Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques Leçon n°13 : Les ondes mécaniques, Introduction, ondes le long d’une chaine d’atomes

Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques

Leçon n°13 :

Les ondes mécaniques, Introduction, ondes le long d’une chaine d’atomes

Ondes mécaniques progressives, définitions

• Une onde mécanique progressive est de la propagation d’une perturbation dans un milieu matériel.

• Elle se propage sans transport de matière mais avec transport d’énergie.

• L’onde est transversale si la perturbation est perpendiculaire normale à la direction de propagation (ondes à la surface de l’eau, le long d’une corde).

• Une onde est longitudinale si la perturbation est parallèle à la direction de propagation (ondes sonores, ondes le long d’un ressort).

• Dans un milieu matériel, une onde se propage de proche en proche (pas de discontinuité) ; cette propagation est caractérisée par sa vitesse v appelée célérité qui dépend du milieu matériel.

• La perturbation du point source S est une fonction du temps.

Exemple de la corde

Le déplacement y, appelé élongation est une fonction du temps noté y(t).• La perturbation d’un point M est la perturbation du point source avec un retard

=x/v où x=SM. Nous avons donc

• Une onde progressive peut être unidimensionnelle (le long d’une corde), bidimensionnelle (à la surface de l’eau), tridimensionnelle (ondes sonores).

• Deux ondes peuvent se croiser sans se perturber.

Ondes mécaniques progressives, propriétés

.v

xtyty SM

• Une onde progressive est périodique si la perturbation de la source est reproduite à intervalles de temps égaux (vibration). Une telle onde possède une double périodicité temporelle est spatiale.

• Périodicité temporelle : tous les points du milieu matériel ont la même période T de vibration : celle du point source S. la fréquence (notation f ou D) est l’inverse de la période f=1/T, f est en Hz et T en s.

• Périodicité spatiale : A une date et dans une direction de propagation données, la déformation du milieu revient identique à elle-même, à intervalles de distance régulier ; cet intervalle est appelé longueur d’onde. La longueur d’onde est la distance parcourue par l’onde pendant une période T à la célérité v: =vt :

Elongation d’un point de la corde au cours du temps Allure de la corde à la date t

Ondes progressives périodiques

Ondes progressives

Onde transversale

Onde longitudinale

Quiz ondes progressives

Ondes le long d’une chaînes d’atomes (1)

Ondes Mécaniques

• Les énergies cinétiques et potentielle s’écrivent :

• Le Lagrangien est :

• L’équation de Lagrange donne pour la masse m placée à xn0:

2

n1n

2

1nn

2

nuuk

2

1uuk

2

1V;um

2

1T

2

n1n

2

1nn

2

nuuk

2

1uuk

2

1um

2

1VTL

0u2uuKumn1n1nn


• Il existe des ondes longitudinales de pulsation et de vecteur d’onde

qui se propagent le long de la chaîne sans atténuation et qui ont la forme en notation complexe :

avec

• Les équations donnent

tkxi

n

nAeu

a1nx,a1nx,nax1n1nn

kacos1K2e2eKm ikaika2

ikk


•Qui nous donne la relation de dispersion pour une chaîne linéaire d’atomes identiques :

• Cette équation s’écrit encore :

2

kasin

m

K4 22

2

kasin

m

K2


• La pulsation maximale M des ondes qui peuvent se propager dans la chaîne est

• La notion de longueur d’onde n’a de sens que si >>a• Exemple pour =8a

a2donc,2

akdonnequi

m

K2M

Vitesse de phase

•On la définie comme étant :

• d’où

ka0pourk

2ka

sin

m

K2

kv

πkaquandm

K

π

2avet

0kaquandm

Kav

Groupe d’ondes et Vitesse de groupe

• L’application la plus importante des phénomènes de propagation est leur utilisation pour la transmission de l’information.• Pour transmettre des informations, l’émetteur doit modifier constamment

l’une des caractéristiques de la vibration : l’amplitude, la phase, la fréquence ou la polarisation. Cette modification continue est appelée modulation. L’onde ainsi engendrée s’appelle une onde porteuse.• Si on constitue un film avec des photographies successives, nous aurons

l’illusion que le groupe d’ondes se déplace avec une vitesse

• Pour une chaîne d’atomes identiques, cette vitesse est :

dk

dvg

πka0pour2

kacos

m

Ka

dk

dωvg

Vitesse de l’énergie

• L’énergie est reliée à l’amplitude par la relation

• La cellule qui fournit de l’énergie l’emprunte à son tour à celle qui la précède, ainsi de suite jusqu’à l’émetteur qui doit fournir de l’énergie En à chaque fois que le front d’onde avance de la longueur d’une cellule. Ceci se produit tous les t=a/ve

• La puissance fournie par l’émetteur est :

• Le milieu est donc traversée par un flux d’énergie constant qui se propage à une vitesse ve égale à celle du front de l’onde

2n

2n am

2

1E

a

vE

t

EW e

n

dk

dvv ge

Passage à un milieu continu

• Pour des faibles valeurs de k, on peut écrire :

• d’où l’équation

Soit l’équation d’onde :

V est la vitesse de propagation des ondes.

tx,uuoùx

uaaxuaaxuuu

x

uaxuaxuuu

ax

0n

0n1nn

x

0n

0nn1n

0n

0n

2

22

axx2

2

x

uKa

x

u

x

uKa

t

um

0n

0n

m

Kavavec0

t

u

v

1

x

u2

2

22

2

Ondes sur une corde vibrante

Passage du discontinu au continu

= masse d’un atome, a = arête

ρ.Sama

μρ

a

Sμμnm

a

Sn

3

22

Passage du discontinu au continu

• Les équations de Lagrange nous donne :

•On obtient facilement

•

0u2uuKumn1n1nn

0t

u

v

1

x

u222

appliquéetensionT

)linéiquemasse(

young'dulemodKdx

S

dxK

Sdx

Ka

m

v

1222

Equation du mouvement d’une corde (1)

•On peut obtenir l’équation du mouvement directement : en considérant une corde de longueur l soumise à une force f(x,t) par unité de longueur. Le déplacement transversal de la corde u(x,t) est supposé petit.


• L’équation des forces dans la direction z donne :

où T est la tension, est la masse par unité de longueur et θ l’angle de déflexion de la corde avec l’axe des x.• Pour un élément de corde dx :

et

sinTfdxdsindTTdt

uddx

2

2

x

utgsin,dx

x

TdT

dxx

u

x

udtgdsin

2

2


• qui donne :

• Si la corde est uniforme, et la tension constante, nous obtenons :

• Si f(x,t)=0, on obtient l’équation d’onde :

t,xfx

t,xuT

xt

t,xu2

2

2

2

2

2

t

t,xut,xf

x

t,xuT

Tv

1avec0

t

u

v

1

x

u22

2

22

2

Solution en ondes progressives de l’équation de d’Alembert (1)

• La solution de cette équation est :

La fonction f1(t - x/v) suggère une onde se propageant dans la direction x à une vitesse v.

La fonction f2(t + x/v) représente une onde qui se propage dans la direction négative de x à la même vitesse v.

y est donc la superposition de deux ondes planes se propageant à la même vitesse suivant l’axe ox, mais avec des sens opposés.

v

xtf

v

xtfqfpfy

2121

Solution en ondes progressives de l’équation de d’Alembert (2)

• Considérons l’onde f1(t – x/v) :

Le signal f1 apparaît en x+x à l’instant t+t exactement comme il était en x à l’instant t. On dit que f1 est une onde plan progressive se propageant à la vitesse v dans la direction des x croissants.

x=vt

tvxavecv

xxtt

v

xt

Conditions initiales et conditions aux limites (1)

• L’équation d’onde est du deuxième ordre en x et en t. Nous avons donc besoin de deux conditions initiales et de deux conditions aux limites pour trouver la solution u(x,t).

• Si la corde a une déflexion u0(x) et une vitesse au temps t=0 connues, les conditions initiales s’écrivent :

• Si la corde est fixée au point x=0 par exemple, le déplacement est égal à zéro, la condition aux limites limite s’écrit :

xu0t,xt

uxu0t,xu 00

xu0

0t0t,0xu


• Si la corde est connectée à un bouton qui se déplace dans la direction perpendiculaire comme le montre la figure de gauche, l’extrémité ne peut pas avoir de force transversale et la condition aux limites s’écrit :

0x

t,xuxT

T


Si l’extrémité x=0 par exemple est libre et T est constante cette équation devient :

• Si l’extrémité x=l est fixée à un ressort comme le montre la figure, la condition aux limites s’écrit :

où k est la constante de raideur du ressort.

0t0

x

t,0u

0tt,xkux

t,xuxP

lx

lx

Vibrations libres d’une corde uniforme

• l’équation d’onde peut être résolue par la méthode de séparation des variables. On écrit dans ce cas :

• En substituant dans l’équation d’ondes, on obtient :

• Puisque le membre de gauche dépend de x seulement et le membre de droite de t seulement, leur valeur commune doit être une constante. On écrit

tTxUt,xu

2

2

2

22

dt

Td

T

1

dx

Ud

U

v

2

2

2

2

22

dt

Td

T

1

dx

Ud

U

v

Vibrations libres d’une corde

• Les fonctions U(x) et T(t) obéissent donc aux équations :

• Les solutions de ces équations s’écrivent :

où est la fréquence des vibrations et les constantes A, B, C et D peuvent être évaluées à partir des conditions initiales et des conditions aux limites.

0Tdt

Td0U

vdx

Ud 22

2

2

2

2

2

tsinDtcosCtTv

xsinB

v

xcosAxU

Solutions quand les deux extrémités sont fixes (1)

• Les conditions aux limites sont

ce qui veut dire

U(0)=0 veut dire que

• La constante A doit être égale à zéro, ce qui implique :

• Comme B ne peut pas être égal à zéro pour une solution non triviale, nous obtenons l’équation caractéristique satisfaite pour plusieurs valeurs de :

0t,lut,0u 0lU0U

0v

lsinB

,...2,1n,l

nv0

v

lsin

n


• La solution un(x,t) correspondant à n peut s’exprimer par :

où les Cn et Dn sont des constantes arbitraires. La solution un(x,t) est appelée le nième mode de vibration ou la nième

harmonique ou le nième mode normal de la corde.•Dans chacun de ces modes, chaque point de la corde vibre avec une

amplitude proportionnelle à la valeur de Un à ce point avec la fréquence circulaire

• La fonction Un(x) est appelée la nième fonction caractéristique ou nième fonction normale.

tnvsinD

tnvcosC

xnsintTxUt,xu nnnnn

nv

n


Figure : trois premiers modes de vibration d’une corde fixe aux extrémités. Le premier mode est appelée mode fondamental et 1 est appelée la fréquence fondamentale. La période fondamentale est

Les points où un=0 sont appelés des nœuds de vibration.

.v

22

11


• La solution générale pour une corde fixée aux deux extrémités est donnée par la superposition de tous les un(x,t) :

• Cette équation donne toutes les vibrations possibles de la corde. Toute vibration particulière est uniquement déterminée à partir de spécifiques conditions initiales qui donnent des valeurs uniques aux constantes Cn et Dn.

1n 1n

nnn l

tnvsinD

l

tnvcosC

l

xnsint,xut,xu


• Si les conditions initiales sont spécifiées, nous obtenons dans l’intervalle 0xl

qui sont les développements en séries de fourrier des fonctions

• Les valeurs de Cn et Dn peuvent être trouvées en multipliant les équations précédentes par sin (nx/l) et en intégrant de zéro à l :

1n0n

1n0n

xul

xnsinD

l

v

xul

xnsinC

xuetxu00

l

0 0n

l

0 0n

dxl

xnsinxu

nv

2D

dxl

xnsinxu

l

2C

Exemple1 : Réponse dynamique d’une corde pincée (1)

Énoncé : Une corde de longueur l, fixée aux extrémités, est pincée en milieu, comme le montre la figure, et ensuite relâchée. Déterminer son mouvement.

Fig.5 : Déflexion initiale d’une corde pincée


Solution :

Puisque et donc Dn=0, notre solution s’écrit :

0xu0

lx2

l

l

xlh22

lx0

l

hx2

xu

où

dxl

nππsinxu

l

2C

avec

l

tnvcos

l

xnsinCt,xu

0

l

0 0n

1nn

pour

pour


En substituant l’équation de u0(x) dans celle de Cn, nous obtenons

En utilisant la relation

On peut écrire

Dans ce cas, aucune harmonique paire n’est excitée.

,...6,4,2npour0

,...5,3,1npour2

nsin

n

h8

dxl

xnsinxl

l

h2dx

l

xnsin

l

hx2

l

2C

22

l

2l

2l

0n

...5,3,1n,12

nsin 2

1n

...vt3

sin9

1vtcos

xsin

h8t,xu

2

Etude énergétique d’une corde

Densité d’énergie cinétique•Un élément de masse dm=dx de vitesse y/t possède l’énergie

cinétique :

• La densité d’énergie cinétique s’écrit :

2

c t

ydx

2

1dE

2

c

c t

y

2dx

dEe

Densité d’énergie potentielle

• Pendant le mouvement, la longueur de la corde serait L, supérieure à sa longueur au repos ℓ.

• Le travail d’un opérateur faisant passer la corde de la situation décrite par y(x,t) s’écrit :

où T est le module de la force exercée par l’opérateur.

l

0

2

l

0

2

l

0

222

dxx

y

2

1lL

1x

ycardx

x

y

2

11dx

x

y1L

Soit

dydxdsavecdsL

l

0

2

dxx

y

2

TlLTW

Densité d’énergie (2)

• Ce travail s’identifie à la variation d’énergie potentielle de la corde

• La densité d’énergie potentielle ep s’écrit donc :

• La densité d’énergie de la corde s’écrit alors :

l

0

2

pdx

x

y

2

TE

2

p

p x

y

2

T

dx

dEe

T

vavecx

y

2

T

t

y

2eee 2

22

pc


• La densité d’énergie de la corde peut être transformée de la manière suivante :

• Le crochet représentant l’équation de d’Alembert étant nul, il reste :

qui est l’équation locale de la conservation d’énergie où S représente le flux d’énergie à travers la corde en un point et un instant donnés.

t

y.

x

yT

xt

y

v

1

x

y

t

yT

t

y.

x

y

t

y.

x

y

xT

t

y.

t

y

v

T

tx

y.

x

yT

t

y.

t

y

t

e

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

t

y.

x

yTSavec0

t

e

x

S


• Le terme est la réduction sur l’axe des x de div S.

•Nous avons vu précédemment que

il est donc possible de retrouver l’équation de d’Alembert à partir de la conservation de l’énergie d’une corde fixée aux deux bouts.

x

S

2

2

22

2

t

y

v

1

x

y

t

yT

t

e

x

S

Représentation d’un mouvement ondulatoire (1)

(a) Une impulsion isolée est produite à l’extrémité gauche de la corde. L’état de la corde est montré à trois instants différents. Noter le mouvement transversal des points de la corde.

(b)Une impulsion semblable sur un ressort à boudin. Chaque spire du ressort est successivement comprimée et dilatée dans la direction de propagation, et l’onde est longitudinale.

(c) Chacune de ces ondes peut être représentée par un même diagramme. Dans le cas de la corde, y est le déplacement d’un point de la corde par rapport à sa position de repos ; les déplacements au-dessus de la position d’équilibre sont comptés positivement. Dans le cas du ressort, y mesure la compression ou la dilation du ressort. La dilatation est considérée comme un déplacement positif.


(a) Une perturbation périodique produite par les oscillations d’un levier se propage vers la droite. Le pointillé indique la position de repos de la corde.

(b) Un ressort est alternativement comprimé et dilaté.

(c) Un même diagramme peut représenter ces deux ondes.


(a) Une onde électromagnétique.

(b) Une onde sonore.

(c) Une onde à la surface de l’eau. Tous ces phénomènes ondulatoires peuvent se représenter par le même type de diagramme que celui qui est utilisé pour la corde tendue et le ressort.


Digramme des élongations à différents instants séparés par un quart de période. En une période T, les crêtes d’onde parcourent une distance égale à une longueur d’onde et tous les points décrivent une oscillation entière. Par exemple, en x=/4, le déplacement est maximal en t=0 et en t=T (points noirs). Le déplacement en x=/2 prend les mêmes valeurs mais avec un retard de T/4.

Interférences et ondes stationnaires

Deux ondes impulsionnelles inversées l’une par rapport à l’autre sont produites aux extrémités d’une corde tendue. Au moment où les impulsions se croisent, la corde prend une forme complexe mais le point repéré par la ligne pointillée est constamment au repos. La forme instantanée de la corde est déterminée en additionnant les déplacements créés par les deux impulsions en chacun des points.

Les conditions aux limites (1)

(a) Ondes sur une corde décrites à des intervalles de temps de T/4. en haut, l’onde se déplace vers la gauche, en bas, l’onde se déplace vers la droite.

(b) Aspect de la corde lorsque les deux ondes voyagent sur la même corde. La forme de la corde change au cours du temps mais le déplacement est toujours nul aux nœuds de vibration. Aux ventres, une photographie de la corde, prises avec un temps d’exposition de plusieurs périodes, montrerait la corde avec le plus de netteté aux points où elle atteint sa déformation maximale.

Superposition d’un grand nombre de vues de la corde de la figure précédente à différents instants très rapprochés.


(a)Deux ondes exactement en phase.

(b)Deux ondes en opposition de phase. L’addition de ces deux ondes conduirait à une interférence destructive.

(c)Deux ondes déphasées d’un quart de longueur d’onde.


La réflexion d’une impulsion ondulatoire sur corde (a) à une extrémité fixe et (b) à une extrémité libre.


Ondes stationnaires résonnantes (1)

En haut, une onde incidente approche de l’extrémité fixe d’une corde. Les déformations sont représentées à des instants séparés d’un quart de période T/4. les figures centrales montrent l’onde réfléchie aux instants. On notera l’inversion. En réalité les deux ondes se superposent sur la corde et le résultat est une onde stationnaire (en bas).

Ondes stationnaires résonnantes (2)

Une onde qui approche l’extrémité libre d’une corde, l’onde réfléchie (sans inversion) et l’onde stationnaire résultante.

Les cinq ondes stationnaires de plus grandes longueurs d’onde sur une longueur ℓ fixée à ses extrémités.


Ondes complexes et battements (1)

(a)Les première, troisième et cinquième harmoniques dans le cas d’une corde fixée à ses extrémités.

(b)L’addition de ces trois harmoniques produit l’onde complexe représentée ici.

Ondes complexes et battements (2)

(a) Deux ondes de fréquences légèrement différentes f1 et f2, s’ajoutent pour former l’onde résultante en (b). Les lignes pointillées montrent comment l’amplitude varie dans l’espace.

La polarisation des ondes transversales

(a) Une onde portée par une corde vibre dans une direction arbitraire. Après passage par la fente, elle est polarisée dans la direction y et voit son amplitude de réduire.

(b) Après passage dans une seconde fente perpendiculaire à la première, l’onde est complètement éteinte. Si les deux fentes n’étaient par perpendiculaires, l’onde finale sortirait polarisée dans la direction de la seconde fente.

Réflexion et transmission sur une discontinuité simple d’une corde

• Sur une corde très longue composée de deux tronçons, avec les masses linéiques 1 et 2, on suppose que du côté x<0 arrive un ébranlement :

• Cette onde incidente donnera une onde réfléchie et une onde transmise :

1v

xtft,xy

2t

1r v

xtfty;

v

xtfry

Réflexion et transmission

• Continuité de la déformation :

• Continuité de la tension en x=0, c’est à dire de l’angle avec l’axe ox.

• En utilisant f’ comme la dérivée de f par rapport à on peut écrire :

t,0yt,0yt,0ytri

x

t,0yt,0

x

yt,0

x

ytri

x

y

0v

xt

'fv

1t,0

x

fet'ft,0

t

f

i


• En simplifiant par f’, on trouve

• On définit

• On trouve :

21

2

21

12

211

vv

v2tet

vv

vvr

v

t

v

r

v

1

tr1

i

i

1

2

2

1T

vavecv

v

1

2tet

1

1r


• Les limites de r et t sont :

• Cas →0 : qui est le cas de la réflexion sur une corde très simple (2<< 1), à la limite 2=0, on peut considérer l’extrémité de la première corde comme libre, on a r=1 et t=2, il y’a réflexion totale sans changement de signe.

• Cas → : c’est le cas de la réflexion sur une corde très dense (2>>1), à la limite 2=, on peut considérer l’extrémité de la première corde comme rigidement fixée on a r=-1 et t=0

Il n’y a plus d’onde transmise mais réflexion totale avec changement de signe.

2t0et1r1

•

•

•

• On remarque que, e+=et et e-=ei+er, et que

La densité d’énergie est discontinue, elle dépend de la nature de la corde.

Densité et flux d’énergie sur une discontinuité d’une corde

22

x

y

2

T

t

y

2e

22

2

2

2

22

2

t

'ft'tfv

1

2

T'tf

2e,0xen

v

xtftt,xyt,xy,0xPour

22

1

2

11

21

11

ri

'fr1'fv

r'f

v

1

2

T'rf'f

2e,0xen

v

xtfr

v

xtft,xyt,xyt,xy,0xpour

2

1

2

2

1

2

2

2

1'f

1

12'f

1

11'f

1

2ee

•

•

•

Le flux d’énergie est une grandeur continue à travers x=0 ce qui traduit la conservation de la puissance. St=Si+Sr

•

Ce qui traduit la conservation de l’énergie : flux incident = flux réfléchi + flux transmis

Densité et flux d’énergie

t

y.

x

yTS

2

1

2

11

2

2

2

2

'fv

r1T'rf'f'f

v

r'f

v

1TS;'f

v

tT'tf'f

v

tTS

0'fv

1r

v

tr1T'f

v

1r

v

tTSS 2

12

2

1

2

2

2

TR1

1

1r

S

SRet

1

4t

v

tv

S

STSi

2

2

2

i

r

2

2

2

2

1

i

t

•

• 1=R+T → 0 R → 1 et T → 0 → R → 1 et T → 0 dans les deux cas, c’est la réflexion totale → 0 t → 2, cette onde d’amplitude double ne transporte pratiquement pas d’énergie

Réflexion et transmission, conclusion

1

2tet

1

1r

en supposant une onde harmonique d’amplitude Aei(x-k1

x) arrive du côté x<0, on peut écrire :

Réflexion et transmission sur une discontinuité double (1)

Lxkti

L3

Lxkti

L

xkti

02

xkti

0

xkti

1

3

22

11

Aett,xyAerAett,xy

AerAet,xy

Les conditions de continuité donnent quatre équations à quatre inconnues r0, t0, rL et tL (les paramètres k1, k2, k3 et L sont donnés)

• en x=0

• en x=L

Lik

L0201

Lik

L00

2

2

ertkr1kertr1

L3L

Lik

02

LL

Lik

0

tkretktret

2

2

Réflexion et transmission sur une discontinuité double (2)

Impédance d’une corde (1)

• Soit F(x,t) la composante sur oy de la force exercée sur une corde et la vitesse de la corde en x

La célérité des ondes est

•

L’impédance Z de la corde est constante (le signe - signifie que F et V sont en opposition de phase).

t

ytx,V

Tc

μTZc

T

V

FZ

f't

yV

f'c

T

x

yTF

c

xtftx,ysi;

x

yTTtgαTsinαF


• Exemple d’un point matériel S de masse m attaché à deux ressorts identiques de raideur k ; l’impédance de la corde est

Cette force entraîne un amortissement du mouvement de m.

• Relation fondamentale de la dynamique (ou à travers l’équation de Lagrange) :

du type

L’impédance de la corde agit comme un amortisseur ou une résistance électrique.

ss

s

s yμTFμTy

F

t0,V

t0,FZ

02kyyμTym

yμT2kyym

sss

ss

0kyαym eqeqeq y

•

• A.N. : m=0,5kg ; k=104N.m-1 ; µ=0,1kg.m-1 ; T=10 N

à t=0, ys=0=1mm ; et

(constante d’amortissement) ; =200 rad/s

régime pseudopériodique (peu amorti)

•

• est grand devant donc peu d’énergie est perdue pendant une période T, l’amplitude reste pratiquement constante sur une période T.


0yωym

μTy02kyyμTym s

2sssss

12sm

μT

22

2

4ω4ωm

μTΔ

0ys

s1T

m2avectcosaety /t

s

ms4,312

T

• Relation entre une OPPS et une OS à un mode : Prenons une onde stationnaire à un mode et transformons ce produit en somme :

L’O.S peut être considérée comme la superposition des 2 OPPS de même pulsation et de même amplitude se propageant un sens inverse.

• Inversement, prenons une OPPS, en développant le cosinus :

Elle peut ainsi être considérée comme la superposition de deux OS en quadrature (spatiale et temporelle).

Onde plane progressive sinusoïdale (OPPS) et onde stationnaire (OS) à un mode

tcoskxcosAtx,y

kxtcos2

Akxtcos

2

Atx,y

tsinkxsinAtcoskxcosAkxtcosAtx,y

• Une corde vibrante est dans le mode stationnaire n, c’est-à-dire que :

• Calculer l’énergie totale En de la corde en fonction de n, An, l et T.• Considérons à présent la corde comme un assemblage de petits éléments (de

longueur dx) qui effectuent chacun autour de sa position de repos respective sur l’axe Ox un mouvement sinusoïdal d’amplitude Ansin knx.Quelle serait l’énergie mécanique totale E’ de cet ensemble d’oscillateurs? (on rappelle que l’énergie mécanique totale d’une masse m effectuant des oscillations harmoniques d’amplitude à la pulsation est m22/2).

Comparer l’expression obtenue à En. Commentaire.

Exemple : Energie d’une corde (1)

l

nk,xksintsinAtx,y n

nnnnn

Exemple : Énergie d’une corde (2)

• Énergie de la corde en fonction de n, An, l et T.

d’où par la somme, avec

il s’agit bien d’une constante (indépendante du temps).

nn22

n2n

p

1

0

2/1

1

0 n2

nn22

n2n

2

nnp

nn2l

n2n

nc

1

0

2/1

1

0 nnn22

n2n2

2

nnc

tsinlksin4

TE

xdxkcostsinkA2

Tdx

x

y

2

TE

tcoskA4

TE

xdxksintcosA2

Tdx

t

y

2E

2n

22

nn Anl4

TE

l

nk

Exemple : Énergie d’une corde (3)

• L’élément de masse µdx effectuant des oscillations harmoniques d’amplitude Ansin knx à la pulsation n possède l’énergie mécanique totale :

Avec

l’analogie est tout à fait valable.

2/1

n

21

0

2n

2n

'n

2nn

'n xdxksinA

2

1EsoitxksinAdx

2

1dE

n2n

22

'n2

2222n EAn

l4

TE

T.

l

n

l

vn

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Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques Leçon n°13 : Les ondes mécaniques, Introduction, ondes le long d’une chaine d’atomes