Sur les groupes doublement transitifs continus: correction et compl ments

p a r J . TITS 1), B r u x e l l e s

1. Dans [4], nons avions cru d~montrer (th6or~me 2) que les seuls groupes doublement transitifs continus 2) de t ransformations d 'un espace topologique E localement compact, connexe 3) et satisfaisant au premier axiome de d6nombrabilit6 sent, s un homdomorphisme de E pros, les groupes lin6aires (groupes des t ransformations lin6aires y--~ a - x + b) d 'une variable rdelle, d 'une variable complexe et d 'une variable quater- nionienne. Nous en d6duisions diverses consequences (th6or~mes 3, 3 ~ et 5) parmi lesquelles le fait (thdor~me 3) que les seuls presque-corps ~) topologiques localement compacts et connexes sent, i~ un isomorphisme pros, le corps des nombres r6els, le corps des nombres complexes et le corps des quaternions. I1 nous est apparu depuis, que le dernier para- graphe (w 4.11) de la d6monstrat ion du th6or~me 2 renferme une erreur - nous y faisons un usage abusif d ' un th6or~me de F. Kalscheuer - et que la conclusion du th4or~me n 'est elle-m6me pas valable : il existe en effet, ainsi que nous le verrons plus loin (cf. n ~ 2), des groupes double- ment transit ifs continus de t ransformations de l 'espace euclidien s 4 dimensions qui ne sent pas semblables au groupe lin4aire d 'une variable quaternionienne. Par vole de cons6quence, les th6or~mes 3, 3 t et 5, qui ne sent essentiellement que des expressions diff6rentes du th6or~me 2,

1) B6n6ficiaire d ' u n e s u b v e n t i o n du F e n d s :National Belge de la Reche rche Scientif ique. s) L a te rminologie uti l is6e es t celle de [4]; en par t icul ier , nous d isons q u ' u n groupe

de t r a n s f o r m a t i o n s d ' u n ensemble E eat d o u b l e m e n t t r an s i t i f s ' i l es t s implement transit i / su r les couples ordonn6s de po in t s de E. Cet te te rminologie diffSre de celle que nous a v o n s adopt6e n o t a m m e n t dana [5], off nous n o m m o n s g roupes d o u b l e m e n t t r ans i t i f s t o u s lea g roupes de t r a n s f o r m a t i o n s transiti]s su r lea couples ordonn6s de po in t s (eL no te 6) p lus loin).

3) Ici, e t ~ pluaieura repr ises dana la su i te , noua posons , p o u r simplifier les 6nonc6s, u n e cond i t ion de connex i t6 1~ oik ~1 n o u s suff i ra i t en fair de supposer que les espaces topo log iques enviaagCls no s e n t pa s t o t a l e m e n t d i scont inus .

4) R a p p e l o n s que nous e n t e n d o n s pa r , p r e s q u e - c o r p s , , u n vollstgindiger Fastk6rper a u sens de H. Zas senhans , e 'es t -k-di re u n ensemb l e m u n i de d e u x op6ra t ions , add i t ion e t mul t ip l i ca t ion , s a t i s f a i san t k t o u s des ax iomea des corps (non c o m m u t a t i f s ) k l 'exeep- t ion de la loi de d i s t r ibu t iv i t6 k droi te (b + c) .a = b *a + c .a .

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sont eux aussi inexacts ; en particulier, il existe des presque-corps topo- logiques homdomorphes mais non isomorphes au corps des quaternions.

Le bu t de la prdsente note est d ' appor te r les corrections ndcessaires aux thdor~mes 2, 3, 31 et 5 de [4] (cf. n ~ 5 ci-dessous) et, cn particulier, de compldter l 'dnumdrat ion des groupes doublement transitifs continus et des presque-corps topologiqucs satisfaisant aux conditions ~noncdes plus haut.

2. D6signons par Q le corps des quaternions b. coefficients rdels ct par / ' un sous-groupe s un paramStre du groupe mult ipl icat i f des quater- nions non nuls qui ne soit pas contenu dans le groupc des quaternions de normc 1, de sorte que pour tou t nombre rdel positif r il y ait dans F un et un soul quaternion de norme r , que nous appellerons ?(r ) . Nous allons mont re r que

Le groupe G r constitu~ par les trans]ormations de Q d'~quation

y = a . x . b ~ - c ( a , b , c ~ Q , la I ~-- l , b e F ) ,

est un groupe doublement transiti] continu.

En effet, soient p e t q deux quaternions distincts quelconques. Un calcul ~ldmentaire mont re que les r

p : = a - 0 . b - l - c , q .... a. l . b " c, [ a l == 1, b ~ I ' ,

ont, en a , b, c, une solution unique, h savoir.

a = (q - p ) . [ r ( I q - p I)] -~

b = ~ ( I q - - P l ) (2.1) c - - - p .

ll existe donc dans G r u n e et une seule t ransformat ion t r ans fo rman t 0 et 1 respec t ivement en p e t q, et G r e s t doublement transitif. En outre, si on donne "s G r la topologie naturel le d6finie b. par t i r des coefficients a, b, c, G r e s t un groupe topologique de t ransformat ions de Q au sens de Montgomery et Zippin [6], et la t ransformat ion de G r qui conserve 0 et qui t ransforme 1 en p e s t une fonction cont inue de p, en ve r tu des relations ( 2 . 1 ) ; p a r consdquent, Gp est bien un groupe doub lement t ran- sitif eont inu (cf. [4], w 3.3).

Lorsque F est le groupe R + des nombres rdels positifs, G r n'est au t re que le groupe des t ransformat ions lin5aires y --~ a . x A- b (a, b c Q, a =/= 0). Nous chercherons plus loin (cf. n ~ 3) dans quel cas les groupes G r e t

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G r, eor respondant ~ des groupes/~ un param~tre F e t / ~ t difffirents sont semblables, c'est-/~-dire s quelle condit ion il existe un homdomorphisme de Q sur lui-mSme t r ans fo rman t G r en Gr , . Nous verrons alors, en part i- culier, que si F =/= R +, G r n'est ]amais semblable au groupe des trans- /ormations lindaires, c'est-s que les groupes G r (F # R +) consti- t uen t effect ivement des contre-exemples au th~orbme 2 de [4].

3. Au w 2 .5 de [4], nous avons associd ~ tou t groupe doublement t rans i t i f de t ransformat ions d 'un ensemble E une opdrat ion d 'addi t ion e t une op6rat ion de mult ipl icat ion d6finies sur les dldments de E , e t bien ddtermindes d~s que l 'on a fixd le choix, dans E , de deux points 0 et 1, dldments neutres bilat~res respectifs de ces op6rations. Si on appl ique les d4finitions au groupe G r e n faisant coincider les points 0 et 1 choisis avec les quaternions de mSme nom, on t rouve que l 'opdra- t ion d ' add i t ion associde s G r n 'es t au t re que l 'op6rat ion d 'addi t ion usuelle des quaternions, tandis que l 'opdrat ion de mult ipl icat ion, que nous reprdsenterons par le symbole x r , est donnde par la relat ion

a • : a-[r(I a ])]-l.b.~,(] a [),

off les sont, comme prdcddemment , le symbole de la mult ipl icat ion usuelle.

L'ensemble des quaternions, muni des opdrations H- et x r , est un pres- que-corps topologique que nous ddsignerons par Qz,.

Lorsque F = R + (cf. n ~ 2), QI" n 'es t au t re que le corps des quater- nions. Lorsque F :~ R +, Qr" n'est pas un corps, ce qui infirme les thdo- rbmes 3, 31 et 5 de [4].

4. Deux groupes G r et Gr , , cor respondant s deux sous-groupes s un param~tre F et F t, sont semblables (cf. n ~ 2) si et seulement si les pres- que-corps topologiques Qr et Qr, sont isomorphes, c 'est-s s'il existe un homdomorphisme ~ de Q sur lui-m~me tel qu 'on ait

(x -F y)r = x v -F y~, (4.1) ( x x r y ) �9 ~ x ~ x r , y~,

quels que soient les quaternions x et y . Supposons qu'il en soit ainsi ; on dddui t alors des relations (4.1) que 0 ~ = 0 et 1 ~ = 1, e t plus gfinfiralement que

r ~ = r (4.2)

pour t o u t nombre r~el r , l 'ensemble R des nombres r~els 4rant l 'unique sous-groupe ~ un param~tre du groupe addi t i f des quaternions qui con-

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t ienne 1. D ' a u t r e par t , le centre du groupe mul t ip l ica t i f de Q r (resp. Qr,) est consti tu~ par les ~16ments de F (resp. F I) e t leurs opposes, e t on doi t donc avoir

F ~ ---- F r �9 (4.3)

E n ve r tu de (4.2) et (4.3), il faut , pour que Qr et Qr , puissent 6tre iso- morphes , que F e t F ~ aient avec R la m6me intersect ion. Cet te condi t ion est aussi suffisante. Supposons en effet qu'elle soit vdrifi6e et que / ' soit diff6rent de R + (si F z R+, on a aussi F ~ --~ R + et la proposi t ion est 6vidcnte), et d6signons pa r C et C ~ les sous-corps complexes (c 'est-h-dire i somorphes au corps des nombres complexes) de Q engendrds respect ive- m e n t p a r / ' e t F ~ . I1 existe dcux au tomorph i smes int6rieurs de Q t rans- f o r m a n t C en C r , soient ? et ~p, et leur quot ient ~ - 1 . ~ , qui conserve C ~ , indui t sur C ~ l ' au t om orph i s m e x --> ~. Les groupes s un p a r a m b t r e F v e t I "'I', t ransform6s respectifs de F par ~ et 9 , sont conjugu~s (c 'est- /~-dire form6s de quaternions conjugu6s), ils sont contenus dans le m6me corps complexe C ~ que F ~ , et ils on t chacun avec R la m6me intersec- t ion que F r , or on sai t que deux sous-groupes s un pa rambt r e du groupe mul t ip l i ca t i f des nombres complexes qui ont la m6me intersect ion avec l ' ensemble des nombres r6cls sont soit confondus soit conjugu6s l ' un de l ' au t re , pa r consdquent l ' un des deux groupes F ~ ou F ~, soit pou r fixer les id6es F ~, est confondu avec F ~ . Un calcul s imple mon t re alors que ~ sat isfai t aux relat ions (4.1), donc que Qr et Qr, sont isomorphes. E n r6sum6,

Pour que les groupes G r et G r, soient semblables ou, ce qui revient au m~me, pour que les presque-corps topologiques Qr et Qr, soient isomorphes, il /aut et il su//it que I" et F ~ ren/erment les m~mes hombres rdels~).

R e m a r q u o n s encore que si F :/: R + et si a d6signe le plus pe t i t n o m b r e r6el sup6rieur ~ 1 qui appa r t i en t s F , l ' in tersect ion F ~ R se compose des nombres a ~ et --a~+I/~(n ~-- 0, • 1, 4 - 2 , . . . ) . P a r cons6quent,

Si F ~ R +, G r (resp. Qr) est dg/ini d une similitude (resp. un iso- morphisme) pros par la donnde du plus petit nombre rdel a ~ 1 qui appar- tient ~ F; ce nombre peut prendre routes les valeurs r~elles supgrieures ~ 1,

5) Notons que tou t isomorphisme algdbrique entre deux presque-corps Qp et QF' est un hom~omorphisme, d'ofi il r4sulte en particulier que la condition 4nonce~e est aussi n6cessaire et suffisante pour que QF et QI'" soient algdbriquement isomorphes. On peut donner de ce fair une d~monstrat ion bas6e sur la remarque suivante : Si F:/= R + et si Cp d6signe le sous-corps (commutat i f ) de Q/, engendr6 par le centre du groupe multiplica- t if de Qp, les seuls 616ments de CU qui peuven t ~tre mis sous la forme d 'une somme de la forme a ~ - a -1, avec a ~ Cp , sont les nombres r~els compris entre - - 2 et 2, d'ofi l 'on d6duit imm6dia tement une caract6risation pu remen t alg6brique de l 'ensemble R des nombres r~els dans le presque-corps Q/~.

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et 5 des nombres a di]/drents correspondent des groupes G r non semblables (resp. des presque-corps Qr non isomorphes).

5. Dans les numgros 2 et 3, nous avons construi t des contre-exemples aux th~or~mes 2, 3, 3 ~ et 5 de [4]. Nous nous proposons s pr6sent de mont re r clue ces contre-exemples sont essentiellement les seuls exis- rants , c 'est-s que ces th~or~mes doivent ~tre remplac4s par les suivants :

Th~ori~me 2. Soit G u n groupe doublement transiti/ continu de trans- /ormations d 'un espace topologique E localement compact, connexe, satis- /aisant au premier axiome de ddnombrabilit& II existe un homdomorphisme q~ de E sur l'ensemble des nombres rdels, des nombres complexes ou des quaternions, tel que le trans/ormg de G par 7~ soit le groupe des trans/orma- tions lingaires y - ~ a. x - ~ b ou, dans le dernier cas, Fun des groupes

G r ddcrits au n ~ 2 e).

Th~ori~mes 3, 3 ~ et 5. Le corps des nombres rgels, le corps des nombres complexes et les presque-corps Qr ddcrits au n ~ 3 sont

les seuls presque-corps topologiques - ou m~me ]aiblement topologiques - localement compacts et connexes ;

les seuls pseudo-corps localement compacts et connexes, satis/aisant au premier axiome de ddnombrabilit&

I1 nous suffira de ddmontrer ici le thdor~me 2, les autres se ddduisant de celui-ls en proc6dant exac tement comme dans [4].

Reprenons sans modifications les nota t ions d u n ~ 4 de [4], et d~signons par G O le groupe des t ransformat ions qui appar t i ennen t s G e t qui conservent le point 0. Ainsi que nous l 'avons dit plus hau t (cf. n ~ 1), la d6monstra t ion donn6e dans [4] reste ent i~rement valable s l ' except ion du w 4.11 ; nous en re t iendrons en part icul ier la conclusion que les 61d- ments de E fo rment groupe par r appor t s l 'op6rat ion d 'addi t ion associ~e h G et que ce groupe, qui est ab~lien, est un espace vectoricl don t nous d~signerons la dimension par n . E n ver tu de la loi de distr ibut ivi t6

e) Dans [5], nous avons donn~ une ~inum~ration partielle des ~groupes doublement t rans i t l f s , - cette expression ~tant prise dans un sens plus large que celui que nous lui donnons ici (cf. note 2)cLdessus) - satisfaisant ~ certaines conditions de continuitY, 6numerat ion que nous avons compl~t6e depuis dans un m6moire ingdit, intitul6 ~Les espaees doublement homog~nes et les espaces homog~nes et isotropes~, et d6pos6 le 31 d~cerabre 1954 en vue de l 'obtent ion d 'un prix scientifique (Prix Louis Empain) . Ces r~sultats renferment le th~or~me 2 comme cas tr~s particulier; il nous para~t cependant int6ressant de donner ici de ce th6or~me une d~monstrat ion directe ou, plus exactement , d ' indiquer les modifications ~ appor te r ~ la d~monstra t ion du w 4 de [4] pour la rendre correcte et complete.

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a. (b + c) = a . b ~- a . c (les �9 repr6sentan t ici la mul t ip l ica t ion associ6e G), les t r ans fo rmat ions y ~ a . x , qui cons t i tuen t le groupe Go, sont

des t r ans fo rma t ions lin6aires de cet espace ; de plus, Go es t t r ans i t i f sur E - - {0}. E. Car tan [1] a d6termin6 t o u s l e s groupes continus irr6duc- t ibles de t r ans fo rmat ions lin6aires r6elles et il suffit, pour achever la d6mons t ra t ion , de reehereher pa rmi ces groupes ceux qui sont simple- m e n t transi t ifs . On arr ive cependan t plus r a p i d e m e n t au r6sul ta t en ra i sonnan t de la fa~on suivante .

Go est i somorphe au groupe mul t ip l ica t i f des 616ments non nuls de E . Si nous 6cartons le cas t r ivial off n : 1, celui-ci est un groupe connexe

deux bouts et Go est donc le produi t direct d ' un groupe compac t con- nexe s n - - 1 dimensions G c pa r un groupe connexe s 1 dimension G 1 (cf. [2]). Go 6rant compact , il laisse invar ian te dans l ' espace vectoriel E une forme quadra t ique d6finie p o s i t i v e / . D ' a u t r e par t , les t ransfor- ma t ions a p p a r t e n a n t s Gc sont sans point fixe dans E - {0); il en r6sulte que les orbi tes de G~ dans E - - {0) sont des vari6t6s compac tes

n - - 1 dimensions qui ne p e u v e n t ~tre que les sph6res de centre 0, / = cons tante , dans la m6tr ique euclidienne d6finie p a r / . G 0 est sim- p l emen t t r ans i t i f sur ces orbi tes ; il est donc hom6omorphe s une sphbre

n - - 1 dimensions, c 'est-s qu 'on doit avoi r n : 2 ou 4 et que G c e s t isomorphe, su ivan t le cas, au groupe mul t ip l ica t i f des nombres complexes unimodula i res ou au groupe mul t ip l ica t i f des quaternions de no rme 1 (cf. [3]). Lorsque n = 2 la d6mons t ra t ion s 'ach6ve sans diffi- cult6. Supposons donc qu 'on air n ---- 4. Le groupe mul t ip l ica t i f des quaternions de no rme 1 poss6de, s une 6quivalence prbs, une seule re- pr6senta t ion lin6aire r6elle irr6ductible s 4 dimensions, s savoir, celle qui associe s tou t qua te rn ion a de norme 1 la t r ans fo rma t ion lin6aire y ~-- a . x de l ' ensemble Q des quaternions (consid6r6 comme un espaee vector ie l s 4 dimensions). P a r cons6quent, fl existe une appl ica t ion lind- aire ~ de l ' espace vectoriel E sur Q qui envoie le groupe Gr sur le groupe des t r ans fo rma t ions y = a . x ([ a I ---- 1). L ' i m a g e de G1 par ~v est un groupe ~ u n p a r a m b t r e de t r ans fo rmat ions lin6aires de Q (consid6r6 comme un espace vector ie l s 4 dimensions) pe rmutab le s avec les t rans- fo rmat ions y = a . x (I a l = 1), donc un groupe de t r ans fo rma t ions de l a f o r m e y - - - - x . b o f i o n n e p e u t a v o i r [ h i = 1 ( s au f s i b = 1 ) , s i n o n G o ne serai t pas s implement t r ans i t i f sur E - - {0). I1 en r6sulte que l ' image de G par ~ est l ' un des groupes G r const rui ts au nO 2, ee qui d6- m o n t r e le th6orbme.

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BIBLIOGRAPHIE

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(Re~u le 5 mai 1955.)

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