Sur les fonctions abéliennes

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SUR LES FONCTIONS ABI~LIENNES

PAR

H. POINCAR]~ b, P A R I S ,

w 1. I n t r o d u c t i o n .

Je vbudrais, sur la demande de M. MITTAG-LEFFLER, prdsenter ici tm exposd d'ensemble de rues travaux sat les fonctions abdliennes, en y ajoutant les quelques rdsultats nouveaux que j'ai pu obtenir duns ees derniers temps.

Une courbe C de genre p admet p intdgrales de premiere esp~ce

et si cette courbe C est coupde par une autre courbe algdbrique variable C', le thdor~me d'Abel nous apprend que lu somme des valeurs de l'intdgrale uk aux divers points d'intersection est une constante.

Si la courbe C' est adjointe ~ C et de degrd suffisant (j'appelle D ce degrd) et que le hombre des points d'intersection de C et de C' autres que les points doubles soit dgal h q, on sait que q - - p de ces points peuvent ~tre choisis h volontd.

Prenons alors p points quelconques sur C; soient M1, ~]I2, . . . , Mp ces points et considdrons d'une part les p sommes suivantes:

( I ) vk = + u k , + . . . + .....

off uk.i reprdsente la valeur de l'intdgrale uk au point Mi; et envisageons d'autre part un certain nombre de fonctions symdtriques des coordonndes des p points M , , M~, . . . , Mp et que j'appellerai les fonctions @.

Acta mathematica. 26. I m p r i m d le 7 avr i l 1902.

44 H. Poincar6.

Je pourmi choisir p + z fonctions ~ de telle fa~on que routes les autres fonctions symdtriques des coordonndes des points M s 'expriment rationnellement par le moyen de ces p + I fonctions, c'est h dire qu'h un sys~me de valeurs de ces p + x fonetions ne puisse correspondre plus d'un syst~me de p points M. Ces p + i fonctions seront d'ailleurs lides par une relation algdbrique.

Ces p-{- I fonctions ~ seront des fonctions analytiques des vs; et ces fonctions seront holomorphes sauf peut-~tre en certains points sin- guliers. Je pourrai toujours trouver un syst~me de points M dans le voisinage desquels les fonc~ions ~ soient holomorphes. Je puis d'ailleurs supposer que ce syst~me particulier de points correspond aux valeurs vk = o; car les int6grales us ne sont ddfinies qu'~ une constante pros et je puis disposer de cette eonstante arbitraire de fa~on que vk s'annule pour ce syst~me partieulier de points. Dans ees conditions je puis dire que les fonctions ~ sont holomorphes pourvu que les modules des v soient suffisamment petits.

Cela pos~, choisissons sur C un nombre q - 2p de points fixes que j 'appellerai

A~ , A2, . . . , Aq_2p.

Soit akl la valeur de l 'int6grale us au point A~ et soit:

Par les p points M et par les q - 2p points A je puis faire passer une eourbe adjointe C' de degr6 D et une seule. Cette courbe coupe C en tout en q points en dehors des points doubles, elle passera donc encore par p autres points que j 'appelle

t Mi, M~, . . . , M~.

J'appelle u~. la valeur de uk en M~ et je pose:

I w ! t

vs ---- usa + us.~ + . . . + us.p.

Soient ~)(v~) les valeurs des fonctions ~) correspondant au syst~me des M'. A_ un syst~me de points M correspond un syst~me de points M ' et un seul puisque par les points M e t A je ne puis faire passer qu'une seule courbe C'. I1 en rdsulte que les fonctions ~P(v~) s'expriment rationnellement par le moyen des fonctions ~(vk).

Sur les tone,ions ab61iennes. 45

D'auffre part le th~or~me d'Abel nous apprend que l'on a:

vk + flk + vl = rk

les ~'k dtant des cons~antes. Done les ~)(vl)~ ~ ( T ~ - - / ~ k - vk) sont des fonctions rationnelles des ~)(vk). Mais les points A ont ~t~ ehoisis arbi- trairement sur C; done les eonstantes fl~ et par consdquent les T6-/76 sont quelconques pourvu que le degr6 de C' air ~td pris assez grand pour que q ~ 3P. ])one quelles que soient les eonstantes ik, les ~(16--v6) sont des fonctions mtionnelles des ~(v6).

Done queUes que soient les constantes Ae t ~, les

~ ( ~ + v6) = ~[(~6 + ~'~) - - ( ~ - - v~)]

sont des fonctions rationnelles des ~(/~k--Vk) qUi sont oux-mames des fonctions rationnelles des ~)(vk). Los ~(A6 ~ vk) sont done des fonotions rationnelles des r en permutant le rSle des quantitds Ak et v6, on voit que ce sont aussi des fonctions rationnelles des ~(2k). Les ~(~kq-Vk)son~ done des fonct4ons ra~ionnelles des (~(v~) et des ~(Ak). Si nous raisons ,t6 = v6, nous voyons que les ~(2vk) sont dos fonctions rationnelles des ~(vk).

Or j 'ai dit que les ~(vk) sont holomorphes si le module de vk est suffisamment petit, plus petit que p par exemple. Alors les eP(2v6) qui sont rationnels par rapport aux ~)(vk) seront holomorphes si ]v[ < p; done les O(v6) sont m6romorphes si Ivl < 2p. Mais alors les ~)(2v6)6~n~ rationnels par rapport aux ~(v6) seront mdromorphes pourvu que Iv I < 2p. Done les ~(v,) seront mdromorphes pourvu que Ivl < ~p; et ainsi de suite.

En r6sum6 les ~) sont des fonctions uniformes et m6romorphes des v pour toutes les valeurs de ees variables.

Quand Fun des points M ddcrit un cycle sur la surface de Rt~Mx~ eorrespondant ~ la eourbo C, les fonetions ~ reviennent it 1curs valeurs primitives, et les intdgrales u, et par eonsdquent les v, augmentent d'une pdriode. I1 en rdsulte que les fonctions �9 sont p6riodiques; ce sont des fonetions it p variables et it ~p pgriodes.

C'est ainsi qu'on a 6td conduit aux fonctions abdhennes, et R ~ . ~ s a montr6 comment on peut les exprimer par le moyen des fonetions 0.

1Vials une eourbe de genre p, ddpend de 3P ~ 3 param6tre, tandis

qu'une fonetion 0 de p variables d6pend de P(P+ ~) param6tres. Ce second 2

46 H. Poincar$.

nombre est plus grand que le premier saul pour p--~ 2 et pour p----3. I1 y a donc des fonctions 0 de p variables qui ne peuvent pas gtre engendrdes par une courbe de genre p de la faqon que je viens de dire; aussi appellerai-je fonctions 8 spdciales et fonctions abdliennes sp~ciales celles qui sont susceptibles de ce mode de gdndration.

Une des premieres questions h r6soudre est donc de reconnaltre les relations des fonetions abdhennes spdciales avec les fonctions abdliennes gdndrales et les caractbres qui les diffdrencient les unes des autres.

Mais une autre question se pose. :RIEMANN a ddmontrd qu'il y a une certaine relation entre les pdriodes d'une fonction abdlienne spdciale. Si cette relation a lieu, on peut former la fonction 8; si elle n 'a pas lieu, la fonetion 8 n'existe pas. Nous venons de voir qu'il y a des fonctions 8 qui ne sont pas spdciales, et par consdquent des fonctions 2p fois pd. riodiques qui ne sont pas spdciales et dont les pdriodes sont cependant lides par ]a relation de [RIEMANN.

Mais ne peut-il pas exister aussi des fonctions 2p fois pdriodiques dont les pdriodes ne sont pas lides par une semblable relation et qui ne peuvent pas s'exprimer par les fonctions 8? La rdponse doit ~tre ndgative. Toute foncfion h p variables et 2p pdriodes peut s'exprimer par les fonctions 8.

C'est 1K un thdorbme que j'appellerai le thdorbme B et sur lequel je reviendrai clans la suite.

Mais je dois d'abor~t parler d 'un autre thdorbme que j 'appellerai le thdor~me A et d'apr~s lequel entre p + 1 fonctions ~ p variables et h 2p pdriodes il y a toujours une relation algdbrique.

w 2. D d m o n s t v a t i o n d u thdorbme A.

Thdor6me A. Si l 'on a p + I fonctions de p variables, mdromorphes pour routes les valeurs de ces p variables et admettanf 2p pdriodes distinctes, ces fonctions sont lides par une relation algdbrique.

Dans la plupal~ des ddmonstrations du thdorbme B, on s'appuie sur le thdorbme A et on a ddjh proposd plusieurs ddmonstrations de ce thdorbme A. On pourrait d'ailleurs s'en passer puisque je donnerai plus loin une

Sur les fonctions ab61iennes. 47

ddmonstration du thdor~me B, inddpendante du thdor~me .4 et que d'uilleurs

rien n'est plus facile que de ddduire le thdor~me A du thdor~me B. Je ne crois pourtant pas inutile de ddvelopper ici une ddmonstration

nouvelle du thdor~me A que je n'u.vais fait qu'esquisser duns les C o m p t e s

R e n d u s en I897. T Soient F~ , T~, . . . . /~p, des fonctions des p variables v, mdromorphes

pour routes les valeurs finies de ces variables et admettant 2p pdriodes. Je consid~re les zdros communs ~ ces p fonctions qui sont K l'intdrieur

du prismatoYde des pdriodes.

1 ~re proposi t ion.

Je dis d'abord clue ces z6ros eommuns, ou bien sont en nombre fini,

ou bien forment un continuum. Soit en effet

V l ~ 0[ 1~ V 2 ~ ~ 3 . . . ~ V p ~ ~ p

un des z~ros communs des fonctions F , c'est ~ dire un syst~mo de valeurs

des v pour lequel on a:

F, ----F, . . . . ---- Fp ---- o.

D'apr~s notre hypoth~se, les fonctions F sont mdromorphes pour routes les

valeurs des v; cela signifie que si l'on consid~re les parties rgelles et

imaginaires des v comme les coordonndes d 'un point dans l'espuce h zp dimensions l 'on peut construire dans cet espace une sdrie de domaines D 1 , D2, . . . qui seront par exemple des hypersph~res et cela de telle facon:

I ~ que tout point de l'espace ~ 2p dimensions appartienne au moins

Fun de ces domaines. : ~ que si R e s t une rdgion finie quelconque de cet espace, par exemple

le prismatoide des p6riodes, il n 'y a qu 'un nombre fini de domaines D

qui soient en totalitd ou en purtie contenus dans la rdgion R. 3 ~ qu'~ l 'intdrieur de ehaque domaine D, on air:

P' P' PP

les fonctions /)1, /)2, . " , Pp; Q1, Q2, . . - , Qp; dtant holomorphes duns

tout le domaine D.

48 H. Poinear6.

Si maintenant deux des domaines D et D~ ont une partie commune (ce qui arrivera forcgment, car, puisque nous voulons que tout point de l'espace soit intdrieur an moins h Fun de nos domaines, il dolt exister des rdgions de l'espace communes h plusieurs domaines) nous avons dans le domaine D:

P~ F 1 = ~ ,

dans le domaine D~:

--Q;

et par eons6quent duns la pattie commune

P~ P~ F1 Qt Qt

I1 ne s'ensuit pus que duns cette pattie commune P1 est dgal h P; et Q~ Q~. J 'ai d6montr6 il est vrai duns le tome 2 des Aeta m a t h e m a t i c a

un thdor~me d'apr~s lequel route fonction m~romorphe dans tout l'espace peut toujours &re consid~rde comme le quotient de deux fonctions holomorphes duns tout l'espuce. I)epuis M. CousI~ a donn6 duns sa th&e une d6monstration de ce m~me th~or~me.

I1 en r~sulteruit alors que les deux fonetions holomorphes ~ et Q~ pourraient &re suppos6es les m~mes duns t o u s l e s domuines. Mais je voudrais 6viter pour le moment de m'appuyer sur ce th6or~me.

Ddmonstration de la I ~r" proposition.

I1 s'agit de d6montrer qu'h l'intdrieur du domaine D, les p fonctions holomorphes

ne peuvent uvoir un nombre infini de zdros, h moins que l'ensemble de ces z6ros ne forme un continuum unalytique.

Si en effet ces fonctions poss6daient un nombre infini de z6ros communs, h l'int6rieur de D, il devrait y avoir duns D un point:

Sur les fonctions ab~llennes. 4 9

dans le voisinage duquel il y aurait une infini~ de z6ros eommuns ~ nos

p fonetions. Cela pos~; supposons que nos p ~quations

( ') E . . . . . G = ~

ne se r~duisent pas routes h des identif~s; que par exemple/)1 ne soit pas

identiquement nul. Je pourrai supposer que />1 ----o ne se r6duit pas une identit~ quand on fait

Si en effe~ cela avait lieu on pourrait tourner la diffieult~ par an simple

ehangement lindaire de variables. Comme P1 n'est pas identiquement nul, il y a toujours un point

, , , = f l , , = f l , , . . . , , , , = f t ,

pour lequel P~ n'est pas nul. Soient alors v;, v ~ , . . . , vp, p eombinaisons

' a' . ' les combinaisons lindaires eorrespondantes linfiaires des v; a] , ~, . . , a p

des a. fl~, f l~ , . . . , /~ 'p les eombinaisons lin~aires eorrespondantes des ft. Je pourrai choisir les eoeffieien~ de ces combinaisons lindaires de f~lle sorte que:

a s ~ ~ a s ~ �9 . ~ ~ .

Je prendrai alors les v' comme nouvelles variables et je verrai que l'~qua-

tion P~ = o ne se r6duit pas ~ une identifA pour

e t # # #

~}~ ~ ~ 2 ~ ~S ~ ~S ~ . . . ~ 1}p ~ .

Supposons done que P~ ne s'annule pas identiquement pour v~ = a~,

v~ - - - - % , . . . , vv = %. Alors en vertu des lemmes que j 'ai ddmontrds au

ddbut de ma Th~se Inaugurale, l 'dquation P~----o definira v~ ~ a~ en foneVion algdbroide de v ~ a ~ , v ~ - - % , . . . , v ~ % . Done en vertu

des mgmes lemmes P~, P~, . . . , P~ seront aussi des fonetions alg~broides

de v~ - - % , . . . , % - - % et les 6quations

= . . . - - - G = o

pourront gtre remplaedes par les suivantes

Aeta matlumatf~..a, 26. Lmptira~t le 11 a v t t l 190 '~. 7

50 H. Poincarr.

off les / r sont des fonetions holomorphes de

V 2 ~ 5 2 ~ "0 8 - - 5 5 ~ . . . ~ V p ~ 5 p .

Les ~quations (2) sont de m~me forme que les ~quations (i), seulement le nombre des 6quations eomme celui des variables est diminud d'une unit6.

Si ces 6quations (2) se rdduisent h des identitds, l'dquation P1 = o suffit pour ddfinir les zdros communs qui forment un continuum analytique .t p - I dimensions.

Si les 6quations (2) ne se rdduisent pas ~ des identitds, on opgrera sur elles comme sur les dquations (I).

On ne sera arrgtd que quand on arrivera h un syst~me d'dquations se rdduisant h des identitds, auquel cas l'ensemble des zdros formera un continuum analytique; ou quand le syst~me se rdduira h une 6quation h une inconnue. Mais pour une dquation h une inconnue dont le premier membre est holomorphe et qui ne se rdduit pas ~ une identitd, on salt qu'il ne peut pas "y avoir de point dans le voisinage duquel il y air une infinit6 de zgros.

La proposition est done dgmontrde. Remarque. Pour appliquer ce qui prgc~de aux fonctions mdromorphes

F~, F2, . . . , Fp, il faut prdciser ce que nous devons entendre par un zdro de F~. D'abord F 1 ne pomTa pas s'annuler sans que /)1 s'annule. Tous les zdros de Fx appartiennent donc h /)1; mais il peut arriver qu'un zdro de P~ n'appartienne pas h F 1. Soit en effet vi----ai un zdro de P~; supposons que /'1 et Q~ soient divisibles par une m~me fonction H, holomorphe dans le voisinage de vi = a~et s'annulant pour v~ ~ at, de telle sorte que

P, = HP , q, = HQ ,

P~ et Q~ grant holomorphes pour v i -~ ai. I1 pourrait se faire que P~ et H s'annulant pour vi = ai, P~ ne s'annulfit pas pour vi = ai. Dans ce cas vi = ai serait un zdro de /91, mais ne serait pas un zdro de

= Q - - = E .

Reprenons alors la ddmonstration prdcddente et cherchons comme tout h l 'heure les zdros eommuns h F1, F~, . . . , Fp et voisins de vi = a~. Je suppose que /)1 et (~1 soient divisible par H 1; P~ et Q.~ par H ~ ; . . . ; _Pp


et Q,, par Hp; les fonctions / / i , H2, . . . , //~, 6rant holomorphes, darts le voisinage de vi = ai et nulles pour vi = ai. Nous remplaccrons alors les 6quations (I) par les ~quations

P1 P~ P~ (I') ~ - ~ . . . . = ~ - - o .

Ce sont los 6quations (i ') et non plus les 6quations ( I ) q u i nous donneront les z6ros communs ~ 1'1, F ~ , . . . , Fp; mais les 6quations (~') grant de m~me forme que les ~quations (I) il n 'y a rien h changer au raisonnement.

Supposons maintenant que 1'on envisage la partie commune aux deux domaines D et D1 et que dans cette partie commune on air:

Pk P~ = Q-7 =

que P~. et Qk soient divisibles par H~; P~ et Q~. par H~.; les fonetions Hk et H~ dtant holomorphes pour v~= ~/e t s 'annulant pour v~---- ~i. Supposons

Pk Qk enfin que ~ et ~ ne soient divisibles ~ la fois par aucune fonction ho-

p, k Q~. lomorphe s 'annulant pour v~ = ai, et qu'il cn soit de m~me pour ~ et H --z'k

Alors le syst~me des ~quations (I') est ~quivalent au syst~me des dquations

e l e ' , - - o . ( ' " ) - - ' " =

2o proposition.

Si les fonetions P~, P2, . . . , Pp qui sont holomorphes dans le domainc D d6pendent d'un ou plusieurs param~tres 2 que l'on peut faire varier d'une mani~re continue; si on consid~re ceux des zdros communs aux p fonctions P qui sont ~ l 'int6rieur d 'un domaine A int6rieur lui-mgme ~t D; si quand on fair varier les param~tres 2 entre certaines limites, le nombre des z~ros communs reste fini; ee nombre ne peut varier que si un des z6ros se ddpla~ant d'une mani~re continue sort du domaine A ou y entre, en tra- versant la fronti~rc de ce domaine.

Nous savons cn effet que CAUCH~ a exprim6 le nombre des zgros de f(z) situds h l'intdrieur d 'un contour par l'int~grale d6finie:

I f f ' d z

52 H. Poincar~.

prise le long de ce contour, et que I~RONECKER, gdn6ralisant le thdor~me de CAUCHY, a exprimd le hombre des zdros communs h P1, P~, . " , Pp h l'intdrieur de A par une intdgrale muRiple prise le long de la fronti~re de A.

La fonetion sous le signe f reste d'ailleurs finie et continue sauf

pour les zdros communs aux fonctions P, de sorte que si aueun de ces zdros ne se trouve sur la fronti~re de A, l'intdgrale de KRONECKEI~ reste finie et est une fonetion continue des I.

Si le hombre des zdros communs est infini, il y en a en gdndral sur la frontibre de A et l'intdgrale est dans ce cas ddpourvue de sens. Mais si ee hombre est fini, il n'y en aura pas en ggn6ral sur la frontiSre de A; s'il y en avait, il suffirait pour tourner la difficultd de ddformer infiniment peu le domaine A.

L'intggrale de KRONECKER est une fonction continue des 2, rant qu'il n'y a pas de zdros communs sur la frontibre de A, et eomme sa valeur est toujours un hombre entier elle dolt ~tre constante. Le hombre de ces zdros eommuns ne peut donc varier que quand l'un d'eux vient sur la frontibre de A.

C. Q. F. D.

Remarque. Le thdorbme s'applique d'ailleurs immddiatement aux fonctions m~romorphes F1, F ~ , . . . , Fp, puisque les zdros communs de ces fonctions sent ceux des fonctions holomorphes que nous appelions plus

haut P' P' PP H,' H,' "'"H~"

Considdrant mainfenant un domaine A formd de plusieurs domaines partiels A1, A2, . . . , Ap; et supposons que dans ehaeune de ces domaines

Pi partiels la fonction Fi puisse se mettre sous la forme ~ , le thdorbme

s'applique au domaine total A. En effet le hombre des zdros inf~rietu's ~ run des domaines partiels

Aq ne peut varier que si un zdro franchit la frontibre de ce domaine; alors de deux choses l'une, ou bien la partie de la frontibre de Aq franehie par le zdro appartient h la frontibre du domaine total A, et alors notre zdro a franchi la frontibre de A; ou bien cetto partie de la fronti~re de Aq sdpare A d'un autre domaine partiel Ap, et alors le hombre des zdros intdrieurs h Aq aura diminud d'une unitd; mais en m~me temps eelui des

Sur les fonctions ab$1iennes. 53

z~ros intgrieurs it A aura augment~ d'une unitd; la nombre total des z~ros intdrieurs h A n'aura pas change.

En r6sum6 le nombre des z6ros intdrieurs it A ne peut varlet que si un zdro franchit la fronti~re de A.

c. q . F. D.

Corollaire. Ce qua nous avons dit jusqu'ici s'applique h routes las fonctions m~romorphes; nous allons voir maintenant ce qui est particulier aux fonctions ab61iennes.

Je prendrai pour le domaine A l e prismatoide des pdriodes. Je vois que le nombre des z6ros communs aux p fonctions F intdriam, s

a ce prismatoide est fini, it moins que leur ensemble ne forme un continuum analytique; et que, quand on fair varlet les 2, ce hombre, s'il reste fini, ne peut varlet que quand un z6ro franchit la fronti~re du prismatoi'de. I1 augmente d'une unit6 routes les lois qu'un z6ro entre dans le prismatoide, at il diminue d'une units toutes les lois qu'un zdro en sort.

Mais, it cause de la p6riodicit6 suppos6e de nos fonctions, un zgro na peut entrer dans le prismatoYde sans qu'un autre en sorte; le nombra de nos zeros, s'il reste tim, demeure done constans

3 e proposit ion.

Soien~ ~ , F~, . . . , ~,+~, p ar I fonctions abchennes ~ p variables. Soien~

. . . ,

p combinaisons lin~aires de ces p a r x fonctions de telle sortc que:

= + + . . . + +

le nombre des z~ros communs aux p fonct ions ~, ~ant qu'il reste fin i, est

inddpendant des coefficients a. C'est lit une consgquence immediate des propositions prdcddentes. Le rgsultat peut s'dnoncer dans le langage gdom~trique. Consid6rons /~1, F ~ , . . . , I~p+ 1 comme les coordonndes d'un point duns

l'espaee ~ p a r I dimensions; comme ces fonctions dgpendent seulement de p variables, ce point sera sur une certaine varidt~ it p dimensions que

54 H. Poincar~.

j'appellerai V; notre but cst prdcis~mcnt de d~montrer quc cette vari~t~ est algdbrique et nous voyons ddjh d'apr~s l'ensemble des rdsultats obtenus, que le nombre des points d'intersections de cette varidt6 avec une droite quelconque est fini, ~ moins que la droite ne soit tout enti~re sur la varidt6 et que ce nombre est constant pour routes les droites qui ne sont pas tout enti~res sur la varigt6. Soit q ce nombre.

Considdrons maintenant, au lieu d'une droite, une courbe algdbriquc quelcon(lue C d'ordre n: je dis (lue le hombre des points d'interscction de cette courbe avec V sera nq h moins que la courbe nc soit tout enti~re sur la varidtd ou qu'elle se ddcompose en plusieurs composantes, une de ces composantes dtant tout entibre sur la varidtd.

I1 me suffira de ddmontrer cela pour les courbes planes, c'est h dire pour les courbes situdes sur une varidtd plane ~ 2 dimensions L'd(luation

gdndrale d'une pareille courbe est:

0-----o, ~i = ~ - - - - " ' = q ) p - ~ = ~

@ 5ta.nt un polynbme entier d'ordre n e t les (b des polynbmes du l"" ordre par rapport aux _F. Le nombre des points d'intersection, rant qu'il reste fini, est indgpendant des coefficients du polynSme 0; or quand ce poly- n6me ~ se ddcompose en n facteurs lindaires, ce hombre est 6videmment nq. Et d'un autre c5t6 ce nombre ne peut devenir infini que si l 'ensemble des points d'intersection forme un continuum anal)4ique, c'est h dire qu'il dolt ~tre formd de tons les points de l 'une au moins des composantes de notre courbe C.

La m~me ddmonstration s'appliquerait sans changement ~t une courbe qui serait une >>intersection complete,, c'est h dire dont l '6quation s'dcrirait:

les 0 ~tant des polynomes de dcgr6 quelconque. Pour ~tendre enfin le rgsultat h une courbe C qui ne serait pas une intersection complbte, il suffit d'observer qu'on peut toujours trouver une intersection complete qui se compose de C et d 'un certain hombre de droites.

4 e proposition.

La vari~t~ V est alg~brique.


Soit en effet 0 un po lynbme ent ier quelconque d 'ordre n en F~, F : , ...,

Fp+~. I1 cont ien t

coefficients arbitraires.

Soit

Vl ~ ~1

[(n +_v + x)

l_ [(p +

un syst~me quelconque de valeurs des v; nous allons chercher h annuler

la fonct ion 0 et ses ~ ddrivdes d 'ordre I , 2 , . . . , q par rappor t aux p va-

riables v pour le po in t v~ = a~. Ces ddrivdes 6tant au nombre de

cela sera possible pourvu que

I(nq + P) I ql_p

L0 q+p) > I + ') iv

Or on peu t toujours prendre n assez grand pour satisfaire "~ cette in4galit6,

pu isque le i er m e m b r e est un po lynbme d 'ordre p + I en n et le second

m e m b r e un po lyn6me d 'ordre p .

La varidt6 0 = o, aura alors avec la varidtd V un contact d 'ordre

~q au po in t v~ = a~. U n plan que lconque h 2 d imensions passant par le

po in t v~ ---- ai coupera la varidt6 0 = o suivant une courbe C algdbrique

d 'ordre n qui aura avec V un contact d 'ordre nq. Cette courbe C coupera

donc V en nq + I points confondus avec le po in t v~ = ai.

I1 en rdsulte qu'el le sera t ou t enti~re sur V ou qu'el le se ddcomposera,

l 'une de ses composan~es C' 6tant t ou t entibre sur C.

L 'ensemble des courbes C' engendrera une varidtd V' ~ p dimensions.

E n effet, une droite quelconque D de l 'espace ~ p + i d imensions ren-

contrera V'; ear par D et par le po in t v i = ai je puis faire passer un plan.

Dans ce p lan se t rouvera d'apr~s ce qui prdc~de une des courbes C' et

cette courbe C' rencont rera D ; car une droite et une courbe algdbrique

situdes dans un m~me plan se rencon t ren t toujours soit k distance finie,

soit h l ' infini. Donc D rencontre V', puisque cette courbe C' est sur V'.

C. Q. F. O.

56 It. Poincar&

Toutes les eourbes C' 6tant sur la varidtd 0----o, la vari6td V' sera

tout enti~re sur la vari6t6 algdbrique 0 = o. Done ou bien ces deux

vari6tds h p dimensions sont identiques, ou bien la varidt6 alg6brique

8-----o se ddcompose et V' est l 'une de ces composantes; V' est done alg6brique.

Toutes les courbes C' 6rant sur V, la vari6td V' sera tout enti~re

sur V e t comme la vari6t~ V ne se ddeompose pas puisqu'h ehaque

syst~me de valeurs des v correspond un point de V e t un seul; ees deux

varidt6s doivent ~tre identiques. Donc V est algdbrique. C . Q . F . D .

Le th6orgme A est done d6monh'6. I1 pourrait y avoir une difficult6 si la varigtd V avait moins de p

dimensions, e'est h dire s'il y avait une relation entre les p fonctions F1, F~, . . . , Fp; mais je dis qu'on peut toujours trouver p fonetions abdliennes

qui ne soient lides par aucune relation. Soit en effet F(vi) une fonction abdlienne quelconque; eonsiddrons

avec M. WIRTINGER les p fonetions

= f ( v , +

les a 6tant des constantes quelconques. Si entre ces p fonetions il y avait une relation, leur ddterminant fonctionnel serait nul, et comme les a~, sont

quelconques, le d6terminant off le i'" dldment de la k ~ ligne est

d daik F(alk , c%~, . . . , %,k)

serait identiquement nul quelles que soient les valeurs attribudes aux p~

quantitds a. Si nous considdrons les p quantitds

U l ~--- a l l , U ~ ~ a ~ l ~ . . . ~ U p ~ apl

comme des variables et les p2 p autres a comme des constantes, eela

veut dire que la fonction F(ul , u ~ , . . . , up) satisfait ~ une 6quation de la

forme dF dF dF

+ + . . . + = o

e'est h dire que F ne d@end que de p - - i eombinaisons lindaires des

variables u, ee que nous ne supposerons pas.


w 3. D d m o n s t r a t i o n d u thdor~me B.

Th~or~me B. Toute fonetion 2p fois p~riodique de p variables peut s'exprimer par le moyen des fonctions 0.

RIEMASN paralt avoir connu ce th~or~me; en tout cas, WEIERSTRASS l'avait d6montrd et je crois qu'il avait dfi dans son tours exposer les prin- eipes de sa d6monstration; quoi qu'il en soit, cette ddmonstration n'avait pas 6td publi6e et ses dl~ves, s'ils l'avaient connue, ne l'avaienf commu- niquge a personne. C'est ce qui nous ddcida, M. PICARD et moi, ~ aborder la question et nous donn~mes une d6monstration de ce th~or~me darts les Comptes R e n d u s en 1883. Cette t~re ddmonstration, dont nous reparlerons plus loin, dtait-elle identique ~ celle de W~IERSTRASS, nOus l'ignorions. Ce n'est que longtemps apr~s, au moment de la publication des oeuvres completes du grand gdom~tre que nous avons su que les deux mgthodes ne diffdraient pas essentiellement.

~I[. A_PPELL donna ensuite ( Jou rna l de LIOUVILLE I89I) une 2 e ddmonstration du thdor~me B enti~rement diff6rente de la x*r~; puis vinrent deux autres d6monstrations, l'une de M. PmARD (Comptes Rendus , tome 124, page I49o) et l'autre de moi (Comptes Rendus , tome I24, page I4o7 et Ac ta m a t h e m a t i c a , tome 22).

Cette ddmonstration du tome 2 2 n'dtait autre chose qu'une adaptation un but nouveau de la d~monstration que j'avais donn6e au tome 2 d'an

thdor~me g6n~ral sur les fonctions mdromorphes; j'ai 6noncd plus haut an th6or~me g6n6ral d'apr~s lequel route fonetion m~romorphe est le quotient de deux fonetions enti~res et j 'ai dit qu'outre ma d6monstration, il en existe une autre qu i a ~td d6velopp6e par M. Cousin dans sa th~se (Acta ma- themat iea , tome I9).

Eh bien, si ma ddmonstration peut gtre adaptde au thdor~me B, il en est probablement de mgme de celle de M. CousIN ee qui nous fournirait une einqui~me d~monstration du thdor~me B, enti~rement diffdrente des 4 premieres. Cependant quand j 'ai chereh6 h ddvelopper cette ddmonstration en lui conservant sa forme primitive, j 'ai rencontrd certaines difficult's. J'a~ done dfi y introduire eertaines modifications, et c'est eette d6- monstration modifi6e, qui tient pour aussi dire le milieu entre celle de

M . Cousls et la mienne que je vais chercher ~t adapter ~ l'6tude du th6or~me Acta math~rnatica. 26. Imprlm6 le 7 svril 1902. 8

5 8 H . P o i n c a r 6 .

B. Rappelons d'abord les hypotheses que nous faisons. Nous avons duns respaee ~ 219 dimensions une infinit6 de domaines

D 1 , D~ , . . .

tels que tout point de l'espace appartienne au moins ~ run de ces domaines et que duns le domaine D~ par exemple, la fonction abdlienne F qu'il s'agit d'dtudier soit dgale

Pi (I) F----~i i ,

P i e t Qi 6runt holomorphes duns le domaine D~. ~Tous pouvons supposer qu'en aucun point M de Di, les deux fonc-

tions P~ et Qi ne soient divisibles par une mgme fonction H, holomorphe duns le voisinage de M e t s'annulant en M, de telle fucon que l'on air:

P, = HP( , Q, = 1tQ ,

/)~ et Q~ 6runt holomorphes dans le voislnage de M. On pourruit dire que si cela avait heu on diviserait P~ et Q~ par H,

et que dans la pattie D~ du domaine D~ oh H est holomorphe, on deriruit:

F -- P~

Pi au lieu de F - - - - ~ . Mais ee raisonnement seruit insuttisunt, puree qu'ox~

pourrait eraindre que duns le domaine D~, qui est une partie de D~, ne se trouvent des points oh /9~ et Q~ fussent eux-mgmes divisibles par une mgme fonetion holomorphe, qu'on soit par consdquent oblig~ de d~tacher du domaine D~ un domaine plus pe t i t D~' oh l'expression de F devrait encore ~tre modifide, et qu'on ne soit forc6 de poursuivre cette op6ration in- d4finiment.

~Tous ruisonnerons done de la mani~re suivante. Soit v~ ~-~ a~ un point situ6 duns le domaine De et oh

P k ~ o .

De l'dquation Pk ----- o, on pourra tirer v~ par exemple en fonetion ulgdbroide de v~, v3, . . . , vp. L'dquution comportera d'ailleurs plusieurs solutions

( 2 ) v ~ = ~ , , , v , = y ~ , . . . , v , - - g , ~ ;

Sur les foncti0ns al~liennes. 59

~ , ~ , . . . , ~q � 9 des fonct~ons alg~broides de v2, v~, . . . . vp se r~- duisant ~ a~ pour v~ ~ a ~ , v 3 ~ - a 3 , . . . , v ~ ap.

Nous pourrons autour du point v ~ ~ , trouver un domaine ~k in- t~rieur ~ Dk dans lequel les fonctions ~ restent alg~broides et dans lequel enfin l'~quation Pk ~ - o n'admet~e pas d'autre solution que les solutions (2).

Les fonctions alg~bro~des ~ pourront se r~partir en groupes de la fa?on suivante; si

est une fonction holomorphe de v~, v~, . . . , vp dans le voisinage de v~----a~ (ce sera bien entendu un polynome entier d'ordre m e t v~) et si cette fonction holomorphe est irrdductible, c'est h dire n:est pas le produit de deux fonctions holomorphes de mgme forme, nous dirons que les fonctions ~ , ~ , . . . , ~ forment un mgme groupe.

D'ailleurs les dimensions du domaine A k restant finies quel que soit le po in t vl----ai nous pourrons diviser le domaine Dk en un nombre fini de domaines analogues ~ A~.

Supposons maintenant qu'en faisant v~---= ~1, on annule identiquement non seulement Pk mais encore Q~; il en sera dvidemment de mgme quand on fera v I = ~ , v~ = ~3, . . . , v~ = ~ ; les fonctions ~ , ~3, . . . , ~,~ dtant les autres fonctions du mgme groupe. Supposons pour fixer les iddes qu'il y air an second groupe de fonctions ~;, ~ , . . . , ~: qui substitudes ~ la place de v~ annulent identiquement P~ et Q~ et qu'il n 'y en air pas d'autre.

Alors P~ et Q~ seront divisibles dans le domaine ~xk par la fonetion holomorphe:

= ( v , - - - - - - - - - - r ( v l - -

de sorte qu'on aura

les fonctions H~, P~. et Q~ resteront holomorphes dans tout le domaine A~, et on aura dans le domaine A~

p' k

P~ et Q~. n 'ayant plus de facteur commun s'annulant h l'intdrieur" de Ak. En r4sum4 nous pouvons toujours supposer que P~ et Q~ ne sont

jamais divisibles par un mgme facteur H, holomorphe dans le voisinage d 'an point intdrieur ~t D~ et s 'annulant en ce point.

60 tI. Poincar~.

Pi Cela posd supposons que l'on air F---- ~ dans le domaine Die t F : Pk Qk darts le domaine Dk. Si les deux domaines ont une pattie commune, on aura dans cette parfie commune

Pi Q~ Pk Qk

P~ ne peut s'annuler sans que Pk s'annule; car alors on aurait

Pi Q, = G Qk

et Qi s'annulerait en ce mgme point Alors Qi serait divisible par P~, car I

p~ est holomorphe puisque Pk ne s'annule pas. Donc P~ et Q~ seraient

divisibles par un mgme facteur Pi ce qui est eontraire ~ l'hypoth~se que nous venons de faire.

P~ Donc ~ ne peut devenir infini et par coasdquent est holomorphe dans

route la parole commune aux deux domaines et il en est de mgme de P--~ Pk" Maintenant la fonction F ~tant p~riodique, chaque prismatoide des

pdriodes sera divisg en un certain nombre de domaines Dk; et on pourra supposer que tous ces prismatoides sont divisds de la mgme mani~re ,c'est

dire que si l'une d'eux comprend n domaines

D1, D~, . . . , D,,

l'autre comprendra n domaines

Di, D;, . . . , D:

correspondant respectivement ~ D1, D 2 , . . . , Dn, de telle facon que l'on passe d'un domaine au domaine correspondant en augmentant les variables d'une pdriode.

De plus, dans deux domaines correspondants Dk et D~ les fonctions P e t Q reprendront les m~mes valeurs; de telle sorte que l'on aura dans Dk:

F Pk Qk

et dans D~-

et que

Sur les fonctions abfiliennes.

F Pi- Q[.

61

~)Pk(~)l, V2, . . . , Vp) = ~Dk(Vl "~ ~ l , V2"~ ~2, . . . , ~)pJl" flla),

Q~.(v,, v , , . . . , v , ) = Q,(v, + fl,, v2 + f12, . . . , v, + fl,);

/~1, J82, .. . , /~p &ant ]a p6riode par laquelle on passe de Dk et .D~,. Les domaines D1, D~ etc. empi&ent les uns sur les autres, mais je

puis eonsid6rer une infinitg de domaines &l , ~ , etc. de telle fagon: I ~ que le domaine A k soit intdrieur h Dk; 2 ~ que tout point de l'espace appartienne ~ un des domalnes A e t ~ un seul, ~ moins qu'il n'appartienne

la fronti~re qui sdpare deux de ces domaines. I1 est clair que les domaines A restent encore arbitraires dans une

certaine mesure et que je puis leur faire subir de petites d6formations pourvu clue A k reste int6rieur ~ D k.

Considdrons deux domaines D, et Dq ayant une partie commune; nous aurons respectivement darts ces deux domaines

F P" F Pq =Q-:, =~.

Soient A e t Aq les domaines A correspondant ~ D, et ~ Dq et soit S,q la fronti~re qui s6pare A de Aq.

Je eonsid~re une fonction ~ d6finie de la fa~on suivante. Dans le domaine A k on aura:

-~ log P~.

Ce n'est pas une fonction qui jouisse de la continuit6 analytique, cal" quand en franchissant S,,q on passe de A dans Aq, cette fonction subit un saut brusque 6gal

Pq log ~-~.

On peut dire encore que si l 'on appelle ~' la continuation analytique de au del~ de S,q quand ayant franchi cette coupure on a pass6 de A

darts &q, on aura dans /xq: Pq

62 H. Poincar6.

Ce qui nous int6resse c'est que dans la partie commune h Dn et h Dq Pq

cette fonction log~-~ sera holomorphe, car le rapport de Pq h P. ne peut

ni s'annuler ni devenir infini. Posons

de telle fa~on que les parties rdelles et imaginaires, c'est ~ dire les x et les y soient les coordonndes d'un point dans notre espace h 2p dimensions.

Soit M' un point situd sur la varidtd S,q qui a 2p ~ I dimensions, et dont les coordonndes seront x'k et y~..

Soit M le point de coordonndes courantes xk et Yk. Soit

r = + Z ( v -

la distance de ces dcux points. Soit deo' un dldment de la varidtd S,q ayant pour centre de gravit6 le point M'. Soit 3' une fonction quelconque des coordonndes du point M' et envisageons l'intdgrale

V = ~$'d,o' d r 2 p - f~

6tendue h tousles dldments elm' de la vari6t6 S.q. C'est ce qu'on appelle le potentiel d'une simple couche. Pour tousles points situds en dehors de S,q, c'est une fonction holomorphe des x et des y; cette fonction reste finie ainsi que ses ddrivdes quand le point M vient sur S,q. Si la varidtd S,q est analytique et si d'autre part 8' est une fonction analytique des coordonndes de M', il arrivera que la fonction V pourra ~tre continude analytiquement au delh de la coupure S,q. Soit alors M x et M~ deux points voisins Fun de l'autre, mais situ~s de part et d'autre de cette coupure. Soient V~ et V 2 les valeurs de l'intdgmle V en ces deux points; soit V' la continuation analytique de la fonction V quand partant du point dll 1 on franchit la coupure et soit V; la valeur de V' en M 2.

Alors V~ comme V2 seront des fonctions analytiques des coordonndes de M2, mais V~ ne sera pas en gdndral dgal ~ V~. Nous devons observer que dans le cas d'une simple couche, la fonction V ne subit pas un saut brusque quand on franchit la coupure; de sorte que sur la coupure m~me

p - - -


I1 n 'en est pas de m~me des ddrivdes, et si l 'on rep%sente en particulier dV

par d~ la ddriv6e estimde suivant la normale ~t la coupure S~q, la diff6-

r~nce dL dr; d u dl~

sur la coupure mgme ne sera pas nulle, mais elle sera 6gale h $' ~ un facteur constant pros qui ne dfipendra que du nombre 2p des dimensions.

Soit maintenant r tree autre fonction analytique des coordonndes de

21/', et considdrons l'intdgrale

W = fr d"~-~P -dr, '

c'est c e qu'on appelle le potentiel d'une double couche. Alors si nous appelons encore W 1 et Wg les valeurs de W aux points MI et M2, nous verrons que W~ est une fonction analytique des coordonndes de M1, eomme W~ de celles de M~. De plus W peut ~tre continu~ analytiquement au del~ de la coupure, et si l 'on appelle W' cette continuation et W~ la valeur de W' en M~, alors W'~ sera fonetion analytique de M~.

d W 2 d W', mais la difference W~ -- W~ Sur la coupure mgme on aura d ~ d n '

ne sera pas nulle, elle sera 6gale h ~' ~ un facteur constant pros ne d6

pendant que du hombre 2p des dimensions. Nous reprendrons maintenant notre fonction holomorphe

Pq - - O' = l o g ~ - : ,

et nous considdrerons sa partie rdelle que j'appellerai /~,q

Nous prendrons alors:

~ , - - d R t q ~ , ----- ~7~n q

d n '

et j'envisagerai l'int6grale J~q.~ a Y + bW

les a et les b 6tant des constantes.

64 H . Poincar6.

J'appellerai J:q le prolongement analytique de J,q par dell la coupure. Si les coefficients constants a e t b sont convenablement ehoisis (c'est dire s'ils sont les inverses des coefficients constants dont je parlais tout l'heure et qui ne dgpendent que du hombre 2p des dimensions), nous aurons:

P J,q - - Jnq ----- R n q .

Soit en effet qf une fonction qui soit ~gale ~ J,q d'un c5t6 de la coupure et ~ J~q + R,~ de l'autre c5td de la eoupure. Des deux cStds de la coupure, ~" sera une fonction harmonique des 2p variables x et y; je veux dire par 1~ qu'elle sera holomorphe et satisfera ~ l'~quation de LAPLACE AqC-----O; nous ne savons pas encore s'il en sera de m~me sur la coupure m~me; mais sur cet~e coupure la fonction (~" est continue (si nos coefficients a et

dq~ b sont convenablement choisis) et il en est de m~me de dn" On en

conclut que la fonction ~" reste holomorphe sur la coupure m~me et que J,q + R~q est la continuation analyfique de J~q.

Si donc on a une fonction qui soit 6gale ~ log [ P ~ [ - J,q duns le domaine Aq et h log [ P, [ - - J~q dans le domaine A cette fonction restera analytiquement continue quand on franchira la coupm'e S,q; elle sera harmonique duns l'ensemble des deux domaines Aq et A ; (sauf pour les points de A ou de Aq off P, ou Pq s'annulent; en ces points c'est la diffdrence qr __ log [ P-I ou q ; - - log [ Pq [ qui est harmonique).

L'int6grale Jnq joue le rSle que joue dans la d6monstration de M. CousIN

l'intggrale de CAUCaV

f f f ' . - - fp)d

mais c'est une int~gra[e multiple. Une propridtd importante rapproche encore notre intdgrale de celle

de CAUCHY. Soit S:q une coupure peu diffdrente de S,q; je suppose que la fronti~re complete de S:q soit la m~me que eelle de S~q de faqon que l'ensemble des deux eoupures forme une varidtd fermde enfermant un certain domaine A'. Soit K,q la m~me intdgrale que J.q mais prise le

t long de S,q. On aura alors en dehors de A'.

= Kn,

et ~ l'int6rieur de A': J,q = K,q + R,,.

Sur |es fouctions a~ilennes. 65

n en r sulte que si r est une onetion log IP, I - - J . , aans a , et ~ log [P.[- J. , dans A et si a'autre part r est une fonction ~gale h log I P, I - K., dans le domaine 2~, + A', ~ log [ P . [ - K.q dans le domaine A . - A', on aura

r 1 6 2

En d'autres termes on aura pu d6plaeer et dgformer un peu la eoupure S.q sans changer la fonetion ~b.

Cela pos6, eonsiddrons quelques-uus de nos domaines en nombre fini

(2) ~ , ~ , . . . , 4 ,

et les eoupures qui s6parent ees domaines (2). Soit r fonetion qui est ~gale dans A ( A ~tant l'un des domaines (2)) ~:

r =: log IP . [ - - ~:J.,

la sommation ~tant 6tendue ~ routes les int~grales J.q relatives aux eoupures qui s~parent les domaines (2).

La fonction r est harmonique, dans l'ensemble des domaines (2)sauf peut-~tre pour les points qui appartiennent ~ plus de deux de ces domaines; (et sauf certainement pour les points oh Fun des P. s'annule, car en ce points e'est r log I P,] qui ost harmonique).

Soit done N tin des pohata qui appartiennent ~ plus de deux des domaines (2). De ee point eomme centre d6erivous une hypersph6re H; d6formons ensuite les eoupures de fagon qu'elles ne ehangenf pas ni en dehors de l'hypersph6re, ni sur l'hypersph6re elle-m4me, mais seulement darts l'int6rieur de l'hypersphgre et qu'aprgs la d6formation, le point N ne soit plus sur une eoupure.

Je dis que la fonction ~b n'a pas chang& Nous avons vu plus haut que cede fonction ne change pas quand une des coupures est d~formge sans que sa fronti~re eomplbte varie. Ici les choses ne se passent pas tout ~ fair comme cela, puisque le point N se trouvant sur la fronti~re commune de ph~ieurs coupures, nous sommes oblig6s de ddformer ces fronti~res si nous voulons que le point N eesse d'gtre sur une coupure. C'est seulement en dehors de l'hypersph~re H que les fronti~res ne va- rient pas.

Soit alors S.q l'une des eoupures, S~q la eoupure d~form~e; co sont Aeta +*~thematiea. 26. Imprim~ le 11 avril 1902. 9

66 H. Poinear6.

des vari6tds ~ 2p--- t dimensions; soit F la fronti~re de S,q, F' eelle de S'q; ce sent des varigtds ~ 2 p - - 2 dimensions; quand pendant sa ddformation continue, cette fronti6re va de sa position initiale F h sa position finale F ' , elle engendre une vari6t6 h 2 p - - r dimensions que j'appelle T,q. Alors la fronti~re de T,q est formde de F et de F ' ; et la varidt6 S,',q ----- S',,q + T,,q a pour fronti6re F, c'est h dire mgme fronti6re que S,q.

La fonction r ne change donc pas quand on remplace les coupures t t S,,q par les coupures S,q. Ques t ce ~ dire? Soit C u n e varidt6 ~ 2 p - - 2

dimensions appartenant h plus de deux domaines (2); par exemple aux domaines A1, A , . . . , A^; ces domaines doivent 4tre contigus deux ~ deux, par exemple A [ h A2, A ~ A s , . . . , Ah_ 1 ~ Ah, A h h A 1. Alors C fera partie de la frontibre de h coupures, h savoir $12, $23, . . . , S,-Lh, Sh.l. Pendant la d6formation, C ira de sa position initiale C h sa position finale C' et engendrera ainsi une varidf~ U h 2 p - I dimensions. D'aprbs sa ddfinition m4me, U fera partie de T~.2, T~.8, . . . , Th.~.

Cela pos6 si nous appelons ~' et ~" ce que devient ~ quand on t ! . remplace les coupures S,q par les coupures S',q et S,q, nous avons d6j~ vu

que r r Quelle est la diffdrenee entre ~' et r Ces deux fonctions ne peuvent diffdrer que par les int6grales j,q c'est h dire par des intdgrales de m8me forme que les J,q mais prises le long des varidt6s T,,q, nous aurons donc:

r - - r = ~j . ,

la sommation dtant 6tendue h tous les ],q, e'est h dire ~t t o u s l e s T.q, mais nous pouvons 6erire

j . , = 2:j',,

en appelant j 'q la mgme int~grale 6tendue ~ l'une des vari6t6s telles qne U

dent se compose T,q. I1 vient alors:

l 'un des signes 27 se rapportant aux diff6rentes vari6t~s telles que U et l'autre aux diffdrents T,q dont une de ces varidtds fair partie. Or si je consid~re l 'une de ces varigtds, par exemple U, et que j 'dtende la sommation ~t tous les T,q dont U fair partie, c'est h dire h T~ , T:3, . . . , T~.~, il viendra:

Z j ; , + + �9 �9 �9 + A . , .

Sur los fonctions ab61iennes. 67

Nous nous rappelons comment a 6t6 d6finie l'in~6grale J,q et le r61e que jouait la fonction que j'ai appelde R,q. Nous voyons que l'int6grale totale ~j~q se calculera de la mgme mani~re en rempla9ant Rnq par

l ' int~gration 6rant d'ailleurs 6tendue h U. Mais on a:

R ~ + R 2 ~ + . . . + R,,.~=log ff~ + l o g + . . . + l o g N =~

Done on aura r162 r162

C. Q. F. D.

Or le point N n'est pas un point singulier pour ~b' puisqu'il n'est pas sur les coupures S ' ; ce n'est donc pas non plus un point singulier pour ~b.

D'ofi nous concluons que ~b est harmonique dans l'ensemble des domaines (2), saul pour les points de D,, off P , s'annule et off c'est

--log IP.I qui est harmonique. Reprenons les int6grales V, W, J,~; on se rappelle le rSle que jouait

dans la d6finition de ces int6grales la fonction

qui d6pend des x, des y, des x' et des y'. Ddveloppons-la suivant les puissances des x et des y et soit '

r~-~p.-~ p, + p'

oh P0 repr6sente l'ensemble des termes de degr6 o , I ou 2 par rapport aux x et anx y et p' l'ensemble des termes de degrd sup6rieur.

Soit maintenant L,q une int~grale analogue h J,q, mais off r 2-2p est remplacd par p'; soit maintenant Z une fonction ddfinie comme ~b, mais off les Jsq SOnt remplacdes par les L,q, de telle fa~on que dans A on air:

z = log I P . I - -

la fonction Z jouira des m~mes propri6t6s que la fonetion ~b, dont elle ne diffdrera d'ailleurs que par un polynome du 20 degr6 en x et y.

Mais supposons que l 'on prenne un hombre de plus en plus grand de domaines (2) de fa~on que l'ensemble de ees domaines tende g embrasser

68 H. Poincar6.

l'espace tout entier; de sorte enfin qu'h la l imi~ la fonction Z (resp. X - log I P, I) soit harmonique duns tout l'espace.

Pour que ce passage h la limite soit ldgitime, il faut que la sdrie 2L,,~ converge; or c'est ce qu'il est ais6 de constater, f~ndis que la sdrie XJ,~ auruit dtd divergente. Nous n'avons qu'~ reproduire ici la d4monstration du tome 2 : (pages 167, 168). La fonction X jouissant d'uilleurs des mgmes propridtds que la fonction V du tome 22, la d6monstration s'uch~verait de la mgme mani~re.

w 4. A~ttre ]br ine de la ddmonst,~.ation.

Mais on auru avantage ~ mettre la d6monstration sons une forme un pen diff~rente.

Nous pourrons supposer d'abord que duns un certain domaine D, assez grand pour qu'un prismatoide des pdriodes H y soit contenu tout entier, notre fonction abdlienne F pent ~tre raise sons la forme du quotient

P de deux s6ries enti~res convergeant duns tout le domaine D. Q

Cela pent s'6tablir ais~ment en partant des hypothbses du paragraphe pr6cddent, et cela de plusieurs mani~res, soit par la m6thode de M. COUSIN, soit pus ma mgthode du tome 2, soit par la m6thode mixte du paragraphe pr6cddent.

D'ailleurs P e t Q n'auront pas de facteur commun s'annulant h l'intdrieur de D.

Si nous augmentons nos variables d'une p6riode fondamentale ai, P(v~) et Q(v~) deviendront P(v~-4- a,) et Q(v, "4" a,). Les sdries .P(v,) et Q(v~) convergent duns le domaine D; les s6ries P(v,--..a,) et Q(v,--a~) con- vergeront duns un domaine D' que l'on obtiendra en faisant subir ~ Dune translation reprdsentde en grandeur et direction pat-la p~riode a i. Les deux domaines D et D' ont tree pattie commune puisque D est plus grand qu'un prismatoide des pdriodes. Duns cette pattie commune, les deux sdries P(v~) et P(v, "4- a~) convergent et leur rapport

P(vd P(v~ - - aO

Sur los fonctions ab61iennes. 69

ne peut devenir ni nulla ni infinie. Si en effet il s'annulait par cxemple, les deux s4ries

q ( v , ) = ' P ( v i - ai)

auraient un facteur commun P ( v i ) s'annulant h l'intdriaur de D. Nous allons maintenant ddfinir une fonction auxiliaire qua nous ap-

pellerons W. Soienf M et M' deux points ayant pour coordonn4es, le I ~ xk, Yk, le 2d X~, y~; soit

r = ~ /Z(z , - - *'k)' + Z ( y , - - y'k)' leur distance.

Soit M" un point ayant pour coordonnde x~ + b'~, y~. + c~. en ddsignant par b~. et c~. les parties r4elle et imaginaire d'une des pdriodes a~. de notre fonetion ab41ienna (je veux dire, soit d'une p4riode fondamentale, soit d'une des combinaisons en hombre infini de ces p4riodes fondamentales c'est ~ dire d'une p6riode queleonque).

Soit p la distance des points M e t M". On sait que r ~-~ est une fonction harmonique des x at des y, at il

en est @idemment de m8me de / -~P. Supposons qu'on ddveloppe p~-~P suivant les puissances des x et des y e t que l 'on 6crive:

en repr4sentant par a l'ensemble des termes de degr6 o , I et 2 et par r l 'ensemble des termes de degr4 sup6rieur. En envisageant la p6riode zdro, on aura en particulier

r~-~p ----- a o + to.

I1 cst clair que r e s t encore une fonction harmonique. Nous poserons alors:

W = 2 r

la sommation 4tant dtendue s routes les p4riodes, en y comprenant la p 4 i d " r 0 e z e r o .

I1 est ais4 de voir que la s6rie 2'r converge uniform4ment et on en conelut que W est une fonetion harmonique des x et des y satisfaisant l 'dquation de LAPLACE A W-~-O, sauf quand le point M se eonfond avec le point M", c'est ~ dire quand le vectour M M ' repr4sente une p6riode quelconque en grandeur et direction.

70 H. Poincar6.

Soient maintenant ~ et r deux ,faces, opposdes du prismatoide de I1;

soit ai la pdriode fondamentale correspondante de telle sol~ qu'on passe de ~ h ~ cn changeant vi en vi A-ai. La face ~ appartient alors ~l la fois aux domaines D et D'. Dans la partie commune h cos deux domaines, qui comprend la face ~, la fonction

log P ( v i - - ai) ~ log P(v~)

est holomorphe ainsi que nous l'avons vu. Nous appellerons U + i Y cette fonetion holomorphe, et sa pal~ie rdelle U sera dvidemment une fonction harmonique des x et des y.

Soit do)' un dldment de la face ~ e t supposons quc le point M' ddfini plus haut soit au centre de gravif~ de dto'. Soit U' la valenr de U au point M'.

Considdrons alors l'intdgrale

6tendue h tousles ~16ments do)' de la face C. Je ddsigne, bien entendu, dU' _ d W

par ~ dn et - ~ - d n les accroissements que subissent les fonctions U' et W

quand le point M' subit une d@lacement dn , normalement h la face C. I1 est clair que J est une fonction harmonique des �9 et des y, saul

quand le point M se trouve sur la face C ou sur l'une de ses transformdes par l'addition d'une pdriode. Et en effct quand le point M coincide avec le point M' (qui est sur la face 9~) ou avec l'un des points M", (c'est h dire avec un des transform~s de M' p~r l'addition d'tme p6riode), la fonction W devient infinie.

La face ~ jointe h ses transformdes par l'addition d'une pdriode forme tree suite inddfinie de varidtds planes ~ 2 / ) - I dimensions, parall~les et dquidistantes. Soient S c e s varidtds.

Alors la fonction J e s t analytique, saul quand on franchit l'un des S. Qu'arrive-t-il maintenant quand le point M franchit l'un des S? Soit N" un po.int de Fun des S, et N' le point correspondant de ~. Dd- formons alors ldg~rement la face C dans la partie voisine du point N' et soit ~' le rdsulfat de la ddformation. Nous pourrons supposer que N '

n'est pas sur ~', et que route la partie de ~ qui n'est pas voisine de N' n'a pas subi de ddformation et coincide par consdquent avee la partie correspondante de ~'.

Sur les fonotions ab61ionnos. 71

Alors entre r et C' il y aura un petit domaine A dont la fronti~re se eomposera de la partie de C qui n'appartient pas k C' et de la partie de C' qui n'appartient pas h qv.

Nous considdrerons 6galement les transformds de C, de C' et de A par l'addition d'une pdriode. Le point N" se trouve sur l 'un des transformds de C, mais non pas sur Fun des transformds de C'; il est done sur la fronti~re de l'un des transformds de A, que j'appellerai A'.

Cela pos6, considdrons l'intdgrale J ' qui est formde eomme J , mais 6tendue h C' et non plus h C. Elle sera analytique sauf quand le point M sera sur C' ou sur Fun de ses transform6s.

La diff6rence des deux int6grales est 6gale h

dWdn U')dta' l 'intdgration grant dtendue /t la fronti~re du domaine A. Elle reste analytique sauf quand le point M est sur la fronti~re de A ou de Fun de ses transformds. Voyons par exemple ce qui se passe quand le point M est voisin de la fronti~re de A' et plus particuli~rement voisin de N".

Quand le point M vient en N" et le point M' en N', la fonetion W ~ Zr devient infinie mais un seulement des tennes de la somme Xr devient infini; soit p~-~P le p'~-~v correspondant. Alors W--p~ -2p reste finie. Posons:

W - - p]-~P = H.

~OUS au rons : J - - J ' = K-4- K 1

~vee

K = j \ d,~

K~ "~ f ( p~-2pdtf'du ----U'dP~.f2P)dto'

les deux int6grales 6tant 6tendues h la fronti~re de A. La fonction H est une fonction harmonique, des z' et des y' (nous

avons d6jk vu qu'elle est harmonique par rapport aux x et aux y, mais

72 H. Poincar$.

je la consid~re maintenant comme fonetion des x' et des y'). Elle reste analytique h l'int4rieur de A, que le point M soit int4rieur ou ext4rieur h A' ou qu'il soit sur la fronti~re de A', pourvu toutefois que ce point M, restant voisin de A' comme nous le supposons, ne soit int4rieur h aucun des autres transform4s de A.

])e m~me la fonction U' est harmonique et analytique h l'int4rieur de A. Dans ces conditions le th4or~me de GREF, N nous enseigne que l'int4grale K est nulle. En ce qui concerne l'int4grale K~, ce m~me th4or~me nous enseigne qu'elle est nulle si le point M est ext4rieur h A'. Si le point M est int~rieur h A', notre int4grale K~ est 4gale, toujours d'apr~s le m~me th4or~me,

a U o ,

a 4rant un coefficient num4rique qui ne ddpend que du nombre 2p des dimensions et U 0 la valeur que prend U' quand la distance p] s'annule.

Or quand la distance p~ s'annule, c'est que le point M' vient au point de l'int4rieur de A qui correspond h la position du point M ~t l 'intdrieur de A'. Or soit a'~. ---- b~ Jr ic'k la p4riode dont raddition transforme le point N' en N" et A en A'. Quand les points M e t M' occuperont les po- sitions que j 'ai dites, on aura

X k X ' ' ' ' ---- k Jr bh., Yk ---- Y~ + ck,

on aura done v . = u(x - - b l , - - c ; )

et K 1 ---- a U(x - - b l , Yk - - c l ) .

Done quand M est ext4rieur h A', on a

J __ J ' .

Quand le point M franchit la coupure S dans le voisinage de N", pour p4n4trer dans A, l'int4grale J n'est pas continue, mais l'intdgrale J ' l'est. Done J ' est la continuation analytique de J au dels de la coupure S.

Quand M est intdrieur ~ A', on a:

J ' = J - - a U ( x , - - b; , ?h - - c~).


Done la continuation analytique de J au del~ de la coupure est

J - - ~U(x~ - - b~, y~ - - c~).

C'est la conclusion finale ~ laquelle je voulais arriver. Le prismatoide a 2p couples de faces oppos6es, tr et r ~2 e~ r . . . ,

~p et ~b2~. Soient b~ et Jq la fonction analogue k U et l'intdgrale analogue ~ J , relatives ~ la face ~q.

Soit @ une fonction qui dans le prismatoide // est dgale

loglP( ,)] e~ qui dans le prismatoide //' transform6 de B par l'addition de la p6riode ak b~ + i ' ' ~ ' ck est dgale h:

log J P(v, - -

La fonction r est donc harmonique dans chacun des prismatoides, saul aux points pour lesquels F s'annule ou devient inddtermin~e. Mais elle est discontinue quand on passe d'un prismatoide dans l'autre. De plus elle est p6riodique par ddfinition.

Si nous d~signons par a~ la pdriode fondamenfale qui correspond la face ~q et par blq et Ciq ses parties rdelle et imaginaire, nous voyons d'abord que quand le point M franchit la face ,% pour sortir de /7, la fonction @ subit un saut brusque 6gal

log [ P ( v , - % ) 1 - log I P(v,) I = UJv,).

Lorsque le point M franchit la transform~e de la face ~q par l'addition de la pdriode a~, la fonction @ subit un saut brusque dgal h

loglP(v,-- a"--a~,) l - - loglP(v,--aOI = U, (v , - a~).

Consid6rons maintenant la fonction

r(g, -{- J2 + . ' . -4- g2p). ~ = r

:Nous voyons tout de suite que cette fonction est harmonique sauf en deux sortes de points:

I ~ Ceux off F s'annule; en ces points ce n'est pas ~2, mais

s - - log I P(v,)l ou - - log I P(v, - - a:)[ qui est harmonique.

Acta mai, hematiea. 26. Imprim~ le 18 avril 1902. 1 0

74 H. Poincar6.

2 ~ Ceux qui sont sur la fronti~re de deux ou plusieurs prismatoides, points pour lesquels les fonctions ~ et J subissent une discontinuitd analytique.

Parmi ces points nous distinguerons x ~ ceux qui n'appartiennent qu'h 2 prismatoides et qui forment des vari6tds ~ 2p ~ I dimensions, vari6tds qui ne sont autre chose que les faces 9q et leurs transformds; et 2 ~ ceux qui appartiennent ~ plus de 2 prismatoides et qui forment des varidtds 2p ~ 2 dimensions ou ~ moins de 2 p - 2 dimensions.

Eft ce qui concerne les premiers, on voif tout de suite que la fonctTion reste analy~ique, et en effet ~ subit un saut brusque dgal ~ Uq, Jq un

saut brusque 6gal h - - a Uq; de sorte que le saut est nul pour ~ ) - - a j q x

e~ par consdquent pour B, et que ~2 coincide avec son prolongement analytique.

I1 est ais6 d 'en conclure qu'fl en est encore de m~me en ce qui concerne les autres points qui font pattie de plus de 2 prismatoides.

Soi~ en effet A Fun de ces points; il appartiendra dgalement h plusieurs de faces 9q ou de leurs transformdes. Reprenons l'intdgrale

J ~ / ( WdU'dn dWd~ U')dto'

~endue k la face 9. D'apr~s l'hypoth~se, le point A apparkient k plusieurs des transformdes de 9, par exemple aux transformdes de 9 par 1'addition des pdriodes v.ia") , a~ 2) , . . . , ~-~m), transformdes que je ddsignerai par 9 o) , 9 (~), . . . , 9 (m). Si je reprdsente alors par A ('), A (~), . . . , A (~) les points qui se ddduisent de A par la soustraction des p6riodes a! ~) , a~), . . . , a~ "), ces m points seront tous sur 9, ou plut6t sur la fronti~re de la face 9.

Quand le point M viendra en A et le point M' en A (k~, celle des expressions p~-V qui correspond h la pgriode a~ k) et que je reprdsenterai par p~-2~ deviendra infinie. Nous avons donc m de ces expressions ~ savoir

qui peuvent devenir infinies quand M est en A et que M' est sur la face 9 ou sur la fronti~re de cette face. Toutes les aufres expressions p~-2p restent finies.

Posons alors:


+ + . . . + pS-'; = w,

J = J * + j , W----- W ' + w ;

J ' = / ( W'dU'dn d W ' u ' ) d m ' ' d u

f( j = w 7/n dn.

Comme la fonction W* reste rdguli~re, quelle que soit la position de M' sur ~, quand le point M est voisin de A, nous devons conelure que l'in- t6grale J* est rdguli~re dans le voisinage de A.

Quant ~ ]', elle est 6gale ~ l'intdgrale

(4) ) dn U' dto'

6tendue, non plus ~ it, mais ~ l'ensemble des transform6es 9 (1), 9 (~), ..., 9 ('~). Soit E eet ensemble. I1 est clair que le point A appar~ient Kla vari6t~ E et qu'il n'est pas sur la fronti~re de E (ear dans ee dernier eas, il y aurait de l'autre c6td de cette fronti~re une transformde de 9, dont A devrait faire partie et d'apr~s notre hypoth~se ~(1), F(~), . . . , F(m)sont toutes les transform6es de F dont A fa r partie).

L'intdgrale (4) est une fonction holomorphe des x et des y, saul quand le point M est sur E . Quand le point M vient en A, la fonetion j 6prouve done une discontinuit6 analytique. Soit maintenant E ' une autre vari6t6

2 p - I dimensions, ayant m~me fronti~re que E , de telle fagon que E et E ' limitent un domaine 3. Comme A n'appartient pas h la fronti~re de E , nous pouvons supposer que A ne fair pas partie de E' .

Soit j ' l'int~grale analogue ~ l'intdgrale (4) ~tendue k E' . Ce sera une fonction holomorphe des x et des y sauf quand M est sur E'. .Elle sera donc holomorphe dans le voisinage du point A.

Or en vertu du th~or~me de GREEN, les deux int~grales j e t j ' sont 6gales entre elles en dehors du domaine ~. Done l'intdffrale j , et par consequent aussi l'intdyrale J, est susceptible d'dtre prolongde analytiquement au deld de la coupure dans le voisinage du point A.

C'est 1~ ce que je voulais d'abord d~montrer.

76 H. Poincar~.

Revenons maintenant ~ la fonction B. D'apr~s ce qui precede, cette

fonction pomTait admettre pour coupures les diverses transform6es des faces

ffq; mais elle est toujours susceptible d'etre prolong~e analytiquement au delh de ces coupures, m~me dans le voisinage de A. De plus nous avons

vu que quand on franchit l 'une de ces coupures, la fonction ~2 coincide avec son prolongement analytique. La fonction ~2 reste donc analytique et harmonique en A.

I1 y aurait exception ~videmment si au point .4 la fonction F s'annulait; ce serait alors W - - l o g ]P(v~)] ou P , - - l o g ] P ( v i - - a ~ ) ] qui serait analytique et harmonique.

La fonction $2 jouissant des m~mes propridtds que la fonction Z du

paragraphe prdc~dent et la fonction V du tome ~2, pages I69 sqq, pourra jouer le m~me rSle.

D'apr~s la ddfinition m~me de la fonction W, ses ddrivdes secondes

sent des fonctions pdriodiques des x et des y. Soit en effet D W u n e des ddriv6es secondes de W par rapport aux variables x et y; plus ggn~rale-

ment D sera un signe de ddrivation par rapport aux x et aux y, et D' sera la ddrivde correspondante plSse par rapport aux variables x' et y'.

Si alors D est une ddrivde seconde, nous aurons

D W = ~ .Dr , Dp 2-'v ~- Do 4- Dr.

Comme o est un polynSme du 2 d degrd, Do se rdduit ~ une constante;

d'autre part comme p est une fonc~ion des diffdrences x - x ' , y ~ y ' ,

nous aurons:

Comme r ne contient que des termes du 3 e degr~ au moins, Dr est du I er degr6 au moins et s'annule avec les x et les y; nous areas :

D'p 2-~v = D a -{- Dr .

Soit P0 ce que devient p quand les x et les y s'annulent. La formule

prgcgdente devient donc pour x ~ y-----o:

D'p~ - ~ ----- Do.

Comme nous savons que D a est une constante, cet~e formule nous donne la valeur de Da et nous pouvons 4crire:

Dr -~- D'p ~-~ ~,,~-2p


La s~rie D W = X ( D ' p ~-~p - - D'p] -~p)

est absolument convergen t . Quand x et y augmentent d 'une pdriode l'ex-

pression p~-~ se transforme en une autre expression p,2-2p. Quand x' et y' diminuent de la mgme pgriode p,--2p se change encore en p,2-2p, mais en

t2--?p * " . mgme temps po 2-2p se change en Po . Nous pouvons ecnre

D W ---- Z (D'p '2-~p - - D'po ~-'p)

car les deux s~ries ne different que par l 'ordre des termes. Si maintenant x et y augmentent de la pdriode en question, alors

D W devient ~., ( D'p '2-2p _ _ n'po-~-~ ,)

donc D W a augmentd de

["0 1"

Cette sdrie est absolument convergente, et il est ais6 de v&ifier que la

somme en est nulle. Donc D W est une fonction pdriodique. C. Q. F. D

Si D W est p~riodique, il en sera de mgme de

D J = D W ~ / .

D'ailleurs D(P est pdriodique par ddfinition et il doit en gtre de m~me de

x 2'DJq D~I = D ~ "-t- ~ .

A in s i les ddrivdes secondes de D~2 sont des fonctions pdriodiques des x et des y .

:Nous allons introduire une autre fonction analogue ~ ~ et que j'ap-

pellerai ~2'. A cet effet je commence par ddfinir une int~grale analogue

J e t que j'appelle

j , = f ( w dw v,)do,,. J \ dn d,~ .

Cette intdgrale diffbre de J paree que U' y est remplac6 par V' , 17' est

78 H. Poincar6.

la valeur de la fonction Y au point M', et je rappelle que V est la parfie imaginaire de la fonction

log a,) - - log P ( v , )

dent U est la partie r6elle. On volt que dans le voisinage du champ d'int~gration envisagd, la

fonction V reste holomorphe. Je ddfinirai la fonction ~' comme il suit; dans le prismatoide /]'

(vide supra) el]e sera dgale

arg. P(v~ ~ a~).

Elle ne sera donc ddfinie qu'h un multiple pros de 2~r. Je poserai

~2'--= $' +-~XJ; ;

et il est clair que la fonction ~2' jouira des m~mes proprigtds que la fonction ~2, ~ cette diffdrence pros qu'elle ne sera ddferminde qu'~ un multiple pros de 2:r.

Quelles relations aurons-nous maintenant entre ~ et ~ ' ; la fonction J dtant analytique et harmonique sauf sur les coupures, et ayant pour prolongement analytique:

J - - a U ( x k - -

la ddriv~e / )J sera analytique et harmonique sauf sur les coupures et aura pour prolongement analytique

.DJ ~ a D U(x k - - b'k).

De m~me la ddrivde D J ' sera analytique et harmonique saul sur les coupures et aura pour prolongement analytique

D J ' - - ~D V ( x k - - b'k).

Mais U et V sent les parties r~elle et imaginaire d'une m~me fonction analytique des variables complexes v. On en conclut que chacune des d6riv6es secondes de U est ~gale ~ une des d~rivges secondes de V. On aura par exemple

D U - - ~ D l V .


Comparons maintenant D J et DaJ'. Toutes deux sont harmoniques et analytiques sauf sur les coupures et elles ont respectivement pour prolongement analytique

D J - - aDU(xk - - b'k) , D , J ' - - aD, V(x k - - b'k) = D , J ' - - aDU(xk - - b'k).

Ainsi la diffdrenee D J - - D x J ' reste analytiquement continue sur les coupures; elIe est done analytique et harmonique dans tout l'espace.

De plus D J de mgme que D1J' est p6riodique; notre diffdrence est done analytique, harmonique et pdriodique dans tout l'espaee; c'est dire

qu'elle se r~duit d u n e constante. (Cf AI'PELL, Acta , tome 3.) I1 rdsulte de 1~ que les ddrivdes de D J sont dgales aux ddriv6es cor-

respondantes de D1J'

d•k d d d D J - ~ D I J ' ; - - D J . ~ - D1J'. (4) dyk

Quelle est maintenant la signification des 6quations

(5) D H - ~ D,H' ,

H et H' d~signant deux fonctions queleonques des x et des y. Pour nous en rendre eompte formons explieitement nos dquations:

(6) D U -~ D~ V.

Nous avons:

d'otl:

dU dV dU dV dxk dy~ ' dyk dxk

d*U d~V d~U d*V d'U d~V d*U d*V ~ ~ .

' d ' ' dzkdxj ~ dxkd!lj ykdyj dykdxj dxkdxj dykdyj dxkdyj

Ce sont 1~ nos dquations (6). Pour avoir les dquations (5), il suffit de remplacer U et V par H e t H'. Ces ~quations peuvent done s'dcrire:

d dH d dH' d dH d dH' (7) = dyk ' dy---; = " d . j

avec les dquations qu'ou en ddduirait en remplaqant xj par y~.

80 H . Poinoar~.

Ces 6quations signifient que

d H - - dd~ j d H ~/ ~ - d H ' + ' + '

c'est h dire les ddriv6es premieres de H + ~/-- i H ' , sont des fonctions analytiques des variables complexes v.

Nos 6quations (4) qui peuvent s'dcrire:

dJ dJ '

dzk D dJ _~ D l d.l'

dyk dyk

signifient alors que les ddrivdes secondes de J + ~ / - - i J ' sont des fonctions

analytiques des variables complexes v.

Donc J + ~ / - - I J ' sera dgal ~ une fonction analytique des v, plus un polynbme du second degrd par rapport aux x et aux y.

Comme 4~ + ~/--i 4~' est par ddfinition une fonction analytique de v, nous devons eonclure que ~2 + ~/--i ~-2' est 6gal h une fonction analytique des v, plus un polynSme du 2 a degrd par rapport aux z et aux y; route- lois cette fonction devient logarithmiquement infinie aux points off t7' s'annule.

Soit ~ le polyn6me du 2 d degr~ dont il vient d'etre question; alors:

+ ~ / - - i~(2 ' - -~ et 0 ~ e Q+r

sont des fonctions analytiques des variables complexes v; la derni~re 0 est. une fonction enti~re; en effet elle ne pourrait cesser d'etre holomorphe qu'aux points oh F s'annule, en ces points

~q + ~/------Y ~2' - - ~ - - log P(v~ - - o~) = A

est holomorphe et par consdquent

est holomorphe dgalement. Les d6rivdes secondes de ~2 + ~/--i ~ 2 ' - - $ sont p6riodiques; nous

l'avons vu pour ~2; nous le verrions de la m~me mani~re pour ~2', et les ddrivdes secondes de ~ se rdduisent h des constantes.

I1 rdsulte imm6diatement de lh que t9 se reproduit multiplid par une exponentielle dont l'exposant est un polynbme du 1 ~ degrd, quand les variables augmentent d'une pdriode.

Sur les fonctions ab~liennes. 81

C'est une ~fonction intermgdiaire~ pour employer l'expression assez real justifide de BamT et BOUQUET. Notre fonction F est donc le quotient de deux fonetions intermddiaires.

w 5. D e s ] b n c t i o n s i n t e r m d d i a i r e s .

L'dtude des fonctions abdUennes se trouve ainsi naturel|ement ramende celle des ,fonctions intermgdiaires,, c'est h dire des fonetions enti~res

qui se reproduisent par l'addition d'une pdriode, ~ un multiplicateur pros qui est une exponentielle du Ier degr6.

C'est principalement dans le tome 8 de l ' A m e r i c a n J o u r n a l of M a t h e m a t i c s (I886), que se trouvent exposges mes recherches sur ees fonctions intermddiaires.

On reconnalt tout de suite que les pdriodes et les multiplicateurs ne peuvent pas ~tre quelconques.

Supposons que quand v~, augmentant d'une pdriode, se change en v~ -t- aik, le logarithme de la fonction intermddiaire augmente de

de telle fa~on que le multiplicateur correspondant h la pdriode aik soit ea; on voit que le hombre:

p

Mkj = , ~ (a,~aik - - aika(i)

dolt ~tre 6gal h un entier multiplid par 2 ~ , - - I . I1 suffit pour s'en rendre compte d'exprimer que l'on obtient le m~me rdsultat en ajoutant d'abord la pdriode aik, puis la pdriode aij, ou en ajoutant ces deux m~mes p~riodes dans l'ordre invers.

Ces hombres Mk/ et les relations pr6e6den~es ont 6t6 ~tudi6es par M. FaOBENIUS dans le tome 97 de Crelle darts son mdmoire sur les fonctions Jacobiennes. J 'ai repris cette dtude h u n autre point de vue dans le mdmoire citd de l ' A m e r i c a n Jou rna l .

Les fonctions intermddiaires se ram~nent immddiatement aux fonctions ~); e'est h dire heetles off tousles hombres (pour un choix convenable des pdriodes) Mkj. sont nuls, sauf p d'entre eux qui sont d'ailleurs tous dgaux entre eux. En gdndral cette r~duction ne peut pas se faire de

Acta mathema~ica. 26. Imprim~ le 18 avril 1902. 11

82 U. Poinear6.

plnsieurs mani~res essentiellement diffdrentes; mais il n'en est pas de mgme quand les fonctions ab61iennes consid4r6es peuvent par une transformation convenable ~tre ramendes soit aux fonctions ellipt:iques, soit ~ des fone6ons ab41iennes de rang moindre, e'est ~t dire dans les cas de rdduction dont je parlerai plus loin.

Depuis M. HUMBm~T a reconnu qu'it existe d'autres syst~mes de p4- riodes pour lesquelles, bien qu'on ne soit pas dans un des cas de r4duetion, il existe des fonetions intermddiaires singuli~res r4ductibles de plusieurs mani~res aux fonetions 0. Les fonctions de M. HU.~IBEaT ont une grande importance.

I1 est ais4 de voir quelle est la signification de ces nombres Mk~. Prenons le prismatoide des p4riodes //; e'est un domaine de l'espace

2p dimensions. A chacune des

I.<2v) I_q [ -- q)

eombinaisons des :p p4riodes q ~t q, correspond un syst~me de poly~dres en forme de ~parall41otopes,, ou de ~prismatoides,) de l'espace ~ q dimensions, qui sont tous parall~les et 4gaux entre elles et qui sont au hombre de:

2 ~p-q .

~1 p l �9 �9 �9 " 1 C'est ainsi que dans l'espace ordinaire (2p = 3), un paraltemplpea a six faces ( q = 2) parall~1es deux ~t deux ( 2 ~ - q = 2) et r6parties par cons4quent

en 3 syst~mes (l~_t 2p -q 12p --3) , et que d'autre part il a I 2 ardtes (q-= ,)

parall~les quatre h quatre (2 :p-q = 4) et r4parties par eons4quent en 3 sy-

s t a t u e s i_q12 _, q - 3 �9

Parmi ees vari4t4s nous avons eonsid4r4 dans les paragraphes pr4e4dents eelles qui correspondent ~ q-= 2 p - I et que nous avons appel4es les #aces du prismatoide. Nous envisagerons maintenant plus partieuli~rement eelles qui correspondent ~ q = I et que nous appellerons les ar~les, et celles qui

correspondent ~ q-= 2 et que nous appellerons, non pas les faces, mais les paralldlogrammes (en abr4g4 prlg) du prismatoide.

A ehaque argte correspond done une p4riode, ~ ehaque prig ml des nombres 2tlkj.

Soit l 'int~grale


alors 0 une fonction interm6diaire quelconque et consid6rons

fd log 0

clue nous prendrons le long du p6rim~tre de l 'un de nos prlg., correspondant par exemple au nombre Mkj.

Le long du I e~ cbt~, l 'intggrale sera:

si les coordonn~es du l ~

le long du 3 ~

et enfin le long du 4~:

,~,,~v ~, + fib

sommet sont v~; le long du 2 a c6t6, elle seru

- - Z ~ , k ( v o + % ) - flk

- - ,~ % v ~ - - fl~ .

L'intdgrale totale est donc

:Nous pouvons dgcomposer la surface de notre prlg en une infinit~ de contours plans ferm6s infiniment petits; la somme des int~grales

f d log

prises le long de ces diffgrents contours sera 6gale h Mkj. Comme la quantit6

sous le signe f est une diff~rentielle exacte, l'int6grale prise le long de

l 'un de ces contours sera nulle h moins que la fonction sous le s i g n e f ne

devienne infinie ~ l'intSrieur du contour, c'est h dire que 0 ne s'annule l 'int~rieur du contour.

:Nous sommes donc conduits ~ rechercher les zdros de 0 situgs sur ta surface des prlg; c'est ~ dire les intersections de la varidt6 ~ 2 p - 2 dimensions 0-----o avec le plan du prlg.

fie supposerai que nous n'avons que des intersections simples, c'est dire que ce plan et la varigt6 0 ~ - o ne sont pas tangents l 'un ~ l'autre. I1 est clair que sauf des cas exceptionnels, il suffira de ddplacer d'une fagon convenable le prismatoide parall~lement ~ lui-m~me pour qu'un pareil

84 1~. Poincard.

eon~ct n'ait pas heu. D'ailleurs darts ces cas excep~ionnels, off ce confact ne peut-gtre dvitd, les rdsultats que je vais ddmontrer s'appliquent encore, grace ~ une gdndralisation presque immddiate.

Quelle est la condition pour que ce contact air lieu? Soient 00 et 0, les par~ies rdelle et imaginaire de O, x~ et y~ celles de vi; alors 00 et O~ sont des fonc~ions des x et des y; soient bik et % celles de aik.

La condition cherchde peut s'dcrire"

/ dO ~ dOo~ Z , ( b o d O , dO,~ +C'jN:

+ c i k N ) = o.

Nous supposerons done que l'expression D n'est pas nulle en m~me temps que 0 ~ l'intdrieur du prlg. Considdrons done un des zdros de 0 h Fin- tdrieur de notre prlg. Notre intdgrale prise le long d'un contour entourant ee zdro sera dvidemment dgale

+

Quant au signe il ddpendra dvidemment de celui de D~.. Nous pouvons faire des conventions telles que ce signe soit celui de Dk~.

Nous sommes ainsi amends h distinguer les zdros pour lesquels Dk~ est positif de ceux pour lesquels Dkj est ndgafif; je les appellerai pour abrdger les zdros positifs et les zdros ndgatifs; et j'arrive ~ ceff~e conclusion quc le hombre entier

Mat 2ff ~/-- I

est ggal a l'excds du uombre des zdros positifs sur celui des zdros ~dgatifs. Quand on permute les indices k et j , le nombre M~j change de signe; il e n e s t de mdme de D~.; le prig reste le mgme, mats il est parcouru en

sens contraire. Ce rdsulfat est le mgme que celui que j'avais obtenu par une tout

autre vote dans le tome 9 des Ac ta m a t h e m a t i c a , pages 369 sqq. Considdrons un segment de droite quelconque dont la projection sur

l'axe des x~ soit ~ et dont la projection sur l'axe des Yi soit ~i- Posons

2p 2p

~i = k~l/'tkblk; ~i = k~=l ~kCik;


les coefficients ft ainsi ddfinis pourront s'appeler les c o g f f i c i e n t s c a r a c t ~ r i s t i q u e s

du segment considdrd. La longueur du segment est la racine carrde de

E ~ + Z C = r

r (/~) grant une forme quadratique ddfinie positive par rapport h #1, #2, -", f%- Lorsque les p sont entiers, le segment reprdsente en grandeur, direc-

tion et sens une p6riode, X1tkaik , et les quantitds a correspondantes seront

~-~k ~ik �9

Cela posd, envisageons deux segments ayant respectivement pour coefficients caractdristiques Pk et p~., et pour projections sur les axes ~i, ~i et ~ , ~ . La surface du paralldlogramme construit sur ces deux segments

sera la racine carr6e de:

Si les # et les #' sont des entiers, et que les deux segments soient des pdriodes, nous pouvons nous proposer de calculer le hombre M correspondant; pour cela dans l'expression de Mk~.. il faut remplacer

aik , a ~ , ai j , a~j

par

On trouve ainsi:

�9 Y,,uka~k , ,Y~kaik , .Y,,a~ aik , X,u~ ai~..

~(p, ~z) = X M ~ A ~ k Z ; - - p;~),

la sommation grant dtendue h routes les combinaisons des deux indices k et j . On volt que M est une forme bilindaire par rapport aux coeffi-

cients # et #'. De mgme pour calculer le nombre D correspondant h notre paralldlo-

gramme il faut dans l'expression de D~ remplacer b~k, cik, bit, ci~ par

ce qui donne:

Si nous distinguons

Xmbi~, Z~kc,~, Z/~'~b,~, Z~'~ci~,

D ( ~ , ~') = z n k , ( ~ k g - - ~i t ' j ) .

encore les z~ros positifs ou n~gatifs suivant le signe

86 H. Poincar6.

de D(ft,/~') , nous verrons que l'exc~s du hombre des zdros positifs sur le nombre des zdros ndgatifs, est sur notre paralldlogramme:

M(g, p')

Considgrons maintenant une aire quelconque dans le plan de ce parall~lo- gramme qui soit limitde par des segments reprdsentant des pdriodes en grandeur et direction. Cette aire sera ddcomposable en un certain hombre n de paralldlogrammes 6gaux, et on aura:

S

~/ 9, (.~ , z ' ) S dtant la surface de l'aire.

L'exe~s du nombre des zdros positifs sur les z~ros n~gatrifs sera:

n ~(Z'/~'~) - - S M ( p , / ' 3

On remarquera que le rapport

M(/,. ~3 ~/9(~, ~')

ne change pus, ni quand on multiplie tous les /1 par un m~me facteur constant, ni quand on multiplie tous les #' par un m~me facteur constant. I1 ne change pus non plus qnand on fair subir it /~ et it #', une substitution lingaire, et en m~me temps h ftk et p~ la m~me substitution lin~aire.

Ce rapport ddpend donc seulement au moins en valeur absolue de ]a direction du plan du paraUdlogramme; cependant il changerait de signe si la substitution ]ingaire dont je viens de parler avait un ddterminant nggatif.

Considdrons maintenant une aire qui ne soit plus plane, mais qui soit limitde par des ssgments de droite reprdsentant en grandeur et direction

des pdriodes. Consid6rons les zdros de 0 qui sont sur cette aire; nous distinguerons

les zdros positifs et ndgatifs d'apr~s le signe de D(tt , tt'), en appelant llk et p~ les coefficients caract~ristiques de deux droites menses duns le plan tangent ~ raire au point envisagd. ~qous remarquerons que D(ft, #') ne change pus quand on fair subir it #, et ~t #~ une substitution lin~aire de d~ferminant A- I, et en mgme temps h ttk et p~ la m~me snbstitQtion lin~aire.

Sur les fonctlons ub61iennes. 87

Je me propose alors de ddmontrer que l'exc~s N du nombre des zdros positifs sur celui des z6ros ndgutifs est dgal h

f da M(/~, if) (2) N =

da repr6senfant un 616ment de l'aire, et p et ,u' les coefficients caractdristiques de deux droites menses clans le plan tangent.

Je diviserai la ddmonstration en trois parties: I ~ ge suppose d'abord que l'aire se ddcompose en un certain nombre

de parall6iogrammes construits sur des p6riodes; la formule est alors une cons6quence imm6diate de celle que nous venons d'dtablir.

2 ~ Je suppose que l'aire soit ferm6e. Dans ce cas je remarque d'abord que N e s t nul. En effet l'aire

6rant fermde peut gtre considdr6e comme la fronti~re complete d'une va- ri6td V h 3 dimensions. Les points de cette varidtd oh 0 ~ o formeront une ligne; les points oh cette ligne percera la fronti~re pour entrer dans V seront les zdros positifs, ceux oh elle percera la fronti~re pour sortir de V seront les zdros ndgatifs. I1 en rdsulte immddiatement que le hombre des zdros des 2 esp~ces est le m~me.

D'autre part, je dis que l'intdgrale double du second membre est nulle; on peut l'dcrire en effet:

2 ~ / - I

en ddsignant par p~ les coefficients caract~ristiques du vecteur qui va de l'origine au centre de gravitd de ['dlgment da.

L'aire 6tant fermde, on volt aisdment que chacune des intdgrales

f est n |e. 3 ~ Je suppose enfin que l'aire A soit quelconque, mais limitde par des

segments reprdsentant des pdriodes. Dans ce cas je puis construire une aire A' ayant m~me fronti~re que

A et d~composable en paralldlogrammes construits sur des pgriodes. Le thdor~me est vrai pour A', il est vrai pour l'aire totale A + A' qui est ferm6e; il est done vrai pout" A.

Supposons enfin que l'aire A soit tout • fair queleonque et ne soit plus limitde par des segments repr6sentant des p6riodes. Dans quelle mesure

88 H. Poincar~.

l'dquation (2) restera-t-elle vraie? Supposons que l'aire A soit tr~s-grande, que par exemple ses dimensions lindaires soient des infinis grands du I e ordre et sa surface un infini du 2 d ordre. Je dis alors que l'dgalitd (2) dont les deux membres sont des infmis grands du 2 d ordre, reste vraie des quantit~s pros infiniment grandes du I ~r ordre.

Nous pouvons en effet construire une ligne bris6e ferm6e, compos6e de segments repr6sentant des p6riodes, et s'~eartant peu du pdrim~tre de l'aire A; je veux dire par lh que la distance de cette ligne brisde h ce pdrim~tre restera plus petite que la plus grande diagonale du prismatoide /]. Nous pourrons alors construire une aire A', limit6e d'une part par le p6- rim~tre de A, d'autre part par cette ligne brisde, et dont la surface sera du m~me ordre que le pdrim~tre de A, c'est h dire du i ~r ordre.

Soient alors N e t J la valeur des deux membres de l'6galit6 (2), (c'est dire de l'exc~s de l'int~grale double) pour l'aire A, soient N ' et J ' les

deux quanfitds correspondantes pour l'aire A'; N + N ' et J + J ' les deux quantitds correspondantes pour l'aire A + A'.

Comme l'aire A q - A ' est limitde par des segments repr~sentant des pdriodes, on a

N T N ' - - - - J W J ' .

D'autre part, _N' et J ' sont du m~me ordre que la surface de A' c'est dire du Ier ordre. Donc

N = J aux quantit~s pros du | e r o r d r e . C . Q . F . D .

Si en particulier l'aire A est plane, mais quelconque, on aura aux quantit6s pros du I er ordre

S M(II, #) _ ~ T _ _

2~, ~/-- ~ V~2(I~ , ~')

Les /lk et les p~ sont les coefficients caract6ristiques de deux droites quel, conques du plan; nous n'avons plus besoin de supposer qu'ils sont entiers ou m~me commensurables.

Mais parmi les plans possibles, nous distinguerons ceux qui sont pa- pallSles ~ un plan P donnd par les dquations:

V , _ _ V~ _ _ - - Up

(3) ~, s . . . - - ~

les /~ ~tant des coefficients complexes queleonques.

Sur los fonetions ab6Hennes. 89

Soient r~ et #~ los parties r~elle et imaginaire de fl~, nous pourrons envisager en particulier deux droites du plan P parall~les respeetivement aux deux droites:

z~ Zk Y~ yk z~ Zk y2 ___~ q_ y~

Ce sent les coefficients caraetdristiques de ces deux droites que nous appellerons respeetivement #k et #~ de sorte que nous aurons"

Ti ---- .'Ybik #k, oi = XC~k Pk, (4)

- - c~ .= Zb~k g'k, -4- r~ = ZC~klti

et par consequent: r

5-" (r, a~ ,~ ao," t . aOo aOo~ - _ o,-.., +

Or il est ais6 de voir que

a pour partie r~elle:

et pour partie imaginaire

( ao, o,a~ S . ~r ,~ + . ~ / dO, dOo~

do sorfe que

est essenfiellement posifif.

D [ ^ dOI2 = Eg, l

1t n'y a plus alors que des zdros positifs.

hr Le rapport ~- repr~sent~ alors la densit~ moyenne des z6ros dans un

plan parall~le ~ P , e'est h dire la limite vers laquelle tend le rapport du Atttt ~ r ~ . Imprim~ le 2~ avril 1902. 12

90 H. Poincar6.

hombre des zdros contenus dans une aire situde dans ce plan, ~ la surface de cette aire, quand cette surface crolt ind6finiment. Cette densitd moyenne est done ~gale

x MO,, ~') ~ r ~ '

les coefficients /z et /t' &ant d&ermin6es par les 6quations (4). I1 rdsulte de lh que pour ces valeurs des g et des #', l'expression

2rr ~/-- l

est essentiellement positive. Ce r6sultat peut se m6ttre encore sous d'autres formes. Posons

alors notre expression ~(a, z') 22rr i

deviendra tree forme bilin6aire des ~ et des ~' que je puis ~erire:

Cette forme devra &re essentiellement positive si l 'on y fair:

St = r~, ~ , + , = o , , ~; = - - a , , ~;+~ = r,.

Or par eette substitution notre forme doit devenir une forme quadratique par rapport aux ~- et aux #; eette forme quadratique doit &re d6finie posi~ve.

Posons maintenant:

~k + ~/-----7/4 = Xk,

les ~quations (4) nous donneront:

~a~kx k = O, I1 vient Mors:

X a , ~ = 2 ~ .

t,~/~; - - ~ ~'~ --- (x~ ~ - x, x~ 2 ~/=-;

de sort~ que:

Sur les fonctions al~lieunes. 91

M i - - - - -

2~r ~ I 4~r

La forme d variables con]ugudes qui figure darts le ~d membre est doric essentiellement positive, si Xa~kxk est assujetti ~ dtre nul.

On reconnalt lk l'in~galit~ de RIEMAN~, gdndralisde par FROBE~IUS (Crelle, tome 97, page 2I). Mais la vole par laquelle nous y sommes parvenus diff~re beaucovp ~ la fois do cello de RIeMA~N et de eelle de FROBENIUS,

Je crois que les considdrations qui precedent sent de nature ~ mieux faire comprendre la signification des hombres Mkj, et les relations de ces hombres avec la r~partition des zdros des reactions 0.

w 6. Cas de r6duc t ion .

Dans quels cas une in~grale ab~lienne appartenant ~ une courbe de genre p peut-elle ~tre r~duite ~ une intdgrale ab~lienne appartenant ~ une courbe de genre moindre?

Dans quels cas une courbe de genre p admettra-t, elle q int~grales ab~liennes de I ~re esp~ce, admeffmnt seulement 2q p6riodes? Ou, ce qui revient au mgme, dans quels cas une intdgrale abdlienne appartenant ~ une courbe de genre p peut-elle gtre ealcul~e ~ 1'aide de syst~mes de fonctions abdliennes de ranq moindre que p, c'est ~ dire axlmettant moins de p variables?

Enfin dans quels cas des fonctions abdliennes de rang p peuvent, elles ~tre rdduites h des fonctions abdliennes de rang moindre?

Telles sent les questions qui oat occup~ d'abord WEIEaSTRASS et M. PICARD et que j'ai aborddes ~ men tour, d'abord dans le B u l l e t i n de la Soci~td M a t h 6 m a t i q u e de F rance (tome x2), puis dans le tome 8 de l ' A m e r i c a n Jou rna l .

Nous trouvons d'abord le cas oh la fonction 0 peut ~tre regard6e comme le produit de p fonctions 0 elliptiques. C'est ce que j'appeUe le cas singulier elliptique.

Puis nous avons le cas oh la fonction 0 est le produit de plusieurs reactions 0 ab41iennes de rang moindre. C'est ce que j'appelle le cas sin- gullet abdlien.

92 It. Poincar&

Nous avons ensuite les cas, qui par une transformation d'ordre convenable, peuvent ~tre ramen~s soit ~u can singalier elliptique, soit au cas singulier ab61ien.

I1 n 'y a pas d'autres cas de r6duction. Mais, circonstance remarquable, un syst~me quelconque de p6riodes,

diff~re toujours infiniment peu d'une infinit6 de syst~mes correspondant h des cas de r~duetion, de la m6me fagon qu'un hombre rdel quelconque diff~re toujours infiniment peu d'une infinit6 de hombres rationnels.

Enfin si un syst6me de fonctions abdliennes peut de deux mani~res diffdrentes 6tre ramen6 par une transformation, au cas singulier elliptique, cette r6duction peut se faire d'une infinit6 de maniOres diffdrentes. C'est ce qu'avait ddj~ remarqu6 M. PICARD dans certains cas particuliers.

Je me borne h dnoncer succinetement ces rdsultats; mais je dois cependant expliquer le patti qu'on en peut tirer pour l'dtude des fonctions ab61iennes les plus g~n6rales.

On peut les utiliser de 3 mani~res diff6rentes: I ~ On peut r~soudre un probl~me dans le eas singulier elliptique, et

montrer ensuite que le rdsultat ne peut ~tre diff6rent dans ce cas singulier de ce qu'il est dans le cas ggngrul.

C'est ainsi par exemple que j 'ai ddtermin6 le hombre des zdros communs ~ p fonctions 0; et M. WIRTINGER a 6galement tird un grand par~ de ee procdd&

2 ~ On peut profiter de cette circonstance signalde plus haut qu'dtant donn6e une fonetion ab61ienne quelconque, on peut toujours tu'ouver une infinitd de fonctions abdliennes rdductibles qui en different aussi peu qu'on le veut.

C'est eomme cela que j 'ai d6~ermlng la somme des zdros eommuns p fonetions 8.

3 ~ On peut dtudier spdeialement les cas qui different peu du eas singulier elliptique, ou du cas singulier abglien.

C'est ee que j 'ai fair dans le J o u r n a l de LIOUVILLE I895 quand j 'ai voulu ~tudier les conditions auxquelles une fonction H de rang p doit satisfaire pour ~tre une fonction 8 spdciale, c'est h dire une fonction 0 de RI~:MA~ engendrde par une courbe algdbrique de genre p.

Enfin e'est sur l'dtude des cas de rdduction qu'est fondde la ddmonst~'ation du thgor~me B clui a gt~ imaginge d'abord par W~aSTaASS


et clue nous avons retrouvde, M. PWARD et moi, et publi~e darts les Comptes -Rendus .

w 7. Z~ros des f o n c t i o n s O.

Les fonctions interm6diaires peuvent toujours se ramener aux fonetions 0, soit immddiatement, soit apr~s un changement de p6riodes. J'appeUe fonctions 0 les fonctions interm6diaires pour lesquelles p des multiplicateurs se r6duisent h des constantes, et les p autres h des exponentielles. La plupart des auteurs out attribud une importance pr6pond6rante et presque exclusive

celles de ces fonetions off les hombres appelds caractdristiques sont des entiers. J'ai toujours trouv6 beaucoup plus commode de m'affranchir de cette restriction et d'at~ribuer hces caract6ristiques des valeurs queleonques. En revanche j'ai suppos6 le plus souvent que les p premiers multiplicateurs ~taient ~gaux ~ I, ce qui ne restreint pas la g6n~ralit~ d'une faqon essen~ielle.

Quoi qu'il en soit, on salt que le nombre des fonetions 0 d'ordre m, lin~airement ind~pendantes et ayant m~mes multiplicateurs est ~gal ~ raP; si on les regarde eomme les coordonn~es homog~nes d'un point dans l'espace it m p - i dimensions, ce point engendrera une varifif~ ~ p dimensions. J 'ai dtudid cette varidt~ prineipalement dans le J o u r n a l de LmUV~LL~ ~895 et j 'ai en particulier ddterminfi son degr~ de deux ma-

.x meres diff6rentes.

Le hombre des zdros communs ~ p fonctions 0 d'ordre

m l , ~ 2 ' " " " ' ~ P

est 6gal

( I ) m i r a ~ . . . mp . p ' .

C'est ce que j'ai d~montr~ dans le tome IO du B u l l e t i n de la Socidt6 M a t h d m a t i q u e de France.

Dans le J o u r n a l de LIOUVILLE, j'ai abordd un probl~me qui contient la fois comme cas particulier eelui dont je viens d'dnoncer la solution,

et une question rdsolue autrefois par X~IEMANN. Soit un syst~me de fonetions ab61iennes spdc ia les au sens du para-

graphe pr~cfdent. Soient O , ( v ~ ) , O ~ ( v ~ ) , . . . , O,(v~) q fonctions @. Soit

94 H. Poincar6.

U~(X) l'int6grale abdlienne de I ~ esp~ce qui sur la courbe de genre p qui engendre ces fonctions 8 correspond h la variable v~. Combien les dquations

+ + . . . + = o . . . . .

oh xl , x~, . . . , Xq sent les inconnues, admettent-elles de solutions? La solution de cette question est donn6e par une formule qui contient

comme cas particuliers la formule (I) et celle de RIEMANS.

w 8. F o n c t i o n s s p d c i a l e s .

Quell6 est la condition ndcessaire et suffisante pour qu'une fonction abdhenne soit spdciale?

RIEMANN a d6montrd que pour les fonctions sp6ciales, la vari~td p - - I dimensions:

0 - - o

est une ,,varidt6 doublement de translation,. SOPHUS LI~. a 6fabli ensuite que cede condition n'est pas seulement

n6cessaire mais qu'elle est aussi suffisante pour qu'une fonction 0 soit spdciale.

J 'ai donnd dans le B u l l e t i n de la Soci6td M a t h d m a t i q u e de F r a n c e ( t9oi ) une nouvelle ddmonstration du thdorbme de LIE qui me semble plus simple et plus synthdtique que celle de ce g6om6tre.

D'autre part j 'ai cherchd dans le J o u r n a l de LIOUVILLE I895 approfondir cet-~e condition.

J'ai cherch~ ~ l'exprimer en fonction des p6riodes, et dans les cas voisins du cas singulier elliptique je suis parvenu ~ former les premiers termes du d6veloppement de la fonction des p6riodes qui, dgalde h zdro, exprime que cette condition est remplie.

J 'ai d'ailleurs 6tudi6 la courbe qui engendre cette varidtd de translation; cotte courbe satisfait ~ p - I 6quations de la forme:

O(v, - e,k) = o (k~l,2, . . . ,p--l)

les e dtant des constantes. Mais ces 6quations ne suffisent pas pour dg- terminer cet~e courbe; eHes d6finissent une courbe ddcomposable dent la


courbe envisag~e n'est qu'une composante. Tous ces points ~tant presque 6vidents, j 'ai cherch6 h me rend_re compte des cireonstanees de eette d~- composition.

w 9. S o m m e des z~ros.

Dans le tome 8 de l ' A m e r i c a n J o u r n a l , j 'ai d6montr~, en m'ap- puyant stir une ggn6ralisation du thgor~me d'ABEL, que la somme des z~ros communs ~ p fonctions intermddiaires est une constante, et ne d6pend que des mulfiplicateurs de cos fonctions.

J 'ai ensuite, en remarquant qu'on est toujours infiniment pros d'un cas de r~duction, d6termin6 la valeur de cette eonstante.

Je voudrais d~duire de l~t une consequence. Soient

P-4- I fonefions 0 ayant mgmes multiplieateurs. Consid~rons maintenant les z6ros communs aux p derni~res fonctions;

ees z~ros seront donn~s par les 6quations

(i)

Soit

~,(v,) = ~ ( , v , ) = . . . = ~ p ( v , ) = o.

une de ces solutions; l'indice i varie de I a p, l'indice k de I h N,

N = m~lP -

6rant le nombre des solutions des ~quations (I) et m l'ordre des fonetions 0 considdr~es.

Formons maintenant les fiquations suivantes:

(5) ~(,,~) + ~,O(v,)= t~(v,) + ~O(v,) . . . . -- tb(v,) + ~ t~( , , , )=o

les e 6rant des constantes. Ces dquations auront N solutions; soit

l'une de ees solutions. que les fonetions 0k.

(3)

Les fonetions ~k A-~k ~ ont mgmes multiplieateurs On aura doric

96 H. Poincar~.

Si los ~ sont tr~s petits, nous pourrons poser

et les Sga seront tr~s petits de l'ordre des e; on aura done en ndgligeant les quantit~s de l'ordre de e~:

0 ' . d O , ~ d O , l(gik) ~ Ol(gik) + Z ogj, dvj = ~ o'gjk ~,j ,

~, o(a;k) - - ~, o(e,k).

dO t Duns les ddrivdes d--~-~' les vi doivent gtre remplaeds par gik.

Les gquatlons (2) penvent done s'~crire:

(4) ~ _ . dO, ttgjkd--'~-fy "41- X, 0(g,t) -----O.

d 0q Soit A(v~) le dgterminant des )-~v~' e'est h dire le ddterminant fonetionnel

des 0q par rappor~ aux v. Soit Ae(v~) le mineur de ee d~terminant cor- d Oq

respondant ~ l '~ltment d-~-j; les 6quations (4) nous donnent:

O(ga) 2"r~ Ao(ga). A (g~)

En vertu de l'~quation (3) on a ~:e?g~ ~ o; on aura done aussi quels que soient les indices q et j :

O(g~ A~(g~) (5) ~ , a-?-~.) = o.

La sommation doit gtre ~tendue aux N solutions des ~quations (I). Pour nous rendre eompte de la signifieation de ee tMor~me, voyons

ee qu'il devient dans le cas des fonetions eUiptiques (p---- i); on a alors:

~ , j = i , a ( v , ) = o ; (v , )

et notre ~quation devient:

O(g~j,) o. (6) 0;(g,k) ----

La fonetion 0 0,


est alors une fonction doublement pdriodique admettant pour pbles les points glk; le rdsidu correspondant est prdcisdment

0 ( g l k )

O~(gt~.) "

L'~quation (6) exprime donc le th6or~me bien connu d'apr~s lequel la somme des r6sidus d'une fonction doublement p6riodique est nulle.

A c e point de rue, l'dquation (5) peut dtre regardde comme la gdndra.

lisation du thdor~me des rdsidus. Nous avons suppos6 jusqu'ici que les p + x fonctions 0, O~, 0~, ..., 0p

avaient In61nes multiplicateurs. Supposons maintenant que 0 at 0a aient m61nes multiplicateurs; mais ne supposons plus que les autres fonctions aient m61nes multiplicateurs, ni In61ne qu'elles soient de Inn61ne ordre.

Reprenons les 6quations (i) et (2) mais en faisant

Les fonctions o, + o,, . . . , o,

ayant m~mes multiplicateurs que

0 1 , 0 2 , . . . , 01,

les dquations (3) subsistent, et par consdquent aussi l'dquation (5), ma/s p o ~ l " q = I seulement.

Soit 0 F = g .

Regardons F eomlne une fonetion de vj, les autres v ~tant supposes exprim~s en fonetions de v~ par les ~quations

0 2 = O~ ~ . . . = Op-----o.

Notre fonetion F admettra comme infinis

V j ~ j k "

Quel sera le r6sidu correspondant'? C'est la limite de:

g = (v~--g+k)F

quand v~ tend vers gjk, de faqon que 82, 0 ~ , . . . , (r restent nuls. Aeta maim'taXi, ca. ~6. Iraprimd le 10 juln 1902. 13

98

Soit

nous aurons

H. Poincar6.

oVi ~ Vi - - ffik

Z ' dvl

~v dO, 01 -~ ~ i d m

De cette dquafion nous tirons"

O~

H ~vr

( q = 2 , ~ . . . . . n)

d 0, d 0, H A' &an~ le d&erminang foncfionnel A off ~ 7 est remplacd par dv~ O"

De lh nous tirons"

H = O(vi) A,Avd A (vd

et ~ la limite pour lo r&idu:

O(&k) h,i(yi~) A (glk)

L 'dqua t ion (5) expr ime donc bien que la somme des rdsidus (entendus au

sens que nous venons de prdciser) est nulle.

Documents

Sur les fonctions abéliennes