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Probabilités & Statistiques Semestre 1 Bachelor 2 2010 - 2011

Fiche de TD N°1 Evènements- Notion de probabilités – Probabilités conditionnelles - Dénombrement

Exercice 1: Donner l’espace fondamental et/ou les évènements associés à chacune des expériences aléatoires suivantes. Quel est le cardinal de ces ensembles :

1. Lancer de 2 pièces de monnaies

2. Jet de 2 dés. Représenter les évènements A : »les faces des 2 dés égales » ; B= » la somme des 2 dés est supérieure à 9 » ; C= »somme égale à 7». Peut-on dire que les évènements D= « la somme des 2 faces est divisibles par 3 » et G = » Somme divisible par 5 « sont mutuellement exclusifs» ? Répondre aux mêmes questions lorsque l’expérience aléatoire porte sur 3 dés.

3. Jets successifs d’un dé jusqu’à la sortie de la face numéro 6. Représenter l’évènement E « obtenir un 6 au plus tard après le 3ème jet « .Décrire l’évènement contraire de E ?

4. lancers successifs d’une pièce de monnaie jusqu’à la première sortie de la face PILE. Répondre aux mêmes questions qu’en 3.

5. Tirage aléatoire sans remise d’une clé USB dans un lot de 20 clés contenant exactement une pièce défectueuse notée D La fin du tirage intervient lorsque la pièce D a été tirée.

6. Mesure de la durée de vie de 3 ampoules ;

7. Election un comité de 5 personnes à partir d’un groupe de 8 candidats ;

8. Mesure de la température maximale quotidienne X et la pression maximale Y en un point de Ouagadougou . Même question pour l’Alaska (Pôle nord)

Exercice 2 ( à préparer) Soit A l'ensemble des nombres à 6 chiffres ne comportant aucun 0. Déterminer les cardinaux suivants : 1. A. 2. A1, ensemble des nombres de A ayant 5 chiffres différents. 3. A2, ensemble des nombres pairs de A. 4. A3, ensemble des nombres de A dont les chiffres forment une suite strictement croissante

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Exercice 3 On tire simultanément 5 cartes d'un jeu de 32 cartes. ( le tirage se fait sans remise et l’ordre de tirage n’est pas important)

1. Combien de tirages différents peut-on obtenir ? 2. Combien de tirages de :

a. 5 trèfles ou 5 cœurs. b. 2 carreaux et 3 piques. c. au moins un roi. d. . au plus un roi. e. 2 as et 3 piques.

Exercice 4 On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques, 6 livres de physique, et 3 de chimie. De combien de façons peut-on effectuer ce rangement : 1. si les livres doivent être groupés par matières. 2. si seuls les livres de mathématiques doivent être groupés.

Exercice 5 Un magasin d'informatique a reçu un lot de boites de CD-ROM. 5% des boites sont abimées. On estime que :

- 60% des boites abimées contiennent au moins un CD-ROM défectueux. - 90% des boîtes non abîmées ne contiennent aucun CD-ROM défectueux.

Un client achète une boite du lot. On désigne par A l'événement : “la boite est abimée" et par D l'événement “la boite achetée contient au moins un CD défectueux".

1. Présenter l’arbre des probabilités et donner : a. la probabilité qu’ une boite achetée soit en bon état b. la probabilité qu’une boite abimée contienne au moins un CD est défectueux c. la probabilité qu’une boite en bon état ne contienne aucun CD défectueux

2. Le client constate qu'un des CD-ROM acheté est défectueux. Quelle est la probabilité pour qu'il ait acheté une boite abimée. Exercice 6 (à préparer) 1. Une urne contient 20 boules numérotées de 1 à 20 On en tire une au hasard, et on considère les événements A = “tirage d'un nombre pair", B =“tirage d'un multiple de 5". Les événements A et B sont-ils indépendants ? Même question si l’urne contient 21 boules numérotées Exercice 7 Une usine fabrique des pièces, avec une proportion de 0,05 de pièces défectueuses. Le contrôle des fabrications est tel que :

- si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 0,90. - Si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0,99.

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On choisit une pièce au hasard et on la contrôle. Présenter l’arbre des probabilités. Quelle est la probabilité : 1. qu'il y ait une erreur de contrôle ? 2. qu'une pièce acceptée soit mauvaise ?

Exercice 8 (question 2 à préparer) Trois boulons sont tirés aléatoirement d'un lot de 100 contenant 10 pièces défectueuses. 1- Calculer la probabilité qu'une pièce tirée ne soit pas défectueuse dans les 2 cas suivants : (a) tirage aléatoire sans remise ; (b) tirage avec remise 2- Calculer la probabilité (dans les cas (a) et (b)) de réalisation de l'évènement E = " au moins une pièce est défectueuse" Exercice 9 Un pneu a une durée de vie excédant 25 000 km avec une probabilité de 95%. 1- Quelle est la probabilité qu'un lot de 4 pneus identiques ait une durée de vie d'au moins 25000 km ? 2- Quelle est la probabilité que dans le lot de 4 pneus au plus un des pneus ne dépasse pas les 25 000 km ? Exercice 10 ( à préparer) Un circuit comprend 3 interrupteurs automatiques et on désire, avec une probabilité de 95 %, que tous les 3 fonctionnent pendant un intervalle de temps donné. Quelle est la probabilité de panne admissible pour un interrupteur sur un intervalle de temps donné? Exercice 11 Sur une période de 30 jours, il y a 8% de risque que le moteur d’un générateur électrique nécessite une réparation et 4% de risque que le générateur nécessite une réparation, quelle est la probabilité que l’ensemble de l’appareillage ( moteur + générateur) nécessite une réparation pendant la même période ?