Chapitre 5 : Performances d’un Système Asservi : ‘ Stabilité- Précision-Rapidité ’ 

I) - Stabilité des systèmes asservis

Définition 1Un système est stable si sa réponse impulsionnelle tend vers 0 lorsque le temps tend vers l’infini.

Définition 2Un système est stable si à une entrée bornée correspond une sortie bornée.

Remarques :-Ces deux définitions sont équivalentes dans le cas de systèmes linéaires.- Un système réel instable oscille jusqu’à la destruction, ces oscillations peuvent dans le cas général être limitées par les différentes saturations et laisser croire que la sortie du système est bornée, le système ne peut plus être considéré comme linéaire. La première définition ne peut être utilisée.

- Les zéros d’un système de fonction de transfert sont les racines de N(p)=0 et

les pôles sont les racines de D(p)=0.

- Si on boucle ce système par un retour unitaire, la fonction de transfert de la boucle fermée est :

.

Théorème :Un système linéaire est stable si et seulement si les pôles de sa fonction de transfert sont tous à parties réelles strictement négatives.

Critères de stabilitéCritère de RouthLe critère de Routh est un critère algébrique qui permet de savoir si certaines racines de l’équation: sont à partie réelles positives.

Ennocé du critère de Routh :a) Premier examen: Si les coefficients ai ne sont pas tous du même signe ou si l’un de ces coefficients est nul; alors D(p) admet des racines à partie réelles positives.

b) Deuxième examen Si tous les coefficients sont strictement positifs ou strictement négatifs, on construit le tableau de Routh suivant:

an an-2 an-4      

an-1 an-3 an-5        

A1 A2 A3          

B1 B2 B3           

                 

             

1              

- Les deux premières lignes sont constituées des coefficients du polynôme.

- Les autres coefficients sont calculés comme suit

Enoncé du critère de Routh :

Le nombre de changement de signe dans la première colonne est égal au nombre de racines à partie réelles positives.

Exemples :

Remarques

Si dans la construction du tableau de Routh:-l’un des pivots est nuls, les autres éléments de la même ligne ne sont pas tous nuls,

D(p)=0 admet des racines à partie réelles positives. -tous les coefficients d’une même ligne sont tous nuls, D(p)=0 admet des racines

imaginaires pures.

Limites du critère de Routh :- D(p) doit être un polynôme. - Il ne permet pas de préciser les marges de stabilité.

Critère Graphique

Les critères graphiques de stabilité permettent d’étudier la stabilité d’un système en boucle fermé, à partir de l’étude fréquentielle de la fonction de transfert de la boucle ouverte. Le bouclage est réalisé par un retour unitaire.

L’étude de la stabilité se résume à l’étude des racines du dénominateur 1+G(p)=0, soit G(p)=-1; La position de la fonction de transfert en boucle ouverte par rapport au point -1, renseigne sur la stabilité du système bouclé. Dans le plan de Black, le point critique (-1) a pour coordonnées (-180°,0dB).

Ennoncé du critère du revers à partir du diagramme de Black

Le système en boucle fermé est stable si en parcourant, dans le sens des ω croissant, le lieu de transfert de Black de la boucle ouverte, on laisse le point critique (-180,0dB) à droite et il est instable si on le laisse à gauche.

Marges de stabilitéLes critères ci-dessus sont des critères de stabilité absolus, ces critères ne permettent pas en général de régler un système, il faut pour cela définir des marges de stabilité, c’est à dire une distance à respecter entre le point critique (-1) et le lieu de la fonction de transfert en boucle ouverte. On définit la marge de Gain et la marge de Phase.Les valeurs usuelles de marges de gain et de marge de phase recommandées sont :Marge de Gain : 10dBMarge de Phase :45°

Marge de Gain:C’est la distance entre le point critique (-180°,0dB) et l’intersection du lieu de Black de la fonction de transfert en boucle ouverte avec la droite d’argument -180°.

Marge de PhaseC’est la distance entre le point critique et l’intersection du lieu de Black avec l’axe des abscisses.

 

Instable

(-180,0dB) Phase en degré

Gain en dB

BF stable

BFoscillante