. Pour simplifier l’écriture, nous posons :

𝑉 = √𝐹

𝜇

7.2 Applications :

Probléme1 :

Soit une corde vibrant transversalement dans le plan𝑂𝑥𝑦. L’équation de mouvement est

de forme𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑡). Soient 𝑇et 𝜇 la tension et la masse linéique de la corde à l’équilibre.

▪ Ecrire l’équation de propagation de l’onde.

▪ En déduire la célérité 𝑉 des oscillations.

On considère que l’ébranlement original est sinusoïdal.

▪ Déterminer les solutions de l’équation de propagation en utilisant la méthode des

séparations des variables.

Maintenant la corde est fixée par les deux extrémités de distance 𝑎 , lâchée sans

vitesse initiale.

▪ Déterminer la forme de la solution générale.

▪ Montrer que la fréquences de vibration de la corde sont multiples entier d’une

fréquence fondamentale 𝑓1.


Application numérique : Pour la troisième corde de la guitare de longueur 𝑎 = 63𝑐𝑚 en

nylon, de masse volumique 𝜌 = 1200 𝑘𝑔 ∕ 𝑚3 et de section 𝑆 = 0,42𝑚𝑚2.

▪ Calculer la tension de cette corde pour qu’elle puisse émettre le son fondamental

𝑓1 = 147𝐻𝑧 (𝑛𝑜𝑡é 𝑟é).

Solutions :


𝜕2𝑦

𝜕𝑡2=

𝑇

𝜇

𝜕2𝑦

𝜕𝑥2 ⇒ 𝑉 = √

𝐹

𝜇

▪ Les solutions de l’équation de propagation de l’onde libre :

𝑦 = 𝐴(𝑥)𝑇(𝑡) ⇒�̈�(𝑥)

𝐴(𝑥)= 𝑉2

�̈�(𝑥)

𝐵(𝑥)⇒{𝐴(𝑥) = 𝐴1 cos

𝜔

𝑉𝑥 + 𝐴2 sin

𝜔

𝑉𝑥

𝐵(𝑡) = 𝐵1 cos𝜔𝑡 + 𝐵2 sin𝜔𝑡

▪ La corde est maintenant fixée, les conditions aux limites nous donnent :

{𝑦(𝑥 = 0) = 𝑦(𝑥 = 𝑎) = 0

�̇�(𝑡 = 0)⇒{𝐴1 = 0𝐵2 = 0

et 𝑘𝑥(𝑛)

= (𝜔

𝑉)𝑥

𝑛𝜋

𝑎 ⇒{

𝐴(𝑥) = 𝐴2 sin 𝑘𝑥(𝑛)𝑥

𝐵(𝑡) = 𝐵1 cos𝜔𝑛𝑡

Ainsi la solution finale :

𝑦𝑇(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝛬 sin 𝑘𝑥(𝑛)𝑥 cos𝜔𝑛𝑡 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛬 = 𝐴2𝐵1𝑛

▪ Les fréquences de vibration de la corde :

𝑘𝑥(𝑛)

=𝜔𝑛

𝑉=

2𝜋𝑓𝑛

𝑉=𝑛𝜋

𝑎 ⇒ 𝑓𝑛 = 𝑛𝑓1 avec 𝑓1 =

1

2𝑎√𝑇

𝜇

▪ Application numérique :

𝑓1 =1

2𝑎√𝑇

𝜇 ⇒𝑇 = 4𝑎2𝜌𝑆𝑓1

2 ⇒ 𝑇 = 17.3𝑁


Probléme2 :

Une corde vibrante homogène et sans raideur, de masse linéique 𝜇 , tendue par une force

de tension d’intensité 𝐹 constante. La corde au repos et horizontale et matérialisation par

l’axe 𝑂𝑥 .

Au cours de la propagation d’une onde, le point 𝑀 de la corde, d’abscisse 𝑥 au repos subit

le déplacement transversale 𝑦(𝑥, 𝑡) à l’instant𝑡. On néglige l’influence de la pesanteur sur

la corde, mais on tient compte de la force d’amortissement dirigée suivant l’axe 𝑂𝑥 , 𝑂𝑥 ⊥

𝑂𝑦 et de valeur algébrique : −𝑏𝑉 (𝑥, 𝑡) par unité de longueur(𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑏 > 0), où 𝑉(𝑥, 𝑡) =𝜕𝑦

𝜕𝑡 est la vitesse transversale de l’élément de la corde d’abscisse 𝑥 à l’instant 𝑡.

▪ Etablir l’équation aux dérivées partielles du déplacement𝑦(𝑥, 𝑡).

On définit 𝑘 le vecteur d’onde de cette onde. On supposera l’amortissement faible(𝑏 <

< 𝜇𝜔).

▪ Etablir la relation de dispersion sous la forme : 𝑘(𝜔) = 𝜔[1−𝑗𝑔(𝜔)]

𝑐

▪ Exprimer les coefficients 𝑔 et 𝑐 en fonction des données 𝐹, 𝜇 𝑒𝑡 𝑏.

▪ En déduire l’équation de l’onde 𝑦(𝑥, 𝑡) . Que peut on dire sur 𝑦(𝑥, 𝑡) ?

On définit l’impédance mécanique complexe

�̃� =𝑇𝑦

𝑉(𝑥,𝑡)

Où 𝑇𝑦 désigne la projection sur 𝑂𝑦 de la tension de la corde en 𝑀(𝑥) .

▪ Exprimer l’impédance mécanique complexe �̃� de la corde en fonction de

𝐹, 𝜇, 𝑏 𝑒𝑡 𝜔.

Solutions :

▪ L’équation aux dérivées partielles du déplacement 𝑦(𝑥, 𝑡):

𝜕2𝑦

𝜕𝑥2=

𝜇

𝐹

𝜕2𝑦

𝜕𝑡2+

𝑏

𝐹

𝜕𝑦

𝜕𝑡 avec 𝑉 = √

𝐹

𝜇

▪ La relation de dispersion :

𝑦(𝑡, 𝑥) = 𝐴𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑘𝑥)⇒𝑘(𝜔) ≅𝜔

𝑐(1 − 𝑗

𝑏

2𝜇𝜔) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐 = √

𝐹

𝜇 𝑔(𝜔) =

𝑏

2𝜇𝜔

▪ L’équation de l’onde 𝑦(𝑥, 𝑡):

𝑦(𝑡, 𝑥) = 𝐴𝑒−𝑏𝑥

2𝜇𝑐𝑒𝑗(𝜔𝑡−𝑥

𝑐)

C’est une onde progressive amortie.

▪ L’impédance mécanique complexe :


�̃� =𝑇𝑦

𝑉(𝑥,𝑡)= 𝐹

𝜕𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜕𝑡

⇒ �̃� = −√𝜇𝐹 (1 − 𝑗𝑏

2𝜇𝜔)

Probléme3 :

Partie A : Equation de la corde vibrante :

Une corde Homogène et inextensible, de masse linéique 𝜇 , est tendue horizontalement

suivant l’axe 𝑂𝑥 avec une tension 𝐹 constante, voir la figure.

La corde, déplace de sa position d’équilibre, acquiert un mouvement décrit à l’instant 𝑡

par le déplacement quasi vertical 𝑦(𝑥, 𝑡) , compté à partir de sa position d’équilibre, d’un

point 𝑀 d’abscisse 𝑥 au repos.

A l’instant 𝑡 , la tension 𝑇(𝑥, 𝑡) exercée par la partie de la corde à droite de 𝑀 sur la partie

de la corde à gauche de 𝑀 , fait un petit angle 𝜃(𝑥, 𝑡) avec l’horizontale.

On admettra 𝜃petit, faible courbure de la corde, et on négligera les forces de pesanteur.

Equation des cordes vibrantes : On considère le tronçon de la corde compris entre

l’abscisse 𝑥, 𝑥 + 𝑑𝑥.

▪ Etablir l’équation de propagation de l’onde de la corde vibrante.

▪ En déduire la célérité 𝑉 de l’onde en fonction de 𝜇 𝑒𝑡 𝐹.

Partie B : Analogie électrique :

Soit une tranche d’une cellule électrique sans perte représentée dans la figure comme

suit :


▪ Montrer que la cellule électrique représentée ci-dessus un circuit analogique

d’un élément de corde vibrante de longueur 𝑑𝑥

▪ Exprimer les correspondants mécaniques de l’inductance linéique𝐿𝑖𝑛𝑑 , de la

capacité linéique𝐶𝑎𝑝, de l’intensité du courant 𝑖(𝑥, 𝑡) et de la tension électrique

𝑢(𝑥, 𝑡).

Solutions :

Partie A :

▪ L’équation de propagation de l’onde de la corde vibrante :

∑ �⃗� = 𝑑𝑚�⃗� ⇒ 𝑇(𝑥, 𝑡) = 𝑇(𝑥 + 𝑑𝑥) = 𝐹 ⇒𝜕2𝑦

𝜕𝑥2 =

𝐹

𝜇

𝜕2𝑦

𝜕𝑥2 avec 𝑉 = √

𝐹

𝜇

Partie B :

▪ L’équation de propagation de l’onde dans la cellule électrique :

𝜕𝑖

𝜕𝑥= −𝐶𝑎𝑝

∗ 𝜕𝑢

𝜕𝑡 ⇒

𝜕2𝑖

𝜕𝑥2 = 𝐿𝑖𝑛𝑑

∗ 𝐶𝑎𝑝∗ 𝜕

2𝑖

𝜕𝑡2

𝜕𝑢

𝜕𝑥= −𝐿𝑖𝑛𝑑

∗ 𝜕𝑖

𝜕𝑡

▪ L’équivalence mécanique-électricité :

𝜕2𝑖

𝜕𝑥2= 𝐿𝑖𝑛𝑑

∗ 𝐶𝑎𝑝∗ 𝜕2𝑖

𝜕𝑡2 ⇔

𝜕2𝑦

𝜕𝑥2=

𝜇

𝐹

𝜕2𝑦

𝜕𝑡2

Avec

𝐿𝑖𝑛𝑑∗ ⇔𝜇

𝐶𝑎𝑝∗ ⇔1

𝐹

𝑖(𝑥, 𝑡) ⇔ 𝜕𝑦

𝜕𝑡

Probléme4 :

Deux cordes, de masses linéiques 𝜇1 et 𝜇2 sont attachées à la jonction 𝑂 pour former une

longue corde tendue horizentalement suivant l’axe 𝑂𝑥 avec une force de tension

d’intensité𝐹. On choisit l’abscisse 𝑥 = 0 à la jonction O des deux cordes.

Une onde incidente sinusoïdale transversale de faible amplitude 𝑎𝑖 et venant de la gauche

( 𝑟é𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑥 < 0) de la forme :

𝑦𝑖(𝑥, 𝑡) = 𝑎𝑖 cos(𝜔𝑡 − 𝑘1𝑥)


A la jonction 𝑂 il ya une onde réflichie dans la région 𝑥 < 0 et une onde transmise vers la

région 𝑥 > 0. On définit 𝑘1 et 𝑘2 respectivement comme étant les vecteurs d’ondes dans la

région 𝑥 < 0 et 𝑥 > 0 :

▪ Exprimer les deux équations de continuité au niveau de la jonction O deux

relations qui lient les amplitudes 𝑎𝑖, 𝑎𝑡, 𝑎𝑟 et le rapport𝑘1

𝑘2.

▪ En déduire les coefficients de réflexion 𝑅 =𝑎𝑟

𝑎𝑖 et de transmission 𝑇 =

𝑎𝑡

𝑎𝑖 pour

l’amplitude en fonction de 𝑘1 et 𝑘2 , puis en fonction de 𝜇1 et 𝜇2.Commenter.

Application numérique : On attache en O un fil d’acier (1) vers le fil(2), les coefficient

𝑅 et 𝑇.

Probléme4 :

On se propose d’étudier la propagation d’une onde transversale à la surface 𝑆 d’une

membrane tendue. On considère une membrane rectangulaire dans l’espace plan

𝑂𝑥𝑦𝑧 et dont les axes sont 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧. soit un élément 𝑑𝑠 dont les cotes sont soumises

a des tensions linéaires 𝜏 , comme le montre la figure :

▪ Etablir l’équation de propagation de l’onde sachant que la membrane a une masse

surfacique 𝜎.

▪ Trouver les solutions de l’équation différentielle par la méthode des séparations

des variables.


REFERENCES

[1] P.HAMMAD, ≪ Vibrations et Ondes≫ , http://sites.google.com/site/exerev

[2] H.LUMBROSO, ≪ Ondes Mécaniques et Sonores≫ , Edition DUNOD, ISBN 2-10-

00468-8,2000

[3] IAIN G.MAIN, ≪ Vibrations and Waves in physics ≫ , Edition CAMBRIDGE LOW

PRICE, ISBN 5-03-000128-X, 1993

[4] R. GABILLARD, ≪ Vibration et phénomène de propagation≫, Edition, 1972

DUNOD

[5] M.BALKANSKI, C. SEBENE, ≪ Ondes et phénomènes vibratoires≫, Edition

DUNOD, 1973

[𝟔] M.BALKANSKI, C. SEBENE, ≪ Ondes et phénomènes vibratoires≫, Edition

DUNOD, 1973

[7] Pr DJELOUAH Hakim, « Vibrations et Ondes, Manuel de cours » cours en ligne,

Faculté de Physique, USTHB, année 2006/2007.

[8] Dr Fouad BOUKLI HACENE. Vibrations et Ondes Mécaniques. Université Hassiba

BENBOUALI de CHLEF. Année Universitaire : 2012 /2013.

[9] Jean Marc Richard, « Ondes et Vibrations », Laboratoire de Physique Subatomique

et Cosmologie, http //lpsc.in2p3.fr/théorie/Richard, 2009.

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Vibrations et Ondes Mécaniques - cu-elbayadh.dz · Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA Page 2 Avvaannt-pprrooppooss Le présent polycopié de cours, intitulé : « Vibrations et Ondes Mécaniques