3 1 5

EN SENSIBILITI~, DES FILTRES

~,CHELLE AVEC TERMINAISONS

p a r

R e n 6 B O I T E Professeur *

LC RI~SISTIVES

ANALYSE. - - L'au teur dlablit l 'expression de la sensibilitd au premier ordre el aux ordres s u p # i e u r s pour l 'af fai- blissement effecti f d 'un filtre L C avec terminaisons rdsistives. I l jus t i f ie ensuite d'une fa fon algdbrique l' existence de zdros de sensibilitd au premier ordre communs d tous les composants rdactifs du fillre ; l'existence de z # o s

de sensibilitd propres dl certains composants est aussi expliqude.

ABSTRACT. Express ions are derived for the first and higher order sensitivities o f the effective loss introduced by a ( L C ) fitter with resistive terminations. A n algebraic proof is given for the first-order sensi t ivi ty zeros which are shared by each non dissipative component ; the existence of (( private ~ zeros for certain component is also

explained.

SOMMAIRE. - - �9 1 : Introduction. �9 2 : Express ion de la diffdrentielle de l 'affaiblissement. �9 3 : Sensibili td la variation d 'un composant situd dans une branche sdrie. �9 4 : Sensibili td d~ la variation d 'un composant

silud dans une branche shunt. �9 5 : Sensibililds coupldes. �9 6 : Interprdtation des zdros de sensibilitd. �9 7 : Conclusions. Bibl iographie (10 rdf.).

t . I N T R O D U C T I O N

Les propr i6t6s de faible sensibi l i t6 des fi l tres h

i nduc t ances et capaci t6s t e rmin6s pa r des rds is tances

sont bien connues ; elles p r6 sen t en t un in t6r~t cousi-

d6rable p o u r la rda l i sa t ion p r a t i q u e des fil tres de

t 6 ldcommun ica t i on . D ' a u t r e pa r t , il semble bien que

la seule m 6 t h o d e rdal is te pour la synth6se des fil tres R C

act i fs h h a u t e sdlect iv i t6 consis te p r6c i s6ment $ imiter

les fil tres L C avec t e rmina i sons rdsis t ives ; p a r imi-

t a t i on , il f a u t c o m p r e n d r e l ' u t i l i s a t i on d ' u n rdseau

ou d ' u n sys t6me qui obdi t au m ~ m e sys t6me d ' dqua -

t ions de Ki rchhof f [1, 2, 3, 4].

La m ~ m e idde est uti l is6e pour la syu th6se des

fil tres numdr iques d'onr qui a u t o r i s e u t des rdali-

sa t ions b e a u c o u p mo ia s sensibles que celles bas6es

sur les s t ruc tu res cascade ou paral l~le [5, 6].

L ' a f f a ib l i s s emen t i n t r o d u i t pa r un filtre t e rmind

pa r des rds is tances (Fig. 1) est ddfini pa r les re la t ions :

(1 a) H = ~ R 2 E l 2 '

(1 b) A r ( 6 o ) = - - l o g ~ l H ( r .

On conna i t la j u s t i f i c a t i on c lass ique de la faible

sensibi l i t6 dans la b a n d e pas san te ; a u x pu l sa t i ons 6)o/

qu i a s su ren t un z6ro de l ' a f f a ib l i s semen t , le t rar tsfer t

de pu i ssance de la source vers l ' u t i l i s a t i on est o p t i m a l :

la pu i ssance dissip6e dans R 2 est ~gale h la pu issance

Z l

+ F - - - I - - Xk - - +

_ (L ou C) U2

FIG. 1. - - Filtre LC avec terminaisons R.

m a x i m a l e que la source p e n t fourn i r :

(2) P 2 - I u21~/R2 = IE I2 /4 R 1 - Pmax .

Or, apr6s une v a r i a t i o n inf in i t6s imale A X k - posi-

t ive ou n6ga t ive - - de t ou t e r6ac tance in t e rne X k ,

c o m m e la pass iv i t6 du fi l tre i m p l i q u e P2 ~< P m a x , on a ndces sa i r emen t d P i = 0 ; pa r cons6quen t , pu i sque

l ' on p e u t dcrire au p r e m i e r ordre :

1 (3) ,IA~ - - ( t I U I / I H I = - 2 d P J P 2 '

il v i e n t :

~)Af (4) Ar(r = 0 ~ ~ ~o=o~0i, V i , V k.

La s i m u l a t i o n et l ' exp6r ience mor t t r en t pa r a i l leurs

que la sensibi l i t6 de l ' a f f a ib l i s semen t res te tr~s fa ible

dans t o u t e la bande pas san te d ' u n fi l tre qui poss~de

un h o m b r e suf l i sant de pu l sa t ions to0/.

On sai t d ' a u t r e p a r t que la s t r u c t u r e en dchelle

p e r m e t un a j u s t e m e n t tr6s pr6cis des pu l sa t ions r

qui c o r r e s p o n d e n t a u x p61es de l ' a f f a ib t i s semen t --- et

* De Thdorie des Circuits au Ddpartement d'61ectricitd, Facult6 Polytechnique de Mons, Belgique.

1 / 8 A N y . TI~L]i:COMMUNIfi., 32 , n os 9-10 , 1977

316 R. BOITE. -- SENSIBILITI~ DES FILTRES LC EN I~CHELLE

ceci complete le tableau des avantages qui out jusqu 'h present imposd les filtres LC en tdl6communications.

Une th6orie 6nerg6tique de la sensibilit6 des filtres

(LC) avec terminaisons r~sistives a dt6 esquissde par Kishi & Kida [7] ; leurs rdsultats ont ~t6 explicitds par Temes & Orchard [8], qui ont montr6 que si Xk

est la rdactance pr6sent6e par une capacit6 Ck et si

l 'on ddsigne par :

Z 1 - - R 1 _ (5 ) ~I - - Z1 + R1 I~ l l elY, ,

le coefficient de r6flexion h l 'entr6e, et par :

u~= [uk[ e lae et ~ e k = 1/2 CkIUk[ s

respect ivement la tension aux bornes de Ck et l 'dnergie 6lectrostatique moyenne qui s 'y t rouve emmagasin6e, on a, pour E = 1 :

_ bA~ 4 ~oR~[p~l ~e~ sin (2 ~k - - Y1) (6) - 1

et un r6sultat similaire dans le cas d 'une inductance L~. On retrouve donc le r~sultat (4), puisque aux z~ros de l 'affaiblissement, le t ransfer t de puissance

6tant optimal, le coefficient de r6flexion P1 est nul. Une th6orie ~nerg~tique n 'es t applicable qu 'h un

r6seau de Kirchhoff, puisque dans uu syst~me quel- conque, le concept de puissance perd en g6ndral sa signification physique. Or, certaines m6thodes de syuth~se des filtres R, C actifs qui se proposent

d ' imi ter un filtre L, C conduisent ~ un syst~me dans leqnel les grandeurs 61ectriques tensions et courants du filtre L, C prototype sont simul~es par des ten- sions, comme darts un calculateur analogique ; seule une correspondance directe entre les composants du

filtre L, C et les param~tres du syst~me peut justifier la prdservation de la propri6t6 de faible sensibilit6. Pour ce qui concerne les filtres numdriques d 'onde, signalons une ten ta t ive de g~n~ralisation des concepts de puissance et de non dissipativit~ due h Fettweis [9].

I1 appara i t donc qu 'une th6orie alg6brique de la sensibilit6 des filtres L, C consti tue un objectif d ' un grand intdr~t. En premier lieu, elle autoriserai t sans doute le ddveloppement de m~thodes autonomes de synth~se des filtres R, C actifs et des filtres numd-

riques ; en second lieu, elle permet t ra i t d ' invest iguer les effets du second ordre dont l ' influence peut devenir prdpond6rante pour la distorsion de l 'affaiblissement duns la bande passante due h des variat ions relatives impor tantes des composants.

La pr6sente 6tnde consti tue une in t roduct ion h une telle th6orie alg6briqne.

2. E X P R E S S I O N D E L A D I F F ~ R E N T I E L L E D E L ' A F F A I B L I S S E M E N T

La ddfinition de l 'affaiblissement (1 b) permet d'6crire :

(7) - - A A t = l o g e l H + d H l - - l o g e l H [ = l o g e l l + d H I H I .

On connai t la formule de d~veloppement :

(8) loge(1 + =) = ( - k - , zk , I=1 < 1, k=l

et comme l 'on a :

(9) loge[1 + z I = Be [loge(1 § z)]

il v ient d o n c :

(10) AAf = ~ (-- 1) k-1 k -1 Re . k=!

3. S E N S I B I L I T ] ~ A L A V A R I A T I O N D ' U N C O M P O S A N T

S I T U I ~ D A N S U N E B R A N C H E S ~ R I E

Si l ' impddance Zk d 'une branche sdrie subit une per tu rba t ion dZk (Fig. 2), la tension utile U s devient

U s § d U 2 et on a :

dH d U s (11) H - U s "

Le courant normal Ik subit une var ia t ion d / k ; les variat ions dU~ et dlk peuven t ~tre calcul~es par l 'appl icat ion du thdor~me de Norton illustrde h la fgure 3.

0

EI '_ '

= I I -

Zk

I k (k)

y - I

kk

/ /

FIG. 2. - - Composant situ6 dans une branche sdrie.

+

,I~

I ! !

d Z k

dl k -- 0 ~4m.. C = I I

Zk

FIa. 3. - - Application du th6or~me de Norton.

Ik

d Z k

ANN. TEL~:COMMUNIC., 32, n ~ 9-10, 1977 2 / 8

R. B O I T E . S E N S I B I L I T E DES F I L T R E S LC EN ]~CHELLE 317

La source de courant est remplacde par une source de tension, et pour tenir compte des effets d'ordres sup6rieurs, on laisse subsister la diffdrentielle dZk, dont l'effet est de provoquer une chute de tension dlkdZ~ (Fig. 4).

dXk 1 ~ i/ dX~ ~ ~ (18) A A , , ~ - - X ~ I m y k k ~ + ~ X i R e y k k k - ~ ) .

L'expression du terme qui d6crit les effets du pre- mier ordre est bien connue [10] :

IkdZ k

dl k + - ~ -

Z k + d Z k

dl k o - - - ~ - - ~ ~ ~ o

, M Y Zk

Fro. 4. - - Transformation de la source perturbatrice.

En rdsum6, l'effet d 'une per turba t ion dZk de

l ' imp6danee d 'une branche s6rie peut ~tre simul6

par la subs t i tu t ion h dZk d 'une source de tension Ii~dZk q- d lkdZk orient6e en sens oppos4 au courant

initial Ik .

Puisque k est une branche s6rie d ' un filtre en 6chelle, il est clair que l 'on peut 6crire :

dH d U~ d I k (12) H - U 2 I ~ "

Si y[~ d&igne l ' imp6dance vue en eoupant la branehe k apr6s avoir annul6 la source E (Fig. 2), il

vient :

(13) dlk = -- ykk(I~dZk + dZkdlk)

et enfin :

dlk (14) Ik -- -- ykkdZk(l + ykkdZk) -1.

Si l 'on pose 0 = yk~dZk, il v ient :

dH dlk H Ik - 0 ( 1 - - 0 ~ 0 2 - 0 '~ ~ . . . . )

et apr6s quelques calculs simples, on trouve, h par t i r de la relation (10) :

E 102 10a 104 __1 (15) AAf Re 0 - - ~ + 5 - - 4 -- . . . .

On a par cons6quent :

(16) A A f ~ I t e Y k k d Z k - - ~ ( y k k d Z e ) ~ +

~ (Ykk dZk) a -- ...

et si l 'on t ient compte de ee que Zk = j X ~ , il v ient :

1 1 . 3d~a ' ] (17) A A , = R e j y~kdX~+ ~ y i ~ d X ~ - - ~ ] y ~ ~•

1 Y~kdXk + = - - I m ykkdXk+ ~ Re 2 ~ 2

1 - Im Y~k ~ + ... 3

soit encore, en se l imi tan t aux effets dn premier et du second ordre :

3/8

�9 la branche k cont ient une inductance :

dXk dLk Xk ~oLk, soit --

Xk Llc ' d'ofi :

(19) AAr , -~- - (oLkImykk + 2((~ L~J ;

�9 La branche (k) coat ient une capacit6 :

dXk dCk X k : - - (COCk) -1, soit X~ Clc '

d'oh :

dCk 1 (20) AAr~- - (o )C~) -1 Imgkk ~ + ~((oCk) -2 X

�9 La branche k cont ient un circuit rdsonnant parall61e accord6 exactement sur cok = (LkCk) -112 :

Ck'o) dXk dCk Xk = o ~ - - r ~' soit Xk C~

d'oh :

C~'o) dCk 1 ( C~'o) \12 (21) A A r ~ r ~ I m g k k - C ~ § \ r •

/dC/~" 2 Re g~k '\ CG "

4. S E N S I B I L I T I ~ . A L A V A R I A T I O N D ' U N G O M P O S A N T SI T U I ~ . D A N S U N E B R A N G H E S H U N T

Si l ' admi t tance Yk d 'une branche shunt subit une

per turba t ion d Yk (Fig. 5), le potentiel Vk subit une var iat ion dont l 'expression peut ~tre d&tuite de (13) par dualit6 :

(22) dVk = -- zkk(VkdY~ -r dVkdYk) ,

oh zkk est l ' imp6dance r ue du nccud k apr6s avoir armul6 la source E.

ANN. ~rELI::CO~IMUNIC.~ 32, I1 ~s 9-10, 1977

318 R. B O I T E . -- S E N S I B I L I T I ~ . D E S F I L T R E S LC E N E C H E L L E

+ R1 c ' " - - -1

V k (k)

Y k O ) Zkk I !

+

FIG. 5. - - Composant situ6 dans une branche shunt.

On a d o n e :

(23) dV~ = - - z k k V k d Y ~ ( 1 + zkkdYk) -1 ,

e t p u i s q u e (k) e s t u n e b r a n c h e s h u n t d ' u n f i l t re e n

6chel le , il e s t c la i r q u e 1'on p e u t 6crire :

d H d U s d Vk

H U s Vk '

= - - zkkd Yk(1 + zkkd Yk) -1.

5 . S E N S I B I L I T I E S G O U P L I ~ . E S

Des v a r i a t i o n s s i m u l t a n f e s dZ~ e t dZz des i m p 6 -

d a n c e s s i tu~es r e s p e c t i v e m e n t darts les b r a n c h e s

sdrie k e t l (Fig. 6) p e u v e n t fitre s imu l6es p a r l ' i n se r -

t i o n des sources de t e n s i o n dEk e t dEs donnf ies p a r :

R 1

I I

dE k + dl k

dE~ dl~ + ---~-

Fro. 6. - - Sensibilit6 coupl6e : cas de deux composants sdrie.

R2

§ !dO2

Si l ' o n t i e n t c o m p t e de ee que Yk = j B k , il v i e n t :

dBk 1 ( dBk ~ ~" (24) A A ~ - - B k I m z k ~ + ~ B ~ R e z ~ k \ B k }

�9 la b r a n e h e (k) c o u t i e n t u n e c a p a c i t 6 :

dBk dCk Bk = coCk , so i t

Bk Ck

d ' o h :

dC/c 1 ~ / d C k \ ~ (25) AA,=--coCkImzkk--C~-e + ~(coCDSRezfck~--C-~)

�9 la b r a n c h e (k) c o n t i e n t u n e i n d u c t a n c e :

dBk dLk Be = - - (coLe) -1 , so i t - -

Bk Lk '

d ' o f i :

(26) AAt ~ - - (coLD -1 I m zkk dL e 1 ~ [ + ~ (coL~)-s •

R e z ~ / c \ L k / "

�9 la b r a n c h e (k) c o n t i e n t u n c i r cu i t r f s o n n a n t s6rie

a c c o r d 6 e x a e t e m e n t s u r coe = (L,~C~) -1Is :

co~Ckco dBk dCk so i t - - - -

Bk -- co~ _ r176 s , B~ Ck

&off :

co~ I m Zkk + (27) A a t = co~ __ co~ coCk \ Ck }

, ( (d<=+' I" cos - - coCk/ R e z~+ 2 \ ~ - co~ \ c , /

(28) dEk = I kdZk + dI~cdZk,

(29) d E t = l l d Z t + d lzdZz .

Si la m a t r i c e d ' a d m i t t a n c e d u rdseau v u p a r ces

d e u x sources e s t n o t r e :

[Ykk Ykl l (30) [Y] = LYzk YkkJ '

o n a :

(:,,_> I " ' q I I,+az+ + dl,,a q [ d h J = - - Y [ I+dZ+~ d l z d Z t J '

soi t :

d l e ( 1 - - ykl~dZe) + dl t(yetdzt) = - - IkykkdZk - - ItyezdZ~ ,

dlk(yvcdZk) + d / t 0 + YtldZl) = - - IlcylkdZk - - I t y u d Z l �9

D ' a u t r e p a r t , c o m m e l ' o n p e u t 6cr i re :

d H d U s d l t

H U s I t '

o n v a ca l cu l e r dI1 = N d D a v e c :

D = (1 + ykkdZk) (1 + yl ldZl) - - y ~ l d Z k d Z l ,

N1 = - - (1 + ykkdZk) ( Iky lkdZk + I lyl ldZz) +

ylkdZk( I~ykkdZe + l lyk ldZl ) �9

I1 v i e n t e n s u r e s u c c e s s i v e m e n t :

Nl = - I ky l kdZk - - I ly t ldZ1--(YkkYl l - -Y~l) I t d Z k d Z t ,

D = 1 + yklcdZk+ YudZ t + (YkeYu--Y~t) d Z k d Z l ,

D -1 = 1 - - ykkdZk - - yudZ~ + ...,

N t D -1 = - - I k y k ~ d Z ~ - I t y u d Z l + I 2 z I - "kem. -dZ s + ~yudZt + (y~tll + yUyo:ID dZkdZ; ICy .~ *x k

ANN. T]~LECOMMUNIC., 32, n ~ 9 10, 1977 4 /8

R. BOITE. -- SENSIBILIT]~ DES F I L T R E S LC EN ]~CHELLE 319

Pour ob ten i r le quo t ien t d l f f l~ , iI fau t encore calculer le r a p p o r t des courants in i t i aux I~]I~; or h la figure 7, si la source de tension Ek est tel le que l'k = I~, il est clair que l 'on aura aussi ~ = I t ; on peut doric 6crire :

Ik = Tk = ykkEk,

ll "~- "ffl = YlkEk,

et enfin :

1 2 2 (34) AAt = Re ytzkdZlc -- ~ yklcdZk + yudZ1 --

1 . 2 d Z 2 y~tdZkdZl + ] Y l l l - - . . . �9

Si l 'on t i en t compte de ce que Z~ = jX~ et que

R i

i b - -

E k + qql-- -~ "-

Ik

Z~

F i e . 7. - - Ca lcu l d e la sens ib i l i t6 coup lde .

d'ofl :

(32)

I1 v ient enfin :

Ik Ykk ll Y#l

dig (33)

Il 2 d Z 2 ~ d ~ , 2 ,

- - = - - Ykk dZk -- yudZ1 + Ykk k + Yll z,l ~-

(YkkYU + Ykl) 2 dZkdZl + ...

Si l 'on pose :

Ok = ykkdZk ,

Ol = y u d Z l ,

O~z = y~dZ+dZl,

il v ient successivement :

dH - - 0 2 . . . ----=0,~ O~,+Ol--O:i--O,l--Oj~1+

H

( dH\ ' 2 0" ~ - ; = k + O ~ + 20,~0z+ ...

d H 1 / d H \ 2 1 1 - - - - \ - - ,~l+ H q - 2 H - ) = 0 k - - 5 0 ~ + 0 1 - - 2 0 t 02 "'"

Z z = j X t , il v ient :

. dX~ 1 ( d X k ~ 2 (35) AAt = - - Xk lm Ykk ~ - k + 2 i l Re Y•k \ ~ - / - -

dXt 1 ( d X l \ ~ x , ,m Yl, ~ + ~ X~ Rc y~, L x -S / +

r

dXk dXl XkXg Re Y~z + ..-

X~ Xt

Des var ia t ions d Yk darts la branche shunt (k) et dZz dans la b ranche sdrie (Fig. 8) sont simuldes respec t ivement pa r une source de couran t inject~e au nceud k et urte source de tension en s~rie avec la branche (l) :

(36) dJk ~ Vkd Yk + d Vkd Y1c,

(37) dEz = IgdZl § d l tdZt .

Si la mat r ice hybr ide du rdseau vu par ces deux sources est not6e h (Fig. 9), on a :

<++> i+,+,+i = , , [ dl+] I_ IldZt + dl ldZl ]

R i

i J

- dJ k

d V k /

dE(~ d l C +

+!dU:

FIG. 8. - - Sens ib i l i t6 coup lde : cas d ' u n c o m p o s a n t s h u n t e t d ' u n c o m p o s a n t sdrie.

d i~

+ i ~1 ' lYk Z~r _ " - d J k d V k I J ~ "

- I__~ ~'l . . . . . "-

F i n . 9. - - Ddf in i t i on de la m a t r i c e h y b r i d e .

dE~

5 / 8 ANN. T~LECOMMUNIC., 32, n o+ 9-10, 1977

320 R. B O I T E . -- S E N S I B I L I T E D E S F I L T R E S LC E N ] ~ C H E L L E

On observera que :

hkk = z e e : imp6dance r u e du nceud k,

hu = Yu : a d m i t t a n c e r u e en c o u p a n t la b r anche l,

et (38) f ou rn i t les deux 6qua t ions :

d V~(1 § zked Y~) + d Ii(hkldZl) = - - Zkk d Ye V~ - - held Zl I1,

d V]~(hlkd Y~) + d Ii(1 + yudZl ) = - - hlkd Yk V e - - y u d Z l l l .

Comme l 'on p e u t aussi 6crire :

d H d U~ d It

H U2 It

on va calculcr dI~ = N d D , avec :

D = (1 + zked Yk) (1 + yudZl ) - - hklhlk d Y e d Z l ,

N = - - (1 -F zeedY]r (h l eVkdYk + y u l l d Z l ) +

hlkd Yk(zkkd Y e V k + hk~dZlI~) .

I1 v i en t ensu i t e success ivemen t :

NI = - - hle Vkd Yk - - y t l l t dZ l - - zeeyul ld Y~dZt + hlkh]alld YkdZ t ,

D = 1 + ze~d Y k + yltdZl-q- (zekYlt--helhl]~) d Y k d Z t ,

D -1 = 1 - - Zkkd Y~r - - y u d Z l + ...

NID -~ = - - hlk Vkd Yk + htezk]rV~d Y~ - - y u l l d Z t + y~lI~dZ~ -k (hlkhkllt + hlkyuVk) d YedZ l .

il v i e n t successivement :

dH _ 0 2 Ok - - O~ + Ol - - O~ - - OeOl - el,

H

( d ~ ) ~= O~ + O~ + 20kOl + ...

- ~ + ~ = Ok - ~ Ok + O1 - ~ O~ - O~l,

et enf in :

[ 1 (40) A A r = Re z e k d Y k - - ~ z ~ e d Y ~ + g u d Z z - -

1 ~dZ2 ] Yu l - - hlkhkld YedZl + . . . .

Si l ' o n t i e n t compte de ce que Yk = jBk et que

Z t = j X t , il v i en t :

dBk 1 /dBe\~ 2 (41) A A r = - - Be Im z k I c ~ + ~ B ~ R e z k k \ ~ ) - -

dX1 1 ( d X l \ . 2 Xz Im gu ~ l + 2 X i Re y211 \ X l l ) +

dBk dXz B k X l Re (hlkh~l) + ...

Be Xt

R i Vk /Jk

Yk i

FIB. 10. - - Calcul de la sensibilit6 coupl6e.

II f au t encore d6 t e rmine r le r a p p o r t V~/ I z ; h la

figure 10, si la source Jk est telle que Vg = Ve, on

p e u t aff irmer que l ' on a aussi Tl = I z ; on p e u t done

6crire :

Vk = Vk = ZkkJk ,

IZ : "[1 = hlkJk ,

d'oO :

Ve z~e (39) I---~ = htk"

I1 v i eu t enf in :

dlz

Iz d Z 2 -- zeed Ye + z~kd Y~ - - y l ldZl + Yll I +

(hzehgt + z ~ y u ) d Y~dZI �9

Si l ' o n pose :

0k = zkkd Yk,

Ol = yu d Z l ,

(}~l = hllchkld YedZ l ,

6. I N T E B P B ~ . T A T I O N DES Z~.ROS DE SENSIBILITY.

Soit une section de filtre L, C en 6chelle (Fig. 11) ; yg et Ya r ep r6sen t en t les a d m i t t a n c e s r u e s respect i - v e m e n t ~ gauche et ~ droi te des coupes represeut6es en t r a i t d ' axe , lorsque la source E est annul~e .

O n va m o n t r e r q u ' a u x pu l s a t i ons p o u r lesquelles

il y a a d a p t a t i o n dans la coupe ( k - - 2 ) :

gd,k-2 ~ Yg,e-~,

la sensibi l i t6 au p remie r ordre s ' a n n u l e pou r les deux

composan t s de la sect ion et que de plus, il y a adap-

t a t i o n darts la coupe (k).

On a en effet :

(42) z k - l l , e - 1 = Y g , k - 2 Jr- Yd,k- -2

et pa r c o n s e q u e n t Zk-l,e-1 est r~e l ; d ' a u t r e par t ,

ANN. TI~L~:COMMUNIC., 32, n ~ 9-10, 1977 6/8

R. BOITE. -- SENSIBILITE DES FILTRES LC EN ]~CHELLE 321

1 Yg,k--2

(k--2) - I

Yk'k

L [ J ~ " Zk l ' k--1

Yd ,k--2 Yg,k

(k)

Yd, k

Fro. 11. - - Section d'un filtre LC en 6chelle.

pu i sque Yr = j B k - I , on p e u t 6crire :

(43) ye~ = (Yg,k-2 + j B e - l ) -1 + (Ya,k-2 - - J Br 1- ,

de sor te que Ykk est d g a l e m e n t r6el. Leg calculs prdc6-

den t s i m p l i q u e n t l ' a n n u l a t i o n de la sensibi l i t6 au

p r e m i e r o rdre p o u r l '616ment s h u n t c o m m e p o u r

l '61~ment s6rie.

On a enfin :

--I Yg,k = (Yg,e-2 - - j Bk-1) -1 - - j X k ,

--I Ya,k = (Yg,k-~ + j B1r -1 -- j X,~,

de sor te que :

(44) y~,~ = y~,~.

A u x pu l sa t ions coot pour lesquel les l ' a f f a ib l i s semen t

s ' annu le , on sai t que le coeff ic ient de r~flexion h

l ' en t rde est nul : on a Z~ = R 1 ; il y a donc a d a p t a t i o n

h l ' en t r6e e t a n n u l a t i o n de la sensibi l i t6 au p r e m i e r

o rdre p o u r les c o m p o s a n t s de la p remi6 re sec t ion de

filtre. Au vu de ce t t e 6tude, ces d e u x propr idt6s se

p r o p a g e n t h t r ave r s t o u t le filtre.

Il res te h i n t e rp rd t e r l ' ex i s t ence de z6ros de sensi-

bi l i t6 privds que p e u v e n t p rdsen te r ce r ta ins c o m p o -

sants de l 'dchel le . La re la t ion (42) m o n t r e que si la

s o m m e (yg,~_~ § Yo,k-e) est r6elle sans qu ' i l y a i t

pour a u t a n t a d a p t a t i o n (Re gg ve R e g o ) , l ' impd-

dance zk_.,e_~ est r6elle, mais d 'apr6s (43) et (44), il t n ' e n v a pas de m ~ m e pour y ~ ni p o u r (yg,~ § Yo,D-

Dans ce cas par t icu l ie r , l '61dment s h u n t de la k e sec-

t ion de l '6chel le pr6sente un z6ro de sensibi l i td privd.

7. C O N G L U S I O N S

Des express ions a lgdbr iques on t 6td obte t tues p o u r

le calcul des sensibil i tds du p r e m i e r et du second

ordre p o u r les c o m p o s a n t s d ' u n fi l tre en 6chelle ; les

sensibil i t6s coupldes on t aussi 6t6 t ra i t6es .

Les rdsul ta t s ob t enus on t 6t6 uti l is6s p o u r 6 tabl i r

l ' a n n u l a t i o n s imu l t an6e de la sensibi l i t6 du p r e m i e r

ordre p o u r tous tes c o m p o s a n t s r6act i fs a u x pu l sa -

t ions p o u r lesquel les l ' a f f a ib l i s semen t est nul.

Ces zdros de sensibi l i t6 sont li6s h la v a r i a t i o n

d ' u n e rdac tance dang une mai l le d o n t l ' i m p 6 d a n c e

est r6elle ou h celle d ' u n e suscep tance darts une coupe

d o n t l ' a d m i t t a n c e est aussi r6elle h la m S m e pu lsa -

t ion ; darts c h a q u e cas, il s ' ag i t d ' u n e v a r i a t i o n infini-

t6s imale d ' u n e i m p 6 d a n c e ou d ' u n e a d m i t t a n c e

o r thogona l e h sa v a l e u r ini t ia le .

L ' e x i s t e n c e de z6ros de sensibi l i t6 privds p o u r cer-

ta ins composan tg de l '~chel le a aussi dtd in terpr6t~e .

I1 est c la i r c e p e n d a n t que ce t t e th6or ie a lg6br ique

est li6e 6 t r o i t e m e n t a u x a r g u m e n t s 6nerg~t iques clas-

s iques ; il res te h b~t i r une th6or ie a u t o n o m e de la

seusibi l i t6 dans un sys t~me s i m u l a n t ou non un rdseau.

Manuscri t requ Ie 2 mai 1977.

B I B L I O G R A P H I E

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322 R BOITE. - SENSIBILITE DES FILTRES LC EN ECHELLE

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