214275799 cours-cned-6-eme-maths

Mathmatiques 6e

Livret de cours

Rdaction :

Claudine Albin-VuarandNicole Cantelou

Marie-Jo QuffelecMarie-France Lefvre

Marc Le Crozler

Coordination :

Jean-Denis Poignet, responsable de formation

Ce cours est la proprit du Cned. Les images et textes intgrs ce cours sont la proprit de leurs auteurs et/ou ayants droit respectifs. Tous ces lments font lobjet dune protection par les dispositions du code franais de la proprit intellectuelle ainsi que par les conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent tre utiliss qu des fins strictement personnelles. Toute reproduction, utilisation collective quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise disposition de tiers dun cours

ou dune uvre intgre ceux-ci sont strictement interdits.Cned-2009

Cned Acadmie en ligne



Sommaire

Squence 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Rgle, .querre, .compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Squence 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

Nombres .dcimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

Squence 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

Squence 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

Multiplication .de .nombres .dcimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Squence 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

Symtrie .axiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Squence 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

Division .Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190




Sommaire

Squence 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Quadrilatres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218

Squence 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Division .dcimale, .critures .fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254

Squence 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Proportionnalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282

Squence 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304

Primtres, .aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Squence 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .338

Gestion .de .donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

Squence 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .366

Paralllpipdes .rectangles . .Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366


conseilsBienvenue au Cned, en classe de 6e ! Avant toute chose, commence par lire soigneusement ces deux pages de conseils :

Je possde le bon matriel

une rgle gradue

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1100

une querre

un compas un rapporteur

9090

une calculatrice

Casiofx-92 Collge 2D TICollge

et du papier ...

- papiermillimtr

- papiercalque

- papierblanc(cest--diresanslignesnicar-reaux)

- uncahierdebrouillon

Je morganise en mathmatiques

1- Le coursLecoursestdivisen12chapitresquenousappellonssquence.Chaquesquenceestcomposeduncertainnombredesancesquetudoisfaireenuneheurechacune.

unesance,cest1hdetravail.

Cned,Mathmatiques 6e


2- Les commentaires du cours

Toutaulongdececours,tupeuxliredutextecomme cecietdutextecommecela. Le texte comme ceci reprsente les conseils suivre au fil du cours, cest en fait la voix de ton professeur qui te suit et te guide au fil de ton cours.

3- Les exercices

ilexistetroisniveauxdedifficultpourlesexercices:

Aucune toile Exercice 1 Cest un exercice que tu dois savoir faire.

Une toile Exercice 11 Cest un exercice plus difficile, mais que tu dois savoir faire.

Deux toiles Exercice 29 Cest un exercice difficile ! Ne te dcourage pas si tu rencontres des difficults.

Cned,Mathmatiques 6e


Sommaire de la squence 1

Sance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Je redcouvre ce quest une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Sance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Je retiens le vocabulaire des droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Sance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13Je dcouvre la demi-droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Sance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Je dcouvre le segment . Je diffrencie droite, demi-droite et segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Sance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Je dcouvre le milieu dun segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Sance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Jtudie les positions de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Sance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Jtudie la mdiatrice et les positions de droites - suite - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Sance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Jtudie les positions de droites - fin - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Sance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Je redcouvre le cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Sance 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Japprends reporter des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Objectifs Savoir tracer une droite, une demi-droite, un segment et un cercle .

tre capable de tracer des droites parallles, des droites perpendiculaires . Savoir dterminer le milieu dun segment .

Apprendre utiliser le compas pour reporter des longueurs .

Apprendre effectuer des dmonstrations .

Ce cours est la proprit du Cned. Les images et textes intgrs ce cours sont la proprit de leurs auteurs et/ou ayants droit

respectifs. Tous ces lments font lobjet dune protection par les dispositions du code franais de la proprit intellectuelle ainsi que

par les conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent tre utiliss qu des fins strictement personnelles. Toute

reproduction, utilisation collective quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise disposition de tiers dun cours

ou dune uvre intgre ceux-ci sont strictement interdits.

Cned-2009


Cned, Mathmatiques 6e 7

Squence 1sance 1

Sance 1Je redcouvre ce quest une droite

Avant de commencer, lis voix haute les objectifs de cette squence : ce sont les comptences que tu vas acqurir tout au long de la premire squence de lanne. Cette squence comporte dix sances denviron une heure.

Maintenant, effectue le test ci-dessous. Il te permettra de faire le point sur des connaissances de lcole primaire qui te seront utiles. Prends ton cahier dexercices la premire page blanche et cris le numro et le titre de la squence : SQUENCE 1 : RGLE, QUERRE, COMPAS . cris ensuite juste en dessous : JE RVISE LES ACQUIS DE LCOLE . Tu noteras les rponses aux cinq questions du test. Une fois le test fini, reporte-toi la partie corrigs afin dtudier ce que lon attendait de toi ainsi que les remarques, observations et conseils du professeur.

Avant de commencer, je te rappelle quune figure, en mathmatiques, est ce que tu dessines avec (ou mme sans) tes instruments de gomtrie (par exemple des droites, des cercles, etc.).

je rvise les acquis de lcole 1- La figure ci-dessous reprsente :

a) une droite

b) une courbe

c) un cercle

d) un segment

- Quelle figure reprsente deux droites qui semblent perpendiculaires ?

a) b)

c) d)

- Quelle figure reprsente deux droites qui semblent parallles ?

a) b)

c) d)

- Pour vrifier que deux droites sont perpendiculaires, jutilise :

a) un disque

b) un rapporteur

c) une querre

d) un compas

- Voici un segment. Le point reprsent par le trait rouge reprsente :

2 cm 2 cm a) la moiti du segment b) le centre du segment

c) le milieu du segment d) une extrmit


Squence 1 sance 1

Cned, Mathmatiques 6e8

Voici maintenant lactivit que tu vas effectuer tout au long de la premire squence : tu auras complter progressivement la carte afin darriver trouver lemplacement dun trsor.


Exercice 1 La Carte au trsorAutrefois, un pirate redoutable et cruel, mais fru de mathmatiques, est venu se rfugier sur une le perdue au milieu de locan : lle de Mathie. Son fabuleux trsor y est cach et personne ne la encore dcouvert malgr la carte que lon retrouva des sicles plus tard. Sauras-tu le localiser ? toi de jouer !

Tu complteras la carte de la page prcdente laide des indications du pirate au fur et mesure que tu avanceras dans la squence.

Indication du pirate : Les pistes rouge et bleue se rejoignent.

Les pistes rouge et bleue, parfaitement rectilignes lpoque, ont partiellement disparu. Elles reprsentent deux droites.

Trace ces deux droites la rgle laide dun crayon papier bien taill. Elles se coupent en un point. Nomme ce point par la lettre K.

Une fois que tu as termin lexercice 1, lis son corrig : pour cela, prends ton livret de corrigs la page 2.Reprsenter une figure demande de la prcision. Les traits doivent tre fins. Pour cela, tu dois avoir du matriel adapt : un crayon papier bien taill, une rgle en bon tat.Avant de poursuivre la recherche du trsor, tu vas devoir approfondir tes connaissances sur les points et les droites.Tu viens de voir quun point sobtenait naturellement comme tant le lieu o se coupent deux droites , mais un point peut aussi se reprsenter tout seul .

cris Exercice 2 dans ton cahier dexercices puis effectue-le.

Exercice 21- Place un point A sur ton cahier (indication : un point se reprsente par une petite croix)

- Recopie et complte :

Pour tracer une droite, jutilise .......................................................... .

- Trace trois droites passant par A. Nomme-les (d),(d) et (d).

Remarques : (d) se lit d prime et (d) se lit d seconde .

- Combien peut-on tracer de droites passant par A ?

a) 1 000 b) 1 000 000 c) plus que nimporte quel nombre : une infinit

Tu as termin lexercice 2 ? Lis son corrig dans ton livret de corrigs.

Lis ensuite attentivement le paragraphe ci-dessous :

Un point se reprsente de trois faons diffrentes :

le point A est sur une droite

le point A est l o se coupent deux droites

le point A se trouve ici



le point A est quelconque

A AA

je retiens

Squence 1sance 1



Remarque : Pourquoi, dans le corrig de la question 3) de lexercice 2, le point A qui se trouve lendroit o se coupent des droites est-il quand mme reprsent par une croix ?

Voici ce quil faut faire :

- si lon te demande dabord de placer un point, tu dois dessiner une croix. Si ensuite tu traces des droites passant par ce point, tu neffaces pas la croix.

- si lon te demande de tracer deux droites qui se coupent en un point, tu nas pas dessiner de croix : le point se trouve lendroit o elles se coupent.

Enfin, pour terminer cette sance, je te propose de rviser tes tables daddition. Si possible, fais-toi interroger par quelquun de ton entourage.

Sance Je retiens le vocabulaire des droites

Effectue lexercice ci-dessous directement sur ton livret.

Exercice 3 La Carte au trsor suite Le Phare du Vent est reprsent par un point que lon appelle V. Note la lettre V sur la carte. La droite reprsente par la piste rouge passe-t-elle par le

point V ?

Entoure la bonne rponse oUi - NoN

Lpave de William est reprsente par un point que lon appelle W.

Marque la lettre W sur la carte. La droite reprsente par la piste bleue passe-t-elle par le point W ?


Prends ton cahier de cours la premire page blanche et note en rouge le numro et le titre de la squence : SQUENCE 1 : DROITE, RGLE, QUERRE . Recopie le paragraphe ci-dessous sur ton cahier :

LES BASES

Droite :

Une droite est une ligne droite illimite des deux cts .

on la reprsente par un trait droit. )(d

on peut la nommer laide dune lettre crite entre parenthses.

Ci-contre, on a par exemple trac la droite (d).

je retiens

Squence 1 sance 2



Droite et point :

on a reprsent ci-dessous deux droites () et (). Le symbole se prononce delta , cest la lettre D crite en grec.

A

() ( )B

La droite () passe par le point A. On peut galement dire et crire : A est un point de la droite () . Le point A appartient la droite () .

La droite () ne passe pas par le point B.On peut galement dire et crire : B nest pas un point de la droite () . Le point B nappartient pas la droite () .

On crit : A () symbole mathmatique signifiant appartient

On crit : B () symbole mathmatique signifiant nappartient pas

Effectue lexercice suivant directement sur ton livret:

Exercice 4 La Carte au trsor suite Nomme respectivement () et () les droites rouge et bleue laide de ton crayon

papier.

respectivement signifie que la premire droite, (), est celle trace en rouge et que la seconde droite, (), est celle trace en bleu. Retiens bien cet adverbe : il sera souvent employ en mathmatiques.

Indication du pirate : La premire piste secrte est rectiligne. Elle passe par lArbre Millnaire et lAncienne tour Fortifie .

Nomme M le point reprsentant lArbre Millnaire et F celui qui reprsente lAncienne tour Fortifie. Trace une droite passant par ces deux points M et F.

Peux-tu tracer une autre droite que la prcdente, passant galement par M et par F ?


on note cette droite la droite (MF).

Lis attentivement ce qui suit :

Proprit : Par deux points distincts (cest--dire diffrents) A et B, il ne passe quune seule droite. on note cette droite (AB) ou (BA).

A

B

je retiens

Squence 1sance 2



Effectue lexercice 5 directement sur ton livret:

Exercice 5 Voici quatre point E, F, G et H.

1- Trace toutes les droites passant par deux de ces points. E

F

GH- Nomme ces droites de deux manires diffrentes :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prends ton cahier dexercices, note exercice 6 et effectue lexercice suivant :

Exercice 6on considre trois points A , B et C. Combien y a-t-il de droites passant par deux de ces points ?

Effectue ensuite lexercice 7 directement sur ton livret.

Tu criras tes rponses au crayon papier et tu corrigeras (si cest ncessaire) une fois que tu auras lu le corrig.

Exercice 7

1- Les points M, o et P semblent-ils aligns ?

- Les points M, N, Q et R sont-ils aligns ?

P

O

M

Q

N

R

Cherche dans le dictionnaire la signification du mot dfinition . Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous.

Dfinition de points aligns :Reconnatre que trois points (ou plus) sont aligns revient reconnatre que ces points appartiennent une mme droite.

je retiens


Squence 1 sance 2


Prends ton cahier dexercices, note ExERCICE 8 et effectue lexercice suivant :

Exercice 8 Place trois points aligns X, Y et Z et trace la droite (XY). La droite (XY) peut se nommer de plusieurs faons. Donne-les toutes.

Effectue ensuite lexercice 9 directement sur ton livret.

Exercice 91- Place S tel que K, N, S dune part et L, M, S K

L

M

N

dautre part soient aligns.

- Place T tel que K, L, T dune part et M, N, T dautre part soient aligns.

Effectue lexercice10 directement sur ton livret:

Exercice 10 La Carte au trsor suitePlace le point B tel que : M, F et B soient aligns

B ().

Enfin, pour terminer cette sance, tu vas faire un peu de calcul mental :

Complte chacune des suites de nombres suivantes :

33 36 39 42 .... .... .... .... ....

23 28 38 43 53 58 68 .... .... .... ....

Rponse :

333639424548515457

2328384353586873838898

Sance Je dcouvre la demi-droite

Pour commencer cette sance, tu vas continuer la recherche du trsor.

Exercice 11 La Carte au trsor suite Indication du pirate : Pour trouver le trsor, tu vas maintenant devoir marcher. Pars du Dolmen du couchant, tourne-lui le dos, rejoins la Source ternelle et poursuis ton chemin (pendant tout le trajet, marche toujours tout droit).

Cette indication doit tamener tracer une demi-droite.

Squence 1sance 3



Nomme D le point reprsentant le Dolmen du couchant et S celui de la Source ternelle.

Trace la demi-droite nomme [DS). Cest la portion de la droite (DS) qui est limite au point D, qui passe par S et qui se prolonge au-del de S.

Tu viens de dcouvrir la notion de demi-droite. Prends maintenant ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous.

Demi-droite :

Une demi-droite est une ligne droite limite dun ct et illimite de lautre .

Une demi-droite dorigine A est une demi-droite limite par le point A. on peut la noter [Ax). A

x

La demi-droite dorigine A passant par le point B se note [AB). AB

je retiens

Remarque : lorsquon nomme une demi-droite, on commence par citer son origine.

Dans la notation [AB), le crochet tourn vers A rappelle que la demi-droite est limite par son origine A et que A est un point de [AB). La parenthse rappelle que la demi-droite est illimite du ct de B.

Effectue lexercice dapplication suivant directement sur le livret.

Exercice 12

1- AB

on a reprsent en bleu la demi-droite dorigine .............. passant par ..............

on la note ..............

- C

Don a reprsent en bleu la demi-droite dorigine ............... passant par ..............

on la note ..............

-

E

F

G 1re possibilit : on a reprsent en bleu la demi-droite dorigine .............. passant par .............. on la note ..............

me possibilit : on a reprsent en bleu la demi-droite dorigine .............. passant par .............. on la note ..............

- H

ITrace la demi-droite dorigine H passant par i. on la note ..............

- J

KL

J, K et L sont des points aligns.

Trace la demi-droite dorigine L passant par J. on la note .............. ou ..............

Effectue les trois exercices suivants sur le livret. Utilise des crayons de couleur pour tracer les demi-droites.

Squence 1 sance 3



Exercice 13Les trois points A, B et C sont aligns.

A

BC

a) Trace en bleu la demi-droite dorigine B passant par A.

b) Trace en vert la demi-droite dorigine B passant par C

c) Ces deux demi-droites ont-elles des points en commun ? Si oui, lesquels ? ..............................................................

d) Que reprsente la partie colorie en vert ou en bleu ?

........................................................................................

Exercice 14 a) Trace en bleu la demi-droite dorigine K passant par L.

M

K

L

b) Trace en vert la demi-droite [LM).

c) Trace en jaune la demi-droite [MK).

d) Trace en rouge la demi-droite [ML).

e) Que reprsente la partie colorie en vert ou en rouge ?

........................................................................................

Le symbole qui signifie appartient , que tu as vu pour un point appartenant une droite sutilise galement avec les demi-droites et les segments. Il en est de mme pour le symbole .

Exercice 15Complte les pointills par ou :

A

B

C

M

r

s t

u

v wN

M .............. [AB)

M .............. [Ar)

M .............. [As)

C .............. [Bt)

C .............. [NB)

C .............. [Cw)

B .............. [CB)

Prends ton cahier dexercices, note exercice 16 et effectue-le.

Exercice 16Trace une demi-droite [Ex). 1- Place un point M tel que : M [Ex).- Place un point N tel que : N [Ex).- Place un point o qui appartient la droite (Ex) et qui nappartient pas la demi-droite

[Ex).- Trace la demi-droite [Mt) telle que o appartienne cette demi-droite.

- Nomme une demi-droite dj trace dont lorigine est le point N et telle que o nappartienne pas cette demi-droite.

Squence 1sance 3




Enfin, pour terminer cette sance, voici un peu de calcul mental :

Ajouter 24, cest ajouter 20 puis 4. Ajouter 36 cest ajouter 30 puis 6.

Utilise cette mthode pour trouver mentalement les rponses ci-dessous :

123 + 24 = ............. 53 + 36 = ............. 432 + 63 = ............. 215 + 81 = ..............

Rponse :

123 + 24 = 14753 + 36 = 89432 + 63 = 495215 + 81 = 296

Sance Je dcouvre le segment.

Je diffrencie droite, demi-droite et segment.Pour commencer cette sance, tu vas continuer la recherche du trsor.

Exercice 17 La Carte au Trsor suite Indication du pirate : Tu as t trop loin : il faut revenir sur tes pas. Pour poursuivre ta

recherche, tu dois rejoindre le Ravin qui se trouve la croise de deux pistes : celle sur laquelle tu te trouves

la piste rectiligne limite par lOurs ptrifi et lArbre th.

Note o le point reprsentant lours Ptrifi et A celui de lArbre Th.

Reprsente la piste rectiligne partant de o et allant jusquau point A. Tu viens de tracer un segment.

On le note [OA] ou [AO] car un segment na pas de sens . Le segment [oA] et la demi-droite [DS) se coupent en R, le point recherch qui

reprsente le Ravin. Marque le point R.

Nous nous rendons alors au point R pour poursuivre notre recherche.

Tu viens de re-dcouvrir la notion de segment. Recopie sa dfinition sur ton cahier de cours la suite de ce qui tait crit prcdemment :

Segment :La partie de la droite (AB) comprise entre les points A

B

A et B est appel le segment dextrmits A et B. A [AB] B [AB] on le note [AB] ou [BA].on mesure la longueur dun segment avec une rgle gradue. on note AB ou BA la longueur du segment [AB].Les phrases suivantes ont la mme signification :

Le segment [AB] mesure 4 cm. ou La longueur du segment [AB] est gale 4 cm. ou AB = 4 cm.

Attention : il ne faut pas confondre [AB] qui dsigne un segment et AB qui dsigne un nombre (puisque cest une longueur).Remarque : On utilise deux crochets lorsquon nomme un segment afin de rappeler quun segment est limit ses deux extrmits et que les deux extrmits appartiennent au segment.

je retiens

Squence 1 sance 4



Effectue directement ci-dessous lexercice dapplication suivant :

Exercice 18

1- A B

on a reprsent le segment dextrmits .............. et ............... .

on le note .............. ou ...............

AB = .............. cm.

- C

D

on a reprsent le segment dextrmits .... et ............... .

on le note .............. ou ..............

.............. = .............. cm.-

EF on a reprsent le segment dextrmits ....

.............. et ............... .

on le note .............. ou ..............

.............. = .............. cm.

- G H I Trace en bleu le segment [GH].

GH = .......... cm.

- J K

LTrace en bleu le segment [KL].

KL = .......... cm.

Effectue lexercice 19 ci-dessous directement sur le livret.

Exercice 19

Sur cette figure sont reprsents : CD

E

la droite ................................

la demi-droite .......................

le segment .............................

Prends maintenant ton cahier dexercices, note exercice 20 , et effectue-le.

Exercice 20

Place deux points R et S. Trace en bleu la demi-droite [RS). Trace en vert la demi-droite [SR).

a) Que reprsente la partie colorie en bleu ou en vert ?

b) Que reprsente la partie colorie la fois en bleu et en vert ?

Effectue lexercice 21 suivant directement sur le livret.

Squence 1sance 4



Exercice 21

on a reprsent quatre points P, Q, R et S.

P

Q

R

S

Trace et nomme tous les segments ayant pour extrmits deux de ces points.

Effectue lexercice suivant directement sur le livret.

Exercice 22observe la figure ci-contre puis complte en remplaant

B

A

C

D

F

E

les pointills par ou .E .............[AB] E ............ [AB) E ............ (AB)

F .............[BC] F ............ [BC) F ............ (BC)

D ............[AC] D .......... [AC) D ............ (AC)

A ............[CA]

Prends ton cahier dexercices, note exercice 23 et effectue lexercice ci-dessous :

Exercice 23Place trois points A, B et C.

1- Trace un point M tel que : M [AB] et M [AB).- Trace un point N tel que : N [BC].- Trace un point P tel que P appartienne [NB) et P nappartienne pas [BN].

- Trace (MN), [NA] et [PM).

Nous allons maintenant apprendre ensemble tracer un segment dont on connat la longueur. Lis attentivement la mthode commente ci-dessous.

je comprends la mthodeTracer un segment [AB] tel que AB = cm

1re tape : On prend une rgle gradue et on trace un trait allant de la graduation 0 la graduation 5.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2me tape : On trace deux petits traits aux extrmits et on note le nom des points : A et B. On peut enfin noter la longueur au-dessus du segment , soit ici 5 cm ou bien seulement 5 (si lunit est le centimtre). Tu nes pas oblig de reprsenter un segment horizontal : tu peux le tracer o tu veux, et dans nimporte quelle direction.

A B5 cm

Squence 1 sance 4



Maintenant que tu sais reprsenter un segment dont on connat la longueur, entrane-toi en effectuant lexercice 24 sur ton cahier dexercices. Noublie pas avant de commencer par crire ExERCICE 24 .

Exercice 24a) Trace un segment [EF] tel que EF = 7 cm.

b) Trace un segment [EG] tel que EG = 3 cm.

c) Trace un segment [FH] tel que FH = 4,5 cm

Enfin, pour terminer cette sance, voici un peu de calcul mental :

Ajouter 19, cest ajouter 20 puis retrancher 1. Ajouter 29, cest ajouter 30 puis retrancher 1.

Utilise cette mthode pour trouver mentalement les rponses ci-dessous.

64 + 19 = .................. 67 + 29 = .................. 137 + 49 = ................ 248 + 39 = ................

Rponse :

64 + 19 = 8367 + 29 = 96137 + 49 = 186248 + 39 = 287

Sance Je dcouvre le milieu dun segment

Exercice 25 a) Trace un segment [CD] tel que CD = 8 cm.

b) Place sur ce segment le point I tel que CI = 4 cm.

c) Dtermine la longueur DI (dterminer veut dire calculer).

d) Que peux-tu dire des longueurs CI et DI ?

Recopie sur ton cahier de cours, la suite de ce que tu as dj crit :

Dfinition du milieu dun segment : Le milieu I du segment [AB] est le seul point du segment [AB] tel que IA = IB.

A

BI

Les deux petits traits bleus sur le segment [AI] et sur le segment [IB] signifient que les segments [AI] et [IB] ont la mme longueur. On les appelle un codage . Ils permettent de visualiser lgalit de longueur sur la figure. On peut utiliser de nombreux codages diffrents (deux traits, trois traits, une croix, un petit cercle...) pour signifier que des segments sont de mme longueur.

Remarque : cette dfinition signifie que le milieu dun segment est lunique point (cest--dire quil ny en a pas dautre) qui vrifie la fois les deux conditions suivantes : I est un point du segment [AB] (cest--dire I [AB] ) I est la mme distance de A que de B (cest--dire IA = IB ).

je retiens

Squence 1sance 5


Effectue maintenant les exercices dapplication ci-dessous sur ton livret.

Exercice 26 1- Place les milieux I, J et K respectifs

FC A

D

B

E

des segments [AB], [CD] et [EF] et code les segments de mme longueur.

- Que peux-tu dire des points I, J et K ?

.....................................................................

.....................................................................

Exercice 27 1- Place les milieux I, J et K respectifs

LM

N

des segments [NL], [MN] et [ML] et code les segments de mme longueur.

- Trace les droites (IM), puis (JL) et enfin (KN).

- Que remarques-tu ? .............................

...............................................................

...............................................................

Exercice 28 La Carte au trsor suite Rappel : Tu te trouves au Ravin reprsent par le point R.

Indication du pirate : Marche maintenant tout droit jusquau milieu de la piste rectiligne limite par le Ravin et la Pyramide de Mathie. Nomme P le point reprsentant la Pyramide de Mathie.

Trace le segment [RP].

Place le milieu U du segment [RP]. Pour cela, mesure la longueur de ce segment.

Rejoignons maintenant le point U pour poursuivre notre recherche.

Exercice 29

Dans la figure ci-contre : A

B

C

D

F

E

AB = BC = CD = DA

CE = CF

C [AF]

Squence 1 sance 5




1- Code les segments de mme longueur.

- on suppose de plus que C est le milieu de [AE]. Explique pourquoi : CA = CF.

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................- Pourquoi C nest-il pas le milieu du segment [AF] ?

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

Exercice 30Dans la figure ci-contre, on a :

B

A

D

E

F

CB [AC] et F [AE]. on sait galement que CD nest pas gal BC.a) B est-il le milieu de [AC] ?

Explique ta rponse.

............................................................................................

............................................................................................b) F est- il le milieu de [AE] ?

Explique ta rponse.

............................................................................................

............................................................................................

Prends ton cahier dexercices, note Exercice 31 et effectue lexercice ci-dessous.

Exercice 311- Trace :

a) un segment [AB] de 5 cm b) le point D tel que B soit le milieu de [AD].

c) le point E de [DB) tel que : DE = 8 cm d) le point F de [BD] tel que : BF = 3 cm

- Calcule AD, AE, EB.

- Que reprsente B pour le segment [EF] ? Justifie ta rponse

Finissons cette sance par un peu de calcul mental :

Complte les cases ci-dessous :

16 77

+5 +14 +29 +13 +39

Rponse :

1621356477

+5+14

+29

+13

+39

116

Squence 1sance 5


Cned, Mathmatiques 6e

Sance Jtudie les positions de droites

Effectue lexercice ci-dessous :

(d1)

(d2)

(d3)(d4)

(d5)

Exercice 32 on a reprsent 5 droites.1- Cite deux droites qui semblent ne jamais se

couper ...............................................................

- Cite deux droites qui se coupent, puis deux autres, puis deux autres. ................................................

- Cite deux droites qui semblent se couper en formant un angle droit ...................................

Recopie ce qui suit sur ton cahier de cours, la suite :

LES DROITES

Dfinition de deux droites scantes :

on dit que deux droites sont scantes lorsquelles ont un point commun et un seul.

(d')(d)

I

Exemple :Ci-contre, (d) et (d) sont scantes.I est le point dintersection des droites (d) et (d).I (d) et I (d).On dit galement : les droites (d) et (d) sont scantes en I.

Dfinition de deux droites perpendiculaires :Deux droites scantes qui forment un angle droit sont appeles des droites perpendiculaires.

(d')

(d)

I

Exemple :Pour exprimer quune droite est perpendiculaire une autre, on utilise le symbole . on crit : (d) (d) Le symbole signifie : est perpendiculaire .Pour coder langle droit sur la figure, on reprsente un petit carr (un seul carr suffit). Remarque : Des droites perpendiculaires sont des droites scantes particulires

Dfinition de deux droites parallles :Deux droites qui ne sont pas scantes sont appeles des droites parallles.

(d')(d)

Exemple :Pour exprimer quune droite est parallle une autre, on utilise le symbole // . on crit : (d) // (d).Le symbole // signifie : est parallle .

j e retiens

Squence 1 sance 6



Effectue les deux exercices ci-dessous sur ton livret :

Exercice 33indique, en compltant les pointills, si les droites semblent perpendiculaires ou ne sont pas perpendiculaires .

1- Les droites ...............................

perpendiculaires.

- Les droites ...............................

perpendiculaires.

- Les droites ...............................

perpendiculaires.

- Les droites ...............................

perpendiculaires.

Exercice 34indique, en compltant les pointills, si les droites semblent ou ne sont pas parallles.

1- Les droites ...............................

parallles.

- Les droites ...............................

parallles.

- Les droites ...............................

parallles.

- Les droites ...............................

parallles.

Prends ton cahier dexercices et effectue les deux exercices suivants :

Exercice 35

1- Trace une droite (d) perpendiculaire ().

()

Trace une autre droite (d) perpendiculaire (). Trace une nouvelle autre droite (d) perpendiculaire ().

- Combien de droites perpendiculaires () peux-tu tracer ? Coche la bonne rponse.

a) Je peux tracer une seule droite perpendiculaire ().

b) Je peux tracer beaucoup de droites perpendiculaires () mais au bout dun moment , je ne peux plus.

c) Je peux tracer une infinit de droites perpendiculaires ().

Squence 1sance 6



Exercice 361- Trace une droite perpendiculaire (d)

(d)

C

K

passant par le point C.

- Peux-tu tracer une autre droite perpendiculaire (d) passant par le point C ?

Entoure la bonne rponse : oUi NoN

- Trace une droite perpendiculaire (d) passant par le point K.

- Peux-tu tracer une autre droite perpendiculaire (d) passant par le point K ?

Entoure la bonne rponse : oUi NoN

Lis lencadr ci-dessous :

Proprit :

Soit une droite (d) et un point A. il existe une seule (d)

A

(d)

A

droite passant par A et perpendiculaire (d).

j e retiens

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous. Tu devras lappliquer dans les prochains exercices.

je comprends la mthodeTracer la perpendiculaire (d) la droite (d) passant par le point A A

(d)

1- on place un ct de langle droit de lquerre le long de la droite, on fait glisser lquerre le long de la droite jusqu ce que le point A se trouve sur lautre ct de langle droit de lquerre.

- on trace la droite passant par A et longeant le ct de langle droit passant par A.

- on prolonge le trait laide dune rgle et on code langle droit : on place un petit carr lintersection des deux droites. on crit (d) le nom de la droite.

A

(d)(d)

AA

(d)

(d')

Applique la mthode prcdente dans lexercice qui suit.

Squence 1 sance 6



Exercice 37Dans les diffrents cas suivants, construis la droite () passant par M et perpendiculaire (d).

M

(d)

M(d)

M

(d) M

(d)

Prends ton cahier dexercices et effectue lexercice suivant :

Exercice 381- Trace : E

F G

la droite (d1) passant par E et perpendiculaire (FG)

la droite (d2) passant par F et perpendiculaire (EG)

la droite (d3) passant par G et perpendiculaire (EF).

- Que peux-tu dire des droites (d1),(d2) et (d3) ?

Exercice 39 La Carte au trsor suite Rappel : Tu es sur la piste reliant le Ravin au point U. Tu te trouves au point P.

Indication du pirate : Repre la piste perpendiculaire la tienne et suis-la sur 10 km (tu nauras pas nager !). Trace la perpendiculaire au segment [RP] passant par le point U. Nomme-la (d).

Place le point X tel que :

X est sur la droite (d)

X est 10 km de U

X se trouve sur lle.

Nous marchons jusquau point X. Nous nous rapprochons du trsor ...

Squence 1sance 6



Recopie ce qui suit sur ton cahier de cours, la suite :

Dfinitions de droites concourantes :

Dire que trois droites ou plus sont concourantes, cest dire que ces droites ont un point commun et un seul.

Exemple : les droites (d), (d) et (d) sont concourantes en I.

(d')

(d)

(d'')

I. I est le point commun aux droites (d), (d) et (d).

On dit aussi : I est le point de concours des droites (d), (d) et (d).

I (d) I (d) I (d)

j e retiens

Effectue enfin les deux exercices ci-dessous sur ton livret :

Exercice 40 AB

F

G

M

Construis le point K tel que lon ait la fois :

les points F, G et K aligns

(MK) (AB).

Exercice 41observe bien la figure qui suit. Essaie de comprendre la mthode de construction et continue la figure jusqu ce quun des points entre dans la case cible . Tu obtiendras alors une figure appele : lescargot de Pythagore .

Squence 1 sance 6



2

cible

point de dpart

Indication : la figure doit ressembler ceci :


Rends-toi la page des tables la fin de ce livret. Revois les tables de multiplication par 2, 3 et 4 et fais-toi interroger si tu le peux.

Squence 1sance 6



Sance 7Jtudie les positions de droites - suite -

Recopie sur ton cahier de cours et la suite :

Dfinition de la mdiatrice :La mdiatrice dun segment est la droite perpendiculaire

AB

(d)

I

ce segment en son milieu.

Remarque : cette dfinition signifie que la mdiatrice dun segment est la seule droite qui

est perpendiculaire au segment

le coupe en son milieu. (d) est la mdiatrice de [AB] : (d) (AB) et I est le milieu de [AB]

j e retiens

Prends ton cahier dexercices et effectue lexercice suivant :

Exercice 42Prcise, en justifiant ta rponse, si la droite (d) est la mdiatrice du segment [MN] dans les diffrents cas suivants :

a) M

N

(d) b)

M

N

(d)c)

M

N

(d)

Effectue les exercices suivants directement sur ton livret.

Exercice 43 Trace la mdiatrice (d) du segment [GH] et la mdiatrice () du segment [CB].

G

H

CB

Squence 1 sance 7



Squence 1sance 7

Exercice 44

OP

Q1- Trace les mdiatrices (d1), (d2) et (d3)

respectives des segments [oP], [PQ] et [Qo].

- Que peux-tu dire des droites (d1), (d2) et (d3) ?

.......................................................

.......................................................

.......................................................

Remarque : (d1), (d2) et (d3) se lisent d un , d deux et d trois .

Exercice 45 (d1)

Trace une droite (d2) perpendiculaire la droite (d1) puis une droite (d3) perpendiculaire (d1). Que peut-on dire des droites (d2) et (d3) ? .......................................................

.......................................................

.......................................................

Tu viens de voir que deux droites perpendiculaires toutes les deux une mme troisime droite semblent parallles. En fait, ce rsultat est toujours vrai. partir de maintenant, on considrera que ce rsultat est toujours vrai : ce rsultat sappelle une proprit.

Recopie sur ton cahier de cours et la suite la proprit suivante :

Proprit 1 :

Si deux droites sont perpendiculaires une mme troisime droite,

(d2 )

(d3 )

(d1)

alors elles sont parallles.

Ceci scrit galement :

Si (d2) (d1) et (d3) (d1) alors (d2) // (d3)

j e retiens

En mathmatiques, on ne peut affirmer un rsultat que si on la prouv (on dit dmontr). Cette anne, tu vas apprendre dmontrer des rsultats (cest--dire faire des dmonstrations). Pour cela, on ne peut utiliser que ce que lon sait daprs lnonc et le cours.

Ce que lon sait daprs lnonc (et ventuellement une question prcdente) sappelle les donnes.

Une proprit, comme celle que nous venons de voir prcdemment, est un outil important pour faire des dmonstrations.



Nous allons commencer par apprendre faire un plan de dmonstration. Etudions ce que nous appelons un plan de dmonstration sur un exemple :

je comprends la mthodeEffectuer un plan de dmonstration permettant de dmontrer que (d) et (d) sont parallles

(d)

(d)

(d ) 1- Voici les donnes (ce que lon sait) : (d) (d) et (d) (d).

- on sait que : Si deux droites sont perpendiculaires une mme troisime droite, alors elles sont parallles .

- on rassemble alors ces informations dans le tableau suivant :

on sait que : (d) (d) et (d) (d)

on applique la proprit : Si deux droites sont perpendiculaires une mme troisime droite, alors elles sont parallles.

on dduit que :

(d) // (d)

Remplis les deux plans de dmonstration suivants :

Exercice 46a)

on sait que : ............................................................

(d )

(d1)

()

on applique la proprit : ........................................

.................................................................................

.................................................................................

on dduit que : ............................................................

b) on sait que :

............................................................

(d1)

(d2)

(d3) on applique la proprit : ........................................

.................................................................................

.................................................................................

on dduit que : ............................................................

Squence 1 sance 7



Effectue les trois exercices suivants :

Exercice 47Complte les deux plans de dmonstration ci-dessous :

1- on sait que :

(d) () et () ()


on dduit que : ...................................

- on sait que :

............ et (d) (d)


on dduit que :

(d) // ()

Exercice 48

1- Dmontre que (d1) et (d3) sont parallles.

J

K

L

(d1)

(d2) (d3)

(d4)

Tu feras un plan de dmonstration.

- Que peux-tu dire des droites (d2) et (d4) ?

Tu feras un plan de dmonstration.

Figure main leve

Exercice 49on considre trois points A, B et C aligns dans cet ordre tels que AB = 4 cm et AC = 7 cm.1- Trace la droite (d) passant par C et perpendiculaire la droite (AB).

- Trace la mdiatrice () du segment [AB].- Dmontre que les droites () et (AB) sont perpendiculaires. Tu feras un plan de dmonstration.- Que peux-tu dire des droites () et (d) ? Tu feras un plan de dmonstration.

Squence 1sance 7




Rends-toi la page des tables la fin de ce livret. Revois les tables de multiplication par 5, 6 et 7 puis fais-toi interroger si tu le peux.

Sance 8Jtudie les positions de droites - fin -

Effectue lexercice ci-dessous :

Exercice 50

(d)

A

1- Trace la droite () perpendiculaire (d) et passant par A.

- Comment tracer une droite (d) parallle (d) et passant par A ?

...........

...........

...........

- Combien selon toi peut-on tracer de droites parallles (d) et passant par A ?

...........

...........

...........

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

Proprit :

Soit une droite (d) et un point A. il existe une seule droite (d)

(d)

(d')

A

passant par A et parallle (d). (d) // (d) A (d)

j e retiens

Squence 1 sance 8



On peut tracer (d) en traant la droite reprsente dans le je retiens en pointills. Cependant, je te conseille dapprendre tracer (d) sans faire ce trac intermdiaire. Pour cela, lis attentivement lencadr suivant :

je comprends la mthode

(d)

ATracer (d) la parallle une droite (d) passant par le point A

1- on place un ct de langle droit de lquerre le long de la droite, on fait glisser lquerre le long de la droite jusqu ce que le point A se trouve sur lautre ct de langle droit de lquerre.

- Ensuite, on place la rgle le long du bord de lquerre qui est perpendiculaire la droite (d).

(d)

A

(d)

A

- on fait glisser lquerre le long de la rgle jusqu ce que le point A se trouve sur lautre ct de langle droit de lquerre. on trace la droite passant par A et qui longe ce ct.

44 on nomme (d) la droite trace.

(d)

A

(d)

(d')

A

Entrane-toi en effectuant les exercices ci-aprs directement sur ton livret.

Squence 1sance 8



Exercice 51 Dans chacun des cas suivants trace la parallle (d) la droite (d) passant par A.

a)

(d)A

b)

(d)

A

Exercice 52

Construis le point D tel que (BD) A

B

C

soit perpendiculaire (AC) et (CD) soit parallle (AB).

Exercice 53 La Carte au trsor suite Rappel : Tu te trouves au point X.

Indication du pirate : Repre la piste passant par lendroit o tu te trouves et qui est parallle la piste passant par le Ravin et la Source ternelle Trace la parallle la droite (RS) passant par le point X. Nomme-la (d).

Nous marcherons dans cette direction au prochain pisode.

Prends maintenant ton cahier dexercices et effectue lexercice suivant :

Exercice 54 1- Trace trois droites (d1), (d2) et (d3) telles que : (d1) // (d2) et (d1) (d3).

- Que peux-tu dire des droites (d2) et (d3) ?

Prends ton cahier de synthse et cris le paragraphe ci-dessous :

Proprit :

Soient deux droites parallles. (d1)

(d2)

(d3)

Si une troisime droite est perpendiculaire lune de ces deux droites, alors elle est perpendiculaire lautre.

Si (d1) // (d2) et (d3) (d1) alors (d3) (d2).

j e retiens

Squence 1 sance 8



Nous allons apprendre utiliser la proprit prcdente pour faire des dmonstrations :

je comprends la mthodeEffectuer un plan de dmonstration permettant

de dmontrer que (d1) et (d2) sont perpendiculaires(d1)

(d2)

(d3)

1- Voici les donnes (ce que lon sait) : (d2) // (d3) et (d1) (d3). - on connat la proprit : Soient deux droites parallles. Si une

troisime droite est perpendiculaire lune de ces deux droites, alors elle est perpendiculaire lautre .

- on rassemble alors ces informations dans le tableau suivant :

on sait que : (d2) // (d3) et (d1) (d3)

on applique la proprit : Soient deux droites

parallles. Si une troisime droite est perpendiculaire lune de ces deux droites, alors elle est perpendiculaire lautre.

on dduit que : (d1) (d2)

Remplis les deux plans de dmonstration suivants :

Exercice 55 (d')

() (d)

a) on sait que :

............................................................

on applique la proprit : ...................................

............................................................................

............................................................................

on dduit que :

............................................................ (d) // ()

b)

on sait que :

............................................................

(d1)

(d2)

(d3) on applique la proprit : ...................................

............................................................................

............................................................................

on dduit que :

............................................................

Squence 1sance 8



Squence 1 sance 8

Prends ton cahier dexercices et effectue les deux exercices ci-dessous :

Exercice 56 on considre la figure main leve ci-contre.

(d1)

(d2 )

(d4)

(d3)

Les droites (d1) et (d3) sont parallles.

1- Dmontre que (d2) est perpendiculaire (d3).

- Dmontre que (d2) et (d4) sont parallles.

Exercice 57 1- Dans la figure ci-contre on a :

(d1)

(d3)

(d2)

(d1)//(d2) et (d3)//(d2).

Trace une droite () perpendiculaire (d2) directement sur la figure de ton livret.

Rponds aux questions suivantes sur ton cahier.

- Que peut-on dire de (d1) et () ?

- Que peut-on dire de (d3) et () ?

- Que peut-on dire de (d1) et (d3) ?

- Quelle proprit vient-on de dmontrer dans cet exercice ?

Prends ton cahier de cours et cris le paragraphe ci-dessous :

Proprit :

Si deux droites sont parallles une troisime droite, (d1)

(d3)(d2)

alors elles sont parallles entre elles.

Si (d1) // (d2) et (d1) //(d3) alors (d2) // (d3)

j e retiens



Prends ton cahier dexercices et effectue lexercice ci-dessous :

Exercice 58

1- Trace la droite (d) passant par B et CB

A

D

E

perpendiculaire (AD) puis la droite (d) passant par C et perpendiculaire (d) et enfin la droite (d) passant par E et parallle (d).

- Dmontre que : (AD) // (d).

- Que peut-on dire des droites (AD) et (d) ?

Finissons cette sance par un peu de calcul mental :Rends-toi la page des tables, la fin de ton livret. Revois les tables de multiplication par 8 et 9, puis fais-toi interroger si possible.

Sance 9Je redcouvre le cercle

Voici un exercice qui va te faire dcouvrir ce quest un cercle.

Exercice 59 Effectue la premire partie de cet exercice sur ton livret de cours :

Premire partie : 1- on a plac les points A, B, C, D, E

et F sur un cercle C .Complte aprs avoir effectu une mesure :

oA = . ............ cm oB = ............. cm

oC = ............ cm oD = ............. cm

oE = ............ cm oF = ............. cm

Que remarques-tu ?

...........................................................

...........................................................

...........................................................- Place trois points J, K et L tels que :

oJ = 1 cm, oK = 2,5 cm , oL = 3 cm.

Les points situs moins de 4 cm du point o semblent se trouver .....................................

.........................................................................................................................................

.........................................................................................................................................

Squence 1sance 9

O

B

D

F

E

A

C

C



- Place trois points M, N et P tels que oM = 4,5 cm, oN = 5 cm, oP = 6 cm. Les points situs plus de 4 cm du point o semblent se trouver .........................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

cris ExERCICE 59 sur ton cahier dexercices et effectue la deuxime partie de cet exercice :

Deuxime partie :

Place un point o au milieu de ta feuille puis place six points G, H , I, J, K et L tels que :

oG = oH = oI = oJ = oK = oL = 3 cm.

Que remarques-tu ? .........................................................................................................

.........................................................................................................................................

Prends ton cahier de synthse et cris le paragraphe ci-dessous.

Dfinition du CERCLE

Le cercleC de centre o et de rayon 2 cm est lensemble

O

C M

2 cm

de tous les points situs 2 cm du point o. Autrement dit : Si M C alors oM = 2 cm. Si oM = 2 cm alors M C . Remarque : le centre O du cercle nest pas un point du cercle.

j e retiens

Maintenant que tu as vu ce qutait un cercle, effectue cet exercice dapplication directement sur le livret.

Exercice 60 1- Le centre du cercle passant par ..........

H

B

D

F

E

A

C

G H, E et C est un des points de la figure. laide dune rgle gradue, trouve-le. ..........................................

- Le centre du cercle passant par B, D et F est un des points de la figure. laide dune rgle gradue, trouve-le. ..........................................

- Le cercle de centre G passant par le point C passe par un des points de la figure. laide dune rgle gradue, trouve-le. ..........................................

Prends maintenant ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-aprs. Le vocabulaire concernant le cercle est apprendre et retenir.

Squence 1 sance 9



Vocabulaire :

Soit un cercle C de centre o et de rayon 2,5 cm.

OC

K

L

A B

AB

C

Un rayon est un segment dont les extrmits sont un point du cercle et le centre o du cercle. Exemples : [oC], [oL], [oK] Le rayon est la longueur de chaque rayon soit ici 2,5 cm.

Une corde est un segment dont les extrmits sont deux points du cercle. Exemple : [AB]

Un diamtre est une corde qui passe par le centre o du cercle. Exemple : [KL] Le diamtre est la longueur de chaque diamtre soit ici 2 x 2,5 soit 5 cm.

Larc AB est la plus petite portion de cercle comprise entre les points A et B.

j e retiens

Les cercles sont des formes que lon retrouve souvent dans la nature. En voici un exemple : des cercles obtenus en lanant une pierre la surface dun lac. Ces cercles ont tous le mme centre : on dit alors quils sont concentriques.

Cned

Exerce-toi maintenant tracer des cercles en faisant lexercice ci-dessous sur ton cahier dexercices.

Exercice 61 1- Trace un cercle de centre Y et

de rayon 3 cm.

C

B

A- Trace un cercle de centre Z et

de diamtre 4 cm. (Effectue la suite de lexercice sur ton livret)

- a) Trace le cercle C 1 de centre A et passant par C.b) Trace le cercle C 2 de centre B

et passant par C.c) Trace le cercle C 3 de centre C

et passant par B.

Tu as vu comment tracer un cercle de diamtre 4 cm. Lis attentivement lencadr ci-aprs, il tapprendra tracer un cercle dont on connat un diamtre (et non le diamtre : ce nest pas la mme chose ! ).

Squence 1sance 9



je comprends la mthodeTracer le cercle de diamtre [EF]

1- on veut tracer le cercle de diamtre [EF].

- on mesure [EF]. on trouve 6 cm. on place alors le milieu de [EF] 3 cm de E sur [EF].

- on pointe le compas sur le milieu du segment, on prend pour cartement la distance entre ce point et F (3 cm) et on trace le cercle.

E

F E

F

0 12 3

4 56 7

EF

Effectue maintenant les trois exercices suivants sur ton cahier dexercices.

Exercice 62 1- Trace un segment [CD] de 7 cm.

- on considre le cercle C de diamtre [CD]. Place o le centre du cercle C .- Trace le cercle C de diamtre [CD].- Trace une corde [CE] telle que CE = 4 cm.

- Reprsente en vert larc DE.

Exercice 63

Trace un segment [EF] de 3 cm. Quels sont les points situs la fois 4 cm de E et 5 cm de F ?

Exercice 64

1- Trace deux points K et L tels que : KL = 6 cm.

- Trace le cercle C de centre K et de rayon 4 cm puis le cercle C de centre L et de rayon 3 cm.

- Hachure en vert la zone o les points sont situs moins de 4 cm de K.

- Hachure en bleu la zone o les points sont situs moins de 3 cm de L.

- Quelle est la zone o sont situs les points moins de 4 cm de K et moins de 3 cm de L ?

Squence 1 sance 9



Exercice 65 La Carte au trsor suite Rappel : Tu te trouves au point X.

Indication du pirate : Le point Y o tu dois aller se trouve sur la piste reprsente par la droite (d). Il se trouve km du Gu du diable et il doit te rapprocher de larbre Millnaire . Note G le Gu du diable.

Trace lensemble des points situs 6 km du point G.

Le point Y se trouve 6 km du point G sur (d) et il doit tre en sorte que lon se rapproche de M . Place le point Y sur la carte.

Nous marchons jusquau point Y. Il ne reste plus quune tape franchir avant de trouver le trsor !

Effectue maintenant lexercice suivant directement sur ton cours.

Exercice 66

Construis le point A tel que A appartienne au cercle

MO

N

de diamtre [MN] et (AN) // ( Mo).

Exercice 67

Construis un point B tel que

dune part, B appartienne au cercle

L K

P R

de centre K passant par L.

dautre part : (BP) (KR).


Complte les pointills :

4 x .............. = 24 6 x ............. = 36 5 x ................= 45 6 x ............... = 54

Rponse :

4 x 6 = 246 x 6 = 365 x 9 = 456 x 9 = 54

Squence 1sance 9



Sance 10Japprends reporter des longueurs

Nous allons commencer cette sance par des exercices de reproduction de figures mathmatiques. Prends ton cahier dexercices et effectue les exercices suivants :

Exercice 68 La figure ci-contre est reprsente

A I B

C

D

5,5 cm

4 cm

main leve. Reproduis-la laide dune rgle gradue et dune querre.

I [AB]

Exercice 69

Reproduis la figure ci-contre.

3 cm 3 cm

Nous allons maintenant apprendre, partir dune figure, crire une consigne (un petit texte) permettant quelquun qui ne verrait pas la figure de pouvoir la tracer. Lis attentivement le paragraphe ci-aprs :

Squence 1 sance 10



je comprends la mthodecrire un texte permettant de reproduire la figure ci-dessous

A B

C

D

C (d) il sagit de reprer les caractristiques de la figure pour permettre quelquun qui naurait pas vu la figure de pouvoir la reproduire. on trace un triangle ABC. on trace le cercle C dont [AC] est

un diamtre . D est le centre du cercle C . on trace le segment [BD]. La droite (d) est la droite perpendiculaire

(AB) passant par le point B.

Attention : Quand on dit reproduire une figure , on ne veut pas dire

AD

C

C

B(d)

reproduire lidentique , comme on pourrait le faire avec un papier calque, mais reproduire une figure qui possde les mmes proprits mathmatiques, comme par exemple ici la figure ci-contre.

Entrane-toi en effectuant sur ton cahier dexercices, lexercice suivant :

Exercice 70

cris un texte permettant de reproduire cette figure.

B

C

A

I

C

D

5 cm

Squence 1sance 10



Nous allons maintenant dcouvrir lutilisation du compas pour reporter des longueurs, qui est une mthode que lon utilise constamment en gomtrie :

je comprends la mthodetant donn un segment [AB] et un point C, tracer un point D tel que : CD = AB

1- Je trace une demi-droite dorigine C. - Je prends comme cartement de compas la longueur du segment [AB].

A B

C

x

A BC

x

- Je trace le cercle de centre C avec lcartement prcdent du compas. - Le cercle coupe la demi-droite au point D.

x

C

CD

x

Entrane-toi en effectuant les quatre exercices suivants :

Exercice 71

a) Trace le point Z sur la demi-droite [Dw) tel que : DZ = AB

b) Trace deux points X et Y sur la droite (d) tels que : AX = AY = JK

A

B

D

w

J

A

(d) K

Squence 1 sance 10



Squence 1sance 10

Exercice 72

Construis un point Y sur la demi-droite [Fx)

x

A

B

C

D

F

tel que :

FY = AB + CD.

Exercice 73

Sans utiliser une rgle, compare AY et

I

M

A

Y

N

J

K

L

KL + MN + IJ.

.................................................................

.................................................................

.................................................................

.................................................................

Exercice 74

1- Trace sans utiliser de rgle gradue le cercle C

L

KI

JH

de centre L et de rayon HI.

- Trace un diamtre [AB] de ce cercle.

- Trace une corde [BC] telle que : BC = KJ.



Exercice 75 La Carte au trsor suite et fin

Rappel : Tu te trouves au point Y.

Indication du pirate : Le trsor se trouve sur la piste rectiligne passant par le Dolmen du couchant et le point o tu te trouves. La distance qui te spare du trsor est la mme que celle qui spare les deux pyramides. Parmi les deux possibilits, une seule est la bonne, car le trsor ne se trouve pas sur une plage . Trace la droite (DY).

Nomme L la pyramide du levant.

laide de ton compas, reporte la distance LP partir du point Y sur la droite (DY).

Tu as obtenu deux points. Quel est celui qui correspond la dernire indication du pirate. Nomme ce point T.

Voil ! Tu as gagn : tu as retrouv lemplacement du Trsor !

Ce Trsor, le voici :

Te voila riche, prsent, de nouvelles connaissances et de nouvelles mthodes,

qui te seront trs utiles en mathmatiques. toi, maintenant, de ne pas les oublier.

Bon courage !

Un petit conseil : place-toi face un miroir pour lire !

Enfin, nous allons terminer cette squence par un test. Lis attentivement les questions et coche directement la ou les rponses sur ton livret. Une fois les 10 questions faites, reporte-toi aux corrigs et entoure en rouge les bonnes rponses.

Attention ! Pour certaines questions, plusieurs rponses proposes sont justes.

Squence 1 sance 10



je mvalue1- Combien y a t il de droites passant par

deux points distincts ?

aucune droite une droite deux droites une infinit

- Les points suivants :

AC B sont aligns

semblent aligns ne semblent pas aligns semblent confondus

- La demi-droite dorigine D et passant par E se note :

(DE) (DE] [DE) [DE]

- Dans cette figure :

F G

H

I

H est le milieu de [FG] i est le milieu de [FG] FH = GH Fi + iG = FG

- Dans la figure ci-contre, les droites :

sont parallles sont scantes sont perpendiculaires sont confondues

- Dans la figure ci-contre, les droites :


7- Dans la figure ci-contre, les droites (d1) et (d2) :

(d1)

(d2)


8- Dans la figure ci-contre, les droites (d1) et (d2) :

(d1)(d3)

(d2)

(d2)//(d3)


9- Un cercle a pour diamtre 10 cm. La longueur de nimporte quelle corde de ce cercle :

est gale 10 cm est suprieure 10 cm est infrieure ou gale 10 cm est gale 5 cm

10- Dans la figure suivante qui reprsente un cercle de centre I :

IA

BC

[AB] est un diamtre [AB] est une corde [BC] est un rayon [BC] est une corde

Squence 1sance 10


Sommaire de la squence 2

Sance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Jutilise les nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

Sance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Je redcouvre les fractions dcimales et les nombres dcimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Sance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Jcris un nombre dcimale de plusieurs faons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Sance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Je redcouvre la demi-droite gradue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Sance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Japprends tronquer un nombre et en donner des valeurs approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Sance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Je donne un arrondi dun nombre dcimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Sance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Jajoute et je soustrais des nombres dcimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Sance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Japprends le vocabulaire de laddition et de la soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Sance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Japprends calculer des ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Sance 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Jeffectue des exercices de synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Objectifs Connatre .les .nombres .dcimaux .

tre .capable .deffectuer .des .calculs .de .dures .Apprendre . .rsoudre .des .problmes .faisant .intervenir .des .nombres .dcimaux .

Ce cours est la proprit du Cned. Les images et textes intgrs ce cours sont la proprit de leurs auteurs et/ou ayants droit

respectifs. Tous ces lments font lobjet dune protection par les dispositions du code franais de la proprit intellectuelle ainsi que

par les conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent tre utiliss qu des fins strictement personnelles. Toute

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Cned-2009



Squence 2sance 1

Sance 1Jutilise les nombres entiers

Avant de commencer cette sance, lis lentement les objectifs de la squence n 2. Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret.

je rvise les acquis de lcole 1- cris en chiffres le nombre suivant : trente mille quatre-vingt-dix-huit. .......................................................................................................................................2- cris en toutes lettres le nombre 10 637. ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... .......................................................................................................................................3- Dans le nombre 123 456 789, quel est le chiffre des units ? .......................................................................................................................................4- Dans le nombre 123 456 789, quel est le chiffre des units de mille ? .......................................................................................................................................

5- Le nombre quatre centimes peut scrire :a) 400 b) 40 c) 0,4 d) 0,04

6- Le nombre 4,3 peut scrire :

a) 34

10 + b) 4

3

10+ c)

3

40d) 4

30

Voici maintenant une activit que tu vas effectuer tout au long de la deuxime squence. Elle sintitule : la petite histoire des nombres . Effectue lexercice suivant sur ton livret.

Exercice 1 : la petite histoire des nombres Nous comptons en permanence. Chaque jour, nous effectuons plusieurs calculs sans mme

nous en rendre compte... Rflchis bien ! Tu as certainement compt depuis ce matin !

Laction de compter nous semble naturelle et pourtant ltre humain na pas compt de cette manire ds son apparition sur Terre. Auparavant, lHomme mmorisait les individus de sa tribu. Il savait en les regardant sil en manquait un ou bien si un nouvel individu stait joint son groupe.

La ncessit de compter est apparue lorsque lHomme sest mis possder des objets en quantit telle quil avait peur den perdre ou de sen faire voler ; lhomme comptait, par exemple, le nombre de moutons de son troupeau.

Question 1 : Cherche dans ton dictionnaire lorigine latine du verbe calculer et rponds ci-dessous. ..........................................................................................................................................

Le principe dassocier chaque mouton un caillou est vite devenu insuffisant lorsquil a fallu compter des objets en plus grand nombre : le sac de cailloux devenait lourd et encombrant.



Squence 2 sance 1

Le calcul crit est alors apparu. LHomme sest rendu compte quil tait plus simple dcrire

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