PRÉPARER LA SECONDE ÉPREUVE ÉCRITE D’ADMISSIBILITÉ

MATHÉMATIQUES

DEVOIR N° 1

CONCOURS

DE RECRUTEMENT

DE PROFESSEURS

DES ÉCOLES

RédacteursJacques HUBERTProfesseur agrégé

Christine NIELProfesseure certifiée

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CONNECTÉ À VOTRE AVENIR

PRÉPARER LA SECONDE ÉPREUVE ÉCRITE D’ADMISSIBILITÉ

DEVOIR N° 1 – MATHÉMATIQUES

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N’OUBLIEZ PAS DE JOINDRE LA FICHE INDIVIDUELLE INCLUSE DANS LE GUIDE DE LA FORMATION

PREMIERE PARTIE (13 points)

Un jardinier possède plusieurs seaux pour transporter de l’eau. Ces seaux ont la forme d’un tronc de cône.

Partie A : volume du seau

Ci-contre, on a représenté en perspective cavalière le tronc de cône qui modélise le seau.

B est le centre du disque de base et H celui du disque supérieur.

On a complété la figure pour faire apparaître le cône complet.

On a : BA = 1 dm, HL = 1,5 dm, HB = 3 dm.

On pose aussi (HL) et (BA) parallèles.

1. Prouver que HS = 9 dm et en déduire BS.

2. Calculer alors le volume exact du cône complet, de sommet S et de base le cercle de centre H.

3. Calculer le volume exact du petit cône, de sommet S et de centre B.

4. Prouver alors que le volume exact du seau est 4,75 π dm3. Donner ensuite une valeur approchée au décilitre près.

5. Dans l’énoncé de départ, malgré la présence de 2 angles droits sur le dessin, il est précisé que les droites (HL) et (BA) sont parallèles. Pourquoi cette précision supplémentaire est-elle nécessaire ?

Partie B : masse du seau

En annexe, le patron du cône de sommet S et de base le disque de centre H. La base n’a pas été représentée (représentation à l’échelle 1/10).

1. Calculer une valeur approchée au centimètre de SA et SL.

2. En utilisant le 1., compléter le dessin pour faire apparaître le patron complet du seau.

3. Montrer alors que la surface totale du seau est d’environ : 27 dm².

4. Sachant que le seau est en fer, d’une épaisseur de 0,5 mm, et que la masse volumique du fer est de 7 860 kg/m3, calculer sa masse (arrondir au gramme près).

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Partie C : fabrication du seau

Une usine fabrique ces seaux avec un coût de production journalier en euros définie par : C(x) = 0,2 x² – 1,6 x + 9 avec x (nombre de seaux fabriqués par jour) compris entre 0 et 11.

On donne en annexe la courbe représentative de ce coût.

Chaque seau est vendu 1,20 € pièce.

On rappelle que le bénéfice est la différence entre la recette et le coût.

1. Si l’usine fabrique et vend 6 seaux par jour, fait-elle alors un bénéfice ?

2. Recommencer la question avec 10 seaux.

3. On appelle R(x) la recette que fait l’usine si elle vend x seaux par jour. Exprimer R(x) en fonction de x.

4. Représenter graphiquement cette fonction sur l’annexe.

5. Par lecture graphique, trouver combien l’usine doit vendre de seaux par jour pour faire des bénéfices.

6. Trouvons quand ce bénéfice est maximal :

a. Si on appelle B(x) ce bénéfice exprimé en fonction de x, justifier que B(x) = – 0,2 x² + 2,8 x – 9.b. Vérifier que B(x) = – 0,2(x – 7)² + 0,8.c. En déduire le bénéfice maximal et le nombre correspondant de pièces fabriquées et vendues.d. Le comptable veut mettre sous tableur toutes ces données : voici une capture d’écran de son travail :

Que doit-il mettre comme formule dans les cellules B2, C2 et D2 pour que, par glissement vers le bas, il puisse compléter les colonnes B, C et D ?

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DEUXIÈME PARTIE (13 points)

Exercice 1

Une image numérique en niveau de gris est un tableau de valeurs. Chaque case de ce tableau est appelé « pixel » et contient un entier compris entre 0 et 255. La valeur 0 correspond au noir, la valeur 255 correspond au blanc et les valeurs intermédiaires correspondent aux nuances de gris allant du noir au blanc.

Le statisticien Tukey (1915-2000) qualifie de « valeur aberrante » une valeur d’une série statistique se trouvant en dehors de l’intervalle :

Q1 – 3

2 (Q

3 – Q

1) ; Q

1 + 3

2 (Q

3 – Q

1)

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

(où Q1 et Q3 sont le 1er et 3e quartile de la série).

Afin d’améliorer la qualité d’une image numérique en nuance de gris, on décide de remplacer chaque pixel ayant une valeur aberrante par rapport à la série constituée de lui-même et des 8 pixels qui l’entourent, par la médiane de cette série.

On s’intéresse au tableau de pixels ci-dessous :

100 102 99

101 25 103

103 100 103

1. L’élément central peut-il être considéré comme une valeur aberrante ?

2. Si oui, par quelle valeur doit-on le remplacer ? Cette valeur semble-t-elle plus convenable ?

Exercice 2

Aline, Bernard et Charles disposent chacun d’une urne.

Aline Bernard Charles

Les joueurs se rencontrent 2 par 2 : chacun tire au hasard une boule de son urne. Le gagnant est celui qui a obtenu le numéro le plus grand.

1. Match Aline contre Bernard. À l’aide d’un tableau à double entrée par exemple, donner la probabilité de gagner, pour Aline et pour Bernard.

Qui a le plus de chances de l’emporter ?

2. De même, dans le match Bernard contre Charles, qui a le plus de chances de gagner ?

3. Au vu des résultats des questions 1 et 2 sur l’issue du match d’Aline contre Charles, quelle conjecture logique semble apparaître ?

4. En utilisant la même méthode que pour les questions 1 et 2, validez ou non la conjecture.

Ce phénomène étrange est appelé Paradoxe de Condorcet.

Exercice 3

1. On apprend, au primaire, qu’un nombre est un multiple de 3 si la somme de ses chiffres est elle-même multiple de 3. Prouver ce critère dans le cas d’un nombre à 2 chiffres (que vous pourrez noter ab ) et dans le cas d’un nombre à 3 chiffres (abc).

2. Prouver que la somme de 3 entiers consécutifs est un multiple de 3.

3. Prouver que cette proposition est toujours fausse si on remplace 3 par 4.

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Exercice 4

Un économiste affirme qu’en Europe, la production par habitant a augmenté d’environ 70 % entre 1980 et 2010, ce qui, pour lui, correspond à une augmentation annuelle d’environ 1,8 %.

1. Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier votre réponse.

2. Quel taux annuel doit-on choisir pour que la production double durant un même laps de temps ? (arrondir à 0,1 % près)

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ANNEXE

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TROISIÈME PARTIE (14 points)

Exercice 1

À propos de l’activité Les lapins et les choux, issue de Vers les maths, maternelle grande section, Access éditions.

L’activité est décrite en annexe 1.

1. Quelle est la principale compétence travaillée ?

2. Dans l’étape 2, pour répondre à la question « Combien de lapins dans le terrier ? », quelle est la procédure que l’enseignant espère voir apparaître ?

3. Quelle est la différence essentielle entre l’étape 2 et l’étape 3, et quelle conséquence a-t-elle pour les élèves ?

4. Décrire deux procédures que les élèves peuvent utiliser pour répondre à la question « Combien de lapins dans le jardin. » ?

5. Quels outils l’enseignant peut-il proposer aux élèves en difficulté ? En citer deux.

6. La disposition des choux comme la constellation du dé a-t-elle un intérêt pour les apprentissages ? Si oui, indiquer brièvement pourquoi.

Exercice 2

Voici un exercice proposé dans les Évaluations nationales en CE1 de 2012.

1. De quelle catégorie relève ce problème, en référence à la classification des problèmes additifs de Gérard Vergnaud ?

2. La solution experte de ce problème est une soustraction. Inventez deux énoncés de problèmes de billes qui relèvent chacun d’une autre catégorie de problèmes additifs et précisez laquelle.

3. Analysez chaque production présentée dans l’annexe 2, indiquez les réussites et les erreurs des élèves.

Exercice 3

Vous trouverez en annexe 3, quatre productions en réponse à l’exercice 23 des Évaluations nationales CE1 de 2012, avec la consigne Pose et effectue.

1. Quelle est la technique opératoire utilisée par les élèves G et H ? Effectuer avec cette technique le calcul 2 346 – 1 875.

2. Les élèves E et F utilisent la technique traditionnelle française. Sur quelle propriété se base cette technique ?

3. Vous indiquerez, dans un tableau, les réussites et les erreurs commises par chacun.

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ANNEXE 1

Les lapins et les choux

Voici la description d’une séance observée dans une classe de GS.

Matériel • Unegrandeboîteappeléele«jardin»contenant5feuillesdepapiervertfroisséappeléesles«choux»,fixéesetdisposéesselonla

constellation du dé.

• Uneplaqueencartonassezgrandepourcacherle«jardin».

• Unepetiteboîteaveccouvercleappeléele«terrier»deslapins.

• 5petitesfigurinesdelapins.

• Uneardoise,unfeutred’ardoiseparélève.

OrganisationTravail dirigé avec une demi-classe.

DéroulementÉtape 1 – PrésentationL’enseignant présente le « jardin » et le « terrier ». Il dit la comptine Les 5 petits lapins et les place dans le jardin au fur et à mesure, chacun sur un chou. Il raconte une petite histoire et, à la fin, annonce que les lapins sont fatigués et qu’ils rentrent dans leur terrier. À chaque fois qu’il en met un dans le terrier, il ferme le couvercle et demande « Combien de lapins dans le terrier ? ». À la fin, il fait remarquer que les lapins sont bien 5 dans le terrier.

Étape 2 – « Combien de lapins dans le terrier ? » Les enfants ferment les yeux pendant que l’enseignant place 3 lapins dans le jardin et referme le « terrier » contenant les 2 lapins restants. Seuls les lapins dans le jardin sont donc visibles, placés chacun sur un chou.

Quand les élèves ouvrent les yeux, l’enseignant explique qu’il faut trouver « Combien de lapins dans le terrier ? », et, sans rien dire à ses camarades, écrire ou dessiner sa réponse.

L’enseignant laisse un temps de recherche, puis organise la confrontation des résultats en demandant à quelques élèves d’expliquer comment ils ont fait. Puis la validation se fait en ouvrant le « terrier ». Il recommence plusieurs fois en faisant varier le nombre de lapins dans le jardin.

Étape 3 : « Combien de lapins dans le jardin ? »Les enfants ferment les yeux pendant que l’enseignant place 3 lapins dans le jardin et le recouvre par une plaque en carton.

Quand les élèves ouvrent les yeux, l’enseignant explique que maintenant, il faut trouver « Combien de lapins dans le jardin ?» et montre alors le « terrier » ouvert à tous. Il demande à un élève de compter combien de lapins sont dans le terrier et annonce qu’il y a bien 2 lapins dans le terrier.

Les élèves cherchent, puis écrivent ou dessinent leur réponse et l’activité se poursuit comme dans l’étape 2.

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ANNEXE 2

Élève A

Élève B

Élève C

Élève D

DEVOIR N° 1

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ANNEXE 3

Élève E Élève F

Élève G Élève H