Systèmes semi-linéaires

Remarque : Tu devrais visionner les présentations :

- Systèmes d’équations du premier degré à deux variables.ppt

- Résoudre une équation du second degré.ppt

avant de visionner celle-ci.

Lorsqu’un système est composé d’équations du premier degré ou de degré 0,

y1 = 2x + 4

y2 = - x - 3

y1 = 2x + 4

y = 6

il est qualifié de système linéaire.

x

y

1

1 x

y

1

1

Lorsqu’un système est composé d’une équation du premier degré et d’une équation d’un degré supérieur,

y1 = 2x + 4

y = - (x + 1)2 + 4

y1 = 2x + 5

x2 + y2 = 16

il est qualifié de système semi-linéaire.

1 x

y

1

x

y

1

1

Les méthodes de résolution d’un système semi-linéaire sont les mêmes que pour un système linéaire :

- par une table de valeurs;

- par un graphique;

- par les méthodes algébriques.

Examinons ce qu’il en est.

Résoudre un système d'équations, c’est déterminer les coordonnées des points pour lesquels les deux équations sont égales.

1

1

2 3-1-2-3

4

3

2

-1

-2

-3

-4

-4 4

y

x

g(x) = x + 1

Soit résoudre le système semi-linéaire suivant : f(x) = (x + 1)2 – 2

Résolution par méthode graphique

Les points d'intersections des 2 courbes sont les couples solutions du système.

La méthode graphique est intéressante, car elle présente la solution d'un seul coup d'œil; cependant, elle est rarement précise.

Couples solutions : (-2 , -1) , ( 1 , 2)

Résolution par une table de valeurs

g(x) = x + 1

… -2 -1 0 1

… -1 0 1 2

… -1 -2 -1 2

xg(x) = x + 1

f(x) = (x + 1)2 - 2

2 3

3 4

7 14

-3

-2

2

…

…

…

Soit résoudre le système semi-linéaire suivant : f(x) = (x + 1)2 – 2

Lorsque x = -2 et 1, les valeurs de y sont les mêmes dans les deux équations.

La table de valeurs est un procédé intéressant quand on possède une calculatrice à affichage graphique (comme la TI-80).

Remarque :

Pour des valeurs entières de x et de y, la recherche est assez simple. Cependant, pour des valeurs fractionnaires ou décimales, la recherche peut devenir fastidieuse.

Couples solutions : (-2 , -1) , (1 , 2)

g(x) = x + 1

Soit résoudre le système semi-linéaire suivant : f(x) = (x + 1)2 – 2

Résolution par méthode algébrique

les deux équationssont égales.

À ces points précis,

En utilisant ces égalités, on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique.

1

1

2 3-1-2-3

4

3

2

-1

-2

-3

-4

-4 4

y

x

Pour calculer f(x), on doit utiliser f(x) = (x + 1)2 - 2

Pour calculer g(x) , on doit utiliser g(x) = x + 1

Sachant qu’aux points d’intersections f(x) = g(x)

alors (x + 1)2 – 2 = x + 1

La nouvelle équation ne possède qu’une seule variable.

Équation avec 2 variables.

Équation avec 2 variables.

On compare ainsi les deux équations.

La méthode de comparaison

(x + 1)2 – 2 = x + 1

Remarque : La méthode de comparaison et la méthode de substitution sont les deux principales méthodes à utiliser dans ce genre de système.

(x + 1)2 – 2 = x + 1

Il faut alors développer l’équation,

(x + 1) (x + 1) – 2 = x + 1

(x2 + x + x + 1) – 2 = x + 1 x2 + 2x + 1 – 2 = x + 1

x2 + 2x - 1 = x + 1

x2 + x - 2 = 0

Cette nouvelle fonction :

h(x) = x2 + x - 2

Chercher les zéros de cette nouvelle fonction donnera les mêmes valeurs d’abscisses que les points d’intersection du système.

Il s’agit donc d’un procédé équivalent.

est équivalente au système à résoudre.

puis la ramener à 0.

1

1

2 3-1-2-3

4

3

2

-1

-2

-3

-4

-4 4

y

x

h(x) = x2 + x - 2

Il faut déterminer les zéros de cette fonction, soit :

- en factorisant le polynôme et en utilisant la loi du produit nul;

h(x) = x2 + x - 2

0 = x2 + x - 2 (x + 2) (x – 1) x1 = -2 x2 = 1

- en utilisant la formule des zéros.

- 1 +- 12 – 4 X 1 X -2

2 X 1

a = 1 b = 1 c = - 2

- b +- b2 – 4ac

2a

h(x) = x2 + x - 2

= x1 = -2 x2 = 1

Il faut maintenant déterminer les ordonnées des points d’intersections;

pour ce faire, il faut utiliser une des deux équations de départ.

g(x) = x + 1

f(-2) = (-2 + 1)2 – 2

x1 = - 2 x2 = 1

g(-2) = -2 + 1 = -1

g(1) = 1 + 1 = 2

f(-2) = (-1)2 – 2

f(-2) = 1 – 2 = -1

f(1) = (1 + 1)2 – 2

f(-2) = (2)2 – 2

f(-2) = 4 – 2 = 2

f(x) = (x + 1)2 – 2 f(x) = (x + 1)2 – 2

Couples solutions : (-2 , -1) , (1 , 2)

Validation :

Problème

Sachant que la diagonale d’un rectangle mesure 15 cm et que son périmètre mesure 42 cm, détermine les dimensions de ce rectangle.

x

y15

1) Déterminer les équations algébriques représentant le système.

Périmètre : 2 (L + l) = 42

Diagonale : x2 + y2 = 225

2) Résoudre le système par la méthode de substitution.

2x + 2y = 42 2y = -2x + 42 y = -x + 21

x2 + y2 = 225

x2 + (-x + 21)2 = 225

x2 + x2 – 42x + 441 = 225

2x2 – 42x + 216 = 0

(Relation de Pythagore)

2 (x + y) = 42 2x + 2y = 42

2x2 – 42x + 216 = 0

Résoudre avec la formule des zéros :

42 +- 422 – 4 X 2 X 216

2 X 2

a = 2 b = - 42 c = 216

- b +- b2 – 4ac

2a

= x1 = 9 x2 = 12

si x = 12

y = -x + 21

9 = - 12 + 21

et

15

12

9

si x = 9

y = -x + 21

12 = - 9 + 21

et

15

9

12

Réponse : 9 cm par 12 cm.

Quelles sont les coordonnées des points d’intersection d’une droite passant par les points (5 , 6) et (8 , 12) et d’une parabole dont le sommet est (1, 4) et passant par le point (-2 , -5) ?

Problème

1) Déterminer les règles :

La droite :x1x2

-

y1y2 -=

58 -

612 -= 2

y = 2x + b avec (8 , 12)

12 = 2 X 8 + b

- 4 = by = 2x - 4

La parabole : en utilisant la forme canonique.

y = a (x – h)2 + k h = 1 k = 4 x = -2 y = -5

-5 = a (-2 – 1)2 + 4

-5 = a (-3)2 + 4

-5 = 9a + 4

-9 = 9a

-1 = a y = - (x – 1)2 + 4

2) Résoudre le système par la méthode de comparaison.

y = 2x - 4 y = - (x – 1)2 + 4

2x – 4 = - (x – 1)2 + 4

2x – 4 = - (x – 1) (x – 1) + 4

2x – 4 = - (x2 - 2x + 1) + 4

2x – 4 = - x2 + 2x - 1 + 4

2x – 4 = - x2 + 2x + 3

0 = - x2 + 7

- x2 + 7 = 0

- x2 = -7

x2 = 7

x = ± 7

x ≈ ± 2,6

x1 ≈ - 2,6 x2 ≈ 2,6

x1 ≈ - 2,6

y = 2x - 4

y ≈ 2 X -2,6 – 4 ≈ - 9,2

x2 ≈ 2,6

y = 2x - 4

y ≈ 2 X 2,6 – 4 ≈ 1,2

Réponse : (≈ -2,6 , ≈ - 9,2) , (≈ 2,6 , ≈ 1,2)

Remarque : à l’étape consistant à extraire la racine carrée de chaque membre,

( x + 1 )2 = 25

+ Nombre positif, alors 2 points d’intersection;

x

y

0 0 , alors 1 point d’intersection;

- Nombre négatif,

Dans la formule des zéros,

- b +- b2 – 4ac

2a

ou

alors aucun pointd’intersection.

la quantité sous radical sert de discriminant.