OS, 29 avr 2004 292

Relativité Galiléenne

• Principes de relativité de Galilée, utilisés comme postulatsde base de toute la mécanique Newtonienne:

1. Les lois de la mécaniquesont les mêmes dans tousles référentiels d’inertie

2. Le temps et l’espace sontdes absolus

c’est-à-dire que les intervalles de temps etd’espace (=distance) séparant deux événementssont les mêmes pour tous les observateurs

• en particulier, deux événements simultanés ( t=0) pourun observateur, le sont aussi pour tous les observateurs

relativité = invariance parchangement deréférentiel, doncd’observateur

c’est-à-dire qu’elles ne changentpas de forme lorsqu’on passe d’unréférentiel d’inertie à un autre(qui sont en mouvement rectiligneuniforme l’un par rapport à l’autre)

• les lois de Newton(par ex. F=ma) sont valablestelles quelles dans tous lesréférentiels d’inertie !

OS, 29 avr 2004 293

Transformation de Galilée

• Référentiel d’inertie R:– repère Oxyz avec une horloge

placée on O mesurant le temps t

• Référentiel d’inertie R’ en« saut de vitesse standard v » parrapport à un référentiel d’inertie R

– repère O’x’y’z’ avec une horloge placée on O’ mesurant le temps t’– à t=0, les deux repères et les deux horloges coïncident (donc t’=0)– vu du référentiel R, le point O’ a une vitesse u constante dirigée selon Ox

• Même événement E vu dans les deux référentiels:– position x, y, z et temps t mesurés dans R– position x’, y’, z’ et temps t’ mesurés dans R

• Même particule P vue dans les deux référentiels:

t'= tx'= x uty'= yz'= z

transformationde Galilée

r r '=

r r

r u t d

r r '

dt'= d(

r r

r u t)

dt= d

r r

dtr u

r v '=

r v

r u

dr v '

dt'= d(

r v

r u )

dt= d

r v

dtr a '=

r a

loi de composition desvitesses (de Galilée)

z

Oxy

z’

O’x’y’

u

t t’

Pv

v’

E(t,x,y,z)E(t',x',y',z')

OS, 29 avr 2004 294

Le défi de l’électromagnétisme à la mécanique

• Maxwell unifie l’électricité et le magnétisme:– les équations de Maxwell pour les champs E et B

prédisent que la vitesse d’une onde électromagnétique(donc de la lumière) vaut c 3 108 m/s

– mais par rapport à quel référentiel ?

• Les équations Maxwell n’obéissentmanifestement pas à la relativité Galiléenne !– on pense alors que c est la vitesse de la lumière par rapport à un référentiel

privilégié défini par « l’éther luminifère», qui serait le milieu dans lequel lesondes électromagnétiques se propagent

James C Maxwell1831–1879

Analogie: la vitesse du son dans l’air (~330 m/s) est définie dans le référentiel où l’air estau repos; cette vitesse n’est pas la même dans tous les référentiels d’inertie(effet Doppler). Sans air ou autre milieu, il n’y peut pas exister d’onde sonore !

notion de « référentiel absolu »,contraire au principe de relativité

démo: cuve à ondes

OS, 29 avr 2004 295

d

d

S

A E

M2

M1

u

(vue de dessus)

Expérience de Michelson et Morley (1881,1887)S = source de lumière

monochromatiquede fréquence

A = lamesemi-argentée

M1, M2 = miroirs

E = écran

c = vitesse de la lumière par rapport à l’éther 3 108 m/su = vitesse de l’observateur par rapport à l’éther 30 km/s 10–4 cc’= vitesse de la lumière entre A et M2 par rapport à l’observateur

t1 = tA M 1+tM 1 A = d

c +u+ d

c u= 2d

c 1 1 u2 /c2

t 2 = tA M2+tM2 A = d

c' + d

c' = 2d

c 1

1 u2 /c2> t1

u

cc’

t1 = t2expérience répétée après rotation de 90°: pas de modification des franges !

déphasage > 0,qui devrait devenir

si l'expérience est tournée de 90°

démo: interféromètre

But: mise en évidence dela vitesse de la Terrepar rapport à l’éther(référentiel absolu)

observation des frangesd’interférence dues audéphasage = (t2–t1)entre les deux rayons

Albert A Michelson (1852–1931)

u

OS, 29 avr 2004 296

Défi relevé: la relativité restreinte• Après les travaux de Voigt, Lorentz, Fitzgerald, Poincaré, …

Einstein réussit à éliminer définitivement et clairement toutecontradiction, en formulant la théorie de la relativité restreinte;la mécanique et électromagnétisme sont réconciliés par:– l’abandon de la notion de référentiel absolu (l’éther)– l’abandon de la notion de temps et d’espace absolus

• Principe de relativité restreinte (Einstein, 1905):

– En appliquant ce postulataux équations de Maxwell,où la vitesse c apparaît:

Les lois de la physiquesont les mêmes dans tousles référentiels d’inertie

et donc pas seulement celles dela mécanique (comme énoncépar Galilée), mais aussi cellesde l’électromagnétisme, …

il n’y a donc pas de référentielprivilégié parmi les référentielsd’inertie

La vitesse de la lumière dans le vide, c,est indépendante du référentiel(observateur)et du mouvement de la source

c = constante qui nedépend de rien !

Albert Einstein1879–1955

OS, 29 avr 2004 297

Mesure de la vitesse de la lumière

• Démo:– on mesure la déviation d sur la réglette et la fréquence au compteur:

dL1

2 = 2 t = 22

2( ) 2L2

c

= 4

L2

c c = 4

L1L2

d

lasermiroir fixe miroir tournant,

(deux faces)

d~2

réglette

L2 = 15m

L1 = 5m

compteurfréquence

• Remarques:– Depuis 1983, le mètre est défini comme la distance parcourue par la lumière

dans le vide en 1/299792458 seconde c = 299 792 458 m/s exactement

– Il n’est donc plus « possible » (ni nécessaire) de mesurer c !– On peut très bien choisir un système d’unités dans lequel c=1

(couramment utilisé en physique des particules)

en assimilant l’air au vide (approximation)

OS, 29 avr 2004 298

Conséquences de « c = constante »• La transformation de Galilée, donc la loi d’addition des vitesses,

n’est plus valable !

• c = limite supérieure à toute vitesse

• L’espace et le temps ne sont plus des absolus– les longueurs et les intervalle de temps dépendent du référentiel !– ces « déformations » de l’espace et du temps sont corrélées de sorte que

c=constante en toute circonstance– mélange entre l’espace et le temps notion d’espace-temps

vlocomotive > 0vlumière = c

Dans un référentiel R lié au sol:

lumièreDans un référentiel R’ lié à la locomotive:v'locomotive = 0

v'lumière = c vlumière vlocomotive !!

démo (contre-exemple):cuve à ondes

démos: les 4 coordonnées de l’espace-tempssynchronisation des horloges dans un même référentiel + simultanéité

lumière

OS, 29 avr 2004 299

La simultanéité est relative !• Deux éclairs sont émis simultanément à l’avant et à l’arrière d’un

train en mouvement, laissant des marques sur le train et sur les rails:– Un observateur O se tenant sur le sol, à mi-distance entre les marques sur les

rails, reçoit les éclairs au même moment: l’observateur O conclut que les éclairs ont été émis simultanément

– Un observateur O’ se tenant sur le train, à mi-distance entre les marques sur letrain, reçoit d’abord l’éclair émis à l’avant du train, puis celui émis à l’arrière: l’observateur O’ conclut que les éclairs n’ont pas été émis simultanément !

O’

O

O

O’

O’

O

OS, 29 avr 2004 300

Horloges lumineuses• La mesure du temps consiste toujours à compter le nombre de

périodes d’un processus physique pris comme référence:– exemples:

• mouvement des planètes et satellites• mouvement de la Terre sur elle-même• période d’oscillations d’un(e) pendule, d’un quartz• période d’oscillation du rayonnement émis par un atome, …

• « Horloge lumineuse »:– deux miroirs parallèles séparés par une

distance d (du vide) se renvoientperpétuellement un rayon de lumière

– période propre de l’horloge: intervalle de temps t entre deux « tics » mesuré dans le référentiel de l’horloge

• Expérience de pensée:– deux horloges identiques, A et B:

même période propre– Horloge A reste sur Terre (référentiel R)– Horloge B est placée dans une navette spatiale

(référentiel R’) de vitesse constante u par rapport à la Terre

t = 2dc vide

miroir

miroir

tic

tac

d

tA = t'B =2dc

OS, 29 avr 2004 301

Horloges en mouvement

tB = période de l’horloge B se déplaçant à la vitesse u:

c tB /2( )2 = u tB /2( )

2 +d2 tB = 2dc2 u2

= 2dc

11 u2 /c2

B BB

tic tic

tac

c tB/2

u tB/2 d

c tB/2 u tB/2

tA = période de l’horloge A au repos: tA =2dc

A

tB =tA

1 u2 /c2> tA B retarde par rapport à A Conclusion d’un observateur

dans le référentiel R (terre)

t'A =t'B

1 u2 /c2> t'B A retarde par rapport à B Conclusion d’un observateur

dans le référentiel R’ (navette)

= 11 u2 /c2

= facteur de dilatation du temps

OS, 29 avr 2004 302

Muons cosmiques• Des muons sont produits dans la haute atmosphère, à 15–20 km

d’altitude, par les rayons cosmiques (protons de haute énergie)• Temps de vie moyen d’un muon: = 2.2 µs• Distance d que peut parcourir

une particule en un temps :d = v c (3 108 m/s) (2 10–6 s) = 600 m

• Et pourtant, on observe des muons qui arrivent jusqu’au sol effet de la dilatation relativiste du temps

exemple concret et réelde la dilatation du temps

OS, 29 avr 2004 303

Transformation de Lorentz

• Référentiel d’inertie R:• Référentiel d’inertie R’ en

« saut de vitesse standard v » parrapport à un référentiel d’inertie R

• Même événement E vudans les deux référentiels:

– position x, y, z et temps t mesurés dans R– position x’, y’, z’ et temps t’ mesurés dans R

t'= t (u /c2)x1 u2 /c2

x'= x ut1 u2 /c2

y'= yz'= z

transformation de Lorentz

z

Oxy

z’

O’x’y’

u

t t’

E(t,x,y,z)E(t',x',y',z')

Hendrik A Lorentz1853–1928

Remarques:– tend vers la

transformation deGalilée si u/c << 1

– était déjà connue avantla relativité d’Einstein,comme transformationqui laisse les équationsde Maxwell invariantes

se démontre facilementà partir du principe derelativité d’Einstein

OS, 4 mai 2004 304

Invariant relativiste• « Quadrivecteur »: (ct, x, y, z)• Transformation de Lorentz (notation avec quadrivecteurs):

ct'x'y'z'

=

0 00 0

0 0 1 00 0 0 1

ctxyz

ctxyz

=

+ 0 0+ 0 00 0 1 00 0 0 1

ct'x'y'z'

= uc

, 1

= 11 2

, 1

avec:

( s')2 = ( c t x)2 ( x c t)2 ( y)2 ( z)2

= ( 2 2 2) (c t)2 ( x)2[ ] ( y)2 ( z)2 = ( s)2

( s)2 = (c t)2 ( x)2

( s')2 = ( s)2

(>0, <0, ou =0)

• Invariant:– Deux événements séparés par (c t, x, y, z) = (c t, x)– Intervalle d’espace temps:

ct'x'

=

cosh sinhsinh cosh

ctx

avec tanh =

– « rotation hyperbolique » dans l’espace-temps

relativité de Galilée t et | x| invariants temps et espace absolusrelativité d’Einstein ( s)2 =c2( t)2–| x|2 invariant c=constante

OS, 4 mai 2004 305

Contraction des longueurs et dilatation du temps

• Règle de longueur L enmouvement longitudinalde vitesse u

z

Oxy

O’

uR R’

L

x'x'1 x'2

z'

y'x'1 = x1 ct( )x'2 = x2 ct( )

où les positions x1 et x2 sont définies au même temps t dans R

L = x'2 x'1 = x2 x1( ) x = L < L La dimension d’un corps dans ladirection de sa vitesse est contractée

• Horloge de période Ten mouvementde vitesse u

z

Oxy

O’

uR R’

x'

z'

y' x'

t'1 , t'2 , t'3 , ...

ct 1 = ct'1 + x'( )ct2 = ct'2 + x'( )

t 2 t1 = t'2 t1'( ) = t =

Une horloge en mouvement retarde

Au tableau

OS, 4 mai 2004 306

Transformation des vitesses

• Particule de vitesse v dans R;quelle est sa vitesse dans R’ ?

– Si u<c:

x'= x ct( ) dx'= dx cdt( )ct'= ct x( ) dt'= dt ( /c)dx( )

Au tableau

z

Oxy

z’

O’x’y’

u

t t’

vR R’

v'x =dx'dt'=

dx cdt( )dt ( /c)dx( )

=dxdt

c

1cdxdt

v'y =dy'dt'=

dydt ( /c)dx( )

=

dydt

1cdxdt

v'x =vx u

1uvx

c2

v'y =vy

1uvx

c2

v'z =vz

1uvx

c2

r v < c

r v ' < c

r v = c

r v ' = c

OS, 4 mai 2004 307

Composition des vitesses• Deux sauts de vitesse standards consécutifs, de vitesses u1 et u2,

sont équivalent à un saut de vitesse standard u3– les sauts de vitesse standards forment un groupe

Au tableau

v'x =vx u

1uvx

c2

u2 =u3 u1

1u1u3

c2

u2

u1u2u3

c2 = u3 u1 u3 =u1 +u2

1+u1u2

c2

t’

O’x’

R’t’’

O’’x’’

R’’t

Ox

Rparticuleau reposdans R’’

saut de vitesse u1 saut de vitesse u2

saut de vitesse u3

u = u1, r v =

u3

00

,

r v '=

u2

00

On applique la transformation des vitesses avec

3 = 1 + 2

1+ 1 2

ou bien 3 = 1 + 2 avec i = arctanh i = ln1+ i

1 i

OS, 4 mai 2004 308

transparent montré le 21 oct 2003

Exemple 1: composition des vitesses

• Problème simple de cinématique:– Dans un train roulant à 160 km/h, un contrôleur marche à 3km/h en

direction de la locomotive.Quelle est la vitesse du contrôleur par rapport aux rails ?

800’000’000 km/h

court

200’000’000 km/h

1’000’000’000 km/h

879’225’842 km/h

• Réponse de Galilée (en 1638):– Application de la loi d’addition des vitesses:

• 160 km/h + 3 km/h = 163 km/h

• Réponse d’Einstein (en 1905):– L’addition des vitesses est une loi « fausse »,

la loi « correcte » est plus compliquée:• 160 km/h « plus » 3 km/h = 162.999999999999933 km/h

La mécanique classique n’est plus valable aux grandes vitesses !

Composition des vitesses

vcontrôleur / rails =vtrain / rails + vcontrôleur / train

1+vtrain / railsvcontrôleur / train

c2

vcontrôleur / rails = vtrain / rails + vcontrôleur / train

• Problème simple de cinématique:vtrain / rails = vitesse du train par rapport aux rails

vcontrôleur / train = vitesse du contrôleur par rapport au trainvcontrôleur / rails = vitesse du contrôleur par rapport aux rails = ?

applications numériques: voir transparent 1ère leçon

OS, 4 mai 2004 309

Dynamique relativiste du point matériel

• Mouvement d’unpoint matériel demasse m décritdans référentiel R

• A chaque instant t:– repère Oxyz de R, avec O sur le point matériel et Ox selon la vitesse v du point– référentiel R’ en saut de vitesse standard par rapport à R avec u=v– à t’=0 on a v’=0, et on suppose que v’<<c pendant un temps dt’

on peut appliquer les lois de la dynamique non-relativiste dans R’:

z

O

xy

z’

O’x’y’

tt’

R(t) R’(t)

v(t)

v(t+dt)

r(t+dt)=drtrajectoire dans R u = v(t)

r F ' = md2r r '

dt'2

Avec Fx=F’x et Fy,z=(F’y,z)/ :

r F = d

dtm

r v ( )

F'x = md2x'dt'2

= md2xdt'2

= m ddt

dxdt( ) = ddt m vx( )

F'y = md2y'dt'2

= md2ydt'2

= m ddt

dydt

= d

dtm vy( )

ct = ct'+ x'( )x = x'+ ct'( )y = y' , z = z'

cdt = c + dx'dt'( )dt' dt dt' car dx'

dt'<< c

dx = dx'dt'

+ c( )dt' d2xdt'2

= d2x'dt'2

OS, 4 mai 2004 310

Quantité de mouvement relativiste

• Nouvelle définition de laquantité de mouvement …

r p = m

r v = m

r c

et la loi fondamentale de la dynamiquereste valable en relativité restreinte:

= 11

r v 2 /c2

= 11

r 2

, r =

r v c

avec:

Attention ! r F m

r a

r F =

dr p

dt

r p = m

r v = m

r v 1

r 2( )

1/ 2= m

r v 1+O

r 2( )[ ] m

r v

• Limite non-relativiste ( = v/c << 1):

1. r p collinéaire à

r v

r p = ( )

r

2. r p = m

r v si v << c (0) = mc

3. La quantité de mouvement totale d'un système isolé est constante dans tous les référentiels d'inertie

r p = m

r v ( ) = (0)

1 2

• On trouve la même forme pour p sur la basede la conservation de la quantité de mouvement

OS, 6 mai 2004 311

Quantité de mouvement relativiste (2)• Collision élastique de deux particules identiques: 1 + 2 3 + 4

– dans le référentiel R du centre de masse toutes les vitesses sont égales

x

y

r 1

r 2

r 3

r 4

–a a

b

–b

R

x’’

y’’

r ' '1

r ' '2

r ' '3

r ' '4–d d

g

–e

R’’ saut de vitesse –a

e

–g

x’

y’

r '1

r '2

r '3

r '4

–d d

R’saut de vitesse +a

saut de vitesse +d

Saut de vitesse de R'' à R' avec = 11 d2

: e = '4y =''4y

(1 ''4x

0{

d)=

g= g 1 d2

Dans R’, conservation de la quantité de mouvement selon y’:

(g)g d2 +e2( )e = (g)g + d2 +e2( )e (g)g = d2 +e2( )e

p'1y + p'2y = p'3y + p'4y

d2 +e2( ) = (g)ge

=(g)

1 d2 Si b 0, alorse 0 et g 0, et:

(d)= (0)1 d2

CQFD

OS, 6 mai 2004 312

Force et accélération en relativité restreinte

ddt

= ddt

11

r v 2 /c2

=

ddt

1r v 2 /c2( )

2 1r v 2 /c2( )

3 / 2 =3

2c2dr v 2

dt=

3

c2

r v

r a

r v

r a = c2

3

ddt

r F

r v = m

r a

r v +m

r v

r v

ddt

= m c2

3

ddt

+mr v 2

ddt

= mc2 12 +

r v 2

c2

ddt

= mc2 ddt

la force est parallèle à l’accélérationsi et seulement si elle est parallèleou perpendiculaire à la vitesse

r F = m

r a +m

r v

ddt

= mr a +

r v

r F

r v

c2

r F =

dr p

dt=

d(mr v )

dt= m

r a +m

r v

ddt

F ma et la force n’est en généralpas parallèle à l’accélération

r F

r v = 0

ddt

= 0

r F = m

r a

= constante v = constante

• Si F est perpendiculaire à v:

r F = m

r a +

r F

r v 2

c2 r F 1

r v 2

c2

= m

r a

r F = m 3r a

• Si F est parallèle à v:

Au tableau

OS, 6 mai 2004 313

Energie cinétique relativiste

• Une particule au repos dans R au point A se déplace au point Bsous l’effet d’une force, en acquérant une énergie cinétique T:

• Théorème de l’énergie cinétique entre A et B:

z

Oxy

t

RvA=0

A=1, TA=0

F

AB

vB=v

B= , TB=T

trajectoire

T = TB TA =r F d

r r

A

B=

r F

r v dt

A

B

= mc2 ddt

dt

A

B= mc2

A

B= mc2

B A( ) T = mc2( 1)

T = mc2 1r 2( )

1/ 21[ ] = mc2 1+ 1

2

r 2 +O

r 4( ) 1[ ] = 1

2 mc2r 2

12m

r v 2

1 2 3 +O

r 4( )

• Limite non-relativiste ( = v/c << 1):

OS, 6 mai 2004 314

Quantité de mouvement et énergiecinétique en fonction de la vitesse

0

1

2

3

4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4=v/c

p/mcQuantité de mouvement relativiste:p = m c= m v

Quantité de mouvement newtonienne:p = m c = mv

0

1

2

3

4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4=v/c

T/mc2

Energie cinétique relativiste:T = mc2( –1)

Energie cinétique newtonienne:T = mv2/2

Remarques:

– on retrouve lamécaniquenewtonienne siv << c ( << 1)

– en relativité,v est bornée(par c)mais p et T nesont par bornés

OS, 6 mai 2004 315

Energie potentielle de masse

• On observe une particule au reposqui se désintègre. Exemples:

• Lois de conservation:– Quantité de mouvement totale conservée– Energie cinétique pas conservée

de l’énergie potentielle est libérée sous forme d’énergie cinétique

Z0 quark +antiquark +gluon hadrons

Z0 q q g hadrons

temps de vie moyen du neutron = 15 min

neutron proton +électron +antineutrino

Attention:

« taux de change » très élevé:1g de matière correspond à

10 3 (3 108)2 1014 Jou ~ 3MW pendant 1 an

énergiepotentiellede masse

Emassepot = mc2

Einstein, 1905

masse énergie équivalencemasse-énergie

– On introduit une énergie interne associée à la masse, de sorte quel’énergie totale (énergie cinétique + énergie de masse) soit conservée:

OS, 6 mai 2004 316

Energie potentielle de masse (2)• Soit la constante de proportionnalité

entre masse et énergie interne de masse.• Désintégration d’une particule de masse M

en deux particules identiques de masses m:

Conservation de E dans R': T(M,v) +Emassepot (M) = T(m,u) +2Emasse

pot (m)Mc2 (v) 1( ) + M = mc2 (u) 1( ) +2 m (1)

Conservation de r p dans R': M (v)v = m (u)u (2)

(1)(2)

c2 (v) 1( ) +

(v)v=

c2 (u) 1( ) +2(u)u

où u = 2v1+ v2 /c2

à résoudre pour avoir en fonction de v

Solution: = c2 indépendamment de v !

Emassepot (m) = m

après

avant

Référentiel R du centre de masse

repos

v–v m m

M

après

avantsaut de vitesse –v

Référentiel R’ où une masse m est au reposrepos

v

m m

M

u

u = 2v/(1+v2/c2)

OS, 6 mai 2004 317

Relation énergie – quantité de mouvement

• Energie totale d’une particule de masse m et de vitesse v:

• Vitesse:

• Relation entre énergie et quantité de mouvement:

• Particule de masse de masse nulle:

– exemple: le photon (particule de lumière)

Au tableau

E = T +Emassepot = mc2( 1) +mc2 E = m c2

r p = m

r c

r =

r p

m c=

r p c

m c2

r =

r p cE

E2 r

p 2c2 = m2c4

1r 2 = 1

2 E2 Er ( )

2= E

2

E2 r p c( )

2 = mc2( )2

m = 0 E = pc =1

Remarque:les quantités E, pc et mc2

ont toutes la dimensiond’une énergie

Unités courantes: eV, MeV, …

OS, 6 mai 2004 318

Scalaires et quadrivecteurs

• Scalaire (ou invariant):– grandeur que ne change pas par changement de référentiel:

• exemples: c, s, m, mc2

• Quadrivecteur:– ensemble de 4 composantes (A0, A1, A2, A3) =(A0, A) qui se

transforme comme (ct, x, y, z) = (ct, x) par changement deréférentiel (transformations de Lorentz)

• exemple:

– produit scalaire de deux quadrivecteurs:

– carré de la norme d’un quadrivecteur= produit scalaire d’un quadrivecteur par lui-même:

• Le carré de la norme d’un quadrivecteur est un scalaire– par exemple

(A0, r A )2 = A0

2r A 2 = A0

2 A12 A2

2 A32

c t, x( )2

= (c t)2 x( )2

= ( s)2 est un scalaire

(A0,r A ) (B0,

r B ) = A0B0

r A

r B

c t, x( ) = (ct2,

r x 2) (ct1,

r x 1)

OS, 6 mai 2004 319

Quadrivecteur énergie–quantité de mouvement

= 1tTemps propre d’une particule de vitesse v(= temps dans le référentiel où la particule est au repos):

ct,r x ( )Quadrivecteur position:

Quadrivecteur vitesse:

dd

ct,r x ( ) = d

dtct,

r x ( ) = c,

r v ( )

Quadrivecteur vitesse/c:

,r ( ) de norme2 = ,

r ( )

2= 2

r ( )

2= 2 1

r 2( ) =1

En multipliant ce dernier quadrivecteur par le scalaire mc2,on obtient un quadrivecteur de norme2=m2c4 :

m c2, mr c2( ) = E,

r p c( ) est un quadrivecteur

E2 r

p 2c2 = m2c4

Conséquence:

l’énergie et la quantité de mouvementse transforment de la façon suivantelors d’un saut de vitesse standard:

E'p'xp'yp'z

=

0 00 0

0 0 1 00 0 0 1

Epx

py

pz

transformation de Lorentz

OS, 6 mai 2004 320

Résumé de relativité restreinte

Relativité restreintev/c <<1 Mécanique newtonienne

c = constante temps et espace absolus

(c t)2 x( )2 invariant t et x invariants

r =

r v /c, = 1

r 2( )

1/ 2

r p = m

r c

r p = m

r v

T = mc2( 1) T = 12 mv2

E = m c2 E = Einterne + 12 mv2

r =

r p c/E v = 2T/p

E2 r p 2c2 = m2c4 T =

r p 2 /(2m)

r F =

dr p

dt

r F =

dr p

dt

conservationquadrivecteur

(E, r p c)

conservation de r p

conservation de l'énergie

Postulats

Grandeursphysiques

Loi de ladynamique

Lois deconservation