Ponderation Et Redressement

8/18/2019 Ponderation Et Redressement

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Chapitre 8PONDERATION ET REDRESSEMENT

PLAN DU CHAPITRE 8

8.1 INTRODUCTION

8.2 POIDS DE SONDAGE

8.3 CALAGE AUX MARGES

8.3.1 Introduction

8.3.2 Buts du calage

8.3.3 Méthodes de calage

8.4 REDRESSEMENT SUR VARIABLES QUANTITATIVES

8.4.1 Introduction8.4.2 Un exemple

8.4.3 Estimation par le quotient (ratio)

8.4.4 Estimation par la régression

8.5 REDRESSEMENT SUR VARIABLES QUALITATIVES(post-stratification)

8.5.1 Introduction

8.5.2 Notations

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8.5.3 Estimateurs post-stratifiés

8.5.4 Comparaisons

8.5.5 Conclusion

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8.1 INTRODUCTION

• Il est rare que l’on ne dispose pas d’une variable quan-titative ou qualitative X dont la valeur/modalité est

connue pour chacun des individus de la population (va-riable auxiliaire ).

Ex. :

- Si on sonde des logements recensés, on connâıt leurnombre de pièces au moment du recensement (sauf exception).

- Si on sonde des individus à partir d’un fichier électoral,on connâıt leur âge.

- Si on sonde des entreprises, on connâıt bien souventleur activité principale.

• Principe fondamental Lorsqu’on dispose d’une information auxiliaire, il faut chercher à l’utiliser dans le but d’obtenir des estima-teurs plus précis que les estimateurs simples de la moyenneou du total qui apparaissent dans le cadre du sondagePESR ou PISR.

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• L’information auxiliaire peut être utilisée au niveau dela construction de l’échantillon (stratification, tirageproportionnel à un critère de taille, . . . ) ou au niveaude l’expression de l’estimateur (techniques de redresse-ment/calage ).

Si plusieurs variables auxiliaires sont utilisées, on peutrecourir à une technique mixte dans laquelle certainesvariables servent à améliorer le tirage de l’échantillon,et les autres à améliorer l’estimateur.

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8.2 POIDS DE SONDAGE

• L’échantillon sélectionné sert normalement à effectuerune inférence sur la population.

• Pour ”passer” de l’échantillon à la population, on utiliseun poids attaché à chaque unité de l’échantillon : à chaqueunité i de l’échantillon, on associe un poids wi.

• Le poids le plus simple permettant d’effectuer une esti-

mation sans biais est le poids de sondage correspondant,dans le cas de l’estimation d’un total, à l’inverse de la pro-babilité d’inclusion pi de l’unité i (estimateur de Horvitz-Thompson) : pour tout i ∈ U ,

wi = 1

pi

Ces probabilités d’inclusion dépendant du plan de sondageutilisé, les poids de sondage dépendent eux aussi du plande sondage mis en oeuvre.

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8.3 CALAGE AUX MARGES

8.3.1 Introduction

• Forme de redressement des estimations

• Ajuste les poids de sondage de sorte que les estima-tions soient ”caĺees” sur des totaux (ou moyennes)connu(e)s : quel que soit l’échantillon sélectionné, onestime parfaitement ces totaux (moyennes) connu(e)s ;on supprime l’erreur d’échantillonnage dans l’estima-tion des totaux (moyennes) connu(e)s.

Exemple

Population : individus d’une certaine classe d’âges

Variable d’intérêt : Y

Variable auxiliaire : X ≡ ”sexe” (xi = 1 si l’individu

i est un homme, xi = 0 si l’individu i est une femme)- Le Recensement Général de la Population fournit laproportion réelle d’hommes et de femmes dans la classed’âges considérée : 48% d’hommes (µX ) et 52% defemmes.

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On tire, par sondage PESR, un échantillon de n = 1000individus afin d’estimer µY . Les poids de sondage sontwi =

1 pi

= 1f = N

n :

τ̂ Y = i∈S wiyi = N n i∈S yi = Nyµ̂Y = y

Cet échantillon permet aussi d’estimer la proportiond’hommes dans la classe d’âges considérée. Supposonsque l’échantillon compte 500 hommes et 500 femmes :

µ̂X = x = 1ni∈S

xi = 50% = 48% = µX .

Le redressement revient à modifier (redresser ) les poidsde sondage (wi → wi;red) de telle sorte que

µ̂X ;red = 1

N i∈S wi;redxi = 48% = µX (calage sur la moyenne connue de X )

τ̂ Y ;red =i∈S

wi;redyi

µ̂Y ;red = τ̂ Y ;red

N

= 1

N i∈S wi;redyi

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• Idée (”pari”) sous-jacent

Si l’estimateur (avec les poids de sondage redressés)fournit la valeur exacte pour un paramètre relatif à une

variable X que l’on sait bien corrélée avec la variabled’intérêt Y , alors il doit logiquement fournir une trèsbonne estimation pour le paramètre d’intérêt inconnurelatif à Y .

⇒ Les redressements nécessitent un choix judicieuxde l’information auxiliaire sur laquelle on effectue le

calage.

8.3.2 Buts du calage

– Réduire les différences entre diverses sources d’estima-tions

– Corriger le sous-dénombrement (ou le sur-dénombrement)

– Jusqu’à un certain point, corriger la non-réponse totale

8.3.3 Méthodes de calage

Le calage aux marges englobe :

– estimation par quotient

– estimation par régression– estimation par régression multiple– post-stratification– estimation par ratissage croisé (raking ratio )

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8.4 REDRESSEMENT SUR VARIABLES QUANTITATIVES

8.4.1 Introduction

• Considérons le problème de l’estimation de τ Y , µY , . . . àpartir d’un échantillon aléatoire S à partir duquel on cal-cule τ̂ Y , µ̂Y , . . .

• Si on dispose d’une variable auxiliaire quantitative X connue, comment l’utiliser avec profit pour estimer τ Y , µY , . . . ?

Idée : Supposons que l’on connaisse le total de X sur lapopulation :

τ X =i∈U

xi

(si N est connu, il est équivalent de disposer de µX =

τ X /N ).L’échantillon S à partir duquel on calcule τ̂ Y , µ̂Y , . . . per-met aussi d’obtenir une estimation τ̂ X de τ X , µ̂X de µX .

L’idée du redressement est de rendre l’estimation de τ Y ou µY plus pŕecise en corrigeant les poids de sondage detelle sorte à assurer la cohérence des données par rapport

à X , c’est-à-dire en prenant en compte la différence entrela valeur réelle connue de τ X et la valeur de l’estimationτ̂ X obtenue.

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N.B.) L’information sur X est utilisée au stade de l’esti-mation (pas au stade de l’échantillonnage).

• Plusieurs méthodes peuvent être envisagées ; elles re-posent sur les relations approximatives possibles entre Y et X (utilisation de modèles linéaires).

8.4.2 Un exemple (Tryfos (1996), p.157)

Supposons qu’une compagnie de marketing cherche à estimer le mon-

tant total des achats effectués par les hôpitaux d’une région donnée

pour environ 3 200 produits pharmaceutiques. Il y a 1 158 hôpitaux

dans la région ; une liste de ces hôpitaux est disponible.

Concentrons-nous sur un seul produit pharmaceutique (le produit Y )

et sur le probl̀eme de l’estimation du montant total (et du montant

moyen par hôpital) des achats de ce produit sur une période de temps

donnée (un mois, par exemple).

La table ci-dessous indique ce qui est connu et ce qui ne l’est pas surla population. On connâıt notamment le nombre de lits dans chaque

hôpital et donc aussi, par conséquent, le nombre total de lits dans

l’ensemble des hôpitaux (186 030).

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Population des hôpitaux

Hôpital No. Nombre de lits Achats du produit Y

i xi yi ($000)

1 675 ?

2 450 ?... ... ...

N = 1 158 1 500 ?

Total τ X = 186 030 τ Y =?

µX = 186 030

1 158 = 160.65 µY =?

Il est raisonnable de supposer qu’il existe une relation entre le montant

Y des achats du produit Y effectués par un hôpital au cours d’unmois et le nombre X de lits dans cet hôpital : plus grand est l’hôpital(plus il compte de lits), plus il aura tendance à utiliser une grande

quantité du produit. On suppose donc que Y est approximativement proportionnelle à X :

Y ∼= β X ,

où β est une certaine constante inconnue.

La relation Y ∼= β X signifie que, pour tout i ∈ U ,

yi ∼= βxi,

ce qui implique que τ Y ∼= βτ X ,

µY ∼= βµX .

Puisque τ Y ∼= βτ X et que le total τ X de la variable auxiliaire X dans

la population est connu, il suffit, pour estimer τ Y , de trouver uneestimation β̂ de β : on prendra alors

τ̂ Y = β̂τ X et µ̂Y = τ̂ Y N

= β̂ τ X N

= β̂µX

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Supposons qu’un échantillon aléatoire simple de 3 hôpitaux soit sélectionné

par tirage PESR, et que cet échantillon consiste en les hôpitaux 1, 2

et 1 158. Le tableau ci-dessous présente les données relatives à cet

échantillon :

Hôpital sélectionné Nombre de lits Achats du produit Y i xi yi($000)

1 675 500

2 450 350

1 158 1 500 1 100

2 625 1 950

τ Y ∼= βτ X et µY ∼= βµX

⇒ β ∼= τ Y

τ X =

µY µX

On peut dès lors estimer β par

β̂ quot = τ̂ Y τ̂ X

= µ̂Y µ̂X

= y

x

où τ̂ Y , τ̂ X , µ̂Y , µ̂X sont les estimateurs classiques des totaux etmoyennes-population de Y et de X dans le cas du tirage PESR.

On a alors

τ̂ Y ;quot = β̂ quotτ X et µ̂Y ;quot = β̂ quotµX .

Dans notre exemple :

ˆβ quot =

y

x =

1 950/3

2 625/3 =

650

875 = 0.7428⇒ τ̂ Y ;quot = (0.7428)(186 030) = 138 183 ($000)

µ̂Y ;quot = 138 183

1 158 = 119.329 ($000)

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Cette méthode d’estimation de τ Y et µY porte le nom deméthode d’estimation par le quotient (ratio).

8.4.3 Estimation par le quotient (ratio)

Supposons que τ X soit connu et donc, si N est connu, queµX soit connu.Plaçons-nous dans le cadre général du tirage PISR.

(i) Tirage PISR

a) Hypothèse de base

Y ∼= β X (Y est approximativement proportionnelle à X )

⇒

τ Y ∼= βτ X µY ∼= βµX

et donc β ∼= τ Y τ X

= µY µX

Puisque τ X et µX sont connus, il suffit, pour estimer τ Y et µY , d’estimer β . On prendra alors

τ̂ Y ;quot = β̂τ X et µ̂Y ;quot = β̂µX .

b) Estimation

• Estimer β par

β̂ quot = τ̂ Y τ̂ X

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où τ̂ Y et τ̂ X sont les estimateurs de Horwitz-Thompsonde τ Y et τ X :

τ̂ Y = i∈S yi

pi

et τ̂ X = i∈S xi

pi

.

• Cela donne alors

τ̂ Y ;quot = β̂ quot τ X = τ̂ Y τ̂ X

τ X = τ̂ Y τ X τ̂ X

µ̂Y ;quot = β̂ quot µX = τ̂ Y τ̂ X

µX = µ̂Y µX µ̂X

(µ̂Y = τ̂ Y

N et µ̂X = τ̂ X

N ).

• Remarques

- On note que

τ̂ X ;quot = τ̂ X τ X

τ̂ X = τ X

(calage sur le total connu τ X ) et

µ̂X ;quot = µ̂X µX µ̂X

= µX

(calage sur la moyenne connue µX ).

- Poids de sondage initiaux : wi = 1 piPoids de sondage après calage/redressement : wi

τ X τ̂ X

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On trouve dans la littérature statistique une étude appro-fondie du biais et de l’écart quadratique moyen de τ̂ Y ;quot.

On y retrouve aussi une étude de la situation dans laquelle

l’estimateur par le quotient τ̂ Y ;quot est plus précis que l’es-timateur τ̂ Y dans le cadre d’une sélection de l’échantillonpar tirage PESR.

On montre par exemple que, dans le cas du tirage PESR :

• B(τ̂ Y ;quot) ∼= τ Y σ2X ;corr

µ2X

− σX Y ;corr

µX

µY 1−f n

• B(τ̂ Y ;quot) = 0 si, dans la population, les xi et yi(i ∈ U ) sont liés par le modèle

yi = βxi + ui

où les ui (i ∈ U ) sont de petites perturbations sans

rapport avec les xi et de moyenne nulle ( 1N i∈U ui =0), de telle sorte que β = τ Y /τ X = µY /µX (càd ladroite de régression des moindres carrés de Y en X ,dans la population, passe par l’origine et a une penteégale à β = τ Y /τ X = µY /µX ).

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• D’autre part, la droite de régression des moindres carrésde Y en X , dans la population, a pour équationy = α̃ + β̃x avec

β̃ = σX Y

σ2X et α̃ = µY − β̃µX

(minimisation du critère des moindres carrés dans lapopulation U ).On montre que

EQM(τ̂ Y ;quot) 1

2 ·

τ Y τ X

= 1

2 ·

µY µX

,

ce qui revient encore à la condition

α̃ <

µY

2(pente suffisamment forte et ordonnée à l’origine suf-fisamment petite).

N.B.) En pratique, pour vérifier si ces conditions sontsatisfaites, on utilise la droite de régression définie à

partir de l’échantillon S .

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Remarque 1

• Lorsqu’ils disposent de la taille totale N de la popula-tion mais pas nécessairement de variable auxiliaire X ,

les praticiens utilisent aussi assez souvent l’estimateurpar le ratio τ Y ;quot = τ̂ Y N N où

τ̂ Y = i∈S yi

pi

et N = i∈S 1

pi

.

• Cet estimateur permet un calage sur la taille N de lapopulation.En effet, si Y est la variable indiquant l’appartenanceà la population U :

yi = 1 si i ∈ U 0 sinon ,on a

τ Y =i∈U

1 = N et τ Y ;quot = N N

N = N.

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• Si l’échantillonnage est à probabilités égales et de taille fixe (même selon un plan complexe),

i∈U pi = n ⇔ Np = n ⇔ p =

nN = f

⇒ N = i∈S N n = n · N n = N ⇒ τ Y = τ Y ;quot càd que l’estimateur de Horwitz-Thompsonde τ Y est déjà calé sur la taille de la population

• L’intérêt de l’estimateur par le ratio assurant le calagesur N est qu’il permet d’estimer des structures de po-

pulation selon les modalités d’une variable qualitative(proportions) de façon à ce que la somme des propor-tions estimées fasse 1.

Supposons que U soit partitionnée en H classesU 1, U 2, . . . , U H selon les modalités d’une variable qua-litative (sexe, profession, tranche d’âges, . . . ).

Les tailles N 1, N 2, . . . , N H de ces classes sont incon-nues.

On désire estimer, pour tout h ∈ {1, . . . , H }, la pro-portion πh = N h/N d’individus de la population quiappartiennent à la classe U h. Observons que

H h=1

N h = N etH

h=1

πh = 1.

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En utilisant une variable indicatrice de l’appartenanceà U h, l’approche de Horwitz-Thompson fournit l’esti-mateur non biaisé suivant :

N h = i∈S

I [i ∈ U h

]

pi = i∈S ∩U h

1

pi

⇒ π̂h = N h

N

On aH

h=1

N h = H h=1

i∈S ∩U h

1 pi

= i∈S

1 pi

= N ⇒

H h=1

π̂h = N

N = 1 .

Une solution à ce problème consiste à prendre N h;quot = N h N N et donc

πh;quot =

N h;quot

N =

N h

N .

Dans ce cas, on a bienH

h=1

N h;quot = N N H

h=1

N h = N N N = N 19


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etH

h=1

πh;quot =

1

N

H h=1

N h =

N

N = 1 .

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Remarque 2 : Estimation par le produit

Un estimateur alternatif à τ̂ Y ;quot a été proposé lorsque τ X est connu :

τ̂ Y ;prod = τ̂ Y τ̂ X τ X

De même, si on connâıt µX :

µ̂Y ;prod = µ̂Y µ̂X µX

On montre que, dans le cas du tirage PESR,

• B(µ̂Y ;prod) = σX Y ;corr

µX

1−f n

• EQM(µ̂Y ;prod)


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(ii) Tirage stratifié

a) Introduction

• H strates relativement homogènes

1 . . . h . . . H N 1 . . . N h . . . N H → N

µY ;1 . . . µY ;h . . . µY ;H → µY

µX ;1 . . . µX ;h . . . µX ;H → µX PESR ↓ ↓ ↓

n1 . . . nh . . . nH → n

f 1 . . . f h . . . f H

µ̂Y ;1 . . . µ̂Y ;h . . . µ̂Y ;H

µ̂X ;1 . . . µ̂X ;h . . . µ̂X ;H

• Deux situations possibles :1) Situation 1 : µX est connu pour U

2) Situation 2 : µX ;h est connu, pour tout h = 1, . . . , H

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b) Dans la situation 1

Hypothèse de base :

Y ∼= β X

(Y est approximativement proportionnelle à X et la constantede proportionnalité est la même dans toutes les strates)

Etape 1 : estimation de β par β̂ quot = µ̂Y µ̂X

où

µ̂Y =

H h=1

N hN

µ̂Y ;h =

H h=1

N hN

yh

µ̂X =H

h=1

N hN

µ̂X ;h =H

h=1

N hN

xh

Etape 2 : estimation (redressée) de µY par

µ̂(1)Y ;quot =

β̂ quot µX = µ̂Y µX µ̂X

Remarques :

• µ̂(1)X ;quot = µX (calage sur la moyenne connue µX )

• B(µ̂(1)Y ;quot) = 0 si les droites de régression des moindres

carŕes de Y en X ont, dans chaque srate, la mêmepente β = µY /µX et passent par l’origine.

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c) Dans la situation 2

Hypothèse de base : Dans chaque strate U h (h ∈ {1, . . . , H }),

Y ∼= β hX

(Y est approximativement proportionnelle à X , mais laconstante de proportionnalité varie d’une strate à l’autre)

Etape 1 : Pour tout h = 1, . . . , H , estimation de β h par

β̂ h;quot = µ̂Y ;hµ̂X ;h

où

µ̂Y ;h = yh et µ̂X ;h = xh

Etape 2 : Pour tout h = 1, . . . , H , estimation (redressée)de µY ;h par

µ̂Y ;h;quot = β̂ h;quot µX ;h = µ̂Y ;hµX ;h

µ̂X ;hEtape 3 : estimation de µY par

µ̂(2)Y ;quot =

H h=1

N hN

µ̂Y ;h;quot

Remarques :• Pour tout h = 1, . . . , H : µ̂X ;h;quot = µX ;h (calage sur

la moyenne connue µX ;h)

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•

µ̂(2)X ;quot =

H

h=1N hN

µ̂X ;h;quot

=H

h=1

N hN

µX ;h = µX

(calage sur la moyenne connue µX )

• B(µ̂(2)Y ;quot) = 0 si B(µ̂Y ;h;quot) = 0 pour tout h =

1, . . . , H , c’est-à-dire si les droites de régression desmoindres carrés de Y en X dans chaque strate passentpar l’origine (et sont dès lors de pente β h = µY ;h/µX ;h).

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d) Comparaison des situations 1 et 2

• Dans la situation 1, on peut se contenter de connâıtrela moyenne globale µX .

Par contre, dans la situation 2, il faut connâıtre µX ;hpour tout h = 1, . . . , H .

• Les deux estimateurs µ̂(1)Y ;quot et µ̂

(2)Y ;quot sont concur-

rents. On peut montrer que

- si l’échantillon est de petite taille n, le biais est

souvent plus faible avec µ̂(1)Y ;quot ;

- quelle que soit la taille n de l’échantillon, l’EQM

de µ̂(2)Y ;quot est généralement plus faible que celle de

µ̂(1)Y ;quot.

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8.4.4 Estimation par la régression

Il existe des situations où la variable d’intérêt Y est ap-proximativement liée linéairement à une variable auxiliaireconnue X , mais Y ne tend pas vers zéro lorsque X devientnul (Y n’est donc plus simplement proportionnelle à X ).Dans ce cas, il semble raisonnable de supposer que

Y ∼= α + β X

càd

yi ∼= α + βxi pour tout i ∈ U .

On a alors

τ Y =i∈U

yi ∼=i∈U

(α + βxi)

= Nα + β i∈U xi = Nα + βτ X et

µY = τ Y N

∼= α + β τ X N

= α + βµX

Puisque τ X et µX sont connus, il suffit, pour estimer τ Y etµY , d’estimer α et β dans les relations ci-dessus sur base

des n paires d’observations (xi, yi) de l’échantillon.

⇒ Estimation par la régression

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Le principe de l’estimation par la régression peut être aisémentgénéralisé au cas où

Y ∼= α + β 1X 1 + . . . + β J X J

où X 1, . . . , X J sont J variables auxiliaires connues.

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8.5 REDRESSEMENT SUR VARIABLES QUALITATIVES

(post-stratification)

Considérons une situation dans laquelle un échantillon aléatoirestratifié serait souhaitable, mais les unités statistiques nepeuvent être assignées aux différentes strates qu’une foisl’́echantillon prélevé.

Exemple

Considérons une enquête des ménages d’une ville en vued’estimer le montant moyen des dépenses ménagères an-nuelles pour des réparations ou améliorations de l’habi-tat (maison). Puisque l’on peut s’attendre à ce que cesdépenses soient corŕeĺees à l’âge de la ŕesidence du ménage,il serait souhaitable de pouvoir stratifier les résidences dela ville en différents groupes d’âges.

Nous supposerons ici qu’il y a une seule résidence parménage et un seul ménage par résidence.

On dispose d’une liste de toutes les résidences de la ville,indiquant l’adresse exacte - mais pas l’âge - de chaquerésidence. Il est donc impossible, sur base de cette liste,

de prélever un échantillon aléatoire de résidences stratifiésuivant l’âge.

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Par contre, il est possible, à partir de certains fichiers re-latifs aux impôts sur la propríeté prélevés par l’état, dedéterminer le nombre de résidences de la ville dans différentsgroupes d’âges. On connâıt donc la taille des différent(e)sstrates/groupes d’âges, mais on ne peut pas classer a priori les résidences de la ville dans ces différentes strates.

Dans cette situation, il sera possible de sélectionner unéchantillon aléatoire simple (par tirage PESR) de résidenceset donc de ménages, de déterminer ensuite pour chaque

ménage sélectionné l’âge de sa résidence, de classifier ainsia posteriori les résidences sélectionnées dans les différentsgroupes d’âges et de calculer enfin l’estimateur post-stratifié du montant moyen auquel on s’intéresse.

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8.5.1 Introduction

• Variable d’intérêt : Y

• Echantillon PESR de taille n : S

• Estimation de µY ou τ Y :

µ̂Y = 1

n

i∈S yi = y et τ̂ Y = Ny

• Prise en compte a posteriori d’une partition de U en H strates d’effectifs N 1, . . . , N H connus

• Peut-on améliorer l’estimation de µY et τ Y en utilisantcette information ?

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8.5.2 Notations

a) Population

• U = U 1 ∪ . . . ∪ U H et U h ∩ U l = ∅ pour tout h = l ∈ {1, . . . , H }

• τ Y ;h =

i∈U hyi et µY ;h =

τ Y ;hN h

• σ2Y ;h;corr = 1N h−1

i∈U h

(yi − µY ;h)2

• τ Y = H h=1 τ Y ;h et µY = H h=1 N hN µY ;h = τ Y N b) Echantillon

• S (h) = S ∩ U h :partie de S incluse dans la strate h (h = 1, . . . , H )

• nh = effectif de S (h) :cet effectif est aĺeatoire ! !

• yh = 1nh

i∈S (h)

yi

• s2Y ;h;corr = 1nh−1

i∈S (h)

(yi − yh)2

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8.5.3 Estimateurs post-stratifiés

a) Estimation de τ Y et µY

• Estimateur :

τ̂ Y ;post =H

h=1

N hyh

µ̂Y ;post = τ̂ Y ;post

N =

H

h=1N hN

yh

Remarques :

1) L’estimateur post-stratifié est calculé exactement de lamême façon que l’estimateur stratifiéMAIS les observations résultent d’un échantillonnagesimple , et non pas stratifié.

2) Les poids N h/N sont supposés connus pour tout h =1, . . . , H

3) La post-stratification est une méthode de calage sur leseffectifs N h. En effet,

soit X k, la variable indicatrice de l’appartenance àla strate k :

xk,i =

1 si l’individu i ∈ strate k0 sinon

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τ X k =

i∈U xk,i = N k : paramètre connu

τ̂ X k;post =H

h=1 N hxk,h

où xk,h est la moyenne arithmétique de la variable

X k parmi les individus appartenant au sous-échantillon(post-strate) S (h) :

xk,h =

1 si k = h0 si k = h

Dès lors,

τ̂ X k;post = h=k

N h · 0 + N k = N k = τ X k .

4) La post-stratification est moins exigeante en informa-tion auxiliaire que la stratification, car le sondeur n’apas besoin de connâıtre l’information auxiliaire pour

chaque individu de la population, mais seulement unrésumé de cette information au travers des effectifs to-taux N h, h = 1, . . . , H .

• Caractère aĺeatoire de τ̂ Y ;post : 2 niveaux d’aléas :

Niveau 1 : {n1, . . . , nH }

Niveau 2 : unités sélectionnées appartenant à la strateh : {S (1), . . . , S (H )}

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• Espérance mathématique de τ̂ Y ;post :

On montre queE(τ̂ Y ;post) = τ Y

→ τ̂ Y ;post est un estimateur non biaisé de τ Y

• Variance de τ̂ Y ;post :

cf. littérature statistique

• Exemple (suite)

Un EAS de 1 200 ŕesidences/ménages a ét́e sélectionné àpartir de la liste des 45 000 résidences de la ville. Deux desquestions du questionnaire étaient formulées comme suit :

5. Quand votre résidence a-t-elle été construite ?

5.a Il y a moins de 5 ans.

5.b Il y a entre 5 et 10 ans.5.c Il y a plus de 10 ans.

17. A combien s’́el̀event vos dépenses ménagères de l’annéepassée pour des réparations ou améliorations/aménagementsde votre résidence ? $—

Le tableau ci-dessous résume l’information utile. Les nombresdans la 2ème colonne proviennent de fichiers relatifs auximpôts sur la propríeté.

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Population des résidences Echantillon des résidences/

Age de la Nombre de ménages

résidence résidences, N h N h/N nh yh s2Y ;h s

2Y ;h;corr

Moins de 5 ans 5 000 0.111 140 350 610 614Entre 5 et 10 ans 15 000 0.333 420 675 750 752

Plus de 10 ans 25 000 0.556 640 920 940 941

45 000 1 1 200

L’estimation post-stratifiée du montant moyen des dépensesannuelles des ménages pour des réparations ou aménagementsde leur résidence est

µ̂Y ;post = (0.111) 350 + (0.333) 675 + (0.556) 920

= $ 775.14

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• Autre exemple

Considérons une enquête sur le revenu mensuel, où ondécide de post-stratifier sur une variable ”tranche d’âges”.

Le choix d’une telle variable auxiliaire est lié à la fortecorrélation qui existe de manière évidente entre l’âge et lerevenu.

On tire l’échantillon par sondage PESR et on va consul-ter le Recensement pour obtenir la répartition N h/N sui-vante :

50 ansN h/N 20% 35% 30% 15%

Dans l’échantillon, les effectifs sont tels que la répartitionnh/n est la suivante :

50 ansnh/n 15% 30% 30% 25%

yh 900 1 350 2 250 1 800

Si non ne redresse pas sur l’âge, alors on estime le revenumensuel moyen dans la population par

y =H

h=1nhn

yh

= (0.15)900 + (0.30)1 350 + (0.30)2 250 + (0.25)1 800

= 1 665 Euros

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Si on redresse selon la tranche d’âges, alors on estime lerevenu mensuel moyen dans la population par

µ̂Y ;post =

H

h=1N h

N yh

= (0.20)900 + (0.35)1 350 + (0.30)2 250 + (0.15)1 800

= 1 597.5 Euros

En l’absence de post-stratification, le revenu mensuel moyenaurait donc ét́e estimé à un montant plus élevé. En effet, onconstate que, sous l’effet du ”hasard”, l’échantillon com-prend ”trop” de personnes de plus de 50 ans. Or,celles-ciont un revenu mensuel moyen relativement élevé, et leur”sur-représentation” tire la moyenne générale vers des va-leurs trop élevées.

Les deux estimateurs sont sans biais , mais l’estimateurpost-stratifié est plus précis .

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8.5.4 Comparaisons

a) Comparaison avec PESR

• Si N est grand :

Var(µ̂Y ) − Var(µ̂Y ;post) =

1 − f

n

H h=1

N hN

(µY ;h − µY )2

−

1 − f

nN H

h=1 1 −

N hN

σ2Y ;h;corr

La différence Var(µ̂Y ) − Var(µ̂Y ;post) est positive et d’au-tant plus grande que les moyennes µY ;h sont dispersées etque les σ2Y ;h;corr sont faibles.

Toutefois, la différence entre les 2 variances est petitelorsque l’échantillon est de grande taille. Ceci s’explique

par le fait que, lorsque la taille n de l’échantillon aléatoiresimple à partir duquel est calculé l’estimateur post-stratifiéest grande, on peut s’attendre à ce que la proportion des in-dividus sélectionnés qui appartiennent à une certaine strateU h soit approximativement égale à la proportion d’individusde la population qui appartiennent à cette strate, c’est-à-

dire nhn

∼= N h

N .

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8.5.5 Conclusion

Si le hasard ne nous a pas fait sélectionner un échantilloncomprenant des individus trop particuliers, les expressionsdes poids de sondage avant et après redressement devraientdonner lieu à des valeurs numériques voisines.

Les praticiens ont parfois tendance à éprouver une certainedéception lorsque la phase de redressement ne modifie quetrès peu leurs estimations. Cette attitude est quelque peuillogique car une telle constatation est plutôt de bon au-gure et tend à prouver que l’échantillon tiré a une bonnecomposition.

Par ailleurs, ils peuvent avoir tendance, après avoir réaliséun nombre important d’enquêtes pour lesquelles le redres-

sement ne modifiait rien ou presque rien, à accorder uneconfiance excessive à l’échantillonnage et à ne plus enga-ger du tout de procédure de redressement. Il va sans direque cette attitude est particulièrement dangereuse, car ilest nécessaire de maintenir une veille critique vis-à-vis deséventuels caprices du hasard.

Documents

Ponderation Et Redressement