Reconstruction 3D de la microarchitecture osseuse à partir

No d’ordre xxISALxxxx annee 2006

THESE

presentee devant

L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

pour obtenir

LE GRADE DE DOCTEUR

ECOLE DOCTORALE: Electronique, Electrotechnique, AutomatiqueFORMATION DOCTORALE: Images et Systemes

par

Thomas LAMOTTE

Reconstruction 3D de la microarchitectureosseuse a partir d’un nombre limite deradiographies : apport de techniques de

regularisation.

soutenue le xx xxxx xxxx devant le jury compose de :

M. : President - PresidentMM. : Rapporteur MARCHANDISE Xavier Rapporteurs

Rapporteur IDIER JeromeMM. : Examinateur MOHAMMAD-DJAFARI ali Examinateurs

Examinateur DINTEN Jean-MarcExaminateur MAGNIN IsabelleDirecteur de these PEYRIN Francoise

Sommaire

1 Introduction 5

1.1 Contexte et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Methodologie utilisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Structure du document . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 L’os et son investigation 11

2.1 Description de la structure osseuse . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Le tissu osseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Le remodelage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2.1 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.3 La microarchitecture osseuse . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 L’imagerie de l’os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 L’osteodensitometrie : le diagnostic actuel de l’osteo-porose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1.1 Principes et donnees mesurees . . . . . . . . . 16

2.2.1.2 Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Les techniques de caracterisation de l’architecture . . . 18

2.2.2.1 L’histomorphometrie . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2.2 L’IRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2.3 Les ultrasons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2.4 La radiographie . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3 La microtomographie par rayons X . . . . . . . . . . . 20

2.3 Quantification de la microarchitecture osseuse . . . . . . . . . 23

2.3.1 Les parametres en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1.1 Les parametres histomorphometriques . . . . 23

2.3.1.2 Les parametres topologiques . . . . . . . . . . 24

2.3.2 Les parametres en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2.1 Extension de l’histomorphometrie en 3D . . . 25

2.3.2.2 Extension des parametres 2D . . . . . . . . . 25

2.3.2.3 Les nombres de Betti . . . . . . . . . . . . . . 25

3

2.3.2.4 Mesure directe d’epaisseur et d’espace inter-trabeculaire en 3D . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.2.5 Les parametres d’orientation, d’anisotropie . . 282.3.2.6 Indice de structure : le SMI . . . . . . . . . . 29

2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Etat de l’art et analyse des modeles de synthese de texture 313.1 Les differentes approches en synthese de texture . . . . . . . . 32

3.1.1 Notion de texture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.2 Les methodes utilisant des primitives . . . . . . . . . . 333.1.3 Les modeles de reaction-diffusion . . . . . . . . . . . . 343.1.4 Les modeles par filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.5 Les modeles markoviens . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.6 Les modeles fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1.7 Les methodes composees . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Analyse critique vis a vis de la modelisation de l’os . . . . . . 403.3 Description de l’approche markovienne . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.1 Definitions et proprietes des champs de Markov . . . . 413.3.2 Fonctions de potentiels proposees dans la litterature . . 43

3.3.2.1 Les automodeles . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.2.2 Le modele d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.2.3 Les modeles autobinaires . . . . . . . . . . . . 433.3.2.4 Les modeles autologistiques . . . . . . . . . . 443.3.2.5 Les modeles contours regions . . . . . . . . . 443.3.2.6 Discussion sur les modeles . . . . . . . . . . . 46

3.3.3 Simulation de texture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.3.1 Methodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.3.2 Les methodes optimales . . . . . . . . . . . . 473.3.3.3 Les methodes sous-optimales . . . . . . . . . 48

3.3.4 Methodes d’estimation des parametres des fonctions depotentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.4.1 Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . 513.3.4.2 Maximum de vraisemblance (ML) . . . . . . . 523.3.4.3 Maximum de pseudo-vraisemblance (MPL) . 533.3.4.4 La methode de partitionnement . . . . . . . . 543.3.4.5 L’estimation Monte-Carlo (MCML) . . . . . . 553.3.4.6 Estimation logistique ou methodes des moindres

carres (LS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3.4.7 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.5 Approche markovienne hierarchique . . . . . . . . . . . 593.3.5.1 Decomposition multiresolution . . . . . . . . 60

4

3.3.5.2 Decomposition multiechelle . . . . . . . . . . 623.3.5.3 L’approche multimodele . . . . . . . . . . . . 623.3.5.4 Le processus Booleen-Markovien . . . . . . . 623.3.5.5 Le modele verre de Spin . . . . . . . . . . . . 63

3.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4 Etat de l’art de la reconstruction tomographique 654.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2 Les methodes analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.1 Modelisation du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2.2 Reconstruction analytique 2D . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.2.1 Theoreme coupe projection . . . . . . . . . . 684.2.2.2 Retroprojection filtree et transformee de Radon 68

4.2.3 Reconstruction analytique 3D . . . . . . . . . . . . . . 704.2.4 Effet du nombre limite de projections sur la recons-

truction analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.3 Les methodes algebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3.1 Position et formulation du probleme . . . . . . . . . . 724.3.2 Processus de formation des projections . . . . . . . . . 734.3.3 Reconstruction par mise a jour par rayons . . . . . . . 74

4.3.3.1 Algorithme de descente de gradient . . . . . . 754.3.3.2 Methodes par bloc de Kaczmarz . . . . . . . 764.3.3.3 Methode de Li . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.4 Reconstruction par mise a jour par voxel . . . . . . . . 824.4 Regularisation en reconstruction tomographique . . . . . . . . 83

4.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4.2 Formulation bayesienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4.3 Application aux methodes par rayons et par voxels . . 844.4.4 Autres contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.5 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 Synthese 3D d’architecture osseuse 875.1 Modele d’Ising aux plus proches voisins . . . . . . . . . . . . . 88

5.1.1 Formulation du modele utilise . . . . . . . . . . . . . . 885.1.2 Critere de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.1.3 Influence de la pseudo-temperature et des valeurs des

poids de ponderation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.1.4 Influence de la valeur des parametres de ponderation

et de la forme du voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . 925.1.4.1 Cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . 925.1.4.2 Cas tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . 99

5

5.1.4.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.1.5 Estimation des parametres . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.1.5.1 Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.1.5.2 Experimentations . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.1.5.3 Validation sur une texture de synthese . . . . 1055.1.5.4 Cas de l’architecture osseuse . . . . . . . . . . 106

5.1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.2 Modelisation prenant en compte des interactions proches et

eloignees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.2.1 Cas d’une seule clique eloignee . . . . . . . . . . . . . . 1085.2.2 Cas d’un systeme avec plusieurs cliques eloignees . . . 111

5.3 Discussion sur la modelisation de l’architecture pour la recons-truction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6 Reconstruction de l’architecture a partir d’un nombre limitede vues 1156.1 Principe general de la methode . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2 Methodes de reconstruction mises en œuvre . . . . . . . . . . 119

6.2.1 Mise en oeuvre pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2.1.1 Definition de la geometrie du systeme d’ac-

quisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2.1.2 Determination de la projection d’un point de

l’objet sur le detecteur . . . . . . . . . . . . . 1206.2.1.3 Introduction d’un support de reconstruction . 1226.2.1.4 Valeur des parametres utilises . . . . . . . . . 123

6.2.2 Reconstruction avec un algorithme de type SART . . . 1256.2.3 Reconstruction avec un algorithme de type ICM . . . . 1256.2.4 Criteres de qualite de la reconstruction . . . . . . . . . 128

6.3 Donnees de reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.3.1 Origine et description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.3.1.1 Acquisition des echantillons a l’ESRF . . . . . 1296.3.1.2 Pretraitements et sinogrammes resultants . . 1306.3.1.3 Mesure des parametres d’architecture . . . . . 1306.3.1.4 Choix d’echantillons pour l’etude . . . . . . . 130

6.3.2 Binarisation et generation de sinogrammes d’os binarises1326.3.2.1 Estimation de l’attenuation moyenne de l’os . 1326.3.2.2 Synthese de projections d’un objet binarise . 133

6.3.3 Donnees bruitees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.4 Reconstruction sans a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.4.1 Approche par rayons : algorithme SART . . . . . . . . 137

6

6.4.1.1 Reconstruction avec un SART classique et unSART de Li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.4.1.2 Limites de l’approche par rayons . . . . . . . 1386.4.2 Reconstruction par voxels : algorithme ICM . . . . . . 1386.4.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.4.4 Influence de l’initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.4.5 Choix du nombre de projections . . . . . . . . . . . . . 140

6.4.5.1 Calcul des parametres d’architecture . . . . . 1426.5 Reconstruction avec filtrage spatial . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.5.1 Choix et interet d’un apport d’heuristiques dans la re-construction de l’os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.5.2 Reconstruction avec un ICM morphologique (MP-ICM) 1456.5.2.1 Determination de la frequence de filtrage . . 1456.5.2.2 Determination de la forme du voisinage le

plus adapte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.5.2.3 Convergence de l’algorithme . . . . . . . . . . 1486.5.2.4 Discussion sur l’apport du filtrage morpholo-

gique en reconstruction . . . . . . . . . . . . 1486.5.3 Reconstruction ICM avec un filtrage median (MD-ICM) 149

6.5.3.1 Choix de la forme et de la taille du voisinage 1496.5.3.2 Convergence de l’algorithme . . . . . . . . . . 149

6.5.4 Conclusion sur l’ajout d’un processus de filtrage . . . . 1506.6 Reconstruction Markovienne de l’architecture osseuse . . . . . 152

6.6.1 Principe de la methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.6.2 Influence du sens de parcours . . . . . . . . . . . . . . 1526.6.3 Modele d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.6.3.1 Voisinage 4 connexe . . . . . . . . . . . . . . 1556.6.3.2 Voisinage 8-connexe . . . . . . . . . . . . . . 1576.6.3.3 Voisinage 24-connexe . . . . . . . . . . . . . . 1576.6.3.4 Limitations du modele d’Ising aux plus proches

voisins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.6.4 Modele d’Ising avec filtrage . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.6.4.1 Filtrage morphologique . . . . . . . . . . . . 1646.6.4.2 Filtrage median . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.6.4.3 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.6.4.4 Cas des cliques proches et eloignees . . . . . . 1686.6.4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.7 Cas de reconstructions bruitees . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.8 Application a d’autres echantillons . . . . . . . . . . . . . . . 1746.9 Application a la reconstruction d’echantillons 3D . . . . . . . 175

6.9.1 Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7

6.9.2 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.10 Tableau recapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7 Bilan et perspectives 1817.1 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.2 Perpectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Bibliographie 183

Annexes 193

Chapitre 1

Introduction

Sommaire1.1 Contexte et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Methodologie utilisee . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Structure du document . . . . . . . . . . . . . . . 8

9

Chapitre 1. Introduction

1.1 Contexte et objectifs

Ce travail a ete effectue dans le cadre d’une collaboration entre le la-boratoire CREATIS (CNRS UMR 5515, INSERM U630), affilie a l’INSALyon et a l’Universite Claude Bernard-Lyon 1 (UCBL), et le CEA LETI.Les donnees necessaires a cette etude ont ete obtenues a L’ESRF (EuropeanSynchrotron Research Facility) situe a Grenoble.

Selon la definition proposee par l’Organisation Mondiale de la Sante(OMS), (( l’osteoporose est une maladie caracterisee par une faible masseosseuse et la deterioration micro architecturale du tissu osseux, une fragiliteosseuse et, par suite, une augmentation du risque de fracture )). L’osteopo-rose est actuellement consideree comme un probleme majeur de santepublique avec un cout estime en France a 610 millions d’euros par an selonla Fondation pour la Recherche Medicale (FRM). A ce cout direct s’ajoutentdes cout humains dus aux fractures qui en decoulent (perte de qualite de vie,de productivite, intervention chirurgicale lourde, reeducation). Avec le vieil-lissement de la population, cette maladie est devenue un fleau touchant plusparticulierement les femmes et les aınes. Il est donc important de la diagnos-tiquer efficacement. La densite minerale osseuse (DMO) est actuellement lamesure utilisee en routine clinique pour evaluer le risque de fracture du tissusosseux. Cependant, des differences de resistance mecanique ont ete observeesa DMO identiques mettant ainsi en evidence les limites de cette mesure etl’influence preponderante de l’architecture osseuse.

Une partie importante de la recherche sur les maladies osseuses est consa-cree a l’etude de l’architecture osseuse qui est une structure tres complexe,constituee grossierement en 3D de reseaux de plaques et de tubes encheve-tres. Differentes modalites d’imagerie parmi lesquelles l’IRM, les ultrasons,les rayons X, la radiographie et la tomographie par rayons X sont de plus enplus explorees en raison du developpement de capteurs numeriques perfor-mants qui offrent la possibilite de realiser facilement des traitements et post-traitements informatiques. Dans ce contexte, le projet RNTS Modatos auquelont participe le laboratoire CREATIS, le CEA LETI et les CHU de Nımeset Lille et la societe DMS a montre que certains indices de textures obtenusa partir d’une seule radiographie sont correles a des parametres standardisesde la micro architecture osseuse 3D mais ne permettent pas d’en donner unevaleur precise. La dose recue est tres faible puisqu’il s’agit d’une seule radio.Inversement, utiliser un nombre important de projections tomographiquesa partir d’echantillons d’os in vitro permet d’obtenir une representation de

10

1.2. Methodologie utilisee

l’architecture osseuse a haute resolution. L’architecture peut alors etre carac-terisee non plus sur les seules radios mais directement sur l’objet reconstruit.C’est la technique qui est developpee a l’ESRF depuis quelques annees a desfins de recherche. C’est la solution ideale pour observer la microarchitectureosseuse. Toutefois, la dose de rayons X necessaire n’est pas compatible avecune application de routine clinique in vivo.

Notre approche se pose comme un compromis. Nous allons utiliserdavantage de projections mais en nombre tres restreint afin d’utiliser unedose de rayons X la plus faible possible. La question qui se pose est alors dedeterminer si a partir d’un faible nombre de projections, on peut extraire desinformations fiables sur la configuration tridimensionnelle de l’architectureosseuse.

Plusieurs projections 2Dnumériques

Modèle virtuel destructures osseuses 3D

Processus de « Reconstruction »

Caractérisationde l'architecture 3D

Résolution suffisante

Dose patient faible

Fig. 1.1 – Principe general de la these

1.2 Methodologie utilisee

La methodologie que nous allons investiguer (figure 1.1) consiste a :

1. developper un modele a priori sur l’organisation 3D des structures pourregulariser le processus de reconstruction tomographique,

2. determiner un processus de reconstruction adapte a l’architecture os-seuse,

3. evaluer la qualite de l’os reconstruit.

L’architecture osseuse peut etre consideree comme une texture binaire. Nousavons donc explore plusieurs classes de modeles de synthese de texture afin

11


de determiner ceux compatibles avec le formalisme de la reconstruction to-mographique et adaptes a un objet binaire forme de regions homogenes parmorceaux. Puis, l’autre point etait de developper un schema de reconstruc-tion incluant le modele a priori. Les methodes de reconstruction algebriquesayant donne de bons resultats dans des contextes de controle non destructifou d’angiographie et permettant d’integrer un a priori nous nous sommesinteresses a ces methodes plus precisement. Enfin, le dernier point de notremethode a ete d’evaluer le nombre minimum de projections necessaires pourrendre compte des caracteristiques 3D de l’architecture osseuse.

1.3 Structure du document

Ce document est compose de 7 chapitres :Le present chapitre 1 precise le contexte, l’interet de cette approche parrapport aux autres modalites et la methodologie abordee.Le chapitre 2 est consacre a une etude bibliographique de l’architectureosseuse presentant ses caracteristiques tridimensionnelles et les methodes demesure de ces caracteristiques et les parametres associes. Certains de ces pa-rametres vont etre utilises comme mesure de la qualite de la reconstruction.Le chapitre 3 est une investigation des classes de modeles de synthese detexture afin de determiner celles qui peuvent convenir pour la synthese del’architecture osseuse. Nous nous sommes plus particulierement interessesaux modeles Markoviens qui semblent les mieux adaptes a la reconstructiontomographique par des methodes algebriques. Nous presentons aussi des me-thodes pour simuler ces modeles.Le chapitre 4 est le dernier chapitre de bibliographie consacre aux methodesde reconstruction algebriques.Le chapitre 5 presente les resultats de synthese de texture d’architectureosseuse par modele Markoviens. Apres avoir explicite le modele markoviend’Ising utilise, nous etudions l’influence des parametres du modele markovien(coefficients de ponderations, taille de voisinage etc...) en deux dimensionspuis en 3D afin d’etablir une zoologie comportementale. Une estimation plusfine des parametres est alors envisagee. Nous precisons les limites des modelesmarkoviens comme modele de synthese de l’architecture osseuse.Le chapitre 6 regroupe les resultats de reconstruction. Nous utiliseronscomme reference des images d’architectures osseuses acquises en microCTsynchrotron a l’ESRF avec 900 projections. Puis, nous evaluons l’apport dumodele d’Ising pour differentes configurations sur la reconstruction en com-parant les parametres d’architecture osseuse sur les os reconstruits et les osde reference. Enfin, nous integrons a la reconstruction un processus de fil-

12

1.3. Structure du document

trage binaire iteratif non lineaire afin d’ameliorer la qualite de l’architectureosseuse reconstruite.Enfin, le chapitre 7 conclue cette etude par un bilan et une ouverture.

13


14

Chapitre 2

L’os et son investigation

Sommaire2.1 Description de la structure osseuse . . . . . . . . 13

2.1.1 Le tissu osseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2 Le remodelage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2.1 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.3 La microarchitecture osseuse . . . . . . . . . . . . 15

2.2 L’imagerie de l’os . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.1 L’osteodensitometrie : le diagnostic actuel de l’os-

teoporose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.1.1 Principes et donnees mesurees . . . . . . 162.2.1.2 Limitations . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Les techniques de caracterisation de l’architecture 182.2.2.1 L’histomorphometrie . . . . . . . . . . . 182.2.2.2 L’IRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2.3 Les ultrasons . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2.4 La radiographie . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3 La microtomographie par rayons X . . . . . . . . . 202.3 Quantification de la microarchitecture osseuse . 23

2.3.1 Les parametres en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.1.1 Les parametres histomorphometriques . . 232.3.1.2 Les parametres topologiques . . . . . . . 24

2.3.2 Les parametres en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.2.1 Extension de l’histomorphometrie en 3D 252.3.2.2 Extension des parametres 2D . . . . . . . 25

15

Chapitre 2. L’os et son investigation

2.3.2.3 Les nombres de Betti . . . . . . . . . . . 252.3.2.4 Mesure directe d’epaisseur et d’espace in-

tertrabeculaire en 3D . . . . . . . . . . . 272.3.2.5 Les parametres d’orientation, d’anisotropie 282.3.2.6 Indice de structure : le SMI . . . . . . . . 29

2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

16

2.1. Description de la structure osseuse

2.1 Description de la structure osseuse

2.1.1 Le tissu osseux

Le tissu osseux se divise en deux types anatomiques (voir figure 2.1) : l’os cortical ou compact l’os trabeculaire ou spongieux

L’os compact est forme d’osteons, des ensembles de lamelles tres serreesassemblees concentriquement autour d’un canal central. Ils constituent ainsiun systeme cylindrique de 200 µm a 500 µm de rayon. Situes sur les facesexternes des os ou au niveau des articulations, l’os compact forme la corti-cale externe et protege la partie interne constituee de tissus spongieux plusfragiles.L’os trabeculaire ou spongieux se distingue par des travees connectees entreelles d’environ 100 µm d’epaisseur et espacees de 500 µm. Ces travees formentun reseau de lamelles entrecroisees et disposees de facon irreguliere. Ce laby-rinthe est organise en une succession d’espaces intercommunicants occupespar de la moelle osseuse et des vaisseaux.

Os cortical

Os trabéculaire

Fig. 2.1 – Os compact et spongieux. A droite, visualisation d’un echantillon d’ostrabeculaire a la resolution de 15 µm

2.1.2 Le remodelage

Principe L’os subit d’importantes contraintes mecaniques (deformations,compression). Afin de maintenir ses proprietes biomecaniques, l’os est en

17


perpetuelle evolution alternant des phases de degradation, des phasesde regenerescence. La figure 2.2 presente le principe du remodelage.La degradation de l’os trabeculaire se traduit par :

une phase d’activation : les osteoclastes, cellules participant a la degra-dation de l’os, proliferent sur la surface osseuse destinee a etre resorbee.

une phase de resorption : les osteoclastes creusent une lacune de resorp-tion. Ils possedent une bordure en brosse sous laquelle sont groupes desorganites responsables de la resorption. Les osteoclastes liberent desenzymes (citrates, lactates et des hydrolases) rejetees dans la matriceosseuse par exocytose. Suite a ce phenomene, les citrates et les lactatesaugmentent le PH de la matrice osseuse, provoquant la solubilisationde la partie minerale du tissu osseux. Ajoute a cela, les hydrolases de-polymerisent la partie organique (collagene). L’ensemble de ces dechetsest a la fin elimine par exocytose vers le systeme vasculaire.

La regeneration de l’os debute par une phase de proliferation des osteoblastes qui permettent la recons-

truction et le renouvellement permanent du squelette une phase de formation : l’ossification est possible grace a l’action des

osteoblastes secretant les elements de la matrice organique du tissuosseux. C’est une substance pre-osseuse ou osseine, non encore minera-lisee. La mineralisation a lieu en plusieurs etapes :

1. l’osteoblaste stocke au prealable du calcium et du phosphate,

2. dans le cytoplasme de l’osteoblaste, le calcium se lie au PO4 pourformer un complexe de phosphate tricalcique Ca3(PO2),

3. ensuite ce complexe est elimine par exocytose, dans la matrice pre-osseuse sous forme de cristaux d’hydroxyapatite et ces cristaux sedeposent au niveau des fibres de collagene.

Bien que le tissu cortical represente 80 % de la masse osseuse, il ne representeque 20 % de la surface d’echange entre l’os et la moelle osseuse. Le tissutrabeculaire se renouvelle cinq fois plus rapidement que le tissu cortical. Cerenouvellement n’est pas constant au cours de la vie et donc desequilibrele remodelage de l’os trabeculaire ce qui va etre propice a l’installation del’osteoporose.

Evolution du cycle de remodelage au cours de la vie Au cours de lavie, on distingue 3 phases importantes.

La phase de croissance correspond a l’acquisition de la matrice osseuse.Elle dure jusqu’a 3 ans apres la puberte.

A l’age adulte, chaque cycle de remodelage comprend une phase deresorption osseuse et une phase de formation. Ce cycle dure environ

18

2.1. Description de la structure osseuse

6 semaines. Dans cette phase, la formation est en equilibre avec ladestruction ou resorption osseuse.

Ensuite, a cause de phenomenes complexes, la resorption prend le pas,aboutissant a un deficit osseux de 3 a 5 % par an, voir d’avantagechez la femme a partir d’un certain age. Outre la diminution de laquantite d’os, des perforations osseuses apparaissent. Elles sont liees ala profondeur des cavites de resorption.

http://www-unsa.jouy.inra.fr/ http://dossier.univ-st-etienne.fr/lbto/

nutos/remodos.htm www/tissu-osseux/os/Contexte/Images/fig20.html

Fig. 2.2 – Le cycle du remodelage osseux

2.1.2.1 Bilan

Il va donc exister des differences d’architecture entre chaque individunotamment en fonction du sexe mais aussi selon l’age d’un meme individu.Ainsi, Kleertroper [KVS+85] a mis en evidence l’importance de l’analyse dela configuration spatiale de la microarchitecture osseuse dans le diagnostic.Une description fine de cette microarchitecture est donc necessaire.

2.1.3 La microarchitecture osseuse

La microarchitecture osseuse de l’os trabeculaire est formee d’un reseaucomplexe constitue de tubes, de plaques et de jonctions. La figure 2.3 donneun apercu du type de structures rencontrees. Des precisions sur les modalitesd’obtentions d’une telle structure seront donnees dans la partie 2.2.3 et surla caracterisation dans la partie 2.3.

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http://www-unsa.jouy.inra.fr/

http://dossier.univ-st-etienne.fr/lbto/

nutos/remodos.htm

www/tissu-osseux/os/Contexte/Images/fig20.html


Travées

Plaques

Tubes

Fig. 2.3 – Disposition de l’architecture osseuse en plaques et tubesEchantillon de la crete iliaque reconstruit a l’ESRF. Taille du voxel 10 µm

2.2 L’imagerie de l’os

2.2.1 L’osteodensitometrie : le diagnostic actuel de l’os-teoporose

2.2.1.1 Principes et donnees mesurees

Le diagnostic actuel repose sur une mesure de Densite Minerale Osseuse(DMO). Cette technique consiste a mesurer l’attenuation des rayons X a tra-vers une region osseuse. La methode de mesure de reference actuelle appeleeDXA (Dual energy X-ray Absorptiometry) consiste a utiliser un faisceau derayons X avec 2 energies differentes. Le principe de cette technique est don-nee par la figure 2.4. Il s’agit de realiser 2 radiographies avec deux energiesdifferentes et un traitement permet d’obtenir une carte de densite mineraleosseuse. Le detail du traitement est donne par exemple dans [SIM95]. Soitµi(E), massique en cm2/g. d’un materiau pour l’energie E et Mi la massesurfacique d’un materiau i, φ0, le nombre de photons incidents et φ le nombrede photons arrivant sur le detecteur. D’apres la loi de Beer-Lambert, on a :

φ(E) = φ0(E) exp−∑

i µi(E)Mi (2.1)

20

2.2. L’imagerie de l’os

Acquisition haute énergie

Acquisition basse énergie

Traitement

Image de Densité Minérale Osseuse

Fig. 2.4 – Principe de la DXA

Notons log φ0(E)φ(E)

= mes(E). On va alors mesurer l’attenuation de trois types

de materiaux : les tissus maigres (m) , les tissus gras (g) et de l’hydroxyapatite(hydrox). L’hydroxyapatite est caracteristique des zones osseuses. On auraalors le systeme d’equation :

mes(EBE) = µm(EBE)Mm + µg(EBE)Mg + µhydrox(EBE)Mhydrox

mes(EHE) = µm(EHE)Mm + µg(EHE)Mg + µhydrox(EHE)Mhydrox

(2.2)

avec mes(EBE) et mes(EHE), les valeurs des attenuations mesurees ahaute et basse energie et Mm, Mg les masses surfaciques des tissus gras etmous. En realisant 2 mesures avec des energies differentes, et connaissant lamasse surfacique des tissus mous et la proportion des tissus maigres dansles tissus mous, on aboutit a un systeme d’equations permettant de deter-miner Mhydrox qui est relie a la DMO. Il faut prendre en compte egalementdans cette methode tous les artefacts dus a la chaıne d’acquisition. On parled’osteoporose quand la densite minerale osseuse est inferieure a 2.5 ecartstypes par rapport a la densite osseuse de reference. La valeur d’ecart-typeest exprimee en terme de ” T-score ”.

21


2.2.1.2 Limitations

La DMO reste insuffisante pour la prediction du risque de fracture. UneDMO normale ne renseigne pas toujours sur une absence de perte osseuselocale et inversement une faible DMO n’est pas toujours revelatrice d’uneforte resorption.

D’autres techniques plus exploratoires sont en cours de validation ou derecherche afin de completer le diagnostic.

2.2.2 Les techniques de caracterisation de l’architec-ture

2.2.2.1 L’histomorphometrie

Principe et donnees mesurees L’histomorphometrie osseuse quantita-tive consiste a mesurer une biopsie de la crete illiaque situee au niveau de lahanche. A l’aide d’une grille et d’un microscope muni d’un oculaire micro-metrique, il est possible d’acceder a des informations biochimiques temoinsde l’activite de remodelage osseux et surtout d’evaluer avec une excellenteresolution spatiale (echelle de quelques µm) des parametres refletant l’archi-tecture du reseau trabeculaire [MEU83] . Des parametres de l’architecturebidimensionnelle ont ete introduits par Parfitt en 1983 [PMV+83]. Nous don-nerons plus de details dans la section 2.3.

Limites L’inconvenient majeur de cette technique est de necessiter uneintervention chirurgicale qui n’est pas sans desagrements pour le patient. Deplus, l’analyse reste avant tout bidimensionnelle.

2.2.2.2 L’IRM

Principes et donnees mesurees Chaque noyau d’hydrogene est constitued’un proton dote d’un spin 1/2 a l’origine d’un moment magnetique. Enl’absence de champ magnetique externe, chaque moment magnetique a unedirection propre. Par contre si un champ magnetique statique ~B0 est appliqueles spins se regroupent autour de 2 niveaux d’energie correspondant a unmoment magnetique parallele/antiparallele a ~B0. Les spins tournent autour

de la direction de ~B0 a la pulsation w0. Pour pouvoir detecter la champmagnetique ~M dont le module est proportionnel a la quantite de protons,on va observer son mouvement de precession et par analyse des composantesfrequentielles, on pourra reconstruire une image 3D.

Afin d’obtenir un mouvement de precession, on perturbe le systeme parun champ magnetique radio frequence ” RF ” ~B1 perpendiculaire a ~B0. A

22


la fin de l’excitation ” RF ”, on obtient un basculement de ~M qui dependde l’intensite du champ d’un angle α proportionnel a l’intensite de ~B1 etau temps d’application. L’aimantation va se decomposer en 2 composantesl’aimantation transversale ~Mt et l’aimantation longitudinale ~Mz. Une fois laperturbation stoppee, l’aimantation va alors retourner a l’equilibre avec uncroissance de la norme de ~Mz selon un temps caracteristique T1 et une decrois-sance de la norme de ~Mt selon le temps caracteristique T2. les temps T1 et T2

sont caracteristiques des differents tissus. Le flux magnetique correspondantau mouvement de la composante ~Mt va induire une force electromagnetiquequi va etre recuperee a l’aide d’une antenne. L’utilisation de sequences degradients de champ magnetique va permettre de remplir un plan de Fourrier(phase, frequence) et par transformee de Fourrier inverse, on va retrouverl’image reconstruite.Pour l’imagerie du tissu trabeculaire par IRM in vivo, le signal provient dela moelle osseuse contenue dans les cavites trabeculaires. Le tissu solide (tra-vees) ne donne aucun signal : on forme alors une image de ” negatif ” del’architecture osseuse. Recemment, des auteurs comme Majundar [MNJ+95].ont publie une methode pour determiner le nombre relatif de travees osseusespar mm dans differentes orientations a partir de mesures du (T ∗

2 )−1.

Limitations La resolution de l’IRM in vivo est de l’ordre de 250*250*250µm3 a 2 Tesla [BSCB99]. Il existe des systemes haute resolution dite demicroscopie par resonance magnetique qui ont ete developpes. Par ailleurs,ce type d’examen est impossible pour les patients porteurs de stimulateurscardiaques dont le nombre augmente avec l’age. In vitro, une etude de lacaracterisation de l’architecture tridimensionnelle du tissu trabeculaire a etemenee par plusieurs auteurs dont David Last [LFG04], Laurent Pothuaud[PPL+98]. Afin d’obtenir une haute resolution, il faut utiliser generalementun champ magnetique eleve (7 Tesla ou plus). A haut champ, il apparaıt unartefact de susceptibilite magnetique qui va creer une perturbation anisotropeau niveau des interfaces comme l’os et la moelle qui depend de la difference desusceptibilite magnetique et de l’intensite du champ magnetique [BBCLO04].Ce phenomene peut induire des biais dans les parametres mesures selon letype de sequences utilisees. Enfin, la resolution spatiale reste toutefois limitee(66*66*66 µm a 8.5 Tesla).

2.2.2.3 Les ultrasons

Principe et donnees mesurees Le principe des ultrasons est de mesurerla vitesse de propagation et l’attenuation de l’onde ultrasonore. L’onde emiseest alors recueillie par un transducteur qui va convertir l’energie ultrasonore

23


en energie electrique. Les images formees sont des cartes des parametresmesures (vitesse, frequence).

Limitations La mesure de la vitesse de propagation dans l’os est delicatecar la vitesse est une mesure globale qui integre l’ensemble des milieux traver-ses. Plusieurs etudes ont deja montre les liens des parametres ultrasonoresavec la DMO [CLF+97] ou [LDLJB97]. Cette technique devient donc unebonne alternative a la DXA car non invasive et de cout faible. D’ailleurs,cette approche est utilisee cliniquement. D’autres travaux ont montre queles mesures ultrasonores permettaient d’estimer les proprietes mecaniquesde l’os [AH70]. Cependant, bien que les images obtenues fournissent des in-formations concernant l’orientation des travees ou leur epaisseur [GWJ+94],elles ne permettent pas d’acceder directement a structure tridimensionnelle.

2.2.2.4 La radiographie

Principe et donnees mesurees Le principe repose sur la difference d’at-tenuation des rayons X selon les tissus traverses. Les tissus mous et les cavitesarretent peu les rayons X alors que les os absorbent beaucoup le rayonnement.L’image radiographique correspond a la projection d’un echantillon selon unedirection donnee.

Limites L’exploitation des donnees est delicate car les structures 3D vontse superposer. Neanmoins, des methodes d’analyse de texture ont ete ex-plorees afin de quantifier l’architecture osseuse. Harba [HJJB99] propose decalculer la dimension fractale mais cela reste une mesure globale. Geraets[GSLG98] calcule des parametres geometriques qui semblent coıncider avecdes parametres d’architecture osseuse. L’equipe de X. Marchandise [CCD+96]du CHU de Lille s’ est interessee a l’analyse de la texture osseuse. Puis dansle cadre du projet RNTS Modatos, des correlations entre les parametres detexture 2D et d’architecture osseuse ont pu etre identifiees. Toutefois l’ana-lyse 2D reste limitee car elle ne permet d’etudier qu’une projection d’unestructure complexe 3D sous un angle de vue particulier.

2.2.3 La microtomographie par rayons X

Principe La tomographie repose sur 2 etapes :

1. une etape d’acquisition des donnees (mesure de l’attenuation des fais-ceaux de rayons X traversant l’objet, pour differents angles de vue)

24


Storage line

A beam line

Linac

Booster

Synchroton

Fig. 2.5 – Site de l’ESRF

2. une etape de reconstruction avec un algorithme adapte afin de retrouverl’objet initial.

Le rayonnement X est une onde electromagnetique de longueur d’ondede l’ordre de l’Angstrom qui se caracterise par son aptitude a traverser lamatiere. Il est generalement produit par un tube a rayons X en bombardantune anode metallique par un faisceau d’electrons acceleres. Lorsque le faisceauX traverse la matiere, une partie seulement des photons X est transmise sansmodification de leur trajectoire et de leur energie.

Le rayonnement X transmis est alors capte par un scintillateur qui conver-tit les rayons X en lumiere visible. Puis un detecteur matriciel en siliciumamorphe sensible a la lumiere visible convertit le rayonnement lumineux enun courant electrique qui charge une capacite. Apres traitement electronique,on recupere une image numerique.

La tomographie (CT) Dans le cas de la CT standard, le rayonnement estpolyenergetique, c’est-a-dire que la source emet des photons avec des energiesvariables. Par ailleurs, la geometrie du systeme d’acquisition est conique, ladistance source detecteur etant au plus de quelques metres. La resolution vaetre limitee a environ 100 µm et depend notamment du capteur utilise. C’estce qui est utilise en routine clinique.

La microtomographie (µCT) Dans la microtomographie (µCT), on uti-lise egalement un rayonnement polyenergetique mais la resolution est d’en-viron 10 µm sur des zones plus restreintes (quelques cm).

25


Fig. 2.6 – Schema du dispositif experimental de l’ESRF

Le dispositif d’acquisition a l’ESRF Le synchrotron localise a Grenobleest constitue d’un accelerateur lineaire et circulaire d’electrons et d’un anneaude stockage des rayons X (voir figure 2.5). Un systeme de µCT synchrotrona ete developpe sur la ligne ID19 de l’ESRF. Ce dispositif fournit un faisceauparallele de dimension maximale de 40× 15 mm pour une gamme d’energiesallant de 8 a 100 Kev. Par ailleurs, un monochromateur permet de selec-tionner une energie donnee. Le dispositif experimental fournit un alignementparfait entre la source, l’objet, le detecteur. Des moteurs micrometriques per-mettent une rotation de l’objet de 180° avec un pas angulaire preconise de0.2°. Le detecteur CCD compose de de matrices de detection permet d’acque-rir une image de taille 1024 pixels. La geometrie est quasi-parallele avec unesource situee a 145 m. La distance objet detecteur est d’environ 10 a 15 mm.L’avantage de la microtomographie synchrotron (µCT synchrotron) est defournir une image quantitative jusqu’a des resolutions submicroniques. Pourl’architecture osseuse, une resolution de 15 µm est suffisante. La figure 2.6est un schema du dispositif experimental utilise pour l’acquisition des don-nees de reference : les projections. Plus de details sur ce dispositif peuventetre trouvees dans la these de Murielle Pateyron [PAT98]. Les conditionsexperimentales utilisees seront precises au chapitre 6.

Les donnees obtenues : un sinogramme Apres divers pretraitementset calibrations explicites dans [PAT98], on obtient une projection 2D pourchaque angle de rotation. On forme alors un sinogramme avec l’ensemble desprojections. C’est a partir de ce sinogramme que l’on va pouvoir reconstruirel’attenuation de l’objet exprimee en cm−1. Les elements mathematiques dela reconstruction sont donnes dans le chapitre 4. Afin d’obtenir les donnees

26

2.3. Quantification de la microarchitecture osseuse

Fig. 2.7 – Sinogramme d’un echantillon de taille 12*12*20cm, de resolution 15 µmacquis a l’ESRF

necessaires a cette etude, une serie de 17 echantillons d’architecture osseuseprovenant de donneurs dont on ne sait pas s’ils sont atteints d’osteoporose ontete tomographies. On a pu obtenir ainsi un sinogramme par echantillon. Lafigure 2.7 est un exemple d’un tel sinogramme. Par ailleurs, on dispose ega-lement de mesures de caracteristiques de l’architecture osseuse reconstruitetraduisant l’organisation spatiale que nous allons preciser dans la sectionsuivante.

2.3 Quantification de la microarchitecture os-

seuse

2.3.1 Les parametres en 2D

2.3.1.1 Les parametres histomorphometriques

Afin de caracteriser l’architecture osseuse, Parfit [PMV+83] a etabli desparametres d’architecture osseuse a partir de coupes histomorphometriques.Ces parametres ont ete standardise par un groupe d’expert : ”l’Histomor-phometry Nomenclature Commitee”. D’autres parametres caracterisant parexemple la formation ou la resorption osseuse y ont ete ajoute mais nousn’en parlerons pas. Une grille constituee de lignes regulierement espacees estposee sur une coupe 2D d’un echantillon obtenue par biopsie. Il peut ainsicalculer

1. la fraction de pixels appartenant a l’os : Pp

27


2. le nombre d’intersections d’un ensemble de lignes tests paralleles regu-lierement espacees avec l’interface os/moelle normalise par la longueurtotale des lignes : Pl

Ces mesures bidimensionelles et une hypothese de plaques paralleles [PMV+83]permettent de calculer les parametres du tableau 2.1 Remarquons que les

Parametre Calcul unite Signification

BV/TV Pp % Fraction de volume trabeculaire osseux

Bs/Bv 2Pl

Ppmm−1

Rapport surface sur volume os

Tb.Th Pp

Plmm Epaisseur moyenne des travees (modele plaque)

Tb.Dm 2Pp

Plmm Epaisseur moyenne des travees (modele tube)

Tb.Sp 1Pl− Pp

Plmm Espace intertrabeculaire moyen (modele plaque)

Tb.Sp 2Pp

Pl

√π

4Pp− 1 mm Espace intertrabeculaire moyen (modele tube)

Tb.Th∗ - mm Epaisseur moyenne des travees sans modele

Tab. 2.1 – Tableau des parametres histomorphologiques en 2D

mesures sont bimensionelles mais les parametres designent des quantites tri-dimensionnelles.

2.3.1.2 Les parametres topologiques

Introduction Les parametres topologiques renseignent sur la connectivitedu reseau trabeculaire ainsi que sur la nature des formes geometriques consti-tuant une structure. Il existe des relations entre la connectivite et la resistancemecanique de l’os.

Facteur de forme osseux : Trabecular Bone Pattern Factor (TBPF)Le TBPFD [HVPKD92] est un indice qui caracterise la connectivite dansune structure a travers la nature de ses formes convexes ou concaves. Onva appliquer une operation de morphologie mathematique : une dilatationet mesurer le perimetre et la surface des travees osseuses avant et apresdilatation. Sa formulation s’ecrit en fonction des perimetres P1, P2 et desaires A1 et A2 des travees dans l’image originale avant et apres dilatation :

TBPF2D =P1 − P2

A1 − A2

(2.3)

Le perimetre et la surface d’une structure convexe augmente apres dilatation :P2 > P1 et A2 > A1. Cela reflete une structure peu connectee. Inversement,dans le cas concave, P2 < P1 et A2 < A1 et la structure est majoritairementconstituee de regions connectees.

28


2.3.2 Les parametres en 3D

2.3.2.1 Extension de l’histomorphometrie en 3D

Les mesures histomorphometriques donnees donnees en 2D ont ete en-suite extrapolees en 3 dimensions. Pateyron [PPO+99] a d’abord propose d’estimer les parametres 3D sur chaque coupe puis de moyenner sur l’ensembledes coupes afin d’obtenir une mesure 3D. Puis la methode du MILL a eteetendue en 3D [BPA03] en utilisant des lignes de test traversant le volume se-lon differentes directions et regulierement disposees dans l’espace. Le lecteurpourra consulter le tableau 2.1.

2.3.2.2 Extension des parametres 2D

Le TBPF decrit a la section 2.3.1.2 a ete etendu au 3D. La formule 2.3devient alors :

TBPF3D =A1 − A2

S1 − S2

(2.4)

Avec S1 et S2 les aires de l’architecture osseuse avant et apres dilatation.

2.3.2.3 Les nombres de Betti

Ils sont au nombre de trois.Le nombre de Betti d’ordre 0 note κ0(E) correspond au nombre de com-posantes connexes d’un ensemble E. En theorie des ensembles, on dit qu’unensemble Q est connexe si pour tout couple (pi, pj) ∈ Q, on peut trouver unchemin passant par ces deux points et totalement inclus dans Q (figure 2.8).Le nombre de Betti d’ordre 1 note κ1(E) correspond au genre de la sur-

E

Q

Fig. 2.8 – Ensembles connexes

face c’est-a-dire au nombre maximal de coupures successives que l’on peutappliquer a une surface de telle facon que la surface obtenue soit encoreconnexe. Par exemple, le genre d’un tore, tube periodique, est de 1 car si

29


Fig. 2.9 – Illustration pour le calcul du nombre d’Euler

on le sectionne une fois l’element obtenu reste connexe. Le nombre de Bettid’ordre 1 n’est pas accessible directement, il peut etre deduit de la caracte-ristique d’Euler-Poincarre detaillee dans le paragraphe suivant.Enfin, le nombre de Betti d’ordre 2 note κ2(E) est le nombre de cavitesde E.

Caracteristique d’Euler-Poincarre Soit un objet O decompose en ηi

ensembles convexes. Odgaard [OG93] montre que le nombre d’Euler definitdans [FGP+89] Ξ(O) peut simplement s’ecrire :

Ξ(O) =

j∑i=0

(−1)ini (2.5)

ou j correspond a la dimension de l’espace considere. Par exemple, la figure6.3 comporte 15 sommets, 21 aretes et 7 faces. Le nombre d’Euler s’ecritalors : Ξ(O) = 15 − 21 + 7 = 1. Le nombre d’Euler-Poincarre a aussi eteexploite en 3D. Dans le cas tridimensionnel, l’equation (2.5) devient

Ξ(O) = η0 − η1 + η2 − η3 (2.6)

ou η3 est le nombre de voxels, η2 le nombre de faces et η1 le nombre d’aretes,η0 le nombre d’angles de la structure.

Les nombres de Betti et la caracteristique d’Euler-Poincarre sont reliespar la relation (2.7)

Ξ(O) = κ0(E)− κ1(E) + κ2(E) (2.7)

Remarques Gomberg [GSS+00] precise que le nombre d’Euler ne per-met pas de distinguer une plaque perforee et un tube sectionne.

30


Fig. 2.10 – Principe de calcul de l’epaisseur des travees sans modele- extrait de[HR97a]

2.3.2.4 Mesure directe d’epaisseur et d’espace intertrabeculaireen 3D

Hildebrand [HR97a] propose une methode pour determiner directementl’epaisseur locale en 3D sans modele. L’epaisseur locale d’une structure Ωen un point P est estimee en determinant le rayon r de la boule maximaleincluse dans la structure Ω ∈ R3 et contenant le point P (figure 2.10).

L’epaisseur locale τ(P ) est alors donnee par l’equation (2.8)

τ(P ) = 2 maxr|P ∈ B(x, r) ⊆ Ω, x ∈ Ω) (2.8)

avec B(x, r), l’ensemble des points dans la sphere de centre x et de rayon r.La valeur moyenne de l’epaisseur est alors donnee par :

τ(P ) =1

V ol(Ω)

∫ ∫ ∫Ω

τ(x)dx3, V ol(Ω) =

∫ ∫ ∫Ω

dx3 (2.9)

τ est souvent note Tb.Th∗ afin de differencier ce parametre de celui calculeavec la methode de Parfit enoncee au paragraphe 2.3.1.1 et basee sur un mo-dele de plaques paralleles.

31


Des travaux de l’equipe ([PPO+99] et [BPA03])) ont permis d’adaptercette mesure a des images discretes en utilisant des distances discretes etla notion d’axe median. L’epaisseur locale calculee en chaque point de l’axemedian est propagee a tout le volume. On obtient ainsi une distribution del’epaisseur locale. On peut alors calculer une valeur moyenne notee Tb.Th?.

2.3.2.5 Les parametres d’orientation, d’anisotropie

La technique du MIL 3D ”Mean Intercept Length” ou longueur moyenned’interception a ete developpee par [MNJ+95]. Une grille virtuelle constitueede lignes test ecartees d’une largeur ∆ et caracterisees par les coordonneesspheriques d’angle θ, φ est plongee dans un volume reconstruit d’un echan-tillon osseux. On va mesurer les quantites Pl et Pp definie au paragraphe2.3.1.1. Un diagramme ellipsoıdal avec 3 axes principaux est alors obtenu. Ilest alors possible de determiner les vecteurs et valeurs propres. La plus grandedes valeurs propres avec son vecteur propre correspondant donne l’orientationprincipale de la structure. Ce diagramme fournit egalement une estimationdu degre d’anisotropie DA de la structure defini comme :

DA =MIL1

MIL3(2.10)

si MIL1 et MIL3 est la plus grande, respectivement la plus petite valeurpropre. Les parametres d’orientation et d’anisotropie sont resumes dans letableau :

Parametres Signification

θ1, φ1 orientation principale de la structure,angles du plus vecteur propre de l’ellipsoıde.

DA degre d’anisotropie

Tab. 2.2 – Tableau des parametres d’orientation, anisotropie

32


2.3.2.6 Indice de structure : le SMI

Le SMI ou Structure Model Index a egalement ete propose par Hildebrand[HR97b]. Le SMI estime si la structure est plutot de type ”plaque” ou ”tube”.

Principe Le calcul du S.M.I repose sur les hypothese suivantes :

1. l’epaisseur r/2 des structures est constante,

2. la surface S de la structure correspond a la derivee du volume parrapport a r.

Ces deux hypotheses permettent d’ecrire :

S =∂V

∂r= f(r) (2.11)

Le modele utilise pour le calcul du SMI s’ecrit alors :

V = kre, k ∈ R et e ≥ 1 (2.12)

Si e=1, V correspond au volume d’une plaque et k represente la surface.Si e=2, il s’agit d’une structure de type tube. Pour une structure mixte,l’equation (2.12) peut s’ecrire :

V = Vt + Vp = k1r + k2r2 (2.13)

Soit l’indice de proportion ζ = Vt

Vp= k1

k2r, le SMI s’ecrit alors

SMI = 12ζ(1 + ζ)

1 + 4ζ(1 + ζ)(2.14)

Remarques :

Le SMI est calcule en pratique en maillant la surface de l’architectureosseuse. La surface S(r) est alors egale a la somme des surfaces destriangles.

Le SMI varie entre 0 et 3, 0 pour une structure plaque et 3 pour unestructure en forme de tubes.

33


2.4 Conclusion

La microtomographie synchrotron permet de reconstruire desechantillons in vitro d’architecture osseuse qui est une structure trescomplexe evoluant d’un individu a l’autre en fonction notammentdu sexe et de l’age. Cette section a presente les parametres utili-ses pour caracteriser la microarchitecture osseuse. Ces parametressont correctement estimes lorsque l’on utilise des reconstructionstomographiques de resolution spatiales suffisantes (de l’ordre de 10a 30 µm), un grand nombre de projections et un rayonnement mo-noenergetique. Nous utiliserons certains de ces parametres par lasuite pour evaluer les resultats de la reconstruction.

34

Chapitre 3

Etat de l’art et analyse des mo-deles de synthese de texture

Sommaire3.1 Les differentes approches en synthese de texture 32

3.1.1 Notion de texture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.2 Les methodes utilisant des primitives . . . . . . . . 333.1.3 Les modeles de reaction-diffusion . . . . . . . . . . 343.1.4 Les modeles par filtrage . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.5 Les modeles markoviens . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.6 Les modeles fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1.7 Les methodes composees . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Analyse critique vis a vis de la modelisation del’os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Description de l’approche markovienne . . . . . 413.3.1 Definitions et proprietes des champs de Markov . . 413.3.2 Fonctions de potentiels proposees dans la litterature 43

3.3.2.1 Les automodeles . . . . . . . . . . . . . . 433.3.2.2 Le modele d’Ising . . . . . . . . . . . . . 433.3.2.3 Les modeles autobinaires . . . . . . . . . 433.3.2.4 Les modeles autologistiques . . . . . . . . 443.3.2.5 Les modeles contours regions . . . . . . . 443.3.2.6 Discussion sur les modeles . . . . . . . . 46

3.3.3 Simulation de texture . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.3.1 Methodologie . . . . . . . . . . . . . . . . 46

35

Chapitre 3. Etat de l’art et analyse des modeles de synthese detexture

3.3.3.2 Les methodes optimales . . . . . . . . . . 47

3.3.3.3 Les methodes sous-optimales . . . . . . . 48

3.3.4 Methodes d’estimation des parametres des fonc-tions de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.4.1 Position du probleme . . . . . . . . . . . 51

3.3.4.2 Maximum de vraisemblance (ML) . . . . 52

3.3.4.3 Maximum de pseudo-vraisemblance (MPL) 53

3.3.4.4 La methode de partitionnement . . . . . 54

3.3.4.5 L’estimation Monte-Carlo (MCML) . . . 55

3.3.4.6 Estimation logistique ou methodes desmoindres carres (LS) . . . . . . . . . . . 56

3.3.4.7 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.5 Approche markovienne hierarchique . . . . . . . . 59

3.3.5.1 Decomposition multiresolution . . . . . . 60

3.3.5.2 Decomposition multiechelle . . . . . . . . 62

3.3.5.3 L’approche multimodele . . . . . . . . . . 62

3.3.5.4 Le processus Booleen-Markovien . . . . . 62

3.3.5.5 Le modele verre de Spin . . . . . . . . . . 63

3.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1 Les differentes approches en synthese de

texture

Afin d’introduire une information a priori dans la reconstruction, nousnous sommes interesse aux modeles de synthese de texture. Ces modelesdoivent repondre a deux contraintes fortes :

etre representatifs de l’architecture osseuse etre utilisables avec le cadre de la reconstruction tomographique a

nombre limite de projections (cf chapitre 4).

L’objet de ce chapitre est de presenter les differentes classes de methodesde synthese de texture et de determiner celle qui peuvent etre utilisees avecprofit comme modele a priori d’architecture osseuse. Nous verrons que seulsles champs de Markov conviennent et nous detaillerons alors le formalismeet l’approche markovienne existante.

36

3.1. Les differentes approches en synthese de texture

3.1.1 Notion de texture

La definition meme d’une texture reste tres ambigue dans la litterature.Des recherches notamment en physiologie tentent d’expliquer comment lesysteme de vision humain caracterise et discerne differentes textures. Aufur et a mesure des decouvertes, differentes definitions et modeles ont etesuggeres. Coggins [CJ85] a cree un catalogue de definition de textures. Ils’agit notamment d’un arrangement de motifs plus ou moins reguliers ouun ensemble de caracteristiques et de proprietes qui permettent au systemevisuel humain de differencier des regions entre elles. R.W Picard [PIC96] apropose un classement des modeles de texture. Ce classement est resume parla figure 3.1. La demarche en synthese de texture va se decomposer en 2

Fig. 3.1 – Un classement des methodes de synthese de texture - Extrait de [PIC96]

etapes :

l’analyse ou a partir d’un modele et d’une texture, on va estimer lesparametres de ce modele,

la synthese proprement dite ou, a partir d’un jeu de parametres et d’unmodele, on va generer une texture la plus proche de la texture originaleselon des criteres predefinis.

Ce chapitre va explorer les principales classes de methodes de synthesede texture utilisables pour modeliser la micro architecture osseuse.

37


3.1.2 Les methodes utilisant des primitives

Les modeles proposes sont bases sur des modeles mathematiques ou desprocessus dont la maıtrise n’est pas toujours tres evidente. C’est pourquoicertains auteurs comme Dai [DO97] ou Asano [AOMH02] proposent d’utiliserdes primitives. Une primitive est un ensemble de voxels ayant des proprietescommunes (niveaux de gris, intensite maximum, forme, taille etc...). Il vaalors s’agir de definir ces primitives et de determiner les relations de depen-dance entre ces primitives. Dai propose d’etablir des regles de productionscodee a l’aide d’une grammaire symbolique. La texture peut etre modifiee enintroduisant un loi de probabilite sur l’apparition d’un symbole.

Limites Cette approche permet de retrouver des textures binaires et dontla description mathematique n’est pas evidente. Il s’agit d’une approche detype region. Cependant, ces methodes n’offrent pas un cadre formel suffisantpour les inclure dans un processus de reconstruction.

3.1.3 Les modeles de reaction-diffusion

Les modeles de reaction-diffusion se differencient des autres modeles caron va simuler la formation d’un processus localement au cours du temps.Cette classe de modele a ete proposee par Turing [TUR52] afin d’expliquer laconfiguration spatiale de certaines molecules a travers l’evolution de processuschimiques. Les modeles sont tres proches des equations de la mecanique desfluides. Witkin [WK91] a applique ces modeles aux textures. Les modeles dereaction-diffusion comportent 3 processus traduisant des phenomenes

1. de diffusion,

2. de dissipation,

3. de reaction.

Soit C(x, y, z, t), la concentration d’un compose chimique (ou le nombre devoxels ayant un niveau de gris donne par unite de volume) en un point decoordonnee (x,y,z) a l’instant t, les modeles de reaction diffusion peuvents’ecrire de facon generale :

∂C(x, y, z, t)

∂t= a2∇2C(x, y, z, t)︸︷︷︸

diffusion

− bC(x, y, z, t)︸︷︷︸dissipation

+ R︸︷︷︸reaction

(3.1)

ou ∇2 = ∂C∂x

+ ∂C∂y

+ ∂C∂z

est le laplacien, a est une constante de diffusion,b estune constante de dissipation et R est une fonction controlant la formation etla disparition du compose de concentration C(x,y,z,t). Un modele anisotrope

38


Fig. 3.2 – Exemple de realisation du modele de reaction-diffusion presente dans[CPSS97]

peut etre obtenu en faisant varier a selon la direction de diffusion et la positionspatiale. Courtin et all [CPSS97] ont adapte un modele de reaction-diffusionen 3D afin de tenter de modeliser les structures de l’os trabeculaire. La figure3.2 est un exemple de simulation que l’equipe a obtenu [CPSS97].

Limites Meme si les resultats obtenus par ces methodes semblent sedui-sants, la formulation mathematique ne permet pas de les integrer directe-ment dans le cadre de la reconstruction. En effet, le processus de reconstruc-tion n’integre pas un processus evoluant temporellement et spatialement. Parailleurs, le choix de la valeur des parametres et des termes de l’equation (3.1)n’est pas trivial et il n’existe pas de classifications reliant l’evolution de cesparametres aux textures generees ce qui est une limite tres forte.

39


Filtrages de Gabor

Texture originale

Filtrage passe-bas(module)

histogramme

Décomposition en bandes de fréquences

Calcul de l'énergie

Moyennage sur 5 régions

Filtrage passe-bas et

sous échantillonage

Extraction de caractéritiques

énergie

largeurs de bandes

image passe-bas

histogrammecodé

Paramètres

Bruit blanc gaussien

Filtrage gaussien

Pondération

Modulation&égalisation

Synthèse

Texture synthétisée

Fig. 3.3 – Schema de synthese de texture avec des bancs de filtres de Gabor

3.1.4 Les modeles par filtrage

La synthese par filtrage est inspiree des etudes issues de la neurophysiolo-gie [SGVE89]. Ces etudes suggerent que le systeme visuel humain decomposel’image formee sur la retine en sous images ou sous-bandes. Cette decomposi-tion peut etre modelisees par la convolution de l’image avec un banc de filtreslineaires selectifs selon la direction et la frequence. Les filtres de Gabor et lesdecompositions en ondelettes sont principalement utilises comme elementsde filtrage.

[NP96] propose une methode de synthese basee sur un banc de filtres deGabor et l’extraction de parametres (histogramme, calcul d’energie) et unschema de synthese (figure 3.3).

Synthese par filtrage iteratif Simoncelli [SIM99] a propose une methodede synthese iterative. Il va s’agir de filtrer puis mesurer des parametres statis-tiques sur l’image synthetisee et sur l’image originale. Quand l’ecart entre lesparametres de la texture originale et synthetisee sont minimaux, le processusest stoppe. La figure 3.4 donne le principe de cette methode. Plus precisement,il va realiser une decomposition analogue a une decomposition de l’image enondelette et obtenir des sous bandes calculees a partir de l’image originaleprise dans differentes directions. De la, il mesure sur chaque sous-bande desparametres statistiques comme la variance, le coefficient de skewness 1, le

1le coefficient de skewness mesure le degre d’asymetrie d’une distribution.

40


Analyse

Transformée Mesures statistiques

Synthèse

Optimisationdes paramètres Transformée inverse

Texture originale

Transformée

Mesures statistiques

Texture synthétisée

Fig. 3.4 – Principe de synthese de texture selon [SIM99]

coefficient de kurtosis 2. Il va aussi calculer ces coefficients statistiques entreles sous bandes. En fait, jusqu’a 720 parametres vont etre calcules ! L’opti-misation est realisee par une methode de descente de gradient [SIM99]. Lafigure 3.5 presente un exemple de texture caracteristique d’un echantillond’architecture osseuse synthetisee avec la methode de Simoncelli.

Limitations Les methodes par filtrage necessitent de connaıtre la texturea synthetiser. Dans le cas de la reconstruction, nous ne disposons que des pro-jections. L’interet de ce type de methode apparaıt lorsque l’on souhaite faireun changement d’echelle tout en s’affranchissant des effets de sous echan-tillonnage. Pour la methode utilisant les filtre de Gabor, on ne connaıt pasl’evolution de la texture lorsque l’on fait varier meme faiblement les para-metres estimes. La methode de Simoncelli peut sembler interessante maispour capturer toute la complexite d’une texture, il utilise 720 parametres.Enfin, nous disposons pas de l’image originale mais seulement de projec-tions. Cette classe de methode de synthese de texture, bien que donnant debons resultats, n’est donc pas adaptee a notre contexte de reconstructiontomographique.

2le coefficient de kurtosis mesure le caractere pointu ou aplatit d’une distribution d’unevaleur aleatoire reelle par rapport a une distribution normale.

41


(a) texture originale (b) texture synthetisee

Fig. 3.5 – Exemple de texture synthetisee par la methode de Simoncelli

3.1.5 Les modeles markoviens

Les champs de Markov sont tres utilises en traitement d’images. Leur inte-ret est de pouvoir modeliser des interactions entre pixels a travers un modeleprobabiliste. Considerons un champ aleatoire X constitue de variables Xs enchaque site s ∈ S ou S designe l’ensemble des sites de l’objet a modeliser.Soit xs, la valeur de Xs au site s. Un champ de Markov X est un champaleatoire presentant la propriete suivante :

∀s ∈ S, P (Xs = xs|xt, t ∈ S − s) = P (xs|xt, t ∈ Ns) (3.2)

ou Ns designe un sous-ensemble de S.appele voisnage. Ceci signifie que laprobabilite en un site s conditionnellement au reste du champ est egale a laprobabilite en ce site connaissant simplement ses voisins. Cette modelisationintroduit explicitement des interactions a courte echelle : un modele regis-sant les interactions entre sites voisins permet d’ecrire une energie locale.Une realisation est alors obtenue quand l’energie globale sur toute la realisa-tion est minimale. L’energie locale et l’energie globale suivent alors la memedistribution. Ceci revient alors a maximiser la probabilite P.

Limites et avantages Cette classe de methode est adaptee au formalismede la reconstruction [BRU01] que nous detaillerons a la section 4. Bien quene pouvant capturer que sommairement la complexite des textures en raisondes fonctionnelles d’energie qui ne sont pas directement representatives destextures, cette approche semblent etre un bon compromis.

42

3.2. Analyse critique vis a vis de la modelisation de l’os

3.1.6 Les modeles fractals

Les modeles fractals traduisent les proprietes de rugosite et ressemblancea differentes echelles. Mandelbrot [MAN83] en fut l’investigateur. Les frac-tales sont utilisees en segmentation [CS95] ou en analyse. Rachid Harba et al[LHB+03] ont developpe une technique d’analyse du caractere fractal de l’ar-chitecture osseuse sur radiographie. Bien que les modeles fractals semblentseduisants, il n’existe pas a notre connaissance de methodes completes desynthese de textures basees sur ces modeles et integrables dans un processusde reconstruction tomographique.

3.1.7 Les methodes composees

Les methodes composees regroupent plusieurs approches afin de prendreen compte l’ensemble des caracteristiques d’une texture.

Zhu et al [ZWM97], par exemple, melangent l’approche markovienne avecdes bancs de Filtre. Il s’agit de filtrer la texture initiale avec un banc de filtre.La distribution de chaque texture filtree est alors modelisee par des gaus-siennes. L’histogramme des configuration de voisinage permet d’estimer lesparametres de ces gaussiennes. La encore, la connaissance de la texture ini-tiale est indispensable. Plusieurs approches melangeant les champs de Markovet des decompositions multiresolutions ont aussi ete explorees. Ces methodessont developpees a la section 3.3.5.

3.2 Analyse critique vis a vis de la modelisa-

tion de l’os

Synthetiser une texture est un probleme complexe car il faut capter le pluspossible de caracteristiques representatives. Nous avons balaye les principalesmethodes de texture afin de determiner la classe de methodes representativesde l’architecture osseuse et compatible avec un processus de reconstruction.Les champs de Markov semblent etre un bon compromis bien que lelien entre leur formulation et la texture generee ne soit pas trivial. La sectionsuivante va detailler d’avantage le formalisme markovien et les differentesstrategies utilisees en segmentation ou classification et qui peuvent etre dessources d’inspiration pour la reconstruction tomographique de l’architectureosseuse avec un nombre limite de projections.

43


3.3 Description de l’approche markovienne

3.3.1 Definitions et proprietes des champs de Markov

Soit S une grille constituee de sites s. Soit X un champ aleatoire et x unerealisation de X. Pour chaque site s ∈ S, definissons une variable aleatoireXs prenant la valeur xs ou xs ∈ Ω = 0, 1. Une configuration particuliereest donnee par Xs = xs, s ∈ S. Presentons les principales definitions etproprietes :

Voisinage : Un systeme de voisinage N sur l’ensemble des sites S est unecollection de sous ensembles finis N = Ns, s ∈ S tel que :

s /∈ Ns

s ∈ Nt <=> t ∈ Ns; s, t ∈ S(3.3)

Les sites s et t sont dit mutuellement voisins.

Cliques : Soit un systeme de voisinages N, une clique est un sous-ensemble C ⊆ S tel que

∃s ∈ S : c = set

∀s, t ∈ C, t ∈ Ns

(3.4)

Par consequent, chaque sous-ensemble c ∈ C est soit un singleton avecune seule clique soit des sites distincts qui sont voisins. Un exemple de sitess, s ∈ S, avec respectivement 4 et 8 voisins et le systeme de cliques cor-respondant est donne dans la figure 3.6. Paget [PL97] propose une methodepour determiner systematiquement toutes les cliques d’un voisinage de tailledonnee basee sur la construction recursive d’un graphe verifiant la definition2.

Champs de Markov : Un champ aleatoire X defini sur S est dit unchamp de Markov par rapport a N si :

∀s ∈ S, P (Xs = xs|xt, t ∈ S − s) = P (xs|xt, t ∈ Ns) (3.5)

Selon la definition 3.5, la valeur du site s depend uniquement de celle de sesvoisins.

44

3.3. Description de l’approche markovienne

s

t

(a) (b)

s

t

(c) (d)

Fig. 3.6 – (a) et (c) representent les 4 et 8 plus proches voisins du site s (s ∈ S).(b) et (d) sont les ensembles de cliques correspondantes

Champs de Gibbs Un champ aleatoire X est dit champ de Gibbs sipour l’ensemble de voisinages N et C l’ensemble des cliques definies sur N si :

∀x ∈ X,

P (x) =exp [−U(x)]

Z=

exp[−∑

c∈C Vc(xc)]

Z(3.6)

ou les fonctions Vc(.) sont appeles potentiels. Ils portent uniquement sur lessous ensembles c ∈ C, U est une fonctionnelle d’energie et Z =

∑x exp [−U(x)]

est une fonction de partition en general non calculable explicitement.

Equivalence entre champs de Gibbs et champs de Markov :Grace au theoreme d’ Harmersley-Clifford [BES74], si toutes les configura-tions sont possible, (P (X) > 0), le champ de Markov ainsi forme convergevers une distribution de Gibbs [CJ83]. On peut alors ecrire :

P (xs|xt, t ∈ Ns) =1

Zs

exp[−∑c∈Cs

Vc(xc)] (3.7)

avec Zs la fonction de partition calculee sur le voisinage Ns et Cs l’ensembledes cliques restreint au voisinage Ns. Ceci implique que si on choisit lo-calement un voisinage adapte, un systeme de cliques, et des fonctions depotentiels, la distribution evaluee sur la realisation x va converger vers ladistribution evaluee sur le voisinage du site s.

45


3.3.2 Fonctions de potentiels proposees dans la litte-rature

Dans le cadre de notre application, nous allons nous interesser aux mo-deles adaptes au binaire : l’ensemble des sites sont a valeur dans l’ensembleΩ = λ1, λ2 ou λ1, λ2 sont des etiquettes. Il existe aussi des modeles Gaus-siens pour les textures a niveau de gris. X. Descombes [DMZB99] a treslargement investigue les modeles Markovien Gaussiens tant aussi bien del’estimation des parametres, du voisinage ou de la synthese. Cependant, cesmethodes sont propres aux modeles a niveaux de gris. Il existe des modelesplus adaptes au binaire [PAG98], [CHA00a]. Les sections suivantes vont lesdetailler.

3.3.2.1 Les automodeles

Les automodeles sont formes par des potentiels qui dependent de cliquesconstituees au plus de 2 sites. Soit U(x) une fonctionnelle d’energie, l’expres-sion generale de l’energie s’ecrit alors :

U(x) =∑

s

xsGs(xs)−∑<s,t>

xsxtGs,t(xs, xt) (3.8)

avec Gs(xs) et Gs,t(xs, xt) des fonctions dependantes des voxels aux sites set t. < s, t > designe l’ensemble des cliques d’ordre 2. Plusieurs variantespeuvent alors etre considerees.

3.3.2.2 Le modele d’Ising

Les voxels sont a valeur dans l’ensemble Ω = 0; 1. Le modele s’ecritsimplement,

U(x) = β0

∑s

(2xs − 1)− β∑<s,t>

(2xs − 1)(2xt − 1) (3.9)

Ici, les parametres sont constant quelque soit la direction des cliques et laposition spatiale du voxel central. Remarque : dans le cas de la physique,Ω = 0; 1 et l’equation (3.10) s’ecrit [CHA00a] :

U(x) = β0

∑s

xs − β∑<s,t>

xsxt (3.10)

46


x

y

zj-1

zj

zj+1

Zj = uj + i vj

Fig. 3.7 – Parametrisation du contour

3.3.2.3 Les modeles autobinaires

Les modeles autobinaires sont une generalisation du modele d’Ising. Lesparametres de ponderation dependent de chaque clique. L’energie associees’ecrit alors :

U(x) =∑s∈S

βs(2xs − 1)−∑<s,t>

βst(2xs − 1)(2xt − 1) (3.11)

avec xs ∈ 0, 1. Remarquons que les modeles autobinaires ne sont pas tou-jours stationnaires. En effet, les coefficients de ponderation dependent de lalocalisation spatiale du site s.

3.3.2.4 Les modeles autologistiques

Les modeles autologistiques sont des cas particuliers des modeles auto-binaires. On va considerer que les coefficients de ponderation sont variablesselon les directions verticales et horizontales mais ne dependent pas de laposition spatiale du site s. Les coefficients de l’equation (3.11) deviennentβst = βv pour les cliques verticales et βst = βh pour les cliques horizontales.βv ∈ R et βh ∈ R sont 2 coefficients constants.

3.3.2.5 Les modeles contours regions

Un premier modele Ali Mohammad-Djafari [MD97] propose de modeli-ser non pas les interactions entre sites voisins mais les contours des objets.Supposons que le contour de l’objet est discretise en G points. Soit (uj, vj)

47


41 42 43 44

45 46 47 48

Fig. 3.8 – Configuration des cliques d’ordre 4

les coordonnees d’un point j du contour. On peut ecrire zj = uj + vj.(voirfigure3.7). Soit z = zj, Le potentiel a optimiser s’ecrit alors :

u(z) =G∑

j=1

|zj−1 − 2zj + zj+1|2

= 4G∑

j=1

|zj −(zj−1 − zj+1)

2|2 (3.12)

Le second terme de l’equation (3.12) designe la distance euclidienne entre lepoint zj et le milieu du segment zj−1 et zj+1. Il va etre possible de limiter lacourbure locale du contour.

Un second modele Ce second modele a ete developpe par Collet [CTM+98]pour la segmentation des images de sonar. Il rajoute des cliques d’ordre 4 pourmodeliser les contours. L’energie a priori s’ecrit alors :

U(x) =∑c∈C2

Vc(xc) +∑c∈C4

Vc(xc) (3.13)

avec C2, les cliques d’ordre 2 et C4, les cliques d’ordre 4. Les configurationsdes cliques d’ordre 4 sont donnees dans la figure 3.8. Les carres blancs sontdes sites valant 1 et les noirs des sites valant 0. On a alors :

48


∑c∈C4

Vc(xc) =∑s∈S

7∑l=0

β4lϕ(xs, l) (3.14)

avec ϕ(xs, l) = 1 si la configuration 4l existe dans le voisinage du site xs etβ4l ∈ R, le coefficient de ponderation de la configuration 4l (figure 3.8). Il vaalors etre possible de favoriser certaines configurations de bords suivant lesvaleurs de β4l (contours horizontaux, verticaux, diagonaux).Remarques : Dans le cas de l’architecture osseuse, les travees ne presententpas de courbures locales homogenes mais elles varient sensiblement d’unetravee a l’autre. Par ailleurs, l’approche contour semble tres utile dans lecas d’un seul objet homogene en terme de temps de calculs car le nombrede points a traiter est reduit. Mais, dans le cas de l’architecture osseuse, lenombre de voxels appartenant a l’os est limite et les contours tres complexes.Une approche contour semble peut appropriee d’autant plus que la gestionde nombreux contours serait plus delicate.

3.3.2.6 Discussion sur les modeles

La litterature est riche en modeles pour les structures a niveaux de gris.Dans le cas de textures binaires, ces modeles sont plus restreints et vontcontroler l’agregation de pixels en regions. Ils ne donnent pas d’informationssur la localisation des regions ou leur caracteristiques (tailles, formes...) cequi ne permet pas de generer des textures tres realistes. Dans le chapitre 5,nous tenterons de d’ameliorer davantage ces modeles, a l’aide d’un systememulticliques, afin de mieux controler l’organisation et les caracteristiques destextures. Cependant, la construction de regions compactes est deja une in-formation importante. Nous verrons que la reconstruction avec un nombrelimite de projection va favoriser l’apparition de regions bruitees et donc noncompactes.

3.3.3 Simulation de texture

3.3.3.1 Methodologie

Ayant determine la loi de probabilite donnee par l’equation (3.6), Il nousfaut simuler cette loi dont une realisation sera la texture recherchee. Soitπ(x) une loi de distribution fixee. L’idee est de construire un champ deMarkov de loi d’equilibre π(x). Les algorithmes de simulation vont gene-rer une chaıne de Markov X(0), X(1), . . . , X(n) donnant des realisationsx(0),x(1),. . . ,x(n) et qui convergent vers une image x. On aura alors :

limn→+∞

P (X(n) = x|X(0) = x(0)) = π(x) ∀x (3.15)

49


Il existe deux classes de methodes :

1. les methodes optimales qui convergent vers un optimum global pour unnombre infini d’iterations (Algorithme de Metropolis, echantillonneurde Gibbs),

2. les methodes sous-optimales qui convergent vers un minimum local etgeneralement dependent de l’initialisation (ICM, recuit simule)

3.3.3.2 Les methodes optimales

La dynamique de Metropolis La dynamique de Metropolis [MRR+53]a ete d’abord utilisee en physique statistique puis appliquee en traitementd’images (voir la reference [COC95] par exemple). Il va s’agir de calculerl’energie locale de l’equation (3.6). Le principe de l’algorithme est le suivant :

50


1. On tire une configuration initiale x(0) (initialisa-tion aleatoire (loi uniforme), un damier, une imagenoire ou blanche par exemple).

2. On choisit un sens de parcours (deterministe, alea-toire, une combinaison)

3. Placons-nous sur le site s. Chaque site s visite al’etape n est caracterise par son etat xn

s et par laconfiguration de son voisinage Nn

s . Son nouvel etatxn+1

s est obtenu de la facon suivante :Pour l’iteration n,

(a) On calcule

∆U = U(xs = 1− xs|Nns )− U(xs|Nn

s )

(b) Si ∆U < 0,xn+1

s = xns

Si ∆U ≥ 0,

xn+1s =

xn

s = 1− xns avec la probabilite exp(−∆U

T)

xns avec la probabilite 1− exp(−∆U

T)

ou T est une pseudo-temperature par ana-logie a la physique statistique.

(c) Poursuivre les balayages un nombre determine d’iterations

ou jusqu’a la realisation d’un critere d’arret

predefini.

Dynamique de Metropolis modifiee Zoltan Kato ([KAT94]) a pro-pose une variante de l’algorithme de Metropolis. La difference intervient dansla condition d’acceptation du changement de valeur du site s. La nouvelle me-thode propose de fixer au debut de l’algorithme un seuil arbitraire constantα ∈ 0, 1 puis d’appliquer la regle suivante :xn+1

s prend la valeur xns si :

∆U ≤ 0 ou ∆U > 0 et ln(α) ≤ −∆U

T

L’interet de cette variante est une vitesse de converge accrue.

51


L’echantillonneur de Gibbs L’echantillonneur de Gibbs a ete utilise parles freres Geman [GG84]. Il va s’agir d’une mise a jour voxel par voxel selonle schema suivant :

1. On tire une configuration initiale x(0) (initialisa-tion aleatoire (loi uniforme ou normale), un da-mier, une image noire ou blanche par exemple).

2. On choisit un sens de parcours

3. Pour l’iteration n et le site s,

(a) Choisir xn+1s selon la loi conditionnelle

P (xs|xt, t ∈ Ns) selon l’equation (3.5)

(b) Poursuivre les balayages un nombre determine d’iterations


predefini

Descombes precise que l’echantillonneur de Gibbs est moins employe quel’algorithme de Metropolis car il faut tirer une realisation de P.

3.3.3.3 Les methodes sous-optimales

Les methodes sous-optimales convergent vers un minimum local, c’est-a-dire qu’une fois a convergence, de nouvelles iterations ne vont pas faireevoluer le systeme. Dans le cas de methodes optimales, le systeme peut encoreevoluer et sortir du minimal local (figure 3.9). L’interet des methodes sous-optimales est d’eviter d’avoir a choisir un critere d’arret qui sera empirique.Dans le cadre d’applications comme la segmentation [COC95], ces methodesd’optimisation donnent des resultats satisfaisants.

L’ICM La formulation de l’ICM correspond a la dynamique de Metropolisa temperature T nulle. Physiquement, dans le cadre de la modelisation destransitions de phase, deux composes sont melanges et vont interagir avantd’atteindre un equilibre. Le terme d’energie U(x) represente les forces decohesion qui vont avoir tendance a creer deux regions distinctes et homogenestandis que le parametre temperature T va controler l’influence de l’agitationthermique. Lorsque T est nulle, il y a pas d’agitation thermique et le systemese stabilise tres rapidement sans pouvoir changer de configuration. C’est cequi traduit la notion de minimum local.Le principe de l’ICM est le suivant :

52


Méthodes sous-optimalesminimum local

Méthodes optimales minimum global E

nerg

ie U

(x)

Itérations

Fig. 3.9 – Evolution de l’energie dans le cas de methodes optimales et sous-optimales

1. On tire une configuration initiale x(0) (initialisa-tion aleatoire (loi uniforme), un damier, une imagenoire ou blanche par exemple).

2. On choisit un sens de parcours

3. Placons nous sur le site s. Chaque site s visite al’etape n est caracterise par son etat xn

s et par laconfiguration de son voisinage Nn

s . Son nouvel etatxn+1

s est obtenu de la facon suivante :Pour l’iteration n,

(a) On calcule

∆U = U(xs = 1− xs|Ns)− U(xs|Ns)

(b)

xn+1s =

xn

s si ∆U ≥ 0

xns = 1− xn

s si ∆U < 0

(c) Poursuivre les balayages un nombre determine d’iterations


predefini.

53


Le recuit simule Le recuit simule est en fait un algorithme de Metropo-lis combine a une decroissance de la temperature. En physique statistique,il sert a modeliser les phenomenes physico-chimiques utilisant le refroidis-sement pour amener un systeme dans un etat cristallin d’energie minimale.L’objectif n’est pas d’obtenir une realisation d’un champs de Gibbs a unetemperature constante mais d’obtenir un etat qui minimise la fonctionnelled’energie au mieux sans imposer une temperature. . Lorsque la temperatureest elevee, les sauts d’energie sont grands. Lorsque la temperature decroıt, lessauts d’energie les plus grands sont supprimes. Une decroissance trop rapiderisque de pieger la solution dans un minimum local. [KGJ83] preconise uneloi exponentielle dependant de l’iteration courante :

Tn = To exp(cn), c ∈ < (3.16)

avec T0, une temperature initiale prise arbitrairement grande. Cet algorithmereste cependant lent. Kato [KAT94] a introduit un recuit simule multitem-perature dependant a la fois du numero de l’iteration mais aussi de la confi-guration des cliques. Cette variante permet une acceleration de l’algorithmeet est utilisee dans le cas de modeles hierarchiques.

Methodes de type Descente de gradient Ces methodes sont large-ment decrites dans la litterature, [GMW81] par exemple. Elles concernentla minimisation de fonctions non-lineaires U(x). Lorsque U est non-convexe,elles fournissent seulement un minimum local. Cette methode est fondee surune approximation lineaire de U(x) donnee par le developpement de Taylord’ordre 1 :

U(x+ εζ) ≈ U(x) + εζ∇U(x) (3.17)

ou ζ est une direction dans <n et ε un scalaire positif.Il faut choisir ζ∇U(x) < 0 et prendre le vecteur ζ de norme 1 qui minimiseζ∇U(x) < 0. L’algorithme de descente de gradient est en fait une suiteiterative de configurations.

3.3.4 Methodes d’estimation des parametres des fonc-tions de potentiel

3.3.4.1 Position du probleme

Soit X un champ aleatoire Markovien, x sa realisation et la famille dedistribution de Gibbs suivante :

Πβ(x) =1

Zβexp−U (x,β) (3.18)

54


avec U(x,β) =∑Q−1

l=0 βlUl(x), Q le nombre de cliques, β = (β0, ..., βq−1)T

est un vecteur de parametres reels. Ul(x) =∑

c∈ClVl,c(xc), Ul est une energie

de potentiel de voisinage dont l’ensemble des cliques est Cl et le potentielde toute clique c ∈ Cl est Vl,c(xc). Zβ est la constante de normalisation :Zβ =

∑x∈Ω(exp−U (x,β)). Ω est l’ensemble des configurations c’est-a-dire,

dans la cas de la synthese de texture, l’ensemble des textures que l’on peutsynthetiser et repondant a la loi Πβ(x). On dispose d’une observation x0 duchamp aleatoire de Markov X de distribution theorique P [X = x] :

P [X = x] = Πβ (x) .

(3.19)

Le probleme est alors l’estimation de β, le vecteur des parametres estimes,connaissant l’observation x0. Dans la suite, on notera Pβ (x) la distributiond’energie Πβ(x).Remarque : Dans tout ce document, on va supposer que l’energie U (x,β)est lineaire par rapport aux parametres βl. Par ailleurs, on ne va s’interes-ser qu’a une classe d’energie lineaire, il s’agit de l’energie d’Ising. Il existeaussi d’autres types d’energie comme des energies gaussiennes, adaptees auximages en niveaux de gris, dont X. Descombes [DMZB99] a donne quelqueselements d’estimation specifiques. Cependant, ces energies ne traduisent pasun modele adapte a la modelisation de l’architecture osseuse qui va etre consi-deree comme un objet binaire. Notons U(x) = (U0(x), . . . , UQ−1(x))

T , on aalors,

U(x,β) = βTU(x) (3.20)

Pratiquement, l’equivalence entre champs de Gibbs et de Markov permetde s’interesser a l’energie U(x) restreinte a la configuration de support (s,Ns)avec Ns voisinage du site s.Notons U?

s(xs, Ns(x)) = (U?s0, . . . , U?

sQ−1s cette energie. L’energie U(x,β) res-

treinte a Ns que l’on note U?s(xs, Ns;β) s’ecrit alors :

U?s (xs, Ns;β) = βTU?

s(xs, Ns) (3.21)

Cas du modele d’Ising Nous nous placons dans le cas d’une image bi-naire a valeur dans l’intervalle (0, 1). Reprenant l’equation (3.18), on peutdecomposer les cliques du voisinage en deux categories :

1. l’energie associee aux cliques d’ordre 1,

2. l’energie des cliques d’ordre 2

55


Prenons le cas d’un modele d’Ising isotrope aux 4 plus proches voisins. Levecteur β devient β = (β0, β1)

T . Le modele d’Ising s’ecrit alors :

U?s (xs, Ns;β) = βTU?

s(xs, Ns)

β0(2xs − 1) + β1

∑t∈Ns

V (xs, xt) (3.22)

avec Vxs,xt = (2xs − 1)(2xt − 1) le potentiel associe aux cliques d’ordre 2.

Nous allons nous interesser a quelques methodes d’estimation des para-metres.

3.3.4.2 Maximum de vraisemblance (ML)

Soit x0 une observation du champ aleatoire X et β = (β0, ..., βQ−1)T , le

vecteur inconnu des parametres. Pour estimer β, le principe du maximum devraisemblance consiste a choisir le vecteur β qui rend l’observation x0 la plusprobable c’est-a-dire :

β = arg maxβ

Pβ[X = x0

](3.23)

On appelle vraisemblance la fonction :

L (β) = Pβ[X = x0

](3.24)

Il est habituel de prendre le log de la vraisemblance note l(β) qui est plusfacile a deriver. On obtient :

l(β) = βT − log(Zβ) (3.25)

La derivee du terme de droite par rapport β s’ecrit alors :

∇l(β) =1∑

z∈Ω exp[βTU(x)

]∑y∈Ω

U(x) exp[βTU(x)

](3.26)

=∑y∈Ω

U(y)exp

[βTU(y)

]∑z∈Ω exp

[βTU(z)

] (3.27)

La resolution numerique de cette optimisation semble impossible car laconstante de normalisation Zβ n’est pas calculable explicitement. En effet,il faut considerer l’ensemble des configurations realisables pour une loi dedistribution donnee.

56


3.3.4.3 Maximum de pseudo-vraisemblance (MPL)

Principe Le principe du maximum de pseudo vraisemblance (MPL), intro-

duit par Besag [BES74] consiste a choisir β de telle sorte que l’observation

x0 soit la plus probable. La probabilite P (x0s) est alors maximale et β verifie

l’equation (3.28). La difference avec la methode precedente est que l’on va seplacer sur des voisinages et non sur l’image entiere.

β = arg maxβ

∏s∈S

(Pβ[x0

s|Ns)]) (3.28)

avec S l’ensemble des sites s de l’image. Cette formulation permet en fait des’affranchir du calcul de la fonction de partition. En effet, on peut ecrire dansle cas d’un modele binaire et de voisinage Ns :

Pβ (xs|Ns) =exp− [U?

s (xs, Ns)]

exp− [U?s(0, Ns)] + exp− [U?

s(1, Ns)](3.29)

avec xs ∈ 0, 1On va ensuite s’interesser plus particulierement a la log pseudo-vraisemblance :

log(L(β)) =∑s∈S

log(Pβ(xs|Ns(x))) (3.30)

Il faut alors evaluer numeriquement le maximum de cette fonction afin detrouver les parametres estimes. Pour cela, on va deriver par rapport a chaqueparametre :

∂ log(L(β))

∂βl

= 0 (3.31)

Le maximum de chaque fonction doit etre calcule numeriquement par unemethode classique de resolution numerique comme celle de Newton-Raphsonpar exemple.

Remarques : Lorsque le nombre de sites est suffisamment grand, on peutdemontrer [CHA00a] que l’estimation de la pseudo-vraisemblance est uniqueet consistante.Cependant, Seymour [SEY93] a montre que l’estimation avec des interactionsa longues portees reste approximative car le MPL est tres dependant de lataille du voisinage utilise.

57


3.3.4.4 La methode de partitionnement

Principe Il s’agit d’une version derivee du la methode MPL presentee ci-dessus. Elle a ete aussi introduite par Bessag en 1974 [BES74]. L’idee est lasuivante : on va partitionner l’ensemble des sites S en sous ensembles Sk ap-peles ensembles de codage ou ”codings” ou aucun ensemble n’est voisin l’unde l’autre au sens markovien. Cela permet de s’affranchir des interdepen-dances des pixels voisins. La figure 3.10 presente en exemple de configurationpour les voisinages 4-connexes et 8-connexes. Les numeros correspondent ades codings non voisins. Le principal atout cette methode est la facilite de

1 2 1 2 12 1 2 1 21 2 1 2 12 1 2 1 21 2 1 2 1

1 2 1 2 13 4 3 4 31 2 1 2 13 4 3 4 31 2 1 2 1

(a) voisinage 4-connexe (b) voisinage 8-connexe

Fig. 3.10 – Codings pour un voisinage 4-connexe et 8-connexe

mise en œuvre. En effet, la pseudo-vraisemblance s’ecrit :

Lk(β) =∏s∈Sk

Pβ(xs|Ns) (3.32)

On va ensuite estimer simplement les parametres sur chaque sous ensemblepar un moyennage de chaque parametre sur tous les codings. Pour obtenir uneapproximation, on va moyenner les estimations sur tous les sous-ensemblesde la realisation markovienne. On pourra alors ecrire :

β =1

K

∑k

arg maxβ

Lk(β) (3.33)

ou K designe le nombre total de codings.Le principal defaut est que l’on estime les parametres que sur plusieurs sous-ensemble de facon independante et leur combinaison ne garantit pas un re-sultat optimal.

58


Application au modele d’Ising Prenant le log de l’equation (3.32), etla specification locale donnee par l’equation (3.22) il nous faut calculer pourchaque βl ∈ β0, β1 :

∂ log(Lk(β))

∂βl

= 0 (3.34)

Les parametres estimes s’obtiennent simplement par moyennage de chaquecomposante :

βl =

∑k βl

K(3.35)

3.3.4.5 L’estimation Monte-Carlo (MCML)

Cette methode a ete developpee initialement par Geyer et Thompson[GT92]. Soit Pψ, une distribution de Gibbs dont les parametres ψ sont connus.Considerons un champ de Markov ergodique X = xs, s ∈ S de distributionPψ. Reprenons la fonction de vraisemblance de l’equation (3.24) :

L(β) =exp(βTU (x))

c(β)(3.36)

avec c(β) = Zβ. On montre alors que la log-vraisemblance log(L(β)) peuts’ecrire :

log(L(β)) = βTU(x)− log(r(β)) (3.37)

avec

r(β) =c(ψ)

c(β)(3.38)

D’apres l’hypothese d’ergodicite, on peut approximer r(β) par :

r(β) ≈ r′(β) (3.39)

avec

r′(β) =

1

cardX

∑s∈S

exp((β −ψ)TU?s (xs, Ns)) (3.40)

quand le nombre de sites est suffisamment grand. Deux remarques sont im-portantes :

59


1. Paget [PAG98] precise que pour obtenir une bonne estimation des pa-rametres β, il faut utiliser une realisation du champ de Markov de taillesuperieure a la taille de l’image a estimer. Ce point peut etre delicatdans le cas de volume de taille importante comme dans le contexte del’architecture osseuse.

2. Il faut que les parametres ψ soient choisis relativement proche desparametres a estimer β. Paget preconise une ecart de 10 %.

3.3.4.6 Estimation logistique ou methodes des moindres carres(LS)

Cette methode a ete introduite par Derin et Elliot en 1987 [DE87]. Lesetapes essentielles de cette methode sont les suivantes :

1. Definir une relation entre les parametres βk et la probabilite condition-nelle P (xs|Ns) .

2. Estimer ces probabilites sur la realisation x0 a l’aide d’operations surl’histogramme des valeurs de chaque site conditionne a son voisinage.

3. Construire un systeme d’equations surdetermine et le resoudre en uti-lisant les moindres carres.

Principe Un champ markovien est homogene au sens ou les proprietesstatistiques de chaque voisinage sont identiques sur toute la realisation duchamp markovien. Pour chaque configuration q de voisinage, en supposant lafonctionnelle d’energie lineaire, le codage de l’image sur 0, 1 il est possibled’ecrire pour tout site s :

∀(s ∈ S),

logPβ [Xs = 1|Ns]

Pβ [Xs = 0|Ns]= βT

[U?s (xs = 0, Ns)−U?

s (xs = 1, Ns)]

(3.41)

ou β est le vecteur des parametres a estimer et U ?s le vecteur de l’energie

restreinte a la configuration de support s,Ns regroupant toutes les contri-butions de la fonctionnelle d’energie sur chaque clique de voisinage Ns dupixel s. Remarquons que cette contribution n’inclut pas les termes de ponde-ration.L’idee de cette methode est de remplacer le terme de gauche de l’equation(3.41) par des estimations sur la realisation x0 pour differents types de voi-sinage Ns.

60


Appliction au modele d’Ising aux 4 plus proches voisins isotrope• Considerons tout d’abord le membre de droite de la relation (3.41).

Pour le terme de droite de l’equation (3.41), les composantes du vecteur ener-gie sont formees des deux termes de l’equation (3.22). Ces dernieres s’ecriventdans le cas de cliques d’ordre 2 et d’un voisinage connexe compose de cliquesd’ordre 1 et 2 :

U?s (xs, Ns) = (β0xs; β1

∑t∈Ns

xsxt)T

= (U?s0

(xs);U?s1

(xs, xt))T

= (2xs − 1; (2xs − 1)(2xt − 1)) (3.42)

On a en particulier :

U?s1

(0)− U?s1

(1) = −2 (3.43)

et

U?s1

(0, xt)− U?s1

(1, xt) = −∑

<s,t>,t∈Ns

xt = −2(2xt − 1) = −4(ns − 2)

(3.44)

avec ns =∑

<s,t> xt, le nombre de voisins egaux a 1.Le membre de droite de (3.41) vaut donc :

βT[U?s (xs = 0, Ns(x))−U?

s (xs = 1, Ns(x))]

= − (2, 4(ns − 2)) β

(3.45)

ou (2, 4(ns− 2)) correspond aux 2 composantes du vecteur U?s (xs = 0, Ns)−

U?s (xs = 1, Ns).

• Interessons nous maintenant au membre de gauche de l’equation(3.41). L’estimation des specifications est la frequence d’occurrence dansl’observation x0 de la configuration locale xs = 1 et ns = l, n = 0, . . . , 4, l ∈ N.L’estimation locale P prendra alors la forme suivante :

P [Xs = 1|ns = l] =1∑

s∈S(1[ns = l]

∑s∈S

(1[xs0 = 1]|1[ns = l]) (3.46)

ou 1 est la fonction indicatrice.• Finalement, dans le cas d’un voisinage 4-connexe isotrope, on arrive au

systeme lineaire suivant :

logP [Xs = 1|ns = l]

1− P [Xs|ns = l]≈ − (2, 4(ns − 2)) β (3.47)

61


Remarque : Le terme de gauche est estime sur l’image tandis que le termede droite est calcule, ce qui justifie l’approximation.

Il est alors possible d’exprimer l’equation (3.47) sous forme matricielle :

G ≈ Hβ (3.48)

avec G = log P [Xs=1|ns=l]

1−P [Xs|ns=l]et H = (− (1, 4(ns − 2)), ns = 0, 1, 2, 3 ou 4.

• On resout alors le systeme (3.48) par la methode des moindres carres :

β = arg minβ

||G−Hβ||2 (3.49)

dont la solution est β = (HTH)−1HT G. Il faut s’assurer que toutes les

configuration existent ie P 6= 0 sinon on remplace une probabilite nulle parune probabilite arbitrairement petite.

3.3.4.7 Discussion

Replacons nous dans le contexte de l’architecture osseuse. La methodedes moindres carres (Derin et Elliot) presente plusieurs avantages :

1. elle est adaptee au cas binaire,

2. le nombre d’operation est limite en ne prenant que les configurationrencontrees.

3. elle est simple d’implementation

Nous utiliserons cet estimateur pour estimer les parametres du modele mar-kovien d’architecture osseuse.Remarques : Paget[PAG98] propose une variante de l’estimation de Derin atravers une modelisation markovienne non-parametrique. Lorsque la taille duvoisinage augmente, certaines configurations de cliques sont plus representa-tives, d’autres n’apparaissent pas. Le principe est de realiser un histogrammemultidimensionnel des configurations analogue a l’equation (3.46). Paget rea-lise une convolution de chaque pics de l’histogramme multidimensionnel parune gaussienne de moyenne donnee par la valeur du pic et de variance egalea la variance de l’image test.Soit z = [xs, xt, t ∈ Ns]

T le vecteur contenant les valeurs au sites s et t voisinde s. de la realisation d’une texture Y. Soit zs = [ys, yt, t ∈ Ns]

T , les valeursau sites s et t voisin de s. de texture de test Y. On peut alors ecrire [PAG98] :

P (xs|xt, t ∈ Ns) =

∑p∈S,Ns⊂S exp

[1σ2 (z − zp)

T (z − zp)]∑

xs∈0,1∑

p∈S,Ns⊂S exp[

1σ2 (z − zp)T (z − zp)

] (3.50)

62


Ceci permettrait d’assurer que P (xs|xt, t ∈ Ns) > 0 mais necessite de connaıtrela texture initiale ce qui n’est pas compatible avec le processus de reconstruc-tion.

3.3.5 Approche markovienne hierarchique

Les approches hierarchiques suscitent d’importants travaux depuis quelquesannees. Ils sont particulierement utilises en segmentation [MIG98], [CTM+98],[MCPB00],[CP99], [KBZ96], [GHP+95]), en restauration [RAV93], en classi-fication [CHA00c] ou en fusion de donnees multiresolution[LAF96]. Les ap-proches hierarchiques permettent aussi d’utiliser les modeles markoviens surdes graphes ou des arbres tels que les quadtree [MOB90]. Cependant, la litte-rature est beaucoup moins fournie pour ce qui est de la modelisation d’imagesou de volumes. Paget [PL97] a introduit un modele de synthese de texturenon parametrique multiechelle. Il n’en reste pas moins que les modeles utilisesen segmentation sont tres proches de la problematique de la modelisation etfont preuve deja une bonne maturite. Nous avons choisit d’exposer cette par-tie de la recherche sur les champs de Markov car leur interpretation va etreutile dans l’approche que allons developper pour reconstruire l’architectureosseuse avec un nombre limite de projections. Le terme ”modele hierarchique”regroupe les multimodeles ou l’on cherche a utiliser plusieurs modeles mar-koviens que l’on va coupler, la modelisation multiresolution et multiechelleou il s’agit de decomposer la realisation du champ markovien et/ou des ob-servations en plusieurs niveaux, et les combinaisons de ces approches.Devant la multiplication des methodes et les diverses combinaisons des au-teurs comme Max Mignotte [MIG98] ou encore Christine Graffigne [GHP+95]ont propose une classification de ces approches hierarchiques. La hierarchiepeut effet se situer dans une partition des donnees, du modele lui meme oudans l’implementation de la methode. Nous allons donner un bref apercu deces methodes.

3.3.5.1 Decomposition multiresolution

Les approches multiresolutions ont ete abordees notamment par [MIG98],[CTM+98], [LAF96], [THO96]. Le principe est de decomposer les donneesobtenues a partir d’observations Y, sous forme d’une pyramide de plusieursniveaux. Cette pyramide est construite a l’aide de techniques classiques dedecompositions de l’information : transformee en ondelette, filtrage gaussien,filtrage passe-bas puis decimation... On construit parallelement une pyramidedes etiquettes Xn avec un systeme de voisinage a chaque niveau que l’on noteSn (voir la figure 3.11).

63


Filtrage

+

décimation

Filtrage

+

décimation

Champs d'étiquettes Champs d'observations

Fig. 3.11 – Representation multiresolution des etiquettes et des donnees

Le passage du voisinage de niveau n au voisinage de niveau n-1 se faitpar un operateur de projection : duplication ou interpolation (lineaire, bi-lineaire...). Soit Πn, l’ operateur de projection du niveau n au niveau n-1.On dispose egalement d’une energie U(xn, yn) dependant du champ d’eti-quette xn et des observations yn a chaque niveau n que l’on va minimiser.Soit xn, la realisation de X minimisant U(xn, yn) a l’echelle n. Cette der-niere va etre projetee a l’echelle inferieure servant ainsi d’initialisation pourau processus de relaxation stochastique comme le recuit simule ou des algo-rithmes de type Metropolis (voir Figure 3.12). Le principe de cette approche

est le suivant :

Initialisation : soit R l’echelle la plus grossiere, il s’agitde minimiser la fonction UR ce qui va permettre dedeterminer xR.

Pour chaque niveau d’echelle n ∈ [R− 1, 0] :– On projette la solution precedente a l’echelle infe-

rieure fournissant ainsi l’initialisation.

xn−1 = Πn(xn)

– On cherche xn−1 minimisant U par relaxation.

La

fonctionnelle d’energie U(xn, yn) s’ecrit :

U(xn, yn) = U1(xn, yn) + U2(x

n) (3.51)

64


Niveau i

Niveau i -1

Relaxation

(Métropolis, ICM,

Recuit simulé)

suréchantillonage

Fig. 3.12 – Projection-Relaxation

ou U1 et U2(xn) =

∑c∈Cn V n

c (xn) correspondent a des energies.

3.3.5.2 Decomposition multiechelle

A la difference des approches de modelisation multiresolutions, les ob-servations Y ne subissent pas de decomposition multiresolutions. Seules lesetiquettes s’expriment sur differents niveaux. Cette approche consiste a re-soudre une sequence de problemes d’optimisation globale sous contrainte. Achaque echelle, une fonction d’energie se deduit du modele initial et peuts’interpreter comme la fonction d’energie associee a un modele markoviengrossier pour le niveau de resolution plus fin. Cette approche abouti a unestructure pyramidale de primitives (champ d’etiquettes couplees a un seulniveau d’observation). L’approche multiechelle a ete developpee notammentpar Perez [PER98]. Max Mignotte [MIG98] propose une relation determi-niste simple reliant le niveau n au niveau n-1. Il rajoute un terme d’energieUcouplage, qui s’exprime avec nos notations :

U couplage =∑s∈S

β(1− δ(xns − xn−1

d(s) )) (3.52)

Ainsi ce terme d’energie est minimal lorsque les labels du site s au niveau net le site pere de s d(s) ont la meme valeur de label.

3.3.5.3 L’approche multimodele

C’est donc le modele markovien le plus general. La grande differenceavec les classes de modeles precedents est qu’a chaque niveau , les modeles

65


markoviens utilises peuvent etre differents voir meme pas tous markoviens([GHP+95]). Par ailleurs, chaque niveau peut correspondre a des interpreta-tions differentes : descriptions symboliques ou semantiques d’une realisation,caracteristiques de mouvement. Nous presentons deux exemples representa-tifs : un processus Booleen-Markovien et les verres de Spin inspires par laphysique statistique.

3.3.5.4 Le processus Booleen-Markovien

Un processus booleen markovien a ete initie par X. Descombes et F. pre-teux. Chaque champ aleatoire est conditionne a celui qui precede dans lahierarchie. Considerons un ensemble de champs aleatoires Fk, k ∈ N chacunoccupant un niveau k. Le processus hierarchique est determine par un la loiP (X0) et P (Xk|Pk+1). Ainsi, le champ au niveau k est parametre par la rea-lisation du champ au niveau k-1. Le processus global est stationnaire maisa chaque niveau, des non stationnarites sont engendrees par le processus deniveau inferieur. Un exemple est donne avec une cooperation entre fonctionbooleennes et champs Markoviens : (voir figure 3.13) a et b pour une realisa-tion 1D et 2D) Au premier niveau, on trouve une premiere realisation d’unprocessus de Poisson (points noirs de la figure 3.13 a) puis chaque point noirest associe une realisation d’une fonction aleatoire a support compact appelegrain primaire. Pour la figure 3.13 b, une realisation de plusieurs ”grains pri-maires” est utilise pour parametrer la densite du processus de Poisson.

3.3.5.5 Le modele verre de Spin

Le modele des verres de Spin fut elabore pour tenir compte des phe-nomenes magnetiques dans certains cristaux se trouvant dans un etat meta-stable. Ce modele est tres proche du modele auto-binaire donne par l’equation(3.11). La seule difference est que le coefficient de ponderation au site s βst

n’est pas constant et suit une loi normale centree. Le couplage entre les sitesest par consequent aleatoire. Dans ce cas, pour obtenir une realisation, onva considerer la grille des sites et un reseau dual. On simule dans un pre-mier temps le modele gaussien centre d’ordre un puis un modele d’Ising nonstationnaire dont les parametres de couplage sont donnes par la valeur dessites du reseau dual. La texture generee est tres peu structuree [DES93] etne convient pas directement pour modeliser l’architecture osseuse.

66

3.4. Bilan

(a) realisation 1D

(b) realisation 2D

Fig. 3.13 – Exemples de realisation d’un processus booleen hierarchique d’apres Des-combes [DES93]

3.4 Bilan

L’exploration des methodes de synthese de texture a permis de mon-trer que seuls les modeles Markoviens sont acceptables comme apriori dans la reconstruction tomographique et representatifs del’architecture osseuse. Bien qu’il n’existe pas de modeles prenanten compte toute la complexite de ces structures, il semble raison-nable de considerer que le modele d’Ising est le plus adapte. Il nousfaudra determiner la taille du voisinage, le poids des cliques. Cecisera realise aux chapitres 5 et 6. Le chapitre 5 tentera egalementd’etendre le modele d’Ising pour prendre davantage en compte decaracteristiques de l’os et dans le chapitre 6 on incorporera le mo-dele d’Ising a la reconstruction en le couplant a un autre processus.

67


68

Chapitre 4

Etat de l’art de la reconstructiontomographique

Sommaire4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2 Les methodes analytiques . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.1 Modelisation du probleme . . . . . . . . . . . . . . 664.2.2 Reconstruction analytique 2D . . . . . . . . . . . . 68

4.2.2.1 Theoreme coupe projection . . . . . . . . 684.2.2.2 Retroprojection filtree et transformee de

Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.3 Reconstruction analytique 3D . . . . . . . . . . . . 704.2.4 Effet du nombre limite de projections sur la re-

construction analytique . . . . . . . . . . . . . . . 714.3 Les methodes algebriques . . . . . . . . . . . . . 71

4.3.1 Position et formulation du probleme . . . . . . . . 724.3.2 Processus de formation des projections . . . . . . . 734.3.3 Reconstruction par mise a jour par rayons . . . . . 74

4.3.3.1 Algorithme de descente de gradient . . . 754.3.3.2 Methodes par bloc de Kaczmarz . . . . . 764.3.3.3 Methode de Li . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.4 Reconstruction par mise a jour par voxel . . . . . 824.4 Regularisation en reconstruction tomographique 83

4.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4.2 Formulation bayesienne . . . . . . . . . . . . . . . 83

69

Chapitre 4. Etat de l’art de la reconstruction tomographique

4.4.3 Application aux methodes par rayons et par voxels 844.4.4 Autres contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.5 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.1 Introduction

On distingue deux classes de methodes de reconstruction : les methodes de reconstruction analytiques, les methodes de reconstruction algebriques

Cette partie va presenter un etat de l’art.Les methodes de reconstruction analytiques permettent d’obtenir une atte-nuation precise mais necessitent un grand nombre de projections. Cette classede methode est utilisee actuellement pour la reconstruction de la microarchi-tecture osseuse. Les methodes analytiques vont servir de reference dans cetteetude.Les methodes de reconstruction algebriques favorisent l’introduction de mo-deles a priori mais convergent plus lentement. Nous nous interesserons plusparticulierement a ces dernieres car elles vont integrer notre contribution.

4.2 Les methodes analytiques

Nous allons poser les bases de la tomographie et de la reconstruction parles methodes analytiques utilisees couramment en tomographie. Nous verronsegalement les limites dans le cas de la reconstruction de l’architecture osseuseavec un nombre limite de vues.

4.2.1 Modelisation du probleme

L’intensite du faisceau sortant est egal a l’intensite du faisceau entrantdiminuee exponentiellement d’un facteur qui correspond a la somme des co-efficients d’attenuation µ(x, y, z) le long de la droite de projection D reliantla source S d’intensite I0 au detecteur (schema 4.1).

Pour un faisceau monochromatique, l’intensite transmise I(u, θ) s’ecritselon la loi de Beer-Lambert :

I(u, θ) = I0 exp

∫D

µ(x, y, z)dv′ (4.1)

En utilisant une fonction logarithmique, l’equation (4.1) s’ecrit :

ln

(I0

I(u, θ)

)=

∫D

µ(x, y, z)dv′ (4.2)

70

4.2. Les methodes analytiques

V'

M

D

O'

P

S

Fig. 4.1 – Schema explicitant les notations

La projection d’angle θ selon le vecteur u s’ecrit alors :

P : Θ −→ R

p(u, θ) =

∫D

µ(x, y, z)dv′ (4.3)

L’ensemble des mesures selon un angle donne constitue une projection et l’en-semble des mesures pour une coupe donnee, pour tous les angles θ, forme unsinogramme. La reconstruction d’une image ou d’un volume consiste alors arechercher une estimation µ(x, y, z) de µ(x, y, z) en tout point de coordonnees(x,y,z) de l’objet.

4.2.2 Reconstruction analytique 2D

4.2.2.1 Theoreme coupe projection

Le theoreme coupe/projection etablit un lien entre la transformee de Four-rier 2D µ∗(νx, νy) d’une distribution de densite µ(x, y) et la transformee de

71


Fourrier 1D p∗(ν, θ) d’une projection p(u, θ). On a ainsi :

p∗(ν, θ) =

∫Rp(u, θ) exp−2πjνu du

=

∫R

∫Rµ(x, y)dv′ exp−2πjνu du

(4.4)

En coordonnees polaires,νu = ν(xcosθ + ysinθ) = xν1 + yν2 et dudv = dxdysoit

p∗(ν, θ) =

∫R

∫Rµ(x, y) exp−2πj(xν1+yν2) dxdy

(4.5)

Le terme de droite de l’equation 4.5 est la transformee de Fourier 2D del’objet reconstruit d’ou

p∗(ν, θ) = µ∗(ν1, ν2) (4.6)

Le principe est de calculer la transformee de Fourrier de chaque projection,on reporte les valeurs dans le plan frequentiel et une transformee de Fou-rier inverse donne la coupe reconstruite. Cependant tout le plan frequentieln’est pas remplit. Il faut alors interpoler dans le plan frequentiel ce qui vacreer des artefacts sur l’objet reconstruit. En pratique, on prefere utiliser desretroprojections filtrees.

4.2.2.2 Retroprojection filtree et transformee de Radon

La transformee de Fourier inverse de l’objet reconstruit s’ecrit :

µ(x, y) =1√2π

∫R

∫Rµ?(ν1, ν2) exp2π(xν2+yν2) dν1dν2 (4.7)

Le theoreme de la coupe/projection nous permet d’introduire la transformeede Fourier des projections :

µ(x, y) =1√2π

∫R

∫Rp?(ν, θ) exp2π(xν1+yν2) dν1dν2 (4.8)

En faisant le changement de variable ν =√ν2

1 + ν22 et u = xcosθ+ ysinθ, on

obtient,

µ(x, y) =1√2π

∫ π

0

∫Rp?(ν, θ)|ν| exp2πνu dνdθ (4.9)

72

4.2. Les methodes analytiques

D

ϑ x

y

r

Fig. 4.2 – Notations pour la theoreme de Radon en 2D

ou p?(ν, θ) est la transformee de Fourier d’une projection a un angle θ donne.Le terme

∫R p

?(ν, θ)|ν| exp(2πνu) dν est la retroprojection filtree. |ν| est alorsun filtre rampe. Ce filtre amplifiant les hautes frequences, d’autres filtres ontete proposes avec succes. Citons les filtres de Hamming, Parzen, Shepp etLogan ou de Butterworth [GTM+88].

En 2D, la transformee de Radon est une transformation lineaire quiassocie a un objet µ(x, y), l’ensemble des integrales sur les droites du plan.

Soit ~ϑ, le vecteur perpendiculaire a une droite D du plan et passant parl’origine du repere (voir notations figure 4.2). Le point d’intersection de la

droite colineaire a ~ϑ et coupant D a pour coordonnees (xcosθ, ycosθ). Latransformee de Radon R(µ(x, y)) s’ecrit alors [DEA92] :

R(µ(x, y)) =

∫R

∫Rµ(x, y)δ(xcosθ + ysinθ − r)dxdy (4.10)

L’inversion de la transformee de Radon donnee par l’equation (4.10) est alorsequivalente a la formulation donnee par l’equation (4.6).

4.2.3 Reconstruction analytique 3D

En geometrie parallele, la relation (4.6) reste vraie en 3D et s’ecrit :

p∗(ν, θ, φ) = µ∗(ν1, ν2, ν3) (4.11)

en posant en coordonnees polaires (figure 4.3) :ν1 = νsinθcosϕ, ν2 = νsinθ sinϕ et ν3 = νcosθ. Ainsi la transformee de

73


x

y

z

ϑ rθ

ϕ

Plan d'intégration

Fig. 4.3 – Notations pour la reconstruction analytique 3D

Fourier 2D d’une projection dans la direction θ de la fonction µ(x, y, z) estegale a la coupe de la transformee de Fourier 3D de µ(x, y, z) suivant le planpassant par l’origine et orthogonal a la direction θ.

En geometrie conique, l’attenuation dans l’objet est donnee d’apres[LN83] pour la dimension N selon la formule (4.12) :

µ(x, y, z) =2π1/2−N

2

∫~ϑ

∫R|ρ|N−1R(µ(ρ, ~ϑ)) expjρ(νxx+νyy+νzz) dρd~ϑ

(4.12)

La reconstruction par retroprojection filtree (FBP) constitue tout un domainede la tomographie tenant compte par exemple de la geometrie conique ”cone-beam”, de deplacements en spiral [DEA92, KAT02, GHL91]. Ces points nerentrent pas dans le cadre de notre etude.

4.2.4 Effet du nombre limite de projections sur la re-construction analytique

Le lien entre les espaces de Fourier et les projections paralleles met enlumiere le probleme du nombre limite de projections. Pour un volume de tailleN3, il faut disposer d’au moins M = πN

2projections. Klug [KC72] montre que

M ≈ N convient. Il faut par ailleurs disposer d’un echantillonnage couvrantun demi disque entre 0 et π.

Lorsque le nombre de projections diminue significativement, il apparaıtdes artefacts dus au phenomene de repliement de spectre. La figure 4.4 en

74

4.3. Les methodes algebriques

(a) Reconstruction FBP (b) Reconstruction FBPavec 900 projections avec 18 projections

Fig. 4.4 – Influence du nombre de projections sur la reconstruction FBP pour l’ar-chitecture osseuse

est une illustration dans le cas de la reconstruction tomographique 2D pa-rallele de l’architecture osseuse. Dans la figure 4.4, nous avons utilise les 900projections presentees dans la figure 2.7. Le repliement de spectre tres impor-tant rend l’exploitation des resultats impossible. Une utilisation de methodesanalytiques qui sont classiquement utilisees pour la reconstruction tomogra-phique de l’architecture osseuse ne sont pas envisageables dans le cas d’unnombre tres limite de projections regulierement reparties. Afin de palier cettedifficulte, nous nous sommes interesses aux methodes algebriques qui vontetres decrites dans la section suivante.

4.3 Les methodes algebriques

La reconstruction tomographique consiste a estimer une mesure d’un ob-jet (attenuation) a partir d’un ensemble de projections obtenues par un to-mographe dont la geometrie est connue a travers sa fonction de transfert.Il s’agit d’ un probleme inverse mal pose au sens de Hadamard [HAD32],c’est-a-dire que l’une des conditions suivantes n’est pas respectee :

1. existence de la solution

2. unicite de la solution

3. stabilite de la solution

La limitation du nombre de vues ou projections rend le probleme fortementmal pose. Afin d’assurer une solution satisfaisante, il est necessaire de discre-tiser le probleme et d’introduire de l’information a priori.

75


4.3.1 Position et formulation du probleme

Soit S un ensemble de sites s. Soit un objet x de taille N3 caracterise parun vecteur attenuation lineaire x = xj, j ∈ N ou N designe l’ensemble desentiers naturels et xj correspond a la valeur de l’attenuation dans le j eme ele-ment de S . Soit y le vecteur de taille LCP avec (L,C, P ) ∈ N3 representantl’ensemble des P projections obtenues par le dispositif tomographique munid’un detecteur de dimension LC 1. Soit H de taille LCN3P la matrice deprojection caracteristique de la geometrie du systeme tomographique. For-mellement, le probleme peut s’ecrire :

y = Hx (4.13)

On cherche une estimation x de l’objet telle que sa mesure y a travers ledispositif tomographique soit aussi proche possible de y. Il s’agit de resoudre :

x = arg minx

J(x)

avec

J(x) = ‖y −Hx‖2 (4.14)

Pour resoudre l’equation (4.14), on va discretiser a la fois dans la formula-tion du probleme ainsi que dans sa resolution ce qui rendent possible l’ajoutd’informations a priori [BRU01, DIN90, FIA01]. Dans le cas des methodesanalytiques, le probleme est pose sous forme continue et seulement discre-tise au moment de sa mise en œuvre [FDK84]. Comme pour les methodesanalytiques, les methodes algebriques sont caracterisees par deux operateurs :

projection retroprojection

Ces derniers dependent de la geometrie du systeme d’acquisition caracterisepar la forme du faisceau, les distances entre la source, l’objet, le detecteur,le pas d’echantillonnage de l’objet, du detecteur. Apres une formalisation duprobleme, nous allons distinguer deux types de methodes de reconstructionalgebriques :

Les methodes de mise a jour par rayons ou chaque equation est associeea un rayon de projection et les inconnues sont alors les voxels de l’objettraverses par ce rayon [KAC37, GIL72, GOR74, LEN76, HLL78].

Les methodes de mise jour par voxel ou tous les voxels sont mis a jourindependamment les un des autres. Pour determiner l’attenuation enun voxel, on cherche la contribution de tous les rayons de projection ence voxel [HS93].

1Dans le cas d’un detecteur ligne (cas des acquisitions realisee a l’E.S.R.F), C=1

76


4.3.2 Processus de formation des projections

1 2

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

pi

δ

A B

C

2ij

ABC Aireh =

δ

τ

x x

Fig. 4.5 – Rayons de prjection

Un rayon de projection (figure 4.5) est une fine ligne d ´epaisseur τ quiest approximativement egale a la dimension δ d’un pixel. Chaque projectionde y est constituee de rayons de projections. Chaque rayon de projectionpeut etre represente par une ”mince ligne” d ’epaisseur τ ∈ R traversant unnombre fini de voxels de l’objet x. y est alors un vecteur compose de LCPrayons de projections. Notons yi la somme des contributions de chaque voxelxj ∈ x traverse par le rayon i. La relation lineaire entre yi et les xj peut alorss’ecrire :

N∑j=1

hijxj = yi, i= 1,2,. . . , LCP (4.15)

avec hij la fraction de l’aire du ieme voxel traverse par le j eme rayon.

77


L

C

P

M'

Fig. 4.6 – Notations pour les blocs de Kacmarz

4.3.3 Reconstruction par mise a jour par rayons

Plusieurs techniques sont decrites dans la litterature [PAY96]. Il s’agit demethodes de type descente de gradient dont la formulation generale s’ecrit al’iteration k+1 :

xk+1 = xk + κkRk (4.16)

avec κk ∈ R, facteur de normalisation variant eventuellement a chaque itera-tion k et Rk de taille N3 le terme de correction apporte a chaque iteration al’objet reconstruit xk.

4.3.3.1 Algorithme de descente de gradient

Cette methode a ete developpee par Landweber [LAN51]. Elle s’ecrit :

xk+1 = xk + λHT (y −Hxk) (4.17)

avec λ ∈ R, facteur de correction. Le schema 4.7 presente le principe del’algorithme de descente de gradient. Landweber a montre que la convergenceest assuree si l’initialisation est nulle x0 = 0 et si ‖λHTH‖ < 2. Cettemethode presente plusieurs defauts [PAY96, BLE02] :

la convergence est lente.

78


Fig. 4.7 – Algorithme de descente de gradient

les basses frequences sont reconstruites avant les hautes frequences. Unarret premature des iterations aura pour effet d’attenuer le bruit maisaussi de penaliser la formation de contours de l’objet reconstruit.

4.3.3.2 Methodes par bloc de Kaczmarz

Le principe de ces methodes consiste a diviser le systeme initial en plu-sieurs sous-systemes et d’appliquer sur chacun de ces sous-systemes un algo-rithme de descente de gradient. Chaque bloc va alors contenir un ou plusieursrayons de projections et donc une ou plusieurs equations lineaires du systeme(4.15). Le processus de reconstruction peut etre decrit mathematiquement a

79


l’etape k+1 par :

xk+1 = xk + λkHik(yik −Hikxk)

‖HikHTik‖

(4.18)

ou ik est un indice sur les numeros de bloc. Yik est alors un sous-ensemble dey. On a alors y = Yik , ik = k mod(Q) + 1 avec Q le nombre total de blocsde taille M’.Hik est une sous matrice de H. Il existe plusieurs variantes selonla valeur de M’.

Si M’=1, on va utiliser uniquement un rayon de projection. Il s’agitd’un algorithme ”Algebraic Reconstruction Techniques” (A.R.T).

Si M’=LC, un bloc va contenir les equations d’une projection, c’est-a-dire un ensemble de rayons de projections pour une position donnee dusysteme source objet detecteur. Il s’agit de l’ algorithme SimultaneousA.R.T (S.A.R.T).

Si M’=LCP, toutes les projections vont etre contenues dans un bloc. Onappelle cet algorithme ”Simultaneous Iterative Reconstruction Tech-nique” (S.I.R.T).

Plus de details vont etre donnes dans la section suivante.L’initialisation peut etre choisie quelconque par exemple une constante, unbruit uniforme, gaussien.λk est un parametre reel qui peut varier a chaque etape k. Lorsque la solu-tion du systeme (4.13) n’est pas unique (cas d’un nombre limite de rayons deprojections), la solution oscille autour de la solution inverse generalisee obte-nue avec l’ensemble des rayons de projection [FIG00]. Plus le parametre λk

est faible, plus les oscillations sont limitees mais la convergence est ralentie.Classiquement, λk ∈]0, 2[ . La convergence de cet algorithme a ete demontreepar Tanabe [TAN71].

Interpretation geometrique des methodes iteratives par bloc Consi-derons un objet constitue de 2 voxels : x = x1, x2 et 2 rayons de projections.y = y1, y2. Le systeme a resoudre (4.13) s’ecrit alors simplement :

h11x1 + h12x2 = y1

h21x1 + h22x2 = y2

(4.19)

hij represente la contribution du pixel i du detecteur du systeme tomogra-phique au voxel j. Les valeurs x1 et x2 correspondent aux coordonnees dupoint d’intersection des 2 droites. Elles sont obtenues en partant d’une solu-tion initiale x0 = x0

1, x02 et en projetant perpendiculairement sur la ligne

80


x1

x2

h 21x 1

+h 22x 2

=y 2

h 11x 1

+h 1

2x 2

=y 1

Xo

X1

X3

XL

Fig. 4.8 – Methode par bloc dans le cas de deux inconnues

correspondant a la premiere equation puis sur la seconde etc...jusqu’a at-teindre la convergence comme illustre sur la figure 4.8.

La convergence sera plus rapidement atteinte si les 2 rayons de projectionssont perpendiculaires ou quasi-perpendiculaires. Par ailleurs, dans un cas ge-neral avec plus de voxels traverses, l’equation (4.15) constitue des hyperplans.Des techniques pour ameliorer la vitesse de convergence consiste a prendresuccessivement tous les hyperplans perpendiculaires 2 a 2 ou du moins avecle plus grand debattement angulaire possible. Dijke [DIJ92] montre qu’unparcourt aleatoire des blocs de projection peut ameliorer la vitesse de conver-gence. De plus amples explications sont donnees dans [KS01].

Algorithme A.R.T Dans l’A.R.T (( Algebraic Reconstruction Techniques )),un bloc est constitue d’un rayon de projection. L’equation associee s’ecritd’apres (6.8) :

xk+1 = xk + λkHi(yi −HiXk)

‖HiHTi ‖

(4.20)

Afin de faciliter l’implementation, plusieurs approximations sont classique-ment realisees. Une approximation consiste a considerer que tous les rayonsde projection passent par le centre des voxels traverses. Les composantes dela matrice H sont alors binaires. Une amelioration est egalement apportee ennormalisant chaque rayon de projection par le nombre de point de chaquerayon interceptant l’objet. Une variante est proposee par KAK [KS01] sous

81


forme scalaire :

xk+1j = xk

j +yk

Lk

− qkNk

avec

qk =N∑

l=1

ykl hkl et Nk =

N∑l=1

hkl

(4.21)

Lk represente la longueur du kieme rayon de projection traversant l’objetnormalise par δ, la taille d’un voxel. Nk est le nombre de voxels dont lecentre est traverse par le kieme rayon. L’inconvenient majeur de cette methodeest l’introduction de bruit de type (( poivre et sel )) du aux approximationsprecedentes.

Algorithme S.I.R.T A la difference de l’A.R.T, dans les technique S.I.R.T(( Simultaneaous Iterative reconstructive Technique )), un bloc est constituede l’ensemble des equations des rayons de projection. Ces techniques ontete introduites par Gilbert [GIL72]. Dans cette approche, la convergence estplus lente mais la reconstruction est moins entachee de bruit (( poivre et sel ))[KS01]. Une autre difference par rapport aux techniques A.R.T consiste atenir compte de la taille du support dans la mise a jour de la fonction al’etape k. L’equation (6.8) devient :

xk+1 = xk + λSH(y −Hxk) (4.22)

ou S est une matrice diagonale dont le coefficient si, i ∈ N designe l’inversedes sommes des longueurs des rayons passant par le voxel i.

Buvat [GRE02] precise que deux variantes de S.I.R.T existent. La pre-miere est basee sur la methode de Jacobi ou a la premiere iteration, on varesoudre chaque equation independamment les une des autres en prenant encompte la valeur du point d’initialisation pour les autres inconnues. L’autrevariante est issue de la methode de Gauss-Seidel qui consiste a tirer partides estimations obtenues aux equations precedentes. La convergence est plusrapide que dans le cas de la methode de Jacobi.

Algorithme S.A.R.T La methode S.A.R.T (( Simultaneous Algebraic Re-construction Techniques )) derive egalement des methodes par bloc. Elle con-jugue les avantages des techniques S.I.R.T et A.R.T. Cette technique d’abordintroduite par Andersen [AK84] permet d’obtenir une reconstruction numeri-quement de bonne qualite des les premieres iterations. Un bloc contient cette

82


fois ci l’ensemble des equations correspondant a une projection c’est-a-direl’ensemble des rayons de projection pour une position donnee du systemetomographique. L’equation est identique a l’equation (6.8) :


‖HikHTik‖

(4.23)

avec ik = k mod(P ) + 1Des variantes existent. Citons par exemple,

l’expression des valeurs des voxel en une somme d’elements bilineaires, le rajout a chaque pixel du terme de correction de l’ensemble des rayons

de projections de chaque projections. le rajout d’un filtre de Hamming pour favoriser l’influence des raies

centrales de chaque projection.Dans la suite de cette etude, on utilisera indifferemment A.R.T ou S.A.R.Tpour designer l’algorithme de mise a jour par rayons.

Algorithme M.A.R.T Les technique de M.A.R.T (( Multiplicative Alge-braic Reconstruction Techniques )) ont ete introduites par LENT [LEN76].A la difference des techniques A.R.T ou S.I.R.T, la mise a jour est multipli-cative : l’objet reconstruit est mis a jour en le ponderant par le rapport entreprojection reelle et la reprojection. Une etude detaillee a ete realise dans Lathese d’Etienne Payot [PAY96]. L’equation de mise a jour s’ecrit alors :

xk+1j = xk

j

(yi

Hikxk

)γhij

(4.24)

ou γ est un reel et hij represente la contribution du pixel i du detecteur auvoxel j. Ce terme correspond a la retroprojection de l’erreur. A l’aide d’undeveloppement limite a l’ordre 1, l’equation (4.24) peut se reecrire [PAY96] :

xk+1 ≈ xk + γxkHTik

yi −Hikxk

Hikxk

(4.25)

M.A.R.T presente un avantage interessant : M.A.R.T converge vers une so-lution qui maximise l’entropie de l’image reconstruite. L’erreur de repro-jection est repartie de facon proportionnelle a la densite deja affectuee achaque voxel. Les objets ponctuels et contrastes seront alors mieux recons-truits ([PAY96, KS01]). Cependant, l’attenuation est confinee a l’interieur del’enveloppe convexe de l’objet reconstruit. La, ou l’attenuation est nulle, ellele restera au cours des iterations.

83


Par ailleurs, Badea et Gordon [BG04] ont recemment realise une etudesur le comportement du MART et donne un cas particulier le (( Power-M.A.R.T )) avec des coefficients hij binaires. Les auteurs montrent que lareconstruction est amelioree en terme d’erreur quadratique entre les projec-tions originales et les reprojections calculees. Par contre, la performance desces algorithmes dans le cas de donnees incompletes n’est pas etablie.Une autre variante de M.A.R.T a ete introduite par Trummer [TRU83]. Ils’agit de l’algorithme (( Simultaneaous M.A.R.T qui consiste a appliquer l’al-gorithme M.A.R.T non pas sur chaque rayon de projection mais a mettre ajour l’objet en considerant chaque projection.

4.3.3.3 Methode de Li

Cette section ne prend pas en compte l’apport d’informations a prioridans l’A.R.T qui va etre decrit dans la section 4.4. Nous avons selectionnequelques apports qui semblent pertinents vis a vis de notre probleme. Il s’agiten particulier de la contribution de LI et al [LYK02].Il propose un algorithme plus robuste, plus adapte a un nombre limite deprojections. Les methodes de type A.R.T minimisent une fonction de coututilisant une norme L2. Ici, il va s’agir de reecrire la probleme avec la normeLp avec p = 1.1 afin de conserver une fonction convexe et derivable. Leprobleme a resoudre dans le cas des methodes A.R.T est de minimiser :

‖x‖22

2sous la contrainte y = Hx (4.26)

avec ‖‖2 designant la norme L2, x = (x1, . . . , xn)T , y = (y1, . . . , ym)T . Consi-derons 2 sites x1, x2 et une initialisation nulle. les methodes de type A.R.Tutilisant la norme L2 vont donner la solution presentee dans le schema 4.9.Utilisant la norme Lp avec p = 1.1, le probleme est alors de minimiser :

‖x‖pp

psous la contrainte y = Hx avec p = 1.1 (4.27)

avec ‖‖p designant la norme Lp. Notons (PP) ce probleme. Reprenant l’exempledes 2 voxels presentes precedemment, la solution trouvee sera donnee par leschema 4.10.

Resolution du probleme (PP) Li et al montrent que resoudre le pro-bleme (PP) est equivalent a maximiser :

D(e) = HT e−‖HT e‖q

q

q(4.28)

84


0

222

21 cxx =+

1212111 yxhxh =+

Solution donnée par A.R.T

Solution réellex1

x2

Fig. 4.9 – Exemple de reconstruction de 2 voxels par A.R.T et la norme L2

0

cpxpx =+ 21

1212111 yxhxh =+

Solution donnée par A.R.T

Solution réellex1

x2

Solution proposée

Fig. 4.10 – Exemple avec une norme Lp, p=1.1

85


avec e = (e1, . . . , em)T , et q = p/(p+ 1).Soit cj = (h1j, . . . , hmj)

T , correspondant a la jieme colonne de H. NotonsZ(e) = (Z1(e), . . . , Zn(e))T avec Zj(e) = |CT

j e|q−1sign(cTj e). Ce probleme aresoudre est note (DP).Par ailleurs, si x est solution de (PP), alors il existe e telle que x = Z(e) ete solution de (DP). La reciproque est aussi vraie.

La solution de (DP) est obtenue iterativement.Notons w = (w1, . . . , wi, . . . , wn) = (cT1 e, . . . , c

Tne)

T . La solution est donneepour la composante i et l’iteration k :

w(k,1) = wk

w(k,i+1) = w(k,i) + β∆i(wk,i1 , . . . , wk,i

n )Hi i = 1, . . . ,m

w(k+1) = w(k,m+1)

(4.29)

avec δi =yi−

∑nj=1 hij |wj |q−1sign(wj)

(q−1)∑n

j=1(hij)2|wij |q−2 et w(k,i)j =

∑i−1l=1 hlje

k+1l +

∑ml=i hije

kl Notons

w = (w1, . . . , wk) le resultats final du systeme (4.29). La solution xj estdonnee par :

xj = |wj|q−1signwj (4.30)

4.3.4 Reconstruction par mise a jour par voxel

Les deux differences essentielles avec les algorithmes de reconstructionpar rayons sont :

1. la binarite de l’objet a reconstruire

2. le parcourt voxel par voxel

A la difference des approches de type rayon, l’attenuation de l’objet est sup-posee binaire. On va considerer l’ensemble des rayons passant par ce voxelet ce dernier va prendre la valeur du complementaire si sa contribution auxprojections courantes reduit l’ecart avec les projections mesurees. Notons pi,la contribution du rayon i au sinogramme, j un site de l’objet, et l un sitetel que l 6= j. Notons Jk(xj) l’ecart entre les projections mesurees et lesprojections calculees a l’iteration k :

Jk(xj) =∑

i

(pi −

∑l∈S,l 6=j

hilxl − hijxj

)2

(4.31)

L’algorithme applique va alors s’ecrire :

xk+1j =

xk

j si Jk+1(xj) ≥ Jk(xj)

xkj si J

k+1(xj) < Jk(xj)(4.32)

86

4.4. Regularisation en reconstruction tomographique

avec xj le complementaire de xj.L’algorithme donne par l’equation (4.32) est un ICM sans a priori.

4.4 Regularisation en reconstruction tomogra-

phique

4.4.1 Introduction

Dans le cas d’un nombre limite de projections, le systeme (4.13) ne pos-sede pas une solution unique. En fait, une infinite de solutions existe. Tanabe[TAN71] a montre que les methodes iteratives par bloc convergent neanmoinsvers une solution xf telle que : ‖x0 − xf‖ est minimum. Cette solution n’estpas toujours adequate. Il est possible de tenir compte d’informations a prioriafin de privilegier certaines solutions plus proches de la connaissance de l’ob-jet a reconstruire :

La connaissance de la localisation de l’objet (support) ou la positivitede l’attenuation reconstruite va interdire certaines configurations.

L’introduction d’un critere de regularisation va favoriser la reconstruc-tion de caracteristiques de l’objet comme par exemple des contourslisses plutot que des contours saccades.

4.4.2 Formulation bayesienne

La loi de probabilite a posteriori notee p(x|y) regroupe les informationscontenues dans les donnees (vraisemblance des donnees notee p(y|x)) et dansla loi a priori notee p(x) selon la regle de Bayes :

p(x|y) =p(y|x)p(x)

p(y)(4.33)

Le modele d’observation retenu s’ecrit :

p(y|x) ∝ exp−(y−Hx)t(y−Hx)

et la loi a priori :

p(x) ∝ exp−Φ(x)

Utilisant la regle de Bayes, nous obtenons la loi a priori :

p(x|y) ∝ exp−(‖y−Hx‖2+Φ(x)) (4.34)

87


Posant

J(x) = ‖y −Hx‖2 + Φ(x)) (4.35)

Nous pouvons recrire J(x) de l’equation (4.14)

J(x) = ‖y −Hx‖2 + Φ(x) (4.36)

avec Φ(x) terme regularisant.

4.4.3 Application aux methodes par rayons et par voxels

Pour les methodes utilisant l’approche par rayon, une etude complete aete realisee par Fiani [FIG00] precisant le cadre formel et la forme de Φ(x)assurant une convergence. L’interpretation de ces a priori est delicate etcomme nous evaluerons l’apport des methodes par rayons comme initialisa-tion de l’ICM, nous ne donnerons pas davantage de details.En ce qui concerne les methodes par voxels, l’expression de φ(x) est analoguea la fonctionnelle d’energie U(x) de l’equation 3.6. Tous les modeles decritsa la section 3.3 constituent donc des a priori possibles.

4.4.4 Autres contraintes

Contrainte de support Soit F un vecteur de taille identique a x : F =fj, j ∈ N tel que :

fj = 1 si le site j appartient au support

fj = 0 sinon(4.37)

F est un support constitue de 2 regions distinctes : l’une constituantl’objet a reconstruire et l’autre l’exterieur. Le support doit etre appliquea l’initialisation ainsi que durant tout le processus de reconstruction. Unsupport evolutif calcule a chaque iteration a aussi ete envisage [PAY96].

Contrainte de positivite Physiquement, l’attenuation reconstruite nepeut etre negativement. La prise en compte de cette information permetde recrire l’equation (6.8) :

xk+1 = max

(0, xk + λkHik(Yik −Hikx

k)

‖HikHTik‖

)(4.38)

88

4.5. Bilan

4.5 Bilan

L’etude des differentes methodes de reconstruction montre que lesmethodes de reconstruction par voxels sont les plus adaptees a lareconstruction d’un objet binaire. Il est possible d’integrer direc-tement un a priori Markovien. Differentes initialisations peuventetre choisies comme un SART que l’on va binariser, une initiali-sation uniforme ou aleatoire. Le resultat final de la reconstructiondependant de l’initialisation.Les chapitres suivant vont notamment presenter les resultats del’apport d’a priori Markoviens dans la reconstruction tomogra-phique de l’architecture osseuse avec un faible nombre de projec-tions.

89


90

Chapitre 5

Synthese 3D d’architecture os-seuse

Sommaire5.1 Modele d’Ising aux plus proches voisins . . . . . 88

5.1.1 Formulation du modele utilise . . . . . . . . . . . . 885.1.2 Critere de convergence . . . . . . . . . . . . . . . 905.1.3 Influence de la pseudo-temperature et des valeurs

des poids de ponderation . . . . . . . . . . . . . . 915.1.4 Influence de la valeur des parametres de pondera-

tion et de la forme du voisinage . . . . . . . . . . . 925.1.4.1 Cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . 925.1.4.2 Cas tridimensionnel . . . . . . . . . . . . 995.1.4.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.1.5 Estimation des parametres . . . . . . . . . . . . . 1045.1.5.1 Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.1.5.2 Experimentations . . . . . . . . . . . . . 1055.1.5.3 Validation sur une texture de synthese . . 1055.1.5.4 Cas de l’architecture osseuse . . . . . . . 106

5.1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.2 Modelisation prenant en compte des interactions

proches et eloignees . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.2.1 Cas d’une seule clique eloignee . . . . . . . . . . . 1085.2.2 Cas d’un systeme avec plusieurs cliques eloignees . 111

5.3 Discussion sur la modelisation de l’architecturepour la reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . 113

91

Chapitre 5. Synthese 3D d’architecture osseuse

5.1 Modele d’Ising aux plus proches voisins

Le chapitre 3 decrivant les principales classes de methodes de synthesede texture a permis de determiner que les modeles Markoviens sont les plusadaptes pour la regularisation de la reconstruction de l’architecture osseuse.Cette section propose une exploration du modele d’Ising afin de determinerles coefficients de ponderation, les tailles et formes des cliques, la forme duvoisinage permettant de synthetiser une texture compatible avec l’architec-ture osseuse. Deux demarches ont ete mises en œuvre :

1. la premiere consiste a explorer empiriquement le modele d’Isingafin de comprendre precisement l’influence des coefficients de ponde-ration, du voisinage et des cliques sur les textures synthetisees. Onva constituer une phenomenologie qualitative. En effet, on ne souhaitepas synthetiser un echantillon d’architecture osseuse precisement maisdeterminer un ordre de grandeur des parametres et configurations devoisinage permettant de rapprocher la texture synthetisee de l’archi-tecture osseuse. Les simulations ont ete realisees avec un algorithmede Metropolis. Le principe de cet algorithme a ete decrit a la section3.3.3.2.

2. la seconde demarche est de se donner un voisinage, des cliques puis d’es-timer la valeur des parametres de ponderation des cliques, une fonctionde potentiel a partir d’ un echantillon de reference reconstruit avec 900projections et un algorithme FBP. On va ensuite estimer les para-metres d’architecture finement a l’aide de la methode des moindrescarres presentee a la section 3.3.4.6. Nous allons d’abord generalisercette methode d’estimation a un jeu quelconque de cliques puis nousallons rajouter un terme de ponderation donnant plus de poids auxconfigurations qui sont les plus representatives. Ces parametres esti-mes vont alors servir a resynthetiser une texture qui devrait etre plussemblable a l’architecture osseuse. Il s’agit d’une demarche plus quan-titative.

5.1.1 Formulation du modele utilise

La definition et les notations des champs de Markov ont ete preciseesa la section 3.3. Le lecteur pourra s’y rapporter. Nous allons suppose queles sites de la texture a generer sont a valeur dans 0, 1. Le modele aux

92

5.1. Modele d’Ising aux plus proches voisins

plus proches voisins s’ecrit simplement dans le cas d’un voisinage aux 8 plusproches voisins :

U(xs|Ns) = β0xs −∑t∈Ns|Ci

βi(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Ci

βj(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Cij

βij(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Cji

βji(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Ck

βk(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Ciu

βiu(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Cju

βju(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Ciju

βiju(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Cjiu

βjiu(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Ciu

βid(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Cju

βjd(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Ciju

βijd(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Cjiu

βjid(2xs − 1)(2xt − 1) (5.1)

ou C = Ci, Cj, Cij, Cji, Ck, . . . designe l’ensemble des cliques horizontales,verticales, diagonales en 3D representees sur le schema 5.1 et β = βi, βj, βij

βji, βk . . . designe les coefficients de ponderation dans les directions res-pectives. Ainsi la notation t ∈ Ns|cl designe l’ensemble des sites t apparte-nant au voisinage de s restreint a la direction l. Remarquons que ce modeleest en realite un modele auto-logistique et un modele d’Ising lorsque tous

93


jiu ju ijuid k

iuijd jd jid

ji j iji 0 i

ij jji

jiujuijuidk

iu ijdjdjid

-1

0

1

z

-1 01-1

0

1 β β ββ β

ββ

β β

β β β

β β β

β β β

β β ββ

ββ

β ββ

Fig. 5.1 – Configuration de voisinage en 3D aux 26 plus proches voisins

les coefficients de ponderation ont des valeurs identiques et le coefficient deponderation β0 est pris nul. Nous appellerons indifferemment modele d’Isinglorsque les ponderations sont identiques ou non.

Il va s’agir alors de comprendre l’influence des parametres, du voisinageet la taille du voisinage afin de s’approcher d’une texture grossiere proche del’architecture osseuse. L’etude va etre realisee d’abord en 2D a convergencepuis en 3D.

5.1.2 Critere de convergence

Reprenons l’algorithme de Metropolis. Le nombre d’iterations a effectuerest un point delicat. En effet, trop d’iterations va etre une perte de tempset trop peu d’iteration n’assure pas le resultat optimal. Nous avons adoptele critere suivant. L’algorithme de Metropolis va rendre l’energie donnee parl’equation 3.6 minimale. L’energie est alors une courbe decroissante au coursdes iterations (voir figure 5.2). A convergence, l’energie est constante ou devariation faible. L’idee est de calculer une variance glissante sur chacune desrealisations obtenues au cours de M iterations. Lorsque la variance glissanteest inferieure a un seuil, on considere que l’on a atteint la convergence.

94


M itérations

Ene

rgie

Itérations

ième itération appartenant au kème intervalle

K ème interavalle

Fig. 5.2 – Evolution de l’energie et critere de convergence

Plus precisement, soit Ek(i), l’energie moyenne a l’iteration i du kieme inter-valle (voir schema 5.2). On a alors :

Ek(i) =1

NX NY NZ

∑s

U i(xs|Ns) (5.2)

ou U i(xs|Ns) est le potentiel au site s et a l’iteration (k-1)*M+i. Soit < Ek >l’energie moyenne calculee sur le kieme intervalle. Le critere d’arret est alorsdonne par l’equation (5.3).

Ck =< E2k > − < Ek >

2< ε (5.3)

avec ε seuil fixe empiriquement. Nous prendrons M=5.

5.1.3 Influence de la pseudo-temperature et des va-leurs des poids de ponderation

Le parametre de temperature intervient explicitement dans la formulationde l’algorithme de synthese de texture de Metropolis. Rappelons que ce pa-rametre provient du contexte de la physique des materiaux ferromagnetiquespar Onsager en 1903. Picard [PEP91] precise que le parametre temperaturepermet de controler l’agitation thermique qui va etre en competition avecles forces attractives representees par les termes du modele d’Ising. A latemperature critique, les forces d’interaction et d’agitation thermique s’equi-librent. Pour calculer la temperature critique, cet auteur propose de calculerla chaleur specifique C(T) bien connue en thermodynamique. C(T) est alors

95


maximale a la temperature critique. La formulation de C(T) est donnee parl’equation (5.4).

C(T ) =< E2

k > − < Ek >2

T 2|S|(5.4)

< Ek >=∑ieq

i=1Ui(X,T )

ieq. ieq est la premiere iteration apres convergence et

Ui(X,T ), l’energie correspondante. Ce calcul necessite un nombre importantde realisations qui n’est pas envisageable. Pour illustrer l’influence de la tem-perature, nous avons synthetise une texture avec les memes parametres βmais en faisant varier la temperature T. La figure 5.3 presente les texturessynthetisees pour une temperature de 0.56 et 5.0. Les echantillons generes ontune dimension de 128*128 et nous avons effectue 80 iterations ce qui permetd’atteindre la convergence. On constate que pour une temperature elevee, latexture generee est bruitee, alors que pour une temperature faible, il se formede larges regions homogenes. En fait, il suffit simplement de se placer en des-sous de la temperature critique. Dans le cadre de la synthese de texture, nousallons utiliser une temperature T=1 et faire varier les coefficients β.

RemarquesIl ne faut confondre convergence et equilibre. Lorsque la temperature est

tres inferieure a la temperature critique, on va atteindre un minimum local.Il y aura equilibre : la texture ne va pas visuellement varier mais la conver-gence en loi n’est pas assuree meme si on poursuit les iterations. Lorsque latemperature est tres elevee, la convergence est tres lente et la texture gene-ree est en perpetuelles evolution a cause de l’agitation thermique. Au boutd’un tres grand nombre d’iterations, on va atteindre la convergence mais pasl’equilibre.

5.1.4 Influence de la valeur des parametres de ponde-ration et de la forme du voisinage

5.1.4.1 Cas bidimensionnel

Effet de la clique d’ordre 1 La clique d’ordre 1 dont le terme d’energieest donne par (β0xs) va influencer la part de pixel blanc et de pixels noirs.Nous avons calcule la part de pixels blanc en fonction de ce parametre. On autilise l’algorithme de Metropolis et le modele propose a l’equation 5.1. Cetteevolution est donnee par la figure 5.4. Plus β0 est eleve, plus la part de blancsva etre elevee. Il semble alors possible de relier le BV/TV, parametre d’archi-tecture qui traduit la part de sites os de niveau 1 (blancs) dans l’echantillonosseuse au parametre BV/TV. Deux remarques doivent etre faites :

96


Topologie: Topologie:

β0 βi βj βij

0.0 1.0 1.0 0.0

βji βk T Taille0.0 0.0 5.0 128*128

β0 βi βj βij

0.0 1.0 1.0 0.0

βji βk T Taille0.0 0.0 0.56 128*128

(a) T = 5.0 (b) T = 0.56

Fig. 5.3 – Influence de la temperature T sur la synthese de texture

20

30

40

5060

70

80

90

100

0 10 20 30 40 50

% d

e pi

xels

bla

ncs

β0

Fig. 5.4 – Evolution du pourcentage de voxels blanc en fonction de β0

97



β0 βi βj βij

2.0 0.0 0.0 0.0

βji βk T Taille0.0 0.0 1.0 128*128

β0 βi βj βij

2.0 10.0 10.0 0.0

βji βk T Taille0.0 0.0 1.0 128*128

(a) 52.27 % de sites blancs (b) 75.65 % de sites blancs

Fig. 5.5 – Illustration de l’interaction entre les cliques d’ordre 1 et d’ordre 2

A temperature nulle, on se place dans le cas particulier d’un ICM. Onva converger vers une texture homogene. En effet, la valeur de la textureva etre determinee par le signe de β0. Si β0 est negatif, on converge versune texture uniforme de niveau 0. Si β0 est positif, on converge versune texture uniforme de valeur 1. (voir la section 3.3).

La proportion de blancs et de noirs depend a la fois des cliques d’ordre1 et 2. La figure 5.5 est une texture generee avec des β0 identiques avecet sans cliques d’ordre 2 et une temperature T=1.0. La part de sitesblancs a ete evaluee. On constate que la proportion de pixels blancsn’est pas constante.

Il convient alors de determiner plus precisement le role des cliques d’ordre2 sur la texture synthetisee.

Effet des cliques d’ordre 2

Signe du coefficient de ponderation Pour une ponderation isotropemais negative (coefficients (βi, βj, βij, ...)), on obtient une structure repulsiveou les sites voisins ont tendance a avoir des labels differents. Ceci est coherentavec l’equation 5.1 : la variation d’energie est negative lorsque tous les voisins

98


Topologie:

Topologie:

β0 βi βj βij

0.0 -4.0 -4.0 0.0

βji βk T Taille0.0 0.0 1.0 128*128

β0 βi βj βij

0.0 4.0 4.0 0.0

βji βk T Taille0.0 0.0 1.0 128*128

(a) Effets repulsifs (b) Effets attractifs

Fig. 5.6 – Influence du signe des coefficients de ponderation sur la texture generee

ont tendance a avoir des labels differents, pour des poids negatifs. Un exemplede realisation est donne par la figure 5.6 a. De meme, pour une ponderationisotrope mais positive, les formes generees sont constituees d’amas n’ayantpas de directions locales privilegiees.

Effets directionnels Un poid positif selon une direction va generer unetexture orientee selon la meme direction. Un exemple est donne par la figure5.7. Nous avons pris des poids succesivement non nuls dans les directions ipuis j. Une question peut alors se poser : que se passe-t il dans le cas oul’on pondere les cliques horizontales et verticales avec des poids differents ?La reponse est donnee par la figure 5.8. On distingue deux orientations : uneverticale bien marquee et une horizontale. Plus une clique a un poids elevepar rapport aux autres cliques, plus la texture sera orientee selon cette clique.Cependant, modifier la ponderation des cliques ne change pas les orientationsde la texture. Pour orienter une texture dans une direction donnee, il fautrajouter une clique dans cette direction.

Des effets directionnels peuvent etre obtenus grace aux cliques diagonales.

99



β0 βi βj βij

0.0 4.0 0.0 0.0

βji βk T Taille0.0 0.0 1.0 128*128

β0 βi βj βij

0.0 0.0 4.0 0.0

βji βk T Taille0.0 0.0 1.0 128*128

Fig. 5.7 – Influence de la direction des cliques sur l’orientation de la texture

Topologie:

β0 βi βj βij

0.0 2.0 10.0 0.0

βji βk T Taille0.0 0.0 1.0 128*128

Fig. 5.8 – Influence des valeurs des poids de ponderation sur l’orientation de la texturesynthetisee

100


Influence de la taille du voisinage Nous avons fait varier la tailledu voisinage passant des quatre plus proches voisins (taille 4*4) aux 48 plusproches voisins (taille 7*7) pour une configuration isotrope (voir la figure5.9). On constate que plus la taille du voisinage augmente plus l’aire desregions qui vont etre synthetisees va augmenter. Cependant, on ne peut pascontroler finement la taille des regions generees.

101



β0 βi βj βij

0.0 4.0 4.0 4.0

βji βk T Taille4.0 0.0 1.0 128*128

β0 βi βj βij

0.0 4.0 4.0 4.0

βji βk T Taille4.0 0.0 1.0 128*128

(a) Voisinage 3*3 (b)Voisinage 5*5

Topologie:

β0 βi βj βij

0.0 1.0 4.0 4.0

βji βk T Taille4.0 0.0 1.0 128*128

(c) Voisinage 7*7

Fig. 5.9 – Influence de la taille du voisinage sur la texture generee

102


Topologie:

β0 βi βj βij

0.0 4.0 4.0 4.0

βji βk T Taille4.0 0.0 1.0 1024*1024

Fig. 5.10 – Influence de la taille de l’objet reconstruit sur la texture

5.1.4.2 Cas tridimensionnel

Le cas tridimensionnel se generalise a partir du 2D. La figure 5.1 est unschema de la configuration de voisinage utilisee. Il y a alors 26 voisins pos-sibles et quatre diagonales. Le nombre de parametres devient alors tres grand.Placons nous toujours dans le cas isotrope. On va alors s’interesser au roledes cliques verticales. En effet, il est important de comprendre comment setraduisent les interactions verticales sur la texture. En particulier, la questionest de determiner si on retrouve les memes proprietes determinees dans lasection 5.1.4.1 en 3D ou si la texture generee va etre differente.

Cas 3D sans interactions verticales Reprenons la configuration de lafigure 5.10 a avec un poids isotrope unitaire aux 8 plus proches voisins. Onva alors synthetiser 128 coupes de taille 128*128. La figure 5.11 donne unerepresentation 3D de la texture synthetisee. On a represente une coupe dansles 3 directions de la texture synthetisee. Les cercles pleins representent les

103


interactions aux plus proches voisins. Les cercles vides traduisent l’absenced’interactions. On observe l’absence de coherence entre les plans synthetises.

Influence d’une seule clique verticale Construisons d’abord un volumede reference de taille 128*128*128 constitue de 128 coupes independantes.La figure 5.12 est le resultat d’une synthese en prenant la configuration de lafigure 5.9 a et en rajoutant une seule clique verticale de part et d’autre duplan central. Il apparaıt tres nettement une coherence entre les plans.

Influence d’un voisinage forme de plans paralleles Nous avons reprisla configuration de la figure 5.9 a en rajoutant 2 plans un au dessus et un autreau dessous. Chaque plan a une taille 4*4. Chaque site des plans non centrauxforme une clique avec le site central. La figure 5.13 precise la configurationchoisie et montre le resultat de la texture synthetisee. Les regions synthetiseessont plus larges.

5.1.4.3 Conclusion

La section precedente a permis de preciser le comportement du modeled’Ising en 3D et plus particulierement l’influence de la taille du voisinage. Ilest ainsi possible de determiner une direction privilegiee de la texture et unetaille tres grossiere de la texture generee en jouant sur la taille du voisinage, dela texture et le signe des coefficients de ponderation. L’architecture osseuseest une structure orientee cependant si on se limite aux pixels ou voxelsvoisins, les structures ont des directions locales tres variables.

Dans le cas de l’architecture osseuse, on peut faire l’hypothese que lestextures n’ont pas de directions locales privilegiees et donc supposer des co-efficients de ponderation isotropes. La taille des structures generees augmenteavec la taille du voisinage. Un voisinage aux 48 plus proches voisins (taille7*7) semble adequate pour l’architecture osseuse.L’etape suivante consiste a affiner la valeur des poids de ponderation et lataille du voisinage par une estimation. La principale difficulte est de relierces observations aux caracteristiques de l’architecture osseuse. La section sui-vante va tenter d’apporter une solution.

104


Topologie :

Plan central

Z

Y

X

β0 βi βj βij

0.0 4.0 4.0 4.0

βji βk T Taille1.0 0.0 1.0 128*128*128

Fig. 5.11 – Synthese 3D sans interactions verticales

105


Topologie :

Plan central

Z

X

Y

β0 βi βj βij

0.0 4.0 4.0 4.0

βji βk T Taille4.0 4.0 1.0 128*128*128

Fig. 5.12 – Synthese 3D avec des cliques purement verticales

106


X

Y

Z

Topologie :

Plan central

β0 βi βj βij

0.0 4.0 4.0 4.0

βji autres β T Taille4.0 4.0 1.0 128*128*128

Fig. 5.13 – Synthese aux 26 plus proches voisins en 3D

107


5.1.5 Estimation des parametres

Le probleme est le suivant : se donnant une texture, un modele, un voi-sinage et une configuration de cliques, comment retrouver les coefficients deponderation de ce modele ? Nous allons partir de la methode des moindrescarres, proposee par Derin et decrite a la section 3.3.4 en generalisant a unnombre quelconque de cliques et en rajoutant des termes de ponderationafin de prendre davantage en compte les configurations de voisinage les pluspresentes dans l’ estimation du vecteur de parametres β.

5.1.5.1 Methode

Generalisation au cas d’un voisinage de taille quelconque La me-thode proposee par Derin est adaptee au cas d’un modele d’Ising isotrope aux4 plus proches voisins en 2D. Nous allons directement la generaliser au cas3D avec un voisinage anisotrope . En utilisant le modele defini par l’equation5.1, l’equation (3.42) peut se s’ecrire :

U?s1

(xs = 0, xt)− U?s1

(xs = 1, xt) = −2∑

<s,t>,t∈Ns

(−1 + 2xt) (5.5)

Dans le cas d’un voisinage anisotrope, on va considerer les paires de cliquesselon une direction donnee. On aura alors (0, 1 ou 2) sites ayant le memelabel que le site central. Supposons que l’on considere la paire de cliques dansla direction ι, avec ι designant une direction du volume, a la distance d dusite central , le terme de droite de l’equation (5.5) va s’ecrire pour la directionι :

− 2∑

<s,t>,t∈Ns|ι

(−1 + 2xt) = −4∑

<s,t>,t∈Ns|ι

(xt − 1)

= −4(nlι,d − 1) (5.6)

ou nlι,d designe la valeur totale (0, 1 ou 2) de cliques horizontales (i), verticales

(j) et diagonales (ij et ji) etc... d’ordre 2 pour la configuration numero l duvoisinage. Reprenons l’equation (3.48). La matrice H peut alors se generaliserfacilement a un voisinage 3D de taille quelconque et non isotrope :

H =

−1 −4(n0

i,1 − 1) = 4 −4(n0j,1 − 1) = 4 −4(n0

ij,1 − 1) = 4 −4(n0ji,1 − 1) = 4 . . .

−1 −4(n1i − 1) = 4 −4(n1

j,1 − 1) = 4 −4(n1,1ij,1 − 1) = 4 −4(n1

ji,1 − 1) = 0 . . .

. . .

−1 −4(n2i,1 − 1) = 4 −4(n2

j,1 − 1) = 4 −4(n2ij,1 − 1) = 4 −4(n2

ji,1 − 1) = −4 . . .

. . .

(5.7)

W est une matrice diagonale de taille NcNc.

108


Nouvelle variante de la methode de Derin Chaque ligne de la matriceH represente une configuration possible de voisinage a une clique. Or, cer-taines de ces configurations n’apparaissent pas sur la texture ou beaucoupmoins souvent que d’autres dont il faut estimer les parametres. Elles sontdonc moins representatives. Le terme de droite de l’equation (3.41) donne lememe poids a toutes les configurations. L’idee est de donner plus de poidsaux configurations qui apparaissent le plus souvent.Soit Mi, le nombre d’apparition de la configuration de voisinage i . MT , lenombre total de configurations de voisinages apparus dans la realisation. Re-marque : pour la configuration de voisinage i, les valeurs des voisins du sites sont figes mais le pixel au site s peut prendre 2 valeurs 0 ou 1. Ceci revienta exclure la clique singleton. Construisons alors une matrice de ponderationW diagonale :

W =

M1

MT. . . 0

.... . .

...

0 . . .MNC

MT

(5.8)

avec W de taille NcNc et Wii = Mi

Mt. Le critere a minimiser defini par l’equa-

tion (3.49) devient alors :

β = arg minβ

(G−Hβ)TW (G−Hβ) (5.9)

Pour trouver β, on utilise la methode des moindres carres ponderes (WLS)

[RYA97]. Les parametres estimes β s’ecrivent alors :

β = (HTWH)−1HTWG (5.10)

5.1.5.2 Experimentations

Nous allons valider notre nouvel estimateur sur une texture synthetiquesimple puis un echantillon d’architecture osseuse.

5.1.5.3 Validation sur une texture de synthese

Nous avons implante l’algorithme de Derin modifie et estime les para-metres sur une texture de synthese realisee avec un modele d’Ising 2D iso-trope aux 4 plus proches voisins. La simulation est realisee avec l’algorithmede Metropolis.

109


Type de clique Ponderation originale Ponderation estimees

1.0 0.98

1.0 0.9971

Fig. 5.14 – Estimation des parametres pour une texture de synthese

j

i

400 pixels

β0 βi βj βij βji

-9.21 5.95 1.5 1.19 1.88

Fig. 5.15 – Estimation des parametre sur un echantillon d’architecture osseuse detaille 1024*1024 (support de rayon 400 pixels)

5.1.5.4 Cas de l’architecture osseuse

Nous avons teste l’estimation sur un echantillon reconstruit d’architectureosseuse en 2D obtenu a l’ESRF. Il s’agit de l’echantillon presente dans lafigure 6.6. Nous avons estime les parametres sur un voisinage aux 8 plusproches voisins. Un voisinage plus grand n’est pas envisageable en raison dunombre de configurations possibles. En effet, pour un voisinage de taille 7*7,il y 249 = 5e14 configurations possibles ! Ce point est un facteur limitantpour l’estimation precise des parametres. Les resultats de l’estimation sontdonnes dans la figure 5.15 suivante : avec β0, βi, βj, βij, βji, les parametresdu modele donne par l’equation (3.11) selon les directions i, j, ij, ji. Lesconfigurations de voisinage ont ete determinees sur un disque de rayon 400pixels. Nous avons ensuite resynthetise une texture a l’aide du meme modelesur une image de 64*64 pixels. Cependant, la texture synthetisee ne ressemblepas a la texture de la figure 5.15.Ceci montre que la modele utilise est trop limite pour prendre en comptetoutes les caracteristiques de l’architecture osseuse.

110


Fig. 5.16 – Image resynthetisee a l’aide des parametres estimes

5.1.6 Conclusion

L’estimation des parametres a pour objectif d’adapter un modelea une texture. Cependant, en estimant les parametres du modeled’Ising anisotrope sur un echantillon de l’architecture osseuse, Iln’est pas possible de resynthetiser une texture semblable a la tex-ture osseuse d’origine.Le modele markovien avec des interactions au plus proches voisinsne peut traduire totalement l’ensemble des caracteristiques de l’ar-chitecture osseuse qui est trop complexe.Toutefois, l’exploration phenomenologique nous a permis de dega-ger de grandes tendance comportementales qui vont etre utiles lorsde la phase de reconstruction.Afin de mieux tenir compte de l’organisation de l’architecture os-seuse en plaques et en tubes, nous avons introduit un systeme mul-ticliques integrant des interactions proches mais aussi eloignees.

111


Nsn

Nsf

d

y

x

Fig. 5.17 – Schema du voisinage proche et eloigne

5.2 Modelisation prenant en compte des in-

teractions proches et eloignees

5.2.1 Cas d’une seule clique eloignee

La litterature de l’architecture osseuse (voir le chapitre 2) approxime l’ar-chitecture osseuse par un systeme de plaques, de tubes et de jonctions. Nousavons alors tente de completer le modele d’Ising afin de generer une structureen forme de plaques c’est-a-dire d’obtenir une structure longitudinale d’epais-seur donnee. On a defini alors un nouveau voisinage et de nouvelles cliquesd’ordre 2 (figure 5.17). Soit Nn

s le voisinage constitue des cliques proches dusite central, il s’agit en fait du voisinage utilise jusqu’a present ou tous les sitesdu voisinage sont contigus deux a deux. Considerons maintenant un secondvoisinage dont les cliques sont a une distance d du site central. Consideronsdes cliques attractives aux plus proches voisins (ponderation positive) et descliques repulsives pour les cliques distances d’une distance d. Dans la suite,nous distinguerons les sites proches par l’indice ”n” et les sites eloignes par

112

5.2. Modelisation prenant en compte des interactions proches eteloignees

l’indice ”f”. On aura alors Ns = N fs ∪Nn

s . Ecrivons alors l’energie associee :

U(xs|Ns) = +β0xs −∑t∈Ns|Cxn

βin(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Cyn

βjn(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Cxyn

βijn(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Cyxn

βjin(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Czn

βkn(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Cxf

βif (2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Cyf

βjf(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Cxyf

βijf(2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Cyxf

βjif (2xs − 1)(2xt − 1)−

∑t∈Ns|Czf

βkf(2xs − 1)(2xt − 1)

(5.11)

Cgfrepresente alors l’ensemble des cliques eloignees dans la direction notee

”g”. Avec ce type d’energie et de voisinage, on va former des regions dememe label et avec des labels differents a la distance d. La figure 5.18 estune realisation avec ce type d’energie et de voisinage en 3D. Les coefficientsnon mentionnes sont pris nuls. On distingue des plaques droites pour unvoisinage proche aux 4 plus proches voisins et une structure en ”alveole”pour un voisinage proche aux 8 voisins.

Relation entre la distance d, et les parametres d’architecture Tb.Spet Tb.Th?. Nous avons evalue ensuite l’ecart entre les plaques et l’epaisseurdes plaques en fonction du parametre d pour la realisation de la figure 5.18a. Nous avons estime les parametres Tb.Sp et Tb.Th∗ traduisant l’ecart et

113


Topologie :

Plan central

d

β0 βin βjn βijn βjin

0.0 1.0 1.0 0.0 0.0

βkn βifd T Taille

1.0 -10.0 10 0.0 32*32*32

Topologie :

Plan central

d

β0 βin βjn βijn βjin

0.0 1.0 1.0 1.0 1.0

βkn βifd T Taille

1.0 -10.0 10 0.0 32*32*32

Fig. 5.18 – Exemples de realisations avec des interactions eloignees

114

5.2. Modelisation prenant en compte des interactions proches eteloignees

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25 30 35 40paramètre d

Dis

tanc

e en

tre le

s p

laqu

es

(a) Distance entre les plaques (en pixels) en fonction de d

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 10 20 30 40 50paramètre d

Epa

isse

ur e

ntre

les

plaq

ues

(b) Ecart entre les plaques (en pixels) en fonction de d

l’epaisseur des plaques. Ces parametres utilises dans l’analyse de l’architec-ture osseuse ont ete definis a la section 2.3. On constate que l’ecart entreles plaques et l’epaisseur de ces plaques varient lineairement avec d et sontidentiques (voir figure 5.2.1). Ceci n’est pas le cas dans l’architecture osseuse.

Vers un modele multiclique L’ecart entre les plaques et l’epaisseur de cesplaques sont identiques. Ceci n’etant pas verifie dans l’architecture osseuse,ou l’on souhaite obtenir des plaques avec un ecartement et une epaisseurdefinie, nous avons tente de completer notre modele.

5.2.2 Cas d’un systeme avec plusieurs cliques eloignees

Nous avons tente de rajouter des cliques eloignees supplementaires afind’obtenir des plaques ayant des ecarts et des epaisseurs differents. Ce terme

115


nd ngC1n

C1n

C1f

ds+dp

nd ngC1n

C1n

C1f

ds+dp

(a) Cliques pour les sites qui (b) Cliques des sites frontieresn’appartiennent pas a une frontiere

Fig. 5.19 – Systeme de cliques du systeme multicliques

Fig. 5.20 – exemple de realisation avec le potentiel perturbatif - βni = 3.0 βfb =

8.0 βfi = −10.0, les autrescoefficients sont pris nuls

perturbatif est donne par :

U fbs (xs|xt, t ∈ N f

s ) = βfb∑

t∈Nfbs

δ(1− ‖xs − xng‖)δ(xs − xnd)V (xs, xt) (5.12)

avec N fbs = t|dist(s, t) = ds + dp, s ∈ S, t ∈ S. (voir figure 5.19). Le

potentiel defini par l’equation (5.12) est nul dans les zones homogenes et nonnul sur les bords. Nous avons ensuite teste ce modele en 2D. Un exemple desynthese est donne par la figure 5.20. Nous avons realise d’autres simulationsfaisant varier les distances entre les cliques proches et eloignees. Cependant,les textures que nous obtenons perdent toute structure. Relier les potentielset le resultat de synthese est un probleme tres complexe. Ceci constitue unelimite de l’approche.

116

5.3. Discussion sur la modelisation de l’architecture pour lareconstruction

5.3 Discussion sur la modelisation de l’archi-

tecture pour la reconstruction

En rajoutant des cliques eloignees, nous obtenons des textures plusriches : il est possible de generer des structures en forme de plaque, plus proches des caracteristiques de l’architecture osseuse, maisl’epaisseur de ces structures est identique a l’espace inter-plaque.Les interactions entre sites se multipliant, le lien entre l’energiecontrolant ces interactions et la texture generee n’est pas triviale. Ilne semble pas simple de faire evoluer le modele. Ceci montre encoreles limites des modeles markoviens pour la synthese de texture.Nous verrons dans le prochain chapitre en quoi les modeles a prioriMarkovien que nous avons explicite constituent toutefois de vraisapports en les combinant avec un autre processus pour ameliorer laqualite de la reconstruction de l’architecture osseuse.e

117


118

Chapitre 6

Reconstruction de l’architecturea partir d’un nombre limite devues

Sommaire6.1 Principe general de la methode . . . . . . . . . 1176.2 Methodes de reconstruction mises en œuvre . . 119

6.2.1 Mise en oeuvre pratique . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2.1.1 Definition de la geometrie du systeme d’ac-

quisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2.1.2 Determination de la projection d’un point

de l’objet sur le detecteur . . . . . . . . . 1206.2.1.3 Introduction d’un support de reconstruc-

tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.2.1.4 Valeur des parametres utilises . . . . . . 123

6.2.2 Reconstruction avec un algorithme de type SART 1256.2.3 Reconstruction avec un algorithme de type ICM . 1256.2.4 Criteres de qualite de la reconstruction . . . . . . . 128

6.3 Donnees de reference . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.3.1 Origine et description . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.3.1.1 Acquisition des echantillons a l’ESRF . . 1296.3.1.2 Pretraitements et sinogrammes resultants 1306.3.1.3 Mesure des parametres d’architecture . . 1306.3.1.4 Choix d’echantillons pour l’etude . . . . . 130

119

Chapitre 6. Reconstruction de l’architecture a partir d’unnombre limite de vues

6.3.2 Binarisation et generation de sinogrammes d’os bi-narises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.3.2.1 Estimation de l’attenuation moyenne de

l’os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.3.2.2 Synthese de projections d’un objet binarise133

6.3.3 Donnees bruitees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.4 Reconstruction sans a priori . . . . . . . . . . . 137

6.4.1 Approche par rayons : algorithme SART . . . . . 1376.4.1.1 Reconstruction avec un SART classique

et un SART de Li . . . . . . . . . . . . . 1376.4.1.2 Limites de l’approche par rayons . . . . 138

6.4.2 Reconstruction par voxels : algorithme ICM . . . . 1386.4.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.4.4 Influence de l’initialisation . . . . . . . . . . . . . . 1396.4.5 Choix du nombre de projections . . . . . . . . . . 140

6.4.5.1 Calcul des parametres d’architecture . . . 1426.5 Reconstruction avec filtrage spatial . . . . . . . . 143

6.5.1 Choix et interet d’un apport d’heuristiques dansla reconstruction de l’os . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.5.2 Reconstruction avec un ICM morphologique (MP-ICM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.5.2.1 Determination de la frequence de filtrage 1456.5.2.2 Determination de la forme du voisinage

le plus adapte . . . . . . . . . . . . . . . 1476.5.2.3 Convergence de l’algorithme . . . . . . . 1486.5.2.4 Discussion sur l’apport du filtrage mor-

phologique en reconstruction . . . . . . . 1486.5.3 Reconstruction ICM avec un filtrage median (MD-

ICM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.5.3.1 Choix de la forme et de la taille du voi-

sinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.5.3.2 Convergence de l’algorithme . . . . . . . 149

6.5.4 Conclusion sur l’ajout d’un processus de filtrage . 1506.6 Reconstruction Markovienne de l’architecture os-

seuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.6.1 Principe de la methode . . . . . . . . . . . . . . . 1526.6.2 Influence du sens de parcours . . . . . . . . . . . . 1526.6.3 Modele d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.6.3.1 Voisinage 4 connexe . . . . . . . . . . . . 1556.6.3.2 Voisinage 8-connexe . . . . . . . . . . . . 157

120

6.1. Principe general de la methode

6.6.3.3 Voisinage 24-connexe . . . . . . . . . . . 157

6.6.3.4 Limitations du modele d’Ising aux plusproches voisins . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.6.4 Modele d’Ising avec filtrage . . . . . . . . . . . . . 164

6.6.4.1 Filtrage morphologique . . . . . . . . . . 164

6.6.4.2 Filtrage median . . . . . . . . . . . . . . 166

6.6.4.3 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.6.4.4 Cas des cliques proches et eloignees . . . 168

6.6.4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.7 Cas de reconstructions bruitees . . . . . . . . . . 170

6.8 Application a d’autres echantillons . . . . . . . . 174

6.9 Application a la reconstruction d’echantillons 3D 175

6.9.1 Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.9.2 Resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.10 Tableau recapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.1 Principe general de la methode

Le principe general de la methode est regroupe dans le tableau 6.1. La me-thode de reconstruction originale que nous avons elabore repose sur une regu-larisation par collaboration d’un processus markovien (a priori d’Ising)et d’un processus de filtrage iteratif non lineaire afin de favoriser lesregions reconstruites homogenes tout en supprimant le bruit de type ”poivreet sel” qui se forme a chaque iteration dans l’objet reconstruit a cause dunombre insuffisant de projections. Nous verrons que cette collaboration desdeux processus permet d’obtenir une meilleur qualite de reconstruction etd’estimation des parametres d’architecture osseuse. Tout d’abord, la geo-metrie de la reconstruction est definie, puis les conditions initiales les plusadaptees sont investiguees. Nous avons ensuite caracterise chaque processuspuis applique la methode a differents echantillons, puis a partir de projectionsbruitees et enfin en 3D.

121


Etude du nombre optimal de radios

Etude de la validité de l'hypothèse de binarité de l'architecture osseuse et choix d'un algorithme de reconstruction

Choix des paramètres d'architecture les plus pertinents pour quantifier la qualité des reconstructions

Choix et définition d'une géométrie

Etude de la reconstruction d'os binaires

Etude de la meilleure initialisation

Etude de l'apport d'un filtrage itératifnon linéaire

Etude de l'apport d'un à priori markovien

Etude de la collaboration entre un processus markovien et un filtrage itératif non linéaire sur la qualité de los reconstruit

Validation sur : un sinogramme bruité, d'autres échantillons 2D, des échantillons3D

Analyse de la validité des méthodes d'estimation des paramètres d'architecture sur un os reconstruit avec peu

de vues

Détermination du nombre minimal de projection vis-à-vis de la nouvelle méthode de reconstruction

Fig. 6.1 – Description de la demarche de l’etude

122

6.2. Methodes de reconstruction mises en Œuvre

6.2 Methodes de reconstruction mises en œuvre

6.2.1 Mise en oeuvre pratique

6.2.1.1 Definition de la geometrie du systeme d’acquisition

Avant de presenter les resultats de reconstruction, nous avons besoin dedefinir une geometrie du systeme d’acquisition qui sera commune a tous lesalgorithmes et le calcul de l’adresse de la projection d’un voxels de l’objet areconstruire.Nous avons utilise une geometrie cone-beam adaptee au cas de la geometrieparallele en placant la source a une distance importante par rapport auxautres dimensions du probleme. L’objet est en rotation autour d’un supportavec un pas regulier compris entre 0 et π, la source et le detecteur etant fixes.La figure 6.2 presente les notations utilisees.

Fig. 6.2 – Description de la geometrie d’acquisition utilisee

(Od, ~u,~v, ~w) est le repere direct attache au detecteur. F est la positionde la source et Gd sa projection sur le plan du detecteur dans le repere(Od, ~u,~v, ~w). (O,~i,~j,~k) est le repere attache au porte objet tournant entre 0

123


Fig. 6.3 – Notation des angles d’Euler utilises

et π par pas regulier. Gd de coordonnees (pgd,qgd,0) dans le repere (F, ~u,~v, ~w)est la projection de la source sur le detecteur. Le detecteur de taille NQ NPest discretise en pixels de taille pepd et peqd selon les directions respectives~u et ~v. De meme, l’objet de taille NX NY NZ est echantillonne avec un paspex, pey et pez dans les directions respectives ~i,~j,~k. Le point essentiel de lamise en œuvre des algorithmes de reconstruction algebrique est le calcul dela projection d’un point de l’objet sur le detecteur.

6.2.1.2 Determination de la projection d’un point de l’objet surle detecteur

La determination de l’adresse de la projection d’un point de l’objet vas’effectuer en 2 etapes :

1. determination d’un point de l’objet M(p′, q′,m′)(F,~u,~v, ~w) exprime dans lerepere objet (F, ~u,~v, ~w) a partir d’un point de l’objet M(x, y, z)(O,~i,~j,~k)

exprime dans le repere (O,~i,~j,~k).

2. calcul de l’adresseAd(p, q)(Od,~u,~v, ~w) de la projection d’un pointM(p′, q′,m′)(F,~u,~v, ~w)

Calcul de M ′(p′, q′,m′)(F,~u,~v, ~w) Le calcul de M(p′, q′,m′)(F,~u,~v, ~w) s’effectuesimplement a l’aide d’un changement de repere donne par les angles d’EulerΨ, ξ, δ (figure 6.3). Le changement de repere va alors s’ecrire : p

′

q′

m′

F,~u,~v, ~w

= R

x

y

z

O,~i,~j,~k

+

x′0

y′0

z′0

F,~u,~v, ~w

(6.1)

124


ou x′0, y

′0, z

′0 sont les coordonnees du point O dans le repere (F, ~u,~v, ~w). avec

R matrice de passage definie par :

R =

A1 A2 A3

A4 A5 A6

A7 A8 A9

=

cosδcosΨ− sinΨcosξsinδ cosδsinΨ + cosΨcosξsinδ sinξsinδ

−sinδcosΨ + cosΨcosξcosδ −sinδsinΨ + cosΨcosξcosδ sinξcosδ

sinΨsinξ −cosΨsinξ cosξ

(6.2)

Dans le cas de notre etude, on va choisir Ψ = 0 a π, ξ = π2, δ = 0 afin que

les vecteurs ~k et ~v soient verticaux.

Gd Ad

M' M

F

Fig. 6.4 – Notations pour le calcul de l’adresse de la projection d’un point M del’objet sur le detecteur en Ad

Calcul de l’adresse de la projection Ad(p,q) d’un point M(x, y, z)(O,~i,~j,~k)

Soit Ad(p, q)(F,~u,~v, ~w) de coordonnee (p,q) dans le repere (F, ~u,~v, ~w) la projec-

tion d’un point M(x, y, z)O,~i,~j,~k exprime dans le repere (O,~i,~j,~k). Le point Ma pour coordonnees p’,q’,m’ dans le repere (F, ~u,~v, ~w). FGd est la distanceentre F et Gd. Soit M’ un point de l’objet situe sur la droite FGd tel que surla figure 6.4.

A l’aide du theoreme de Thales, on peut ecrire :

−−−→AdGd =

−−−→MM

′ FGd

FM ′ (6.3)

soit (pgd− p)‖(pepd)‖ = p

′ FGd

m′

(qgd− q)‖(peqd)‖ = q′ FGd

m′(6.4)

125


Fig. 6.5 – Schema du support utilise

avec pepd et peqd les pas d’echantillonnage du detecteur selon les axes ~u,~v,pgd et pqd les positions horizontales et verticales de Gd dans le repere lie audetecteur (Od, ~u,~v, ~w). On a alors :

p = pgd− p′ FGd

m′‖pepd‖q = qgd− q

′ FGd

m′‖peqd‖(6.5)

soit

p = pgd− (A1x+A2y+A3z+x′0)FGd

(A7x+A8y+A9z+z′0)‖pepd‖

q = qgd− (A4x+A5y+A6z+y′0)FGd

(A7x+A8y+A9z+z′0)‖peqd‖

(6.6)

On peut verifier que pour un detecteur ligne q=0. Si l’adresse p n’est pasentiere, on va realiser une ponderation bilineaire de l’attenuation aux plusproches

6.2.1.3 Introduction d’un support de reconstruction

D’apres la section 2.2.3, les echantillons acquis a l’ESRF peuvent etreassimiles a des cylindres. Ces derniers n’ont cependant pas la meme taille.Pour cela, nous avons estime le plus grand rayon (400 pixels) d’un cylindreenglobant l’ensemble des echantillons reconstruits. Les voxels a l’exterieur dusupport ont une valeur nulle et constante pour toutes les reconstructions quivont etre realisees. La figure 6.5 schematise le support utilise.

126


6.2.1.4 Valeur des parametres utilises

Le tableau 6.1 donne les parametres lies a la geometrie du systeme d’ac-quisition. Ces parametres seront identiques pour l’ensemble des resultats pre-sentes.

127


N° Parametre Description Valeurs unite

1 NΘ nombre d’angles de projections 1 a 9002 NP nombre de pixels sur le detecteur selon la direction u 10243 NQ nombre de pixels sur le detecteur selon la direction v 14 Ndetsupp nombre de pixels du detecteur associe au support 800*NΘ

5 PSI angle d’Euler 0 a π6 XSI angle d’Euler π/27 DELTA angle d’Euler 0 °

8 pgd position verticale du detecteur 0 mm9 qgd position horizontale du detecteur 145 m10 QO coordonnee O dans le repere (F, ~u,~v, ~w) 0 m11 PO coordonnee O dans le repere (F, ~u,~v, ~w) 0 m12 MO coordonnee O dans le repere (F, ~u,~v, ~w) -144,97 m13 pepd pas d’echantillonnage selon l’axe u du detecteur 0.015 mm14 peqd pas d’echantillonnage selon l’axe v du detecteur 0.015 mm15 P1D position horizontale du 1er point du detecteur -511 m16 Q1D position verticale du 1er point du detecteur 1 m17 IPD debut de la zone d’interet sur le detecteur (lignes) 0 m18 IPF fin de la zone d’interet sur le detecteur (lignes) 102319 IQD debut de la zone d’interet sur le detecteur (colonnes) 020 IQF fin de la zone d’interet sur le detecteur (colonnes) 021 pex pas d’echantillonnage selon l’axe i 0.015 mm22 pey pas d’echantillonnage selon l’axe j 0.015 mm23 pez pas d’echantillonnage selon l’axe k 0.015 mm24 x1 coordonnee du 1er voxel de l’objet selon i -7.68 cm25 y1 coordonnee du 1er voxel de l’objet selon j -7.68 cm26 z1 coordonnee du 1er voxel de l’objet selon k 027 NX nombre de voxels selon i 102428 NY nombre de voxels selon j 102429 NZ nombre de voxels selon k 130 Nvoxsupp nombre de voxel dans le support π ∗ 4002

Tab. 6.1 – Parametres lies a la geometrie du systeme d’acquisition

Le systeme de reconstruction etant modelise, nous allons preciser dans leparagraphe suivant le choix et les caracteristiques des donnees utilisees pourla reconstruction.

128


6.2.2 Reconstruction avec un algorithme de type SART

D’apres le chapitre 4, il nous faut resoudre le systeme 4.13 :

y = Hx (6.7)

L’algorithme SART dont la formule est donnee par l’equation (6.8) :


‖HikHTik‖

(6.8)

permet d’obtenir une solution de l’equation 6.7. Nous avons utilise des blocsde taille NP NQ avec NP=1024 pixels et NQ=1 pixels dans le cas d’un detec-teur ligne utilise a l’ESRF. Nous avons choisi un coefficient de ponderationλ = 1. Les etapes de l’algorithme sont les suivantes :

1. Initialisation de l’objet a reconstruire et projec-tion,

2. Calcul du nombre de voxels traverses par chaquerayon,

3. Pour chaque bloc, jusqu’a convergence, on calcul la difference entre la projection initiale

et la projection de l’iteration courante, pour chaque voxel, on calcule l’adresse du pro-

jete et on lui attribue la contribution de la diffe-rence entre la valeur du rayon de reference et durayon calcule ponderee par le nombre de voxelstraverses.1

on projette afin d’assurer une coherence entreles radios et l’objet reconstruit.

6.2.3 Reconstruction avec un algorithme de type ICM

Labelisation Soit X l’ensemble des voxels de l’objet reconstruit. Soit Xos,l’ensemble des voxels de l’os et Xfond, l’ensemble des voxels n’appartenantpas a l’architecture osseuse. On a alors :

x = xos ∪ xfond (6.9)

Notons ζos = ζ(xos), le label associe respectivement aux regions d’architec-ture osseuse et ζfond = ζ(xfond), le label associe aux regions du fond. L’interet

1Dans le cas de l’architecture osseuse, nous avons introduit un support centre de rayonR=400 voxels, le nombre de voxels traverse par un rayon i correspond aux voxels traversesinclus dans le support

129


de cette notation est de reconstruire une carte d’etiquettes et donc de recons-truire indifferemment des attenuations physiques a valeur dans µos, µfondou binaire 0, 1.

Energie globale Rappelons que l’ICM va consister a trouver un minimumd’ une fonctionnelle constituee de deux termes donnes par l’equation (4.36) :

le terme d’attache aux donnees le terme a priori ou terme regularisant

Bien que la convergence soit theoriquement assuree, ce minimum n’est pastoujours un minimum global mais peut etre local. Rapellons que l’equation4.36 s’ecrit :

J(x) = ‖y −Hx‖2 + Φ(x)

= Jdata(x) + Jprior(x) (6.10)

avec Φ(x) =∑

<s,t> V (xs, xt) terme regularisant. Il nous faut maintenantpreciser l’expression de chacun de ces termes au site s et a l’iteration k.

Energie a priori utilisee Le potentiel de clique V (xks , x

kt ) a l’iteration k

s’ecrit :

V (xks , x

kt ) =

∑t∈Ns

βtϕ(xks , x

kt ) (6.11)

avec

ϕ(xks , x

kt ) =

−1 si xk

s = xkt

1 si xks 6= xk

t

(6.12)

ou t ∈ Ns designe une clique du voisinage Ns du site s et xks ∈ ζos, ζfond

est la valeur du site s pour l’iteration k. Dans la suite du document, onutilisera aussi le terme βi, βj, . . . correspondant aux cliques respectivementhorizontales, verticales etc...La variation d’energie ∆Jk

prior(xks , x

kt ) associee lors du changement de label

au site s va s’ecrire :

∆Jkprior(x

ks , x

kt ) = V (xk

s , xkt )− V (xk

s , xkt )

= Jkprior(x

ks |Ns) + Jk

prior(xks |Ns) (6.13)

avec xks = δ(xk

s − ζos)ζfond + δ(xks − ζfond)ζos

130


Calcul du terme d’attache aux donnees au site s Il va s’agir deminimiser l’equation (4.14). Pour cela, on va calculer pour chaque voxel set chaque rayon de projection d’angle θ passant par ce voxel, l’adresse (p,q)de la projection sur le detecteur. Le calcul de l’adresse est precise a la section6.2.1.2. Il va s’agir de calculer la variation d’energie prenant en compte l’ecartentre les projections de l’objet reconstruit et le sinogramme des donneeslorsque la valeur du voxel s passe de xk

s a xks . L’energie passe du niveau J be,k

data

au niveau Jaf,kdata .

∆Jkdata(x

ks) = Jaf,k

data(xks)− J be,k

data(xks)

avec

J be,kdata =

1

NΘ

∑θ∈Θ

(ycalc,kθs − yref

θs )2

et

Jaf,kdata =

1

NΘ

∑θ∈Θ

[ycalc,kθs − yref

θs +

+hθs

[δ(xk

s − ζfond)− δ(xks − ζos)

](ζos − ζfond)]

2 (6.14)

La formule 6.14 est commentee dans l’annexe. hθs[δ(xks − ζfond) − δ(xk

s −ζos)(ζos−ζfond)] correspond a la contribution du site s a la projection lorsquel’attenuation passe de ζos a ζvide a l’iteration k et vice-versa. hθs correspond ala surface du voxel s traverse par le rayon passant par s et d’angle de projec-tion θ (voir paragraphe 4.3.2). ycalc,k

θs et yrefθs sont respectivement les valeurs

des rayons de projection d’angle θ passant par le point s de l’objet dans lerepere (O,~i,~j,~k) pour les projections de l’objet reconstruit et respectivementles projections de reference, a l’iteration k. Nous avons utilise l’algorithmecaracterise par l’equation (4.31). La ponderation entre le terme a priori etd’attache aux donnees est donnee par les parametres β. Le pseudo-code del’algorithme est alors :

131


Pour chaque iteration k, pour chaque voxel s ,

1. pour chaque rayon d’angle de projection θ,

(a) calcul de l’adresse de projection,

(b) determination des valeurs de projection ycalc,kθs

et yrefθs d’angle θ et passant par le site s sur les

donnees et les projections de l’objet recons-truit.

2. calcul de ∆Jkdata et ∆Jk

prior

3. (a) si ∆Jkdata + ∆Jk

prior < 0, xk+1s = xk

s , xks sinon,

(b) projection de la contribution de ce voxelsur le sinogramme : ycalc,k+1

θs = ycalc,kθs +

hθs ([δ(xs − ζfond)− δ(xs − ζos)] (ζos − ζfond))

6.2.4 Criteres de qualite de la reconstruction

Deux categories de criteres peuvent etre distinguees : les criteres d’ecartentre images classiquement utilises pour evaluer les de reconstruction qui vonttraduire l’ecart entre la reconstruction courante et la reconstruction ideale etles parametres d’architecture qui correspondent a des criteres de forme desregions reconstruites.

Les criteres d’ecart entre images Afin de comparer la qualite de lareconstruction de chaque methode proposee, nous avons utilise deux criteres :

l’ecart quadratique moyen (EQMp) calcule entre les projections de l’ob-jet reconstruit et les projections initiales (donnees),

l’ecart quadratique moyen (EQMo) calcule entre l’objet reconstruit etl’objet de reference reconstruit avec un FBP de 900 projections .

Ces criteres permettent la prise en compte d’informations locales mais passur la forme des regions qui ne sont pas connues a priori. Ils sont calcules achaque iteration. On considerera que les algorithmes ART et ICM ainsi queleurs extensions presentees dans les prochaines sections ont converge lorsqueces parametres de qualite restent constants ou oscillent autour d’une valeurmoyenne. Ainsi, lorsque l’algorithme de reconstruction a converge, l’EQMoreste constant.

EQMp L’EQMp est l’ecart quadratique moyen entre les projections dereference yref

θpq et mesuree ycalcθpq pour chaque position θ de l’echantillon et

les pixel de coordonnee(p,q) du detecteur decrites au paragraphe 6.2.1.1.

132

6.3. Donnees de reference

L’EQMp est donne par :

EQMp =1

NΘ NP NQ

NΘ−1∑θ=0

NQ−1∑q=0

NP−1∑p=0

100 (yrefθpq

− ycalcθpq

)2

(6.15)

EQMo De meme, l’EQMo est l’ecart quadratique moyen entre l’objet dereference Xref et l’objet reconstruit Xrecons :

EQMo =1

V )(∆ζ)2

∑s∈S

100 (xrefs − xcalc

s )2

(6.16)

avec ∆ζ = (ζfond − ζos). ∆ζ = 1 si xs ∈ 0, 1 et ∆ζ = µos − µfond si xs ∈µos, µfond. V est le volume de l’objet reconstruit en 3D ou l’aire de l’objetreconstruit en 2D. En 2D, on va utiliser un support, V sera l’aire du support.Nous utilisons aussi les criteres suivant :

PVM, le pourcentage de voxels manquant, PVA, le pourcentage de voxels ajoutes,

afin de preciser la part de voxels rajoutes et la part de voxels supprimes lorsde la reconstruction avec un nombre limite de projections.

Les parametres d’architectureNous evaluerons egalement les parametres suivants :

1. le BV/TV

2. le TbTh en 3D et le Tb.Th* en 2D

3. le TbSp

Le lecteur pourra relire la section 2.3 du chapitre 2 pour la definition et laformulation des ces parametres. Rappelons cependant qu’ils designent suc-cessivement la proportion du tissu osseux, l’epaisseur des travees et l’espaceentre les travees.

6.3 Donnees de reference

6.3.1 Origine et description

6.3.1.1 Acquisition des echantillons a l’ESRF

Nous avons realise une campagne d’ acquisition de 20 echantillons d’archi-tecture osseuse dans le cadre du projet MODATOS a l’ESRF. Les conditions

133


experimentales permettant d’obtenir les projections ont ete precisees au pa-ragraphe 2.2.3. Les donnees disponibles sont :

1. les sinogrammes,

2. les reconstructions avec 900 projections obtenues par un algorithmeFBP a partir de ces sinogrammes,

3. des mesures des parametres d’architecture osseuse presentees au para-graphe 2.3.1.1 calcules a partir des reconstructions en 3D.

6.3.1.2 Pretraitements et sinogrammes resultants

Reprenons la loi de Beer-Lambert de l’equation 4.1. Pour un flux mo-noenergitique, l’intensite du rayon incident I0 est reliee au rayon attenue Ipar :

I(p, q) = I0 exp(−∫

D

µ(x,y, z)dv′) (6.17)

Remarque : dans le cas d’une geometrie parallele, et en supposant que lesvoxels sont carres, on pourra approximer dl par le pas d’echantillonnage pex.Dans un cas purement cone-beam, un rayon de projection ne va pas traver-ser perpendiculairement chaque voxel de l’objet. dl peut alors facilement sededuire de l’equation 6.3.

Une image est alors generee en l’absence de l’objet a tomographier ce quipermet d’obtenir une carte des intensite incidentes I0. Ensuite, on va acquerir900 projections de l’architecture osseuse ce qui va nous fournir la carte desintensites emergentes I. On va alors calculer ln(I0/I) ce qui va constituer lesinogramme.

6.3.1.3 Mesure des parametres d’architecture

6.3.1.4 Choix d’echantillons pour l’etude

Echantillons 3DAfin d’etre representatif de la diversite spatiale des echantillons, nous avons

selectionne 3 echantillons de calcaneum avec des BV/TV differents. Le pre-mier a un BV/TV plus faible que la moyenne, un autre proche de la moyenne,et le dernier un BVTV plus eleve que la moyenne. La moyenne des BV/TV del’ensemble des echantillons mesures lors du projet MODATOS est de 10.6%.Ces choix laissent ainsi envisager des configurations d’architecture spatialesdifferentes. Ces echantillons ont d’abord ete reconstruits avec un algorithmeFBP avec 900 projections puis on a evalue les parametres d’architecture.Le tableau suivant donne les valeurs des parametres d’architecture osseusereconstruits (voir paragraphe 2.3) pour ces 3 echantillons en 3D :

134


Nom echantillon BVTV (en %) Tb.Th∗ (en µm) Tb.Sp (en µm)

mo3btc 6.4 102.3 947.9moca7atc 10.2 136.2 938.8moca2btc 15.5 146.2 852.0

Tab. 6.2 – Tableau de parametres d’architecture osseuse pour les echantillons 3Dreconstruits utilises dans cette etude

Echantillons 2DNous avons travaille sur des coupes d’echantillons afin d’evaluer notre ap-

proche . Pour cela, nous avons selectionne une coupe de chaque echantillon3D situee vers le centre de l’echantillon afin d’eviter les effets de bord. Cescoupes sont presentees dans la figure 6.6. Nous avons ensuite procede aucalcul des parametres de l’architecture osseuse (epaisseur des travees, ecartentre les travees, % d’os) limites a cette coupe. Les methodes de calcul de cesparametres ont ete expliquees dans la partie 2.3. Pour evaluer l’ecart entre lesplaques, on a repris la methode d’estimation du Tb.Sp. Cette methode est ba-see sur l’utilisation du MILL (Mean Intercept Length) en 2D. Afin d’evaluerl’epaisseur des travees de l’architecture osseuse, on a calcule le Tb.Th?. Cettemethode decrite au paragraphe 2.3 utilise de boules dont le rayon corresponda la largeur locale de chaque travee. Nous avons selectionne une coupe danschaque echantillon 3D.

(a) Coupe de mo3btc (b) Coupe de moca7tc (c) Coupe de moca2bc(788*788 pixels) (679*679 pixels) (800*800 pixels)

Fig. 6.6 – Coupe des echantillons utilises dans cette etude

Les parametres d’architecture calcules sont donnes dans le tableau 6.3.Par ailleurs, il faut souligner que les methodes d’estimation des parametresutilisees ont ete validees uniquement sur des reconstructions avec 900 pro-jections. En particulier, l’absence de certains voxels ou la presence de voxelsinopines dans l’objet reconstruit n’a pas fait l’objet d’etude dans la littera-ture. L’interpretation des valeurs resultantes va donc etre necessaire.

135


Nom echantillon BvTv (en %) Tb.Th? (en µm) Tb.Sp (en µm)

mo3btc z=485 7.8 154.25 1041.4moca7atc z=127 9.3 196.70 1192.6moca2btc z=389 16.06 203.78 671.4

Tab. 6.3 – Tableau des parametres d’architecture osseuse pour les echantillons 2Dreconstruits, utilises dans cette etude

6.3.2 Binarisation et generation de sinogrammes d’osbinarises

6.3.2.1 Estimation de l’attenuation moyenne de l’os

Une hypothese forte consiste a supposer que l’architecture osseuse est bi-naire. Afin de valider l’hypothese de binarite, nous avons reconstruit avecun algorithme FBP avec 900 projections chacun des 3 echantillons presen-tes au paragraphe 6.3.1.4. Puis, nous avons estime la valeur de l’attenuationmoyenne de l’architecture osseuse et du fond a l’aide d’un histogramme donnepar la figure 6.7. Cette methode simple est justifiee car la reconstruction ana-lytique dans ces conditions, avec 900 projections, assure que la reconstructionest proche de la realite. On aura donc une estimation fidele de l’attenuationdes structures osseuses. L’histogramme donne par la figure 6.7 permet d ’es-timer le coefficient d’attenuation de l’architecture osseuse a 2.35 cm−1 et lefond a 0.234 cm−1. Pour determiner ces valeurs, on a place un seuil en 1.28cm−1 soit a mi-distance entre les centres des pics.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

-0,3

-0,1

0,1

3

0,3

2

0,5

1

0,7

1

0,9

1,0

9

1,2

8

1,4

8

1,6

7

1,8

6

2,0

5

2,2

5

2,4

4

2,6

3

2,8

2

3,0

1

Atténuation en cm-1

No

mb

re d

e p

ixe

ls

2.350.2345 µ osµ fond = =

Fig. 6.7 – Histogramme de l’attenuation de l’architecture osseuse (coupe de moca2b)

136


6.3.2.2 Synthese de projections d’un objet binarise

Cette hypothese de binarite est une hypothese tres forte qui va guider lechoix de la methode de reconstruction utilisee dans la suite de ce chapitre.Par la suite, nous utiliserons une carte d’etiquettes et non les valeurs phy-siques de l’attenuation. Nous avons evalue l’erreur moyenne commise entreles projections de l’os binaire et de l’os non binaire (echantillon moca2b pour900 projections) avec les valeurs d’attenuation moyenne precedentes. Nousavons estime cette erreur a 1 %. La figure 6.8 montre une comparaison desprofils de la projection d’angle 60 ° de la coupe de moca2btc obtenue d’unepart par projection de la coupe binarisee et d’autre part a partir de la coupenon binarisee. On constate que les 2 courbes sont tres proches. L’hypothesede binarite semble donc tout a fait realiste. Toutes les reconstructions pre-

Fig. 6.8 – Projection 60 du sinogramme de moca2b avec et sans binarisation

sentees dans la suite de ce document se feront a partir de sinogramme d’unobjet binaire sauf mention contraire.Afin de valider la robustesse des methodes de reconstruction proposees dansles sections suivantes, on va rajouter un bruit dans les projections.

6.3.3 Donnees bruitees

Afin de se placer dans un cadre plus realiste, l’influence du bruit dansles projections doit etre consideree. Ce dernier depend en partie du sys-teme d’acquisition et de l’intensite de la source. Une etude a ete realiseepar exemple par Jean-Pierre Bruandet [BRU01] dans ses travaux de these.Plusieurs sources de bruit ont ete identifiees. Le lecteur pourra se reportera ce document pour plus de details. Nous allons modelisons le bruit parun bruit Poissonnien, approxime par un bruit Gaussien additif de moyennenulle d’ecart-type σbruit. Cette hypothese est acceptable car le nombre de

137


photons incidents est pris suffisamment grand. Nous allons supposer en outreque le flux de photons incident est spatialement uniforme et non bruite. No-tons alors N0

photons, la carte des photons incidents et Nphotons la carte desphotons emergents. Placons-nous dans le cas d’un rayonnement mono ener-getique. Soit Nbruit

photons la carte des photons tenant compte du bruit et εN leterme de bruit Poissonnien alors :

Nbruitphotons = Nphotons + εNphotons

(6.18)

Soit P, le sinogramme non bruite et Pbruit le sinogramme bruite. On a alors :

Pbruit = Ln

(N0

photons

Nphotons + εNphotons

)≈ Ln

(N0

photons

Nphotons

)+ Ln

(1

1 + εNphotons/Nphotons

)(6.19)

D’apres la loi de Beer-Lambert,

Nphotons = N0photons exp(−P) (6.20)

avec P =∫µ(x, y, z)dl. L’equation (6.19) peut alors se recrire a l’aide d’un

developpement limite :

Pbruit = Ln

(N0

photons

Nphotons + εNphotons

)≈ P +

εNphotons

N0photons exp(−P)

(6.21)

Le terme de gauche de l’equation (6.21) correspond au sinogramme non bruitetandis que le terme le plus a droite est le bruit sur le sinogramme. Ce dernierterme est forme du bruit photonique pondere par N0

photons exp(−P). Parconsequent, il va falloir rajouter sur le sinogramme un bruit Gaussien demoyenne nulle et de variance boldsymbolσbruit :

σbruit(P) =σεNphotons

Nphotons

=

√Nphotons

Nphotons

=1√

Nphotons

(6.22)

Afin de caracteriser les reconstructions, definissons le Rapport Signal surBruit (SNR) comme le rapport des energies entre le signal et le bruit :

SNR =Esignal

Ebruit

=< Nphotons

2 >

< ε2Nphotons>

(6.23)

138


y = 0,0189x + 0,1351R2 = 0,9996

0

100

200

300

400

500

600

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000Densité de photons incidents

SN

R

Fig. 6.9 – Variation du SNR en fonction du nombre de photons incidents pour 18projections

ou ”<>” designe la valeur moyenne. La figure 6.9 represente la variation duSNR en fonction du nombre de photons incidents.

Nous avons aussi trace le profil pour la projection 60 pour un SNR=25et un SNR=100 (figure 6.10).

Remarque :Bien que sommaires, ces projections bruitees vont permettre de tester la

performance des algorithmes de reconstruction dans un cadre bruite. Afind’etre plus realiste, il conviendrait de tenir compte de l’ensemble de la chaınetomographique (bruit electronique, non homogeneite de la source etc...). Cesparametres varient d’un banc a l’autre et dependent des solutions technolo-giques employees. Ces considerations sortent bien evidemment du cadre decette these mais constituent une perspective d’etude a venir.

139


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 200 400 600 800 1000Distance (pixels)

Attt

énua

tion

en c

m-1

(a) Sans bruit

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 200 400 600 800 1000Distance (pixels)

Attt

énua

tion

en c

m-1

(b) SNR=25

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 200 400 600 800 1000

Distance (pixels)

Attt

énua

tion

en c

m-1

(c) SNR=100

Fig. 6.10 – Profils de la projection d’angle 60 pour differents SNR

140

6.4. Reconstruction sans a priori

Voxels bien classés Voxels rajoutésVoxels supprimés Voxels bien classés Voxels rajoutésVoxels supprimés

BVTV Tb.Th? Tb.Sp(en %) (en µm) (en µm)

Estimes 10.16 189.19 834.2References 16.06 203.78 671.4



(a) SART classique lambda=1.0 (b) SART methode de Li lambda=1.0et un support de rayon R=400 pixels et un support de rayon R=400 pixels

EQMo=7.92 % EQMo=8.34%

Fig. 6.11 – Reconstruction SART binarisee de la coupe de moca2b

6.4 Reconstruction sans a priori

6.4.1 Approche par rayons : algorithme SART

6.4.1.1 Reconstruction avec un SART classique et un SART de Li

Nous avons reconstruit l’architecture osseuse avec l’algorithme SART de-crit au paragraphe 4.3.3.2 avec λ = 1 et 10 iterations. La figure 6.11 presenteun resultat de reconstruction pour 18 projections avec un SART classiqueet un SART selon la methode de Li qui est adaptee pour un nombre limitede projections. Les reconstructions ont ete binarisees avec les memes seuilsque precedemment afin de pouvoir les comparer avec les methodes proposeesdans les sections suivantes.

Interpretation des formes reconstruites Comparons les reconstruc-tions obtenues et la reference donnee par la figure 6.6 a. Les reconstructions de

141


l’echantillon moca2btc avec un SART classique et un SART avec la methodede Li permettent de retrouver globalement les formes de l’architecture recons-truite. Cependant de nombreuses regions qui n’etaient pas presentes dansl’architecture osseuse apparaissent. D’autres regions presentent un contourtres nettement deforme. Ces remarques sont tout autant valables pour lamethode SART classique que pour la methode SART de Li. La methode deLi donne des resultats qui semblent surprenant. En principe, la norme nonentiere(L1.1) utilisee permet de reduire l’ecart entre la solution reelle et lasolution estimee. Cependant, cette methode a ete validee dans un contexteou les structures ne sont pas discontinues et donc l’ecart entre les niveaux degris n’est pas eleve. Nous ne sommes pas dans ces conditions. Par ailleurs, Lia implante un ART et non un SART. Ceci peut expliquer le resultat obtenu.

Remarques sur les parametres d’architecture L’estimation desparametres d’architecture presentee a la section 6.2.4 donne le bon ordrede grandeur tout en restant tres approximative en comparaison avec les va-leurs de reference du tableau 6.3. Au niveau des parametres d’architecture,les resultats pour la methode de Li ne sont pas meilleurs (tableaux 6.11 a etb).

6.4.1.2 Limites de l’approche par rayons

L’approche par rayons permet de retrouver grossierement les structuresde l’architecture osseuse ainsi qu’une estimation peu precise des parametresd’architecture. Cependant, elle ne prend pas en compte dans le processusde reconstruction l’hypothese de binarite a la difference de l’approche ”parvoxel” que nous allons aborder. Remarquons que la reconstruction par rayonpeut etre utilisee comme solution initiale de l’approche par voxels. On vaalors binariser la solution donnee par le SART. Ce point fait l’objet de lasection suivante.

6.4.2 Reconstruction par voxels : algorithme ICM

6.4.3 Introduction

Dans cette section, nous allons etudier en premier l’apport des methodesde reconstruction par voxels sur la reconstruction de l’architecture osseuseen 2D. La forme, l’influence du sens de parcourt, la taille et la forme desvoisinages utilises, les parametres intraseques vont etre scrutes. Puis, nousintroduirons un nouvel algorithme de reconstruction base sur un rajout d’unfiltrage iteratif afin de supprimer les regions qui ne sont pas de l’os tout

142


en preservant la continuite des regions appartenant a l’architecture osseuse.Enfin, nous allons etendre l’etude au cas de projections bruitees par un bruitPoissonnien et au 3D.

6.4.4 Influence de l’initialisation

Le choix de l’initialisation de l’ICM est important. Une mauvaise initiali-sation risque de faire converger l’algorithme vers un minimum local eloigne dela solution optimale et aussi influence le temps de calcul de la reconstruction.Nous avons donc teste plusieurs initialisations :

initialisation µ constant, initialisation bruit binaire (µfond, µos), SART classique, SART selon la methode de Li,

La figure 6.12 presente differentes reconstructionsOn constate que l’initialisation par SART classique ou par la methode de

Li donne des amas de regions et on ne retrouve pas les formes de l’architectureosseuse. Une initialisation avec un bruit binaire de valeur 0 et 1 est encoreplus mauvaise puisqu’on ne retrouve meme pas une esquisse de l’architectureosseuse. La solution avec une initialisation uniforme est la moins mauvaise :on retrouve du bruit du au faible nombre de projections mais surtout ondistingue de facon les grandes regions de l’os a reconstruire. Ceci est conformeaux valeurs de l’EQMo. Toutes les reconstructions presentees dans la suitede ce document seront realisees avec une initialisation constante nulle.

143


(a) Initialisation µ = 0.0 (b) Initialisation bruit binaireEQMo = 12.51% EQMo = 52.98%

(c) Initialisation SART classique (d) Initialisation SART methode LiEQMo = 22.94% EQMo = 19.61%

Fig. 6.12 – Reconstruction sans a priori avec ICM et support 400 pixels avec diffe-rentes initialisations pour 18 projections d’une coupe de moca2btc binarisee pour 80iterations sans a priori d’Ising

6.4.5 Choix du nombre de projections

Le probleme du choix du nombre de projections est crucial. Il faut en effetrealiser un compromis entre une bonne reconstruction ie EQMo le plus faiblepossible et la dose la plus reduite possible. En effet, la dose augmente avecle nombre de projections mais la resolution diminue. La figure 6.13 presentedes reconstruction ICM sans a priori pour differents nombres de projectionsavec une ilnialisation aleatoire. Trois categories peuvent etre distinguees a lalumiere de l’EQMo (figure 6.4.5) et des reconstructions.

1. Jusqu’a 16 projections (images 6.13 a-f), les reconstructions sont tresbruitees et on ne distingue pas les formes de l’architecture osseuse.

2. Entre 18 et 30 projections (image 6.13 f-k), les formes de l’architecture

144


(a) 900 projections FBP (b) 9 projections (c) 10 projections

(d) 12 projections (e) 14 projections (f) 16 projections

(g) 18 projections (h) 20 projections (i) 24 projections

(j) 26 projections (k) 28 projections (l) 45 projections

Fig. 6.13 – Reconstruction ICM sans a priori avec support R = 400 en fonction dunombre de projections

145


Fig. 6.14 – EQMo en fonction du nombre de projection par reconstruction ICM sansa priori avec support centre rayon R=400 pixel

osseuse peuvent etre identifiees mais elles sont noyees dans un bruitde type (( poivre et sel )) . Un filtrage simple avec un filtre median parexemple va creer des deformations ou la suppression de regions quiappartiennent a l’architecture osseuse.

3. Pour un nombre superieur de projections, la reconstruction permet deretrouver l’integralite de l’architecture osseuse. Un simple filtrage me-dian permet de supprimer le bruit parasite. Dans un cas ou les pro-jections sont ideales, sans bruit, il n’est pas necessaire d’ajouter un apriori. La figure 6.13 (l) montre une reconstruction ICM sans a prioriet avec support de rayon 400 pixels avec 45 projections. Un filtrage me-dian a ete realise a la fin du processus de reconstruction, sur la dernierereconstruction.

Nous allons donc choisir 18 projections pour tester les methodes de re-constructions proposees. Dans les sections suivantes nous allons tenter detrouver une reponse aux cas 1 et 2 avec et sans projections bruitees.

6.4.5.1 Calcul des parametres d’architecture

Les parametres d’architecture ont ete calcules sur des reconstructions sansfiltrage avec un support de 400 pixels centre et sans a priori avec l’ algorithmeICM decrit a la section 6.2.3. Ces parametres sont donnes par les courbes dela figure 6.4.5.1. On remarque qu a partir de 18 projections, l’ecart entre lesplaques, donne par le Tb.Sp? et l’epaisseur des plaques, donnee par le Tb.Th,se stabilisent. Ceci justifie encore le choix de 18 projections.

146

6.5. Reconstruction avec filtrage spatial

16,0

0

16,0

116

,00

16,0

216

,03

16,0

316

,04

16,0

416

,04

16,0

416

,04

16,0

416

,03

16,0

3

16,0

3

16,0

1

16,0

2

16,0

1

16,0

1

16,0

1

16,0

1

16,0

1

16,0

2

16,0

1

15,8

15,88

15,96

16,04

16,12

16,2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Nombre de projections

BvT

v en

%

501.

36

549.

3256

0.3

569.

7658

1.34

596.

3659

4.42

596.

0259

8.12

599.

6460

1.94

603.

6460

4.7

606.

12

612,

00

612.

86

616.

02

616.

94

620.

16

621.

22

623.

64

631.

00

637.

68

641.

74

400

440

480

320

360

600

640

680


Tb.S

p* e

n µm

65,3

8

57,3

379

,78

79,3

571

,80

96,8

110

1,52

105,

2610

7,30

108,

3610

9,75

108,

9311

1,17

115,

99

116,

20

118,

27

120,

89

126,

07

130,

88

132,

29

137,

63

141,

29

143,

74

145,

61

0

20

40

60

80

100

120

140

160


Tb.T

h en

µm

Fig. 6.15 – Parametres d’architecture pour moca2btc binarisee puis reprojetee enfonction du nombre de projections-80 iterations- sans bruit

6.5 Reconstruction avec filtrage spatial

6.5.1 Choix et interet d’un apport d’heuristiques dansla reconstruction de l’os

Dans la partie precedente, nous avons observe qu’une reconstruction avecun algorithme ICM sans a priori permet de retrouver les formes de l’archi-tecture osseuse mais noyees dans du bruit. Afin de supprimer ce bruit, nousproposons de rajouter une premiere etape de filtrage combinee au proces-sus de reconstruction. Le but de cette etape est de supprimer les voxels ou

147


Reconstruction ICM classique

Minimisation de ||Y-HX||²

(Attache aux données sans a priori )

Uniforme ( = 0.0)Support centré rayon R = 400 pixels

Initialisation: Données: sinogramme18 projections de la coupemoca2btc binarisée puis

reprojectée

Géométrie:

Parallèle

Filtrage itératif non linéaire de l'os reconstruit

Remarques :

1- Le but de cette étape est de supprimerle bruit de type « poivre et sel. »

2-Les éléments caractéristique variables sont : ü le type de filtre,ü la taille du voisinage,ü la forme du voisinage,ü le nombre d'itérations.

Pro

cess

us it

érat

if ju

squ'

à co

nver

genc

e ( E

QM

ent

re

les

proj

ectio

ns e

t le

s do

nnée

s)

Reprojection de l'os filtré

Calcul des paramètres d'architecture % d'os dans la région d'intérêtEpaisseur des travéesEcart entre les travées

µ

Fig. 6.16 – Schema de l’algorithme avec filtrage au cours des iterations

les groupes de quelques voxels isoles presents dans l’architecture osseuse oudans le fond qui peuvent alors etre assimiles a du bruit ”poivre et sel”. Ilne s’agit pas de modeliser explicitement les regions composant l’architectureosseuse mais le bruit de reconstruction qui est genere a chaque iteration acause du nombre insuffisant de projections afin de le supprimer. Dans un pre-mier temps, on ne fait donc pas d’hypotheses sur la forme, l’orientation oula repartition des regions d’os. Nous considererons la prise en compte d’unmodele a priori dans la partie 6.6. Le principe de la methode est resumepar le schema 6.16. Les reconstructions vont etre realisees avec une coupede l’echantillon moca2btc binarisee puis projetee. On appliquera la meilleureconfiguration obtenue avec la coupe de moca2btc pour les autres echantillons.Par ailleurs, nous utiliserons egalement un support circulaire de rayon R=400 pixels et uniquement 18 projections reparties regulierement sur un demi-disque. Nous avons etudie la qualite de la reconstruction en fonction de la

148


taille du voisinage, la frequence du filtrage au cours du processus de recons-truction et le type de filtrage median ou morphologique. Nous avons utiliseplusieurs elements de voisinage de differentes tailles et differentes formes. Ilssont presentes dans la figure 6.17.

(a) Voisinage carre 3x3 (b) Voisinage en croix (c) Voisinage en (( x ))

(d) Voisinage carre 5x5 (e) Voisinage horizontal (f) Voisinage vertical

Fig. 6.17 – Voisinages utilises

6.5.2 Reconstruction avec un ICM morphologique (MP-ICM)

Nous considerons dans cette partie un ICM incluant un filtrage morpho-logique. La taille et la forme du voisinage sont egalement etudies.Le filtrage morphologique est constitue de deux operations successives :

une ouverture afin de limiter le bruit de reconstruction une fermeture afin de tenter de combler les trous dans les regions ho-

mogenes.

6.5.2.1 Determination de la frequence de filtrage

Nous nous sommes d’abord interesse a la frequence d’application du fil-trage c’est-a-dire au nombre d’iterations necessaires entre 2 filtrages. Pourcela, on a reconstruit sans modele a priori l’echantillon moca2btc en le fil-trant toutes les iterations, toutes les 6 iterations, toutes les 8 iterations puisuniquement lors de la 6eme iteration lorsque le processus commence a conver-ger. Le voisinage utilise est un voisinage carre 3x3. L’evolution de l’EQMoest donnee par les graphiques de la figure 6.18.

Les resultats des figures (a-e) montrent qu’un filtrage toutes les iterationspermet une convergence plus rapide. Les figures (b-e) montrent l’EQMo os-

149


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Fig. 6.18 – Variation de l’EQMo a convergence (80 iterations) en fonction de lafrequence de filtrage pour un filtre morphologique et un voisinage carre 3x3

150


Voxels bien classés Voxels rajoutésVoxels supprimés



PVM PVA EQMoen % en % en %3.21 3.42 6.38

Fig. 6.19 – Coupe de moca2btc reconstruite avec filtrage toutes les iterations etvoisinages en croix (80 iterations)

cille. Il s’agit d’etats transitoires dus au fait qu’entre chaque etape de filtrage,l’etape de reconstruction va permettre de rajouter des voxels classes commeappartenant a une region d’os la ou le filtrage les avaient supprime. La com-paraison des les figures (a) et (f) montre que le filtrage permet d’obtenir unEQMo plus faible passant de 12.5% a 9.41% de voxels mal classes. La qualitede la reconstruction au sens de l’EQMo est donc amelioree en rajoutant unfiltrage morphologique.

6.5.2.2 Determination de la forme du voisinage le plus adapte

Afin de determiner la forme et la taille du voisinage la plus adaptee, nousavons realise une reconstruction avec differents voisinages. Les resultats sontpresentes dans la figure 6.20. D’apres le graphique de la figure 6.20, le voisi-nage le plus adapte est le voisinage aux 4 plus proches voisins. Les voisinagesde taille superieure (par exemple carre 5*5 pixels de cote) n’ameliorent pasla reconstruction au sens de l’EQMo.

151


6,38

9,4

6,7

9,68 9,58

13,77

02468

10121416

carré

5x5

en cr

oix

carré

3x3

en x

horiz

ontal

vertic

al

Type de voisinage

EQ

MO

en

%

Fig. 6.20 – Evolution de l’EQMo pour differents types de voisinages (filtrage mor-phologique)

6.5.2.3 Convergence de l’algorithme

Dans ce paragraphe nous etudions la convergence de l’algorithme pro-pose. La courbe de la figure 6.18 montre que numeriquement l’algorithmesemble converger : l’EQMo decroıt puis atteint un minimum. Cependant, Iln’existe pas de preuve theorique de la convergence de ce nouvel algorithme dereconstruction principalement en raison de la non linearite du filtrage mor-phologique. Il s’agit la d’un probleme tres ardu qui depasse les objectifs decette these.

6.5.2.4 Discussion sur l’apport du filtrage morphologique en re-construction

La figure 6.19 presente la coupe reconstruite avec les meilleurs resultats :filtrage toutes les iterations et voisinage en croix apres 80 iterations. On re-marque que le bruit de reconstruction a disparu ce qui ameliore la reconstruc-tion. Par contre, les bords sont deformes : on mesure 3.21% de voxels apparuset 3.42% de voxels ont disparu par rapport a la reconstruction avec 900 pro-jections et certaines regions sont coupees a la suite de l’action du filtragemorphologique. Les parametres d’architecture ont egalement ete estimes. Ilssont donnes dans le tableau de la figure 6.19. On peut constater d’apres letableaux 6.3 et 6.11 que les parametres d’architecture estimes sont meilleursqu’avec les algorithmes par approche rayon pour le Tb.Th? et Bv/Tv et tresproches pour le Tb.Sp.La reconstruction avec un filtrage morphologique a permis d’ameliorer sensi-

152


blement la qualite de la coupe reconstruite. Cependant, le filtrage morpholo-gique semble trop violent et a tendance a deformer les contours. Nous avonsteste un autre type de filtrage : le filtrage median qui est lui aussi bien adapteau cas binaire.

6.5.3 Reconstruction ICM avec un filtrage median (MD-ICM)

Nous utilisons la meme methodologie que pour le filtrage morphologique.

Choix du nombre d’iterations Comme pour le filtrage morphologique,nous presentons les resultats de l’EQMo pour differentes frequences de fil-trage, differents types de voisinages. Nous avons realise egalement 80 itera-tions. Les resultats sont donnes par la figure 6.21.

De meme que pour le filtrage morphologique, on constate d’apres les fi-gures 6.21 (a-e) qu’il faut appliquer le filtrage toutes les iterations passant de12.5% de voxels mal classes a 5.98 %. Notons que la convergence du processusest plus lente mais arrive a un meilleur resultat. Nous allons remedier a ceprobleme dans la suite du document. En comparant les figures 6.21 a et 6.18a, il apparaıt que le filtrage median donne de meilleurs resultats en termed’EQMo.

6.5.3.1 Choix de la forme et de la taille du voisinage

Nous avons etudie l’impact de la forme et de la taille du voisinage sur lareconstruction en utilisant les meme voisinages que dans la partie precedente.Le filtrage est realise toutes les iterations. Les resultats sont donnes dans lafigure 6.22. Le voisinage le plus adapte est le masque 3*3 aux 8 plus prochesvoisins, l’EQMo etant le plus faible. Un exemple de reconstruction est donnepar la figure 6.23.

6.5.3.2 Convergence de l’algorithme

De meme, on peut remarquer sur la courbe de la figure 6.21 que ce nouvelalgorithme semble converger numeriquement. La encore, nous n’avons pas depreuves theorique. Comme nous l’avons suggere au chapitre 5, la litteraturen’est pas tres riche sur les preuves de convergence. Ces problemes fortementnon-lineaires restent tres ardus. Comme pour le filtrage morphologique, laconvergence est plus lente que sans filtrage, cependant le nombre de voxelsmal classes donnes par l’EQMo est plus faible que pour un filtrage morpho-logique toutes les iterations.

153


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Fig. 6.21 – Variation de l’EQMo a convergence (80 iterations) en fonction de lafrequence de filtrage avec un filtrage median et un voisinage aux 8 plus proches voisins.

6.5.4 Conclusion sur l’ajout d’un processus de filtrage

Lorsque l’on diminue le nombre de projections pour la reconstructiond’un os binaire, il apparaıt un bruit de type ”poivre et sel”. L’ajout d’unfiltrage a chaque iteration permet de diminuer ce bruit et de fournir unenouvelle initialisation pour l’iteration suivante de l’ICM plus compatible avecl’os a reconstruire. Le filtrage median donne de meilleurs resultats car on vasupprimer un bruit qui est par hypothese de type ”poivre et sel” tandis que lefiltrage morphologique va supprimer les pixels isoles mais aussi deformer lescontours. Dans la section suivante, nous allons introduire l’a priori Markoviencar meme si le bruit a sensiblement diminue, certaines regions sont toujourscoupees et des contours deformes.

154


6,39 6,4 5,986,66

8,62 8,4

0123456789

10

carré

5x5

en cr

oix

carré

3x3

en x

horiz

ontal

vertic

al

Type de voisinage

EQM

o en

%

Fig. 6.22 – EQMo pour differents voisinages (filtrage median)





Fig. 6.23 – Coupe de moca2btc reconstruite avec filtrage toutes les iterations etvoisinage carre 3*3 (filtrage median seul)

155


6.6 Reconstruction Markovienne de l’archi-

tecture osseuse

6.6.1 Principe de la methode

Cette partie est consacree a l’introduction d’un a priori Markovien dansle processus de reconstruction. On va determiner la taille et la forme du voisi-nage les plus adequates d’abord sans filtrage iteratif puis avec filtrage iteratif.Ceci permettra d’etablir quel est la meilleure valeur pour les parametres β.Le principe de l’algorithme mis en œuvre est donne par le schema 6.6.1.

6.6.2 Influence du sens de parcours

Nous avons etudie l’influence du sens de parcours sur la reconstructionde la coupe de moca2btc. Les resultats en fonction du sens de parcours sontpresentes dans la figure 6.25. Nous avons utilise un modele d’Ising aux 8plus proches voisins (equation (5.1) avec βi = βj = 6.0,les autres coeffi-cients etant pris nuls) Le sens de visite de chacun des sites joue un role nonnegligeable dans la reconstruction des les premieres iterations. Un parcoursaleatoire (parcours a) favorise les sites isoles dans l’objet reconstruit. Un par-cours uniquement deterministe (parcours b) c’est-a-dire ou l’on visite chaquevoisin contigus va provoquer la formation de paquets de voxels. Dans ces cas,la reconstruction n’est pas optimale. Le parcours b deterministe va provo-quer la formation de regions compactes qui ne refletent pas la configurationde l’architecture osseuse. En effet, chaque site contigu est visite et commel’energie a priori est minimisee lorsque les sites ont des valeurs identiques,la configuration de regions compactes homogene est la plus adaptee. Pour leparcours purement aleatoire,de chaque site est visite de facon independantece qui va provoquer la formation de regions d’aspect non uniformes. Enfin,un melange entre les deux types de parcours (parcours c) semble un boncompromis. Dans les reconstructions suivantes, nous utiliserons le parcoursc. Ainsi 80 % des voxels sont balayes de facon aleatoire et puis un parcoursdeterministe est realise. On va favoriser un parcours aleatoire afin d’eviter deconverger trop rapidement vers un minimum local trop eloigne du minimumglobal.

6.6.3 Modele d’Ising

Comme precedemment, nous avons realise la reconstruction de la coupede moca2btc presentee au paragraphe 6.3.1. Pour cet echantillon, on va sup-poser qu’il n’y pas de directions privilegiees et que nous pouvons choisir une

156

6.6. Reconstruction Markovienne de l’architecture osseuse

Remarques : les paramètres variables à optimiser pour s'adapter à la complexité de l'architecture osseuse sont: ü la forme et la taille du voisinage,ü l'ajout de cliques proches et éloignées,ü la valeurs des termes de pondération,

Reconstruction ICM classique

A priori : IsingAttache aux

données

Attache aux

données+

Bou

cle

vox

els

Pro

cess

us it

érat

if ju

squ'

à co

nver

genc

e (é

cart

quad

ratiq

ue e

ntre

les

proj

ectio

ns e

t le

s do

nnée

s)

Reprojection de l'os filtré

Calcul des paramètres d'architecture % d'os dans la région d'intérêtEpaisseur des travéesEcart entre les travées

Uniforme (m= 0.0)Support centré rayon R = 400 pixels

Initialisation: Données: sinogramme18 projections de la coupe moca2btc binarisée puis

reprojectée

Géométrie:

Parallèle

Minimisation simultanée de 2 termes :

Filtrage itératif non linéaire de l'os reconstruit

Remarques :

1- Le but de cette étape est de supprimer le bruit de type « poivre et sel. »

2-Les éléments caractéristique variables sont : ü le type de filtre,ü la taille du voisinage,ü la forme du voisinage,ü le nombre ditérations.

Fig. 6.24 – Principe de l’algorithme mis en œuvre

157


Sens de balayage : Sens de balayage :

(a) 100 % aleatoire (b) Deterministe

(c) 80 % aleatoire puis deterministe

Fig. 6.25 – Influence du sens de parcours sur la reconstruction pour 3 iterations

158


configuration de voisinage isotrope (tous les β sont identiques dans chaque di-rection). Cela revient a supposer que les directions locales vont etre imposeesa travers le terme d’attache aux donnees. Trois types de voisinages ont etetestes : un voisinage 4-connexe, 8-connexe et 24-connexe avec successivement4, 8 et 24 voisins.

6.6.3.1 Voisinage 4 connexe

Ponderation de l’attache aux donnees et de l’a priori Avant d’inter-preter l’effet de l’a priori Markovien sur la reconstruction, il faut d’assurerque le terme d’attache aux donnees et d’a priori sont du meme ordre degrandeur. En effet, une disproportion entre les 2 termes n’aurait pas de sens.Rappelons que l’energie a priori peut s’ecrire pour une ponderation isotrope :

Eprior =1

NX NY NZ

∑s∈S

V (xs, xt) (6.24)

ou V (xs, xt) est defini a l’equation 6.11. L’energie d’attache aux donnees estdonnee par

Edata = NΘEQMp (6.25)

L’energie totale est alors donnee par :

Etotal = Eprior + Edata (6.26)

Les deux termes Edata, Eprior sont calcules sur l’objet reconstruit a conver-gence. La figure 6.26 presente les valeurs des energies a priori, d’attache auxdonnees et totales pour un voisinage 4-connexe et une ponderation β = 6.0.On constate que le poid des termes est du meme ordre de grandeur.

Etude de l’influence de β sur l’Ecart Quadratique Moyen surl’objet (EQMo) et sur l’Ecart Quadratique Moyen sur le projections(EQMp) La figure 6.27 montre l’evolution de l’EQMo pour une plage de βallant de 0 a 1000. On constante que l’EQMo passe par un minimum (10.81%) pour β = 6 puis augmente et redescend autour de β = 650 jusqu’a unplateau a partir de β = 750. La figure 6.28 permet de donner une explication.Lorsque β augmente, le bruit de reconstruction diminue sans etre totalementsupprime ce qui justifie la diminution de l’EQMo. Notons par ailleurs queles contours reconstruits restent tres chaotiques. Pour β plus eleve jusqu’aβ = 650, il se forme des paquets de voxels compacts (effet de ”paquettisation”)qui vont deformer de plus en plus la structure et couper des regions (zones en

159


-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 10 20 30 40 50ItérationsE

nerg

ie

Energie d'attache auxdonnéesEnergie à priori

Energie totale

Fig. 6.26 – Ponderation entre l’energie a priori et l’energie d’attache aux donneespour un voisinage 4-connexe et β = 6

rouge sur la figure 6.28). Pour β ≈ 650, il ne reste que des regions homogenes.C’est la configuration la plus mauvaise. Pour un β = 750, on n’a plus qu’uneimage uniforme de valeur xs = ζfond pour tous les sites s du support.

Nous avons egalement trace l’evolution de l’EQMp en fonction des pa-rametres β. Cette evolution est donnee par la figure 6.29. On constate quele minimum n’est pas le meme que pour l’EQMo. La raison en est simple.Le terme d’attache aux donnees est l’ecart quadratique entre les projectionsreelles et celles de l’objet reconstruit. Il est donc proportionnel a l’EQMp.Supposons que l’on commette une erreur sur un seul voxel. Tous les rayonsde projections qui passent par ce voxel vont alors etre modifies. Cependant,l’erreur resultante sur les projections va dependre de la position de ce voxelet de l’epaisseur de matiere traversee. Il n’y a donc pas de relations simplesentre le minimum de l’EQMo et le minimum de l’EQMp.

Convergence de l’algorithme L’EQMp traduit l’ecart entre les projec-tions de l’objet reconstruit et l’objet de reference. Lorsque l’EQMp devientstable, la fonctionnelle d’energie donnee a la section 6.2.3 converge vers unminimum local. La figure 6.30 montre l’evolution de l’EQMp pour β = 6.Nous pouvons constater que l’EQMp ne varie plus apres 31 iterations. L’al-gorithme a donc bien converge. Cette evolution a ete tracee pour une seulerealisation. On constate la meme evolution pour d’autres valeurs du para-metre β.

160


12,5

2

11,0

4 12,3

2

12,8

6

12,9

7

13,2

6

13,5

6

13,6

7

13,8

3

14,0

0

14,5

6 16,0

6 17,6

5 19,5

5

18,3

4

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

10

12

14

16

18

20

22

24

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Beta

EQ

Mo

en %

7

8

9

10

11

12

13

0 10 20 30 40 50 60Beta

EQ

Mo

en %

Min = 10.81Beta = 6

Fig. 6.27 – Evolution de l’EQMo pour differents coefficients de ponderation β et unvoisinage 4-connexe

6.6.3.2 Voisinage 8-connexe

Nous avons egalement etudie un voisinage constitue des 8 plus prochesvoisins. L’evolution de l’EQMo en fonction de β est presente dans la figure6.31. L’EQMo a le meme comportement mais le minimum est plus bas (9.23%au lieu de 10,81%). La encore des exemples de reconstruction permettent decomprendre cette courbe. Ils sont donnes par la figure 6.32. L’ajout d’unvoisinage 8-connexe permet de lisser les contours. En realite bien que pluslisses, les contours reconstruits sont aussi plus deformes (plus de contoursrajoutes et supprimes). Par ailleurs, l’effet de ”paquetisation” augmente etcertaines regions reconstruites sont plus nettement coupees.

6.6.3.3 Voisinage 24-connexe

On s’est ensuite interesse a un voisinage aux 24 plus proches voisins.La figure 6.33 montre l’evolution de l’EQMo en fonction de β. L’EQMo estencore meilleur qu’avec un voisinage 4 ou 8 voisins passant de 10,81% a

161









(a) β = 6 (b) β = 60

Fig. 6.28 – Reconstruction avec un voisinage 4-connexe, a convergence (<80 itera-tions)

9.23% puis a 7.74% pour un voisinage avec 24 voisins. La figure 6.34 montreune realisation de la reconstruction avec 24 voisins. Les bords sont davantagelissees ce qui explique l’amelioration de l’EQMo. Cependant, certaines regionsrestent coupees et on constante une tendance a l’agglomeration de pixels.Cette tendance explique la croissance rapide de l’EQMo avec le parametreβ. Quant a l’estimation des parametres d’architecture osseuse, on constateque ceux ci ne sont pas mieux estimes par rapport a 4 ou 8 voisins pour leTb.Th? passant de 127.7 pour 4 voisins a 176.06 pour 8 voisins et 200.46 pour24 voisins. Par contre, le Tb.Sp est mieux estime passant de 311.05 pour 4voisins a 318.57 pour 8 voisins et 322.24 µm pour 24 voisins. Le BV/TV estegalement bien estime.

6.6.3.4 Limitations du modele d’Ising aux plus proches voisins

162


0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40 50 60Beta

EQ

Mp

en %

Min = 0.25Beta = 2.0

Fig. 6.29 – Evolution de l’EQMp pour differents coefficients de ponderation β et unvoisinage 4-connexe

8,30

1,26

0,83

0,71

0,66

0,63 0,54

0,54

0,54

0,54

0,54

012

3456

789

0 10 20 30 40 50Itérations

EQ

Mp

en %

Fig. 6.30 – Evolution de l’EQMp en fonction du nombre d’iterations et un voisinage4-connexe,β = 6.0

163


12,5

4

10,5

5 11,9

2

12,4

6

13,2

5

13,7

7

16,8

0 18,6

8

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

10

12

14

16

18

20

22

24

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Beta

EQ

Mo

en %

7

8

9

10

11

12

13

0 10 20 30 40 50 60Beta

EQ

Mo

en %

Min = 9.83 Beta = 23

Fig. 6.31 – Evolution de l’EQMo en fonction de β pour un voisinage 8-connexe

L’ajout d’un modele d’Ising aux 4,8 ou 24 plus proches voisins ameliorela reconstruction en diminuant l’EQMo qui passe par un minimum puis aug-mente a cause de l’agglomeration de regions en paquets de voxels. L’estima-tion des parametres d’architecture sur la coupe 2D reconstruite donne uneapproximation de la valeur de ces parametres en 3D. Cependant, comme cer-taines regions sont coupees ou les bords deformes avec un a priori de typeIsing, leur valeur reste assez approximative.Nous avons alors couple le modele d’Ising avec un filtrage spatial afin de sup-primer le bruit de reconstruction tout en gardant une continuite. Il semblepossible de mieux maıtriser l’effet d’agglomeration. Nous allons explicite cepoint dans la section suivante.

164









(a) β=23 (b) β=60

Fig. 6.32 – Reconstruction avec un voisinage 8-connexe , 80 iterations

165


11,6

3

15,9

5

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

16,0

6

10

12

14

16

18

20

22

24

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Beta

EQ

Mo

en %

7

8

9

10

11

12

13

0 10 20 30 40 50 60Beta

EQ

Mo

en %

Min = 7.74Beta= 7

Fig. 6.33 – Evolution de l’EQMo en fonction de β pour un voisinage 24-connexe

166









(a) β=7 (b) β=60

Fig. 6.34 – Reconstruction avec un voisinage 24-connexe , 80 iterations

167


3

5

7

9

11

13

0 10 20 30 40 50 60Beta

EQ

Mo

en %

Min = 6.20Beta = 1

Fig. 6.35 – EQMo en fonction de β pour filtrage morphologique voisinage en croixet modele d’Ising aux 8 plus proches voisins

6.6.4 Modele d’Ising avec filtrage

6.6.4.1 Filtrage morphologique

Notre etude s’est ensuite portee sur l’apport du filtrage morphologiquedans le modele d’Ising. Nous avons choisi le modele d’Ising aux 8 plus prochesvoisins. La figure 6.35 presente l’evolution de l’EQMo en fonction du para-metre β. Nous avons realise pour chaque parametre β, 7 tirages et on arepresente la valeur moyenne, le minimum et le maximum de l’EQMo en%. On constate que la courbe passe par un minimum puis est strictementcroissante.

La figure 6.36 montre des reconstructions d’un echantillon d’architectureosseuse avec un filtrage morphologique et un modele d’Ising. Bien que le bruitde reconstruction soit supprime, il semble que ce type de filtrage soit tropviolent. En particulier, de nombreuses regions sont supprimees et les contoursdeformes. Cependant, on retrouve la forme globale de l’architecture osseuse.Le tableau 6.37 donne les EQMo dans les cas sans a priori, de l’ajout d’una priori d’ Ising seul aux 8 plus proches voisins, d’un filtrage morphologiqueseul et d’un filtrage morphologique couple a un a priori d’ Ising.

168









(a) β = 1 (b) β = 60

Fig. 6.36 – Exemples de reconstructions d’une coupe de moca2btc pour differentesvaleurs de β avec voisinage aux 8 plus proches voisins et un filtrage morphologiquetoutes les iterations avec un voisinage en croix

12,5

9,83 9,4

6,2

02468

101214

Sans a

prior

i

Ising

seul

Morpho

seul

Morpho

+ Ising

Type d'a priori

EQM

o en

%

Fig. 6.37 – Comparaison des EQMo pour des reconstruction avec et sans a priorimarkovien, avec et sans filtrage morphologique

169


3

5

7

9

11

13

0 10 20 30 40 50 60Beta

EQ

Mo

en %

Min = 4.32Beta = 1

4

4,4

4,8

5,2

5,6

6

6,4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1Beta

EQ

Mo

en % Min = 4.17

Beta = 0.8

Fig. 6.38 – EQMo en fonction de β pour filtrage median voisinage aux 8 plus prochesvoisins et modele d’Ising aux 8 plus proches voisins

6.6.4.2 Filtrage median

Nous avons remplace le filtre morphologique par le filtre median qui avaitdonne les meilleurs resultats au paragraphe 6.5.3 c’est-a-dire un masque 3x3et applique toutes les iterations. La figure 6.38 montre les variations del’EQMo en fonction de β. L’EQMo est minimal pour β = 0.8 et vaut 4.17%.Il est donc encore plus faible que precedement. La figure 6.39 est un exemplede reconstruction avec une cooperation a priori Markovien et filtrage me-dian. La qualite de la reconstruction est nettement amelioree. On retrouveles formes de l’architecture osseuse sans bruit de reconstruction. Par contre,certaines regions demeurent encore sectionnees. Il nous reste a adapter lataille du voisinage du modele d’Ising.

6.6.4.3 Optimisation

Il nous reste a determiner :

170








PVM PVA EQMo0.71 0.58 1.29

(a) Median avec Ising 8-connexe (b) Median avec Ising 48-connexe

Fig. 6.39 – Reconstruction ICM avec support de rayon 400 pixels, median voisinageaux 8 plus proches voisins, β = 0.8-80 iterations

1. la meilleure taille de voisinage du modele d’Ising

2. la valeur de ponderation β optimale.

Determination de la taille de voisinage optimal de l’a priori Mar-kovien La section 6.6.3.3 a montre que l’on obtient de meilleurs resultatsen augmentant la taille du voisinage. Nous avons garde la valeur du para-metre β ayant donne les meilleurs resultats soit β = 0.8. Nous avons prisun voisinage de 48 plus proches voisins. La taille du voisinage du modeled’Ising a ete determinee par estimation de la taille moyenne des coupuresentre regions. Les resultats sont presentes dans la figure 6.39.

Aux 48 plus proches voisins, la qualite de la reconstruction est nettementamelioree l’EQMo passant de 4.17% a 1.29% de voxels mal classes.

171


0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1Beta

EQ

Mo

en %

0.43

Fig. 6.40 – EQMo en fonction de β pour un filtrage median aux 8 plus proches voisinset un a priori d’Ising 48 connexe, 80 iterations

BV/TV Tb.Th? Tb.Sp(en %) (en µm) (en µm)


PVM PVA EQMo0.23 0.20 0.43

Tab. 6.4 – Parametres d’architecture pour le meilleur EQMO avec un filtrage medianaux 8 plus proches voisins et un a priori d’Ising aux 48 plus proches voisins.

Determination du β optimal Afin de determiner la valeur optimale duparametre β, nous avons comme precedemment realise une serie de recons-tructions pour β entre 0 et 0.9 avec 7 realisations par parametre β afin des’assurer de la representativite statistique. Les resultats sont donnes dans lafigure 6.40. Pour un β = 0.2, l’EQMo passe a 0.43% de voxels mal classessoit 0.20% de voxels rajoutes et 0.23% de voxels suprimes. Le tableau 6.6.4.3donne les valeurs des parametres d’architecture pour le meilleur cas (avecβ = 0.2).

On constate que les valeurs des parametres d’architecture sont proches desvaleurs de reference obtenues avec 900 projections. L’ecart est plus importantpour le Tb.Sp. En effet, il y a d’avantage de voxels supprimes ce qui va creerune estimation de l’ecart entre les travees qui va etre legerement surevaluee.

6.6.4.4 Cas des cliques proches et eloignees

Nous avons repris les memes conditions que les cliques proches et eloigneespour le modele d’Ising du paragraphe 5.2.1 avec βin = 1.0, βjn = 1.0, βijn =1.0, βjin = 1.0, βif = −10.0 avec les autres parametres de ponderation

172





PVM PVA EQMo5.4 4.0 9.4

Fig. 6.41 – Reconstruction de moca2btc avec un systeme de cliques proches eteloignees-80 iterations

nuls. Pour la distance entre les voisinages proches et eloignes, nous avons uti-lise la valeur estimee du Tb.Sp = 671.4µm soit 44 voxels pour l’echantillonmoca2btc. Par ailleurs, on a conserve la configuration avec un filtrage mediantoutes les iterations avec un voisinage 3*3 et un modele d’Ising aux 48 plusproches voisins de coefficient de ponderation isotrope β = 0.2. Les resultatssont proposes dans la figure 6.41. On constate qu’il y a de nouveau des re-gions coupees et des regions du fond qui apparaissent comme de l’os. Lesestimations des parametres d’architecture ne sont pas meilleures. L’ajout decliques eloignees n’apporte pas d’ameliorations significatives. Nous ne pou-vons pas appliquer la meme methodologie que precedemment. En effet, nousne sommes plus dans une configuration isotrope. Par ailleurs, il faudrait de-terminer l’influence de la distance entre les cliques proches et eloignees. Lenombre de configuration devient alors raisonnablement trop importante. En-fin, les resultats donnes par l’ajout d’un filtrage median avec un modeled’Ising sont satisfaisants.

173


6.6.4.5 Conclusion

Nous avons elabore un nouvel algorithme de reconstruction tomogra-phique par approche voxel dans le cas d’objets binaires compacts et dispersescomme l’architecture osseuse en 2D. L’introduction de cette etape de filtragedans l’ICM diminue de facon significative l’EQMo et des resultats satisfai-sants en terme d’estimation de parametres d’architectures.Cette methode est basee sur un processus iteratif dont les etapes sont lessuivantes :

1. reconstruction algebrique avec a priori Markovien d’Ising aux 48 plusproches voisins et une ponderation β = 0.2,

2. un filtrage median sur un voisinage de taille 3x3.

L’a priori Markovien va assurer la formation de regions homogenes. Lepoids de ponderation faible va laisser la possibilite au contours de ne pas etretrop deformes.Le filtrage median va recreer une initialisation pour l’etape de reconstruc-tion en ayant supprime les voxels isoles non compatibles avec l’architectureosseuse. Le filtrage joue le meme role que les pyramides hierarchiques pre-sentees dans la section 3.3.5. Chaque niveau est initialisation par le niveaureconstruit de resolution inferieure. Il faut cependant attendre la convergencea chaque niveau meme si le nombre de sites a parcourir est plus faible auxniveaux de resolution inferieurs. Dans le cas de notre methode, il est pos-sible de figer certains sites dont on est certain de leur appartenance. Il suffitde dilater l’objet reconstruit au bout de quelques iterations. L’objet dilateconstitue alors le nouveau support. Au lieu de modeliser les formes de l’ar-chitecture osseuse qui sont tres variables en taille, position, nous modelisonsles regions reconstruites qui ne font pas partis de l’architecture osseuse etappartiennent a des regions de bruit. Cet algorithme converge numerique-ment. On n’a pas eu le temps de nous interesser a la convergence theoriquequi demeure neanmoins un probleme tres complexe. Enfin, remarquons queles quelques voxels mal classes sont situes sur les contours. Les valeurs depourcentage de voxels manquant (PVM) (0.71%) et de voxels ajoutes (PVA)(0.58%) dans le cas de la figure 6.39 b montrent qu’il y a un equillibre entrevoxels supprimes et voxels rajoutes.

6.7 Cas de reconstructions bruitees

Nous avons aussi explore la robustesse de la methode en presence de bruit.Nous avons utilise un bruit Poissonien : la loi de probabilite du bruit est une

174

6.7. Cas de reconstructions bruitees






PVM PVA EQMo5.71 3.01 8.72

PVM PVA EQMo2.63 1.84 4.47

(a) SNR = 25 (b) SNR=100

Fig. 6.42 – Reconstruction ICM avec support de rayon 400 pixels, median voisinageaux 8 plus proches voisins, Ising aux 48 plus proches voisins, β = 0.8- 80 iterations-projections bruitees

gaussienne dont la variance est egale au nombre de photons arrivant sur ledetecteur sans objet. Le modele de bruit est explicite au paragraphe 6.3.3.

Afin d’evaluer la robustesse de cette methode de reconstruction, nousavons reconstruit l’echantillon moca2btc en 2D pour plusieurs valeurs deSNR. Les resultats sont donnes dans la figure 6.42.

Evolution des parametres d’architecture en fonction du SNR Lafigure 6.43 montre l’evolution des parametres d’architecture en fonction durapport signal a bruit. Leur interpretation doit etre faite avec beaucoup deprudence. Rappelons que le Tb.Th? est base sur l’estimation du rayon moyend’une sphere parcourant les travees. Ainsi, si un voxel d’os vient a manquer lerayon sera localement sous estime d’un voxel et l’evaluation de ce parametrene semble pas trop affectee. C’est ce que l’on constate sur le graphique 6.43 c.

175


10

11

12

13

14

15

16

17

0 100 200 300 400 500SNR

Bv.

Tv e

n %

Bv.Tv

référence

400

500

600

700

800

0 100 200 300 400 500SNR

Tb.S

p en

µm

Tb.Spréférence

70

90

110

130

150

170

190

210

230

0 100 200 300 400 500SNR

Tb.T

h* e

n µm Tb.Th*

référence

Fig. 6.43 – Evolution des parametres d’architecture en fonction du SNR

176

6.7. Cas de reconstructions bruitees

Pour le Tb.Sp, il en est autrement. En effet, la methode d’evaluation consistea tracer des lignes paralleles, a identifier les intersections avec l’architectureet a en deduire une mesure de Tb.Sp. Un voxel mal place peut induire deserreurs d’estimation importante.

177


6.8 Application a d’autres echantillons

Afin de valider cette approche dans le cas de l’architecture osseuse, nousl’avons tester sur 2 autres echantillons presentes au paragraphe 6.3.1.4. Lesresultats sont presentes dans les figures 6.44 a et 6.44 b. Les EQMo res-tent tres faibles (0.55 % pour mo3btc et 0.83%) pour moca7btc. Pour ce quiconcerne les parametres d’architecture, on mesure une erreur de 1.15% surle Tb.Th et 0.1% sur le Tb.Sp pour mo3btc et 3.43% pour Tb.Th? et 0.18%pour Tb.Sp pour moca7btc. La methode de reconstruction basee sur un fil-trage median iteratif collaborant avec un modele a priori d’Ising est doncbien adaptee pour la reconstruction de la micro architecture osseuse avec unnombre limite de points de vues.

178

6.9. Application a la reconstruction d’echantillons 3D






PVM PVA EQMo0.30 0.24 0.54

PVM PVA EQMo0.38 0.33 0.71

(a) Reconstruction d’une coupe de mo3btc (b) Reconstruction d’une coupe de moca7btc

Fig. 6.44 – Reconstruction ICM avec support de rayon 400 pixels, median voisinageaux 8 plus proches voisins, Ising aux 48 plus proches voisins, β = 0.8- 80 iterations

6.9 Application a la reconstruction d’echan-

tillons 3D

6.9.1 Methode

Nous avons binarise puis reprojete un sous volume de l’echantillon 3Dmoca2btc de taille 256*256*300 et presente au paragraphe 6.3. Ensuite, ona reconstruit avec 18 projections et un MD-ICM avec un voisinage de taille7*7 pixels pour le modele d’Ising et incluant le plan contenant le site centralet les deux plans connexes, et un voisinage de taille 3*3 pour le filtragemedian applique a chaque iteration. Les coefficients de ponderation du modeled’Ising sont pris isotropes et de valeur β = 0.2. On a egalement calcule lesparametres d’architecture Tb.Sp, Tb.Th, BV/TV . Les resultats sont donnesdans la section 6.9.2.

179


6.9.2 Resultats

Dans la figure 6.45 a, on peut visualiser le sous volume original recons-truit avec 900 projections et un algorithme FBP. Dans la figure 6.45 b, onobserve le sous volume reconstruit a partir de la methode enoncee en 6.9.1.L’EQMo qui mesure le % de voxels mal classe est faible (1.53%) et les valeurscalcules des parametres d’architecture sont egalement tres proches des para-metres calcules sur le sous volume reconstruit a partir de 900 projections.Remarque : On pourrait poursuivre l’etude 3D avec des voisinages plus com-plexes mais les resultats obtenus sont satisfaisants et on ne dispose pas dutemps adequate.

180

6.9. Application a la reconstruction d’echantillons 3D

EQMo BV/TV Tb.Th Tb.Spen % en % en µm en µm

- 18.67 144.76 607.20

(a) Sous volume de l’echantillon de reference moca2btc reconstruit avec unalgorithme FBP et 900 projections. Taille 256x256x300

EQMo BV/TV Tb.Th Tb.Spen % en % en µm en µm1.53 18.36 144.53 608.10

Topologie :

Plan central

7

7

(b) Reconstruction du meme sous volume avec la methode proposee en6.9.1 et seulement 18 projections

Fig. 6.45 – Reconstruction 3D de moca2btc181


6.10 Tableau recapitulatif

Le tableau 6.46 recapitule les meilleurs resultats obtenus avec les diffe-rentes methodes testees. Pour chaque, methode, on a selectionne le meilleurEQMo puis on a calcule les parametres d’architecture qui sont rassemblesdans le tableau. Nous avons aussi rajoute le cas de projections bruitees pourla meilleur methode.

182

6.10. Tableau recapitulatif

SNR

projec

tions

Nomb

re pro

jectio

nsPa

ramètr

e intr

asèq

ueNo

mTa

iillle

pas d

e brui

tβ

Voisin

age

Type

Vo

isinag

eEQ

Mo en

%mo

ca2b

tc z=

389 (

référe

nce F

BP)

1024

*1024

900

moca

2btc

z=38

9 (rec

onstr

uit)

1024

*1024

18MP

en cr

oix6.3

8ide

mMD

carré

3x3

5,98

64-c

onne

xe10

.8123

8-con

nexe

9.83

724

-conn

exe

7.74

18-c

onne

xeMP

en cr

oix6.2

00,2

48-co

nnex

eMD

carré

3x3

0.43

0,248

+ mu

lticliq

ues

MDca

rré3x

39.4

025

0,248

-conn

exe

MDca

rré 3x

38,7

210

00,2

48-co

nnex

eMD

carré

3x3

4,47

moc3

btc z=

485 (

référe

nce F

BP)

idem

pas d

e brui

t90

0mo

c3btc

z=48

5 (rec

onstr

uit)

0,248

-conn

exe

MDca

rré 3x

30,5

4mo

ca7b

tc z=

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Fig. 6.46 – Tableau de synthese

183


184

Chapitre 7

Bilan et perspectives

Sommaire7.1 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.2 Perpectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

185

Chapitre 7. Bilan et perspectives

7.1 Conclusions

Quatre conclusions majeures peuvent etre tirees de cette etude :

1. Les modeles Markoviens et plus particulierement le modele d’Ising sontles plus adaptes pour representer la microarchiteccture osseuse et s’in-tegrer dans un cadre de reconstruction tomographique.

2. L’estimation des parametres et l’exploration de ces modeles a montrequ’ils restent cependant limites pour capturer finement toutes les ca-racteristiques d’une structure complexe comme l’architecture osseuse.

3. L’ajout d’un a priori base sur le modele d’Ising ameliore de facon si-gnificative la qualite de la reconstruction avec un nombre tres limite deprojections (18). Cependant, certaines regions reconstruites sont defor-mees, voire coupees.

4. Un processus de filtrage iteratif non lineaire a chaque etape de la re-construction apporte une solution efficace. De tres bons resultats sontobtenus en terme de qualite de reconstruction au sens des moindrescarres et en terme de parametres d’architecture estimes. Ceci est toutaussi bien verifie en 2D, 3D, pour differents echantillons et dans le casde projections bruitees.

7.2 Perpectives

Ces reconstructions ont ete effectuees a l’aide de projections obtenues al’ESRF avec un rayonnement monochromatique et un alignement parfait. Lesartefacts dus par exemple au probleme du diffuse ne sont pas pris en compte.Il faudrait donc valider la methode sur un scanner clinique. Il s’agit plutotde travaux d’ingenierie.D’un point de vue theorique, la convergence du processus alternant un filtragea chaque iteration et une reconstruction Markovienne n’a pas ete etablit. Ceprobleme est un probleme difficile qui serait tres interessant de consolider.

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196

Annexes

Commentaire de la formule 6.14

Le terme d’attache aux donnees Jdata(be, k)(xkl ) au site l ∈ S, a l’iteration

k, s’ecrit :

Jdata(be, k)(xkl ) =

1

NΘ

∑i

(yrefi −

∑j,j 6=l

hijxj − hilxl)2 (7.1)

=1

NΘ

∑i

(yrefi − ycalc

i )2 (7.2)

Lorsque le site l passe de l’etat xl a l’etat xl, le nouveau terme d’attache auxdonnees Jdata(af, k)(x

kl )s’ecrit :

Jdata(af, k)(xkl ) =

1

NΘ

∑i

(yrefi −

∑j,j 6=l

hijxj − hilxl)2 (7.3)

=1

NΘ

∑i

(yrefi −

∑j,j 6=l

hijxj + hil(xl − xl) (7.4)

avec hil(xl − xl) =[δ(xk

l − ζfond)− δ(xkl − ζos)

](ζos − ζfond) Dans le terme

de droite de l’equation 7.4, on a retire la contribution de xl au projections etrajoute la contribution de xl.On peut egalement remarquer que voxel l qui n’est pas traverse par le rayoni ne contribue pas a la valeur de ycal

i donc hil = 0 si le rayon i ne traversepas le voxel l. Par consequent, si on fait la difference entre l’equation (7.2) etl’equation (7.4), les sommes vont porter sur les rayons i traversant le voxell. En sommant sur tous les angles de projection, on retrouve alors l’equation6.14.

197

Bibliographie

198

Table des figures

1.1 Principe general de la these . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Os compact et spongieux. A droite, visualisation d’un echan-tillon d’os trabeculaire a la resolution de 15 µm . . . . . . . . 13

2.2 Le cycle du remodelage osseux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Disposition de l’architecture osseuse en plaques et tubes

Echantillon de la crete iliaque reconstruit a l’ESRF. Taille duvoxel 10 µm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Principe de la DXA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Site de l’ESRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 Schema du dispositif experimental de l’ESRF . . . . . . . . . . 222.7 Sinogramme d’un echantillon de taille 12*12*20cm, de resolu-

tion 15 µm acquis a l’ESRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.8 Ensembles connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.9 Illustration pour le calcul du nombre d’Euler . . . . . . . . . . 262.10 Principe de calcul de l’epaisseur des travees sans modele- ex-

trait de [HR97a] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Un classement des methodes de synthese de texture - Extraitde [PIC96] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Exemple de realisation du modele de reaction-diffusion pre-sente dans [CPSS97] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Schema de synthese de texture avec des bancs de filtres de Gabor 373.4 Principe de synthese de texture selon [SIM99] . . . . . . . . . 383.5 Exemple de texture synthetisee par la methode de Simoncelli . 393.6 (a) et (c) representent les 4 et 8 plus proches voisins du site s

(s ∈ S). (b) et (d) sont les ensembles de cliques correspondantes 423.7 Parametrisation du contour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.8 Configuration des cliques d’ordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . 453.9 Evolution de l’energie dans le cas de methodes optimales et

sous-optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

199

Table des figures

3.10 Codings pour un voisinage 4-connexe et 8-connexe . . . . . . . 553.11 Representation multiresolution des etiquettes et des donnees . 603.12 Projection-Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.13 Exemples de realisation d’un processus booleen hierarchique

d’apres Descombes [DES93] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1 Schema explicitant les notations . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2 Notations pour la theoreme de Radon en 2D . . . . . . . . . . 694.3 Notations pour la reconstruction analytique 3D . . . . . . . . 704.4 Influence du nombre de projections sur la reconstruction FBP

pour l’architecture osseuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.5 Rayons de prjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.6 Notations pour les blocs de Kacmarz . . . . . . . . . . . . . . 744.7 Algorithme de descente de gradient . . . . . . . . . . . . . . . 754.8 Methode par bloc dans le cas de deux inconnues . . . . . . . . 774.9 Exemple de reconstruction de 2 voxels par A.R.T et la norme

L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.10 Exemple avec une norme Lp, p=1.1 . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1 Configuration de voisinage en 3D aux 26 plus proches voisins . 905.2 Evolution de l’energie et critere de convergence . . . . . . . . 915.3 Influence de la temperature T sur la synthese de texture . . . 935.4 Evolution du pourcentage de voxels blanc en fonction de β0 . . 935.5 Illustration de l’interaction entre les cliques d’ordre 1 et d’ordre

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.6 Influence du signe des coefficients de ponderation sur la texture

generee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.7 Influence de la direction des cliques sur l’orientation de la texture 965.8 Influence des valeurs des poids de ponderation sur l’orientation

de la texture synthetisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.9 Influence de la taille du voisinage sur la texture generee . . . . 985.10 Influence de la taille de l’objet reconstruit sur la texture . . . 995.11 Synthese 3D sans interactions verticales . . . . . . . . . . . . 1015.12 Synthese 3D avec des cliques purement verticales . . . . . . . 1025.13 Synthese aux 26 plus proches voisins en 3D . . . . . . . . . . 1035.14 Estimation des parametres pour une texture de synthese . . . 1065.15 Estimation des parametre sur un echantillon d’architecture os-

seuse de taille 1024*1024 (support de rayon 400 pixels) . . . . 1065.16 Image resynthetisee a l’aide des parametres estimes . . . . . . 1075.17 Schema du voisinage proche et eloigne . . . . . . . . . . . . . 1085.18 Exemples de realisations avec des interactions eloignees . . . . 110

200

Table des figures

5.19 Systeme de cliques du systeme multicliques . . . . . . . . . . . 112

5.20 exemple de realisation avec le potentiel perturbatif - βni =

3.0 βfb = 8.0 βfi = −10.0, les autrescoefficients sont pris nuls

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.1 Description de la demarche de l’etude . . . . . . . . . . . . . . 118

6.2 Description de la geometrie d’acquisition utilisee . . . . . . . . 119

6.3 Notation des angles d’Euler utilises . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.4 Notations pour le calcul de l’adresse de la projection d’un pointM de l’objet sur le detecteur en Ad . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.5 Schema du support utilise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.6 Coupe des echantillons utilises dans cette etude . . . . . . . . 131

6.7 Histogramme de l’attenuation de l’architecture osseuse (coupede moca2b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.8 Projection 60 du sinogramme de moca2b avec et sans binari-sation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.9 Variation du SNR en fonction du nombre de photons incidentspour 18 projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.10 Profils de la projection d’angle 60 pour differents SNR . . . . 136

6.11 Reconstruction SART binarisee de la coupe de moca2b . . . . 137

6.12 Reconstruction sans a priori avec ICM et support 400 pixelsavec differentes initialisations pour 18 projections d’une coupede moca2btc binarisee pour 80 iterations sans a priori d’Ising 140

6.13 Reconstruction ICM sans a priori avec support R = 400 enfonction du nombre de projections . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.14 EQMo en fonction du nombre de projection par reconstructionICM sans a priori avec support centre rayon R=400 pixel . . . 142

6.15 Parametres d’architecture pour moca2btc binarisee puis repro-jetee en fonction du nombre de projections-80 iterations- sansbruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.16 Schema de l’algorithme avec filtrage au cours des iterations . . 144

6.17 Voisinages utilises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.18 Variation de l’EQMo a convergence (80 iterations) en fonctionde la frequence de filtrage pour un filtre morphologique et unvoisinage carre 3x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.19 Coupe de moca2btc reconstruite avec filtrage toutes les itera-tions et voisinages en croix (80 iterations) . . . . . . . . . . . 147

6.20 Evolution de l’EQMo pour differents types de voisinages (fil-trage morphologique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

201

Table des figures

6.21 Variation de l’EQMo a convergence (80 iterations) en fonc-tion de la frequence de filtrage avec un filtrage median et unvoisinage aux 8 plus proches voisins. . . . . . . . . . . . . . . 150

6.22 EQMo pour differents voisinages (filtrage median) . . . . . . . 1516.23 Coupe de moca2btc reconstruite avec filtrage toutes les itera-

tions et voisinage carre 3*3 (filtrage median seul) . . . . . . . 1516.24 Principe de l’algorithme mis en œuvre . . . . . . . . . . . . . 1536.25 Influence du sens de parcours sur la reconstruction pour 3

iterations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.26 Ponderation entre l’energie a priori et l’energie d’attache aux

donnees pour un voisinage 4-connexe et β = 6 . . . . . . . . . 1566.27 Evolution de l’EQMo pour differents coefficients de pondera-

tion β et un voisinage 4-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.28 Reconstruction avec un voisinage 4-connexe, a convergence

(<80 iterations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.29 Evolution de l’EQMp pour differents coefficients de pondera-

tion β et un voisinage 4-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.30 Evolution de l’EQMp en fonction du nombre d’iterations et

un voisinage 4-connexe,β = 6.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.31 Evolution de l’EQMo en fonction de β pour un voisinage 8-

connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.32 Reconstruction avec un voisinage 8-connexe , 80 iterations . . 1616.33 Evolution de l’EQMo en fonction de β pour un voisinage 24-

connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.34 Reconstruction avec un voisinage 24-connexe , 80 iterations . . 1636.35 EQMo en fonction de β pour filtrage morphologique voisinage

en croix et modele d’Ising aux 8 plus proches voisins . . . . . 1646.36 Exemples de reconstructions d’une coupe de moca2btc pour

differentes valeurs de β avec voisinage aux 8 plus proches voi-sins et un filtrage morphologique toutes les iterations avec unvoisinage en croix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.37 Comparaison des EQMo pour des reconstruction avec et sansa priori markovien, avec et sans filtrage morphologique . . . . 165

6.38 EQMo en fonction de β pour filtrage median voisinage aux 8plus proches voisins et modele d’Ising aux 8 plus proches voisins166

6.39 Reconstruction ICM avec support de rayon 400 pixels, medianvoisinage aux 8 plus proches voisins, β = 0.8-80 iterations . . . 167

6.40 EQMo en fonction de β pour un filtrage median aux 8 plusproches voisins et un a priori d’Ising 48 connexe, 80 iterations 168

6.41 Reconstruction de moca2btc avec un systeme de cliques procheset eloignees-80 iterations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

202

Table des figures

6.42 Reconstruction ICM avec support de rayon 400 pixels, medianvoisinage aux 8 plus proches voisins, Ising aux 48 plus prochesvoisins, β = 0.8- 80 iterations- projections bruitees . . . . . . . 171

6.43 Evolution des parametres d’architecture en fonction du SNR . 1726.44 Reconstruction ICM avec support de rayon 400 pixels, median

voisinage aux 8 plus proches voisins, Ising aux 48 plus prochesvoisins, β = 0.8- 80 iterations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6.45 Reconstruction 3D de moca2btc . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.46 Tableau de synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

203

FOLIO ADMINISTRATIF

THESE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

NOM : LAMOTTE DATE de SOUTENANCE : 8 septembre 2006Prénoms : Thomas Jacques Frédéric

TITRE : ´Reconstruction 3D de la microarchitecture osseuse à partir d'un nombre limité de radiographies : apport de techniques derégularisation.

NATURE : Doctorat Numéro d'ordre : 05 ISAL

Ecole doctorale : EEA

Spécialité : Images et systèmes

Cote B.I.U. - Lyon : T 50/210/19 / et bis CLASSE :

RESUME :

MOTS-CLES : Reconstruction tomographique, nombre limité de projections, champ de Markov, microarchitecture osseuse,tomographie X, ICM.

LABORATOIRE (S) DE RECHERCHE : Centre de Recherche Et dApplications en Traitement dImages et du Signal (CREATIS)

DIRECTRICE DE THESE: Françoise Peyrin

PRESIDENT DE JURY : Isabelle Magnin

COMPOSITION DU JURY :Xavier MARCHANDISE, rapporteurJérome Idier, rapporteurJean-Marc Dinten, examinateurIsabelle Magnin, examinatriceFrançoise Peyrin, directrice de thèse

Le diagnostic de l'ostéoporose repose sur la mesure de la densité minérale osseuse qui ne prend pas encompte la configuration spatiale de la microarchitecture 3D pouvant conduire à un diagnostic imprécis. L'objectif de ce travail était d'explorer l'obtention de caractéristiques de la microarchitecture à partir del'acquisition d'un faible nombre de radiographies sous différents angles de vues. Afin de compenser le manque d'information, nous avons cherché à construire un a priori surl'organisation 3D de la micro-architecture pour régulariser la méthode de reconstruction. En considérantl'os comme une texture binaire, nous avons exploré les modèles de synthèse de texture etparticulièrement le modèle Markovien d'Ising 3D. Une étude des paramètres du modèle a permis d'établirdes propriétés comportementales pouvant être reliées aux caractéristiques de l'architecture osseuse. Unmodèle Markovien combinant des interactions locales et éloignées et une méthode d'estimation desparamètres du modèle ont été explorés. Cet a priori a ensuite été introduit dans le processus dereconstruction à faible nombre de vues. Nous avons principalement étudié un algorithme dereconstruction algébrique itératif de type ICM. Un nouvel algorithme de reconstruction basé sur lacollaboration entre un filtrage non linéaire au cours des itérations et l'ajout de l'a priori Markovien a étédéveloppé. Des acquisitions 3D d'échantillons osseux obtenues par microtomographie synchrotron ontété utilisées comme images de référence. L'approche proposée permet de reconstruire un échantillonosseux avec une bonne qualité et d'estimer les paramètres architecturaux avec moins de 20 projectionsen 2D (1024*1024 pixels) et en 3D (256*256*300 voxels).

Documents

Reconstruction 3D de la microarchitecture osseuse à partir