THÈSE Daniel DE CARVALHOiml.univ-mrs.fr/theses/files/de_carvalho-these.pdf · 2007-10-16 · M. Lorenzo TORTORA DE FALCO Rapporteur. Kate. Table des matières Remerciements 9 Introduction

UNIVERSITÉ DE LA MÉDITERRANÉE Aix-Marseille II

ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE E.D. 184

THÈSE

présentée pour obtenir le grade de

D ’U M

Spécialité : Mathématiques

par

Daniel DE CARVALHO

Titre :

Sémantiques de la logique linéaire

et temps de calcul

soutenue publiquement le 4 septembre 2007

JURY

M. Patrick BAILLOTM. Pierre-Louis CURIENM. Thomas EHRHARDM. Martin HYLAND RapporteurM. François LAMARCHEM. Kazushige TERUIM. Lorenzo TORTORA DE FALCO Rapporteur

Kate

Table des matières

Remerciements 9

Introduction 11

Préliminaires 15

1 Préliminaires catégoriques 171.1 Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Catégories enrichies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 La logique linéaire 232.1 Les formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Le fragment intuitionniste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 La logique linéaire classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Le calcul des séquents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1 Le fragment intuitionniste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 La logique linéaire classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Les réseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.1 Les structures de preuve de MELL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.2 Séquentialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

I Sémantiques de la logique linéaire et réseaux différentiels 27

3 Qu’est-ce qu’un modèle catégorique de la logique linéaire ? 313.1 Le deuxième sous-sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Monades faibles (monoïdales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1 Semi-monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.2 Monades faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.3 Semi-adjonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.4 Algèbres pour une monade faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.5 Semi-foncteurs monoïdaux et monades faibles monoïdales . . . . . . . . . . 49

3.3 Interpréter la logique linéaire et le lambda-calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3.1 Le fragment multiplicatif exponentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3.2 Une interprétation du lambda-calcul simplement typé . . . . . . . . . . . . . 563.3.3 Avec les additifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5

6 TABLE DES MATIÈRES

3.3.4 Une autre interprétation du lambda-calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4 Qu’est-ce qu’un modèle des réseaux différentiels ? 934.1 Bigèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2 Interpréter les réseaux différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5 Des réseaux différentiels à la logique linéaire 1015.1 Préliminaires (semi-)algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.1.1 Monoïdes et semi-anneaux dénombrablement complets . . . . . . . . . . . . 1015.1.2 Semi-modules dénombrablement complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2 Construction du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.1 Réseaux différentiels avec sommes infinies et coefficients réels positifs . . . 1045.2.2 Traduire la logique linéaire dans les réseaux différentiels . . . . . . . . . . . 106

6 Deux modèles relationnels 1296.1 L’interprétation relationnelle de MALL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.2 Le modèle relationnel des multiensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.3 Une sémantique non-uniforme du lambda-calcul pur . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.3.1 Interpréter les lambda-termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.3.2 Une sémantiquenon uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.3.3 Des types avec intersection non idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.3.4 Propriétés de normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.4 Le modèle relationnel des suites finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.5 Une cocontraction non commutative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.6 Une sémantique non extensionnelle du lambda-calcul typé . . . . . . . . . . . . . . 142

7 Hic salta ! 1437.1 A propos de l’extensionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.2 Une contraction non cocommutative ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

II Temps de calcul via sémantique et types avec intersection 149

8 La machine de Krivine 1538.1 Une machine calculant la forme normale de tête principale . . . . . . . . . . . . . . 153

8.1.1 Etats de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.1.2 Exécution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.1.3 Des dérivations de type pour les états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.1.4 Relier la taille des dérivations et le temps d’exécution . . . . . . . . . . . . . 1608.1.5 Relier la sémantique et le temps d’exécution . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.2 Une machine calculant la formeβ-normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1668.2.1 Typages principaux et 1-typages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.2.2 Relier la taille des dérivations et le temps d’exécution . . . . . . . . . . . . . 1688.2.3 Relier la sémantique et le temps d’exécution . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

8.3 Travail ultérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

TABLE DES MATIÈRES 7

9 Des types avec intersection pour le lambda-calcul léger 1739.1 Le lambda-calcul affine léger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.2 Le système d’assignation de typesILAL N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769.3 Les vrais termes, les termes sûrs et les termes raisonnables . . . . . . . . . . . . . . 1779.4 Le système d’assignation de types avec intersection légère (LI ) . . . . . . . . . . . . 180

9.4.1 “Subject Reduction” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819.4.2 Pseudo-termes typables et termes raisonnables . . . . . . . . . . . . . . . . 1819.4.3 Les termes raisonnables sont typables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819.4.4 Le gommage d’un terme raisonnable est fortement normalisable . . . . . . . 184

9.5 Le système relâché avec intersection légère (RLI ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1869.5.1 “Subject Reduction” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1869.5.2 Propriété de la sous-formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1879.5.3 Les pseudo-termes typables sont des termes sûrs . . . . . . . . . . . . . . . 1879.5.4 Les termes sûrs sont des termes typables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

9.6 Une sémantique du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Pour prendre congé 195

A Quelques calculs 199

Bibliographie 209

8 TABLE DES MATIÈRES

Remerciements

Tout d’abord, merci à Patrick Baillot pour m’avoir initié à la recherche en acceptant de dirigermon stage de DEA sur la logique linéaire légère et la théorie des ensembles naïve, puis pour avoircontinué tout au long de ma thèse à me prodiguer des conseils et d’avoir eu la patience de lire desversions préliminaires de mes travaux. J’ai tiré un grand profit des très nombreuses discussions quej’ai eues avec lui.

Merci à Thomas Ehrhard pour sa grande générosité dans la transmission de sa compréhension dela logique, je lui dois beaucoup et lui en suis très reconnaissant. Il a su diriger ma thèse en me laissantune grande liberté, tout en restant très exigeant.

Merci à Damiano Mazza et à Lionel Vaux pour leur amitié et pour notre collaboration : grâce àeux, j’ai mieux compris les réseaux de la logique linéaire et les réseaux différentiels.

Merci aux membres de l’équipe de logique de l’IML pour leur accueil, en particulier à PierreBoudes, Marie-Renée Donnadieu, Yves Lafont, Myriam Quatrini, Laurent Régnier et Paul Ruet.

Merci aussi à Etienne Duchesne, Marc de Falco, Yves Guiraud et Pierre Hyvernat pour avoircontribué à créer une ambiance favorable au sein de l’équipe.

Merci à Julien Bernat, Axel Ferrari, Marion Le Gonidec, Thierry Monteil et Mathieu Sablik pouravoir fait de même au sein de l’IML.

Merci à Chantal Berline, Pierre Boudes, Martin Hyland, Olivier Laurent, Paul-André Melliès,Alexandre Miquel, Virgile Mogbil, Michele Pagani, Gabriele Pulcini, Laurent Régnier, Paul Ruet,Simona Ronchi della Rocca, Kazushige Terui et Lorenzo Tortora de Falco pour toutes les discussionsque j’ai eues avec eux et qui ont pu m’éclairer sur tel ou tel point.

Merci à Aurélia Lozingot et à Jacqueline Giraud pour avoir facilité les démarches administratives,qui seraient vite devenues pesantes sans elles.

Merci à Martin Hyland et à Lorenzo Tortora de Falco d’avoir accepté d’être les rapporteurs de mathèse. Merci à Pierre-Louis Curien, François Lamarche et Kazushige Terui d’avoir accepté de fairepartie du jury.

9

10 REMERCIEMENTS

Introduction

Qu’est-ce qu’une preuve ? C’est une sorte d’assurance que ce l’on énonce est vrai. Comme tou-jours en mathématiques, à partir d’une notion intuitive, on veut donner une définition idéale, sinonobjective, du moins intersubjective. Plusieurs réponses ont été données au cours du siècle dernier :c’est une suite de symboles (Hilbert), c’est un arbre (Gentzen), c’est une sorte de graphe, un réseau(Girard). Elles ont toutes en commun d’être des objets finis : les preuves sont des objets finis et ellesservent à établir des propriétés sur des objets infinis. C’est cela notre assurance, cette réduction del’infini au fini : on peut toujours s’assurer qu’un objet fini se conforme bien à ce qu’il doit être.

On attend bien sûr de ces objets finis qu’ils formalisent l’application des règles de déduction quenous, êtres humains, avons l’habitude d’utiliser pour raisonner. En particulier, ils devraient formaliserl’application dumodus ponens: si on a déduitA et A ⇒ B (A implique B), alors on peut déduireB.C’est bien le moins. Autrement dit, une logique digne de ce nom devrait valider cette règle. Certes.Mais la théorie de la démonstration a une autre exigence, bien plus surprenante : une logique dignede ce nom, c’est une logique qui permet de prouver sans cette règle ce qu’on peut prouver avec cetterègle !

Précisément, l’énoncé du théorème de Gentzen dit que le calcul des séquents a cette propriété.Une première lecture de ce théorème dit que siB est prouvable, alors on n’a pas eu besoin d’utiliser lemodus ponens. Une application de ce théorème pourrait être ainsi de prouver que certaines formulesne sont pas prouvables. Les logiciens de la première moitié du XXème siècle avaient en effet commeobjectif de s’assurer que les raisonnements et les axiomes sur lesquels on s’appuyait ne conduiraientjamais à une contradiction (prouver une formule et sa négation). Cet objectif a été réalisé... pour lecalcul des prédicats. Grâce à Gödel, on sait que, pour l’essentiel, on ne pourra jamais faire mieux.

Mais il y a une seconde lecture de ce théorème, autrement plus féconde. En réalité, pour cetteseconde lecture, l’énoncé du théorème ne suffit pas, il faut regarder la preuve du théorème (ici, pourune fois, "preuve", c’est au sens ordinaire, pas au sens de l’objet mathématique) : cette preuve estconstructive, c’est-à-dire qu’elle fournit une procédure qui calcule une preuve qui n’utilise pas larègle dumodus ponensà partir d’une preuve qui utilise la règle dumodus ponens. Ainsi, étant donnéesdeux preuves prouvant l’une A et l’autreA⇒ B, si l’on fait une coupure entre ces deux preuves (onapplique la règle dumodus ponens), alors on peut éliminer la coupure (obtenir une nouvelle preuve quin’utilise pas la règle dumodus ponens). Les preuves ne sont plus seulement des objets finis statiques,ce sont des objets qui interagissent.

Ce théorème est à l’origine d’une nouvelle réponse à notre question : une preuve, c’est un pro-gramme ou l’argument d’un programme (correspondance de Curry-Howard) : le programme corres-pondant à la preuve sans coupure fournie par la procédure qui élimine les coupures est le résultat duprogramme correspondant à la preuve deA⇒ B appliqué à l’argument correspondant à la preuve deA. Plus généralement, c’est un calcul. Voilà ce qui motive l’étude de la dynamique de l’interactionentre les preuves.

La sémantique dénotationnelleest l’étude des invariants de cette dynamique. Dans la syntaxe,

11

12 INTRODUCTION

nous avions des objets finis qui interagissent de manière très compliquée (un calcul, ça peut êtrelong, très long...). Dans la sémantique, les preuves ne sont plus des objets finis, ce sont des fonctionslinéaires, des fonctions analytiques, etc..., mais, en échange, le temps n’existe plus, l’élimination descoupures, c’est juste la composition de fonctions ! Ce qu’on entend ici par fonction, c’est quelquechose de très général, c’est exactement ce que dans la théorie des catégories, on appelle "flèche" ou"morphisme". Un énoncé, c’est un objet dans une catégorie, une preuve, c’est une flèche dans cettecatégorie et une coupure, c’est la composition de flèches. L’interprétation des preuves doit alors êtreinvariante au cours de l’élimination des coupures.

La sémantique dénotationnelle de la logique intutionniste dans une certaine catégorie a donnénaissance à la logique linéaire découverte par Girard dans les années 80. La logique linéaire est unraffinement de la logique classique, en ce sens que les énoncés contiennent plus d’informations queleurs traductions en logique classique. En particulier, ces informations portent sur les ressources uti-lisées pour démontrer les énoncés. C’est pourquoi des variantes de la logique linéaire permettant decaractériser certaines classes de complexité ont pu apparaître dans les années 90 et au début du siècle :logique linéaire élémentaire et logique linéaire légère par Girard, logique linéaire douce par Lafont...

La logique linéaire est ainsi née avec une certaine sémantique (la sémantique cohérente ensem-bliste). De manière très générale, on peut se demander quelle structure catégorique fournit une sé-mantique dénotationnelle de la logique linéaire. Après les premières réponses de Lafont et Seely estapparue une réponse donnée par Benton, Bierman, de Paiva et Hyland (BBPH). A notre connaissance,toutes les sémantiques de la logique linéaire apparues jusqu’à présent rentraient effectivement dans lecadre qu’ils avaient donné. Or, dans notre thèse, dont le travail porte sur les exponentielles de la lo-gique linéaire, nous présentons une nouvelle sémantique dénotationnelle ne rentrant pas dans ce cadre.Cette sémantique est même la plus simple de toutes les sémantiques connues. On y reviendra. D’unpoint de vue historique, cependant, les choses doivent être présentées différemment. Nous avions uncandidat sérieux à être un modèle de la logique linéaire, et même, nous conjecturions que nous avionsune construction très générale de modèle de la logique linéaire dont ce modèle n’était qu’un cas par-ticulier, mais puisque BBPH ne confirmait pas que tel était bien le cas, nous avons étudié à nouveauce problème : qu’est-ce qu’un modèle catégorique de la logique linéaire ?

Notre réponse est donnée dans le Chapitre 3. Notre étude prend l’élimination des coupures de lalogique linéaire au sérieux, au sens où :

1) nous ne quotientons pas les preuves parη ;

2) nous considérons toutes les preuves, et pas seulement les preuvesη-expansées.

L’option prise par BBPH fut de quotienter les preuves parη. Elle coïncide avec des notions connuesde théorie des catégories. Il semble qu’il en va de même de l’option alternative qui consiste à neconsidérer que les preuvesη-expansées. Curieusement, tel n’est pas le cas de l’option intermédiaire (niquotient ni restriction) : le lecteur verra que nous avons été amenés à introduire des notions nouvellesen théorie des catégories.

La construction très générale dont nous avons parlé provient de la traduction de la logique linéairedans les réseaux différentiels proposée par Ehrhard. Les réseaux différentiels, introduits par Ehrhard etRégnier, proviennent eux-mêmes de la considération des espaces de finitude, un modèle de la logiquelinéaire qui identifie les connecteurs additifs & et⊕, ainsi que leurs unités respectives ! Certes, çan’a aucun sens d’un point de vue logique (dans la syntaxe), mais dans la sémantique, ça marche etc’est même très intéressant. Il faut bien comprendre en effet que la prouvabilité des formules ne nousintéresse plus, nous sommes descendus d’un niveau : nous sommes au deuxième sous-sol, commedirait Girard. C’est tellement vrai que les réseaux différentiels sont une syntaxe qui permet de prouvern’importe quoi. L’important, c’est que l’on peut calculer.

INTRODUCTION 13

Cette traduction respecte-t-elle l’élimination des coupures ? Obtient-on des modèles de la logiquelinéaire ? La réponse est donnée dans les chapitres 5 et 7 : cela dépend. D’abord, cette traductionsuppose qu’on a plus que les réseaux différentiels : l’interaction des réseaux différentiels est essentiel-lement finitaire, ce qui n’est pas le cas de celle des réseaux de la logique linéaire ; on suppose doncque l’on peut faire des sommes infinies de réseaux différentiels (à coefficients réels positifs). Une foiscette hypothèse faite, on peut effectivement traduire les réseaux de la logique linéaire. Pour autant,on n’obtient pas nécessairement des modèles de la logique linéaire. En effet, le point de départ denotre travail provient de la remarque que dans les réseaux différentiels, on n’a besoin ni de supposerla cocommutativité de la contraction (c’est bien celle de la logique linéaire) ni la commutativité dela cocontraction (ça, par contre, ça n’existait pas dans la logique linéaire). Notre réponse est alors lasuivante :

1) si la contraction est cocommutative, alors on obtient un modèle de la logique linéaire ;

2) si la cocontraction n’est pas commutative, alors on n’obtient jamais un modèle de la logiquelinéaire au sens de BBPH ;

3) si la contraction n’est pas cocommutative, alors il existe des interprétations de la logique linéairequi ne sont pas des modèles, même en présence d’une cocontraction commutative.

Notre modèle favori de la logique linéaire (celui qui ne rentrait pas dans le cadre de BBPH) estun exemple d’un modèle construit à partir d’un modèle des réseaux différentiels dont la contractionest commutative et dont la cocontraction n’est pas commutative. Il interprète le fragment sans expo-nentielle de la logique linéaire (le fragmet finitaire) de la même manière que le modèle relationnel desmultiensembles finis : par la catégorie *-autonome des ensembles et relations. Mais au lieu d’inter-préter la formule !A par l’ensemble des multiensembles finis à valeurs dans l’interprétation deA, onfait encore plus simple, on l’interprète par l’ensemble des suites finies à valeurs dansA. Ce modèleest présenté dans le Chapitre 6.

Le modèle dual de ce modèle des réseaux différentiels a une contraction non cocommutative etune cocontraction non commutative : il fournit le contre-exemple permettant de donner la troisièmepartie de notre réponse. Voir le Chapitre 7.

Bien que le modèle relationnel des multiensembles finis de la logique linéaire fût bien connu de-puis longtemps, l’interprétation du lambda-calcul qu’on pouvait faire dans certaines lambda-algèbresdans la catégorie cartésienne fermée issue de ce modèle ne l’était pas. Curieusement, nous avons alorsremarqué que ce modèle coïncidait avec un modèle considéré il y a plus de vingt-cinq ans par Coppo,Dezani et Venneri. Eux partaient d’un système de types avec intersection pour obtenir un modèle ;nous, nous partons d’un modèle pour obtenir un système de types avec intersection. En fait, ce queles spécialistes des types avec intersection appellent "modèle" est souvent quelque peu différent quece que nous avons vu jusqu’à présent : ils considèrent des systèmes de types tels que deux termesβ-équivalents sont typables avec les mêmes jugements de types, puis interprètent les termes par l’en-semble de leur types. On voit donc deux différences entre les modèles ainsi obtenus et ceux de lasémantique dénotationnelle :

1) en sémantique dénotationnelle, il y a un cadre catégorique ;

2) en sémantique dénotationnelle, la sémantique existe indépendamment de la syntaxe.

Les modèles n’ayant pas ces propriétés ne sont certes pas dépourvus d’intérêts, mais nul doute qu’ondoit leur préférer ceux qui ont ces propriétés. Ou, plus exactement, nul doute que l’on aimerait arriverà pouvoir considérer les modèles obtenus en passant par la syntaxe dans un cadre catégorique indépen-dant de la syntaxe. C’est précisément ce que nous avons fait pour le modèle de Coppo-Dezani-Venneri.

14 INTRODUCTION

En réalité, il y a quelques petites différences entre les deux systèmes de types et la présentation denotre modèle est quelque plus agréable ; ceci nous a permis de corriger un de leurs théorèmes.

Ceci étant dit, nous avons nous aussi produit un tel modèle "défectueux" dans le Chapitre 9. Cechapitre étudie les termes légers affines de Terui, que l’on peut voir comme une notation des réseauxintuitionnistes non typés de la logique affine légère, à l’aide de systèmes de types avec intersection.Le but était de caractériser les termes sans erreur afin de pouvoir tirer profit effectivement de la plusgrande expressivité des termes non typés sur ceux des termes typés et d’étudier leurs traductions dansle lambda-calcul. On obtient ainsi un modèle, mais au sens où l’on a interprété les termes par unensemble de types invariant parβ-réduction.

Le Chapitre 8, lui, présente un travail qui consiste à obtenir des informations sur le temps d’exé-cution des lambda-termes à partir de leurs interprétations dans la sémantique du lambda-calcul issuedu modèle relationnel multiensembliste de la logique et étudiée dans le Chapitre 6. On tire profit dece que la sémantique d’un lambda-terme parle de son interaction avec les autres lambda-termes. Maispas seulement : un point crucial de ce travail est que l’intersection du système de types correspondantà cette sémantique n’est pas idempotente. Le résultat est un lien très fort entre la taille des points dansla sémantique et le temps d’exécution des lambda-termes dans la machine de Krivine, une machinequi implante la réduction linéaire de tête. On a ainsi obtenu une définition sémantique du temps decalcul indépendante de tout système à complexite implicite.

Préliminaires

15

Chapitre 1

Préliminaires catégoriques

1.1 Catégories

Cette section a essentiellement pour but de fixer quelques notations, puisqu’il ne contient que dumatériel standard, que l’on peut trouver dans [40], [39], [12] et [13], à l’exception de la définition descatégories∗-autonomes.

Etant donnée une catégorieC, pour tous objetsA et B, on noteraC[A, B] le “hom-set” des flèchesdeA versB dansC.

On fera l’hypothèse qu’il existe une catégorieEns d’ensembles et de fonctions telle que tousles “hom-sets” des catégories que nous considérerons sont des objets de cette catégorie. En outre,on supposera que les “hom-sets” d’une même catégorie, et, plus généralement, d’un même graphe,sont deux à deux disjoints. Cela implique que, étant donnée une flèche, on sait à quel “hom-set” ellleappartient. Ainsi, si l’on écrit, par exemple,∅ ∈ Rel[A, B] et ∅ ∈ Rel[A′, B′] et si l’on n’a pasA = A′

et B = B′, alors les deux∅ ne sont pas identiques ; c’est que l’on commet l’abus de langage consistantà écrire∅ ∈ Rel[A, B] au lieu de (∅,A, B) ∈ Rel[A, B].

Etant donnée une catégorieC, sauf mention contraire, on noteraC sa composition etidCA l’identitéde l’objetA dansC (ou, respectivement, et idA, lorsqu’il n’y a pas de confusion possible).

On sait que, en général, la notion d’isomorphisme entre catégoriesest une notion trop forte pourpouvoir comparer deux catégories et que la notiond’équivalenceest souvent plus appropriée. Uneéquivalence adjointe(“adjoint equivalence”) est une adjonction telle que l’unité et la coünité sontdes isomorphismes naturels. On distingue alors deux notions d’équivalence :

– la notiond’équivalence de catégories: c’est un foncteurF tel qu’il existe un autre foncteurGet deux transformations naturellesα etβ tels que (F,G, α, β) est une équivalence adjointe ;

– la notiond’équivalence faible de catégories: c’est un foncteur plein et fidèle tel que tout objetde la catégorie d’arrivée est isomorphe à un objet qui fait partie de l’image du foncteur.

La première est plus forte que la seconde, en ce sens que pour que la seconde implique la première,on a besoin de l’axiome du choix (dit en termes catégoriques : tout épi est “split”)..

Beaucoup d’objets et de flèches sont définis en termes de propriétés universelles : on sait que, engénéral, ainsi, on ne les définit qu’à isomorphisme près. C’est souvent suffisant. On peut aussi vouloirchoisir un de ces objets ; c’est pourquoi on peut alors vouloir les définir en termes de structure (commeon le fait, par exemple, pour les catégories monoïdales, qui n’ont pas de propriété universelle). Parexemple, unestructure cartésienneest le choix d’un produit cartésien.

Définition 1.1.1. Unestructure cartésienneest un 7-uplet(C,1, !,×, π1, π2, 〈·, ·〉) tel que– C est une catégorie ;

17

18 CHAPITRE 1. PRÉLIMINAIRES CATÉGORIQUES

– 1 est un objet deK ;– ! = (!A)A∈C avec!A l’unique flèche de A vers1 ;– π1 = (π1

A1,A2)A1,A2∈Cetπ2 = (π2

A1,A2)A1,A2∈Cavecπ j

A1,A2 une flèche de A1 × A2 vers Ai ;– si f1 est une flèche de C vers A1 et f2 est une flèche de C vers A2, alors〈 f1, f2〉 est une flèche de

C vers A1 × A2 telle queπ jA1,A2 〈 f1, f2〉 = f j ;

– de plus, si h est une flèche de C vers A1 × A2, alors 〈π1A1,A2 h, π2

A1,A2 h〉 = h.

De même, dans une catégorie cartésienne fermée, il peut y avoir beaucoup destructures carté-siennes fermées, mais elles seront toutes isomorphes.

Définition 1.1.2. Une structure cartésienne ferméeest un 10-uplet(C,1, !,×, π1, π2, 〈·, ·〉, ⇒, Λ,ev)tel que

– (C,1, !,×, π1, π2, 〈·, ·〉) est une structure cartésienne ;– pour tous objets A et B, A⇒ B est un objet deC ;– pour toute flèche f de A× B vers C,Λ( f ) est une flèche de A vers B⇒ C ;– ev= (evA,B)A,B∈C est une flèche de(B⇒ A) × B vers A ;– pour toute flèche h de C× B vers A, evA,B 〈Λ(h) π1

C,B, π2C,B〉 = h ;

– pour toute flèche k de C vers B⇒ A,Λ(evA,B 〈k π1C,B, π

2C,B〉) = k.

Catégories monoïdales

Une catégorie monoïdale est un 6-uplet (C,⊗, I , α, λ, ρ), où– C est une catégorie ;– ⊗ est un foncteur deC × C versC ;– I est un objet deC ;– αA,B,C est un isomorphisme naturel enA, B etC deA⊗ (B⊗C) vers (A⊗ B) ⊗C ;– λA est un isomorphisme naturel enA de I ⊗ A versA ;– etρA est un isomorphisme naturel enA deA⊗ I versA

tels que certains diagrammes commutent.Les catégories monoïdales et les foncteurs monoïdaux forment une catégorieMonCat. Cette ca-

tégorie a un produit cartésien× évident, donc, pour toute catégorie monoïdaleC, on a un foncteurmonoïdal diagonal∆C deC versC × C.

De plus, pour toute catégorie monoïdaleC = (C,⊗, I , α, λ, ρ), on a un foncteur monoïdal (T,m, n)deC versC, oùT est le foncteur qui envoie tout objet surI et toute flèche suridI , m = (λI )A∈Ob(C) etn = idI . On notera∗C ce foncteur monoïdal.

Etant donnée une catégorie monoïdaleC = (C,⊗, I , α, λ, ρ), pour tout entiern, pour tous objetsA1, . . . ,An deC, on définit, par induction surn,

⊗〈A1, . . . ,An〉 :

– sin = 0, alors⊗〈A1, . . . ,An〉 = I ;

– sin = 1, alors⊗〈A1, . . . ,An〉 = A1 ;

– sin ≥ 1, alors⊗〈A1, . . . ,An+1〉 =

⊗〈A1, . . . ,An〉 ⊗ An+1 .

On écrira aussi⊗n

i=1 Ai au lieu de⊗〈A1, . . . ,An〉.

De même, pour tout entiern, pour toutes flèchesf1, . . . , fn dansC, on définit, par induction surn,⊗〈 f1, . . . , fn〉 :– sin = 0, alors

⊗〈 f1, . . . , fn〉 = idI ;

– sin = 1, alors⊗〈 f1, . . . , fn〉 = f1 ;

– sin ≥ 1, alors⊗〈 f1, . . . , fn+1〉 =

⊗〈 f1, . . . , fn〉 ⊗ fn+1 .

On écrira aussi⊗n

i=1 fi au lieu de⊗〈 f1, . . . , fn〉.

1.1. CATÉGORIES 19

Pour tout entiern ≥ 1, pour tous entiersp1, . . . , pn, pour tout objetA deC, on définit, par inductionsurn, une flècheα(p1,...,pn)

A de⊗p

k=1 A vers⊗n

i=1

⊗pi

k=1 A dansC, où p =∑n

i=1 pi :

– sin = 1, alorsα(p1,...,pn)A = id⊗p

k=1 A ;

– sin = 2, alorsα(p1,...,pn)A est défini par induction surp2 :

– si p2 = 0, alorsα(p1,...,pn)A = ρ⊗p1

j=1 A−1 ;

– si p2 = 1, alorsα(p1,...,pn)A =

λA−1 si p1 = 0 ;

id⊗p1+1j=1 A

sinon ;

– si p2 ≥ 1, alorsα(p1,...,pn+1)A = α−1⊗p1

j=1 A,⊗p2

j=1 A,A (α(p1,p2)

A ⊗ idA) ;

– sin ≥ 2, alorsα(p1,...,pn+1)A = (α(p1,...,pn)

A ⊗ id⊗pn+1k=1 A) α

(∑n

i=1 pi ,pn+1)A .

Pour tout entiern, on peut définir une flèche inversible cann de⊗n

i=1 I versI :– sin = 0 oun = 1, alors cann = idI ;– sin ≥ 1, alors cann+1 = ρI (cann ⊗ idI ).Si n est strictement négatif, cann est l’inverse de can−n.Pour tous entiersm et n, pour tout objetA deC, on définit, par induction surn, une flèche canm,nA

de⊗〈I , . . . , I︸︷︷︸

m fois

,A, I , . . . , I︸︷︷︸n fois

〉 versA dansC :

– sin = 0, alors canm,nA =

idA si m= 0 ;λA (canm⊗ idA) sinon ;

;

– canm,n+1A = ρA (canm,n

A ⊗ idI ) .

Catégories monoïdales symétriques

Une catégorie monoïdale symétrique est un 7-uplet (C,⊗, I , α, λ, ρ, γ), où– (C,⊗, I , α, λ, ρ) est une catégorie monoïdale– etγA,B est un isomorphisme naturel enA et B deA⊗ B versB⊗ A

tels que certains diagrammes commutent.SoitC = (C,⊗, I , α, λ, ρ, γ) une catégorie monoïdale symétrique.Pour tout entiern, pour toutσ ∈ Sn, on définit une transformation naturelle enA σA de

⊗ni=1 Ai

vers⊗n

i=1 Aσ(i) à l’aide deα, λ, ρ etγ.Pour tous objetsA, B,C et D deC, on définit∼A,B,C,D∈ C[(A⊗ B) ⊗ (C ⊗ D), (A⊗C) ⊗ (B⊗ D)]

en posant

∼A,B,C,D= αA,C,B⊗D (idA ⊗ α−1C,B,D) (idA ⊗ (γB,C ⊗ idD)) (idA ⊗ αB,C,D) α−1

A,B,C⊗D .

Remarque 1.1.3.On aγI ,I = idI⊗I donc, pour tous objets A et D, on a∼A,I ,I ,D= id(A⊗I )⊗(I⊗D) .

Remarque 1.1.4.On a(ρA ⊗ (λB cann)) ∼A,⊗n

i=1 I ,I ,B= (ρA (idA ⊗ cann)) ⊗ λB.

Remarque 1.1.5.Pour tous objets A, B et C, on a

(idA⊗C ⊗ ρB) ∼A,B,C,I= αA,C,B (idA ⊗ γB,C) αA,B,C−1 (idA⊗B ⊗ ρC) .

Pour tout entiern, pour tous objetsA1, . . . ,An, on peut définir, par induction surn, ∼〈A1,...,An〉∈

C[⊗n

i=1(Ai ⊗ Ai),⊗n

i=1 Ai ⊗⊗n

i=1 Ai ] :– ∼〈〉= can−2 ;– ∼〈A1〉= idA1⊗A1 ;


– ∼〈A1,A2〉=∼A1,A1,A2,A2 ;– sin ≥ 2,∼〈A1,...,An+1〉=∼

⊗ni=1 Ai ,An+1

(∼〈A1,...,An〉 ⊗idAn+1⊗An+1).

Pour tout entiern, on définit aussi, par induction surn, une flèche∼nA,B de

⊗ni=1 A⊗

⊗ni=1 B vers⊗n

i=1(A⊗ B) pour tous objetsA et B deC :– sin = 0, alors∼n

A,B= can2 ;– sin = 1, alors∼n

A,B= idA⊗B ;– sin = 2, alors∼n

A,B=∼〈A,B〉 ;– sin ≥ 2, alors∼n+1

A,B= (∼nA,B ⊗idA⊗B) ∼⊗n

i=1 A,A,⊗n

i=1 B,B .

Pour tout objetA deC, pour tous entiersn et p, on définit, par induction surp, une flèche∼n,pA de⊗p

j=1

⊗ni=1 T(A) vers

⊗ni=1

⊗pj=1 T(A) :

– si p = 0, alors∼n,pA = can−n ;

– si p = 1, alors∼n,pA = id⊗p

j=1 T(A) ;

– si p ≥ 1, alors∼n,p+1A =∼n⊗p

j=1 T(A),T(A)(∼n,p

A ⊗id⊗ni=1 T(A)).

Une catégorie monoïdale symétrique fermée est une catégorie monoïdale symétrique (C, ⊗, I , α,λ, ρ, γ) telle que pour tout objetB deC, on a une adjonction (− ⊗ B, B( −, ξB). On peut alors poserpour tous objetsB etC deC εC,B = (ξB

B(C,C)−1(idB(C).On peut maintenant donner la définition decatégorie∗-autonomedue à Barr (voir [6] et [7]) :

une catégorie∗-autonome est une catégorie monoïdale symétrique fermée (C,⊗, I , α, λ, ρ, γ) munied’un objet⊥ deC telle que pour tout objetA deC le morphismeξA(⊥

A,⊥ (ε⊥,A γA,A(⊥) de A vers(A( ⊥)( ⊥ a un inverse.

1.2 Catégories enrichies

En ce qui concerne les catégories enrichies sur une catégorie monoïdale, la principale référenceest [32].

SoitV = (V,⊗V, J,a, l, r) une catégorie monoïdale. Une catégorie enrichie surV est un quadru-pletC = (O,C(A, B)A,B∈O,M, j) tel que

– pour tousA, B ∈ O, C(A, B) est un objet de la catégorieV ;– pour tousA, B,C ∈ O, MA,B,C est une flèche deC(B,C) ⊗V C(A, B) versC(A,C) dansV ;– pour toutA ∈ O, jA est une flèche deJ versC(A,A) dansV ;

on demande, en plus, que certains diagrammes commutent.Les éléments deO sont lesobjetsdeC.

Exemple 1.2.1.Dans le Chapitre 4, on considérera des catégories enrichies sur la catégorie monoï-dale des monoïdes commutatifs (ici, J est le monoïde commutatif(N,+,0) des entiers naturels). Sedonner une catégorie enrichieC sur la catégorie monoïdale des monoïdes commutatifsC revient à sedonner :

– une catégorieC– et, pour tous objets A et B deC, un monoïde commutatifC(A, B) = (C[A, B],+,0A

B)de telle sorte que pour tous objets A, B et C deC, on ait :

– pour toutes flèches g1 et g2 de B vers C, pour toute flèche f de A vers B,(g1 + g2) f =(g1 f ) + (g2 f ) ;

– pour toute flèche f de A vers B,0CB f = 0B

A ;– et, pour toute flèche g de B vers C, pour toutes flèches f1 et f2 de A vers B, g ( f1 + f2) =

(g f1) + (g f2).

1.2. CATÉGORIES ENRICHIES 21

– pour toute flèche g de B vers C, g 0BA = 0C

A ;On dira queC est la catégorie sous-jacente deC.

SoientC etD deux catégories enrichies sur une catégorie monoïdaleV. Un foncteur enrichiFsurV deC versD consiste en une fonction des objets deC vers les objets deD et en la donnée pourtous objetsA et B deC d’une flèche deC(A, B) versD(F(A),F(B)) telles que certains diagrammescommutent dans la catégorieV.

Les catégories enrichies surV avec les foncteurs enrichis surV forment une catégorie : siF etG sont deux foncteurs deC versD enrichis surV, alors unetransformation naturelle deF versGenrichie surV est une famille (aA)A∈ob(C) telle que, pour tout objetA deC, aA est une flèche deJ versD(F(A),G(A)) dansV et telle qu’un certain diagramme commute dansV.

Si, maintenant,V = (V,⊗V, J,a, l, r, s) est une catégorie monoïdalesymétrique, alors la catégoriedes catégories enrichies surV peut être munie d’une structure de catégorie monoïdale. On peut alorsdéfinir de manière similaire à ce que l’on fait pour les catégories ordinaires ce qu’est une catégoriemonoïdale (symétrique) enrichie surV.

Exemple 1.2.2.SoitC une catégorie enrichie sur la catégorie monoïdalesymétriqueM des monoïdescommutatifs. Se donner un foncteur enrichi⊗ surM deC⊗V C versC revient à se donner un foncteur⊗ deC × C versC tel que

– pour toute flèche f de A vers B dansC, on a f⊗ 0A′B′ = 0A⊗A′

B⊗B′ ;

– pour toute flèche f′ de A′ vers B′ danssC, on a0AB ⊗ f ′ = 0A⊗A′

B⊗B′ ;– pour toutes flèche f de A vers B dansC, pour toutes flèches f′1 et f′2 de A′ vers B′ dansC, on a

f ⊗ ( f ′1 + f ′2) = ( f ⊗ f ′1) + ( f ⊗ f ′2) ;– pour toutes flèches f1 et f2 de A vers B dansC, pour toute flèche f′ de A′ vers B′ dansC, on a

( f1 + f2) ⊗ f ′ = ( f1 ⊗ f ′) + ( f2 ⊗ f ′) ;on dira que ce foncteur est le foncteur sous-jacent de celui qui est enrichi surM.

Se donner une catégorie monoïdale symétrique enrichie surM revient à se donner une catégoriemonoïdale (symétrique)(C,⊗, I , α, λ, ρ, γ) avecC tel que dans l’Exemple 1.2.1 et⊗ tel que ci-dessus :cette catégorie monoïdale symétrique estla catégorie monoïdale symétrique sous-jacentede la caté-gorie monoïdale symétrique enrichie surM.


Chapitre 2

La logique linéaire

Pour une introduction à la logique linéaire, on renvoie à [27]. Il ne s’agit ici que de fixer la syntaxeà laquelle nous nous référerons. On ne considérera que le fragment propositionnel.

2.1 Les formules

2.1.1 Le fragment intuitionniste

Le fragment intuitionniste multiplicatif exponentiel (IMELL)

A, B := X | A( B | A⊗ B | !A| 1

Avec les additifs

A, B := X | A( B | A⊗ B | !A| 1 | A& B | T

2.1.2 La logique linéaire classique

Le fragment multiplicatif exponentiel (MELL)

A, B := X | X⊥ | A℘B | A⊗ B | !A| ?A | 1 | ⊥

On définitA⊥ par induction surA :

1⊥ = ⊥ ⊥⊥ = 1(X)⊥ = X⊥ (X⊥)⊥ = X

(A⊗ B)⊥ = A⊥℘B⊥ (A℘B)⊥ = A⊥ ⊗ B⊥

(!A)⊥ =?A⊥ (?A)⊥ = !A⊥

Avec les additifs

A, B := X | X⊥ | A℘B | A⊗ B | !A| ?A | 1 | ⊥ | A& B | A⊕ B | T | 0

On définitA⊥ par induction surA :

23

24 CHAPITRE 2. LA LOGIQUE LINÉAIRE

1⊥ = ⊥ ⊥⊥ = 10⊥ = T T⊥ = 0

(X)⊥ = X⊥ (X⊥)⊥ = X(A⊗ B)⊥ = A⊥℘B⊥ (A℘B)⊥ = A⊥ ⊗ B⊥

(!A)⊥ =?A⊥ (?A)⊥ = !A⊥

(A⊕ B)⊥ = A⊥& B⊥ (A& B)⊥ = A⊥ ⊕ B⊥

2.2 Le calcul des séquents

2.2.1 Le fragment intuitionniste

Les séquents sont de la formeΓ ` A.

Le fragment intuitionniste multiplicatif exponentiel (IMELL)

A ` AΓ ` A ∆,A ` B

Γ,∆ ` B

Γ,A1,A2,∆ ` BΓ,A2,A1,∆ ` B

Γ,A, B ` CΓ,A⊗ B ` C

Γ ` A ∆ ` B∆,Γ ` A⊗ B

∆ ` A Γ, B ` CΓ,∆,A( B ` C

Γ,A ` BΓ ` A( B

Γ ` AΓ,1 ` A ` 1

Γ,A ` BΓ, !A ` B

!Γ ` A!Γ ` !A

Γ ` BΓ, !A ` B

‘ Γ, !A, !A ` BΓ, !A ` B

Avec les additifs

Γ,A ` CΓ,A& B ` C

Γ ` A Γ ` BΓ ` A& B

Γ, B ` CΓ,A& B ` C

Γ ` T

2.2.2 La logique linéaire classique

Les séquents sont de la forme` ∆.

2.3. LES RÉSEAUX 25

Le fragment multiplicatif exponentiel (MELL)

` A⊥,A` Γ,A ` A⊥,∆

` Γ,∆

` A1, . . . ,An σ ∈ Sn` Aσ(1), . . . ,Aσ(n)

` 1` Γ` Γ,⊥

` Γ,A ` B,∆` Γ,A⊗ B,∆

` Γ,A, B` Γ,A℘B

`?Γ,A`?Γ, !A

` Γ` Γ,?A

` Γ,A` Γ,?A

` Γ,?A,?A` Γ,?A

Avec les additifs

` Γ,T

` Γ,A` Γ,A⊕ B

` Γ,A Γ, BΓ,A& B

` Γ, B` Γ,A⊕ B

2.3 Les réseaux

Les réseaux ont été introduits dans [25] et étudiés dans [52] et [45].

2.3.1 Les structures de preuve de MELL

Les structures de preuves sont les graphes orientés étiquetésπ formés des nœuds

ax

cutA A⊥A A⊥

℘ ⊗

A B

A℘B

A B

A⊗ B

26 CHAPITRE 2. LA LOGIQUE LINÉAIRE

?A

A A

!A

?d !

?A ?A

?A

?c ?w

?A

tels que– chaque arête est conclusion d’exactement un nœud ;– à chaque nœud ! o est associé un sous-grapheπo deπ tel que

– une des conclusions deπo est la prémisse deo– et les autres conclusions deπo sont étiquetées par des formules commençant par ? ;πo est la boîte exponentielle deo et est délimité par un rectangle ;

– si deux boîtes exponentielles ne sont pas disjointes, alors l’une des deux est incluse dans l’autre.De plus, on identifie deux structures de preuve qui ne diffèrent que par l’ordre des prémisses dans

les nœuds contraction ( ?c).

2.3.2 Séquentialisation

A toute preuve en calcul des séquents, on peut associer une structure de preuve. Un réseau depreuve est une structure de preuve pour laquelle il existe une preuve en calcul des séquents qui lui estassociée.

Première partie

Sémantiques de la logique linéaire etréseaux différentiels

27

29

“Grise est la théorie, mon ami, mais vert estl’arbre éternel de la vie.”

Goethe

30

Chapitre 3

Qu’est-ce qu’un modèle catégorique de lalogique linéaire ?

3.1 Le deuxième sous-sol

On cherche à interpréter la syntaxe de la logique linéaire dans une structure catégorique : lesénoncés sont des objets de la catégorie et les démonstrations sont des flèches. La coupure devient lacomposition des flèches et on veut que cette interprétation soit invariante au cours de l’élimination descoupures.

Dans un premier temps, on ne considérera que le fragment multiplicatif exponentiel intuitionnistede la logique linéaire (IMELL). La traduction de Girard (A ⇒ B = !A ( B) permet de traduire lelambda-calcul dans la logique linéaire modulo quelques quotients sur la syntaxe : on demandera doncen plus de l’invariance de l’interprétation au cours de l’élimination des coupures que l’interprétationrespecte ces quotients ; cela signifie qu’à partir d’une interprétation catégorique (C, . . .) de IMELL,on est capable d’exhiber une autre structure catégorique (K, . . .) dans laquelle on peut interpréter lelambda-calcul.

Les premiers travaux s’attaquant à ce problème sont ceux de Lafont ([38]) et de Seely ([48]) -on peut se référer à [43] pour une vue d’ensemble de l’état de l’art. Quant aux travaux de Benton,Bierman, Hyland et de Paiva ([9], [10] et [11]), ils ont abouti à l’axiomatique suivante : un modèlecatégorique de IMELL est un quadruplet (C,L, c,w) tel que :

– C = (C,⊗, I , α, λ, ρ, γ) est une catégorie monoïdale symétrique fermée ;– L = ((T,m, n), δ,d) est une comonade monoïdale symétrique dansC ;– c est une transformation naturelle monoïdale de (T,m, n) vers⊗ ∆C (T,m, n) et w est une

transformation naturelle monoïdale de (T,m, n) vers∗C telles que– pour tout objetA de C, ((T A, δA), cA,wA) est un comonoïde cocommutatif dans (CT,⊗T,

(I , n), α, λ, ρ)– et pour toutf ∈ CT[(T A, δA), (T B, δB)], f est un morphisme de comonoïdes,oùT est la comonade (T, δ,d) dansC etCT est la catégorie desT-cogèbres.

Si A est un atome, l’axiome prouvant !A ` !A et l’êta-expansé de cette preuve y sont interprétéspar le même morphisme :idT(A). On va voir qu’il existe des modèles de la logique linéaire qui nevérifient pas cette propriété. C’est pourquoi on cherche une nouvelle définition de modèle de IMELL,plus faible que celle donnée ci-dessus, permettant de capturer les modèles en question. Le point dedépart est l’idée que l’on doit interpréter la première preuve paridT(A) et la seconde parT(idA) et quel’on ne doit pas demander d’avoirT(idA) = idT(A), autrement ditT ne sera plus un foncteur, mais

31

32CHAPITRE 3. QU’EST-CE QU’UN MODÈLE CATÉGORIQUE DE LA LOGIQUE LINÉAIRE ?

seulement un semi-foncteur. La notion de semi-foncteur, ainsi que celles de transformation naturelleentre semi-foncteurs, de semi-adjonction et de structure de semi-catégorie cartésienne fermée ont étéintroduites par Hayashi dans [29] dans le but de fournir un cadre catégorique à la sémantique dulambda-calcul. De même, afin de pouvoir donner cette nouvelle définition de modèle de IMELL, nousallons introduire des affaiblissements des notions de comonade et de comonade monoïdale.

3.2 Monades faibles (monoïdales)

3.2.1 Semi-monades

Définition 3.2.1 ([29]). SoientC etD deux catégories. Unsemi-foncteurT deC versD consiste enune fonction des objets deC vers les objets deD et en la donnée, pour tous objets A et B deC, d’unefonction deC[A, B] versD[T(A),T(B)] telles que T( f C g) = T( f ) D T(g).

Autrement dit, un semi-foncteur est un foncteur sauf qu’il ne préserve pas nécessairement lesidentités.

Exemple 3.2.2.On peut définir un semi-foncteur T de la catégorieRel des ensembles et relationsvers la catégorieRelen posant :

– pour tout objet A deRel, T(A) est l’ensemble A<ω des suites finies à valeurs dans A ;– pour toute flèche f de A vers B dansRel, T( f ) est le morphisme de A<ω vers B<ω défini par

T( f ) = (〈α1, . . . , αn〉, 〈βσ(1), . . . , βσ(n)〉) ; n ∈ N, ∀i(1 ≤ i ≤ n⇒ (αi , βi) ∈ f ) etσ ∈ Sn .

On remarque que T n’est pas un foncteur.

On peut, bien entendu, encore composer des semi-foncteurs comme on compose des foncteurset obtenir ainsi une catégorie dont les objets sont les catégories et les flèches les semi-foncteurs. Onpeut encore parler de transformations naturelles d’un semi-foncteur vers un autre semi-foncteur etdéfinir les compositions verticale• et horizontale de transformations naturelles entre semi-foncteurscomme on le fait pour les transformations naturelles entre foncteurs.

– Si F, G et H sont trois semi-foncteurs de la catégorieC vers la catégorieD et siσ est unetransformation naturelle deF versG et τ est une transformation naturelle deG versH, alorsτ • σ est une transformation naturelle deF versH définie par (τ • σ)C = τC σC.

– Si F etG sont deux semi-foncteurs de la catégorieC vers la catégorieD et F′ etG′ sont deuxsemi-foncteurs de la catégorieD vers la catégorieE et siσ est une transformation naturelle deF versG etσ′ est une transformation naturelle deF′ versG′, alorsσ′σ est une transformationnaturelle du semi-foncteurF′ F vers le semi-foncteurG′ G définie par (σ′ σ)C = σ′G(C)

F′(σC).On a aussi la notion detransformation naturelle normale, qui correspond à ce que Hoofman, dans

[30], appellesemi-transformation naturelle.

Définition 3.2.3. Soient F et G deux semi-foncteurs d’une catégorieC vers une catégorieD. Unetransformation naturelleα de F vers G est ditenormalesi pour tout objet C deC, on a

αC F(idC) = αC .

Deux remarques : siα est une transformation naturelle d’un semi-foncteurF vers un semi-foncteurG, alors

3.2. MONADES FAIBLES (MONOÏDALES) 33

– α est une transformation naturelle normale deF versG si, et seulement si, pour tout objetC deC, on a

G(idC) αC = αC ;

– si F ouG est un foncteur, alorsα est une transformation naturelle normale deF versG.Plus tard, nous voudrons considérer certaines transformations naturelles normales particulières :

lessemi-isomorphismes naturels normaux. La notion desemi-isomorphisme naturel normalgénéralisela notion d’isomorphisme naturel.

Définition 3.2.4. Un semi-isomorphisme naturel normalα d’un semi-foncteur F vers un semi-foncteur G est une transformation naturelle normale de F vers G telle qu’il existe une transformationnaturelle normaleβ de G vers F telle que pour tout objet C deC, on a

αC βC = G(idC)

etβC αC = F(idC) .

On sait déjà que la catégorie des catégories et des semi-foncteurs existe. Mieux, les donnéessuivantes définissent une 2-catégorieCats :

– les objets sont les catégories ;– pour tous objetsC etD, Cats(C,D) est la catégorie dont les objets sont les semi-foncteurs deC

versD, dont les flèches sont les transformations naturelles normales, dont la composition est lacomposition verticale• et dont l’identité d’un semi-foncteurF est (F(idC))C∈Ob(C) ;

– la composition est la composition des semi-foncteurs et la composition verticale des transfor-mations naturelles normales ;

– l’identité d’un objetC est le foncteur identitéidC de la catégorieC et la transformation naturelleidentitéididC de idC versidC.

Or, étant donnée une 2-catégorieC, on peut toujours définir ce qu’est une monade relativement àC, comme le fait R. Street dans [49].

Définition 3.2.5 ([49]). SoitC une 2-catégorie. Une monade(T, η, µ) relativement àC dans un objetC deC consiste en

– une flèche T deC versC ;– une 2-flècheη de idC vers T ;– une 2-flècheµ de T T vers T

tels que les diagrammes

T T Tµ idT- T T

T T

idT µ

?

µ- T

µ

?

(1)

Tη idT- T T

T

µ

?

idT

-

(2)


T T T ηT

T

µ

?

id T (3)

commutent dans la catégorieC(C,C).

Bien entendu, une monade au sens usuel est la même chose qu’une monade relativement à la 2-catégorieCat des catégories, foncteurs et transformations naturelles. On peut maintenant définir cequ’est unesemi-monade1.

Définition 3.2.6. Une semi-monade dans une catégorieC est une monade relativement àCats dansla catégorieC.

La proposition suivante donne une caractérisation des semi-monades dans une catégorieC. C’estainsi que [30] définit les semi-(co)monades.

Proposition 3.2.7. (T, µ, η) est une semi-monade dans une catégorieC si, et seulement si,– T est un semi-foncteur deC versC ;– η est une transformation naturelle de idC vers T ;– etµ est une transformation naturelle de T T vers T

tels que, pour tout objet A deC, les diagrammes

T T T(A)µT(A)- T T(A)

T T(A)

T(µA)

?

µA

- T(A)

µA

?

(1)

T(A)ηT(A)- T T(A)

T(A)

µA

?

T(idA ) -

(2)

1Du fait de notre ignorance de [30], cessemi-monadesétaient auparavant dénomméessemi-monades normales. En fait,cette notion est exactement la même que ce que Hoofman, dans [30], appellesemi-monad. Pour éviter toute confusion, la no-tion introduite dans la Sous-section 3.2.2, auparavant dénomméesemi-monade, a été renomméemonade faible. L’ancienneterminologie avait un autre inconvénient par rapport à la nouvelle : elle pouvait sembler sous-entendre qu’unesemi-monadenormale(c’est-à-dire, désormais, unesemi-monade) est nécessairement unesemi-monade(c’est-à-dire, désormais, unemo-nade faible), ce qui est faux, comme on va le voir. Enfin, on peut essayer de voir une justification du termemonade faibleen le fait que, en un certain sens, unemonade faibleest une notion plus forte que celle desemi-monade; or, de même, lanotion decatégorie cartésienne fermée faibleest plus forte que celle desemi-catégorie cartésienne fermée.


T T(A) T(ηA)T(A)

T(A)

µA

?T(id

A) (3)

T T(A)µA - T(A)

T(A)

T(idA)

?

µA

-

(4)

commutent dans la catégorieC.

Démonstration.Les diagrammes (1), (2) et (3) correspondent respectivement aux diagrammes (1),(2) et (3) de la Définition 3.2.5. Le diagramme (4) exprime la normalité deµ.

Le diagramme (1) exprime l’associativité de la multiplicationµ : on retrouve exactement le mêmediagramme dans la définition d’une monade. Les diagrammes (2) et (3) expriment la neutralité deη

par rapport àµ et correspondent aux deux autres diagrammes habituels requis dans la définition d’unemonade ; mais, maintenant, on n’a plus nécessairementT(idA) = idT(A) : ici, on demande que la com-posée des deux flèches soit égale àT(idA). Enfin, on requiert le diagramme (4), qui est, évidemment,automatiquement satisfait dans le cas d’une monade.

En considérant ces diagrammes, on peut se convaincre que la notion de semi-comonade est un bonpoint de départ pour fournir une interprétation des réseaux êta-expansés. Mais comment interprétertousles réseaux ? Si un réseau et son êta-expansé n’ont pas la même interprétation, alors on a besoind’une comultiplication non normale. En effet, le réseau de la Figure 3.1 ne se réduit pas en celui de laFigure 3.2.

D’où l’idée d’avoir un autre affaiblissement de la notion de monade de telle sorte que, cette fois,la multiplication ne soit plus normale.

Mais si, pour capturer cette notion, on essaye de procéder de la même manière que pour capturerla notion de semi-monade, on bute sur le problème suivant : on n’arrive pas à définir une 2-catégorieayant comme objets les catégories, comme flèches les foncteurs et comme 2-flèches les transforma-tions naturelles. En effet, cette fois, l’identité d’un semi-foncteurF de la catégorieC vers la catégorieD ne peut plus être (F(idC))C∈Ob(C), ce doit êtreidF = (idF(C))C∈Ob(C). Or, maintenant, la compositionhorizontale n’est plus fonctorielle : siF n’est pas un foncteur, alorsidF ididC , idF . Alors ?

3.2.2 Monades faibles

En considérant à nouveau la Définition 3.2.5, on constate qu’on aurait pu définir une monade dansune 2-catégorieC autrement. En effet, étant donnée une 2-catégorieC et un objetC deC, il est clairque (C(C,C), , idC) est une catégorie monoïdale stricte. Une monade relativement àC dans un objetC deC n’est alors rien d’autre qu’un monoïde dans la catégorie monoïdale stricte (C(C,C), , idC).

Etant donnée une catégorieC, on note1/2End(C) la catégorie dont les objets sont les semi-foncteurs deC versC, dont les flèches sont les transformations naturelles, dont la composition est lacomposition verticale• et dont l’identité d’un objetF est (idF(C))C∈C. On a déjà vu que n’est pas un


ax

?d

!

A⊥ A

?A⊥ !A

ax

!

!!A

!A?A⊥

?A⊥

cut

F. 3.1 –

ax

!

!A

!!A?A⊥

F. 3.2 –


foncteur. Donc (1/2End(C), , idC) n’est pas une catégorie monoïdale stricte. Mais presque... C’estun exemple de ce que nous appelons unecatégorie semi-monoïdale stricte, notion qui généralise cellede catégorie monoïdale stricte.

Définition 3.2.8. Une catégorie semi-monoïdale stricte est un triplet(C,⊗, I ) consistant en– une catégorieC ;– un semi-foncteur⊗ deC × C versC tel que pour tous objets A, B et C deC, (A ⊗ B) ⊗ C =

A⊗ (B⊗C) et pour toutes flèches f , g et h deC, ( f ⊗ g) ⊗ h = f ⊗ (g⊗ h) ;– et un objet I deC tel que pour tout objet A deC, I ⊗ A = A = A⊗ I.

Autrement dit, une catégorie semi-monoïdale stricte (C,⊗, I ) est une catégorie monoïdale stricte,sauf que l’on n’a pas nécessairementidA⊗ idB = idA⊗B. On peut alors encore parler defoncteur monoï-dal strict entre catégories semi-monoïdales strictes, comme on le fait pour les catégories monoïdalesstrictes. Il n’y a rien à changer dans la définition habituelle.

Définition 3.2.9. Un foncteur monoïdal strict(F,m, n) d’une catégorie semi-monoïdale stricte(C, ⊗,I ) vers une catégorie semi-monoïdale stricte(C′,⊗′, I ′) est un triplet consistant en un foncteur F dela catégorieC vers la catégorieC′, une transformation naturellem normale de⊗′ (F×F) vers F⊗et une flèchen dansC′ de I′ vers F(I ) tels que les trois diagrammes

F(A) ⊗′ F(B) ⊗′ F(C)mA,B ⊗

′ idF(C)- F(A⊗ B) ⊗′ F(C)

F(A) ⊗′ F(B⊗C)

idF(A) ⊗′ mB,C

?

mA,B⊗C

- F(A⊗ B⊗C)

mA⊗B,C

?

F(A)n ⊗′ idF(A)- F(I ) ⊗′ F(A)

F(A)

mI ,A

?

idI ′ ⊗ ′

idF(A) -

F(A) ⊗′ F(I ) idF(A) ⊗

′ nF(A)

F(A)

mA,I

? idF(A)⊗′ id I′

commutent dans la catégorieC′.

Bien entendu, on peut composer de tels foncteurs monoïdaux entre catégories semi-monoïdalesstrictes comme on compose des foncteurs monoïdaux entre catégories monoïdales strictes.

Définition 3.2.10. Soient (C,⊗, I ), (C′,⊗′, I ′) et (C′′,⊗′′, I ′′) trois catégories semi-monoïdalesstrictes. Soient(F,m, n) un foncteur monoïdal strict de(C,⊗, I ) vers(C′,⊗′, I ′) et (F′,m’, n’) un fonc-teur monoïdal strict de(C′,⊗′, I ′) vers(C′′,⊗′′, I ′′). On pose(F′,m’, n’) (F,m, n) = (F′ F,m”, n”),où m” = (m”A,B)A,B∈ob(C) avecm”A,B = F′(mA,B) m’F(A),F(B) et n” = F′(n) n’.


On note1/2MonCat la catégorie définie ainsi :– les objets sont les catégories semi-monoïdales strictes ;– une flèche deC versC′ est un foncteur monoïdal strict deC versC′ ;– l’identité de (C,⊗, I ) est (idC, ((idA,B)A,B∈ob(C)), idI ) ;– la composition est celle définie dans la Définition 3.2.10.La définition suivante généralise la notion de monoïde dans une catégorie monoïdale stricte à celle

de monoïde dans une catégorie semi-monoïdale stricte :

Définition 3.2.11. Un monoïde dans une catégorie semi-monoïdale stricteC = (C,⊗, I ) est un triplet(A, µ, η) tel qu’il existe un foncteur monoïdal strict(F,m, n) d’un objet terminal1 = (1,⊗1, ∗) de1/2MonCatversC tel que A= F(∗), µ = m∗,∗ etη = n.

La proposition suivante donne une caractérisation des monoïdes dans une catégorie semi-monoïdale stricte.

Proposition 3.2.12.(A, µ, η) est un monoïde dans une catégorie semi-monoïdale stricte(C,⊗, I ) si, etseulement si, A est un objet deC, µ est une flèche dansC de A⊗ A vers A etη est une flèche dansCde I vers A tels que les diagrammes

A⊗ A⊗ Aµ ⊗ idA- A⊗ A

A⊗ A

idA ⊗ µ

?

µ- A

µ

?

(1)

Aη ⊗ idA- A⊗ A

A

µ

?

idI ⊗

idA -

(2)

A⊗ A idA ⊗ η A

A

µ

?id A⊗

id I (3)

A⊗ AidA ⊗ idA- A⊗ A

A

µ

?

µ

-

(4)


Démonstration.Simple vérification.


Les diagrammes (1), (2) et (3) sont les mêmes que ceux que doit satisfaire un monoïde dansune catégorie monoïdale stricte. Quant au diagramme (4), il est automatiquement satisfait dès que lacatégorie semi-monoïdale stricte est en fait une catégorie monoïdale stricte.

Définition 3.2.13. Une monade faible dans une catégorieC est un monoïde dans la catégorie semi-monoïdale stricte(1/2End(C), , idC).

La proposition suivante donne une caractérisation des monades faibles dans une catégorie donnée.

Proposition 3.2.14.SoitC une catégorie. Une monade faible dans une catégorieC consiste en untriplet (T, µ, η) où

– T est un semi-foncteur deC versC ;– η est une transformation naturelle de idC vers T ;– etµ est une transformation naturelle de T T vers T

tels que, pour tout objet A deC, les diagrammes

T T T(A)µT(A)- T T(A)

T T(A)

T(µA)

?

µA

- T(A)

µA

?

(1)

T(A)ηT(A)- T T(A)

T(A)

µA

?

idT(A) -

(2)

T T(A) T(ηA)T(A)

T(A)

µA

?T(id

A) (3)

T T(A)T(idT(A))- T T(A)

T(A)

µA

?

µA

-

(4)




Le diagramme (1) exprime l’associativité deµ : on le retrouve dans la définition d’une monade etd’une semi-monade. Les diagrammes (2) et (3) expriment la neutralité deη pourµ : le (3) se retrouvedans la définition d’une semi-monade, mais pas le (2). Le diagramme (4) est automatiquement satisfaitdans une monade : on prendra garde au fait que ce n’est ni celui qui exprimerait la normalité deµ nicelui qui exprime sa naturalité.

Exemple 3.2.15.Soit T le semi-foncteur de l’Exemple 3.2.2. On noteδ la transformation naturellede T T vers T définie par

δA = (a, 〈a1, . . . ,ak〉) ; k ∈ N, a1, . . . ,ak ∈ A<ω et a∈ S(a1, . . . ,ak) ,

oùS(a1, . . . ,ak) est l’ensemble des mélanges (“shuffles”) de a1, . . . ,ak, c’est-à-dire

S(a1, . . . ,ak)

= 〈α1, . . . , αn〉 ; ∃σ ∈ Sp1,...,pk ∀i ∈ N (1 ≤ i ≤ k⇒ ai = 〈ασ(∑i−1

j=1 p j+1), . . . , ασ(∑i

j=1 p j )〉) ,

avecSp1,...,pk l’ensemble des permutationsσ ∈ S∑kj=1 p j

telles que pour1 ≤ i ≤ k,σ est croissante sur

l’intervalle [(∑i−1

j=1 p j) + 1,∑i

j=1 p j ].On note d la transformation naturelle de T vers idRel définie par

dA = (〈α〉, α) ; α ∈ A .

(T, δ,d) est une comonade faible dansRel : ce n’est ni une comonade ni une semi-comonade.

Comme le montre l’Exemple 3.2.15 une monade faible n’est pas nécessairement une semi-monade. En fait, une monade faible qui est aussi une semi-monade est une monade. C’est ce qu’affirmela proposition suivante.

Proposition 3.2.16.Soit (T, µ, η) une monade faible dans une catégorieC. Alors les assertions sui-vantes sont équivalentes :

– (T, η, µ) est une semi-monade dans la catégorieC ;– la transformation naturelleµ de T T vers T est normale ;– le semi-foncteur T deC versC est un foncteur ;– la monade faible(T, µ, η) dans la catégorieC est une monade.

En un certain sens, la notion de semi-monade est plus générale que la notion de monade faible.C’est ce que précise la proposition suivante.

Proposition 3.2.17.Soit(T, µ, η) une monade faible dans une catégorieC. On poseµ = (µA)A∈C avecµA = T(idA) µA. Alors (T, µ, η) est une semi-monade dans la catégorieC.


Etant donnée une monade faibleT dans une catégorieC, on pourra donc parler de lasemi-monadeinduite par la monade faibleT.

Hayashi, dans [29], avait également introduit la notion de semi-adjonction. Quel est le rapportentre, d’une part, les semi-adjonctions de Hayashi et, d’autre part, les semi-monades et les monadesfaibles ?


3.2.3 Semi-adjonctions

Définition 3.2.18. [29] Soient C et D deux catégories. Une semi-adjonction deC vers D estun quadruplet(F,G, α, β), où F est un semi-foncteur deC vers D, α = (αA,B)A∈ob(C),B∈ob(D) etβ = (βA,B)A∈ob(C),B∈ob(D) tels que, pour tout f∈ D[B, B′] et pour tout g∈ C[A′,A′], les diagrammes

D[F(A), B]αA,B- C[A,G(B)]

D[F(A′), B′]

f − F(g)

?

αA′,B′- C[A′,G(B′)]

G( f ) − g

?

(1)

D[F(A), B] βA,B

C[A,G(B)]

D[F(A′), B′]

f − F(g)

?

αA′,B′- C[A′,G(B′)]

G( f ) − g

?

(2)

D[F(A), B]αA,B- C[A,G(B)]

D[F(A′), B′]

f − F(g)

?βA′,B′

C[A′,G(B′)]

G( f ) − g

?

(3)

D[F(A), B] βA,B

C[A,G(B)]

D[F(A′), B′]

f − F(g)

?βA′,B′

C[A′,G(B′)]

G( f ) − g

?

(4)

commutent dans la catégorieEns.

Définition 3.2.19. Une semi-adjonction(F,G, α, β) deC versD est ditenormalesi, et seulement si,

(i) pour tout f ∈ D[F(A), B], on aαA,B( f F(idA)) = αA,B( f ) ;

(ii) et pour tout g∈ C[A,G(B)], on aβA,B(G(idB) g) = βA,B(g).

Remarque 3.2.20.Soit(F,G, α, β) une semi-adjonction deC versD. Pour tout f ∈ D[F(A), B], on aαA,B( f F(idA)) = G(idB)αA,B( f ) et pour tout g∈ C[A,G(B)], on aβA,B(G(idB)g) = βA,B(g)F(idA).Donc si F ou G est un foncteur, alors la semi-adjonction(F,G, α, β) deC versD est normale.

Lemme 3.2.21.Soit(F,G, α, β) une semi-adjonction normale deC versD.

(i) Pour tout f ∈ D[F(A), B], on aβA,B αA,B( f ) = f F(idA).


(ii) Pour tout g∈ C[A,G(B)], on aαA,B βA,B(g) = G(idB) g.

Démonstration. (i) Soit f ∈ D[F(A), B]. On a

βA,B αA,B( f ) = βA,B(αA,B( f F(idA)))

(car la semi-adjonction est normale)

= βA,B(G(idB) αA,B( f ) idA)

(par le Diagramme (1) de la Définition 3.2.18)

= idB f F(idA)


= f F(idA) .

(ii) Soit g ∈ C[A,G(B)]. On a

αA,B βA,B(g) = αA,B(βA,B(G(idB) g))


= αA,B(idB βA,B(g) F(idA))


= G(idB) g idA


= G(idB) g .

Lemme 3.2.22.Soit(F,G, α, β) une semi-adjonction normale deC versD.

(i) Pour tout f ∈ D[F(A), B] et pour tout h∈ C[A′,A], on aαA′,B( f F(h)) = αA,B( f ) h.

(ii) Pour tout f ∈ D[F(A), B] et pour tout k∈ D[B, B′], on aαA,B′(k f ) = G(k) αA,B( f ).

(iii) Pour tout g ∈ C[A,G(B)] et pour tout h∈ C[A′,A], on aβA′,B(g h) = βA,B(g) F(h).

(iv) Pour tout g∈ C[A,G(B)] et pour tout k∈ D[B, B′], on aβA,B′(G(k) g) = k βA,B(g).

Démonstration. (i) Soient f ∈ D[F(A), B] et h ∈ C[A′,A]. On a

αA′,B( f F(h)) = αA′,B(idB f F(h))

= G(idB) αA,B( f ) h


= G(idB) αA,B( f ) idA h

= αA,B(idB f F(idA)) h


= αA,B( f ) h .

(ii) Soient f ∈ D[F(A), B] et k ∈ D[B, B′]. On a

αA,B′(k f ) = αA,B′(k f F(idA))



= G(k) αA,B( f ) idA


= G(k) αA,B( f ) .

(iii) Soientg ∈ C[A,G(B)] et h ∈ C[A′,A]. On a

βA′,B(g h) = βA′,B(G(idB) g h)


= idB βA,B(g) F(h)


= βA,B(g) F(h) .

(iv) Soientg ∈ C[A,G(B)] et k ∈ D[B, B′]. On a

βA,B′(G(k) g) = βA,B′(G(k) g idA)

= k βA,B(g) F(idA)


= k idB βA,B(g) F(idA)

= k βA,B(G(idB) g idA)


= k βA,B(g) .

Proposition 3.2.23.Soit (F,G, α, β) une semi-adjonction de la catégorieC vers la catégorieD telleque F est un foncteur deC versD. On pose T= G F. Pour tout objet A deC, on poseηA =

αA,F(A)(idF(A)) etµA = G(βT(A),F(A)(idT(A))). Alors (T, η, µ) est une semi-monade dans la catégorieC.

Démonstration.Pour toutf ∈ C[A,A′], on a

T( f ) ηA = G(F( f )) αA,F(A)(idF(A))

(par le Lemme 3.2.22 (ii))

= αA,F(A′)(F( f ) idF(A))

= αA,F(A′)(idF(A′) F( f ))

(par le Lemme 3.2.22 (i))

= αA′,F(A′)(idF(A′)) f

= ηA′ f .

Pour toutf ∈ C[A,A′], on a

T( f ) µA = G(F( f )) G(βT(A),F(A)(idT(A)))

= G(F( f ) βT(A),F(A)(idT(A)))

(par le Lemme 3.2.22 (iv))

= G(βT(A),F(A′)(G(F( f )) idT(A)))


= G(βT(A),F(A′)(idT(A′) T( f )))

(par le Lemme 3.2.22 (iii))

= G(βT(A′),F(A′)(idT(A′)) F(T( f )))

= G(βT(A′),F(A′)(idT(A′))) G(F(T( f )))

= µA′ (T T( f )) .

Pour tout objetA deC, on a

T(idA) µA = G F(idA) G(βT(A),F(A)(idT(A)))

= G(F(idA) βT(A),F(A)(idT(A)))

= G(idF(A) βT(A),F(A)(idT(A)))

(carF est un foncteur)

= G(βT(A),F(A)(idT(A)))

= µA .


βT(A),F(A)(idT(A)) (F G)(βT(A),F(A)(idT(A))) = βT(T(A)),F(A)(idT(A) G(βT(A),F(A)(idT(A))))


= βT(T(A)),F(A)(G(βT(A),F(A)(idT(A))) idT(T(A)))

= βT(A),F(A)(idT(A)) βT(T(A)),F(T(A))(idT(T(A)))


doncµA T(µA) = µA µT(A) .


µA T(ηA) = G(βT(A),F(A)(idT(A))) (G F)(αA,F(A)(idF(A)))

= G(βT(A),F(A)(idT(A)) F(αA,F(A)(idF(A))))


= G(βA,F(A)(idT(A) αA,F(A)(idF(A))))

= G(βA,F(A) αA,F(A)(idF(A)))


= G(idF(A) F(idA))

= T(idA) .


µA ηT(A) = G(βT(A),F(A)(idT(A))) αT(A),F(T(A))(idF(T(A)))


= αT(A),F(A)(βT(A),F(A)(idT(A)) idF(T(A)))

= αT(A),F(A)(βT(A),F(A)(idT(A)))


= G(idF(A)) idT(A)


= G(idF(A))

= G F(idA)

(carF est un foncteur)

= T(idA) .

Donc, quand on aura une semi-adjonction entre deux semi-foncteurs et que le semi-adjoint àgauche sera un foncteur, on pourra parler de lasemi-monade induite par cette semi-adjonction.

Proposition 3.2.24.Soit (F,G, α, β) une semi-adjonction de la catégorieC vers la catégorieD telleque G est un foncteur deD versC. On pose T= G F. Pour tout objet A deC, on poseηA =

αA,F(A)(idF(A)) etµA = G(βT(A),F(A)(idT(A))). Alors (T, η, µ) est une monade faible dans la catégorieC.

Démonstration.Pour toutf ∈ C[A,A′], on a

T( f ) ηA = G(F( f )) αA,F(A)(idF(A))

= αA,F(A′)(F( f ) idF(A))


= αA,F(A′)(idF(A′) F( f ))

= αA′,F(A′)(idF(A′)) f


= ηA′ f .

Pour toutf ∈ C[A,A′], on a

T( f ) µA = G(F( f )) G(βT(A),F(A)(idT(A)))

= G(F( f ) βT(A),F(A)(idT(A)))

= G(βT(A),F(A′)(G(F( f )) idT(A)))


= G(βT(A),F(A′)(idT(A′) T( f )))

= G(βT(A′),F(A′)(idT(A′)) F(T( f )))


= G(βT(A′),F(A′)(idT(A′))) G(F(T( f )))

= µA′ (T T( f )) .


βT(A),F(A)(idT(A)) (F G)(βT(A),F(A)(idT(A))) = βT(T(A)),F(A)(idT(A) G(βT(A),F(A)(idT(A))))


= βT(T(A)),F(A)(G(βT(A),F(A)(idT(A))) idT(T(A)))

= βT(A),F(A)(idT(A)) βT(T(A)),F(T(A))(idT(T(A)))



donc

µA T(µA) = µA µT(A) .


µA T(ηA) = G(βT(A),F(A)(idT(A))) (G F)(αA,F(A)(idF(A)))

= G(βT(A),F(A)(idT(A)) F(αA,F(A)(idF(A))))

= G(βA,F(A)(idT(A) αA,F(A)(idF(A))))


= G(βA,F(A) αA,F(A)(idF(A)))


= G(idF(A) F(idA))

= T(idA) .


µA ηT(A) = G(βT(A),F(A)(idT(A))) αT(A),F(T(A))(idF(T(A)))

= αT(A),F(A)(βT(A),F(A)(idT(A)) idF(T(A)))


= αT(A),F(A)(βT(A),F(A)(idT(A)))


= G(idF(A)) idT(A)

= G(idF(A))

= idT(A)

(carG est un foncteur).


µA T(idT(A)) = G(βT(A),F(A)(idT(A))) (G F)(idT(A))

= G(βT(A),F(A)(idT(A)) F(idT(A)))


= G(βT(A),F(A)(idT(A)))

= µA .

Donc, quand on aura une semi-adjonction entre deux semi-foncteurs et que le semi-adjoint à droitesera un foncteur, on pourra parler de lamonade faible induite cette semi-adjonction.

3.2.4 Algèbres pour une monade faible

Soit T = (T, η, µ) une monade faible dans une catégorieC. On désignera parC la compositiondans la catégorieC.


La catégorieCT

On généralise la construction d’Eilenberg-Moore pour une monade à celle pour une monade faible.

Définition 3.2.25. Les données suivantes définissent une catégorieCT :– les objets sont de la forme(A,h), où A est un objet deC et h∈ C[T(A),A] tel que les diagrammes

T T(A)T(h) - T(A)

T(A)

µA

?

h- A

h

?

AηA - T(A)

A

h

?

idA

-

T(A)T(idA) - T(A)

A

h

?

h

-

commutent dans la catégorieC ;– une flèche de(A,h) vers(A′,h′) est une flèche f de A vers A′ dansC telle que le diagramme

A hT(A)

A′

f

?

h′T(A′)

T( f )

?

commute dans la catégorieC ;– pour tout objet(A,h), l’identité de(A,h) est idA ;– la composition est la même que celle dansC.


On noteFT le semi-foncteur deC versCT qui assigne (T(A), µA) à chaque objetA deC et T( f ) àchaque flèchef dansC.

On noteGT le foncteur deCT versC qui assigneA à chaque objet (A,h) et f à chaque flèchef .Pour toutf ∈ CT[(T(A), µA), (B,h)], on pose

αTA,(B,h)( f ) = f ηA .

Pour toutg ∈ C[A, B] et pour tout objet (B,h) deCT, on pose

βTA,(B,h)(g) = h T(g) .

Proposition 3.2.26.(FT,GT, αT, βT) est une semi-adjonction deC versCT.

Démonstration.Tout d’abord, on remarque que pour toutg ∈ C[A, B] et pour tout objet (B,h) deCT,le diagramme

T(A) µA T T(A)

B

h T(g)

?

hT(B)

T(h T(g))

?

commute dans la catégorieC. DoncβTA,(B,h)(g) ∈ CT[(T A, µA), (B,h)].Soient j ∈ C[A′,A] et k ∈ CT[(B,h), (B′,h′)].Pour toutf ∈ CT[(T(A), µA), (B,h)], on ak f T( j) ηA′ = k f ηA j donc le diagramme

CT[(T(A), µA), (B,h)]αTA,(B,h) - C[A, B]

CT[(T(A′), µA′), (B′,h′)]

k − FT( j)

?

αTA′,(B′,h′)

- C[A′, B′]

GT(k) − j

?.

commute dans la catégorieEns.Pour toutg ∈ C[A, B], k g j = k h T(g) T( j) ηA′ donc le diagramme

CT[(T(A), µA), (B,h)] βTA,(B,h)

C[A, B]

CT[(T(A′), µA′), (B′,h′)]

k − FT( j)

?

αTA′,(B′,h′)

- C[A′, B′]

GT(k) − j

?.


commute dans la catégorieEns.Pour toutf ∈ CT[(T A, µA), (B,h)], on ah′ T(k f ηA j) = k f T( j) donc le diagramme

CT[(T(A), µA), (B,h)]αTA,(B,h) - C[A, B]

CT[(T(A′), µA′), (B′,h′)]

k − FT( j)

?βTA′,(B′,h′)

C[A′, B′]

GT(k) − j

?.

commute dans la catégorieEns.Pour toutg ∈ C[A, B], k h T(g) T( j) = h′ T(k g j) donc le diagramme

CT[(T(A), µA), (B,h)] βTA,(B,h)

C[A, B]

CT[(T(A′), µA′), (B′,h′)]

k − FT( j)

?βTA′,(B′,h′)

C[A′, B′]

GT(k) − j

?.

commute dans la catégorieEns.

On remarque que la monade faible induite par la semi-adjonction de la proposition précédente estT.

La catégorieCT

On généralise la construction de catégorie de Kleisli d’une monade à celle d’une monade faible.

Définition 3.2.27. Les données suivantes définissent une catégorieCT :– les objets sont les mêmes que ceux deC ;– une flèche f de A vers B est une flèche de A vers T B dansC telle que T(idB) f = f ;– pour tout objet A, l’identité estηA ;– pour toute flèche f de A vers B et pour toute flèche g de B vers C, gCT f = µC T(g) f .

Hoofman, dans [30], généralise les catégories de Kleisli aux semi-monades : étant donnée unemonade faibleT, sa catégorie de Kleisli coïncide avec la catégorie de Kleisli de la semi-monadeinduite par la monade faibleT.

3.2.5 Semi-foncteurs monoïdaux et monades faibles monoïdales

Avant de donner la définition demonade faible monoïdale, on donne celles desemi-foncteurmonoïdal entre deux catégories monoïdaleset de transformation naturelle monoïdale entre semi-foncteurs monoïdaux.


Semi-foncteurs monoïdaux

La notion desemi-foncteur monoïdalentre deux catégories monoïdales généralise celle defonc-teur monoïdal.

Définition 3.2.28. Un semi-foncteur monoïdal(F,m, n) d’une catégorie monoïdale(C,⊗, I , α, λ, ρ)vers une catégorie monoïdale(C′,⊗′, I ′, α′, λ′, ρ′) est un triplet consistant en un semi-foncteur F deC versC′, une transformation naturelle normalem de⊗′ (F × F) vers F ⊗ et une flèchen dansC′

de I′ vers F(I ) tels que les quatre diagrammes

F(A) ⊗′ (F(B) ⊗′ F(C))α′F(A),F(B),F(C)- (F(A) ⊗′ F(B)) ⊗′ F(C)

F(A) ⊗′ (F(B⊗C))

idF(A) ⊗mB,C

?(F(A⊗ B) ⊗′ F(C))

mA,B ⊗ idF(C)

?

F(A⊗ (B⊗C))

mA,B⊗C

?

F(αA,B,C)- F((A⊗ B) ⊗C)

mA⊗B,C

?

(1)

F(A) ⊗′ I ′ρ′F(A)- F(A)

F(A) ⊗′ F(I )

idF(A) ⊗′ n

?

F(A⊗ I )

mA,I

?

F(ρA)- F(A)

F(idA)

?

(2)

F(A) λ′F(A)

I ′ ⊗′ F(A)

F(I ) ⊗′ F(A)

n ⊗′ idF(A)

?

F(A)

F(idA)

?

F(λA)F(A⊗ I )

mI ,A

?

(3)


In - F(I )

F(I )

F(idI )

6

n-

(4)


Remarque 3.2.29.Du fait de la normalité dem, les diagrammes (2) et (3) sont respectivement équi-valents aux deux diagrammes

F(A) ⊗′ I ′ρ′F(A)- F(A)

F(A) ⊗′ F(I )

F(idA) ⊗′ n

?

F(A⊗ I )

mA,I

?

F(ρA)- F(A)

F(idA)

?

et

F(A) λ′F(A)

I ′ ⊗′ F(A)

F(I ) ⊗′ F(A)

n ⊗′ F(idA)

?

F(A)

F(idA)

?

F(λA)F(A⊗ I ) .

mI ,A

?

La définition detransformation naturelle monoïdaleentre deux semi-foncteurs monoïdaux géné-ralise celle entre deux foncteurs monoïdaux.

Définition 3.2.30. Soient(F,m, n) et (F′,m’, n’) deux semi-foncteurs monoïdaux d’une catégorie mo-noïdale(C,⊗, I , α, λ, ρ) vers une catégorie monoïdale(C′,⊗′, I ′, α′, λ′, ρ′). Une transformation natu-relle monoïdaleθ de(F,m, n) vers(F′,m’, n’) est une transformation naturelle de F vers F′ telle que,


pour tous objets A et B deC, le diagramme

F(A) ⊗ F(B)mA,B- F(A⊗ B)

F′(A) ⊗ F′(B)

θA ⊗ θB

?

m’A,B- F′(A⊗ B)

θA⊗B

?

et le diagramme

I ′n - F(I )

F′(I )

θI

?

n’

-


Pour toute catégorie monoïdaleC, on définit une catégorie1/2End(C) :– les objets sont les semi-foncteurs monoïdaux deC versC ;– une flèche de (F,m, n) vers (F′,m’, n’) est une transformation naturelle monoïdale de (F,m, n)

vers (F′,m’, n’) ;– l’identité de (F,m, n) estidF ;– la composition est•.

Monades faibles monoïdales

Définition 3.2.31. Une monade faible monoïdale dans une catégorie monoïdaleC est un monoïdedans la catégorie semi-monoïdale stricte(1/2End(C), , idC).

La proposition suivante donne une caractérisation des monades faibles monoïdales dans une caté-gorie monoïdaleC.

Proposition 3.2.32. ((T,m, n), µ, η) est une monade faible monoïdale dans une catégorie monoïdaleC = (C,⊗, I , α, λ, ρ) si, et seulement si,

– (T, µ, η) est une monade faible dans la catégorieC ;– (T,m, n) est un semi-foncteur monoïdal deC versC ;– µ est une transformation naturelle monoïdale de(T,m, n) vers(T,m, n) (T,m, n) ;– etη est une transformation naturelle monoïdale de(T,m, n) vers idC.


Exemple 3.2.33.Soit(T, δ,d) la comonade faible de l’Exemple 3.2.15.– Pour tous objets A et B deRel, on pose

mA,B = ((〈α1, . . . , αn〉, 〈β1, . . . , βn〉), 〈(ασ(1), βτ(1)), . . . , (ασ(n), βτ(n))〉) ; σ, τ ∈ Sn .


– On posen = (∗, 〈∗, . . . , ∗︸︷︷︸n fois

〉) ; n ∈ N.

((T,m, n), µ, η) est une comonade faible monoïdale dans la catégorie monoïdaleR = (Rel,⊗, I , α, λ, ρ), où⊗ est le produit cartésien ensembliste et I est le singleton∗.

Monades faibles monoïdales symétriques

Maintenant que l’on sait ce qu’est un semi-foncteur monoïdal entre deux catégories monoïdales,la définition de semi-foncteur monoïdal symétrique ne pose aucune difficulté.

Définition 3.2.34. SoientC = (C,⊗, I , α, λ, ρ, γ) et C′ = (C′,⊗′, I ′, α′, λ′, ρ′, γ′) deux catégoriesmonoïdales symétriques. Un semi-foncteur monoïdal symétrique deC versC′ est un triplet(F,m, n)tel que :

(i) (F,m, n) est un semi-foncteur monoïdal deC versC′ ;

(ii) de plus, le diagramme

F(A) ⊗′ F(B)γ′F(A),F(B)- F(B) ⊗′ F(A)

F(A⊗ B)

mA,B

?

F(γA,B)- F(B⊗ A)

mB,A

?

commute dans la catégorieC′.

Un long calcul montre permet de montrer le fait suivant.

Fait 3.2.35. Si l’on a un semi-foncteur monoïdal symétrique(F,m, n) deC = (C,⊗, I , α, λ, ρ, γ) vers(C′,⊗′, I ′, α′, λ′, ρ′, γ′), alors le diagramme

(T(A) ⊗′ T(A)) ⊗′ (T(B) ⊗ T(B))∼′T(A),T(B)- (T(A) ⊗′ T(B)) ⊗′ (T(A) ⊗′ T(B))

T(A⊗ A) ⊗′ T(B⊗ B)

mA,A ⊗′ mB,B

?T(A⊗ B) ⊗′ T(A⊗ B)

mA,B ⊗′ mA,B

?

T((A⊗ A) ⊗ (B⊗ B))

mA⊗A,B⊗B

?

T(∼A,B)- T((A⊗ B) ⊗ (A⊗ B))

mA⊗B,A⊗B

?

commute dans la catégorieC′.

Définition 3.2.36. Une monade faible monoïdale symétriquedans une catégorie monoïdale symé-trique C = (C,⊗, I , α, λ, ρ, γ) est une monade faible monoïdale((T,m, n), µ, η) dans la catégoriemonoïdale(C,⊗, I , α, λ, ρ) telle que(T,m, n) est un semi-foncteur monoïdal symétrique deC versC.


Exemple 3.2.37.La catégorie monoïdaleR = (Rel,⊗, I , α, λ, ρ) se prolonge naturellement en unecatégorie monoïdale symétrique(Rel,⊗, I , α, λ, ρ, γ) que l’on notera encoreR. Alors la comonadefaible monoïdale de l’Exemple 3.2.33 est une comonade faible monoïdale symétrique dans la catégo-rie monoïdale symétriqueR.

3.3 Interpréter la logique linéaire et le lambda-calcul

3.3.1 Le fragment multiplicatif exponentiel

Nous allons maintenant pouvoir donner notre définition demodèle de IMELL. Afin de distinguerles deux définitions, celle de [9] rappelée au début du chapitre et la Définition 3.3.2 donnée ci-dessous,nous modifions la terminologie en appelant la première “modèle extensionnel de IMELL”. En fait,nous allons plutôt considérer une autre définition demodèle extensionnel de IMELL, bien entenduéquivalente à la première, afin de mieux comparer les définitions demodèle extensionnel de IMELLetdemodèle de IMELL.

Définition 3.3.1. Un modèle extensionnel de IMELLest un quadruplet(C,L, c,w) tel que :– C = (C,⊗, I , α, λ, ρ, γ) est une catégorie monoïdale symétrique fermée ;– L = ((T,m, n), δ,d) est une comonade monoïdale symétrique dansC ;– c est une transformation naturelle monoïdale de(T,m, n) vers⊗ ∆C (T,m, n) et w est une

transformation naturelle monoïdale de(T,m, n) vers∗C telles que– pour tout objet A deC, ((T A, δA), cA,wA) est un comonoïde cocommutatif dans(CT,⊗T,

(I , n), α, λ, ρ)– et pour tout objet A deC, δA est un morphisme de comonoïdes de((T(A), δA), cA,wA) vers

((T(T(A)), δT(A)), cT(A),wT(A)) ,oùT est la comonade(T, δ,d) dansC etCT est la catégorie desT-cogèbres.

On a seulement remplacé

pour tout f ∈ CT[(T(A), δA), (T(B), δB)], f est un morphisme de comonoïdes

par

pour tout objetA deC, δA est un morphisme de comonoïdes de ((T(A), δA), cA,wA) vers((T(T(A)), δT(A)), cT(A),wT(A)) .

En effet, étant donné un modèle extensionnel comme dans la Définition 3.3.1,sif est une flèchede (T(A), δA) vers (T(B), δB) dansCT, alors les deux diagrammes

T(A)f - T(B)

T(T(A))

δA

?

T( f )- T(T(B))

δB

?

T(dB)- T(B)

idT(B)

-

3.3. INTERPRÉTER LA LOGIQUE LINÉAIRE ET LE LAMBDA-CALCUL 55

et

T(A)δA - T(T(A))

T( f ) - T(T(B))T(dB) - T(B)

T(A) ⊗ T(A)

cA

?

δA ⊗ δA

- T(T(A)) ⊗ T(T(A))

cT(A)

?

T( f ) ⊗ T(F)- T(T(B)) ⊗ T(T(B))

cT(B)

?

T(dB) ⊗ T(dB)- T(B) ⊗ T(B)

cB

?


Définition 3.3.2. Un modèle de IMELLest un quadruplet(C,L, c,w) tel que :– C = (C,⊗, I , α, λ, ρ, γ) est une catégorie monoïdale symétrique fermée ;– L = ((T,m, n), δ,d) est une comonadefaiblemonoïdale symétrique dansC ;– c est une transformation naturelle monoïdale de(T,m, n) vers⊗ ∆C (T,m, n) et w est une

transformation naturelle monoïdale de(T,m, n) vers∗C telles que– pour tout objet A deC, ((T(A), δA), cA,wA) est un comonoïde cocommutatif dans(CT, ⊗T,

(I , n), α, λ, ρ)– et pour tout objet A deC, δA est un morphisme de comonoïdes de(T(A), δA) vers

(T(T(A)), δT(A)) ,oùT est la comonade faible(T, δ,d) dansC etCT est la catégorie définie dans la Sous-Section3.2.4

Comparons les deux définitions : on a juste remplacé “comonade monoïdale symétrique” par“comonadefaiblemonoïdale symétrique”.

Donnons un exemple d’un modèle de IMELL, quin’est pasun modèle extensionnel.

Exemple 3.3.3.Soit((T,m, n), δ,d) la comonade faible monoïdale de l’Exemple 3.2.37.– Pour tout objet A deRel, on pose

cA = (a, (a1,a2)) ; a1,a2 ∈ A<ω et a∈ S(a1,a2) .

– Pour tout objet A deRel, on posewA = (〈〉, ∗) .

(R, ((T,m, n), δ,d), (cA)A∈ob(Rel), (wA)A∈ob(Rel)) est un modèle de IMELL.

Interpréter les preuves en calcul des séquents ne pose aucune difficulté, on peut faire commed’habitude, c’est-à-dire qu‘à une preuveπ deA1, . . . ,An ` A on associe une flèche de~A1 ⊗ . . . ⊗ An

vers~A. L’interprétation se fait par induction sur la preuveπ. Bien entendu, dans le cas où l’on a

π =π0

A1, . . . ,Am ` Aπ1

B1, . . . , Bn,A ` C

B1, . . . , Bn,A1, . . . ,Am ` C

,

avecn = 0, on aura~π = ~π1 ~π0. Dans le cas oùn , 0, on utilise le fait que pour tout objetB deC, il existe une adjonction (− ⊗ B, B( −, ξB). En effet, dans le cas oùn = 0, on peut remarquer quel’on a ~π1 ~π0 = εC,A (ξA

I ,C(~π1 λA) ⊗ ~π0) λ⊗mj=1 A j

−1. Dans le cas oùn , 0, on pose donc

~π = εC,A (ξA⊗ni=1 Bi ,C

(~π1) ⊗ ~π0) .

L’analyse de la sous-section précédente devrait avoir convaincu le lecteur que l’interprétation d’unepreuve sera invariante au cours de la réduction. La preuve se fait par une longue et pénible induction.

Quelques commentaires :


– Il est bien connu que pour passer du fragment intuitionniste au cas classique, il suffit d’avoirune catégorie∗-autonome au lieu d’une catégorie monoïdale symétrique fermée.

– L’axiomatique que l’on a donnée ne capture pas des modèles qui ne respecteraient pas êta auniveau de MLL : le lecteur a déjà compris que s’il voulait donner une telle axiomatique, ildevrait remplacer le foncteur⊗ par un semi-foncteur...

– Comme on l’a déjà suggéré, on pourrait aussi avoir une axiomatique plus faible si l’on ne vou-lait considérer que des réseaux êta-expansés : c’est alors une semi-comonade au lieu d’unecomonade faible que l’on devrait avoir. On a aussi vu que, d’un point de vue catégorique, lanotion de semi-monade ne pose aucune difficulté, alors que celle de monade faible est assezcurieuse, car, pour l’instant, on ne voit pas comment la faire rentrer dans une théorie généraledes monades (contrairement à la notion de semi-monade). Ce sont les réseaux de la logiquelinéaire, les réseaux différentiels, le modèle que l’on vient de donner en exemple et des consi-dérations catégoriques formelles qui ont donné naissance à (et justifient) cette curieuse notionde monade faible et non de pures considérations catégoriques formelles (qui, elles, suggèrentplutôt la notion de semi-monade). Le fait que les réseaux disent que la contraction et le diggingsont des transformations naturelles non normales est troublant d’un point de vue catégorique...

– On peut se demander s’il n’y aurait pas une axiomatique à la Benton (voir [8]) équivalente àcelle que l’on a donnée ici. Il est raisonnable de penser que si l’on demande une semi-adjonctionmonoïdale symétrique normale entre une catégorie monoïdale symétrique et une catégorie car-tésienne faible (on n’explicitera pas ici ce que devrait être unesemi-adjonction monoïdale symé-trique normale, mais le lecteur trouvera par contre une présentation des catégories cartésiennesfermées faibles dans la sous-section suivante - en fait, il revient peut-être au même de deman-der seulement que la catégorie soit cartésienne), on obtiendra quelque chose de trop faible :une semi-comonade monoïdale symétrique avec une contraction normale, etc... Mais on peutconjecturer que notre axiomatique est équivalente à la donnée d’une semi-adjonction monoïdalesymétrique normale entre une catégorie monoïdale symétrique et une catégorie cartésienne, ad-jonction dont on demande, en plus, que le semi-foncteur gauche est un foncteur.

3.3.2 Une interprétation du lambda-calcul simplement typé

On prétend qu’étant donné un modèleM de IMELL, on peut construire une sémantique dulambda-calcul simplement typé en s’inspirant de la traduction de Girard de la logique intuitionnistedans IMELL, traduction qui peut être résumée par le slogan :A⇒ B = !A( B. On va donc construireune catégorie, que l’on noteraΛ(M), et exhiber sur cette catégorie une certaine structure catégoriquepermettant de donner une interprétation du lambda-calcul invariante parβ-réduction. Cette structurecatégorique sera une structure decatégorie cartésienne fermée faible. Cette notion, introduite parMartini dans [41], est une variante de la notion desemi-catégorie cartésienne ferméeintroduite parHayashi dans [29]. Plus précisément, les deux notions sont des affaiblissements de la notion deca-tégorie cartésienne fermée, celle decatégorie cartésienne fermée faibleétant plus forte que celle desemi-catégorie cartésienne fermée, car elle admet un produit cartésien.

Définition 3.3.4 ([41]). Une catégorieK est unecatégorie cartésienne fermée faiblesi, et seulement,si

(i) elle est cartésienne (i.e. elle a un objet terminal1 et un produit cartésien& ) ;

(ii) pour tout objet A deK, le foncteur−&A a un semi-adjoint à droite.

Une catégorie cartésienne fermée faible est une catégorie sur laquelle il existe uneune structurecartésienne fermée faible.


Définition 3.3.5. Une structure cartésienne fermée faibleest un 10-uplet(C,1, !,×, π1, π2, 〈·, ·〉, ⇒,

Λ,ev) tel que– (C,1, !,×, π1, π2, 〈·, ·〉) est une structure cartésienne ;– pour tous objets A et B, A⇒ B est un objet deC ;– pour toute flèche f de A× B vers C,Λ( f ) est une flèche de A vers B⇒ C ;– ev= (evA,B)A,B∈C est une flèche de(B⇒ A) × B vers A ;– pour toute flèche h de C× B vers A, evA,B 〈Λ(h) π1

C,B, π2C,B〉 = h ;

– pour toute flèche h de D vers A, pour toute flèche g de A×B vers C, on aΛ(g〈hπ1A,B, π

2A,B〉) =

Λ(g) h.

Autrement dit, une structure cartésienne fermée faible est une structure cartésienne fermée saufque l’on n’a pas nécessairement

Λ(evA,B 〈k π1C,B, π

2C,B〉) = k .

On n’aura donc pas nécessairement un isomorphisme entreC[A× B,C] etC[A, B⇒ C], mais on auraune rétraction

C[A× B,C] C C[A, B⇒ C] .

Au lieu que l’objetA⇒ B représente exactement les flèches deA versB, A⇒ B peut avoir plusieurspoints qui représentent la même flèche.

Contrairement aux structures cartésiennes fermées, il peut y avoir plusieurs structures carésiennesfermées faibles non isomorphes sur la même catégorie.

Dans cette sous-section, on suppose queM = (C,L, c,w) est un modèle de IMELL, avecC =(C,⊗, I , α, λ, ρ) etL = ((T,m, n), δ,d).

La catégorieΛ(M)

Définition 3.3.6. Pour tout entier n, pour tout objet A deC, on définit, par récurrence sur n, cnA ∈

C[T(A),⊗n

i=1 T(A)] :– si n= 0, alors cnA = wA ;– si n= 1, alors cnA = idT(A) ;– si n≥ 1, alors cn+1

A = (cnA ⊗ idT(A)) cA.

Remarque 3.3.7.Pour tout entier n, pour tout objet A deC, on a cann ⊗n

i=1 wA cnA = wA .

Définition 3.3.8. Pour tout entier m, pour tous objets A1, . . . , Am deC, on définit, par induction surm,m〈A1,...,Am〉 ∈ C[

⊗mj=1 T Aj ,T

⊗mj=1 A j ] :

– si m= 0, m〈A1,...,Am〉 = n ;– si m= 1, m〈A1,...,Am〉 = T(idA1) ;– m〈A1,...,Am+1〉 = m⊗m

j=1 A j ,Am+1 (m〈A1,...,Am〉 ⊗ T(idAm+1)).

Fait 3.3.9. Pour tout entier q≥ 1, pour tous objets C1, . . . ,Cq deC, on a

T(ρ⊗qk=1 Ck

) m〈C1,...,Cq,I〉 (id⊗qk=1 T(Ck) ⊗ n)

= m〈C1,...,Cq〉 ρ⊗q

k=1 T(Ck) .


Démonstration.On a

T(ρ⊗qk=1 Ck

) m〈C1,...,Cq,I〉 (id⊗qk=1 T(Ck) ⊗ n)

= T(ρ⊗qk=1 Ck

) mq⊗

k=1

Ck, I (idT(⊗q

k=1 Ck) ⊗ n) (m〈C1,...,Cq〉 ⊗ idI )

= T(id⊗qk=1 Ck

) ρT(⊗q

k=1 Ck) (m〈C1,...,Cq〉 ⊗ idI )

(car (T,m, n) est monoïdal)

= T(id⊗qk=1 Ck

) m〈C1,...,Cq〉 ρ⊗q

k=1 T(Ck)

(par naturalité deρ)

= m〈C1,...,Cq〉 ρ⊗q

k=1 T(Ck)

(par normalité dem).

Définition 3.3.10. Pour tout entier n≥ 1, pour tout entier i0 tel que1 ≤ i0 ≤ n et pour tous objetsA1, . . . , An deC, on définit, par induction sur n, di0

〈A1,...,An〉∈ C[⊗n

i=1 T Ai ,Ai0] :

– d1〈A1〉= dA1 ;

– pour i0 ≤ n, di0〈A1,...,An+1〉

= di0〈A1,...,An〉

ρ⊗ni=1 T Ai

(⊗n

i=1 idT Ai ⊗ wAn+1) ;

– dn+1〈A1,...,An+1〉

= λAn+1 ((w⊗ni=1 T(Ai ) m〈T(A1),...,T(An)〉

⊗ni=1 δAi ) ⊗ dAn+1).

Remarque 3.3.11.Soit n un entier non nul. Si pour tout i∈ 1, . . . ,n, fi est une flèche de Ai vers Bi ,alors on a

di0〈B1,...,Bn〉

n⊗i=1

T( fi) = fi0 di0〈A1,...,An〉

.

On veut montrer que les données suivantes définissent bien une catégorieΛ(M) :– un objet deΛ(M) est un élément de la forme〈A1, . . . ,Am〉, où m est un entier quelconque et

A1, . . . , Am sont des objets deC ;– une flèche de〈A1, . . . , Am〉 vers〈B1, . . . , Bn〉 est un élément de la forme〈 f1, . . . , fn〉, où fi ∈C[⊗m

j=1 T(A j), Bi ] tel que fi ⊗m

j=1 T(idA j ) = fi ;

– l’identité de〈A1, . . . , Am〉 est〈d1A1,...,Am

, . . . ,dmA1,...,Am

〉 ;– si f est une flèche de〈A1, . . . , Am〉 vers 〈B1, . . . , Bn〉 et g = 〈g1, . . . , gp〉 est une flèche de〈B1, . . . , Bn〉 vers〈C1, . . . , Cp〉, alorsg Λ(M) f = 〈h1, . . . , hp〉 avec

hk = g n⊗

i=1

T( fi) cn⊗mj=1 T Aj

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j .

Pour l’instant, on sait que la donnée des objets et des flèches déterminent un graphe, que l’onnotera encoreΛ(M). Il faut vérifier que la donnée de la composition et des identités fournit bien unecatégorie.

Définition 3.3.12. Pour tous objets A= 〈A1, . . . ,Am〉 et B= 〈B1, . . . , Bn〉 deΛ(M), pour toute flèche〈 f1, . . . , fn〉 de A vers B dansΛ(M), pour toute flèche g de

⊗ni=1 T(Ai) vers B dansC, on pose

g M 〈 f1, . . . , fn〉 = g n⊗

i=1


m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j .


Remarque 3.3.13.Pour toute flèche f= 〈 f1, . . . , fn〉 de 〈A1, . . . ,Am〉 vers〈B1, . . . , Bn〉 dansΛ(M),pour tout g∈ C[

⊗ni=1 T Bi ,C], on a

g M f = (g n⊗

i=1

T(idBi )) M f .

Le lemme suivant montre que sif est une flèche de〈A1, . . . ,Am〉 vers 〈B1, . . . , Bn〉 dansΛ(M)et sig est une flèche de〈B1, . . . , Bn〉 vers〈C1, . . . ,Cp〉 dansΛ(M), alorsg Λ(M) f est une flèche de〈A1, . . . ,Am〉 vers〈C1, . . . ,Cp〉.

Lemme 3.3.14.Pour tous objets A= 〈A1, . . . ,Am〉 et B = 〈B1, . . . , Bn〉 deΛ(M), pour toute flèche〈 f1, . . . , fn〉 de A vers B dansΛ(M), pour toute flèche g de

⊗ni=1 T(Ai) vers B dansC, on a

g M 〈 f1, . . . , fn〉 = (g M 〈 f1, . . . , fn〉) m⊗j=1

T(idA j ) .

Démonstration.On a

g M 〈 f1, . . . , fn〉

= g M 〈 f1 m⊗j=1

T(idA j ), . . . , fn m⊗j=1

T(idA j )〉

= g n⊗

i=1

T( fi m⊗j=1

T(idA j )) cn⊗mj=1 T Aj

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

(par définition deM)

= g n⊗

i=1

T( fi) n⊗

i=1

T(m⊗j=1

T(idA j )) cn⊗mj=1 T Aj

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

= g n⊗

i=1


T(m⊗j=1

T(idA j )) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

(par naturalité decn)

= g n⊗

i=1


m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

T(T(idA j )) m⊗j=1

δA j

(par naturalité dem)

= g n⊗

i=1


m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

m⊗j=1

T(idA j )

(par naturalité deδ)

= (g M 〈 f1, . . . , fn〉) m⊗j=1

T(idA j )

(par définition deM) .

Le lemme suivant montre l’associativité deΛ(M).


Lemme 3.3.15.Soient f = 〈 f1, . . . , fn〉 une flèche de〈A1, . . . ,Am〉 vers 〈B1, . . . , Bn〉 dansΛ(M),g = 〈g1, . . . ,gp〉 une flèche de〈B1, . . . , Bn〉 vers〈C1, . . . ,Cp〉 dansΛ(M) et h= 〈g1, . . . ,gq〉 une flèchede〈C1, . . . ,Cp〉 vers〈D1, . . . ,Dq〉 dansΛ(M). Pour tout k∈ 1, . . . ,q, on a

hk M 〈g1 M f , . . . ,gp M f 〉

= hk

p⊗j=1

T(g j M f ) c⊗mj=1 T(A j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

= hk

p⊗j=1

T(g j

n⊗i=1

T( fi) cn⊗mj=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j ) c⊗mj=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

= hk

p⊗j=1

T(g j) c⊗ni=1 T(Ai ) T(

n⊗i=1


m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

(par naturalité de cp)

= hk

p⊗j=1


n⊗i=1


) T(m〈T(A1),...,T(Am)〉)

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

T(δA j ) m⊗j=1

δA j


= hk

p⊗j=1


n⊗i=1


) T(m〈T(A1),...,T(Am)〉)

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δT(A j )

m⊗j=1

δA j

(car (T, δ,d) est une comonade faible)

= hk

p⊗j=1


n⊗i=1


)

δ⊗mj=1 T(A j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

(par monoïdalité deδ)


= hk

p⊗j=1


n⊗i=1

T( fi)) m〈

m⊗j=1

T(A j), . . . ,m⊗j=1

T(A j)︸︷︷︸n fois

〉

n⊗i=1

δ⊗mj=1 T(A j ) cn

T(⊗m

j=1 T(A j )) δ⊗m

j=1 T(A j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

(car c⊗mj=1 T(A j ) est un morphisme de cogèbres)

= hk

p⊗j=1

T(g j) cp⊗ni=1 T(Ai )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

n⊗i=1

T(T( fi)) n⊗

i=1

δ⊗mj=1 T(A j ) cn⊗m

j=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j


= hk

p⊗j=1

T(g j) cp⊗ni=1 T(Ai )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

n⊗i=1

δAi

m⊗j=1

T( f j) cn⊗mj=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j


= (hk M g) M f .

La preuve du lemme suivant est donnée en annexe.

Lemme 3.3.16.Pour tout entier q≥ 1, on a

(T(ρ⊗qk=1 T Bk

(q⊗

k=1

idT Bk ⊗ wBq+1))

⊗T(λBq+1 ((w⊗qk=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

δBk) ⊗ dBq+1)))

c⊗q+1k=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq+1)〉

q+1⊗k=1

δBk

= (m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

δBk) ⊗ T(idBq+1) .

Lemme 3.3.17.Pour tout objet〈A1, . . . ,Am〉 ∈ Λ(M), on a

d⊗mj=1 T(A j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j =

m⊗j=1

idT(A j ) .

Démonstration.On a

d⊗mj=1 T(A j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j =

m⊗j=1

dT(A j )

m⊗j=1

δA j

(card est monoïdale)


=

m⊗j=1

(dT(A j ) δA j )

=

m⊗j=1

idT(A j )

(car (T, δ,d) est une comonade faible).

Lemme 3.3.18.Pour tout entier n≥ 1, pour tout entier i tel que1 ≤ i ≤ n, pour tout objet A deC, ona

diA, . . . , A︸︷︷︸

n fois

cnA = dA .

Démonstration.Par récurrence surn.

Enfin, les deux lemmes qui suivent montrent que〈d1〈A1,...,Am〉

, . . . ,dm〈A1,...,Am〉

〉 est neutre pour lacompositionΛ(M).

Lemme 3.3.19.Pour tout f ∈ C[⊗m

j=1 T(A j), B], on a

f M 〈d1A1,...,Am

, . . . ,dmA1,...,Am

〉 = f m⊗j=1

T(idA j ) .

Démonstration.On montre par récurrence surm que l’on a

m⊗j=1

T(d j〈A1,...,Am〉

) cm⊗mj=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j =

m⊗j=1

T(idA j ) .

Si m= 0, on a

m⊗j=1

T(d j〈A1,...,Am〉

) cm⊗mj=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

= idI wI n idI

= idI

(par monoïdalité dew)

=

m⊗j=1

T(idA j ) .

Si m= 1, on a

m⊗j=1

T(d j〈A1,...,Am〉

) cm⊗mj=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

= T(dA1) idT(T(A1)) T(idT(A1)) δA1

= T(idA1)



=

m⊗j=1

T(idA j ) .

Supposons le lemme démontré pour un certain entierm≥ 1. On a

m+1⊗j=1

T(d j〈A1,...,Am+1〉

) cm+1⊗m+1j=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am+1)〉

m+1⊗j=1

δA j

= (m⊗j=1

T(d j〈A1,...,Am+1〉

) ⊗ T(dm+1〈A1,...,Am+1〉

)) (cm⊗m+1j=1 T(A j )

⊗ id⊗m+1j=1 T(A j )

) c⊗m+1j=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am+1)〉

m+1⊗j=1

δA j

= ((m⊗j=1

T(d j〈A1,...,Am〉

) cm⊗mj=1 T(A j )

T(ρ⊗mj=1 T(A j ) (

m⊗j=1

idT(A j ) ⊗ wAm+1)))

⊗(T(λAm+1 ((w⊗mj=1 T(A j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j ) ⊗ dAm+1))))

c⊗m+1j=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am+1)〉

m+1⊗j=1

δA j

(par naturalité decm)

= (m⊗j=1

T(d j〈A1,...,Am〉

) cm⊗mj=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j ) ⊗ T(idAm+1)

(par le Lemme 3.3.16)

=

m+1⊗j=1

T(idA j )

(par hypothèse d’induction).

Lemme 3.3.20.Soit n un entier non nul et soit k un entier tel que1 ≤ k ≤ n. Pour toute flèche〈 f1, . . . , fn〉 de〈A1, . . . ,Am〉 vers〈B1, . . . , Bn〉 dansΛ(M), on a

dkB1,...,Bn

M 〈 f1, . . . , fn〉 = fk .

Démonstration.Par induction surn :– sin = 1, on a

dkB1,..., Bn

M 〈 f1, . . . , fn〉 = d1B1 T( f1) c1⊗m

j=1 T AjmT A1,..., T Am

m⊗j=1

δA j

= dB1 T( f1) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j


= f1 d⊗mj=1 T Aj

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

(par naturalité ded)

= f1(par le Lemme 3.3.17)

= fk ;

– Si 1≤ k ≤ n, on a

dkB1,..., Bn+1

M 〈 f1, . . . , fn+1〉

= dkB1,...,Bn

ρ⊗ni=1 T(Bi ) ((

n⊗i=1


) ⊗ (wBn+1 T( fn+1)) c⊗mj=1 T(A j )

= dkB1,...,Bn

ρ⊗ni=1 T(Bi ) ((

n⊗i=1


) ⊗ w⊗mj=1 T(A j )) c⊗m

j=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

(par naturalité dew)

= dkB1,..., Bn

n⊗i=1


m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

(car (T(m⊗j=1

T(A j)), c⊗mj=1 T(A j ),w

⊗mj=1 T(A j )) est un comonoïde dansC)

= fk dkm⊗j=1

T(A j), . . . ,m⊗j=1

T(A j)︸︷︷︸n fois

cn⊗mj=1 T Aj

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

= fk(par les Lemmes 3.3.18 et 3.3.17).

– Sik = n+ 1, on a

dkB1,..., Bn+1

M 〈 f1, . . . , fn〉 = λBn+1 (w⊗mj=1 T(A j ) ⊗ (dBn+1 T( fn+1)))

c⊗mj=1 T(A j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

(par la Remarque 3.3.7)

= dBn+1 T( fn+1) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

((T(m⊗j=1

T(A j)), c⊗mj=1 T(A j ),w

⊗mj=1 T(A j )) est un comonoïde dansC)


= fn+1 d⊗mj=1 T Aj

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j


= fn+1


= fk .

La catégorieΛ(M) est donc bien définie.

Fait 3.3.21. Pour tout entier m, pour tous objets A1, . . . ,Am deC, on a

δ⊗mj=1 T(A j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

= T(m〈T(A1),...,T(Am)〉) T(m⊗j=1

δA j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j .

Démonstration.On a

δ⊗mj=1 T(A j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

= T(m〈T(A1),...,T(Am)〉) m〈T(T(A1)),...,T(T(Am))〉

m⊗j=1

δT(A j )

m⊗j=1

δA j



m⊗j=1

(δT(A j ) δA j )


m⊗j=1

(T(δA j ) δA j )



m⊗j=1

T(δA j ) m⊗j=1

δA j

= T(m〈T(A1),...,T(Am)〉) T(m⊗j=1

δA j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

(par naturalité dem).

Lemme 3.3.22.Soient– 〈 f1, . . . , fn〉 ∈ Λ(M)[〈A1, . . . ,Am〉, 〈B1, . . . , Bn〉]– et〈g1, . . . ,gp〉 ∈ Λ(M)[〈B1, . . . , Bn〉, 〈C1, . . . ,Cp〉].


On a

id⊗pk=1 T(Ck) M (〈g1, . . . ,gp〉 Λ(M) 〈 f1, . . . , fn〉)

= (id⊗pk=1 T(Ck) M 〈g1, . . . ,gp〉) (id⊗n

i=1 T(Bi ) M 〈 f1, . . . , fn〉) .

Démonstration.On a

(id⊗pk=1 T(Ck) M 〈g1, . . . ,gp〉) (id⊗n

i=1 T(Bi ) M 〈 f1, . . . , fn〉)

=

p⊗k=1

T(gk) cp⊗ni=1 T(Bi )

m〈T(B1),...,T(Bn)〉

n⊗i=1

δBi

n⊗i=1


m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

=

p⊗k=1


m〈T(B1),...,T(Bn)〉

n⊗i=1

T(T( fi))

n⊗i=1


j=1 T(A j )m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j


=

p⊗k=1


T(n⊗

i=1

T( fi)) m〈T(

m⊗j=1

T(A j)), . . . ,T(m⊗j=1

T(A j))︸︷︷︸n fois

〉

n⊗i=1


j=1 T(A j )m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j


=

p⊗k=1


T(n⊗

i=1

T( fi)) T(cn⊗mj=1 T(A j )

)

δ⊗mj=1 T(A j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

(carcn⊗mj=1 T(A j ) est un morphisme de cogèbres)

=

p⊗k=1


T(n⊗

i=1

T( fi)) T(cn⊗mj=1 T(A j )

)

T(m〈T(A1),...,T(Am)〉) T(m⊗j=1

δA j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

(par le Fait 3.3.21)

=

p⊗k=1


T(n⊗

i=1


m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j


=

p⊗k=1

T(gk) p⊗

k=1

T(n⊗

i=1


m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j )

cp⊗mj=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

(par naturalité decp)

=

p⊗k=1

(T(gk) T(n⊗

i=1


m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j ))

cp⊗mj=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

= id⊗pk=1 T(Ck) M (〈g1, . . . ,gp〉 Λ(M) 〈 f1, . . . , fn〉)

Par le Lemme 3.3.22, on peut donc définir le semi-foncteurGΛ(M) de la catégorieΛ(M) vers lacatégorieC qui à tout objet〈A1, . . . ,Am〉 deΛ(M) assigne l’objet

⊗mj=1 T(A j) deC et qui à toute flèche

〈 f1, . . . , fn〉 de〈A1, . . . ,Am〉 vers〈B1, . . . , Bn〉 dans la catégorieΛ(M) assigne la flècheid⊗ni=1 T(Bi ) M

〈 f1, . . . , fn〉 de⊗m

j=1 T(A j) vers⊗n

i=1 T(Bi) dans la catégorieC.On noteFΛ(M) le foncteur deC versΛ(M) qui à l’objet A deC assigne l’objet〈A〉 deΛ(M) et à

la flèchef deA versB dans la catégorieC assigne la flèche〈 f dA〉 de〈A〉 vers〈B〉 dans la catégorieΛ(M).

Pour toutf ∈ C[GΛ(M)(〈A1, . . . ,Am〉), B], on pose

αΛ(M)〈A1,...,Am〉,B( f ) = 〈 f

m⊗j=1

T(idAi )〉 .

Pour tout〈g〉 ∈ Λ(M)[〈A1, . . . ,Am〉, FΛ(M)(B)], on pose

βΛ(M)〈A1,...,Am〉,B(〈g〉) = g .

Proposition 3.3.23. (GΛ(M), FΛ(M), αΛ(M), βΛ(M)) est une semi-adjonction de la catégorieΛ(M) versla catégorieC.

Démonstration.Soient j ∈ Λ(M)[〈A′1, . . . ,A′n〉, 〈A1, . . . ,Am〉] et k ∈ C[B, B′].

Pour toutf ∈ C[GΛ(M)(〈A1, . . . ,Am〉), B], on a

〈k f (m⊗j=1

T(idA j ) M j)〉 = 〈(k f m⊗j=1

T(idA j )) M j〉

= 〈((k f m⊗j=1

T(idA j )) M j) n⊗

i=1

T(idA′i)〉


= 〈k f (id⊗mj=1 T(A j ) M j)

n⊗i=1

T(idA′i)〉


donc le diagramme

C[GΛ(M)(〈A1, . . . ,Am〉), B]αΛ(M)〈A1,...,Am〉,B- Λ(M)[〈A1, . . . ,Am〉, FΛ(M)(B)]

C[GΛ(M)(〈A′1, . . . ,A

′n〉), B

′]

k − GΛ(M)( j)

?

αΛ(M)〈A′1,...,A′n〉,B′

- Λ(M)[〈A′1, . . . ,A′n〉, FΛ(M)(B

′)]

FΛ(M)(k) Λ(M) − Λ(M) j

?.

commute dans la catégorieEns.Pour tout〈g〉 ∈ Λ(M)[〈A1, . . . ,Am〉, FΛ(M)(B)], on a

〈(k dB) M 〈g M j〉) = 〈k (g M j)〉

= 〈(k g) (id⊗mj=1 A jM j)〉

= 〈(k g) (id⊗mj=1 A jM j)

n⊗i=1

T(idA′i)〉


donc le diagramme

C[GΛ(M)(〈A1, . . . ,Am〉), B] βΛ(M)〈A1,...,Am〉,B

Λ(M)[〈A1, . . . ,Am〉, FΛ(M)(B)]

C[GΛ(M)(〈A′1, . . . ,A

′n〉), B

′]

k − GΛ(M)( j)

?

αΛ(M)〈A′1,...,A′n〉,B′

- Λ(M)[〈A′1, . . . ,A′n〉, FΛ(M)(B

′)].


?

commute dans la catégorieEns.Pour toutf ∈ C[GΛ(M)(〈A1, . . . ,Am〉), B], on a

k f (id⊗mj=1 A jM j) = k (dB M 〈 f (id⊗m

j=1 A jM j)〉)

= (k dB) M 〈 f (id⊗mj=1 A jM j)〉

= (k dB) M 〈( f m⊗j=1

T(idA j )) M j〉


donc le diagramme

C[GΛ(M)(〈A1, . . . ,Am〉), B]αΛ(M)〈A1,...,Am〉,B- Λ(M)[〈A1, . . . ,Am〉, FΛ(M)(B)]

C[GΛ(M)(〈A′1, . . . ,A

′n〉), B

′]

k − GΛ(M)( j)

?βΛ(M)〈A′1,...,A

′n〉,B′Λ(M)[〈A′1, . . . ,A

′n〉, FΛ(M)(B

′)].


?


commute dans la catégorieEns.Pour tout〈g〉 ∈ Λ(M)[〈A1, . . . ,Am〉, FΛ(M)(B)], on a

k g (id⊗mj=1 A jM j) = k ((g id⊗m

j=1 A j) M j)

= k (g M j)

= k (dB M 〈g M j〉)

= (k dB) M 〈g M j〉

donc le diagramme

C[GΛ(M)(〈A1, . . . ,Am〉), B] βΛ(M)〈A1,...,Am〉,B

Λ(M)[〈A1, . . . ,Am〉, FΛ(M)(B)]

C[GΛ(M)(〈A′1, . . . ,A

′n〉), B

′]

k − GΛ(M)( j)

?βΛ(M)〈A′1,...,A

′n〉,B′Λ(M)[〈A′1, . . . ,A

′n〉, FΛ(M)(B

′)].


?

commute dans la catégorieEns.

Une structure cartésienne fermée faible surΛ(M)

Définition 3.3.24. Pour tout objet A deΛ(M), on pose!A = 〈〉.

Définition 3.3.25. Pour tous objets B1 = 〈B1, . . . , Bn〉 et B2 = 〈Bn+1, . . . , Bn+p〉 deΛ(M), on pose :– B1 ×Λ(M) B2 = 〈B1, . . . , Bn+p〉 ;– π1

B1, B2 = 〈d1〈B1,...,Bn+p〉

, . . . ,dn〈B1,...,Bn+p〉

〉 ∈ Λ(M)[〈B1, . . . , Bn+p〉, 〈B1, . . . , Bn〉] ;

– etπ2B1, B2 = 〈d

n+1〈B1,...,Bn+p〉

, . . . ,dn+p〈B1,...,Bn+p〉

〉 ∈ Λ(M)[〈B1, . . . , Bn+p〉, 〈Bn+1, . . . , Bn+p〉].

Définition 3.3.26. Pour tous f1 = 〈 f1, . . . , fn〉 ∈ Λ(M)[A, 〈B1, . . . , Bn〉], f 2 = 〈 fn+1, . . . , fn+p〉 ∈

Λ(M)[A, 〈Bn+1, . . . , Bn+p〉], on pose〈 f 1, f 2〉M = 〈 f1, . . . , fn+p〉.

Proposition 3.3.27.(Λ(M), 〈〉, !,×Λ(M), π1, π2, 〈·, ·〉M) est une structure cartésienne.

Démonstration.Appliquer le Lemme 3.3.20.

Définition 3.3.28. Soient f∈ Λ(M)[〈A1, . . . ,Am〉,C] et g∈ Λ(M)[〈Am+1, . . . ,Am+n〉,D]. On pose

f ×Λ(M) g = 〈 f Λ(M) π1〈A1,...,Am〉,〈Am+1,...,Am+n〉

,g Λ(M) π2〈A1,...,Am〉,〈Am+1,...,Am+n〉

〉M .

Lemme 3.3.29.Pour tout entier m≥ 1, pour tout f ∈ C[⊗m

j=1 T(A j), B] tel que f⊗m

j=1 T(idA j ) = f ,on a

f M π1〈A1,...,Am〉,〈Am+1〉

= f ρ⊗mj=1 T Aj

(m⊗j=1

idT Aj ⊗ wAm+1) .

Démonstration.On a

f M π1〈A1,...,Am〉,〈Am+1〉

= f M 〈d1A1,...,Am+1

, . . . ,dmA1,...,Am+1

〉


= f M 〈d1A1,...,Am

ρ⊗mj=1 T Aj

(m⊗j=1

idT Aj ⊗ wAm+1), . . . ,

dmA1,...,Am

ρ⊗mj=1 T Aj

(m⊗j=1

idT Aj ⊗ wAm+1)〉

= f m⊗j=1

T(d jA1,...,Am

ρ⊗mj=1 T Aj

(m⊗j=1

idT Aj ⊗ wAm+1)) cm⊗m+1j=1 T Aj

m〈T A1,...,T Am+1〉

m+1⊗j=1

δA j

= f m⊗j=1

T(d jA1,...,Am

) cm⊗mj=1 T Aj

T(ρ⊗mj=1 T Aj

(m⊗j=1

idT Aj ⊗ wAm+1))

m〈T A1,...,T Am+1〉

m+1⊗j=1

δA j


= f m⊗j=1

T(d jA1,...,Am

) cm⊗mj=1 T Aj

T(ρ⊗mj=1 T Aj

) m〈T(A1),...,T(Am),I〉

(m⊗j=1

T(idT(A j )) ⊗ T(wAm+1)) m+1⊗j=1

δA j


= f m⊗j=1

T(d jA1,...,Am

) cm⊗mj=1 T Aj

T(ρ⊗mj=1 T Aj

)

m〈T(A1),...,T(Am),I〉 (m⊗j=1

δA j ⊗ (n wAm+1))

((T, δ,d) est une comonade faible etwAm+1 est un morphisme de cogèbres)

= f m⊗j=1

T(d jA1,...,Am

) cm⊗mj=1 T Aj

T(ρ⊗mj=1 T Aj

)

m〈T(A1),...,T(Am),I〉 (id⊗mj=1 T(T(A j )) ⊗ n) (

m⊗j=1

δA j ⊗ wAm+1)

= f m⊗j=1

T(d jA1,...,Am

) cm⊗mj=1 T Aj

m〈T A1,...,T Am〉

ρ⊗mj=1 T(T(A j )) (

n⊗i=1

δA j ⊗ wAm+1)

(par le Fait 3.3.9)


= f m⊗j=1

T(d jA1,...,Am

) cm⊗mj=1 T Aj

m〈T A1,...,T Am〉

m⊗j=1

δA j

ρ⊗mj=1 T Aj

(n⊗

i=1

idT Aj ⊗ wAm+1)


= ( f M 〈d1A1,...,Am

, . . . ,dmA1,...,Am

〉) ρ⊗mj=1 T Aj

(m⊗j=1

idT Aj ⊗ wAm+1)

= f m⊗j=1

T(idA j ) ρ⊗m

j=1 T Aj (

m⊗j=1

idT Aj ⊗ wAm+1)

= f ρ⊗mj=1 T Aj

(m⊗j=1

idT Aj ⊗ wAm+1) .

Définition 3.3.30. Pour tout entier n, pour tous objets A1, . . . , An, C deC, on définit, par inductionsur n,〈A1, . . . , An〉 ⇒ C :

– 〈〉 ⇒ C = C ;– 〈A1, . . . ,An+1〉 ⇒ C = 〈A1, . . . ,An〉 ⇒ (T An+1( C).

Pour tous objets A et〈C1, . . . ,Cp〉 deΛ(M), on pose A⇒ 〈C1, . . . ,Cp〉 = 〈A⇒ C1, . . . ,A⇒ Cp〉.

Puisque la catégorie monoïdale symétriqueC est fermée, pour tout objetB deC, il existe uneadjonction (− ⊗ B, B( −, ξB).

Définition 3.3.31. Pour tout entier n, pour tout h∈ Λ(M)[〈A1, . . . ,Am〉 ×Λ(M)〈B1, . . . , Bn〉,C], ondéfinit, par induction sur n,Λ〈B1,...,Bn〉

〈A1,...,Am〉,C(h) ∈ Λ(M)[〈A1, . . . ,Am〉, 〈B1, . . . , Bn〉 ⇒ C] .

– Si n= 0, Λ〈B1,...,Bn〉

〈A1,...,Am〉,C(h) = h.

– Si n= 1, alors on pose C= 〈C1, . . . ,Cp〉 et h= 〈h1, . . . ,hp〉. Il y a deux cas.– Dans le cas où m= 0, on poseΛ〈B1,...,Bn〉

〈A1,...,Am〉,C(h) = 〈ξT(B1)

I ,C1(h1 λT(B1)), . . . , ξ

T(B1)I ,Cp

(hp λT(B1))〉.

– Dans le cas où m, 0, on poseΛ〈B1,...,Bn〉

〈A1,...,Am〉,C(h) = 〈ξT(B1)⊗m

j=1 T(A j ),C1(h1), . . . , ξT B1⊗m

j=1 T Aj ,Cp(hp)〉.

– Si n≥ 1, Λ〈B1,...,Bn+1〉

〈A1,...,Am〉,C(h) = Λ〈B1,...,Bn〉

〈A1,...,Am〉,T(Bn+1)(C(Λ〈Bn+1〉

〈A1,...,Am,B1,...,Bn〉,C(h)).

Proposition 3.3.32.Soient– h ∈ Λ(M)[〈A1, . . . ,Am〉 ×Λ(M) 〈Bq+1, . . . , Bq+n〉,C]– et u∈ Λ(M)[〈B1, . . . , Bq〉, 〈A1, . . . ,Am〉].

On a

Λ〈Bq+1,...,Bq+n〉

〈A1,...,Am〉,C(h) Λ(M) u

= Λ〈Bq+1,...,Bq+n〉

〈B1,...,Bq〉,C(h Λ(M) 〈u Λ(M) π

1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

, π2〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

〉M) .

Démonstration.Par récurrence surn. On poseC = 〈C1, . . . ,Cp〉, h = 〈h1, . . . ,hp〉 etu = 〈u1, . . . ,um〉.Si n = 0, alors on a〈u Λ(M) π

1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

, π2〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

〉M = u.Supposonsn = 1. Siq = 0 etm= 0, alors on a

Λ〈Bq+1,...,Bq+n〉

〈A1,...,Am〉,C(h) Λ(M) u

= Λ〈B1〉

〈〉,C (h)


= Λ〈Bq+1,...,Bq+n〉

〈B1,...,Bq〉,C(h Λ(M) 〈u Λ(M) π

1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

, π2〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

〉M) .

Dans le casq = 0 etm, 0, remarquer que l’on a

(wB1 ⊗ idT(B1)) cB1 λT(B1)

= λI⊗T(B1) (idI ⊗ ((wB1 ⊗ idT(B1)) cB1))

(par naturalité deλ)

= (idI ⊗ λT(B1)) (idI ⊗ ((wB1 ⊗ idT(B1)) cB1))

= idI ⊗ (λT(B1) (wB1 ⊗ idT(B1)) cB1)

= idI ⊗ idT(B1)

( (T(B1), cB1,wB1) est un comonoïde dansC)

et en déduire que, pour toutk ∈ 1, . . . , p, on a

ξT(B1)⊗mj=1 T(A j ),Ck

(hk) m⊗j=1

T(u j) cmI n

= ξT(B1)I ,Ck

(hk ((m⊗j=1

T(u j) cmI n wB1) ⊗ idT(B1)) cB1 λT(B1))

= ξT(B1)I ,Ck

(hk ((m⊗j=1

T(u j) cmI n wB1) ⊗ T(idB1)) cB1 λT(B1)) .

Dans le casq , 0 etm= 0, on a

Λ〈Bq+1,...,Bq+n〉

〈A1,...,Am〉,C(h) Λ(M) u

= 〈ξT(Bq+1)I ,C1

(h1 λT(Bq+1)) w⊗qk=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq)

q⊗k=1

δBk, . . . ,

ξT(Bq+1)I ,C1

(hp λT(Bq+1)) w⊗qk=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq)

q⊗k=1

δBk〉

= 〈ξT(Bq+1)⊗q

k=1 T(Bk),C1(h1 λT(Bq+1) ((w⊗q

k=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq)

q⊗k=1

δBk) ⊗ idT(Bq+1))), . . . ,

hp λT(Bq+1) ((w⊗qk=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq)

q⊗k=1

δBk) ⊗ idT(Bq+1)))〉

= Λ〈Bq+1,...,Bq+n〉

〈B1,...,Bq〉,C(h Λ(M) 〈u Λ(M) π

1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

, π2〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

〉M) .

Traitons le casq , 0 etm, 0. Pour 1≤ l ≤ p, on a

hl M 〈u Λ(M) π1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

, π2〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

〉M

= hl M 〈〈u1, . . . ,um〉 Λ(M) π1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1〉

, π2〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1〉

〉M

= hl M 〈u1 M π1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1〉

, . . . ,um M π1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1〉

,dq+1B1,...,Bq+1

〉


= hl M 〈u1 ρ⊗qk=1 T Bk

(q⊗

k=1

idT Bk ⊗ wBq+1), . . . ,um ρ⊗qk=1 T Bk

(q⊗

k=1

idT Bk ⊗ wBq+1),

λBq+1 ((w⊗qk=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

δBk) ⊗ dBq+1)〉


= hl (m⊗j=1

T(u j) ⊗ idT Bq+1)

((m⊗j=1

T(ρ⊗qk=1 T Bk

(q⊗

k=1

idT Bk ⊗ wBq+1)))


q⊗k=1

δBk) ⊗ dBq+1)))

(cm⊗q+1k=1 T Bk

⊗ idT⊗q+1

k=1 T Bk) c⊗q+1

k=1 T Bkm〈T B1,...,T Bq+1〉

q+1⊗k=1

δBk

(par définition deM)

= hl ((m⊗j=1

T(u j) cm⊗qk=1 T(Bk)

) ⊗ idT(Bq+1))

((T(ρ⊗qk=1 T Bk

(q⊗

k=1

idT Bk ⊗ wBq+1)))


q⊗k=1

δBk) ⊗ dBq+1)))

c⊗q+1k=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq+1)〉

q+1⊗k=1

δBk


= hl ((m⊗j=1

T(u j) cm⊗qk=1 T(Bk)

m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

δBk) ⊗ T(idBq+1))


= hl (m⊗j=1

T(idA j ) ⊗ T(idBq+1)) ((m⊗j=1

T(u j) cm⊗qk=1 T Bk

m〈T B1,...,T Bq〉

q⊗k=1

δBk) ⊗ idT Bq+1)

= hl ((m⊗j=1


m〈T B1,...,T Bq〉

q⊗k=1

δBk) ⊗ idT Bq+1) .

Donc on a

ξT(Bq+1)⊗q

k=1 T Bk,Cl(hl M 〈u Λ(M) π

1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

, π2〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

〉M)

= ξT(Bq+1)⊗q

k=1 T Bk,Cl(hl ((

m⊗j=1

T(u j) cm⊗qj=1 T Bj

m〈T B1,...,T Bq〉

q⊗j=1

δBj ) ⊗ idT Bq+1))


= ξT(Bq+1)⊗m

j=1 T Aj ,Cl(hl)

m⊗j=1


m〈T B1,...,T Bq〉

q⊗k=1

δBk

= ξT(Bq+1)⊗m

j=1 T Aj ,Cl(hl) M u

et donc

Λ〈Bq+1,...,Bq+n〉

〈A1,...,Am〉,C(h) Λ(M) u

= Λ〈Bq+1〉

〈A1,...,Am〉,C(〈h1, . . . ,hp〉) Λ(M) u

= 〈ξT Bq+1⊗m

j=1 T Aj ,C1(h1), . . . , ξ

T Bq+1⊗mj=1 T Aj ,Cp

(hp)〉 Λ(M) u

= 〈ξT Bq+1⊗m

j=1 T Aj ,C1(h1) M u, . . . , ξ

T Bq+1⊗mj=1 T Aj ,Cp

(hp) M u〉

= 〈ξT Bq+1⊗q

j=1 T Bj ,C1(h1 M 〈u Λ(M) π

1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

, π2〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

〉M), . . . ,

ξT Bq+1⊗q

j=1 T Bj ,Cp(hp M 〈u Λ(M) π

1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

, π2〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

〉M)〉

= Λ〈Bq+1〉

〈B1,...,Bq〉,C(〈h1 M 〈u Λ(M) π

1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

, π2〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

〉M, . . . ,

hp M 〈u Λ(M) π1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

, π2〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

〉M〉)

= Λ〈Bq+1〉

〈B1,...,Bq〉,C(〈h1, . . . ,hp〉 Λ(M) 〈u Λ(M) π

1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

, π2〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

〉M)

= Λ〈Bq+1,...,Bq+n〉

〈B1,...,Bq〉,C(h Λ(M) 〈u Λ(M) π

1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

, π2〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

〉M) .

Supposons la proposition vraie pour un certain entiern ≥ 1. Pour vérifier qu’elle est vraie enn+ 1, ilsuffit de remarquer que l’on a

〈〈u Λ(M) π1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

, π2〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n〉

〉M Λ(M) π1〈B1,...,Bq+n〉,〈Bq+n+1〉

,

π2〈B1,...,Bq+n〉,〈Bq+n+1〉

〉M

= 〈u Λ(M) π1〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n+1〉

, π2〈B1,...,Bq〉,〈Bq+1,...,Bq+n+1〉

〉M .

Pour tous objetsB etC deC, on définit une flècheεC,B de (B( C) ⊗ B versC dansC en posant

εC,B = (ξBB(C,C)−1(idB(C) .

Définition 3.3.33. Pour tous entiers n et p, pour tout entier k tel que1 ≤ k ≤ n, on définit, parinduction sur n, evk

〈C1,...,Cp〉,〈B1,...,Bn〉∈ C[⊗p

j=1 T(〈B1, . . . , Bn〉 ⇒ C j) ⊗ T B1 ⊗ . . . ⊗ T Bn,Ck] :

– si n= 0, evk〈C1,...,Cp〉,〈B1,...,Bn〉

= dk〈C1,...,Cp〉

;

– evk〈C1,...,Cp〉,〈B1,...,Bn+1〉

= εCk,T Bn+1 (evkBn+1⇒〈C1,...,Cp〉,〈B1,...,Bn〉

⊗ T(idBn+1)).

On pose ev〈C1,...,Cp〉,〈B1,...,Bn〉 = 〈ev1〈C1,...,Cp〉,〈B1,...,Bn〉

, . . . ,evp〈C1,...,Cp〉,〈B1,...,Bn〉

〉.

Fait 3.3.34. Pour tous objets C et B deΛ(M), on a evC,B ∈ Λ(M)[(B⇒ C) ×Λ(M) B,C].

Démonstration.On poseC = 〈C1, . . . ,Cp〉 et on montre, par induction surn, que pour tout objetB = 〈B1, . . . , Bn〉 deΛ(M), pour tout entierk tel que 1≤ k ≤ p, on a

evkC,B ∈ Λ(M)[(B⇒ C) ×Λ(M) B, 〈Ck〉] .


Lemme 3.3.35.Soient m et n deux entiers non nuls. Pour toute suite flèche f= 〈 f1, . . . , fn〉 de〈A1, . . . ,Am〉 vers〈B1, . . . , Bn〉 et pour tout g∈ C[

⊗ni=1 T Bi ,C], on a

(g⊗ idT B) M ( f ×Λ(M) id〈B〉) = (g M f ) ⊗ T(idB) .

Démonstration.On a

(g⊗ idT B) M ( f ×Λ(M) id〈B〉)

= (g⊗ idT(B)) M 〈 f1 ρ⊗mj=1 T(A j ) (

m⊗j=1

idT(A j ) ⊗ wB), . . . , fn ρ⊗mj=1 T(A j ) (

m⊗j=1

idT(A j ) ⊗ wB),

λB ((w⊗ni=1 T(Ai ) m〈T(A1),...,T(An)〉

n⊗i=1

δAi ) ⊗ dB)〉


= (g⊗ idT(B))

((n⊗

i=1

T( fi) n⊗

i=1

T(ρ⊗mj=1 T(A j ) (

m⊗j=1

idT(A j ) ⊗ wB)))

⊗T(λB ((w⊗ni=1 T(Ai ) m〈T(A1),...,T(An)〉

n⊗i=1

δAi ) ⊗ dB))

(cn⊗mj=1 T(A j )⊗T(B)

⊗ idT(⊗m

j=1 T(A j )⊗T(B))) c⊗mj=1 T(A j )⊗T(B) m〈T(A1),...,T(Am),T(B)〉

m⊗j=1

δA j

= (g⊗ idT(B))

(((n⊗

i=1

T( fi) cnT(⊗m

j=1 T(A j )) T(ρ⊗m

j=1 T(A j ) (m⊗j=1

idT(A j ) ⊗ wB)))

⊗T(λB ((w⊗ni=1 T(Ai ) m〈T(A1),...,T(An)〉

n⊗i=1

δAi ) ⊗ dB)))

c⊗mj=1 T(A j )⊗T(B) m〈T(A1),...,T(Am),T(B)〉


= (g⊗ idT(B)) ((n⊗

i=1

T( fi) cnT(⊗m

j=1 T(A j ))m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j ) ⊗ T(idB))


= (g M f ) ⊗ T(idB) .

Proposition 3.3.36.Pour tout h∈ Λ(M)[A×Λ(M) B,C], on a evC,B Λ(M) (ΛBA,C(h) ×Λ(M) idB) = h.

Démonstration.On montre, par récurrence surn, que pour toute flècheh = 〈h1, . . . ,hp〉 de〈A1, . . . ,Am〉 ×Λ(M) 〈B1, . . . , Bn〉 vers〈C1, . . . ,Cp〉 dans la catégorieΛ(M), pour tout entierk tel que1 ≤ k ≤ p, on a

evk〈C1,...,Cp〉,〈B1,...,Bn〉

M (Λ〈B1,...,Bn〉

〈A1,...,Am〉,〈C1,...,Cp〉(h) ×Λ(M) id〈B1,...,Bn〉) = hk .


– Sin = 0, on a

evk〈C1,...,Cp〉,〈B1,...,Bn〉

M (Λ〈B1,...,Bn〉

〈A1,...,Am〉,〈C1,...,Cp〉(h) ×Λ(M) id〈B1,...,Bn〉)

= dkC1,...,Cp

M h

= hk

(par le Lemme 3.3.20).

– Supposonsn = 1. Traitons le casm= 0. On a

Λ〈B1〉

〈〉,〈C1,...,Cp〉(h) ×Λ id〈B1〉 = 〈ξT(B1)

I ,C1(h1 λT(B1)) wB1, . . . , ξ

T(B1)I ,Cp

(hp λT(B1)) wB1,dB1〉

et

evk〈C1,...,Cp〉,〈B1〉

= εCk,T(B1) (dkB1⇒〈C1,...,Cp〉

⊗ T(idB1))

donc on a

evk〈C1,...,Cp〉,〈B1,...,Bn〉

M (Λ〈B1,...,Bn〉

〈A1,...,Am〉,〈C1,...,Cp〉(h) ×Λ(M) id〈B1,...,Bn〉)

= εCk,T(B1) (dkB1⇒〈C1,...,Cp〉

⊗ T(idB1))

((p⊗

k=1

T(ξT(B1)I ,Ck

(hk λT(B1))) p⊗

k=1

T(wB1)) ⊗ T(dB1))

(cpT(B1) ⊗ idT(T(B1))) cT(B1) m〈T(B1)〉 δB1

= εCk,T(B1) (dkB1⇒〈C1,...,Cp〉

⊗ T(idB1))

((p⊗

k=1

T(ξT(B1)I ,Ck

(hk λT(B1))) p⊗

k=1

T(wB1)) ⊗ T(dB1)) (cpT(B1) ⊗ idT(T(B1))) cT(B1) δB1


= εCk,T(B1) (dkB1⇒〈C1,...,Cp〉

⊗ T(idB1))

((p⊗

k=1

T(ξT(B1)I ,Ck

(hk λT(B1))) cpI T(wB1)) ⊗ T(dB1)) cT(B1) δB1

(par naturalité decp)

= εCk,T(B1) (dkB1⇒〈C1,...,Cp〉

⊗ T(idB1))

((p⊗

k=1

T(ξT(B1)I ,Ck

(hk λT(B1))) cpI T(wB1)) ⊗ T(dB1)) (δB1 ⊗ δB1) cB1

(carδB1 est un morphisme de comonoïdes)

= εCk,T(B1) (dkB1⇒〈C1,...,Cp〉

⊗ T(idB1))

((p⊗

k=1

T(ξT(B1)I ,Ck

(hk λT(B1))) cpI n) ⊗ idT(B1)) (wB1 ⊗ T(idB1)) cB1

((T, δ,d) est une comonade faible etwB1 est un morphisme de cogèbres)

= εCk,T(B1) ((dkB1⇒〈C1,...,Cp〉

M 〈ξT(B1)I ,C1

(h1 λT(B1)), . . . , ξT(B1)I ,Cp

(hp λT(B1))〉) ⊗ idT(B1))

(wB1 ⊗ T(idB1)) cB1


= εCk,T(B1) (ξT(B1)I ,Ck

(hk λT(B1)) ⊗ idT(B1)) (wB1 ⊗ T(idB1)) cB1


= hk λT(B1) (wB1 ⊗ T(idB1)) cB1

= hk λT(B1) (idI ⊗ T(idB1)) (wB1 ⊗ idT(B1)) cB1

= hk T(idB1) λT(B1) (wB1 ⊗ idT(B1)) cB1

(par naturalité deλ)

= hk T(idB1)

(car (T(B1), cB1,wB1) est un comonoïde dansC)

= hk .

Traitons le casm, 0. On a

evk〈C1,...,Cp〉,〈B1,...,Bn〉

M (Λ〈B1,...,Bn〉

〈A1,...,Am〉,〈C1,...,Cp〉(h) ×Λ(M) id〈B1,...,Bn〉)

= εCk,T(B1) (dkB1⇒〈C1,...,Cp〉

⊗ T(idB1)) ((p⊗

k=1

T(ξT(B1)⊗mj=1 T(A j ),Ck

(hk)) cp⊗mj=1 T(A j )

) ⊗ idT(B1))

(T(ρ⊗mj=1 T(A j ) (

m⊗j=1

idT(A j ) ⊗ wB1))

⊗T(λB1 ((w⊗mj=1 T(A j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j ) ⊗ dB1)))

c⊗mj=1 T(A j )⊗T(B1) m〈T(A1),...,T(Am),T(B1)〉 (

m⊗j=1

δA j ⊗ δB1)

= εCk,T(B1) (dkB1⇒〈C1,...,Cp〉

⊗ T(idB1))

((p⊗

k=1

T(ξT(B1)⊗mj=1 T(A j ),Ck


) ⊗ idT(B1))

((m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j ) ⊗ T(idB1))


= εCk,T(B1)

((dkB1⇒〈C1,...,Cp〉

p⊗k=1

T(ξT(B1)⊗mj=1 T(A j )


m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j )

⊗T(idB1))

= εCk,T(B1)

((ξT(B1)⊗mj=1 T(A j )

(hk) d〈

m⊗j=1

T(A j), . . . ,m⊗j=1

T(A j)︸︷︷︸p fois

〉

cp⊗mj=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j )

⊗T(idB1))


= εCk,T(B1) (ξT(B1)⊗mj=1 T(A j )

(hk) ⊗ T(idB1))

(par les Lemmes 3.3.18 et 3.3.17)

= εCk,T(B1) (ξT(B1)⊗mj=1 T(A j )

(hk) ⊗ idT(B1)) (id⊗mj=1 T(A j ) ⊗ T(idB1))

= hk (id⊗mj=1 T(A j ) ⊗ T(idB1))

= hk .

– Supposons la proposition démontrée pour un certain entiern ≥ 1. On a

evk〈C1,...,Cp〉,〈B1,...,Bn+1〉

M (Λ〈B1,...,Bn+1〉

〈A1,...,Am〉,〈C1,...,Cp〉(h) ×Λ(M) id〈B1,...,Bn+1〉)

= (εCk,T Bn+1 (evkBn+1⇒〈C1,...,Cp〉,〈B1,...,Bn〉

⊗ T(idBn+1)))

M((Λ〈B1,...,Bn+1〉

〈A1,...,Am〉,〈C1,...,Cp〉(h) ×Λ(M) id〈B1,...,Bn〉) ×Λ(M) id〈Bn+1〉)

= εCk,T Bn+1 ((evkBn+1⇒〈C1,...,Cp〉,〈B1,...,Bn〉

⊗ T(idBn+1))

M((Λ〈B1,...,Bn+1〉

〈A1,...,Am〉,〈C1,...,Cp〉(h) ×Λ(M) id〈B1,...,Bn〉) ×Λ(M) id〈Bn+1〉))

= εCk,T Bn+1

((evkBn+1⇒〈C1,...,Cp〉,〈B1,...,Bn〉

M (Λ〈B1,...,Bn+1〉

〈A1,...,Am〉,〈C1,...,Cp〉(h) ×Λ(M) id〈B1,...,Bn〉)) ⊗ T(idBn+1))


= εCk,T Bn+1 (ξT Bn+1⊗mj=1 T Aj⊗T B1⊗...⊗T Bn,Ck

(hk) ⊗ T(idBn+1))

(par hypothèse de récurrence)

= εCk,T Bn+1 (ξT Bn+1⊗mj=1 T Aj⊗T B1⊗...⊗T Bn,Ck

(hk) ⊗ idT Bn+1) (id⊗mj=1 T Aj⊗T B1⊗...⊗T Bn

⊗ T(idBn+1))

= hk (id⊗mj=1 T Aj⊗T B1⊗...⊗T Bn

⊗ T(idBn+1))

= hk .

Théorème 3.3.37.(Λ(M), ε, !,×Λ(M), π1, π2, 〈·, ·〉M,⇒,Λ,ev) est une structure cartésienne fermée

faible.

Démonstration.Appliquer les Propositions 3.3.27, 3.3.32 et 3.3.36.

On verra au Chapitre 6 que cette structure n’est pas nécessairement une structure cartésiennefermée.

La construction de Hyland

Etant donné un modèle extensionnelM = (((T,m, n), δ,d), c,w) de IMELL, Hyland a exhibé unecatégorie cartésienne ferméeH(M), qui est une sous-catégorie de la catégorieCT desT-cogèbres. Onva voir que, dans le cas extensionnel, il existe une équivalence faible de catégoriesHM deΛ(M) versH(M) : en un certain sens,Λ(M) est àH(M) ce que la catégorie de (co)Kleisli est à la catégorie des(co)algèbres libres.

Définition 3.3.38.Etant donné un modèle extensionnelM de IMELL, les données suivantes définissentune catégorieH(M) :


– les objets sont de la forme(⊗m

j=1 T(A j),m〈T(A1),...,T(Am)〉 ⊗m

j=1 δA j ) avec A1, . . . , Am des objetsdeC ;

– une flèche de

H = (m⊗j=1

T(A j),m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j )

vers

H′ = (n⊗

i=1

T(Bi),m〈T(B1),...,T(Bn)〉

n⊗i=1

δBi )

est une flèche f de H vers H′ dansCT ;– la composition est la même que celle dansC ;– l’identité de(

⊗mj=1 T(A j),m〈T(A1),...,T(Am)〉

⊗mj=1 δA j ) est id⊗m

j=1 A j.

Pour tout objetA = 〈A1, . . . ,Am〉 deΛ(M), on poseHM(A) =⊗n

i=1 T(Ai) et pour toute flèchef = 〈 f1, . . . , fn〉 de 〈A1, . . . ,Am〉 vers 〈B1, . . . , Bn〉 dansΛ(M), on poseHM( f ) =

⊗ni=1 T(idBi ) M

〈 f1, . . . , fn〉 ; le lemme suivant montre que l’on a

HM( f ) ∈ H(M)[(n⊗

i=1

T(Ai),m〈T(A1),...,T(An)〉

n⊗i=1

δAi ), (n⊗

i=1

T(Bj),m〈T(B1),...,T(Bn)〉

m⊗j=1

δBj )] .

Lemme 3.3.39.Pour toute flèche f= 〈 f1, . . . , fn〉 de 〈A1, . . . ,Am〉 vers〈B1, . . . , Bn〉 dansΛ(M), lediagramme

m⊗j=1

T(A j)m〈T(A1),...,T(An)〉

⊗ni=1 δAi- T(

m⊗j=1

T(A j))

n⊗i=1

T(Bi)

HM( f )?

m〈T(B1),...,T(Bn)〉 ⊗m

j=1 δBj

- T(n⊗

i=1

T(Bi))

T(HM( f ))?

commute dans la catégorieC.

Démonstration.On a

(δT(A)⊗T(B) ⊗ δT(A)⊗T(B)) cT(A)⊗T(B) mT(A),T(B) (δA ⊗ δB)

= (δT(A)⊗T(B) ⊗ δT(A)⊗T(B)) (mT(A),T(B) ⊗mT(A),T(B)) ∼T(T(A)),T(T(B)) (cT(A) ⊗ cT(B)) (δA ⊗ δB)

(par monoïdalité dec)

= (δT(A)⊗T(B) ⊗ δT(A)⊗T(B)) (mT(A),T(B) ⊗mT(A),T(B)) ∼T(T(A)),T(T(B))

((cT(A) δA) ⊗ (cT(B) δB))

= (δT(A)⊗T(B) ⊗ δT(A)⊗T(B)) (mT(A),T(B) ⊗mT(A),T(B)) ∼T(T(A)),T(T(B))

(((δA ⊗ δA) cA) ⊗ ((δB ⊗ δB) cB))

(carδA etδB sont des morphismes de comonoïdes)

= ((T(mT A,T B) mTT A,TT B (δT A⊗ δT B)) ⊗ (T(mT A,T B) mTT A,TT B (δT A⊗ δT B)))

∼T(T(A)),T(T(B)) (((δA ⊗ δA) cA) ⊗ ((δB ⊗ δB) cB))




∼T(T(A)),T(T(B)) ((δA ⊗ δA) ⊗ (δB ⊗ δB)) (cA ⊗ cB)


((δA ⊗ δB) ⊗ (δA ⊗ δB)) ∼T(A),T(B) (cA ⊗ cB)

= ((T(mT A,T B) mTT A,TT B) ⊗ (T(mT A,T B) mTT A,TT B)) ((δT(A) ⊗ δT(B)) ⊗ (δT(A) ⊗ δT(B)))


= ((T(mT A,T B) mTT A,TT B) ⊗ (T(mT A,T B) mTT A,TT B)) ((T(δA) ⊗ T(δB)) ⊗ (T(δA) ⊗ T(δB)))



= ((T(mT A,T B) T(δA ⊗ δB)) ⊗ (T(mT A,T B) T(δA ⊗ δB))) (mT(A),T(B) ⊗mT(A),T(B))



donc on a

mT(T(A)⊗T(B)),T(T(A)⊗T(B)) (δT(A)⊗T(B) ⊗ δT(A)⊗T(B)) cT(A)⊗T(B) mT(A),T(B) (δA ⊗ δB)

= mT(T(A)⊗T(B)),T(T(A)⊗T(B)) (T(mT(A),T(B) (δA ⊗ δB)) ⊗ T(mT(A),T(B) (δA ⊗ δB)))

(mT(A),T(B) ⊗mT(A),T(B)) ((δA ⊗ δB) ⊗ (δA ⊗ δB)) ∼T(A),T(B) (cA ⊗ cB)

= T((mT(A),T(B) (δA ⊗ δB)) ⊗ (mT(A),T(B) (δA ⊗ δB)))

mT(A)⊗T(B),T(A)⊗T(B) (mT(A),T(B) ⊗mT(A),T(B)) ((δA ⊗ δB) ⊗ (δA ⊗ δB)) ∼T(A),T(B) (cA ⊗ cB)



mT(A)⊗T(B),T(A)⊗T(B) (mT(A),T(B) ⊗mT(A),T(B)) ∼T(T(A)),T(T(B))

((δA ⊗ δA) ⊗ (δB ⊗ δB)) (cA ⊗ cB)


T(∼T(A),T(B)) mT(A)⊗T(A),T(B)⊗T(B) (mT(A),T(A) ⊗mT(B),T(B))

((δA ⊗ δA) ⊗ (δB ⊗ δB)) (cA ⊗ cB)

(car (T, δ,d) est monoïdal symétrique)


T(∼T(A),T(B)) mT(A)⊗T(A),T(B)⊗T(B) ((T(cA) δA) ⊗ (T(cB) δB))

(carcA etcB sont des morphismes de cogèbres)


T(∼T(A),T(B)) mT(A)⊗T(A),T(B)⊗T(B) (T(cA) ⊗ T(cB)) (δA ⊗ δB)


T(∼T(A),T(B)) T(cA ⊗ cB) mT(A),T(B) (δA ⊗ δB)


= T((mT(A),T(B) (δA ⊗ δB)) ⊗ (mT(A),T(B) (δA ⊗ δB)) ∼T(A),T(B) (cA ⊗ cB))

mT(A),T(B) (δA ⊗ δB)


On a ainsi défini un foncteurHM de la catégorieΛ(M) vers la catégorieH(M). La propositionsuivante montre que ce foncteur est une équivalence faible de catégories.

Proposition 3.3.40.Le foncteur HM de la catégorieΛ(M) vers la catégorieH(M) est une équivalencefaible de catégories.

Démonstration.On commence par montrer que le foncteurHM est plein. Soit

k ∈ HM[(n⊗

i=1

T(Ai),m〈T(A1),...,T(An)〉

n⊗i=1

δAi ), (n⊗

i=1

T(Bj),m〈T(B1),...,T(Bn)〉

m⊗j=1

δBj )] .

On a

HM(〈d1〈B1,...,Bn〉

k, . . . ,dn〈B1,...Bn〉

k〉)

=

n⊗i=1

T(idBi ) n⊗

i=1

T(di〈B1,...,Bn〉

) n⊗

i=1

T(k) cn⊗mj=1 T(A j )

m〈T(A1),...T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

=

n⊗i=1

T(idBi ) n⊗

i=1

T(di〈B1,...,Bn〉

) cn⊗ni=1 T(Bi )

T(k) m〈T(A1),...T(Am)〉

m⊗j=1

δA j


=

n⊗i=1

T(idBi ) n⊗

i=1

T(di〈B1,...,Bn〉

) cn⊗ni=1 T(Bi )

m〈T(B1),...,T(Bn)〉

n⊗i=1

δBi k

= (n⊗

i=1

T(idBi ) M 〈d1〈B1,...,Bn〉

, . . . ,dn〈B1,...,Bn〉

〉) k

=

n⊗i=1

T(idBi ) n⊗

i=1

T(idBi ) k


= k .

De plus, le foncteur est fidèle, car sif = 〈 f1, . . . , fn〉 et g = 〈g1, . . . ,gn〉 sont des flèchesde 〈A1, . . . ,Am〉 vers 〈B1, . . . , Bn〉 dansΛ(M) telles queHM( f ) = HM(g), alorsdi

〈B1,...,Bn〉M f =

di〈B1,...,Bn〉

M g.

Enfin, si H = (⊗n

i=1 T(Ai),m〈T(A1),...,T(An)〉 ⊗n

i=1 δAi ) est un objet deH(M), alors on aH =HM(〈A1, . . . ,Am〉).

3.3.3 Avec les additifs

Soit (C,L, c,w) un modèle catégorique de IMELL, avecC = (C,⊗, I , α, λ, ρ, γ) et L =

((T, δ,d),m, n). Dans cette section, on suppose en outre queC est une catégorie cartésienne.On note & un adjoint à droite du foncteur diagonal de la catégorieC vers la catégorieC × C et

on définit ainsi, pour tout entiern, un foncteur &ni=1 de la catégorieΠn

i=1C vers la catégorieC. On fixeune structure cartésienne (C,& , !,>,& , π1, π2, 〈·, ·〉& ).

Définition 3.3.41. Pour tout entier n≥ 1, pour tous objets A1, . . . , An deC, on définit une flèche deϕ〈A1,...,An〉 de

⊗ni=1 T(Ai) vers T(&n

i=1Ai) dans la catégorieC en posant

ϕA1,...,An = T((&ni=1di

A1,..., An) 〈id⊗n

i=1 T Ai, . . . , id⊗n

i=1 T Ai︸︷︷︸n fois

〉& ) mT A1,..., T An

n⊗i=1

δAi


et une flècheψ〈A1,...,An〉 de T(&ni=1Ai) vers

⊗ni=1 T(Ai) en posant

ψA1,..., An =

n⊗i=1

T(πiA1,..., An

) cn&n

i=1Ai.

Proposition 3.3.42.ϕ = (ϕA,B)A,B∈ob(C) est un semi-isomorphisme naturel normal de⊗ (T,T) versT & etψ = (ψA,B)A,B∈ob(C) est un semi-isomorphisme naturel normal de T & vers⊗ (T,T).

Démonstration.En utilisant la Remarque 3.3.11, on obtient facilement la naturalité deϕ.Quant à la naturalité deψ,elle résulte presque immédiatement de la celle dec.Les diagrammes des Figures 3.3 et 3.4 commutent dans la catégorieC. D’où

d1A,B (T(π1

A,B) ⊗ T(π2A,B)) cA& B = dA T(π1

A,B)

etd2

A,B (T(π1A,B) ⊗ T(π2

A,B)) cA& B = dA T(π2A,B) .

Donc

ϕA,B ψA,B = T(((dA T(π1A,B))&(dB T(π2

A,B))) 〈idT(A& B), idT(A& B)〉& ) δA& B

= T(dA& B) δA& B

= T(idA& B) .

Les diagrammes des Figures 3.5, 3.6 et 3.7 commutent dans la catégorieC. D’où

ψA,B ϕA,B = (T(dA ρT A (idT A⊗ wB)) ⊗ T(dB λT B (wA ⊗ idT B)))

cT A⊗T B mT A,T B (δA ⊗ δB)

= (T(dA ρT A (idT A⊗ wB)) ⊗ T(dB λT B (wA ⊗ idT B)))

(mT A,T B⊗mT A,T B) ((δA ⊗ δB) ⊗ (δA ⊗ δB)) ∼T A,T B (cA ⊗ cb)

= (T(dA T(ρA) mA,I (idT A⊗ (n wB)))

⊗T(dB T(λB) mB,I ((n wA) ⊗ idT B)))

(mT A,T B⊗mT A,T B) ((δA ⊗ δB) ⊗ (δA ⊗ δB)) ∼T A,T B (cA ⊗ cb)

= ((T(dA) TT(ρA) T(mA,I ) T(idT A⊗ (n wB)) mT A,T B (δA ⊗ δB))

⊗(T(dB) TT(λB) T(mB,I ) T((n wA) ⊗ idT B) mT A,T B (δA ⊗ δB)))

∼T A,T B (cA ⊗ cB)

= ((T(idA) T(ρA) mA,I (idT A⊗ (T(wB) δB)))

⊗(T(idB) T(λB) mI ,B ((T(wA) δA) ⊗ idT B)))

∼T(A),T(B) (cA ⊗ cB)

= ((T(idA ρA) mA,I (idT A⊗ (T(wB) δB)))

⊗(T(idB λB) mI ,B ((T(wA) δA) ⊗ idT B)))


= ((T(ρA) mA,I (idT A⊗ (n wB))) ⊗ (T(λB) mI ,B ((n wA) ⊗ idT B)))


= ((T(idA) ρT(A) (idT(A) ⊗ wB)) ⊗ (T(idB) λT(B) (wA ⊗ idT(B))))


(car (T,m, n) est un semi-endofoncteur monoïdal de (C,⊗, I , α, λ, ρ))


T(A& B)cA& B- T(A& B) ⊗ T(A& B)

T(π1A,B) ⊗ T(π2

A,B)- T A⊗ T B

T(A& B) ⊗ I

idT(A& B) ⊗ wA& B

?

T(π1A,B) ⊗ idI

- T A⊗ I

idT A⊗ wB

?

T(A& B)

ρT(A& B)

?

T(π1A,B)

-

idT

(A&B)

-T A

ρT A

?

F. 3.3 –

T(A& B)cA& B- T(A& B) ⊗ T(A& B)

T(π1A,B) ⊗ T(π2

A,B)- T A⊗ T B

I ⊗ T(A& B)

wA& B ⊗ idT(A& B)

?

idI ⊗ T(π2A,B)

- I ⊗ T B

wA ⊗ idT B

?

T(A& B)

λT(A& B)

?

T(π2A,B)

-

idT

(A&B)

-

T B

λT B

?

F. 3.4 –


T A⊗ T BδA ⊗ δB - TT A⊗ TT B

mT A,T B - T(T A⊗ T B)

(T A⊗ T A)⊗(T B⊗ T B)

cA ⊗ cB?

(δA ⊗ δA) ⊗ (δB ⊗ δB)- (TT A⊗ TT A)⊗(TT B⊗ TT B)

cT A⊗ cT B?

(T A⊗ T B)⊗

(T A⊗ T B)

∼T A,T B ?

(δA ⊗ δB) ⊗ (δA ⊗ δB)-

(TT A⊗ TT B)⊗

(TT A⊗ TT B)

∼T(T(A)),T(T(B))?

mT(A),T(B)

⊗

mT(A),T(B)

-T(T A⊗ T B)

⊗

T(T A⊗ T B)

cT A⊗T B?

F. 3.5 –



T A⊗ T I

idT A

⊗

(T(wB) δB)?

δA ⊗ δI

- TT A⊗ TT I

T(idT A) ⊗ T(n wB)

?

mT A,T I

- T(T A⊗ T I)

T(idT A⊗ (n wB))

?

T(A⊗ I )

mA,I

? δA⊗I - TT(A⊗ I )

T(mA,I )

?

T A

T(ρA)

?

δA

- TT A

TT(ρA)

?

T A

T(dA)

?

T(idA)-

F. 3.6 –




T I ⊗ T B

(T(wA) δA)⊗

idT B?

δI ⊗ δB

- TT I ⊗ TT B

T(T(n wA) ⊗ idT B)

?

mT I,T B

- T(T I ⊗ T B)

T((n wA) ⊗ idT B)

?

T(I ⊗ B)

mI ,B

? δI⊗B - TT(I ⊗ B)

T(mI ,B)

?

T B

T(λB)

?

δB

- TT B

TT(λB)

?

T B

T(dB)

?

T(idB)-

F. 3.7 –


= ((T(idA) ρT(A) (idT(A) ⊗ wA) cA) ⊗ (T(idB) λT(B) (wB ⊗ idT(B)) cB))

= T(idA) ⊗ T(idB) .

Proposition 3.3.43.Pour tout objet A deC, le diagramme

T(A)cA- T(A) ⊗ T(A)

T(A&A)

ϕA,A

?

T(〈idA , id

A 〉& )-

commute dans la catégorieC.

Démonstration.Le diagramme

T(A)

T T(A)T(dA) -

δ A

T(A)

T(idA)

?

T(A&A)

T(〈id

A , idA 〉& )

-

T(〈idA , id

A 〉& ) -

T(〈dA ,dA〉& )-

commute dans la catégorieC et l’on a

ϕA,A cA = T(((dA ρT A (idT A⊗ wA))&(dA λT A (wA ⊗ idT A))) 〈idT A⊗T A, idT A⊗T A〉& )

mT A,T A (δA ⊗ δA) cA

= T(((dA ρT A (idT A⊗ wA))&(dA λT A (wA ⊗ idT A))) 〈idT A⊗T A, idT A⊗T A〉& )

T(cA) δA

= T(((dA ρT A (idT A⊗ wA))&(dA λT A (wA ⊗ idT A))) 〈idT A⊗T A, idT A⊗T A〉& cA)

δA

= T(((dA ρT A (idT A⊗ wA))&(dA λT A (wA ⊗ idT A))) (cA&cA) 〈idT A, idT A〉& )

δA

= T(〈dA,dA〉& ) δA .


3.3.4 Une autre interprétation du lambda-calcul

Le but de cette sous-section est de montrer qu’en présence des additifs, les catégoriesΛ(M) etcoCT sont (fortement) équivalentes (Théorème 3.3.46).

On noteJ le foncteur decoCT versΛ(M) qui assigne〈A〉 à chaque objetA decoCT et〈 f 〉 à chaqueflèche f decoCT.

On noteK le foncteur deΛ(M) verscoCT qui assigneA1& . . .&Am à chaque objet〈A1, . . . ,Am〉

deΛ(M) et 〈 f1, . . . , fn〉& ψA1,...,Am à chaque flèche〈 f1, . . . , fn〉 deΛ(M)[〈A1, . . . ,Am〉, 〈B1, . . . , Bn〉].Pour tout objet〈A1, . . . ,Am〉 deΛ(M), on poseϕ′

〈A1,...,Am〉= 〈d&m

j=1A j ϕ〈A1,...,Am〉〉.

Proposition 3.3.44.(K, J, ϕ′, ididcoCT) est une adjonction deΛ(M) vers coCT.

Démonstration.Vérifions tout d’abord la naturalité deϕ′ de idΛ(M) versJ K.Soit f = 〈 f1, . . . , fn〉 ∈ Λ(M)[〈A1, . . . ,Am〉, 〈B1, . . . , Bn〉]. On a

(d&ni=1Bi ϕ〈B1,...,Bn〉) M 〈 f1, . . . , fn〉

= d&ni=1Bi ϕ〈B1,...,Bn〉

n⊗i=1


m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

= d&ni=1Bi T(&n

i=1 fi) ϕ〈

m⊗j=1

T(A j), . . . ,m⊗j=1

T(A j)〉︸︷︷︸n fois

cn⊗mj=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

(par naturalité deϕ)

= d&ni=1Bi T(〈 f1, . . . , fn〉& ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

(par la Proposition 3.3.43)

= 〈 f1, . . . , fn〉& d⊗mj=1 T(A j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j


= 〈 f1, . . . , fn〉&(par le Lemme 3.3.17).

Par ailleurs, on a

ψ〈A1,...,Am〉 T(d&mj=1A j ϕ〈A1,...,Am〉) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

= ψ〈A1,...,Am〉

T(&mj=1d j

〈A1,...,Am〉〈id⊗m

j=1 T(A j ), . . . , id⊗m

j=1 T(A j )︸︷︷︸m fois

〉& d⊗mj=1 T(A j ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j



= ψ〈A1,...,Am〉 T(&mj=1d j

〈A1,...,Am〉) T(〈id⊗m

j=1 T(A j ), . . . , id⊗m

j=1 T(A j )︸︷︷︸m fois

〉& )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j


=

m⊗j=1

T(d j〈A1,...,Am〉

) ψ〈

m⊗j=1

T(A j), . . . ,m⊗j=1

T(A j)︸︷︷︸m fois

〉

T(〈id⊗mj=1 T(A j ), . . . , id

⊗mj=1 T(A j )︸︷︷︸

m fois

〉& )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j


=

m⊗j=1

T(d j〈A1,...,Am〉

) ψ〈

m⊗j=1

T(A j), . . . ,m⊗j=1


〉

ϕ

〈

m⊗j=1

T(A j), . . . ,m⊗j=1


〉

cm⊗mj=1 T(A j )

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j


=

m⊗j=1

T(idA j ) M 〈d1〈A1,...,Al〉

, . . . ,dm〈A1,...,Am〉

〉


=

m⊗j=1

T(idA j )


donc on a

(〈 f1, . . . , fn〉& ψ〈A1,...,Am〉) M ϕ′〈A1,...,Am〉

= 〈 f1, . . . , fn〉& ψ〈A1,...,Am〉 T(d&mj=1A j ϕ〈A1,...,Am〉) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

= 〈 f1 m⊗j=1

T(idA j ), . . . , fn m⊗j=1

T(idA j )〉&

= 〈 f1, . . . , fn〉& .


On en déduit que le diagramme

〈A1, . . . ,Am〉ϕ′〈A1,...,Am〉- 〈&m

j=1A j〉

〈B1, . . . , Bn〉

f

?

ϕ′〈B1,...,Bn〉

- 〈&ni=1Bi〉

J K( f )

?

commute dans la catégorieΛ(M).De plus, pour tout objetA decoCT, on a

ϕ′J(A) = ϕ′〈A〉

= 〈dA ϕ〈A〉〉

= 〈dA T(idA)〉

= 〈dA〉

= (idJ)A .

On a doncϕ′ idJ = idJ, et donc

(idJ ididcoCT) • (ϕ′ idJ) = (idJ ididcoCT

) • idJ

= idJ • idJ

= idJ .

Enfin, pour tout objet〈A1, . . . ,Am〉 deΛ(M), on a

K(ϕ′〈A1,...,Am〉

) = K(〈d&mj=1A j ϕ〈A1,...,Am〉〉)

= d&mj=1A j ϕ〈A1,...,Am〉 ψ〈A1,...,Am〉

= d&mj=1A j T(id&m

j=1A j )

= d&mj=1A j

= (idK)〈A1,...,Am〉

donc (idK ϕ′) = idK et donc

(ididcoCT idK) • (idK ϕ

′) = (ididcoCT idK) • idK

= idK • idK

= idK .

Lemme 3.3.45.Pour tout objet〈A1, . . . ,Am〉 deΛ(M), ϕ′〈A1,...,Am〉

est un isomorphisme de〈A1, . . . ,Am〉

sur 〈&mj=1A j〉 dansΛ(M).

Démonstration.Soit 〈A1, . . . , An〉 un objet deΛ(M). On pose

ϕ′1 = d&ni=1Ai ϕA1,..., An


etψ′ = 〈ψ′1, . . . , ψ

′n〉 avecψ′i = dAi T(πi

A1,..., An) .

ψ′i T(id&ni=1Ai ) = ψ

′i doncψ′ ∈ Λ(M)[〈&n

i=1Ai〉, 〈A1, . . . , An〉].On aψ′ Λ(M) ϕ

′ = 〈h1, . . . , hn〉 avec

hi = ψ′i M 〈ϕ′1〉

= ψ′i T(ϕ′1) mT A1,..., T An

n⊗i=1

δAi

= dAi T(πiA1,..., An

) T(d&ni=1Ai ϕA1,...,An) mT A1,...,T An

n⊗i=1

δAi

= dAi T(πiA1,...,An

)

T((&ni=1dA1,..., An) 〈id

⊗ni=1 T Ai

, . . . , id⊗ni=1 T Ai︸︷︷︸

n fois

〉& d⊗ni=1 T Ai

mT A1,...,T An

n⊗i=1

δAi )

mT A1,..., T An

n⊗i=1

δAi

= dAi

T(πiA1,...,An

&ni=1di

A1,..., An 〈id⊗n

i=1 T Ai, . . . , id⊗n


〉& d⊗ni=1 T Ai

mT A1,..., T An

n⊗i=1

δAi )

mT A1,..., T An

n⊗i=1

δAi

= dAi T(diA1,..., An

d⊗ni=1 T Ai

mT A1,..., T An

n⊗i=1

δAi ) mT A1,..., T An

n⊗i=1

δAi

= diA1,..., An

d⊗ni=1 T Ai

mT A1,..., T An

n⊗i=1

δAi d⊗ni=1 T Ai

mT A1,..., T An

n⊗i=1

δAi


= diA1,..., An

(par le Lemme 3.3.17).

On aϕ′ Λ(M) ψ′ = 〈k1〉 avec

k1 = ϕ′1

n⊗i=1

T(ψ′i ) cnT&n

i=1Ai δ&n

i=1Ai

= d&ni=1Ai ϕ

nA1,..., An

n⊗i=1

T(dAi T(πiA1,..., An

)) cnT&n

i=1Ai δ&n

i=1Ai

= (&ni=1di

A1,..., An) 〈id⊗n

i=1 T Ai, . . . , id⊗n


〉& d⊗ni=1 T Ai

mT A1,...,T An

n⊗i=1

δAi

n⊗i=1


)) cnT&n

i=1Ai δ&n

i=1Ai


= (&ni=1di

A1,..., An) 〈id⊗n

i=1 T Ai, . . . , id⊗n


〉&

n⊗i=1


)) cnT&n

i=1Ai δ&n

i=1Ai


= (&ni=1di

A1,..., An) 〈id⊗n

i=1 T Ai, . . . , id⊗n


〉&

n⊗i=1

T(πiA1,..., An

d&ni=1Ai ) cn

T&ni=1Ai δ&n

i=1Ai


= (&ni=1di

A1,..., An) 〈id⊗n

i=1 T Ai, . . . , id⊗n


〉&

n⊗i=1

T(πiA1,..., An

) cn&n

i=1Ai

(δ est un morphisme de comonoïdes et (T, δ,d) est une comonade faible)

= &ni=1(di

A1,..., An

n⊗i=1

T(πiA1,..., An

)) 〈id⊗ni=1 T&n

j=1A j, . . . , id⊗n

i=1 T&nj=1A j︸︷︷︸

n fois

〉& cn&n

j=1A j

= &ni=1(πi

A1,..., An di

&nj=1A j , . . . , &n

j=1A j︸︷︷︸n fois

) 〈id⊗ni=1 T&n

j=1A j, . . . , id⊗n

i=1 T&nj=1A j︸︷︷︸

n fois

〉& cn&n

j=1A j


= 〈π1A1,..., An

d1&n

j=1A j , . . . , &nj=1A j︸︷︷︸

n fois

cn&n

j=1A j, . . . , πn

A1,..., An dn

&nj=1A j , . . . , &n

j=1A j︸︷︷︸n fois

cn&n

j=1A j〉&

= 〈π1A1,..., An

d&ni=1Ai , . . . , π

nA1,..., An

d&ni=1Ai 〉&


= d&ni=1Ai

Théorème 3.3.46.(K, J, ϕ′, ididcoCT) est une équivalence adjointe deΛ(M) vers coCT.

Démonstration.Par la Proposition 3.3.44, on sait que (K, J, ϕ′, ididcoCT) est une adjonction et, par le

Lemme 3.3.45, on sait que, pour tout objet〈A1, . . . ,Am〉 deΛ(M), ϕ〈A1,...,Am〉 est un isomorphisme de〈A1, . . . ,Am〉 surK J(〈A1, . . . ,Am〉).


Chapitre 4

Qu’est-ce qu’un modèle des réseauxdifférentiels ?

Les réseaux différentiels ont été introduits par Ehrhard et Régnier dans [23]. Ils proviennent dela considération d’un modèle de la logique linéaire, les espaces de finitude (voir [21]), dans lesquelsles connecteurs aditifs “avec” et “plus”, ainsi que leurs unités respectives, sont interprétés de la mêmemanière. Or il est bien connu qu’une catégorie avec un objet nul et des produits finis et des copro-duits finis dans laquelle les produits finis et les coproduits finis coïncident est enrichie sur la catégoriemonoïdale des monoïdes commutatifs (voir [40], chapitre VIII) : cela signifie que l’on peut som-mer (finiment) des morphismes et que la composition est distributive sur l’addition. D’où l’idée deconsidérer une syntaxe dans laquelle on peut également faire des sommes. Cette syntaxe est celle desréseaux différentiels.

Lesréseaux simplessont construits à partir– des nœuds des réseaux de MLL ;– des nœuds affaiblissement, déréliction et contraction de MELL ;– et des noeuds co-affaiblissement, co-déréliction et co-contraction, symétriques des précédents.

Les réseaux différentiels sont des sommes finies de réseaux simples. Contrairement aux réseaux de lalogique linéaire, il n’y a donc plus de boîte pour l’introduction du “ !”. Les réseaux corrects sont ceuxsatisfaisant un critère qui étend celui de Danos-Régnier ([18]), pour lequel les nœuds “contraction” secomportent comme les nœuds “par” et les nœuds “cocontraction” comme les nœuds “tenseur”.

On verra, au chapitre suivant, que l’on peut voir les réseaux différentiels comme une décomposi-tion de la logique linéaire.

Pour l’instant, de même qu’au chapitre 3 on a cherché une interprétation catégorique de la logiquelinéaire dans les catégories, de même, ici, on cherche une interprétation catégorique des réseaux dif-férentiels. Une notion fondamentale pour faire cela est la notion debigèbre. Avant de donner uneréponse à ce problème, on commencera donc par rappeler ce que recouvre cette notion.

4.1 Bigèbres

Cette section contient beaucoup de matériel classique, que l’on peut trouver, par exemple, dans leChapitre III de [15].

Définition 4.1.1. SoitK un anneau commutatif. On appelle algèbre surK (ouK-algèbre) unK-moduleV muni d’une applicationK-linéaire deV ⊗ V dansV.

93

94 CHAPITRE 4. QU’EST-CE QU’UN MODÈLE DES RÉSEAUX DIFFÉRENTIELS ?

L’application linéaire qui intervient dans cette définition est appelée lamultiplication dans l’al-gèbre. On dira que l’algèbre estassociativesi la multiplication dans l’algèbre est associative, autre-ment dit, si le diagramme suivant commute :

V ⊗ (V ⊗ V)αV,V,V- (V ⊗ V) ⊗ V

µ ⊗ idV- V ⊗ V

V ⊗ V

idV ⊗ µ

?

µ- V

µ

?

oùµ est la multiplication etα est l’isomorphisme de l’associativité du produit tensoriel.On appellealgèbre unifèresurK un K-moduleV muni non seulement d’une multiplicationµ,

mais, en outre, d’une applicationK-linéaireη deK versV telle que les deux diagrammes

K ⊗ Vη ⊗ idV- V ⊗ V

V

µ

?

λV

-

et

V ⊗ V idV ⊗ η V ⊗ K

V

µ

?ρV

commutent dans la catégorie desK-modules, oùλ et ρ sont les isomorphismes naturels exprimant laneutralité deK pour le produit tensoriel.

Une algèbre unifère associative n’est donc rien d’autre qu’un monoïde dans la catégorie monoïdaledesK-modules.

Exemple 4.1.2.Etant donnés un anneau commutatifK et un monoïde G, on peut formerl’algèbre demonoïdeK[G]. K[G] est formé par l’ensemble des applications de G dansK presque partout nulles,les éléments deK[G] peuvent donc s’écrire

∑g∈G λg ·g avecλg = 0 pour tous les éléments g de G, sauf

un nombre fini d’entre eux ; l’addition est induite par celle de l’anneauK et la multiplication définieainsi :

(∑g∈G

λg · g)(∑h∈G

µh · h) =∑

g,h∈G

(λgµg) · (gh) .

K[G] est uneK-algèbre unifère associative. La fonction qui à un monoïde donne l’algèbre de monoïdeK[G] se prolonge en un foncteur de la catégorie des monoïdes vers la catégorieAlgK desK-algèbresunifères associatives ; c’est un adjoint à gauche du foncteur d’oubli.

Exemple 4.1.3.SoientK un anneau commutatif etV unK-module. On pose T0(V) = K, T1(V) = Vet, pour n≥ 1, Tn+1(V) = Tn(V) ⊗ V. Notons T(V) = ⊕n∈NTn(V). Nous allons définir sur T(V)une structure deK-algèbre associative unifère. On définit, pour tous entiers m et n, une application

4.1. BIGÈBRES 95

K-linéaire µm,n de Tm(V) ⊗ Tn(V) vers Tm+n(V) : µ0,n = λTn(V), µm,0 = ρTm(V) et, si m et n sont nonnuls,µm,n = α

(m,n),m+nV . Cela induit une applicationK-linéaireµ de T(V)⊗T(V) vers T(V). On définit

une applicationK-linéaire η deK vers T(V) en posantη(1) = ι0(1), où ι0 est l’injection canoniquede T0(V) vers T(V). Le triplet (T(V), µ, η) est uneK-algèbre unifère associative, appeléealgèbretensorielle deV.

On peut montrer que l’algèbre tensorielle a la propriété suivante : si on note U le foncteur d’oublide la catégorieAlgK desK-algèbres unifères associatives vers la catégorieModK desK-modules,alors pour tout f∈ ModK[V,U(H)], il existe un unique T( f ) ∈ AlgK[T(V),H] tel que f= U(T( f )) ιV, où ιV est l’injection canonique deV vers T(V).

Naturellement, un morphisme d’algèbres unifères est un morphisme de monoïdes dans la catégoriemonoïdale desK-modules.

La catégorieMon(C) des monoïdes d’une catégorie monoïdale symétriqueC = (C, ⊗, I , α, λ,ρ, γ) peut elle-même être munie d’une structure monoïdale symétrique. Etant donnés deux monoïdesH1 = (V1, µ1, η1) et H2 = (V2, µ2, η2), on poseµ = (µ1 ⊗ µ2) ∼H1,H2 et η = (η1 ⊗ η2) λI , où I estl’unité de la catégorie monoïdale symétrique, à savoir leK-moduleK dans le cas où l’on considère lesK-modules ; ((V1 ⊗V2), µ, η) est un monoïde. De plus,α, λ, ρ, etγ étant eux-mêmes des morphismesde monoïdes, (Mon(C), ⊗, (I , ρI , idI ), α, λ, ρ, γ) est une catégorie monoïdale symétrique.

De manière duale, une cogèbre coünifère coassociative est un comonoïde dans la catégorie mo-noïdale desK-modules, un morphisme de cogèbres unifères est un morphisme de comonoïdes dansla catégorie monoïdale desK-modules et on peut munir la catégorie des comonoïdes d’une catégoriemonoïdale symétrique d’une structure monoïdale symétrique.

Exemple 4.1.4.SoientK un anneau commutatif etV un K-module. Nous allons définir sur T(V),défini dans l’exemple 4.1.3, une structure deK-cogèbre coassociative coünifère. On définit une appli-cationK-linéaire∆ de T(V) vers T(V) ⊗ T(V) en posant, pour tout entier n,

∆(x1 ⊗ . . . ⊗ xn) =n∑

p=0

∑σ∈Sp,n−p

((xσ(1) ⊗ . . . ⊗ xσ(p)) ⊗ (xσ(p+1) ⊗ . . . ⊗ xσ(n))) ,

oùSp,n−p est l’ensemble des permutationsσ du groupe symétriqueSn telles queσ est croissante surles intervalles[1, p] et [p+ 1,n]. On définit une application A-linéaireε de T(V) vers A en posant :

ε(v) =

0 si v < ι0(T0(V))ι−10 (v) sinon,

où ι0 est l’injection canonique de T0(V) vers T(V). Le triplet(T(V),∆, ε) est uneK-cogèbre coünifèrecoassociative.

Sur un mêmeK-module, on peut donc définir à la fois une structure deK-algèbre et une structuredeK-cogèbre. En quel sens peut-on dire qu’elles cohabitent ?

Théorème 4.1.5.SoitC = (C,⊗, I , α, λ, ρ, γ) une catégorie monoïdale symétrique, soit(V, µ, η) unmonoïde dansC et soit (V,∆, ε) un comonoïde dansC. Les deux assertions suivantes sont équiva-lentes.

(i) Les morphismesµ et η sont des morphismes de comonoïdes (au sens oùV ⊗ V est muni de lastructure de comonoïde définie ci-dessus).

(ii) Les morphismes∆ et ε sont des morphismes de monoïdes (au sens oùV ⊗ V est muni de lastructure de monoïde définie ci-dessus).


Démonstration.Par définition, dire queµ est un morphisme de comonoïdes signifie que les deuxdiagrammes

V ⊗ Vµ - V

(V ⊗ V) ⊗ (V ⊗ V)

∼V,V (∆ ⊗ ∆)

?

µ ⊗ µ- V ⊗ V

∆

?

(1)

et

V ⊗ Vµ - V

I

ε

ρ −1I (ε⊗ε) -

(2)

commutent dans la catégorieC.Par définition, dire queη est un morphisme de comonoïdes signifie que les deux diagrammes

Iη - V

ρ−1I

?I ⊗ I

η ⊗ η- V ⊗ V

∆

?

(3)

et

Iη - V

I

εid

I-

(4)

commutent dans la catégorieC.Par définition, dire que∆ est un morphisme de monoïdes signifie que les deux diagrammes

V ⊗ V∆ ⊗ ∆- (V ⊗ V) ⊗ (V ⊗ V)

V

µ

?

∆- V ⊗ V

(µ ⊗ µ) ∼V,V

?

(5)

4.1. BIGÈBRES 97

et

I

V∆

-

η

V ⊗ V

(η⊗η)

ρ −1I-

(6)

commutent dans la catégorieC.Par définition, dire queε est un morphisme de monoïdes signifie que les deux diagrammes

V ⊗ Vε ⊗ ε- I ⊗ I

V

µ

?

ε- I

ρI

?

(7)

I

Vε

-

η

I

idI

-

(8)

commutent dans la catégorieC.Les quatre premiers diagrammes sont exactement les mêmes que les quatre derniers.

Ceci justifie la définition suivante.

Définition 4.1.6. SoitC une catégorie monoïdale symétrique. Une bigèbre dansC est un quintuplet(V, µ, η,∆, ε), où (V, µ, η) est un monoïde dansC et (V,∆, ε) est un comonoïde dansC vérifiant lesconditions équivalentes du théorème 4.1.5.

µ est lamultiplicationde(V, µ, η,∆, ε) et∆ est lacomultiplicationde(V, µ, η,∆, ε).

Si, dans cette définition, on prend pourC la catégorie monoïdale symétrique desK-modules, onretrouve le notion de bigèbre au sens classique.

Exemple 4.1.7.Etant donnée une algèbre de monoideK[G], on peut définir une comultiplication∆en posant∆(g) = g⊗ g pour tout g∈ G et une coünitéε en posantε(g) = 1K pour tout g∈ G. Celadonne une bigèbre.

Exemple 4.1.8.SoientK un anneau commutatif etV = (V, . . .) unK-module. Le 5-uplet(T(V), µ, η,∆, ε), où T(V), µ, η, ∆ et ε sont tels que dans les exemples 4.1.3 et 4.1.4, est une bigèbre. En effet,vérifions que∆ est un morphisme d’algèbres. On sait qu’il existe un unique morphisme d’algèbresunifères∆′ de T(V) vers T(V) ⊗ T(V) tel que pour tout x∈ V,∆′(x) = (1⊗ x) + (x⊗ 1). On montrealors, par induction sur n, que∆′(x1 ⊗ . . . ⊗ xn) = ∆(x1 ⊗ . . . ⊗ xn) :

∆′(x1 ⊗ . . . ⊗ xn+1) = (∆′ µ)((x1 ⊗ . . . ⊗ xn) ⊗ xn+1)


= ((µ ⊗ µ) ∼T(V),T(V) (∆′ ⊗ ∆′))((x1 ⊗ . . . ⊗ xn) ⊗ xn+1)

= ((µ ⊗ µ) ∼T(V),T(V))(∆′(x1 ⊗ . . . xn) ⊗ ∆′(xn+1))

= ((µ ⊗ µ) ∼T(V),T(V))(∆(x1 ⊗ . . . xn) ⊗ ∆′(xn+1))

= ((µ ⊗ µ) ∼T(V),T(V))

(n∑

p=0

∑σ∈Sp,n−p

((xσ(1) ⊗ . . . ⊗ xσ(p)) ⊗ (xσ(p+1) ⊗ . . . ⊗ xσ(n))),

(1⊗ xn+1) + (xn+1 ⊗ 1))

= (µ ⊗ µ)(n∑

p=0

∑σ∈Sp,n−p

((((xσ(1) ⊗ . . . ⊗ xσ(p)) ⊗ 1)⊗ ((xσ(p+1) ⊗ . . . ⊗ xσ(n)) ⊗ xn+1))

+(((xσ(1) ⊗ . . . ⊗ xσ(p)) ⊗ xn+1) ⊗ ((xσ(p+1) ⊗ . . . ⊗ xσ(n)) ⊗ 1))))

=

n∑p=0

∑σ∈Sp,n−p

(((xσ(1) ⊗ . . . ⊗ xσ(p)) ⊗ (xσ(p+1) ⊗ . . . ⊗ xσ(n) ⊗ xn+1))

+((xσ(1) ⊗ . . . xσ(p) ⊗ xn+1) ⊗ (xσ(p+1) ⊗ . . . ⊗ xσ(n))))

=

n+1∑q=0

∑σ∈Sq,n+1−q

((xσ(1) ⊗ . . . ⊗ xσ(q)) ⊗ (xσ(q+1) ⊗ . . . ⊗ xσ(n+1)))

= ∆(x1 ⊗ . . . ⊗ xn+1)

.

La catégorieRel peut aussi être munie d’une structure monoïdale symétriqueR (le tenseur est leproduit cartésien ensembliste et l’unité est le singletonI = ∗). On peut donc aussi parler de bigèbresdansR. On en donne un exemple en s’inspirant de l’Exemple 4.1.8.

Exemple 4.1.9.Soit A un ensemble. On noteµA le morphisme de A<ω ⊗R A<ω vers A<ω dans lacatégorieReldéfini par

µA = ((〈α1, . . . , αm〉, 〈αm+1, . . . , αm+n〉), 〈α1, . . . , αm+n〉) ; m,n ∈ N et∀i (1 ≤ i ≤ m+ n⇒ αi ∈ A) .

On noteηA le morphisme de I vers A<ω dans la catégorieRel défini parηA = (∗, 〈〉). On note∆A lemorphisme de A<ω vers A<ω ⊗R A<ω défini par

∆A = (〈α1, . . . , αp+q〉, (〈ασ(1), . . . , ασ(p)〉, 〈ασ(p+1), . . . , ασ(p+q)〉)) ;

p,q ∈ N et∀i(1 ≤ i ≤ p+ q⇒ αi ∈ A) etσ ∈ Sp,q .

On noteεA le morphisme de A<ω vers I dansReldéfini parεA = (〈〉, ∗). Le 5-uplet(A<ω, µA, ηA, ∆A,

εA) est une bigèbre dansR.

Une bigèbre (V, µ, η,∆, ε) est ditcommutativesi le monoïde (V, µ, η) est commutatif, c’est-à-diresi le diagramme

V ⊗ VγV,V- V ⊗ V

V

µV

?

µV

-

4.2. INTERPRÉTER LES RÉSEAUX DIFFÉRENTIELS 99

commute dans la catégorieC.De manière duale, une bigèbre (V, µ, η,∆, ε) est ditecocommutativesi le comonoïde (V,∆, ε) est

cocommutatif, c’est-à-dire si le diagramme

V∆V- V ⊗ V

V ⊗ V

γV

?

∆V

-

commute dans la catégorieC.Les Exemples 4.1.2, 4.1.8 et 4.1.9 sont tous les trois des exemples de bigèbres cocommutatives.

Les bigèbres de l’Exemple 4.1.2 ne sont pas commutatives si le monoïde de départ n’est pas commuta-tif. Celles de l’Exemple 4.1.8 (respectivement celles de l’Exemple 4.1.9) ne sont jamais commutatives,à moins que la dimension duk-espace vectoriel de départ (respectivement le cardinal de l’ensemblede départ) ne soit strictement inférieure à 2.

4.2 Interpréter les réseaux différentiels

Définition 4.2.1. Un modèle des réseaux différentiels est un couple((C, ∗), (TA)A∈ob(C)), où– (C,⊥) = (C,⊗, I , α, λ, ρ, γ,⊥) est la catégorie∗-autonome sous-jacente à une catégorie∗-

autonome enrichie sur la catégorie monoïdale des monoïdes commutatifs ;– TA = (!A, µA, ηA,∆A, εA, codA,dA), où (!A, µA, ηA,∆A, εA) est une bigèbre dansC, codA ∈

C[A, !A] et dA ∈ C[!A,A] tels que les diagrammes

AcodA - !A

I

εA

?

0 IA

-

!AdA - A

I

ηA

6

0A

I

-

AcodA - !A

!A⊗ !A

∆A

?

((ηA ⊗

codA ) λA −1)

+

((codA ⊗ηA )

ρA −1)

-

!AdA - A

!A⊗ !A

µA

6

(λ A(ε A⊗

dA))

+

(ρ A(dA⊗ε A

))

-

et

AcodA - !A

A

dA

?

idA

-



Lorsqu’on aura un modèle (C, (TA)A∈ob(C)) avecTA = (!A, µA, ηA,∆A, εA, codA,dA), on interpréterala cocontraction par la multiplication, le coaffaiblissement par l’unité, la contraction par la comulti-plication et l’affaiblissment par la coünité. C’est pourquoi on poseracocA = µA, cowA = ηA, cA = ∆A

etwA = εA.

Exemple 4.2.2.La catégorie∗-autonome(R,⊥) = (Rel, . . .) (⊥= I = ∗) est enrichie sur la ca-tégorie monoïdale des monoïdes commutatifs : on prend pour la somme la réunion. Pour TA =

(!A, µA, ηA,∆A; εA, codA,dA), on pose– !A = A<ω ;– µA, ηA, ∆A et εA sont tels que définis dans l’Exemple 4.1.9 ;– codA est le morphisme de A vers!A dans la catégorieRel défini par codA = (α, 〈α〉) ; α ∈ A

et dA est le morphisme de!A vers A dans la catégorieReldéfini par dA = (〈α〉, α) ; α ∈ A.

On peut faire un certain nombre de remarques au sujet de cette définition :– on n’a supposé ni la commutativité ni la cocommutativité des bigèbres ;– les modèles des réseaux différentiels sont complètement symétriques ;– ils sont définis de manière locale : l’interprétation de !A, decA, cocA, etc... est définie formule

par formule ; rien n’empêche, par exemple, que, pour une certaine formuleA, cA soit cocom-mutative et que pour une autre formuleB, cB ne soit pas cocommutative...

Ces remarques amènent à la proposition suivante.

Proposition 4.2.3. Soit(C, (TA)A∈ob(C)) un modèle des réseaux différentiels, avec

C = ((C,⊗, I , α, λ, ρ, γ),⊥)

etTA = (!A, µA, ηA,∆A, εA, codA,dx) .

Alors (C, (T′A)A∈ob(C)) est un modèle des réseaux différentiels avec T′A = (!A, µ′A, η′A,∆

′A, ε′A, cod′A,d

′x),

où– µ′A estµA ouµA γ!A,!A, ∆′A est∆A ouγ!A,!A ∆A, η′A = ηA, ε′A = εA, cod′A = codA et d′A = dA ;– ou bien, dans le cas oùC = (R,⊥) = (Rel, . . .), µ′A = ∆A

∗, η′A = εA∗, ∆′A = µA

∗, cod′A = dA∗ et

d′A = codA∗, où, lorsque f∈ Rel[A, B], f ∗ est le morphisme de B vers A dans la catégorieRel

défini par f∗ = (β, α) ; (α, β) ∈ f .

Si toutes les bigèbres sont cocommutatives (respectivement commutatives), on dira que le mo-dèle des réseaux différentiels estcocommutatif(respectivementcommutatif). L’Exemple 4.2.2 est unexemple de modèle cocommutatif des réseaux différentiels, qui n’est pas commutatif.

Chapitre 5

Des réseaux différentiels à la logiquelinéaire

L’objectif de ce chapitre est de montrer qu’à partir d’un modèle des réseaux différentiels (voirChapitre 4), moyennant quelques hypothèses supplémentaires, on peut obtenir un modèle de la logiquelinéaire et un modèle du lambda-calcul simplement typé (voir Chapitre 3) en passant par la formule deTaylor-Ehrhard, qui traduit une boîte promotion dans les réseaux différentiels (voir Définition 5.2.14).L’une de ces hypothèses consiste en la possibilité de définir des séries de morphismes à coefficientsréels positifs. Formellement, cela signifie que la catégorie monoïdale symétrique fermée dans laquelleon interprète les réseaux différentiels est enrichie dans une catégorie monoïdale symétrique adéquate.La section 5.1 exhibe une telle catégorie monoïdale symétrique.

5.1 Préliminaires (semi-)algébriques

La solution adoptée peut paraître un peu grossière. En effet, au lieu de demander que seules cer-taines séries convergent (et, effectivement, on n’a besoin seulement quecertainesséries convergent),on va demander quetoutesles séries soient définies. Cela simplifie la question (pas de problème detopologie). Pour autant, on verra que, même ainsi, on capture des modèles intéressants. De plus, cettesolution est des plus naturelles. Elle présente des similitudes avec ce que l’on fait habituellement enthéorie de la mesure.

5.1.1 Monoïdes et semi-anneaux dénombrablement complets

La notion de monoïde (dénombrablement) complet, qui consiste essentiellement en un monoïdesur lequel on peut faire des sommes (dénombrablement) infinies, a été introduite par Krob dans [36].

Définition 5.1.1 ([36]). Soit(M,+,0) un monoïde commutatif. On dit que(M,+,0,∑

) est un monoïdedénombrablement complet si pour tout ensemble dénombrable I,

∑I est une application de MI vers

M de sorte que les conditions suivantes sont vérifiées :– pour toutν ∈ M∅,

∑∅ ν = 0 ;

– pour tout singleton I= α, pour toutν ∈ MI ,∑

I ν = ν(α) ;– pour toute paire I= α1, α2, pour toutν ∈ MI ,

∑I ν = ν(α1) + ν(α2) ;

– pour tout ensemble dénombrable I, pour toutν ∈ MI et pour toute partition(J j) j∈J de I, on a∑I ν =

∑J g, où g est la fonction de J vers M définie par g( j) =

∑J jν|J j .

101

102 CHAPITRE 5. DES RÉSEAUX DIFFÉRENTIELS À LA LOGIQUE LINÉAIRE

On écrira aussi∑

i∈I ν(i) au lieu de∑

I ν.

Exemple 5.1.2.R+ = (R+ ∪ ∞,+,0,∑

), où R+ est l’ensemble des réels positifs, est un monoïdedénombrablement complet si on pose∑

I

ν = sup∑

J

ν|J ; J ⊆ I et J fini .

La notion de semi-anneau (dénombrablement) complet a également été introduite par Krob : pourl’essentiel, c’est un semi-anneau dans lequel on peut faire des sommes (dénombrablement) infinies.

Définition 5.1.3 ([36]). Soit (K,+,0,×,1) un semi-anneau. On dit que(K,+,0,∑,×,1) est un semi-

anneau dénombrablement complet si– (K,+,0,

∑) est un monoïde dénombrablement complet ;

– et pour tout ensemble dénombrable I, pour toutν ∈ K I , pour toutλ ∈ K, λ× (∑

I f ) =∑

I (λ× f )et (∑

I f ) × λ =∑

I ( f × λ).

Exemple 5.1.4.L’Exemple 5.1.2 se prolonge naturellement en semi-anneau dénombrablement com-plet, que l’on notera encoreR+.

5.1.2 Semi-modules dénombrablement complets

A partir de maintenant,K = (K,+K ,0K ,∑,×,1) désigne un semi-anneau dénombrablement com-

plet.

Définition 5.1.5 ([36]). On dit que(V,+V,0V,∑, ·) est unK-semi-module dénombrablement complet

si– (V,+V,0V,

∑, ·) est unK-semi-module ;

– (V,+V,0V,∑

) est un monoïde dénombrablement complet ;– pour toutλ ∈ K, pour tout ensemble dénombrable I, pour toutν ∈ VI , λ · (

∑I ν) =

∑I (λ · ν) ;

– pour tout ensemble dénombrable I, pour toutµ ∈ K I , pour tout v∈ V, on a

(∑i∈I

µ(i)) · v =∑i∈I

(µ(i) · v) .

Exemple 5.1.6.Soient A et B deux ensembles. Pour toutν ∈ P(A×B)I , on pose∑

I ν =⋃ν(i) ; i ∈ I .

Pour tout f ∈ P(A× B), pour toutλ ∈ R+ ∪ ∞, on pose

λ · f =

∅ si λ = 0 ;f sinon.

(P(A× B),∪, ∅,∑, ·) est unR+-semi-module dénombrablement complet.

Définition 5.1.7. SoientV1 = (V1,+1,01,∑, ·) et V2 = (V2,+2,02,

∑, ·) deuxK-semi-modules dé-

nombrablement complets. On dit qu’une application f de V1 vers V2 est dénombrablementK-linéairesi :

– pour toutλ ∈ K, pour tout x∈ V1, f (λ · x) = λ · f (x) ;– et pour tout ensemble dénombrable I, pour toutν ∈ V1

I , f (∑

I ν) =∑

I ( f ν).

On note1/2ModK la catégorie dont les objets sont lesK-semi-modules dénombrablement com-plets et dont les flèches sont les applications dénombrablementK-linéaires. Reste à munir cette caté-gorie d’une structure monoïdale.

On noteUK le foncteur de1/2ModK versSetdéfini parUK(V,+V,0V,∑, ·) = V sur les objets et

par l’identité sur les flèches.

5.1. PRÉLIMINAIRES (SEMI-)ALGÉBRIQUES 103

Définition 5.1.8. Soit A un ensemble. On note FK(A) le K-semi-module dénombrablement complet(K〈A〉,+,0,

∑, ·), où K〈A〉 est l’ensemble des applications de A dans K à support dénombrable, avec

( f + g)(x) = f (x) +K g(x), 0(x) = 0K, (∑

I ν)(x) =∑

I ν′x où ν′x(i) = ν(i)(x) et (λ · f )(x) = λ f (x), et on

note iA l’application de A vers K(A) définie par iA(x)(y) =

1 si x= y ;0 sinon.

Proposition 5.1.9. Pour tout ensemble A,(FK(A), iA) est une flèche universelle de A vers UK.

Démonstration.Soit A un ensemble. SoitV unK-semi-module dénombrablement complet et soitfune application deA versUK(V). Pour toutg ∈ UK(FK(A)), on posef (g) =

∑α∈A g(α) · f (α) . On a :

– f ∈ 1/2ModK[FK(A),V] ;– UK( f ) iA = f .

De plus, sif ′ ∈ 1/2ModK[FK(A),V] tel queUK( f ′) iA = f , alors on af = f ′.

Définition 5.1.10. SoitV = (V,+V,0V,∑, ·) un K-semi-module dénombrablement complet. On dit

qu’une relation d’équivalence∼ sur V est une relation compatible surV si l’on a :– pour toutλ ∈ K, pour tous x, y ∈ V, x∼ y⇒ λ · x ∼ λ · y ;– et, pour tout ensemble dénombrable I, pour tousν1, ν2 ∈ VI , on a

(∀i ∈ I ν1(i) ∼ ν2(i)⇒∑

I

ν1 ∼∑

I

ν2) .

Proposition 5.1.11.SoitV = (V,+V,0V,∑, ·) unK-semi-module dénombrablement complet et soit∼

une relation compatible surV. On note p la surjection canonique de V sur V/∼. AlorsV/∼ = (V/∼,+∼, 0∼,

∑, ·) est unK-semi-module dénombrablement complet, oùλ · p(x) = p(λ · x) et

∑I (p ν) =

p(∑

I ν), et p ∈ 1/2ModK[V,V/∼]. De plus, si f∈ 1/2ModK[V,V′] est tel que pour tous v, v′ ∈ Vavec v∼ v′, on a f(v) = f (v′), alors il existe un uniquef ∈ 1/2ModK[V,V′] tel que f= f p.

Démonstration.Tout élémentx deV/∼ est de la formep(v). On doit donc avoirf (x) = f (p(v)) = f (v).Ceci prouve l’unicité def .

Le fait que f soit une application dénombrablementK-linéaire provient du fait quef est uneapplication dénombrablementK-linéaire.

SoientV1 = (V1,+1,01,∑, ·) etV2 = (V2,+2,02,

∑, ·) deuxK-semi-modules dénombrablement

complets. On définit une relation binaire∼0 surUK(FK(V1 × V2)) : pour tousv = (v1, v2) ∈ V1 × V2,

v′ ∈ UK(FK(V1 × V2)), on aiV1×V2(v) ∼0 v′ si, et seulement si,– (il existeλ0 ∈ K et il existex1 ∈ V1 tels quev1 = λ0 · x1 etv′ = λ0 · i(V1×V2)(x1, v2))– ou (il existeλ0 ∈ K et il existex2 ∈ V2 tels quev2 = λ0 · x2 etv′ = λ0 · i(V1×V2)(v1, x2))– ou (il existe un ensemble dénombrableI et une applicationν2 de I versV2 tels quev2 =

∑I ν2

etv′ =∑

i∈I iV1×V2(v1, ν2(i)))– ou (il existe un ensemble dénombrableI et une applicationν1 de I versV1 tels quev1 =

∑I ν1

etv′ =∑

i∈I iV1×V2(ν1(i), v′2)).On note∼ la plus petite relation compatible surFK(V1 × V2) contenant∼0.

On poseV1 ⊗K V2 = FK(V1 × V2)/ ∼ et on noteiV1,V2 = UK(p) iV1×V2, où p est la surjectioncanonique deFK(V1 × V2) surV1 ⊗K V2.

Définition 5.1.12. SoientV1, V2 etV3 troisK-semi-modules dénombrablement complets. Soit f uneapplication de UK(V1) × UK(V2) vers UK(V3). On dit que f est une application dénombrablementK-bilinéaire deV1 × V2 versV3 si l’on a :


– pour tout v1 ∈ UK(V1), l’application v2 7→ f (v1, v2) est une application dénombrablementK-linéaire deV2 versV3

– et pour tout v2 ∈ UK(V2), l’application v1 7→ f (v1, v2) est une application dénombrablementK-linéaire deV1 versV3.

Proposition 5.1.13. SoientV1 = (V1,+1,01,∑, ·), V2 = (V2,+2,02,

∑, ·) et V3 = (V3,+3,03,

∑, ·)

troisK-semi-modules dénombrablement complets et soit f une application de V1 × V2 vers V3. L’ap-plication f est bilinéaire deV1×V2 versV3 si, et seulement si, pour tous v, v′ ∈ FK(V1×V2) tels quev ∼ v′, on a f (v) = f (v′), où f est l’application définie par la Proposition 5.1.9.

Démonstration.Remarquer quef est bilinéaire deV1 × V2 versV3 si, et seulement si, on a– (pour tout (v1, v2) ∈ V1 × V2, pour toutλ ∈ K, f (λ · v1, v2) = λ · f (v1, v2))– et (pour tout (v1, v2) ∈ V1 × V2, pour toutλ ∈ K, f (v1, λ · v2) = λ · f (v1, v2))– et (pour tout ensemble dénombrableI , pour toute applicationν1 de I versV1, pour toutv2 ∈ V2,

f (∑

i∈I ν1(i), v2) =∑

i∈I f (ν1(i), v2))– et (pour tout ensemble dénombrableI , pour toutv1 ∈ V1, pour toute applicationν2 de I versV2,

f (v1,∑

i∈I ν2(i)) =∑

i∈I f (v1, ν2(i))).

Théorème 5.1.14.SoientV1,V2 et V3 trois K-semi-modules dénombrablement complets et soit fune application dénombrablementK-bilinéaire deV1 × V2 versV3. Alors il existe un uniquef ∈1/2ModK[V1 ⊗K V2,V3] tel que f= UK( f ) iV1,V2.

Démonstration.Appliquer les Propositions 5.1.13 et 5.1.11.

⊗K s’étend en un foncteur de1/2ModK × 1/2ModK vers 1/2ModK en posantf1 ⊗K f2 =iW1⊗KW2 ( f1 × f2). De plus, on peut définir des isomorphismes canoniquesαK, λK, ρK etγK de tellemanière queSK = (1/2ModK,⊗K,K, αK, λK, ρK, γK) soit une catégorie monoïdale symétrique.

5.2 Construction du modèle

5.2.1 Réseaux différentiels avec sommes infinies et coefficients réels positifs

On suppose que l’on s’est donné une catégorie∗-autonome enrichie surSR+ . Cela signifie :– que l’on a une catégorie enrichieC = (O, (C(A, B))A,B∈ob(C),M, j) surSR+ :

– on noteC la catégorie sous-jacente, c’est-à-dire la catégorie dont les objets sont les élémentsdeO et telle queC[A, B] = UR+(C(A, B)) et idCA = jA(1) et, si f ∈ C[A, B] et g ∈ C[B,C],alors on poseg C f = MA,B,C(g⊗R+ f ) ;

– pour tous objetsA et B, C(A, B) est unR+-semi-module dénombrablement complet donc ilpossède un élément neutre pour l’addition : on le notera 0A

B ;– que l’on a un foncteur enrichi⊗ surSR+ deC⊗SR+ C versC, c’est-à-dire un foncteur⊗ deC×C

versC tel que :– (∑

i∈I λi · fi) ⊗ g =∑

i∈I λi · ( fi ⊗ g)– et f ⊗

∑i∈I λi · gi =

∑i∈I λi · ( f ⊗ gi) ;

– et que l’on a une catégorie∗-autonome (C,⊥) avecC = (C,⊗, I , α, λ, ρ, γ).Par conséquent, on aura le fait suivant.

Fait 5.2.1. Soient I un ensemble dénombrable, f∈ C[B,C], (gi)i∈I ∈ C[A, B] I et (λi)i∈I ∈ (R+∪∞)I .On a f

∑i∈I λi · gi =

∑i∈I λi · ( f gi).

5.2. CONSTRUCTION DU MODÈLE 105

De plus, on suppose que ((C,⊥), (TA)A∈ob(C)) est un modèle des réseaux différentiels. On dira que(C, (C, ∗), (TA)A∈ob(C)), où (C, ∗) est une catégorie∗-autonome sous-jacente à une catégorie enrichieC sur la catégorie monoïdale symétriqueSR+ , est unmodèle des réseaux différentiels avec sommesinfinies et coefficients réels positifs.

Enfin, le modèle ((C, ∗), (TA)A∈ob(C)) des réseaux différentiels est supposécocommutatif, contrai-rement à ce qui se passait au Chapitre 4. On reporte au Chapitre 7 une discussion à ce sujet.

Ce modèle fournit, pour tout objetA de la catégorie, des morphismescocA, cowA, cA, wA, codA etdA. On peut alors définir, par induction surn, cocn

A etcnA :

– coc0A = cowA etc0

A = wA ;– coc1

A = idT(A) etc1A = idT(A) ;

– pourn ≥ 2, cocn+1A = cocA (cocn

A ⊗ idT(A)) etcn+1A = (cn

A ⊗ idT(A)) cA.

Fait 5.2.2. Pour tout entier n, on a cnA cowA =⊗n

i=1 cowA can−n .

Démonstration.Par induction surn. Si n = 0, c’est le diagramme (8) du Théorème 4.1.5.

Lemme 5.2.3.Pour tout entier n, on a

cnA codA =

n∑i=1

⊗〈cowA, . . . , cowA︸︷︷︸

i−1 fois

, codA, cowA, . . . , cowA︸︷︷︸n−i fois

〉 (cani−1,n−iA )−1 .

Démonstration.Par induction surn, en appliquant le Fait 5.2.2.

Fait 5.2.4. Pour tout entier n, on a cnA cocA =⊗n

i=1 cocA ∼nT(A),T(A) (c

nA ⊗ cn

A) .

Démonstration.Par induction surn. Si n = 0, c’est le diagramme (7) du Théorème 4.1.5.

Lemme 5.2.5.Pour tous entiers n et p, on a cnA cocp

A =⊗n

i=1 cocpA ∼

n,pT(A)

⊗pj=1 cn

A .

Démonstration.Par induction surp, en appliquant le Fait 5.2.4.

Fait 5.2.6. Pour tout entier p, on a wA cocpA = canp

⊗pj=1 wA.

Démonstration.Par induction surp. Si p = 0, c’est le diagramme (8) du Théorème 4.1.5.

Lemme 5.2.7.Pour tout entier p non nul, pour tout objet A deC, on a

wA cocpA

p⊗j=1

codA = 0⊗p

j=1 B

I .

Démonstration.Appliquer le Fait 5.2.6.

Lemme 5.2.8.Pour tout entier p, on a

dA cocpA =

p∑j=1

canj−1,n− jA

⊗〈wA, . . . ,wA︸︷︷︸

j−1 fois

,dA,wA, . . . ,wA︸︷︷︸n− j fois

〉 .

Démonstration.Par induction surp, en appliquant le Fait 5.2.6.


Proposition 5.2.9. Pour tout entier p, 1, pour tout objet A deC, on a

dA cocpA

p⊗j=1

codA = 0⊗p

j=1 T(A)

A .

Démonstration.Appliquer le Lemme 5.2.8.

Lemme 5.2.10.Pour tout entier p, pour tout objet A deC, on a

cA cocpA

p⊗j=1

codA =∑

p1+p2=p

∑σ∈S(p1,p2)

((cocp1A

p1⊗j=1

codA) ⊗ (cocp2A

p2⊗j=1

codA)) α(p1,p2)A σ−1

A .

Démonstration.Par induction surp.

Lemme 5.2.11.Pour tout entier n, pour tout objet A deC, on a

n⊗i=1

dA cnA cocA =

∑n1+n2=n

∑σ∈S(n1,n2)

σA (α(n1,n2)A )−1 ((

n2⊗i=1

dA cn1A ) ⊗ (

n2⊗i=1

dA cn2A )) .

Démonstration.Par induction surn.

Proposition 5.2.12.Pour tous entiers n et p, pour tout objet A deC, on a

cnA cocp

A

p⊗j=1

codA =∑

∑ni=1 pi=p

∑σ∈S(p1,...,pn)

n⊗i=1

(cocpiA

pi⊗j=1

codA) α(p1,...,pn)A σ−1

A .

Démonstration.Par induction surn, en utilisant le Lemme 5.2.10.

On en déduit alors le corollaire suivant.

Corollaire 5.2.13. Pour tous entiers p et n, pour tout objet A deC, on a

n⊗i=1

dA cnA cocp

A

p⊗j=1

codA =

0⊗p

j=1 A⊗ni=1 A

si n, p∑σ∈Sn

σA sinon.


On va maintenant construire un modèle de MELL.

5.2.2 Traduire la logique linéaire dans les réseaux différentiels

L’objectif de cette sous-section est, en partant d’un modèle cocommutatif des réseaux différentielsavec sommes infinies et coefficients réels positifs,

– de définirT, δ, d, m, n ;– de montrer que (C, (T,m, n), δ,d), c,w) est un modèle de IMELL au sens de la Définition 3.3.2

(Théorème 5.2.35).Puisque l’on a un objet dualisant⊥, on obtiendra même un modèle de MELL.


La formule de Taylor-Ehrhard

Voici la formule de Taylor-Ehrhard, qui traduit les boîtes de la logique linéaire avec exactementune porte auxiliaire dans les réseaux différentiels avec sommes infinies et coefficients réels positifs.

Définition 5.2.14. Pour tout f ∈ C[T A, B], on définit fT ∈ C[T(A),T(B)] en posant

f T =∑

n

1n!

(cocnB

n⊗i=1

(codB f ) cnA) .

Une comonade faible

Pour tout f ∈ C[A, B], on définitT( f ) ∈ C[T(A),T(B)] en posantT( f ) = ( f dA)T . Pour toutobjetA deC, on définitδA ∈ C[T(A),T(T(A))] en posantδA = (idT A)T . Enfin, on posed = (dA)A∈ob(C)

etδ = (δA)A∈ob(C).

Lemme 5.2.15.T est un semi-foncteur de la catégorieC vers la catégorieC.

Démonstration.Soient f ∈ C[A, B] et g ∈ C[B,C].

T(g f ) =∑

n

1n!

(cocnC

n⊗i=1

(codB g f dA) cnA)

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnC

n⊗i=1

(codC g) n⊗

i=1

( f dA) σT A cnA)

(par cocommutativité decA)

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnC

n⊗i=1

(codC g) σT B

n⊗i=1

( f dA) cnA)

=∑m,n

1m!n!

(cocmC

m⊗i=1

(codC g) m⊗

i=1

dC cmB cocn

B

n⊗i=1

codB

n⊗i=1

( f dA) cnA)

(par le Corollaire 5.2.13)

=∑

n

1n!

(cocnB

n⊗i=1

(codC g dC) cnB) ∑

n

1n!

(cocnB

n⊗i=1

(codB f dA) cnA)

= T(g) T( f )

Lemme 5.2.16.d est une transformation naturelle de T vers idC.

Démonstration.Soit f ∈ C[A, B].

dB T( f ) = dB ∑

n

1n!

(cocnB

n⊗i=1

(codB f ) cnA)

=∑

n

1n!

(dB cocnB

n⊗i=1

(codB f ) cnA)


=11!

(dB coc1B

1⊗i=1

(codB f ) c1A)


= dB codB f

= idB f

= f

Fait 5.2.17. Pour tout f ∈ C[T A, B], on a T( f ) δA = f T .

Démonstration.

T( f ) δA =∑

n

1n!

(cocnB

n⊗i=1

(codB f dT A) cnT A)

∑p

1p!

(cocpT A

n⊗i=1

(codT A idT A cpA))

=∑n,p

1n!p!

(cocnB

n⊗i=1

(codB f ) n⊗

i=1

dT A cnT A cocp

T A

p⊗i=1

codT A cpA)

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnB

n⊗i=1

(codB f ) σT A cpA)


=∑

n

1n!

(cocnB

n⊗i=1

(codB f ) cnA)


= f T

Lemme 5.2.18.δ est une transformation naturelle de T vers T T.

Démonstration.Soit f ∈ C[A, B]. On a

δB T( f ) =∑

n

1n!

((cocnT B

n⊗j=1

codT B cnB))

∑p

1p!

(cocpB

p⊗j=1

(codB f dA) cpA)

=∑n,p

1n!p!

cocnT(B)

n⊗i=1

codT(B) cnB cocp

B

p⊗j=1

codB

p⊗j=1

( f dA) cpA

=∑n,p

1n!p!

∑p1+...+pn=p

∑σ∈S(p1,...,pn)

cocnT(B)

n⊗i=1

codT(B)

n⊗i=1

(cocpiA

pi⊗j=1

codA) α(p1,...,pn)A σ−1

B

p⊗j=1

( f dA) cpA



=∑n,p

1n!p!

∑p1+...+pn=p

∑σ∈S(p1,...,pn)

cocnT(B)

n⊗i=1

codT(B)

n⊗i=1

(cocpiA

pi⊗j=1

codA) α(p1,...,pn)A

p⊗j=1

( f dA) σ−1T(A) cp

A

=∑n,p

1n!

∑p1+...+pn=p

1p1! . . . pn!

cocnT(B)

n⊗i=1

codT(B)

n⊗i=1

(cocpiA

pi⊗j=1

codA) αp1,...,pn)A

p⊗j=1

( f dA) cpA


=∑n,p

1n!

∑p1+...+pn=p

1p1! . . . pn!

cocnT(B)

n⊗i=1

codT(B)

n⊗i=1

(cocpiA

pi⊗j=1

codA) n⊗

i=1

pi⊗j=1

( f dA) α(p1,...,pn)T(A) cp

A

=∑n,p

1n!

∑p1+...+pn=p

1p1! . . . pn!

cocnT(B)

n⊗i=1

codT(B)

n⊗i=1

(cocpiA

pi⊗j=1

codA) n⊗

i=1

pi⊗j=1

( f dA) n⊗

i=1

cpiA cn

A

=∑

n

1n!

∑p1,...,pn

1p1! . . . pn!

cocnT(B)

n⊗i=1

codT(B)

n⊗i=1

(cocpiA

pi⊗j=1

codA) n⊗

i=1

pi⊗j=1

( f dA) n⊗

i=1

cpiA cn

A

=∑

n

1n!

(cocnT B

n⊗i=1

(codT B T( f )) cnA)

= (T( f ))T

= (T T)( f ) δA

(par le Fait 5.2.17).

Lemme 5.2.19.Pour tout objet A deC, on aδT A δA = TδA δA.

Démonstration.On a

δT A δA = (idTT A)T (idT A)T

=∑

n

1n!

(cocnTT A

n⊗i=1

codTT A cnT A)

∑p

1p!

(cocpT A

p⊗j=1

codT A cpA)

=∑n,p

1n!p!

cocpTT A

n⊗i=1

codTT A cnT A cocp

T A

p⊗j=1

codT A cpA


=∑n,p

∑p1+...+pn=p

∑σ∈S(p1,...,pn)

1n!p!

cocnTT A

n⊗i=1

codTT A

n⊗i=1

(cocpi

T(A)

pi⊗j=1

codA) α(p1,...,pn)T(A) σ−1

T(A) cpA


=∑n,p

∑p1+...+pn=p

1n!p1 . . . pn!

cocnT(T(A))

n⊗i=1

codT(T(A))

n⊗i=1

−cocpiA

pi⊗j=1

codA) αp1,...,pn)T(A) cp

A


=∑n,p

∑p1+...+pn=p

1n!p1! . . . pn!

cocnT(T(A))

n⊗i=1

codT(T(A))

n⊗i=1

(cocpiA

pi⊗j=1

codA) n⊗

i=1

cpiA cn

A

=∑

n

∑p1,...,pn

1p1! . . . pn!

cocnTT A

n⊗i=1

codTT A

n⊗i=1

(cocpiA

pi⊗j=1

codA) n⊗

i=1

cpiA cn

A

=∑

n

∑p1,...,pn

1n!p1 . . . pn!

cocnTT A

n⊗i=1

codTT A

n⊗i=1

(cocpiA

pi⊗j=1

codA cpiA ) cn

A

=∑

n

1n!

cocnTT A

n⊗i=1

codTT A

n⊗i=1

δA cnA

= δAT

= TδA δA

(par le Fait 5.2.17).

Lemme 5.2.20.Pour tout objet A deC, on a dT A δA = idT A.

Démonstration.

dT A δA = dT A (∑

n

1n!

(cocnT A

n⊗i=1

codT A cnA))

=∑

n

1n!

(dT A cocnT A

n⊗i=1

codT A cnA)

=11!

(dT A coc1T A

1⊗i=1

codT A c1A)



= dT A codT A

= idT A

Lemme 5.2.21.Pour tout objet A deC, on a T(dA) δA = T(idA).

Démonstration.

T(dA) δA =∑

p

1p!

(cocpA

p⊗j=1

(codA dA dT A) cpT A)

∑n

1n!

(cocnT A

n⊗i=1

codT A cnA)

=∑p,n

1p!n!

(cocpA

p⊗j=1

(codA dA dT A) cpT(A) cocn

T A

n⊗i=1

codT A cnA)

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocA

n⊗i=1

(codA dA) σT A cnA)


=∑

n

1n!

(cocA

n⊗i=1

(codA dA) cnA)


= T(idA)

Proposition 5.2.22.(T, δ,d) est une comonade faible dans la catégorieC.

Démonstration.Appliquer les Lemmes 5.2.15, 5.2.16, 5.2.18, 5.2.19, 5.2.20 et 5.2.21 et remarquerque le Fait 5.2.17 implique la normalité deδ.

Un semi-foncteur monoïdal symétrique

Définition 5.2.23. Pour tous objets A et B deC, on définitmA,B ∈ C[T(A)⊗T(B),T(A⊗B)] en posant

mA,B =∑

n

1n!

(cocnA⊗B

n⊗i=1

codA⊗B ∼n(A,B) (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B)) .

Remarque 5.2.24.Pour tout f ∈ C[T(A) ⊗ T(B),C], on a

T( f ) mT(A),T(B) (δA ⊗ δB) =∑

n

1n!

(cocnC

n⊗i=1

(codC f ) ∼n(T(A),T(B)) (c

nA ⊗ cn

B)) .

En effet, on a

mT(A),T(B) (δA ⊗ δB)

=∑n,p,q

1n!p!q!

(cocnT(A)⊗T(B)

n⊗i=1

codT(A)⊗T(B) ∼n(T(A),T(B)) (

n⊗i=1

dT(A) ⊗

n⊗i=1

dT(B))

(cnT(A) ⊗ cn

T(B)) ((cocpT(A)

p⊗j=1

codT(A) cpA) ⊗ (cocq

T(B)

q⊗j=1

codT(B) cqB))


=∑n,p,q

1n!p!q!

(cocnT(A)⊗T(B)

n⊗i=1

codT(A)⊗T(B) ∼n(T(A),T(B))

((n⊗

i=1

dT(A) cnT(A) cocp

T(A)

p⊗j=1

codT(A)) ⊗ (n⊗

i=1

dT(B) cnT(B) cocq

T(B)

q⊗j=1

codT(B)))

(cpA ⊗ cq

B))

=∑

n

1(n!)3

∑σ,τ∈Sn

(cocnT(A)⊗T(B)

n⊗i=1

codT(A)⊗T(B) ∼n(T(A),T(B)) (σT(A) ⊗ τT(B)) (cn

A ⊗ cnB))


=∑

n

1n!

(cocnT(A)⊗T(B)

n⊗i=1

codT(A)⊗T(B) ∼n(T(A),T(B)) (c

nA ⊗ cB))

(par cocommutativité de cA et cB)

donc on a

T( f ) mT(A),T(B) (δA ⊗ δB)

=∑p,n

1p!n!

(cocpC

p⊗j=1

(codC f dT(A)⊗T(B)) cpT(A)⊗T(B) cocn

T(A)⊗T(B)

n⊗i=1

codT(A)⊗T(B)

∼n(T(A),T(B)) (c

nA ⊗ cn

B))

=∑

n

1(n!)2

(cocnC

n⊗i=1

(codC f ) σnT(A)⊗T(B) ∼

n(T(A),T(B)) (c

nA ⊗ cn

B))


=∑

n

1n!

(cocnC

n⊗i=1

(codC f ) ∼n(T(A),T(B)) (c

nA ⊗ cn

B))

(par cocommutativité de cA et cB).

Lemme 5.2.25.m est une transformation naturelle normale de⊗ (T × T) vers T ⊗.

Démonstration.Montrons tout d’abord la naturalité. Pour tousf ∈ C[A,A′] et g ∈ C[B, B′], on a

mA′,B′ (T( f ) ⊗ T(g))

=∑

n

1n!p1!p2!

(cocnA′⊗B′

n⊗i=1

codA′⊗B′ ∼n(A′,B′) (

n⊗i=1

dA′ ⊗

n⊗i=1

dB′) (cnA′ ⊗ cn

B′))

((cocp1A′

p1⊗i=1

(codA′ f dA) cp1A ) ⊗ (cocp2

B′

p2⊗i=1

(codB′ g dB) cp2B ))

=∑

n

1(n!)3

∑σ,τ∈Sn

(cocnA′⊗B′

n⊗i=1

codA′⊗B′ ∼n(A′,B′) (σA′ ⊗ τB′)

(n⊗

i=1

f ⊗n⊗

i=1

g) (n⊗

i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))



=∑

n

1(n!)3

∑σ,τ∈Sn

(cocnA′⊗B′

n⊗i=1

codA′⊗B′

n⊗i=1

( f ⊗ g)

∼n(A,B) (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (σT A⊗ τT B) (cnA ⊗ cn

B))

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnA′⊗B′

n⊗i=1

codA′⊗B′

n⊗i=1

( f ⊗ g)

∼n(A,B) (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (σT(A) ⊗ σT(B)) (cnA ⊗ cn

B))

(par cocommutativité decA etcB)

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnA′⊗B′

n⊗i=1

codA′⊗B′

n⊗i=1

( f ⊗ g)

σA⊗B ∼n(A,B) (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))

=∑n,p

1n!p!

∑σ∈Sn

(cocnA′⊗B′

n⊗i=1

codA′⊗B′

n⊗i=1

( f ⊗ g)

n⊗i=1

dA⊗B cnA⊗B cocp

A⊗B

p⊗i=1

codA⊗B ∼p(A,B) (

p⊗j=1

dA ⊗

p⊗j=1

dB) (cpA ⊗ cp

B))


= T( f ⊗ g) mA,B .

Montrons maintenant la normalité.

T(idA⊗B) mA,B

=∑

p

1p!

(cocpA⊗B

p⊗j=1

(codA⊗B dA⊗B) cpA⊗B)

∑

n

1n!

(cocnA⊗B

n⊗i=1


n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))

=∑p,n

1p!n!

(cocpA⊗B

p⊗j=1

codA⊗B

p⊗j=1

dA⊗B cpA⊗B cocn

A⊗B

n⊗i=1

codA⊗B

∼n(A,B) (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocpA⊗B

n⊗j=1

codA⊗B σA⊗B ∼n(A,B) (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))


=∑

n

1n!

(cocpA⊗B

n⊗j=1


n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))



= mA,B .

Définition 5.2.26. On pose

n =∑

n

1n!

(cocnI

n⊗i=1

codI can−n) .

Proposition 5.2.27.(T,m, n) est un semi-endofoncteur monoïdal symétrique de(C,⊗, I , α, λ, ρ, γ).

Démonstration.Par le Lemme 5.2.15, on sait queT est un semi-endofoncteur deC et, par le Lemme5.2.25, on sait quem est une transformation naturelle normale de⊗ (T × T) versT ⊗. Par ailleurs,on a

mA⊗B,C (mA,B ⊗ idT(C))

=∑p,n

1p!n!

(cocp(A⊗B)⊗C

p⊗j=1

cod(A⊗B)⊗C ∼pA⊗B,C (

p⊗j=1

dA⊗B ⊗

p⊗j=1

dC) (cpA⊗B ⊗ cp

C)

((cocnA⊗B

n⊗i=1

codA⊗B ∼nA,B (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B)) ⊗ idT(C))

=∑p,n

1p!n!

(cocp(A⊗B)⊗C

p⊗j=1

cod(A⊗B)⊗C ∼pA⊗B,C ((

p⊗j=1

dA⊗B cpA⊗B cocn

A⊗B

n⊗i=1

codA⊗B

∼nA,B (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B)) ⊗ (p⊗

j=1

dC cpC)))

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocn(A⊗B)⊗C

n⊗j=1

cod(A⊗B)⊗C ∼nA⊗B,C

((σA⊗B ∼nA,B (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B)) ⊗ (n⊗

j=1

dC cnC)))


=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocn(A⊗B)⊗C

n⊗j=1


((∼nA,B (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (σT(A) ⊗ σT(B)) (cnA ⊗ cn

B)) ⊗ (n⊗

j=1

dC cnC)))

=∑

n

1n!

(cocn(A⊗B)⊗C

n⊗j=1


((∼nA,B (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B)) ⊗ (n⊗

j=1

dC cnC)))



et, pour tout entiern, on a

∼nA⊗B,C ((∼

nA,B (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B)) ⊗ (n⊗

j=1

dC cnC)) αT(A),T(B),T(C)

= ∼n(A⊗B,C) (∼

nA,B ⊗id⊗n

i=1 C) (((n⊗

i=1

dA cnA) ⊗ (

n⊗i=1

dB cnB)) ⊗ (

n⊗i=1

dC cnC)) αT(A),T(B),T(C)

= ∼n(A⊗B,C) (∼

nA,B ⊗id⊗n

i=1 C)

α⊗ni=1 A,

⊗ni=1 B,

⊗ni=1 C ((

n⊗i=1

dA cnA) ⊗ ((

n⊗i=1

dB cnB) ⊗ (

n⊗i=1

dC cnC)))

=

n⊗i=1

αA,B,C ∼n(A,B⊗C) (id

⊗ni=1 A⊗ ∼

n(B,C)) ((

n⊗i=1

dA cnA) ⊗ ((

n⊗i=1

dB cnB) ⊗ (

n⊗i=1

dC cnC)))

donc on a

mA⊗B,C (mA,B ⊗ idT(C)) αT(A),T(B),T(C)

=∑

n

1n!

(cocn(A⊗B)⊗C

n⊗j=1

cod(A⊗B)⊗C

∼nA⊗B,C ((∼

nA,B (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B)) ⊗ (n⊗

j=1

dC cnC)) αT(A),T(B),T(C))

=∑

n

1n!

(cocn(A⊗B)⊗C

n⊗i=1

cod(A⊗B)⊗C

n⊗i=1

αA,B,C ∼n(A,B⊗C) (id

⊗ni=1 A⊗ ∼

n(B,C))

((n⊗

i=1

dA cnA) ⊗ ((

n⊗i=1

dB cnB) ⊗ (

n⊗i=1

dC cnC))))

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocn(A⊗B)⊗C

n⊗i=1

(cod(A⊗B)⊗C αA,B,C) ∼p(A,B⊗C)

((p⊗

j=1

dA σT(A) cpA) ⊗ (∼p

(B,C) (p⊗

k=1

dB ⊗

p⊗k=1

dC) ((σT(B) cpB) ⊗ (σT(C) cp

C)))))

(par cocommutativité decA, cB etcC)

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocn(A⊗B)⊗C

n⊗i=1

(cod(A⊗B)⊗C αA,B,C) σA⊗(B⊗C) ∼p(A,B⊗C)

((p⊗

j=1

dA cpA) ⊗ (∼p

(B,C) (p⊗

k=1

dB ⊗

p⊗k=1

dC) (cpB ⊗ cp

C))))

=∑n,p

1n!p!

(cocn(A⊗B)⊗C

n⊗i=1

(cod(A⊗B)⊗C αA,B,C dA⊗(B⊗C)) cnA⊗(B⊗C) cocp

A⊗(B⊗C)

p⊗j=1

codA⊗(B⊗C) ∼p(A,B⊗C) ((

p⊗j=1

dA cpA) ⊗ (∼p

(B,C) (p⊗

k=1

dB ⊗

p⊗k=1

dC) (cpB ⊗ cp

C))))



=∑

p

1p!

(T(αA,B,C) cocpA⊗(B⊗C)

p⊗j=1

codA⊗(B⊗C) ∼p(A,B⊗C)

((p⊗

j=1

dA cpA) ⊗ (∼p

(B,C) (p⊗

k=1

dB ⊗

p⊗k=1

dC) (cpB ⊗ cp

C))))

=∑

p

1(p!)2

∑σ∈Sp


p⊗j=1


((p⊗

j=1

dA cpA) ⊗ (∼p

(B,C) (p⊗

k=1

dB ⊗

p⊗k=1

dC) (σT(B) ⊗ σT(C)) (cpB ⊗ cp

C))))

(par cocommutativité decB etcC)

=∑

p

1(p!)2

∑σ∈Sp


p⊗j=1


((p⊗

j=1

dA cpA) ⊗ (σB⊗C ∼

p(B,C) (

p⊗k=1

dB ⊗

p⊗k=1

dC) (cpB ⊗ cp

C))))

=∑p,q

1p!q!


p⊗j=1


((p⊗

j=1

dA cpA) ⊗ (

p⊗j=1

dB⊗C cpB⊗C cocq

B⊗C

q⊗k=1

codB⊗C

∼q(B,C) (

q⊗k=1

dB ⊗

q⊗k=1

dC) (cqB ⊗ cq

C))))


=∑p,q

1p!q!


p⊗j=1

codA⊗(B⊗C) ∼p(A,B⊗C) (

p⊗j=1

dA ⊗

p⊗j=1

dB⊗C)

(cpA ⊗ cp

B⊗C) (idT(A) ⊗ (cocqB⊗C

q⊗k=1

codB⊗C ∼q(B,C) (

q⊗k=1

dB ⊗

q⊗k=1

dC) (cqB ⊗ cq

C))))

= T(αA,B,C) mA,B⊗C (idT(A) ⊗mB,C) ,

c’est-à-dire que le diagramme (1) de la Définition 3.2.28 commute. De plus, pour tout entiern, on a

cocnA

n⊗i=1

codA

n⊗i=1

dA cnA ρT(A)

= cocnA

n⊗i=1

codA ρ⊗ni=1 A ((

n⊗i=1

dA cnA) ⊗ idI )

= cocnA

n⊗i=1

(codA ρA) ∼n(A,I ) ((

n⊗i=1

dA cnA) ⊗ can−n)

donc on a

T(idA) ρT(A) =∑

n

1n!

(cocnA

n⊗i=1

codA

n⊗i=1

dA cnA ρT(A))


=∑

n

1n!

(cocnA

n⊗i=1


n⊗i=1

dA cnA) ⊗ can−n))

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnA

n⊗i=1


n⊗i=1

dA σT(A) cnA) ⊗ (σI can−n)))


=∑

n

1(n!)2∑

σ∈Sn

(cocnA

n⊗i=1

(codA ρA) σA⊗I ∼n(A,I ) ((

n⊗i=1

dA cnA) ⊗ can−n))

=∑n,p

1n!p!

(cocnA

n⊗i=1

(codA ρA dA⊗I ) cnA⊗I

cocpA⊗I

p⊗j=1

codA⊗I ∼p(A,I ) ((

p⊗j=1

dA cpA) ⊗ can−p))


=∑

p

1p!

(T(ρA) cocpA⊗I

p⊗j=1

codA⊗I ∼p(A,I ) ((

p⊗j=1

dA cpA) ⊗ can−p))

=∑

p

1(p!)2

∑σ∈Sp

(T(ρA) cocpA⊗I

p⊗j=1

codA⊗I ∼p(A,I )

((p⊗

j=1

dA cpA) ⊗ (σI can−p)))

=∑p,q

1p!q!

(T(ρA) cocpA⊗I

p⊗j=1

codA⊗I ∼p(A,I )

((p⊗

j=1

dA cpA) ⊗ (

p⊗j=1

dI cpI cocq

I

q⊗k=1

codI can−q)))


=∑p,q

1p!q!

(T(ρA) cocpA⊗I

p⊗j=1

codA⊗I ∼p(A,I ) (

p⊗j=1

dA ⊗

p⊗j=1

dI ) (cpA ⊗ cp

I )

(idT(A) ⊗ (cocqI

q⊗k=1

codI can−q)))

= T(ρA) mA,I (idT(A) ⊗ n) ,

c’est-à-dire que le diagramme (2) de la Définition 3.2.28 commute. De plus, pour tout entiern, on a

cocnA

n⊗i=1

codA

n⊗i=1

dA cnA λT(A)


= cocnA

n⊗i=1

codA λ⊗ni=1 A (idI ⊗ (

n⊗i=1

dA cnA))

= cocnA

n⊗i=1

(codA λA) ∼n(I ,A) (can−n ⊗ (

n⊗i=1

dA cnA))

donc on a

T(idA) λT(A) =∑

n

1n!

(cocnA

n⊗i=1

codA

n⊗i=1

dA cnA λT(A))

=∑

n

1n!

(cocnA

n⊗i=1

(codA λA) ∼n(I ,A) (can−n ⊗ (

n⊗i=1

dA cnA)))

=∑

n

1(n!)2∑

σ∈Sn

(cocnA

n⊗i=1

(codA λA) ∼n(I ,A) ((σI can−n) ⊗ (

n⊗i=1

dA σT(A) cnA)))


=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnA

n⊗i=1

(codA λA) σI⊗A ∼n(I ,A) (can−n ⊗ (

n⊗i=1

dA cnA)))

=∑n,p

1n!p!

(cocnA

n⊗i=1

(codA λA dI⊗A) cnI⊗A

cocpI⊗A

p⊗j=1

codI⊗A ∼p(I ,A) (can−p ⊗ (

p⊗j=1

dA cpA)))


=∑

p

1p!

(T(λA) cocpI⊗A

p⊗j=1

codI⊗A ∼p(I ,A) (can−p ⊗ (

p⊗j=1

dA cpA)))

=∑

p

1(p!)2

∑σ∈Sp

(T(λA) cocpI⊗A

p⊗j=1

codI⊗A ∼p(I ,A) ((σI can−p) ⊗ (

p⊗j=1

dA cpA)))

=∑p,q

1p!q!

(T(λA) cocpI⊗A

p⊗j=1

codI⊗A ∼p(I ,A)

((p⊗

j=1

dI cpI cocq

I

q⊗k=1

codI can−q) ⊗ (p⊗

j=1

dA cpA)))


=∑p,q

1p!q!

(T(λA) cocpI⊗A

p⊗j=1

codI⊗A ∼p(I ,A) (

p⊗j=1

dI ⊗

p⊗j=1

dA) (cpI ⊗ cp

A)

((cocqI

q⊗k=1

codI can−q) ⊗ idT(A)))


= T(λA) mI ,A (n ⊗ idT(A)) ,

c’est-à-dire que le diagramme (3) de la Définition 3.2.28 commute. De plus, on a

T(idI ) n =∑n,p

1p!n!

(cocpI

p⊗j=1

(codI dI ) cpI cocn

I

n⊗i=1

codI can−n)

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnI

n⊗i=1

codI σI can−n)


=∑

n

1n!

(cocnI

n⊗i=1

codI can−n)

= n ,

c’est-à-dire que le diagramme (4) de la Définition 3.2.28 commute. Enfin, on a

T(γA,B) mA,B

=∑n,p

1n!p!

(cocnB⊗A

n⊗i=1

(codB⊗A γA,B dA⊗B) cnA⊗B cocp

A⊗B

p⊗i=1

codA⊗B

∼p(A,B) (

p⊗i=1

dA ⊗

p⊗i=1

dB) (cpA ⊗ cp

B))

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnB⊗A

n⊗i=1

(codB⊗A γA,B) σA⊗B ∼n(A,B) (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))


=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnB⊗A

n⊗i=1

(codB⊗A γA,B) σA⊗B ∼n(A,B) (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB)

((σT(A) cnA) ⊗ (σT(B) cn

B)))

=∑

n

1n!

(cocnB⊗A

n⊗i=1

codB⊗A ∼n(B,A) γ

⊗ni=1 A,

⊗ni=1 B (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))


=∑

n

1n!

(cocnB⊗A

n⊗i=1

(codB⊗A γA,B) ∼n(A,B) (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))

=∑

n

1n!

(cocnB⊗A

n⊗i=1

codB⊗A ∼n(B,A) γ

⊗ni=1 A,

⊗ni=1 B (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))

=∑

n

1n!

(cocnB⊗A

n⊗i=1

codB⊗A ∼n(B,A) (

n⊗i=1

dB ⊗

n⊗i=1

dA) (cnB ⊗ cn

A) γT(A),T(B))

= mB,A γT(A),T(B) ,

c’est-à-dire que le diagramme de la Définition 3.2.34 commute.

Contraction et affaiblissement

Proposition 5.2.28. (cA)A∈ob(C) est une transformation naturelle monoïdale de(T,m, n) vers (⊗,∼, can−2) ∆C (T, µ,d).



(T( f ) ⊗ T( f )) cA

=∑n1,n2

1n1!n2!

(((cocn1B

n1⊗i=1

(codB f dA)) ⊗ (cocn2B

n2⊗i=1

(codB f dA))) (cn1A ⊗ cn2

A ) cA)

=∑n1,n2

1n1!n2!

(((cocn1B

n1⊗i=1

(codB f dA)) ⊗ (cocn2B

n2⊗i=1

(codB f dA))) α(n1,n2)T A cn1+n2

A )

=∑n1,n2

1n1!n2!

(((cocn1B

n1⊗i=1

codB) ⊗ (cocn2B

n2⊗i=1

codB)) α(n1,n2)B

n1+n2⊗i=1

( f dA) cn1+n2A )

=∑

n

∑n1+n2=n

1n1!n2!

(((cocn1B

n1⊗i=1

codB) ⊗ (cocn2B

n2⊗i=1

codB)) α(n1,n2)B

n⊗i=1

( f dA) cnA)

=∑

n

∑n1+n2=n

1n!

∑σ∈S(n1,n2)

(((cocn1B

n1⊗i=1

codB) ⊗ (cocn2B

n2⊗i=1

codB)) α(n1,n2)B

n⊗i=1

( f dA) σ−1T(A) cn

A)


=∑

n

∑n1+n2=n

1n!

∑σ∈S(n1,n2)

(((cocn1B

n1⊗i=1

codB) ⊗ (cocn2B

n2⊗i=1

codB)) α(n1,n2)B σ−1

B

n⊗i=1

( f dA) cnA)

=∑

n

1n!

(cB cocnB

n⊗i=1

(codB f dA) cnA)


= cB T( f ) ;

cI n =∑

n

1n!

(cI cocnI

n⊗i=1

codI can−n)

∑n

1n!

∑n1+n2=n

∑σ∈S(n1,n2)

(((cocn1I

n1⊗i=1

codI ) ⊗ (cocn2I

n2⊗i=1

codI )) α(n1,n2)I σ−1

I can−n)


=∑n1,n2

1n1!n2!

(((cocn1I

n1⊗i=1

codI ) ⊗ (cocn2I

n2⊗i=1

codI )) α(n1,n2)I can−(n1+n2))

=∑n1,n2

1n1!n2!

(((cocn1I

n1⊗i=1

codI ) ⊗ (cocn2I

n2⊗i=1

codI )) (can−n1 ⊗ can−n2) can−2)

= (n ⊗ n) can−2 ;


et on a

cA⊗B mA,B =∑

n

1n!

(cA⊗B cocnA⊗B

n⊗i=1


n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))

=∑

n

1n!

∑n1+n2=n

∑σ∈S(n1,n2)

(((cocn1A⊗BcodA⊗B) ⊗ (cocn2

A⊗B

n2⊗i=1

codA⊗B))

α(n1,n2)A⊗B σ−1

A⊗B ∼n(A,B) (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))


=∑

n

1n1!n2!

∑n1+n2=n


A⊗B

n2⊗i=1

codA⊗B))

α(n1,n2)A⊗B ∼

n(A,B) (

n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))


=∑

n

1n1!n2!

∑n1+n2=n


A⊗B

n2⊗i=1

codA⊗B)) (∼n1(A,B) ⊗ ∼

n2(A,B))

∼⊗n1i=1 A,

⊗n2i=1 A,

⊗n1i=1 B,

⊗n2i=1 B (α

n1,n2A ⊗ αn1,n2

B ) (n⊗

i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))

=∑

n

1n1!n2!

∑n1+n2=n


A⊗B

n2⊗i=1

codA⊗B)) (∼n1(A,B) ⊗ ∼

n2(A,B))

∼⊗n1i=1 A,

⊗n2i=1 A,

⊗n1i=1 B,

⊗n2i=1 B

((n1⊗i=1

dA ⊗

n2⊗i=1

dA) ⊗ (n1⊗i=1

dB ⊗

n2⊗i=1

dB)) (αn1,n2T(A) ⊗ α

n1,n2T(B) ) (cn

A ⊗ cnB))

=∑n1,n2

1n1!n2!

(((cocn1A⊗B

n1⊗i=1

codA⊗B ∼n1(A,B) (

n1⊗i=1

dA ⊗

n1⊗i=1

dB))

⊗(cocn2A⊗B

n2⊗i=1


n2⊗i=1

dA ⊗

n2⊗i=1

dB)))

∼⊗n1i=1 T(A),

⊗n2i=1 T(A),

⊗n1i=1 T(B),

⊗n2i=1 T(B) ((c

n1A ⊗ cn2

A ) ⊗ (cn1B ⊗ cn2

B )) (cA ⊗ cB))

=∑n1,n2

1n1!n2!

(((cocn1A⊗B

n1⊗i=1


n1⊗i=1

dA ⊗

n1⊗i=1

dB))

⊗(cocn2A⊗B

n2⊗i=1


n2⊗i=1

dA ⊗

n2⊗i=1

dB)))

((cn1A ⊗ cn1

B ) ⊗ (cn2A ⊗ cn2

B )) ∼2(T A,T B) (cA ⊗ cB))

= (mA,B ⊗mA,B) ∼2(T A,T B) (cA ⊗ cB) .

Proposition 5.2.29.(wA)A∈ob(C) est une transformation naturelle monoïdale de(T,m, n) vers∗C.



wB T( f ) =∑

n

1n!

(wB cocnB

n⊗i=1

(codB f dA) cnA)

=10!

(wB coc0B

0⊗i=1

(codB f dA) c0A)


= wB cowB idI wA

= wA ;

wA⊗B mA,B =∑

n

1n!

(wA⊗B cocnA⊗B

n⊗i=1


n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))

=10!

(wA⊗B coc0A⊗B

0⊗i=1

codA⊗B ∼0(A,B) (

0⊗i=1

dA ⊗

0⊗i=1

dB) (c0A ⊗ c0

B))


= wA⊗B cowA⊗B idI ∼0A,B (idI ⊗ idI ) (wA ⊗ wB)

= can2 (wA ⊗ wB) ;

et

wI n =∑

n

1n!

(wI cocnI

n⊗i=1

codI can−n)

=10!

(wI coc0I

0⊗i=1

codI can−0)


= (wI cowI idI idI )

= idI .

Proposition 5.2.30.((T A, δA), cA,wA) est un comonoïde cocommutatif dans(CT,⊗T, (I , n), α, λ, ρ).

Démonstration.Par hypothèse, (T A, cA,wA) est un comonoïde cocommutatif dansC. De plus, on a

mT A,T A (δA ⊗ δA) cA

=∑

p,n1,n2

1p!n1!n2!

(cocpT A⊗T A

p⊗j=1

codT A⊗T A ∼p(T A,T A)

(p⊗

j=1

dT A⊗

p⊗j=1

dT A) (cpT A⊗ cp

T A) ((cocn1T A

n1⊗i=1

codT A) ⊗ (cocn2T A

n2⊗i=1

codT A))

(cn1A ⊗ cn2

A ) cA)


=∑

n

1(n!)3

∑σ,τ∈Sn

(cocnT A⊗T A

n⊗i=1

codT A⊗T A ∼n(T A,T A) (σT A⊗ τT A) (cn

A ⊗ cnA) cA)


=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnT A⊗T A

n⊗i=1

codT A⊗T A

n⊗i=1

cA σT(A) cnA)


=∑n,p

1n!p!

(cocpT A⊗T A

p⊗j=1

(codT A⊗T A cA dT A) cpT A cocn

T A

n⊗i=1

codT A cnA)


= T(cA) δA

et

T(wA) δA =∑n,p

1n!p!

(cocnI

n⊗i=1

(codI wA dT A) cnT A cocp

T A

p⊗j=1

codT A cpA)

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnI

n⊗i=1

(codI wA) σT A cnA)


=∑

n

1n!

(cocnI

n⊗i=1

(codI wA) cnA)


=∑

n

1n!

(cocnI

n⊗i=1

codI can−n wA)

= n wA .

Proposition 5.2.31.Pour tout objet A deC, δA est un morphisme de comonoïdes de((T A, δA), cA,wA)vers((TT A, δT A), cT A,wT A).

Démonstration.

cT A δA =∑

n

1n!

(cT A cocnT A

n⊗i=1

codT A cnA)

=∑

n

∑n1+n2=n

1n!

∑σ∈S(n1,n2)

(((cocn1T A

n1⊗i=1


n2⊗i=1

codT A)) α(n1,n2)T(A) σ

−1T(A) cn

A)


=∑n1,n2

1n1!n2!

(((cocn1T A

n1⊗i=1


n2⊗i=1

codT A)) α(n1,n2)T(A) cn

A)



=∑n1,n2

1n1!n2!

(((cocn1T A

n1⊗i=1


n2⊗i=1

codT A)) (cn1A ⊗ cn2

A ) cA)

=∑n1,n2

1n1!n2!

(((cocn1T A

n1⊗i=1

codT A cn1A ) ⊗ (cocn2

T A

n2⊗i=1

codT A cn2A )) cA)

= (δA ⊗ δA) cA

et

wT A δA =∑

n

1n!

(wT A cocnT A

n⊗i=1

codT A cnA)

=∑

n

1n!

(can−n

n⊗i=1

wT A

n⊗i=1

codT A cnA)

=∑

n

1n!

(can−n

n⊗i=1

(wT A codT A) cnA)

= idI c0A

= wA .

Une comonade faible monoïdale symétrique

Lemme 5.2.32.d est une semi-tranformation naturelle monoïdale de(T,m, n) vers idC.

Démonstration.Par le lemme 5.2.16, on sait déjà qued est une transformation naturelle deT versidC. De plus, on a

dA⊗B mA,B =∑

n

1n!

(dA⊗B cocnA⊗B

n⊗i=1


n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))

=11!

(dA⊗B coc1A⊗B

1⊗i=1

codA⊗B ∼1(A,B) (

1⊗i=1

dA ⊗

1⊗i=1

dB) (c1A ⊗ c1

B))


= dA⊗B codA⊗B (dA ⊗ dB)

= dA ⊗ dB

et

dI n =∑

n

1n!

(dI cocnI

n⊗i=1

codI can−n)

=11!

(dI coc1I

1⊗i=1

codI can−1)


= dI idT(I ) codI idI

= idI .


Lemme 5.2.33.δ est une transformation naturelle monoïdale de(T,m, n) vers(T,m, n) (T,m, n).

Démonstration.Par le Lemme 5.2.18, on sait déjà queδ est une transformation naturelle deT versT T. De plus, on a

TmA,B mT A,T B (δA ⊗ δB)

=∑n,p

1n!p!

(cocnT(A⊗B)

n⊗i=1

(codT(A⊗B) mA,B dT(A)⊗T(B)) cnT(A)⊗T(B) cocp

T(A)⊗T(B)

p⊗j=1

codT(A)⊗T(B) ∼p(T(A),T(B)) (

p⊗j=1

dT(A) ⊗

p⊗j=1

dT(B)) (cpT(A) ⊗ cp

T(B)) (δA ⊗ δB))

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnT(A⊗B)

n⊗i=1

(codT(A⊗B) mA,B) σT A⊗T B

∼n(T A,T B) (

n⊗i=1

dT A⊗

n⊗i=1

dT B) (cnT A⊗ cn

T B) (δA ⊗ δB))


=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnT(A⊗B)

n⊗i=1

(codT(A⊗B) mA,B)

∼n(T A,T B) (

n⊗i=1

dT A⊗

n⊗i=1

dT B) ((σT(T(A)) cnT A) ⊗ (σT(T(B)) cn

T B)) (δA ⊗ δB))

=∑

n

1n!

(cocnT(A⊗B)

n⊗i=1

(codT(A⊗B) mA,B)

∼n(T A,T B) ((

n⊗i=1

dT A cnT A δA) ⊗ (

n⊗i=1

dT B cnT B δB)))

(par cocommutativité decT(A) et decT(B))

=∑

n

1n!

(cocnT(A⊗B)

n⊗i=1

(codT(A⊗B) mA,B) ∼n(T A,T B) ((

n⊗i=1

idT(A) cnA) ⊗ (

n⊗i=1

idT(B) cnB)))


=∑

n

1n!

(cocnT(A⊗B)

n⊗i=1

(codT(A⊗B) mA,B) ∼n(T A,T B) (c

nA ⊗ cn

B))

=∑

n

1n!

∑p1,...,pn

1p1! . . . pn!

(cocnT(A⊗B)

n⊗i=1

(codT(A⊗B) cocpiA⊗B

pi⊗j=1

codA⊗B ∼piA,B (

pi⊗j=1

dA ⊗

pi⊗j=1

dB) (cpiA ⊗ cpi

B ))

∼nT(A),T(B) (c

nA ⊗ cn

B))

=∑n,p

1n!

∑p1+...+pn=p

1p1! . . . pn!

(cocnT(A⊗B)

n⊗i=1

codT(A⊗B)

n⊗i=1

(cocpiA⊗B

pi⊗j=1

codA⊗B)

n⊗i=1

(pi⊗

j=1

(dA ⊗ dB)) n⊗

i=1

(∼pi

T(A),T(B) (cpiA ⊗ cpi

B )) ∼nT(A),T(B) (c

nA ⊗ cn

B))


=∑n,p

1n!p!

∑p1+...+pn=p

∑σ∈S(p1,...,pn)

(cocnT(A⊗B)

n⊗i=1

codT(A⊗B)

n⊗i=1

(cocpiA⊗B

pi⊗j=1

codA⊗B)

n⊗i=1

(pi⊗

j=1

(dA ⊗ dB)) α(p1,...,pn)T(A)⊗T(B) σ

−1T(A)⊗T(B) ∼

pT(A),T(B) (c

pA ⊗ cp

B))


=∑n,p

1n!p!

∑p1+...+pn=p

∑σ∈S(p1,...,pn)

(cocnT(A⊗B)

n⊗i=1

codT(A⊗B)

n⊗i=1

(cocpiA⊗B

pi⊗j=1

codA⊗B)

α(p1,...,pn)A⊗B σ−1

A⊗B ∼pA,B (

p⊗j=1

dA ⊗

p⊗j=1

dB) (cpA ⊗ cp

B))

=∑n,p

1n!p!

(cocnT(A⊗B)

n⊗i=1

codT(A⊗B)

cnA⊗B cocp

A⊗B

p⊗j=1

codA⊗B ∼pA,B (

p⊗j=1

dA ⊗

p⊗j=1

dB) (cpA ⊗ cp

B))

= δA⊗B mA,B

et

δI n =∑n,p

1n!p!

(cocnT I

n⊗i=1

codT I cnI cocp

I

p⊗j=1

codI can−p)

=∑n,p

1n!p!

∑p1+...+pn=p

∑σ∈S(p1,...,pn)

(cocnT(I )

n⊗i=1

codT(I )

n⊗i=1

(cocpiI

pi⊗j=1

codI ) α(p1,...,pn)I σ−1

I can−p)


=∑n,p

1n!

∑p1+...+pn=p

1p1! . . . pn!

(cocnT(I )

n⊗i=1

codT(I )

n⊗i=1

(cocpiI

pi⊗j=1

codI ) α(p1,...,pn)I can−p)

=∑

n

∑p1,...,pn

1n!p1! . . . pn!

(cocnT I

n⊗i=1

(codT I cocpII

pi⊗j=1

codI ) n⊗

i=1

can−pi can−n)

=∑

n

1n!

(cocnT I

n⊗i=1

(codT I n) can−n)

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnT I

n⊗i=1

(codT I n) σI can−n)

=∑n,p

1n!p!

(cocnT I

n⊗i=1

(codT I n) n⊗

i=1

dI cnI cocn

I

p⊗j=1

codI can−p)



= T(n) n .

Proposition 5.2.34.((T, δ,d),m, n) est une comonade faible monoïdale symétrique dansC.

Démonstration.Par la Proposition 5.2.22, on sait que (T, δ,d) est une comonade faible dansC. En-suite, on applique la Proposition 5.2.27 et les Lemmes 5.2.32 et 5.2.33.

Théorème 5.2.35.(((T,m, n), δ,d), c,w) est un modèle de IMELL.

Démonstration.Appliquer les Propositions 5.2.34, 5.2.28, 5.2.29, 5.2.30 et 5.2.31.

Remarque 5.2.36.Dans la preuve de ce théorème, on ne se sert jamais de l’objet dualisant⊥, donc, sil’on veut seulement un modèle de IMELL (au lieu d’un modèle de MELL), on n’a pas besoin de partird’un modèle cocommutatif des réseaux différentiels avec sommes infinies et coefficients réels positifs :il suffit d’avoir une catégorie monoïdale symétrique ferméeC au lieu d’une catégorie∗-autonome(C,⊥).


Chapitre 6

Deux modèles relationnels

Dans ce chapitre, on présente deux modèles de la logique linéaire.Le premier modèle,le modèle relationnel des multiensembles finisest un modèle bien connu

depuis longtemps. On va voir que ce modèle peut être reconstruit en appliquant la formule de Taylor-Ehrhard à un certain modèle des réseaux différentiels (et pour cause, c’est la considération de modèlesbasés sur ce modèle de la logique linéaire qui a donné naissance aux réseaux différentiels). Ce quin’était pas très bien connu, c’est une sémantique du lambda-calcul pur issu de ce modèle : nous avonsdécouvert que cette sémantique était la même sémantique que celle construite dans [17] par Coppo,Dezani et Venneri (à quelque chose près). Eux partaient d’une syntaxe de types avec intersection pourconstruire une sémantique. Ici, on procède dans l’autre sens : on part d’une sémantique pour construireun système de types avec intersections. Cela permet d’éclairer d’un jour nouveau ces objets.

Le second modèle,le modèle relationnel des suites finiesest le modèle non extensionnel qui a étédonné en exemple au Chapitre 3. C’est la découverte de ce modèle qui a été la principale motivationdu travail présenté dans le Chapitre 3 concernant les modèles catégoriques de la logique linéaire.

Ces deux modèles interprètent de la même manière le fragment multiplicatif additif.

6.1 L’interprétation relationnelle de MALL

Pour interpréter MLL, il suffit d’avoir une catégorie∗-autonome. C’est le cas deR = (Rel, ⊗, I ,α, λ, ρ, ⊥), où

– Rel est la catégorie des ensembles et relations,– la composition étant donnée par

g f = (α, γ) ; ∃β ((α, β) ∈ f et (γ, β) ∈ g),

avec f ⊆ A× B etg ⊆ B×C ;– et l’identité d’un objet étantidA = (α, α) ; α ∈ A ;

– ⊗ est le produit cartésien ensembliste (qui n’est pas le produit cartésien dansRel, celui-ci étantla réunion disjointe) ;

– I est un singleton∗ ;– α, λ et ρ sont les isomorphismes canoniques :α consiste à déplacer des parenthèses etλ et ρ

consistent à enlever des∗ ;– ⊥= I , en conséquence de quoi, les interprétations d’une formule et de sa formule duale sont les

mêmes (en particulier, l’interprétation dupar est celle dutenseur).

129

130 CHAPITRE 6. DEUX MODÈLES RELATIONNELS

Pour interpréter les additifs, il faut, en plus, que la catégorie soit cartésienne et cocartésienne : ici,le produit et le coproduit sont égaux, ils sont donnés par la réunion disjointe ; les unités (T et0) serontdonc interprétées par l’ensemble vide.

6.2 Le modèle relationnel des multiensembles finis

Le modèle relationnel des multiensembles finisest un modèleextensionnel: on a donc à notredisposition une comonade monoïdale ((T,m, n), δ,d) :

– T est le foncteur défini ainsi :– si A est un objet deRel, T(A) =M f (A), l’ensemble des multiensembles finis à support dans

A ;– si f ⊆ A× B, alors

T( f ) = ([α1, . . . , αn], [β1, . . . , βn]) ; n ∈ N et∀i (1 ≤ i ≤ n⇒ (αi , βi) ∈ f ) ;

– pour tous objetsA et B,

mA,B = (([α1, . . . , αn], [β1, . . . , βn]), [(α1, β1), . . . , (αn, βn)]) ;

n ∈ N, α1, . . . , αn ∈ A etβ1, . . . , βn ∈ B ;

– n = (∗, [∗, . . . , ∗︸︷︷︸n fois

]) ; n ∈ N ;

– δA = (∑n

i=1 ai , [a1, . . . ,an]) ; n ∈ N eta1, . . . ,an ∈ M f (A) ;– etdA = ([α], α) ; α ∈ A.De plus, on a des transformations naturelles monoïdalesc et w respectivement de (T,m, n) vers

⊗ ∆C (T,m, n) et de (T,m, n) vers∗C pour interpréter la contraction et l’affaiblissement :– pour tout objetA, cA = (a1 + a2, [a1,a2]) ; a1,a2 ∈ M f (A) ;– pour tout objetA, wA = ([] , ∗).On peut aussi interpréter les réseaux par desexpériences: l’interprétation d’un réseau est l’en-

semble desrésultatsdes expériences d’un réseau. On adapte la définition de [45], une variante de[52].

Définition 6.2.1. On définit, par induction sur la profondeur deπ ce qu’est une expérience surπ. Uneexpérience e sur une structure de preuveπ est une fonction associant à chaque nœud! o à profondeur0 un multiensemble[eo

1, . . . ,eok] d’expériences surπo et à chaque arête a: A à profondeur0 un élément

de~A de telle manière que les conditions suivantes sont satisfaites :– si a et b sont les conclusions d’un axiome à profondeur0, alors e(a) = e(b) ;– si a et b sont les prémisses d’une coupure à profondeur0, alors e(a) = e(b) ;– si c est la conclusion d’un℘ ou d’un⊗ à profondeur0 ayant a et b comme prémisses, alors

e(c) = (e(a),e(b)) ;– si c est la conclusion d’un nœud affaiblissement, alors e(c) = [] ;– si c est la conclusion d’un nœud contraction ayant a et b comme prémisses, alors e(c) = e(a) +

e(b) ;– si c est la conclusion d’un nœud déréliction ayant a comme prémisse, alors c= [e(a)] ;– si a est une prémisse d’un nœud! o et e(o) = [eo

1, . . . ,eok], alors pour la porte principale c de la

boîte associée à o, e(c) = [eo1(a), . . . ,eo

k(a)] et pour toute porte auxiliaire c, e(c) =∑k

j=1 eoj (c).

Si c1, . . . , cn, c sont lesn+ 1 conclusions deπ, alors on pose

~πc1,...,cn,c = ((e(c1), . . . ,e(cn)),e(c)) ; eest une expérience surπ .

6.3. UNE SÉMANTIQUE NON-UNIFORME DU LAMBDA-CALCUL PUR 131

6.3 Une sémantique non-uniforme du lambda-calcul pur

On évite à dessein de parler demodèle du lambda-calcul pur, car le termelambda-modeldésigneune sémantique du lambda-calcul pur qui a certaines propriétés supplémentaires... qui, comme on vale voir, ne sont pas vérifiées ici.

6.3.1 Interpréter les lambda-termes

D’après ce que l’on a vu dans le Chapitre 3,Λ(M) est une catégorie cartésienne fermée (équiva-lente à la catégorieRelT de co-Kleisli de (T, δ,d)), oùM désigne ici le modèle de la logique linéairede la section précédente et (T, δ,d) la comonade des multiensembles finis dansRel que l’on a décrite.La catégorieΛ(M) fournit donc une sémantique du lambda-calcul simplement typé. Maintenant, pouravoir une sémantique du lambda-calcul pur, il suffit donc d’avoir un objetU deΛ(M) réflexif, c’est-à-dire tel que

(U ⇒ U) C U ,

ce qui signifie qu’il existes ∈ Λ(M)[U ⇒ U,U] et r ∈ Λ(M)[U,U ⇒ U] tels quer Λ(M) s= idΛ(M)U⇒U .

Lemme 6.3.1.Soit i une injection d’un ensemble A vers un ensemble B. On pose

g = ([α], i(α)) ; α ∈ A

etf = ([i(α)], α) ; α ∈ A .

Alors 〈g〉 ∈ Λ(M)[〈A〉, 〈B〉] et 〈 f 〉 est une rétraction de〈g〉 dansΛ(M).

Démonstration.〈g〉 ∈ Λ(M)[〈A〉, 〈B〉] signifie que

(i) g ∈ Rel[M f (A), B] ;

(ii) et g T(idA) = g.

Comme, ici,T est un foncteur, la propriété (ii ) est automatiquement satisfaite.De même, il est clair que〈 f 〉 ∈ Λ(M)[〈B〉, 〈A〉].La seule chose à vérifier est donc que l’on a bien〈 f 〉 Λ(M) 〈g〉 = 〈dA〉 :

〈 f 〉 Λ(M) 〈g〉 = 〈 f M 〈g〉〉

= 〈 f T(g) T(idA) δA〉

= 〈 f T(g) δA〉 ;

de plus, commeT(g) δA = ([α1, . . . , αn], [i(α1), . . . , i(αn)]) ; α ∈ A ,

on af T(g) δA = ([α], α) ; α ∈ A .

On rappelle que, siD est un ensemble, alors, ici,〈D〉 ⇒ 〈D〉 = 〈M f (D) × D〉.Désormais, on suppose queD est un ensemble non vide et quei est une injection deM f (D) × D

versD. On poseg = ([α], i(α)) ; α ∈ M f (D) × D et f = ([i(α)], α) ; α ∈ M f (D) × D. D’après ceque l’on vient de voir, on a

(〈D〉 ⇒ 〈D〉) C 〈D〉


et, plus précisément,〈g〉 ∈ Λ(M)[〈D〉 ⇒ 〈D〉, 〈D〉] et f est une rétraction deg.On peut donc définir l’interprétation d’un lambda-termet.

Définition 6.3.2. Pour tout t ∈ Λ(P(D)), pour tous x1, . . . , xn ∈ V distincts tels que FV(t) ⊆x1, . . . , xn, on définit, par induction sur t,~tx1,...,xn ⊆ (Πn

i=1M f (D)) × D :– ~xix1,...,xn = (([] , . . . , []︸︷︷︸

i−1 fois

, [α], [] , . . . , []︸︷︷︸n−i fois

), α) ; α ∈ D ;

– pour c∈ P(D), ~cx1,...,xn = c ;– ~λx.ux1,...,xn = ((a1, . . . ,an), i(a, α)) ; ((a1, . . . ,an,a), α) ∈ ~ux1,...,xn,x ;–

~(v)ux1,...,xn = ((p∑

k=0

ak1, . . . ,

p∑k=0

akn), α) ;

il existe(β1, . . . , βp) tels que((a01, . . . ,a

0n), i([β1, . . . , βp], α)) ∈ ~vx1,...,xn

et, pour1 ≤ j ≤ p, ((a j1 . . . a

jn), β j) ∈ ~ux1,...,xn) ;

avec les conventions(Πni=1M f (D)) × D = D et ((a1, . . . ,an), α) = α si n= 0.

Maintenant, on peut aussi définir l’interprétation d’un lambda-termet dans un environnementρ.

Définition 6.3.3. Pour tout toutρ ∈ P(D)V et pour tout t∈ Λ(P(D)) tel que FV(t) = x1, . . . , xn, onpose

~tρ = α ∈ D ; ((a1, . . . ,an), α) ∈ ~tx1,...,xn et, pour1 ≤ i ≤ n, ai ∈ M f (ρ(xi)) .

Pour tousd1, d2 ∈ P(D), on posed1 ∗i d2 = α ∈ D ; ∃a (i(a, α)) ∈ d1 et Supp(a) ⊆ d2 .

(P(D), ∗i , ~−−) est une lambda-algèbre. Mais la proposition suivante, un corollaire de la Proposi-tion 6.3.5, affirme que cen’est pasun lambda-modèle. En particulier,~tρ ne peut pasêtre défini parinduction surt.

Proposition 6.3.4. La propriété suivanten’est passatisfaite :pour toutρ ∈ P(D)V, pour tout x∈ V et pour tous t1, t2 ∈ Λ, on a

(∀d ∈ P(D) ~t1ρ[x:=d] = ~t2ρ[x:=d] ⇒ ~λx.t1ρ = ~λx.t2ρ) .

Avant d’énoncer la Proposition 6.3.5, on rappelle qu’un objetA d’une catégorieK avec un objetterminal est ditavoir suffisamment de pointssi pour tout objet terminal 1 deK et pour tousf ,g ∈K[A,A], on a

(∀x ∈ K[1,A] f K x = g K x⇒ f = g) .

Remarque : il ne s’en suit pas alors nécessairement que la même propriété est encore satisfaite pourtous f ,g ∈ K[A, B]1.

Une notation qui peut être utile : siP est une partie deA, alors, pour tout〈 f 〉 ∈ Λ(M)[〈A〉, 〈B〉],on posef (P) = β ∈ B ; ∃h (〈h〉 = 〈 f 〉 Λ(M) 〈P〉 et (∗, β) ∈ h), où〈P〉 est la flèche de〈〉 vers〈A〉 dansΛ(M) définie par〈P〉 = 〈(∗, α) ; α ∈ P〉.

Proposition 6.3.5.Soit A un ensemble non vide. Alors〈A〉 n’a pas suffisamment de points dansΛ(M).

Démonstration.Soit A un ensemble non vide et soitα ∈ A. On pose f1 = ([α], α) et f2 =([α, α], α). On a〈 f1〉, 〈 f2〉 ∈ Λ(M)[〈A〉, 〈A〉] et pour toute partieP deA, on a f1(P) = f2(P).

1Penser, par exemple, au graphe qui a un unique sommet et aucune flèche : dans la catégorieGraph des graphes, cetobjet n’a aucun point mais en a suffisamment.


6.3.2 Une sémantiquenon uniforme

L’exemple suivant illustre la non-uniformité de la sémantique.

Exemple 6.3.6.On pose0 = λx.λy.y et1 = λx.λy.x. Soitγ ∈ D. On poseβ = ([γ], ([] , γ)). Supposonsque i est une inclusion. On a

– ([([] , ([β], β))], ([β], β)) ∈ ~(x)1x ;– et([([β], ([] , β))], β) ∈ ~(x)10x .

Donc on a ([([] , ([β], β)), ([β], ([] , β))], β) ∈ ~λx.((x)1)(x)10 . Dans une sémantique uniforme(comme dans [25]), ce point n’apparaîtrait pas dans la sémantique de ce lambda-terme, parce que[([] , ([β], β)), ([β], ([] , β))] correspond à un argument imaginaire : l’argument est lu deux fois et fournitdeux valeurs contradictoires.

6.3.3 Des types avec intersection non idempotente

A partir de maintenant,D =⋃

n∈N Dn, oùDn est défini par induction surn : D0 est un ensembleAnon vide qui ne contient aucun couple etDn+1 = A∪ (M f (Dn) × Dn). On aD = A∪(M f (D) × D), où∪ est l’union disjointe ;i sera l’inclusion.

La Définition 6.3.2 définit~tx1,...,xn pour t ∈ Λ et x1, . . . , xn ∈ V distincts tels queFV(t) ⊆x1, . . . , xn et la Définition 6.3.3 définit~tρ pour t ∈ Λ et pour toutρ ∈ P(D)V. Maintenant,nous voulons mettre cette sémantique dans un cadre logique : les éléments deD sont vus commedes formules propositionnelles. Plus précisément, un multi-ensemble non vide est compris comme laconjonction uniforme de ses éléments. Remarquer que, intuitivement, cela signifie que nous considé-rons une conjonction commutative mais non-idempotente.

SystèmeR

Un contexteΓ est une fonction deV versM f (D) telle quex ∈ V ; Γ(x) , [] est fini. Six1, . . . , xn ∈ V sont distincts eta1, . . . ,an ∈ M f (D), alorsx1 : a1, . . . , xn : an est une notation pour lecontexte(xi ,ai) ; 1 ≤ i ≤ n ∪ (y, []) ; y ∈ V \ x1, . . . , xn. On noteraΦ l’ensemble des contextes.PourΓ1,Γ2 ∈ Φ, poserΓ1 + Γ2 = (x,Γ1(x) + Γ2(x)) ; x ∈ V, où+ est une notation pour la sommedes multi-ensembles donnée par l’addition terme à terme des multiplicités.

Définition 6.3.7. Les règles de typage du Système R sont les suivantes :

x : [α] `R x : α

Γ, x : a `R v : αΓ `R λx.v : (a, α)

Γ0 `R v : ([α1, . . . , αn], α) Γ1 `R u : α1, . . . ,Γn `R u : αnn ∈ N

Γ0 + Γ1 + . . . + Γn `R (v)u : α

La règle de typage de l’application an + 1 prémisses. En particulier, dans le cas oùn = 0, on

obtient la règle suivante :Γ0 `R v : ([] , α)Γ0 `R (v)u : α

pour tout lambda-termeu. Donc le multiensemble vide

joue le rôle du type universelω.L’intersection que nous considérons estnon idempotentedans le sens suivant : si un termet est

typable de typea1 . . . anα et, pour 1≤ i ≤ n, Supp(a′i ) = Supp(ai), il ne s’ensuit pas nécessairementque t est typable de typea′1 . . . a

′nα. Par exemple, le système présenté dans [46] et le SystèmeD


presenté dans [35] considèrent des types idempotents. Le Systèmeλ de [33] et le SystèmeI de [44]considèrent des types non-idempotents, mais ne traitent pas l’affaiblissement de la même manière.

Il est intéressant de remarquer que le SystèmeRpeut être vu comme une reformulation du systèmede [17]. Plus précisément, les types du SystèmeR correspondent à leurs types normalisés. D’aprèsce qui est énoncé dans la Section 5 de cet article, les auteurs ont pensé qu’une certaine propriétéétait satisfaite dans la sémantique correspondante ((assertion vi) de leur Théorème 8). Mais notreProposition 6.3.4 montre que ce n’est pas le cas.

Les termes avec ressources

Nous définissons une relation d’équivalence sur les dérivations d’un lambda-terme donné.

Définition 6.3.8. Pour tout lambda-terme t, pour toute dérivationΠ deΓ `R t : α, l’ensemble desdérivationsΠ′ deΓ′ `R t : α′ telles queΠ ∼ Π′ est défini par induction surΠ de la manière suivante.

– SiΠ est seulement une feuille, alors on aΠ ∼ Π′ si, et seulement si,Π′ est aussi une feuille.– SiΠ se termine par la règle de typage de l’abstraction, alors la relation∼ commute avec cette

règle.– Si

Π =

Π0

Γ0 `R v : ([α1, . . . , αn], α)Π1 . . . Πn

Γ1 `R u : α1 . . . Γn ` u : αn

Γ0 + Γ1 + . . . + Γn `R (v)u : α

,

alors on aΠ ∼ Π′ si, et seulement si,

Π′ =

Π′0Γ′0 `R v : ([α′1, . . . , α

′n], α′)

Π′1 . . . Π′nΓ′1 `R u : α′1 . . . Γ′n ` u : α′n

Γ′0 + Γ′1 + . . . + Γ

′n `R (v)u : α′ ,

Π0 ∼ Π′0 et il existe une permutationσ ∈ Sn telle que, pour i∈ 1, . . . ,n, on aΠi ∼ Π

′σ(i).

Une classe d’équivalence de dérivations d’un termet dans le SystèmeR peut être vu commeun terme avec ressources simple de la forme det qui ne se réduit pas en 0. Le lambda-calcul avecressources est défini dans [22] et est analogue aux lambda-calculs avec ressources précédemmentintroduits et étudiés dans [14] et [33]. Avant d’introduire le SystèmeS, nous faisons quelques petitsrappels sur les termes avec ressources.

La syntaxe destermes simplesest définie par induction :– si x est une variable, alorsx est un terme simple ;– siv,u1, . . . ,un sontn+ 1 termes simples, avecn ∈ N, alors〈v〉[u1, . . . ,un] est un terme simple ;– si v est un terme simple etx est une variable, alorsλx.v est un terme simple, dans lequel la

variablex est liée.On note∆ l’ensemble des termes simples.Pour tout lambda-termet, on définit, par induction surt, l’ensembleT (t) des termes simples de la

forme det :– si t est une variable, alorsT (t) = t ;– si t = λx.u, alorsT (t) = λx.s ; s ∈ T (u) ;– si t = (v)u, alorsT (t) = 〈s〉[s1, . . . , sn] ; n ∈ N, s ∈ T (v) et s1, . . . sn ∈ T (u) .Les termes avec ressources sont des sommes finies de termes simples. On noteN〈∆〉 l’ensemble

des termes avec ressources. Siu =∑n

i=1 si ∈ N〈∆〉, alors on pose Supp(u) = s1, . . . , sn. Si x est unevariable etv1, . . . , vn sontn termes simples, alors on poseλx.

∑ni=1 vi =

∑ni=1 λx.vi . Si v1, . . . , vm,


u1, . . . ,un sontm+n termes simples, alors on pose〈∑m

j=1 v j〉[u1, . . . ,un] =∑m

j=1〈v j〉[u1, . . . ,un] . Si sest un terme simple etT1, . . . ,Tn sontn multiensembles de termes simples, alors on pose〈s〉

∑ni=1 Ti =∑n

i=1〈s〉Ti .

Pour toutσ ∈ ∆ ∪M f (∆), pour tout terme simplet, on définit, par induction surσ, ∂σ∂x · t :

– ∂y∂x · t =

t si y = x0 sinon ;

– ∂λy.s∂x · t = λy. ∂s

∂x · t ;

– ∂〈s〉[t1,...,tn]∂x · t = 〈 ∂s

∂x · t〉[t1, . . . , tn] + 〈s〉∂[t1,...,tn]∂x · t ;

– ∂[t1,...,tn]∂x · t =

∑ni=1[t1, . . . , ti−1,

∂ti∂x · t, ti+1, . . . , tn] .

Maintenant, on définit une relationβ∆ ⊆ ∆ ×N〈∆〉. On définit〈λx.s〉[t1, . . . , tn] β∆ v par inductionsurn :

– sin = 0, alors on a〈λx.s〉[t1, . . . , tn] β∆

s si x n’est pas libre danss;0 sinon ;

– on a〈λx.s〉[t1, . . . , tn+1] β∆ 〈λx. ∂s∂x · tn+1〉[t1, . . . , tn].

β∆ est étendu à tous les contextes. On définitβ ⊆ N〈∆〉 × N〈∆〉 ainsi : si, pour 1≤ i ≤ n, on asi β∆

∑mij=1 s′i

j , alors on a∑n

i=1 si β∑n

i=1∑mi

j=1 s′ij .

β∗ est la clôture réflexive transitive deβ et on dira qu’un terme simple se réduit en le terme∑n

i=1 s′isi l’on a sβ∗

∑ni=1 s′i .

Nous introduisons un système de typage pour lestermes simples: le SystèmeS.

Définition 6.3.9. Les règles de typage du système S sont les suivantes :

x : [α] `S x : α

Γ, x : a `S v : αΓ `S λx.v : (a, α)

Γ0 `S v : [α1, . . . , αn]α Γ1 `S u1 : α1, . . . ,Γn `S un : αn n ∈ N∑ni=0 Γi `S 〈v〉[u1, . . . ,un] : α

Lemme 6.3.10.SiΓ0, x : [α1, . . . , αn+1] `S s : α etΓ1 `S t : αn+1 sont dérivables et x n’apparaît pasdans t, alors il existe s′ ∈ Supp( ∂s

∂x · t) tel queΓ0 + Γ1, x : [α1, . . . , αn] `S s′ : α est dérivable.

Démonstration.Par induction surs.

Proposition 6.3.11.SiΓ `S 〈λx.s〉[t1, . . . , tm] : α et 〈λx.s〉[t1, . . . , tm]β∆t′, alors il existe s′ ∈ Supp(t′)tel queΓ `S s′ : α.

Démonstration.Dans le cas oùm = 0, remarquer que ce système a la propriété remarquable sui-vante, quin’a passon pendant dans le SystèmeR : si Γ, x : [α1, . . . , αn] `S s : α, alors le nombred’occurrences libres dex danss estn.

Sinon, appliquer le Lemme 6.3.10.

En conséquence de quoi, sis est typable dans le SystèmeS, alorss ne se réduit pas en 0.

Définition 6.3.12. Etant donné un lambda-terme t, pour toute dérivationΠ deΓ `R t : α, on définit,par induction surΠ, res(Π) ∈ T (t) tel queΓ `S res(Π) : α.

– Si t est une variable x, alorsres(Π) = x.

– SiΠ estΠ′

Γ, x : a `R v : α

Γ `R λx.v : (a, α)

, alors res(Π) = λx.res(Π′).


– SiΠ estΠ0

Γ0 `R v : ([α1, . . . , αn], α)Π1 . . . Πn

Γ1 `R u : α1 . . . Γn `R u : αn

Γ0 + Γ1 + . . . + Γn `R (v)u : α

, alors res(Π) est

〈res(Π0)〉[res(Π1), . . . , res(Πn)].

Puisqu’un terme simple typable ne se réduit pas en 0, pour tout lambda-termet, res induit unebijection de l’ensemble des dérivations det quotientées par∼ sur l’ensemble dess ∈ T (t) tels quesne se réduit pas en 0.

Définition 6.3.13. Une substitution est une application de A vers D, qui a été étendue de manièrenaturelle en une application de D vers D.

Proposition 6.3.14.SoitΠ′ une dérivation deΓ′ `R t : α′ et soit s une substitution. Alors il existe unedérivationΠ de s(Γ′) `R t : s(α′) telle queΠ′ ∼ Π.

Démonstration.Par induction surt.

Relier les types et la sémantique

Théorème 6.3.15.Pour t ∈ Λ tel que FV(t) ⊆ x1, . . . , xn, on a :

~tx1,...,xn = ((a1, . . . ,an), α) ; x1 : a1, . . . , xn : an `R t : α .


Théorème 6.3.16.Pour t ∈ Λ et pourΓ ∈ Φ, on a

α ; Γ `R t : α ⊆ α ; ∀ρ ∈ P(D)V (∀x ∈ V Γ(x) ∈ M f (ρ(x))⇒ α ∈ ~tiρ).

Démonstration.Appliquer le Théorème 6.3.15.

Remarque 6.3.17.L’inclusion inverse n’est pas vraie.

Théorème 6.3.18.Pour t ∈ Λ etρ ∈ P(D)V, on a :

~tρ = α ∈ D ; ∃Γ (∀x ∈ V Γ(x) ∈ M f (ρ(x)) etΓ `R t : α) .

Démonstration.Appliquer les Théorèmes 6.3.15 et 6.3.16.

Il y a une autre manière de calculer l’interprétation des lambda-termes dans cette sémantique.En effet, il est bien connu que l’on peut traduire les lambda-termes dans les réseaux de preuve de lalogique linéaire étiquetés avec les typesI , O, ?I et !O : cette traduction est définie par induction surles lambda-termes. Maintenant, on peut faire des expériences pour calculer la sémantique du réseaude preuve : toutes les traductions correspondant au codageA⇒ B ≡?A⊥℘B ont la même sémantique.Et cette sémantique est la même que la sémantqiue définie ici.

Pour un aperçu des traductions des lambda-termes dans les réseaux de preuve, voir [28].


6.3.4 Propriétés de normalisation

Dans cette sous-section, inpirés par [35], nous prouvons deux théorèmes, qui formulent des rela-tionsqualitativesentre types assignables et propriétés de normalisation.

Proposition 6.3.19.Pour tout terme normal t, il existeα ∈ D dans lequel[] a seulement des occur-rences négatives etΓ ∈ Φ dans lequel[] a seulement des occurrences positives tels queΓ `R t : α. Si,de plus, t ne commence pas parλ, alors, pour toutα ∈ D dans lequel[] a seulement des occurrencesngatives, il existeΓ ∈ Φ dans lequel[] a seulement des occurrences positives tel queΓ `R t : α.


Proposition 6.3.20.Tout terme normalisable de tête est typable dans le Système R.

Démonstration.Soit t un terme normalisable de tête. Il existek,n ∈ N, x, x1, . . . , xk ∈ V, v1, . . . , vn ∈

Λ tels que (λx1. . . . λxk.t)v1 . . . vn =β x. Maintenant,x est typable. D’où (λx1. . . . λxk.t)v1 . . . vn esttypable. Doncλx1. . . . λxk.t est typable.

SiX1 etX2 sont deux parties deΛ, alorsX1→ X2 est une notation pour l’ensemble desλ-termesv tels que pour toutu ∈ X1, (v)u ∈ X2. Une partieX deΛ est saturée si pourt1, . . . , tn,u ∈ Λ et pourx ∈ V, on a ((u[t/x])t1 . . . tn ∈ X ⇒ (λx.u)tt1 . . . tn ∈ X). Une interprétation est une application deAvers l’ensemble des ensembles saturés deΛ. Pour toute interprétationI et pour toutδ ∈ D ∪M f (D),on definit, par induction surδ, un ensemble saturé|δ|I deΛ :

– siδ ∈ A, alors|δ|I = I(δ) ;– siδ = [], alors |δ|I = Λ ;– siδ = [α1, . . . , αn+1], alors|δ|I =

⋂n+1i=1 |αi |I.

– siδ = (a, α), alors|δ|I = |a|I → |α|I.

Lemme 6.3.21.SoitI une interprétation et soit u∈ Λ tel que x1 : a1, . . . , xk : ak `R u : α. Sit1 ∈ |a1|I, . . ., tk ∈ |ak|I, alors u[t1/x1, . . . , tk/xk] ∈ |α|I.

Démonstration.Par induction suru.

Fait 6.3.22. Pour tout terme t, pour toute variable x non libre dans t, si(t)x est normalisable, alors test normalisable.

Démonstration.Par induction sur le nombre de réductions gauches de (t)x.

Lemme 6.3.23. Soit N l’ensemble des termes normalisables. On poseN0 = (x)t1 . . . tn ; x ∈V, t1, . . . , tn ∈ N et, pourγ ∈ A, on poseI(γ) = N . Pourα ∈ D avec seulement des occurrencespositives (respectivement negatives) de[] , on aN0 ⊆ |α|I (respectivement|α|I ⊆ N).

Démonstration.Par induction onα. Supposonsα = (b, β) ∈ M f (D) × D ;– Si [] a seulement des occurrences positives dansα, alors [] a seulement des occurrences néga-

tives (respectivement positives) dansb (respectivement dansβ). Par hypothèse d’induction, ona |b|I ⊆ N etN0 ⊆ |β|I. Donc on aN0 ⊆ N → N0 ⊆ |b|I → |β|I = |α|I.

– Si [] a seulement des occurrences négatives dansα, alors [] a seulement des occurrences posi-tives (respectivement négatives) dansb (respectivement dansβ). Par hypothèse d’induction, onaN0 ⊆ |b|I et |β|I ⊆ N . Donc |α|I = |b|I → |β|I ⊆ N0 → N ⊆ N (cette dernière inclusionrésultant du Fait 6.3.22).


Proposition 6.3.24.Soient t∈ Λ,α ∈ D dans lequel[] a seulement des occurrences négatives etΓ ∈ Φ

dans lequel[] a seulement des occurrences positives tels queΓ `R t : α. Alors t est normalisable.

Démonstration.Supposons queΓ est le contextex1 : a1, . . . , xk : ak. Pourγ ∈ A, on poseI(γ) = N ,oùN est l’ensemble des termes normalisables. Par le Lemme 6.3.21, on at = t[x1/x1, . . . , xk/xk] ∈|α|I. Et par le Lemme 6.3.23, on a|α|I ⊆ N .

Lemme 6.3.25.SoitN l’ensemble des termes normalisables de tête. On poseN0 = (x)t1 . . . tn ; x ∈V, t1, . . . , tn ∈ Λ et, pourγ ∈ A, on poseI(γ) = N . Pour toutα ∈ D, on aN0 ⊆ |α|I ⊆ N .

Démonstration.Par induction surα. Siα = (b, β), alors, par hypothèse d’induction, on aN0 ⊆ |β|I ⊆

N etN0 ⊆ |b|I. D’où l’on aN0 ⊆ Λ→ N0 ⊆ |α|I et |α|I ⊆ N0→ N ⊆ N .

Proposition 6.3.26.Tout terme typable dans le Système R est normalisable de tête.

Démonstration.Soit k ∈ N, x1, . . . , xk ∈ V, a1, . . . ,ak tels queΓ est le contextex1 : a1, . . . , xk : ak.Pourγ ∈ A, on poseI(γ) = N , oùN est l’ensemble des termes normalisables de tête. Par le Lemme6.3.21, on at = t[x1/x1, . . . , xk/xk] ∈ |α|I. Et par le Lemme 6.3.25, on a|α|I ⊆ N .

Théorème 6.3.27.Pour t ∈ Λ, t est normalisable si, et seulement si, il existeα ∈ D dans lequel[] aseulement des occurrences négatives etΓ ∈ Φ dans lequel[] a seulement des occurrences positivestels queΓ `R t : α.


Théorème 6.3.28.Pour t ∈ Λ, t est normalisable de tête si, et seulement si, t est typable dans leSystème R.


Ce théorème n’est pas surprenant : bien que le SystèmeR ne soit pas considéré dans [20], il estassez évident que sa puissance de typage est la même que celle des systèmes contenantΩ considéréspar cet article. Nous pouvons remarquer ici une différence avec les Systèmesλ et I déjà mentionnés :dans ces systèmes, seuls les termes fortement normalisables sont typables.

6.4 Le modèle relationnel des suites finies

Le modèle relationnel des suites finiesest un modèlenon extensionnel: on a à notre dispositionune comonade faible monoïdale ((T,m, n), δ,d) qui n’est pasune comonade monoïdale :

– T est le semi-foncteur ainsi défini :– si A est un objet deRel, T(A) = A<ω, l’ensemble des suites finies à valeurs dansA ;– si f ⊆ A× B, alors

T( f ) = (〈α1, . . . , αn〉, 〈βσ(1), . . . , βσ(n)〉) ; n ∈ N, σ ∈ Sn et∀i (1 ≤ i ≤ n⇒ (αi , βi) ∈ f ) ;

– pour tous objetsA et B,

mA,B = ((〈α1, . . . , αn〉, 〈β1, . . . , βn〉), 〈(ασ(1), βτ(1)), . . . , (ασ(n), βτ(n))〉) ;

n ∈ N etσ, τ ∈ Sn etα1, . . . , αn ∈ A etβ1, . . . , βn ∈ B ;

6.4. LE MODÈLE RELATIONNEL DES SUITES FINIES 139

– n = (∗, 〈∗, . . . , ∗︸︷︷︸n fois

〉) ; n ∈ N ;

– δA = (a, 〈a1, . . . ,ak〉) ; k ∈ N eta ∈ S(a1, . . . ,ak) eta1, . . . ,ak ∈ A<ω ;– dA = (〈α〉, α) ; α ∈ A.

On rappelle queS(a1, . . . ,ak) est l’ensemble des mélanges (“shuffles”) dea1, . . . ,ak, c’est-à-dire

S(a1, . . . ,ak)

= 〈α1, . . . , αn〉 ; ∃σ ∈ Sp1,...,pk ∀i ∈ N (1 ≤ i ≤ k⇒ ai = 〈ασ(∑i−1

j=1 p j+1), . . . , ασ(∑i

j=1 p j )〉) ,

avecSp1,...,pk l’ensemble des permutationsσ ∈ S∑kj=1 p j

telles que pour 1≤ i ≤ k, σ est croissante sur

l’intervalle [(∑i−1

j=1 p j) + 1,∑i

j=1 p j ].De plus, on a des transformations naturelles monoïdalesc et w respectivement de (T,m, n) vers

⊗ ∆C (T,m, n) et de (T,m, n) vers∗C pour interpréter la contraction et l’affaiblissement :– pour tout objetA, cA = (a, (a1,a2)) ; a ∈ S(a1,a2) eta1,a2 ∈ A<ω ;– pour tout objetA, wA = (〈〉, ∗).On peut ici aussi interpréter les réseaux par desexpériences:

Définition 6.4.1. On définit, par induction sur la profondeur deπ ce qu’est une expérience surπ. Uneexpérience e sur une structure de preuveπ est une fonction associant à chaque nœud! o à profondeur0 un multiensemble[eo

1, . . . ,eok] d’expériences surπo et à chaque arête a: A à profondeur0 un élément

de~A de telle manière que les conditions suivantes sont satisfaites :– si a et b sont les conclusions d’un axiome à profondeur0, alors e(a) = e(b) ;– si a et b sont les prémisses d’une coupure à profondeur0, alors e(a) = e(b) ;– si c est la conclusion d’un℘ ou d’un⊗ à profondeur0 ayant a et b comme prémisses, alors

e(c) = (e(a),e(b)) ;– si c est la conclusion d’un nœud affaiblissement, alors e(c) = 〈〉 ;– si c est la conclusion d’un nœud contraction ayant a et b comme prémisses, alors e(c) ∈ S(a,b) ;– si c est la conclusion d’un nœud déréliction ayant a comme prémisse, alors c= 〈e(a)〉 ;– si a est une prémisse d’un nœud! o et e(o) = 〈eo

1, . . . ,eok〉, alors pour la porte principale

c de la boîte associée à o, e(c) = 〈eo1(a), . . . ,eo

k(a)〉 et pour toute porte auxiliaire c, e(c) ∈S(eo

1(c), . . . ,eok(c)).

Remarque 6.4.2.Cette définition est équivalente à la suivante, au sens où les expériences définiessont exactement les mêmes.

On définit, par induction sur la profondeur deπ ce qu’est une expérience surπ. Une expérience esur une structure de preuveπ est une fonction associant à chaque nœud! o à profondeur0 une suitefinie 〈eo

1, . . . ,eok〉 d’expériences surπo et à chaque arête a: A à profondeur0 un élément de~A de

telle manière que les conditions suivantes sont satisfaites :– si a et b sont les conclusions d’un axiome à profondeur0, alors e(a) = e(b) ;– si a et b sont les prémisses d’une coupure à profondeur0, alors e(a) = e(b) ;– si c est la conclusion d’un℘ ou d’un⊗ à profondeur0 ayant a et b comme prémisses, alors

e(c) = (e(a),e(b)) ;– si c est la conclusion d’un nœud affaiblissement, alors e(c) = 〈〉 ;– si c est la conclusion d’un nœud contraction ayant a et b comme prémisses, alors e(c) ∈ S(a,b) ;– si c est la conclusion d’un nœud déréliction ayant a comme prémisse, alors c= 〈e(a)〉 ;– si a est une prémisse d’un nœud! o et e(o) = 〈eo

1, . . . ,eok〉, alors pour la porte principale

c de la boîte associée à o, e(c) = 〈eo1(a), . . . ,eo

k(a)〉 et pour toute porte auxiliaire c, e(c) ∈S(eo

1(c), . . . ,eok(c)).


Si c1, . . . , cn, c sont lesn+ 1 conclusions deπ, alors on pose

~πc1,...,cn,c = ((e(c1), . . . ,e(cn)),e(c)) ; eest une expérience surπ .

Bien entendu, l’interprétation d’une preuve en calcul des séquents et celle de son réseau associésont les mêmes. Pour le voir, remarquer que l’on a

m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

= ((a1, . . . ,am), 〈(aσ1(1)1 , . . . ,aσm(m)

m )〉, . . . , (aσ1(k)1 , . . . ,aσm(k)

m )〉) ; k ∈ N, σ1, . . . , σm ∈ Sk

et∀ j ∈ N (1 ≤ j ≤ m⇒ (a1j , . . . ,a

kj ∈ A<ωj eta j ∈ S(a1

j , . . . ,akj )))

= ((a1, . . . ,am), 〈(a11, . . . ,a

1m), . . . , (ak

1, . . . ,akm)〉) ; k ∈ N

et∀ j ∈ N (1 ≤ j ≤ m⇒ (a1j , . . . ,a

kj ∈ A<ωj eta j ∈ S(a1

j , . . . ,akj )))

et donc que, pourf ∈ Rel[⊗m

j=1 T(A j), B], on a

T( f ) m〈T(A1),...,T(Am)〉

m⊗j=1

δA j

= ((a1, . . . ,am), 〈βσ(1), . . . , βσ(k)〉) ; k ∈ N, σ ∈ Sk

et∃a11, . . . ,a

k1 ∈ A<ω1 , . . . ,a1

m, . . . ,akm ∈ A<ωm

(a1 ∈ S(a11, . . . ,a

k1), . . . ,am ∈ S(a1

m, . . . ,akm) et∀l ∈ N (1 ≤ l ≤ k⇒ ((al

1, . . . ,alm), βl) ∈ f ))

= ((a1, . . . ,am), 〈β1, . . . , βk〉) ; k ∈ N

et∃a11, . . . ,a

k1 ∈ A<ω1 , . . . ,a1

m, . . . ,akm ∈ A<ωm

(a1 ∈ S(a11, . . . ,a

k1), . . . ,am ∈ S(a1

m, . . . ,akm) et∀l ∈ N (1 ≤ l ≤ k⇒ ((al

1, . . . ,alm), βl) ∈ f )) .

Enfin, voyons quelle relation entretiennent les additifs avec les multiplicatifs.A défaut d’un isomorphisme naturel entreT(A) ⊗ T(B) et T(A& B), on sait que l’on peut définir

un semi-isomorphisme naturel normal.Pour tous objetsA et B deRel, on définitϕA,B ∈ Rel[T(A) ⊗ T(B),T(A& B)] en posant

ϕA,B = T(((dA ρT A (idT A⊗ wB))&(dB λT B (wA ⊗ idT B))) ∆T A⊗T B) mT A,T B (δA ⊗ δB)

et on obtient

ϕA,B = ((〈γ1, . . . , γp〉, 〈γp+1, . . . , γp+q〉), 〈(γσ(1), j(σ(1))), . . . , (γσ(p+q), j(σ(p+ q)))〉) ;

σ ∈ Sp+q, γ1, . . . , γp ∈ A, γp+1, . . . , γp+q ∈ B,

j(k) = 1 si 1≤ σ(k) ≤ p et j(k) = 2 si p+ 1 ≤ σ(k) ≤ p+ q .

Pour tous objetsA et B de Rel, on définitψA,B ∈ Rel[T(A& B),T(A) ⊗ T(B)] en posantψA,B =

(T(π1A,B) ⊗ T(π2

A,B)) cA×B et on obtient

ψA,B = (((γσ(1), j(σ(1))), . . . , (γσ(p+q), j(σ(p+ q)))), (〈γ1, . . . , γp〉, 〈γp+1, . . . , γp+q〉)) ;

p,q ∈ N, σ ∈ Sp+q, γ1, . . . , γp ∈ A, γp+1, . . . , γp+q ∈ B,

j(k) = 1 si 1≤ σ(k) ≤ p et j(k) = 2 si p+ 1 ≤ σ(k) ≤ p+ q .

6.5. UNE COCONTRACTION NON COMMUTATIVE 141

6.5 Une cocontraction non commutative

Le modèle relationnel des suites finies peut être reconstruit à partir d’un modèle des réseauxdifférentiels via la formule de Taylor-Ehrhard.

Pour tout objetA deRel, la bigèbre (!A, µA, ηA,∆A, εA) dans la catégorie∗-autonomeR est donnéepar :

– !A = A<ω ;– (!A,∆A, εA) est le comonoïde donné par le modèle relationnel des suites finies de la logique

linéaire :∆A = cA et εA = wA ;– (!A, µA, ηA) est le monoïde défini par

– µA = cocA = ((a1,a2),a1 ∗ a2) ; a1, a2 ∈ A<ω, où∗ est la concaténation de suites ;– εA = cowA = (∗, []) .

De plus, pour tout objetA deRel, on a deux morphismesdA ∈ Rel[!A,A] et codA ∈ Rel[A, !A] quivérifient les diagrammes de la Définition 4.2.1 :

– dA est donné par le modèle relationnel des suites finies de la logique linéaire ;– codA = (∗, 〈α〉) ; α ∈ A.On peut commencer par remarquer que la contraction est cocommutative (c’est la même que celle

du modèle de la logique linéaire), alors que la cocontractionn’est pascommutative : siα1, α2 ∈ A,alors

((〈α1〉, 〈α2〉), 〈α1, α2〉) ∈ cocA ,

mais

((〈α2〉, 〈α1〉), 〈α1, α2〉) < cocA .

On va voir que l’on peut récupérer le semi-foncteurT et le “digging”δ du modèle relationnel dessuites finies de la logique linéaire.

Pour toutg ∈ Rel[T(A), B], on définitgT ∈ Rel[T(A),T(B)] en posant

gT =∑

n

1n!

(cocnB

n⊗i=1

(codB g) cnA) .

On obtient

gT = (a, 〈β1, . . . , βn〉) ; n ∈ N et il existea1, . . . ,an ∈ A<ω tels que

a ∈ S(a1, . . . ,an) et∀i (1 ≤ i ≤ n⇒ (ai , βi) ∈ g) .

Donc, pour toutf ∈ Rel[A, B], on a

( f dA)T = (a, 〈β1, . . . , βn〉) ; n ∈ N et il existea1, . . . ,an ∈ A<ω tels que

a ∈ S(a1, . . . ,an) et∀i (1 ≤ i ≤ n⇒ (ai , βi) ∈ f dA)

= (a, 〈β1, . . . , βn〉) ; n ∈ N et il existea1, . . . ,an ∈ A<ω tels que

a ∈ S(a1, . . . ,an) et∀i (1 ≤ i ≤ n⇒ (ai = 〈αi〉 et (αi , βi) ∈ f ))

= (〈α1, . . . , αn〉, 〈βσ(1), . . . , βσ(n)〉) ; n ∈ N, σ ∈ Sn et∀i (1 ≤ i ≤ n⇒ (αi , βi) ∈ f )

= T( f ) .


Et, pour tout objetA deRel, on a

idT(A)T = (a, 〈β1, . . . , βn〉) ; n ∈ N et il existea1, . . . ,an ∈ A<ω tels que

a ∈ S(a1, . . . ,an) et∀i (1 ≤ i ≤ n⇒ (ai , βi) ∈ idT(A))

= (a, 〈a1, . . . ,an〉) ; ; n ∈ N, a1, . . . ,an ∈ A<ω eta ∈ S(a1, . . . ,an)

= δA .

Pour tous objetsA et B deRel, on pose

mA,B =∑

n

1n!

(cocnA⊗B

n⊗i=1


n⊗i=1

dA ⊗

n⊗i=1

dB) (cnA ⊗ cn

B))

et on obtient

mA,B = ((〈α1, . . . , αn〉, 〈β1, . . . , βn〉), 〈(ασ(1), βτ(1)), . . . , (ασ(n), βτ(n))〉) ;

n ∈ N, σ, τ ∈ Sn, α1, . . . , αn ∈ A, β1, . . . , βn ∈ B .

On pose

n =∑

n

1n!

(cocnI

n⊗i=1

codI can−n)

et on obtientn = (∗, 〈∗, . . . , ∗︸︷︷︸

n fois

〉 ; n fois .

6.6 Une sémantique non extensionnelle du lambda-calcul typé

D’après le Théorème 3.3.37, on peut interpréter le lambda-calcul simplement typé dansΛ(M). Onva voir que, ici,Λ(M) n’est pas une structure de catégorie cartésienne fermée.

En effet, posonsA = α et B = β1, β2. On poseΛ〈B〉〈B〉⇒〈A〉,〈A〉(ev〈A〉,〈B〉) = 〈 f 〉. On a

(〈(〈β1, β2〉, α)〉, (〈β2, β1〉, α)) ∈ f , donc f , dB⇒A et doncΛ〈B〉〈B〉⇒〈A〉,〈A〉(ev〈A〉,〈B〉) , id〈B〉⇒〈A〉.

Chapitre 7

Hic salta !

Dans les chapitres 5 et 6, les modèles des réseaux différentiels que nous considérions étaientsupposés cocommutatifs. Rappelons que cela signifie que, pour tout objetA de C, la bigèbre(T A, cocA, cowA, cA,wA) dans la catégorie monoïdale symétriqueC = (C,⊗, I , α, λ, ρ, γ) est cocom-mutative, autrement dit, que le comonoïde (T A, cA,wA) dansC est cocommutatif, c’est-à-dire que lediagramme

T AcA- T A⊗ T A

T A⊗ T A

γT A

?

cA

-

commute dans la catégorieC.Nous avons vu, dans le chapitre 4, qu’il n’était nullement nécessaire de faire une telle hypothèse

pour avoir un modèle des réseaux différentiels. Nous savons aussi qu’il existe des exemples de modèlesne vérifiant pas cette condition. Nous en venons naturellement à nous poser la question suivante :pouvons-nous nous passer également d’une telle hypothèse pour obtenir, en faisant une constructionsemblable à celle du chapitre 5, un modèle de la logique linéaire ?

Bien entendu, si l’on interprète la contraction par une contraction non cocommutative, on n’aaucune chance d’obtenir un modèle de la logique linéaire au sens de la Définition 3.3.2. On pourraitcependant peut-être donner une définition plus faible d’un modèle de la logique linéaire dans laquelleon ne supposerait plus que les contractions sont cocommutatives. Cela signifierait que les deux réseaux

ax

ax

?c ⊗

??A⊥ ?!A

?!A??A⊥

??A⊥ ?

!A⊗ !A

143

144 CHAPITRE 7. HIC SALTA !

et

ax

ax

?c⊗

?A⊥

?A⊥

!A

!A

!A⊗ !A?A⊥

ne sont plus identifiés. Cette définition garantirait que l’interprétation respecte l’élimination des cou-pures, quitte à ce que les deux réseaux ci-dessus aient des interprétations distinctes, quitte aussi à ceque la traduction de Girard ne donne plus une sémantique dénotationnelle du lambda-calcul (au sensoù l’interprétation est invariante par bêta-réduction).

Mais, en réalité, ce serait une erreur de penser que si, dans notre construction, nous avons supposéque nos bigèbres étaient cocommutatives, c’était uniquement parce que nous voulions que, dans lesmodèles de la logique linéaire ainsi construits, les contractions fussent cocommutatives. Si tel était lecas, il serait légitime de penser que l’on peut, de manière analogue, sans supposer la cocommutativitédes contractions, quitte, éventuellement, à supposer la commutativité des cocontractions, obtenir desmodèles de la logique linéaire tels que ceux auxquels nous avons fait allusion au paragraphe précédent.Il n’en est rien. La raison en est que la logique linéaire ne respecte plus la parfaite symétrie desréseaux différentiels : en logique linéaire, non seulement, pour interpréter les exponentielles, il faut unecomonade tandis qu’il n’est pas nécessaire d’avoir une monade, mais, en plus, il existe une contractionqui peut être coupée avec une boîte tandis qu’il n’existe pas de cocontraction. Il n’y a donc aucuneraison de pensera priori que si l’on a pu se passer de la commutativité des cocontractions, on pourrase passer de la cocommutativité des contractions. Voyons ce qu’il en est.

Dans le chapitre 5, on a défini, pour toutf ∈ C[A, B], T( f ) ∈ C[T A,T B] en posant

T( f ) =∑

n

1n!

(cocnB

n⊗i=1

(codB f dA) cnA) .

On a montré (Lemme 5.2.15) queT définissait un semi-endofoncteur deC. Pour cela, l’hypothèse dela cocommutativité decA était-elle indispensable ? Absolument pas. En regardant la preuve, le lecteurpourra vérifier qu’il suffisait d’avoir la cocommutativité decA ou la commutativité decocB. On peutmême se passer de l’une et de l’autre si l’on pose

T( f ) =∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnB

n⊗i=1

codB

n⊗i=1

(codB f dA) σT A cnA) .

Il est clair que si l’on suppose la cocommutativité decA ou la commutativité decocB, on retrouvela définition précédente. On appelleramodèle extensionnel des réseaux différentielsun modèle desréseaux différentiels avec sommes infinies et coefficients réels positifs tels que le semi-foncteurTdéfini par cette formule est un endofoncteur de la catégorieC.

7.1. A PROPOS DE L’EXTENSIONNALITÉ 145

7.1 A propos de l’extensionnalité

On a déjà vu (voir la Section 6.4 du Chapitre 6) que, même dans le cas cocommutatif, il n’y aaucune raison pour queT soit un endofoncteur deC. Par contre, il vaut la peine de remarquer quesi l’on part d’un modèle des réseaux différentiels avec sommes infinies et coefficient réels positifssans supposer la cocommutativité des contractions ni la commutativité des cocontractions et que si,en définissantT comme ci-dessus,T est un endofoncteur deC, alors les contractions sont nécessai-rement cocommutatives et les cocontractions nécessairement commutatives. C’est ce que montre laproposition suivante.

Proposition 7.1.1.Pour tout objet A deC, si T(idA) = idT A, alors la bigèbre(T A, cocA, cowA, cA,wA)est commutative et cocommutative.

Démonstration.

cocA = idT A cocA

= T(idA) cocA

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnA

n⊗i=1

codA σA

n⊗i=1

dA cnA cocA)

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

∑n1+n2=n

∑σ′∈S(n1,n2)

(cocnA

n⊗i=1

codA σA σ′A (α(n1,n2)

A )−1 ((n1⊗i=1

dA cn1A ) ⊗ (

n2⊗i=1

dA cn2A )))


=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

∑n1+n2=n

∑σ′∈S(n1,n2)

(cocnA

n⊗i=1


A )−1 γ⊗n2i=1 A,

⊗n1i=1 A

((n2⊗i=1

dA cn2A ) ⊗ (

n1⊗i=1

dA cn1A )))

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

∑n1+n2=n

∑σ′∈S(n1,n2)

(cocnA

n⊗i=1


A )−1 ((n1⊗i=1

dA cn1A ) ⊗ (

n2⊗i=1

dA cn2A )) γT(A))

=∑

n

1(n!)2

∑σ∈Sn

(cocnA

n⊗i=1

codA σA

n⊗i=1

dA cnA cocA γT A)


= T(idA) cocA γT A

= idT A cocA γT A

= cocA γT A

Autrement dit, on a montré le théorème suivant.


Théorème 7.1.2.Tout modèle extensionnel des réseaux différentiels est un modèle cocommutatif etcommutatif.

Cela signifie que si l’on n’a pas besoin de la commutativité de la cocontraction pour obtenir unmodèle de la logique linéaire au sens de la Définition 3.3.2, elle est nécessaire si l’on veut obtenir unmodèleextensionnelde la logique linéaire (un modèle au sens de Benton-Bierman-Hyland-de Paiva).

7.2 Une contraction non cocommutative ?

La commutativité de la cocontraction suffit certes à obtenir un semi-foncteurT deC versC. Pourautant, on est loin d’avoir obtenu un modèle de la logique linéaire. On va voir que, en fait, mêmeen supposant la commutativité de la cocontraction, si on ne suppose pas la cocommutativité de lacontraction, la formule de Taylor-Ehrhard ne respecte pas l’élimination des coupures : on va exhiberun contre-exemple dans lequel l’interprétation ne sera pas invariante au cours de l’élimination descoupures.

Ce contre-exemple provient de l’Exemple 4.2.2 et de la Proposition 4.2.3. On considère à nouveaula catégorie∗-autonome (R,⊥), oùR est la catégorie monoïdale symétrique fermée (Rel, . . .). Etantdonné un ensembleA contenant au moins deux élémentsα1 et α2, (A<ω,∆A

∗, εA∗, µA

∗, ηA∗) est une

bigèbre commutative et non cocommutative, oùµA, ηA,∆A etεA sont tels que définis dans les Exemples4.1.9 et 4.2.2, et oùf ∗, pour f un morphisme deC versD dans la catégorieRel, désigne le morphismede D versC dans la catégorieRel défini par f ∗ = (β, α) ; (α, β) ∈ f . Considérons donc le modèledes réseaux différentiels ((R,⊥), (T′A)A∈ob(Rel)), avec

T′A = (A<ω,∆A∗, εA

∗, µA∗, ηA

∗,dA∗, codA

∗) ,

oùµA, ηA, ∆A, εA, codA et dA sont tels que définis dans l’Exemple 4.2.2. Définissons le semi-foncteurT′ et δ′A par la formule de Taylor-Ehrhard : sif est un morphisme deC versD dans la catégorieRel,alors

T′( f ) = ( f codA∗)T =

∑n

1n!

(cA∗n

n⊗i=1

(dA∗ f codA

∗) cocA∗n) ;

par ailleurs,

δ′A = idT(A)T =∑

n

1n!

(cA∗n

n⊗i=1

dA∗ cocA

∗n) .

Tout d’abord, remarquons que le semi-foncteurT′ ainsi défini est le même que le semi-foncteurTdéfini à partir du modèle des réseaux différentiels de départ :

T′( f ) = (〈α1, . . . , αn〉, 〈βσ(1), . . . , βσ(n)〉) ; n ∈ N et∀i(1 ≤ i ≤ n⇒ (αi , βi) ∈ f ) etσ ∈ Sn .

Maintenant, on peut constater que siA est un ensemble contenant au moins trois élémentsα1, α2 etα3, alors le diagramme

T′(A)δ′A- T′ T′(A)

T′(A)

T′(idA)

?

δ′A

- T′ T′(A)

T′ T′(idA)

?

7.2. UNE CONTRACTION NON COCOMMUTATIVE ? 147

ne commute pas dans la catégorieC, c’est-à-dire que les deux réseaux

ax

?d

!

A⊥ A

?A⊥ !A

ax

!

!!A

!A?A⊥

?A⊥

cut

et

ax

!

!A

!!A?A⊥

ax

!

!

cut

?d

?d

??A⊥ !!A

!A

AA⊥

?A⊥

n’ont pas la même interprétation. Pour le voir, remarquer que l’on a

(〈α1, α2, α3〉, 〈〈α1, α3〉, 〈α2〉〉) ∈ δ′A T′(idA)

et que l’on n’a pas(〈α1, α2, α3〉, 〈〈α1, α3〉, 〈α2〉〉) ∈ (T′ T′(idA)) δ′A .

Or les deux réseaux se réduisent tous deux en le même réseau.


On peut donc conclure que la commutativité de la cocontraction n’est pas suffisante pour obtenirun modèle de la logique linéaire en passant par la formule de Taylor-Ehrhard, au sens où l’interpré-tation reste invariante au cours de l’élimination des coupures. On n’obtient pas plus un modèle desréseauxη-expansés de la logique linéaire, car l’η-expansion du premier réseau est interprétée par lemorphisme (T′ T′(idA)) δ′A T′(idA) et celle du second par le morphisme (T′ T′(idA)) δ′A .

On peut cependant interpréter les réseaux et se demander comment se comporte l’interprétation aucours de la réduction. Ici, pour l’exemple particulier que nous avons vu, on se contentera de conjec-turer la propriété suivante : siπ se réduit enπ′, alors l’interprétation deπ′ est incluse dans celle deπ.

Si l’on voulait faire rentrer ce genre d’interprétations dans un cadre catégorique, peut-être faudrait-il considérer des 2-catégories, dans lesquelles l’élimination des coupures correspondrait à une 2-flèche ... ?

Deuxième partie

Temps de calcul via sémantique et typesavec intersection

149

151

“Le temps est une invention des hommesincapables d’aimer.”

Invariance

152

Chapitre 8

La machine de Krivine

Le but du travail présenté dans ce chapitre est d’obtenir des informations sur le temps d’exécutiondes lambda-termes à travers la sémantique. Quand on parle de temps d’exécution, on veut parler dunombre d’étapes dans un modèle de calcul.

La sémantique que nous considérons est la lambda-algèbre présentée dans la Section 6.3 dans lecas particulier oùD =

⋃n∈N Dn avecD0 = A, un ensemble non vide qui ne contient aucun couple, et

Dn+1 = A∪ (M f (Dn) × Dn) et l’injection i deM f (D) × D versD est l’inclusion.L’article [46] a présenté une procédure qui calcule la forme normale d’un lambda-terme (si elle

existe) en trouvant son typage principal (s’il existe). Ici, nous présentons des résultats quantitatifssur la relation entre les types et ce calcul de la forme normale. Comme dans [22], le modèle decalcul considéré sera la machine de Krivine. Nous introduisons deux variantes de cette machine quiimplantent la réduction linéaire de tête.

La première (Définition 8.1.6) calcule la forme normale de tête principale d’un lambda-terme (sielle existe) : nous prouvons que le nombre d’étapes d’exécution est la taille de la plus petite dérivationdu lambda-terme dans le SystèmeR (Théorème 8.1.22) et, comme corollaire, nous bornons le nombred’étapes par la taille des points de la sémantique (Théorème 8.1.29) ; une relation plus précise entresémantique et temps d’exécution est donnée dans le Théorème 8.1.30.

La seconde (Définition 8.2.1) calcule la forme normale d’un lambda-terme (si elle existe) : nousbornons le nombre d’étapes d’exécution (Théorème 8.2.7) et prouvons que, si ce nombre est fini, ilexiste une dérivation de son typage principal dont la taille est précisément égal à ce nombre (Théorème8.2.9) ; on obtient alors le Corollaire 8.2.10, un résultat similaire au Théorème 8.1.22 ; des résultatssimilaires aux Théorèmes 8.1.29 et 8.1.30 sont donnés dans les Théorèmes 8.2.11 et 8.2.12.

8.1 Une machine calculant la forme normale de tête principale

Nous introduisons une variante d’une machine présentée dans [34] qui implante l’appel par nom.Plus précisément, la machine originale réalise la réduction linéaire de tête faible, tandis que notremachine réalise la réduction linéaire de tête.

8.1.1 Etats de la machine

Nous commençons par les définitions de l’ensembleE des environnements et de l’ensembleC desclôtures. On poseE =

⋃p∈N Ep etC =

⋃p∈N Cp, oùEp etCp sont définis par induction surp :

– Si p = 0, alorsEp = ∅ etCp = Λ × ∅.

153

154 CHAPITRE 8. LA MACHINE DE KRIVINE

– Ep+1 est l’ensemble des applications partielles finies deV versCp etCp+1 = Λ × Ep+1.Poure ∈ E, d(e) est une notation pour le plus petit entierp tel quee ∈ Ep.Pourc = (t,e) ∈ C, on définit, par induction surd(e), c = t[e] ∈ Λ :– Sid(e) = 0, alorst[e] = t.– Supposonst[e] défini pourd(e) = d. Si d(e) = d + 1, alorst[e] = t[c1/x1, . . . , cn/xn], avecx1, . . . , xn = dom(e) et, pour 1≤ i ≤ n, e(xi) = ci .

Unepile est une suite finie de clôtures. Sic est une clôture etπ = (c1, . . . , cq) est une pile, alorsc.π est une notation pour la pile (c, c1, . . . , cq). On noteraε la pile vide.

Un étatest un couple (c, π), oùc est une clôture etπ est une pile. On noteraS l’ensemble des états.Si s= (c0, (c1, . . . , cq)) ∈ S, alorss est une notation pour le lambda-terme (c0)c1 . . . cq.

Définition 8.1.1. On dit qu’un lambda-terme t respecte la convention sur les variables si chacune desvariables est liée au plus une fois dans t.

Pour toute clôture c= (t,e), on définit, par induction sur d(e), ce que signifie que c respecte laconvention sur les variables :

– si d(e) = 0, alors on dit que c respecte la convention sur les variables si, et seulement si, trespecte la convention sur les variables ;

– si c = (t, (x1, c1), . . . , (xn, cn)) avec n, 0, alors on dit que c respecte la convention sur lesvariables si, et seulement si,– c1, . . . , cn respectent la convention sur les variables ;– et les variables x1, . . . , xn ne sont pas liées dans t.

Pour tout état s= (c0, (c1, . . . , cq)), on dit que s respecte la convention sur les variables si, et seulementsi, c0, . . . , cq respectent la convention sur les variables.

8.1.2 Exécution

D’abord, nous présentons l’exécution d’un état. Elle consiste à mettre à jour une clôture (t,e) etla pile. Sit est une application (v)u, alors on empile la clôture (u,e) et la nouvelle clôture courante est(v,e). Si t est une abstraction, alors une clôture est dépilée et un nouvel environnement est créé. Sitest une variable, alors la clôture courante est maintenant la valeur de la variable dans l’environnement.

Définition 8.1.2. Pour s= ((t,e), π) ∈ S respectant la convention sur les variables et s′ ∈ S, nousdéfinissons sS s′ :

– si t ∈ V, alors :– si t ∈ dom(e), alors s′ = (e(t), π) ;– sinon, sS s′ est faux pour tout s′ ;

– si t= λx.u, alors :– siπ est la pile videε, alors sS s′ est faux pour tout s′ ;– siπ = c.π′, alors s′ = ((u, (x, c) ∪ e), π′) ;

– si t= (v)u, alors s′ = ((v,e), (u,e).π).

Remarque 8.1.3. – Si s∈ S respecte la convention sur les variables et sS s′, alors s′ respectela convention sur les variables.

– Si s= ((λx.u,e), c.π′) ∈ S respecte la convention sur les variables, alors on a bien

(x, c) ∪ e ∈ E .

Remarquer que dans le cas où le sous-terme courant est une abstraction et la pile est vide, lamachine s’arrête. Maintenant, nous étendons la machine de telle manière qu’elle exécute la réductiond’éléments deK , oùK =

⋃n∈NKn avec

8.1. UNE MACHINE CALCULANT LA FORME NORMALE DE TÊTE PRINCIPALE 155

– H0 = V etK0 = S ;– Hn+1 = V ∪ (v)u; v ∈ Hn etu ∈ Λ ∪ Kn etKn+1 = S ∪Hn ∪ λy.k ; y ∈ V etk ∈ Kn .

On poseH =⋃

n∈NHn. On aK = S ∪H ∪⋃

n∈Nλx.k ; x ∈ V etk ∈ Kn.

Remarque 8.1.4.On a– H = (x)t1 . . . tp ; p ∈ N, x ∈ V, t1, . . . , tp ∈ Λ ∪ K

– et donc tout élément deK s’écrit soit sous la forme

λx1. . . . λxm.s avec m∈ N, x1, . . . , xm ∈ V et s∈ S

soit sous la forme

λx1. . . . λxm.(x)t1 . . . tp avec m, p ∈ N, x1, . . . , xm ∈ V et t1, . . . , tp ∈ K ∪ Λ.

Pourk ∈ K , d(k) est une notation pour le plus petit entierp tel quek ∈ Kp.On étend la définition des pour s ∈ S à k pourk ∈ K . Pour cela, on va posert = t si t ∈ Λ. Cette

définition se fait par induction surd(k) :– sid(k) = 0, alorsk ∈ S et donck est déjà défini ;– sik ∈ H , alors il y a deux cas :

– sik ∈ V, alorsk est déjà défini (c’estk) ;– sinon,k = (v)u et on posek = (v)u ;

– sik = λx.k0, alorsk = λx.k0.On étend la Définition 8.1.1 aux éléments deK .

Définition 8.1.5. Pour tout k∈ K , on définit, par induction sur d(k), ce que signifie que k respecte laconvention sur les variables :

– si k ∈ S, alors k respecte la convention sur les variables si, et seulement si, k respecte laconvention sur les variables au sens de la Définition 8.1.1 ;

– si k∈ H , alors il y a deux cas :– si k∈ V, alors k respecte la convention sur les variables ;– sinon, k= (v)u et k respecte la convention sur les variables si, et seulement si, v et u res-

pectent la convention sur les variables ;– si k= λx.k0, alors k respecte la convention sur les variables si, et seulement si, k0 respecte la

convention sur les variables.

Définition 8.1.6. Pour k, k′ ∈ K , où k respecte la convention sur les variables, nous définissonsk h k′ :

– si k∈ S, alors il y a trois cas :– si k= ((x,e), (c1, . . . , cq)), x ∈ V et x< dom(e), alors k′ = (x)c1 . . . cq ;– si k= ((λx.u,e), π) etπ est la pile vide, alors k′ = λx.((u,e), ε) ;– sinon kS k′ ;

– si k∈ H , alors kh k′ est faux pour tout k′ ;– si k= λy.k0, alors k′ = λy.k′0 avec k0 h k′0.

Une différence avec la machine originale est que notre machine réduit sous les lambdas.h∗ est une notation pour la clôture réflexive transitive deh. Pour toutk ∈ K , k est dit être une

forme normale de Krivinesi pour toutk′ ∈ K , on n’a pask h k′.

Définition 8.1.7. Pour tout k0 ∈ K , on définit lh(k0) ∈ N ∪ ∞ ainsi : s’il existe k1, . . . , kn ∈ K telsque ki h ki+1 pour 0 ≤ i ≤ n − 1 et kn est une forme normale de Krivine, alors on pose lh(k0) = n,sinon on pose lh(k0) = ∞.


Proposition 8.1.8.Pour tout s∈ S, pour tout k′ ∈ K , si sh∗k′ et k′ est une forme normale de Krivine,

alors k′ est un lambda-terme en forme normale de tête.

Démonstration.Par induction surlh(s).Si lh(s) = 0, c’est vrai, car on n’a jamaislh(s) = 0.Sinon, il y a cinq cas.– Si s = ((x,e), (c1, . . . , cq)), x ∈ V et x < dom(e), alorss h (x)c1 . . . cq : (x)c1 . . . cq est une

forme normale de Krivine et (x)c1 . . . cq est bien un lambda-terme en forme normale de tête.– Si s = ((λx.u,e), π) et π est la pile vide, alorsk′ = λx.k′′ avec ((u,e), ε)h

∗k′′ : par hypothèsed’induction,k′′ est un lambda-terme en forme normale de tête, donck′ aussi est un lambda-terme en forme normale de tête.

– Si s = ((x,e), (c1, . . . , cq)), x ∈ V et x ∈ dom(e), alorss h (e(x), π) : (e(x), π)h∗k′ donc, par

hypothèse d’induction,k′ est un lambda-terme en forme normale de tête.– Si s = ((λx.u,e), c.π), alors s h ((u, (x, c) ∪ e), π) : ((u, (x, c) ∪ e), π) h k′ donc, par

hypothèse d’induction,k′ est un lambda-terme en forme normale de tête.– Si s = (((v)u,e), π), alorss h ((v,e), (u,e).π) : ((v,e), (u,e).π)h

∗k′ donc, par hypothèse d’in-duction,k′ est un lambda-terme en forme normale de tête.

Exemple 8.1.9.On pose s= (((λx.(x)x)λy.y, ∅), ε). On a lh(s) = 9 :

s h ((λx.(x)x, ∅), (λy.y, ∅))

h (((x)x, (x, (λy.y, ∅))), ε)

h ((x, (x, (λy.y, ∅))), (x, (x, (λy.y, ∅))))

h ((λy.y, ∅), (x, (x, (λy.y, ∅))))

h ((y, (y, (x, (x, (λy.y, ∅))))), ε)

h ((x, (x, (λy.y, ∅))), ε)

h ((λy.y, ∅), ε)

h λy.((y, ∅), ε)

h λy.y

Lemme 8.1.10.Pour tous k, k′ ∈ K , si k h k′, alors k →h k′, où→h est la clôture réflexive de laréduction de tête.

Démonstration.Il y a deux cas.– Sik ∈ S, il y a cinq cas.

– Si k = ((x,e), (c1, . . . , cq)), x ∈ V et x < dom(e), alorsk = (x)c1 . . . cq et k′ = (x)c1 . . . cq =

(x)c1 . . . cq : on ak = k′.– Si k = ((λx.u,e), π) et π est la pile vide, alorsk = (λx.u)[e] = λx.u[e] (car k respecte la

convention sur les variables) etk′ = λx.((u,e), ε) = λx.u[e] : on ak = k′.– Si k = ((x,e), (c1, . . . , cq)), x ∈ V et x ∈ dom(e), alors k = e(x)c1 . . . cq et k′ =

(e(x), (c1, . . . , cq)) = e(x)c1 . . . cq : on ak = k′.– Si k = ((λx.u,e), (c, c1, . . . , cq)), alorsk = ((λx.u)[e])cc1 . . . cq = (λx.u[e])cc1 . . . cq (car k

respecte la convention sur les variables) etk′ = ((u, (x, c) ∪ e))c1 . . . cq : k se réduit en uneétape de réduction de tête enk′.


– Si k = (((v)u,e), (c1 . . . cq)), alors k = (((v)u)[e])c1 . . . cq = (v[e])u[e]c1 . . . cq et k′ =((v,e), (u,e).(c1, . . . , cq)) = (v[e])u[e]c1 . . . cq : on ak = k′.

– Sinon,k = λy.k0 ; alorsk = λy.k0 et k′ = λy.k′0 = λy.k′0 aveck0 h k′0 : on ak0 →h k′0 et donc

k→h k′.

Théorème 8.1.11.Pour tout k∈ K , si lh(k) est fini, alorsk est normalisable de tête.

Démonstration.Par induction surlh(k).Si lh(k) = 0, alorsk ∈ H donck s’écrit (x)t1 . . . tp et donck s’écrit (x)t1 . . . tp : c’est une forme

normale de tête. Sinon, appliquer le Lemme 8.1.10.

Pour tout terme normalisable de têtet, h(t) est une notation pour le nombre de réductions de têtedet.

Théorème 8.1.12.Pour tout état s= ((t,e), π), si s est normalisable de tête, alors lh(s) est fini.

Démonstration.Par induction bien fondée sur (h(s),d(e), t).Si h(s) = 0, d(e) = 0 ett ∈ V, alors on alh(s) = 1.Sinon, il y a cinq cas.– Dans le cas oùt ∈ V ∩ dom(e), on as h (e(t), π). On poses′ = (e(t), π) et e(t) = (t′,e′). On

a s = s′ et d(e′) < d(e) donc on peut appliquer l’hypothèse d’induction :lh(s′) est fini et donclh(s) = lh(s′) + 1 aussi.

– Dans le cas oùt ∈ V et t < dom(e), on alh(s) = 1.– Dans le cas oùt = (v)u, on as h ((v,e), (u,e).π). On poses′ = ((v,e), (u,e).π). On as′ = s

donc on peut appliquer l’hypothèse d’induction :lh(s′) est fini et donclh(s) = lh(s′) + 1 aussi.– Dans le cas oùt = λx.u et π = ε, on as h λx.((u,e), ε). On poses′ = ((u,e), ε). Commes

respecte la convention sur les variables, on as = λx.u[e] = λx.s′. On ah(s′) = h(s) donc onpeut appliquer l’hypothèse d’induction :lh(s′) est fini et donclh(s) = lh(s′) + 1 aussi.

– Dans le cas oùt = λx.u etπ = c.π′, on ash ((u, (x, c)∪e), π). On poses′ = ((u, (x, c)∪e), π).On ah(s′) < h(s) donc on peut appliquer l’hypothèse d’induction :lh(s′) est fini et donclh(s) =lh(s′) + 1 aussi.

La Proposition 8.1.8, le Lemme 8.1.10 et le Théorème 8.1.12 montrent que pour toutt ∈ Λnormalisable de tête de forme normale de tête principalet′, on a ((t, ∅), ε)h

∗t′ et t′ est une formenormale de Krivine.

8.1.3 Des dérivations de type pour les états

On étend maintenant les dérivations de type pour les termes à des dérivations de type pour lesclôtures et pour les états. On définira aussi la taille de telles dérivations, étant entendu que la tailled’une dérivation du SystèmeR est tout simplement sa taille en tant qu’arbre, c’est-à-dire le nombrede ses nœuds.

Définition 8.1.13. Pour tout clôture c= (t,e), pour tout (Γ, α) ∈ Φ × D (respectivement(Γ,a) ∈Φ×M f (D)), on définit, par induction sur d(e), ce qu’est une dérivationΠ deΓ ` c : α (respectivementΓ ` c : a) et ce qu’est|Π| pour une telle dérivation :


– – si e= ∅, alors une dérivation deΓ ` c : α est un coupleΠ = (Π0, ∅), oùΠ0 est une dérivationdeΓ `R t : α ;

– si e = (x1, c1), . . . , (xn, cn) avec n, 0, alors une dérivation deΓ ` c : α est un coupleΠ = (Π0, (x1,Π1), . . . , (xn,Πn)), où– Π0 est une dérivation deΓ0, x1 : a1, . . . , xn : an `R t : α ;– pour tout j∈ 1, . . . , n, Π j est une dérivation deΓ j ` c j : a j ;– etΓ =

∑nj=0 Γ j .

Si Π = (Π0, (x1,Π1), . . . , (xn,Πn)) est une dérivation deΓ ` c : α, alors on pose|Π| =∑ni=0 |Πi |.

– Pour tout entier p, une dérivation deΓ ` c : [α1, . . . , αp] est un p-uplet(Π1, . . . ,Πp) tel qu’ilexiste(Γ1, . . . , Γp) ∈ Φp et– pour1 ≤ i ≤ p,Πi est une dérivation deΓi ` c : αi ;– etΓ =

∑pi=1 Γ

i ;SiΠ = (Π1, . . . ,Πp) est une dérivation deΓ ` c : a, alors on pose|Π| =

∑pi=1 |Π

i |.

Lemme 8.1.14.Soient((v)u,e) ∈ C. Pour tous b∈ M f (D), Γ′, Γ′′ ∈ Φ, siΠ′ est une dérivation deΓ′ ` (v,e) : (b, α) et Π′′ est une dérivation deΓ′′ ` (u,e) : b, alors il existe une dérivationΠ deΓ′ + Γ′′ ` ((v)u,e) : α telle que|Π| = |Π′| + |Π′′| + 1.

Démonstration.On posee= (x1, c1), . . . , (xn, cn). Π′ = (Π′0, (x1,Π′1), . . . , (xn,Π

′n)), où

– Π′0 est une dérivation deΓ′0, x1 : a′1, . . . , xn : a′n `R v : (b, α),– pour 1≤ i ≤ n, Π′i est une dérivation deΓ′i ` ci : a′i– etΓ′ =

∑ni=0 Γ

′i .

On poseb = [β1, . . . , βp] et Π′′ = (Π′′1, . . . ,Π′′p) où, pour 1 ≤ j ≤ p, Π′′ j = (Π′′ j0,

(x1,Π′′ j

1), . . . , (xn,Π′′ j

n)) est une dérivation deΓ′′ j ` (u,e) : β j avec Γ′′ =∑p

j=1 Γ′′ j . Pour

j ∈ 1, . . . , p,– Π′′ j0 est une dérivation deΓ′′ j0, x1 : a′′ j1, . . . , xn : a′′ jn `R u : β j ,

– pour 1≤ i ≤ n, Π′′ ji est une dérivation deΓ′′ ji ` ci : a′′ ji– etΓ′′ j =

∑ni=0 Γ

′′ ji .

Pouri ∈ 0, . . . ,n, on poseΓi = Γ′i +∑p

j=1 Γ′′ j

i et ai = a′i +∑p

j=1 a′′ ji . Il existe une dérivationΠ0 de

Γ0, x1 : a1, . . . , xn : an `R (v)u : α avec|Π0| = |Π′0| +∑p

j=1 |Π′′ j

0| + 1. De plus, pouri ∈ 1, . . . ,n,

Πi = Π′i ∗ Π

′′1i ∗ . . . ∗ Π

′′pi , où∗ est la concaténation de suites finies, est une dérivation deΓi ` ci : ai .

On an∑

i=1

Γi =

n∑i=0

(Γ′i +p∑

j=1

Γ′′ji )

=

n∑i=0

Γ′i +

n∑i=0

p∑j=1

Γ′′ji

= Γ′ + Γ′′ .

DoncΠ = (Π0, (x1,Π1), . . . , (xn,Πn)) est une dérivation deΓ′ + Γ′′ ` ((v)u,e) : α. On a

|Π| =

n∑i=0

|Πi |

= |Π′0| +

p∑j=1

|Π′′j0| + 1+

n∑i=1

|Πi |


= |Π′0| +

p∑j=1

|Π′′j0| + 1+

n∑i=1

(|Π′i | +p∑

j=1

|Π′′ji |)

= |Π′| +

p∑j=1

|Π′′j| + 1

= |Π′| + |Π′′| + 1 .

Lemme 8.1.15.Pour tout(u,e) ∈ C, pour toute dérivationΠ′ deΓ, x : b ` (u,e) : β, il existe unedérivationΠ deΓ ` (λx.u,e) : (b, β) telle que|Π| = |Π′| + 1.

Démonstration.On posee = (x1, c1), . . . , (xn, cn) etΠ′ = (Π′0, (x1,Π′1), . . . , (xn,Π

′n)). On sait que

Π′0 est une dérivation deΓ, x : b, x1 : a1, . . . , xn : an `R u : β donc il existe une dérivationΠ0 deΓ, x1 : a1, . . . , xn : an `R λx.u : (b, β). On poseΠ = (Π0, (x1,Π

′1), . . . , (xn,Π

′n)) : c’est une dérivation

deΓ ` (λx.u,e) : (b, β) et on a

|Π| = |Π0| +

n∑i=1

|Π′i |

= |Π′0| + 1+n∑

i=1

|Π′i |

= |Π′| + 1 .

Définition 8.1.16. Soit s= (c, (c1, . . . , cq)) un état. On dit que(Π0, (Π1, . . . ,Πq)) est une dérivationdeΓ ` s : α s’il existe b1, . . . , bq ∈ M f (D), Γ0, . . . , Γq ∈ Φ tels que

– Π0 est une dérivation deΓ0 ` c : b1 . . . bqα ;– pour tout k∈ 1, . . . ,q, Πk est une dérivation deΓk ` ck : bk ;– etΓ =

∑qk=0 Γk.

Dans ce cas, on pose|(Π0, (Π1, . . . ,Πq))| =∑q

k=0 |Πk|.

Lemme 8.1.17.Soient n, i0 ∈ N tels que1 ≤ i0 ≤ n. Soient s= (c′i0, (c1, . . . , cq)) ∈ S, x1, . . . , xn ∈ V,c′1, . . . , c

′n ∈ C. Pour tout(Γ, α) ∈ Φ × D, si Π′ est une dérivation deΓ ` s : α, alors il existe une

dérivationΠ deΓ ` ((xi0, (x1, c′1), . . . , (xn, c′n)), (c1, . . . , cq)) : α telle que|Π| = |Π′| + 1.

Démonstration.On poseΠ′ = (Π′′, (Π1, . . . ,Πq)). Π′′ est une dérivation deΓ′′ ` c′i0 : b1 . . . bqα. OnnoteΠ0 la dérivation dex : [b1 . . . bqα] `R x : b1 . . . bqα. Pour touti ∈ 1, . . . ,n, on pose

Π′′i =

(Π′′) si i = i0 ;ε sinon.

Le couple ((Π0, (x1,Π′′1 ), . . . , (xn,Π

′′n )), (Π1, . . . ,Πq)) est une dérivation de

Γ ` ((xi0, (x1, c′1), . . . , (xn, c

′n)), (c1, . . . , cq)) : α

et on a

|((Π0, (x1,Π′′1 ), . . . , (xn,Π

′′n ), (Π1, . . . ,Πq))| =

n∑i=1

|Π′′1 | +

q∑k=1

|Πk| + |Π0|


= |Π′′| +

q∑k=1

|Πk| + 1

= |(Π′′, (Π1, . . . ,Πq))| + 1

= |Π′| + 1 .

Lemme 8.1.18.Pour tout s= ((u, (x, c) ∪ e), (c1, . . . , cq)) ∈ S, pour toute dérivationΠ′ deΓ ` s : α,il existe une dérivationΠ deΓ ` ((λx.u,e), (c, c1, . . . , cq)) telle que|Π| = |Π′| + 1.

Démonstration.On posee= (x1, c′1), . . . , (xn, c′n) et

Π′ = ((Π′0, (x,Π′′), (x1,Π

′′1 ), . . . , (xnΠ

′′n )), (Π′1, . . . ,Π

′q)) .

On sait queΠ′0 est une dérivation deΓ, x1 : a1, . . . , xn : an, x : a `R u : b1 . . . bqα doncil existe une dérivationΠ0 de x1 : a1, . . . , xn : an `R λx.u : ab1 . . . bqα telle que |Π0| =

|Π′0| + 1. On poseΠ = ((Π0, (x1,Π′1), . . . , (cn,Π

′n)), (Π′′,Π′1, . . . ,Π

′q)) : c’est une dérivation de

Γ ` ((λx.u,e), (c, c1, . . . , cq)) : α et on a

|Π| = |Π0| +

n∑i=1

|Π′i | + |Π′′| +

q∑k=1

|Π′k|

= |Π′0| + 1+n∑

i=1

|Π′i | + |Π′′| +

q∑k=1

|Π′k|

= |Π′| + 1 .

8.1.4 Relier la taille des dérivations et le temps d’exécution

Le but de cette sous-section est de démontrer le Théorème 8.1.22.

Lemme 8.1.19.Soient((v)u,e) ∈ C et (Γ, α) ∈ Φ × D. Pour toute dérivationΠ deΓ ` ((v)u,e) : α,il existe b∈ M f (D), Γ′,Γ′′ ∈ Φ, une dérivationΠ′ deΓ′ ` (v,e) : (b, α) et une dérivationΠ′′ deΓ′′ ` (u,e) : b tels queΓ = Γ′ + Γ′′ et |Π| = |Π′| + |Π′′| + 1.

Démonstration.On posee= (x1, c1), . . . , (xn, cn) etΠ = (Π0, (x1,Π1), . . . , (xn,Πn)) où

(i) Π0 est une dérivation deΓ0, x1 : a1, xn : an `R (v)u : α,

(ii) pour 1≤ i ≤ n, Πi est une dérivation deΓi ` ci : ai ,

(iii) Γ =∑n

i=0 Γi .

Par (i), il existep ∈ N, β1, . . . , βp ∈ D, une dérivationΠ00 de Γ0

0, x1 : a′1, . . . , xn : a′n `R v :

([β1, . . . , βp], α) et, pour 1≤ j ≤ p, une dérivationΠ j0 deΓ j

0, x1 : a′′1j , . . . , xn : a′′n

j`R u : β j tels

que– Γ0 =

∑pj=0 Γ

j0,

– pour 1≤ i ≤ n, ai = a′i +∑p

j=1 a′′ij

– et |Π0| =∑p

j=0 |Πj0| + 1.


Pour touti ∈ 1, . . . ,n, on posea′′i =∑p

j=1 a′′ij . Par (ii), pour touti ∈ 1, . . . ,n, il existeΓ′i , Γ

′′i , une

dérivationΠ′i deΓ′i ` ci : a′i et une dérivationΠ′′i deΓ′′i ` ci : a′′i tels que– Γi = Γ

′i + Γ

′′i

– et |Πi | = |Π′i | + |Π

′′i |.

On poseb = [β1, . . . , βp], Γ′ = Γ00+∑n

i=1 Γ′i , Γ′′ =∑p

j=1 Γj0+∑n

i=1 Γ′′i ,Π′ = (Π0

0, (x1,Π′1), . . . , (xn,Π

′n))

etΠ′′ = ((Π10, . . . ,Π

p0), (x1,Π

′′1 ), . . . , (xn,Π

′′n )). On a

Γ =

n∑i=0

Γi

(par (iii))

=

p∑j=0

Γj0 +

n∑i=1

(Γ′i + Γ′′i )

= Γ′ + Γ′′

et

|Π| =

n∑i=0

|Πi |

=

p∑j=0

|Πj0| + 1+

n∑i=1

(|Π′i | + |Π′′i |)

= |Π′| + |Π′′| + 1 .

Proposition 8.1.20.Pour tout s∈ S tel ques est normalisable de tête, pour tout(Γ, α), pour toutedérivationΠ deΓ ` s : α, on a lh(s) ≤ |Π| .

Démonstration.Par le Théorème 8.1.12, on peut prouver la proposition par induction surlh(s). Silh(s) = 0, c’est vrai, car on n’a jamaislh(s) = 0. Sinon, il y a cinq cas.

– Dans le cas oùs= ((x,e), π), x ∈ V et x < dom(e), lh(s) = 1 ≤ |Π|.– Dans le cas oùs = ((xi0,(x1, c′1), . . . , (xn, c′n)), (c1, . . . , cq)) et 1 ≤ i0 ≤ n, on aΠ = (Π0,

(Π1, . . . ,Πq)), oùΠ0 = (Π′0, (x1,Π′1), . . . , (xn,Π

′n)), avec

– Π′0 est une dérivation deΓ′0, x1 : a1, . . . , xn : an `R xi : b1 . . . bqα,– pour touti ∈ 1, . . . ,n, Π′i est une dérivation deΓ′i ` c′i : ai ,– Γ0 =

∑ni=1 Γ

′i ,

– pour 1≤ k ≤ q, Πk est une dérivation deΓk ` ck : bk

– etΓ =∑q

k=0 Γk.Donca′i0 = [b1 . . . bqα] et doncΠ′i0 = (Π′′) avecΠ′′ une dérivation deΓ′i0 ` c′i0 : b1 . . . bqα. Lecouple (Π′′, (Π1, . . . ,Πq)) est une dérivation deΓ′i +

∑qk=1 Γk ` (c′i , (c1, . . . , cq)) : α. On a

lh(s) = lh(c′i0, (c1, . . . , cq)) + 1

≤ |(Π′′, (Π1, . . . ,Πq))| + 1

(par hypothèse d’induction)

= |Π′′| +

q∑k=1

|Πk| + 1


= |Π′i0 | +

q∑k=1

|Πk| + 1

≤ |Π0| +

q∑k=1

|Πk|

= |((Π0, (Π1, . . . ,Πq))|

= |Π| .

– Dans le cas oùs = ((λx.u, (x1, c′1), . . . , (xn, c′n)), (c′, c1, . . . , cq)), on a Π = ((Π′0,Π′′0 ),

(Π′,Π1, . . . ,Πq)) avec– Π′0 est une dérivation deΓ′0, x1 : a1, . . . , xn : an `R λx.u : b′b1 . . . bqα,– Π′′0 = (x1,Π

′1), . . . , (xn,Π

′n) où, pour 1≤ i ≤ n, Π′i est une dérivation deΓ′i ` c′i : ai ,

– Γ0 =∑n

i=0 Γ′i ,

– Π′ est une dérivation deΓ′ ` b′ : c′,– pour 1≤ k ≤ q, Πk est une dérivation deΓk ` bk : ck.Il existe donc une dérivationΠ′′ de

Γ′0, x1 : a1, . . . , xn : an, x : b′ `R u : b1 . . . bqα

avec|Π′0| = |Π′′| + 1. (Π′′, (x1,Π

′1), . . . , (xn,Π

′n),Π′) est une dérivation de

Γ0 + Γ′ ` (u, (x1, c

′1), . . . , (xn, c

′n), (x, c)) : b1 . . . bqα .

Donc ((Π′′, (x1,Π′1), . . . , (xn,Π

′n), (x,Π′)), (Π1, . . . ,Πq)) est une dérivation de

Γ ` ((u, (x1, c′1), . . . , (xn, c

′n), (x, c)), (c1, . . . , cq)) : α .

On a

lh(s) = lh((u, (x1, c′1), . . . , (xn, c

′n), (x, c)), (c1, . . . , cq)) + 1

≤ |((Π′′, Π′1, . . . ,Π′n,Π

′), (Π1, . . . ,Πq))| + 1


= |(Π′′, Π′1, . . . ,Π′n,Π

′)| +q∑

k=1

|Πk| + 1

= |Π′′| +

n∑i=1

|Π′i | + |Π′| +

q∑k=1

|Πk| + 1

= |Π′0| +

n∑i=1

|Π′i | + |Π′| +

q∑k=1

|Πk|

= |Π′0| + |Π′′0 | + |Π

′| +

q∑k=1

|Πk|

= |(Π′0,Π′′0 )| + |Π′| +

q∑k=1

|Πk|

= |((Π′0,Π′′0 ), (Π′,Π1, . . . ,Πq))|

= |Π| .


– Dans le cas oùs= (((v)u,e), (c1, . . . , cq)), Π = (Π0, (Π1, . . . ,Πq)) avec– Π0 est une dérivation deΓ0 ` ((v)u,e) : b1 . . . bqα,– pour 1≤ k ≤ q, Πk est une dérivation deΓk ` ck : bk

– etΓ =∑q

k=0 Γk.Par le Lemme 8.1.19, il existeb ∈ M f (D), Γ′0,Γ

′′0 ∈ Φ, une dérivationΠ′0 de Γ′0 ` (u,e) :

bb1 . . . bqα et une dérivationΠ′′0 deΓ′′0 ` (u,e) : b tels queΓ0 = Γ′0+Γ

′′0 et |Π0| = |Π

′0|+ |Π

′′0 |+1.

Le couple (Π′0, (Π′′0 ,Π1, . . . ,Πq)) est une dérivation deΓ ` ((v,e), ((u,e), c1, . . . , cq)) : α. On a

lh(s) = lh((v,e), ((u,e), c1, . . . , cq)) + 1

≤ |(Π′0, (Π′′0 ,Π1, . . . ,Πq))| + 1


= |Π′0| + |Π′′0 | +

q∑k=1

|Πk| + 1

= |Π0| +

q∑k=1

|Πk|

= |(Π0, (Π1, . . . ,Πq))|

= |Π| .

– Dans le cas oùs= ((λx.u, (x1, c′1), . . . , (xn, c′n)), ε), Π = ((Π′0,Π′′0 ), ε) avec

– Π′0 est une dérivation deΓ′0, x1 : a1, . . . , xn : an `R λx.u : α,– Π′′0 = (x1,Π

′1), . . . , (xn,Π

′n) où, pour 1≤ i ≤ n, Π′i est une dérivation deΓ′i ` c′i : ai ,

– Γ =∑n

i=0 Γ′i .

Donc il existe une dérivationΠ′′ de Γ′0, x1 : a1, . . . , xn : an, x : b `R u : β telle queα = (b, β) et |Π′0| = |Π

′′| + 1. Le couple ((Π′′,Π′′0 ), ε) est une dérivation deΓ, x : b `((u, (x1, c1), . . . , (xn, cn)), ε) : β. On a

lh(s) = lh((u, (x1, c1), . . . , (xn, cn)), ε) + 1

≤ |((Π′′,Π′′0 ), ε)| + 1

= |Π′′| +

n∑i=1

|Π′i | + 1

= |Π′0| +

n∑i=1

|Π′i |

= |(Π′0,Π′′0 )|

= |Π| .

Proposition 8.1.21.Pour tout s∈ S tel ques est normalisable de tête, il existe(Γ, α) et une dérivationΠ deΓ ` s : α tels que l’on ait lh(s) = |Π|.

Démonstration.Par le Théorème 8.1.12, on peut prouver la proposition par induction surlh(s). Silh(s) = 0, alors c’est vrai, car on n’a jamaislh(s) = 0. Sinon, il y a cinq cas :

– Dans le cas oùs = ((x,e), (c1, . . . , cq)), x ∈ V et x < dom(e), on a lh(s) = 1 et il existeune dérivationΠ = (Π0, (Π1, . . . ,Πq)) de x : [[] . . . []︸︷︷︸

q fois

α] ` (x,e) : [] . . . []︸︷︷︸q fois

α avec|Π0| = 1 et

|Π1| = . . . = |Πq| = 0.


– Dans le cas oùs= ((xi0, (x1, c′1), . . . , (xn, c′n)), (c1, . . . , cq)), appliquer le Lemme 8.1.17.– Dans le cas où le sous-terme courant est une application, appliquer le Lemme 8.1.14.– Dans le cas où le sous-terme courant est une abstraction et la pile est vide, appliquer le Lemme

8.1.15.– Dans le cas où le sous-terme courant est une abstraction et la pile n’est pas vide, appliquer le

Lemme 8.1.18.

Théorème 8.1.22.Pour t ∈ Λ, on a

lh((t, ∅), ε) = Inf |Π| ; ∃(Γ, α) Π est une dérivation deΓ `R t : α .

Démonstration.On distingue deux cas :– t n’est pas normalisable de tête : appliquer les Théorèmes 6.3.28 et 8.1.11 ;– t est normalisable de tête : appliquer les Propositions 8.1.20 et 8.1.21.

8.1.5 Relier la sémantique et le temps d’exécution

Maintenant, nous définissons la taille|δ| d’un typeδ et d’un multiensemble finiδ de types.

Définition 8.1.23. Pour toutδ ∈ D ∪M f (D), on definit, par induction surδ, |δ| et s(δ) :– siδ ∈ A, alors|δ| = 1 et s(δ) = 0 ;– siδ = [α1, . . . , αn], alors |δ| =

∑ni=1 |αi | et s(δ) =

∑ni=1 s(αi) ;

– siδ = (a, α), alors |δ| = s(a) + |α| + 1 et s(δ) = |a| + s(α) + 1.

Lemme 8.1.24.Pour tout lambda-terme u, s’il existe une dérivationΠ de x1 : a1, . . . , xm : am `R u : α,alors |a1 . . . amα| = s(a1 . . . amα).

Démonstration.Par induction surΠ.

La Proposition 8.1.27 donne une justification de cette définition de la taille d’un type. La relationd’équivalence∼ a été définie dans la Définition 6.3.8.

Lemme 8.1.25.Soit v un lambda-terme normal et soitΠ une dérivation de x1 : a1, . . . , xm : am `R v :α. Alors on a|Π| ≤ |a1 . . . amα|.

Démonstration.Par induction surv.

On rappelle queA = D \ (M f (D) × D).

Lemme 8.1.26.Soit v un lambda-terme normal et soitΠ une dérivation de x1 : a1, . . . , xm : am `R v :α. Il existe a′1, . . . ,a

′m, α

′ et une dérivationΠ′ de x1 : a′1, . . . , xm : a′m `R v : α′ telle queΠ′ ∼ Π et|Π′| +m = |a′1 . . . a

′mα′|. Si, de plus, A est infini, alors on peut choisirΠ′ de telle manière qu’il existe

une substitution s telle que s(a′1) = a1, . . . , s(a′m) = am et s(α′) = α.

Démonstration.Par induction surv.

Dans le cas oùA est infini, la dérivationΠ′ du lemme est ce que [17] appelle uneground deductionfor v.


Proposition 8.1.27. Soit t un lambda-terme normal clos, soitα ∈ D et soitΠ une dérivation de`R t : α. Alors on a

|Π| = Min|α′| ; il existe une dérivationΠ′ de `R t : α′ telle queΠ′ ∼ Π .

Si, de plus, A est infini, alors on a

|Π| = Min|α′| ; il existe une dérivationΠ′ de `R t : α′ telle que(Π′ ∼ Π et s(α′) = α) .

Démonstration.Appliquer les Lemmes 8.1.25 et 8.1.26.

Proposition 8.1.28.Supposons A infini. Soit t un lambda-terme normal clos et soitα ∈ ~t. On a

Min|Π| ; Π est une dérivation de t : α

= Min|α′| ; il existe une dérivationΠ′ de `R t : α′ et une substitution s telles que s(α′) = α .

Démonstration.Posonsm= Min|Π| ; Π est une dérivation de t : α et

n = Min|α′| ; il existe une dérivationΠ′ de `R t : α′ et une substitutions telles ques(α′) = α .

Par la Proposition 6.3.14 et le Lemme 8.1.25, on am≤ n. Quant à l’inégalitén ≤ m, elle résulte de laProposition 8.1.27.

Théorème 8.1.29.Soient v et u deux termes normaux clos. Supposons(a, α) ∈ ~v et Supp(a) ⊆ ~u.On a lh(((v)u, ∅), ε) ≤ 2|a| + |α| + 2 .

Démonstration.Posonsa = [α1, . . . , αn]. Il existe une dérivationΠ0 de`R v : (a, α) et n dérivationsΠ1, . . . ,Πn de`R u : α1, . . . , `R u : αn respectivement. Donc il existe une dérivationΠ de`R (v)u : αtelle que|Π| =

∑ni=0 |Πi | + 1. Par le Théorème 8.1.22, on a donc

lh(((v)u, ∅), ε) ≤n∑

i=0

|Πi | + 1

≤ |(a, α)| +n∑

i=1

|αi | + 1


=

n∑i=1

s(αi) + |α| + 1+ |a| + 1

=

n∑i=1

|αi | + |α| + 1+ |a| + 1


= 2|a| + |α| + 2 .

Si A est infini, on a un résultat plus précis.


Théorème 8.1.30.Supposons A infini. Soient v et u deux termes normaux clos. On a

lh(((v)u, ∅), ε) = Inf |(a′, α′)| + |a′′| + 1 ;

(a, α), (a′, α′) ∈ ~v,Supp(a),Supp(a′′) ⊆ ~u

et∃s′, s′′ ∈ S (s′(a′, α′) = (a, α) et s′′(a′′) = a) ,

oùS est l’ensemble des substitutions.

Démonstration.Appliquer le Théorème 8.1.22. On distingue alors deux cas.– Si Π ; ∃(Γ, α) Π est une dérivation deΓ `R (v)u : α est vide, alors on applique le Théorème

6.3.15.– Sinon, on applique la Proposition 8.1.28 et le Théorème 6.3.15.

Exemple 8.1.31.On pose v= λx.(x)x et u= λy.y. Soientγ0, γ1 ∈ A. On pose– α = ([γ0], γ0) ;– a= [α, ([α], α)] ;– α′ = γ0 ;– a′ = [α′, ([α′], α′)] ;– et a′′ = [([γ0], γ0), ([γ1], γ1)].

Soit s′ une substitution telle que s′(γ0) = ([γ0], γ0) et soit s′′ une substitution telle que s′′(γ0) = γ0 ets′′(γ1) = α. On a

– (a, α), (a′, α′) ∈ ~v ;– Supp(a), supp(a′′) ⊆ ~u ;– s′(a′, α′) = (a, α) et s′′(a′′) = a ;– |(a′, α′)| = 4 et |a′′| = 4.

Par l’Exemple 8.1.9, on sait que l’on a lh(((v)u, ∅), ε) = 9. Et l’on a |(a′, α′)| + |a′′| + 1 = 9.

Remarquer que, comme l’illustre l’exemple suivant, la non-idempotence esr cruciale.

Exemple 8.1.32.Pour tout entier n≥ 1, on posen = λ f .λx. ( f ) . . . ( f )︸︷︷︸n fois

x et I = λy.y. Soitγ ∈ D.

On poseα = ([γ], γ) et a = [α, . . . , α︸︷︷︸n fois

]. On a (a, α) ∈ ~n et α ∈ ~I. lh(((n)I , ∅), ε) = 4(n + 1) =

2n+ 3+ 2n+ 1 = |(a, α)| + |a| + 1. Mais dans le SystèmeD (avec des typesidempotents), tout entierde Churchn, pour n≥ 1, a comme type((γ → γ)→ (γ → γ)).

8.2 Une machine calculant la formeβ-normale

On modifie légèrement la machine de telle manière qu’elle calcule la formeβ-normale d’un terme.

Définition 8.2.1. Pour k, k′ ∈ K , où k respecte la convention sur les variables, on définit kβ k′ :– si k∈ S, alors il y a trois cas :

– si k= ((x,e), (c1, . . . , cq)), x ∈ V et x< dom(e), alors k′ = (x)(c1, ε) . . . (cq, ε) ;– si k= ((λx.u,e), π) etπ est la pile vide, alors k′ = λx.((u,e), ε) ;– sinon kS k′ ;

– si k∈ H , alors il y a deux cas :– si k∈ V, alors kβ k′ est faux pour tout k′ ;

8.2. UNE MACHINE CALCULANT LA FORME β-NORMALE 167

– si k= (v)u, alors(k′ = (v′)u avec vβ v′) ou (k′ = (v)u′ avec uβ u′ et v∈ Λ) ;– si k= λx.k0, alors k′ = λx.k′0 avec k0 β k′0.

Remarque 8.2.2.Si v∈ Λ, alors on n’a jamais vβ k′ doncβ, commeh, est une fonction partielledeK versK .

Comparons la Définition 8.2.1 avec la Définition 8.1.6. La différence est dans le cas où le sous-terme courant d’un état est une variable et où cette variable n’a pas de valeur dans l’environment : lapremière machine s’arrête, la seconde machine continue à calculer chaque argument de la variable.

La fonctionlβ est définie commelh (voir la Définition 8.1.7), mais pour cette nouvelle machine.Pour tout terme normalisablet, s(t) est une notation pour le nombre de réductions gauches det.

Théorème 8.2.3.Pour tout état s= ((t,e), π), si s est normalisable, alors lβ(s) est fini.

Démonstration.Par induction bien fondée sur (s(s), s,d(e), t).Si s(s) = 0, s ∈ V, d(e) = 0 ett ∈ V, alors on alβ(s) = 1.Sinon, il y a cinq cas.– Dans le cas oùt ∈ V ∩ dom(e), on as β (e(t), π). On poses′ = (e(t), π) et e(t) = (t′,e′). On

a s = s′ et d(e′) < d(e) donc on peut appliquer l’hypothèse d’induction :lβ(s′) est fini et donclβ(s) = lβ(s′) + 1 aussi.

– Dans le cas oùt ∈ V et t < dom(e), on poseπ = (c1, . . . , cq). Pour toutk ∈ 1, . . . ,q, ona s(ck) ≤ s(s) et ck < s donc on peut appliquer l’hypothèse d’induction surck : pour toutk ∈ 1, . . . ,q, lβ(ck) est fini donclβ(s) =

∑qk=1 lβ(ck) + 1 est fini aussi.

– Dans le cas oùt = (v)u, on as β ((v,e), (u,e).π). On poses′ = ((v,e), (u,e).π). On as′ = sdonc on peut appliquer l’hypothèse d’induction :lβ(s′) est fini et donclβ(s) = lβ(s′) + 1 aussi.

– Dans le cas oùt = λx.u et π = ε, on as β λx.((u,e), ε). On poses′ = ((u,e), ε). Commesrespecte la convention sur les variables, on as = λx.u[e] = λx.s′. On as(s′) = s(s) donc onpeut appliquer l’hypothèse d’induction :lβ(s′) est fini et donclβ(s) = lβ(s′) + 1 aussi.

– Dans le cas oùt = λx.u etπ = c.π′, on asβ ((u, (x, c)∪e), π). On poses′ = ((u, (x, c)∪e), π).On as(s′) < s(s) donc on peut appliquer l’hypothèse d’induction :lβ(s′) est fini et donclβ(s) =lβ(s′) + 1 aussi.

Pour tout lambda-termet, nous voulons relierlβ(t), la taille des dérivations det et celle des typesdet : nous savons déjà que la taille du type le plus petit, s’il existe, bornelh(t) ; pour lβ(t), nous allonsmontrer que c’est la taille d’une dérivation du typage principal de (la forme normale de)t (s’il existe).

8.2.1 Typages principaux et1-typages

Le travail de [17] peut être adapté afin de montrer que tous les termes normaux ont un typageprincipal dans le SystèmeR, si A est infini. Un typage (Γ, α) pour un terme est un typage principalsi tous les autres typages du même terme peuvent être dérivés de (Γ, α) par un certain ensembled’opérations. Ici, les opérations sont la substitution (voir la Définition 6.3.13) et l’expansion (trèscompliquée à définir). La différence avec [17] est que nous avons (et nous avons besoin de) la notion de0-expansion ([17] a la notion den-expansion seulement pourn ≥ 1). Pour tous (Γ, α), (Γ′, α′) ∈ Φ×D,on écrit (Γ, α)→ (Γ′, α′) pour signifier qu’il existe un entiern tel que (Γ′, α′) est unen-expansion de(Γ, α).→∗ sera une notation pour la clôture réflexive transitive de→.

Définition 8.2.4. Le typage principal des termes normaux :


γ ∈ Ax : [γ] `P x : γ

Γ, x : a `P t : αΓ `P λx.t : (a, α)

Γ1 `P u1 : α1 . . . Γn `P un : αn (∗)∑ni=1 Γi + (x, [[α1] . . . [αn]γ]) `P (x)u1 . . . un : γ

(∗) lesΓi sont disjoints etγ ∈ A n’apparaît pas dans lesΓi

Si ∆ `P t : β, alors on dit que (∆, β) est un typage principal det. Nous pourrions montrer que si(∆, β) est un typage principal d’un terme normalt, alors on aΓ `R t : α si, et seulement s’il existe(Γ′, α′) tel que (∆, β) →∗ (Γ′, α′) et (Γ, α) peut être obtenu à partir de (Γ′, α′) par une substitution(exactement comme dans [17], sauf que nous considérons aussi les 0-expansions). Mais nous n’avonspas besoin de ce résultat pour prouver les théorèmes de la sous-section suivante.

Le lecteur connaissant les expériences des réseaux de preuve de la logique linéaire pourrait re-marquer qu’un typage principal d’un terme normal est la même chose que le résultat de ce que [52]appellean injective obsessional1-experimentdu réseau de preuve obtenu par les traductions de celambda-terme mentionnées dans la sous-section 6.3.3 de la partie I.

La notion de 1-typage est plus générale que celle de typage principale. C’est le résultat d’uneobsessional1-experiment.

Définition 8.2.5. Le1-typage des termes normaux :

γ ∈ Ax : [γ] `1 x : γ

Γ, x : a `1 t : αΓ `1 λx.t : (a, α)

Γ1 `1 u1 : α1 . . . Γn `1 un : αn∑ni=1 Γi + (x, [[α1] . . . [αn]γ]) `1 (x)u1 . . . un : γ

8.2.2 Relier la taille des dérivations et le temps d’exécution

Lemme 8.2.6. Soit x ∈ V et soitΓ ∈ Φ tel que[] a seulement des occurrences positives dansΓ.Supposons qu’il existe une dérivation deΓ ` (x,e) : b1 . . . bqα, avec x< dom(e), alors pour toutk ∈ 1, . . . ,q, bk , [] .

Démonstration.Soit Π une telle dérivation. On posee = (x1, c1), . . . , (xn, cn). Π = (Π0,

(x1,Π1), . . . , (xn,Πn)), où

(i) Π0 est une dérivation deΓ0, x1 : a1, . . . , xn : an `R x : b1 . . . bqα,

(ii) pour i ∈ 1, . . . ,n, Πi est une dérivationΓi ` ci : ai

(iii) et Γ =∑n

i=0 Γi .

Par (i), puisquex < dom(e), Γ0(x) = [b1 . . . bqα]. Donc, par (iii), s’il existaitk ∈ 1, . . . ,q tel quebk = [], il y aurait une occurrence négative de [] dansΓ.

Théorème 8.2.7.Supposons s= (c0, (c1, . . . , cq)) ∈ S tel que(c0)c1 . . . cq est normalisable. Alors, siΠ est une dérivation deΓ ` s : α et (Γ, α) est tel que[] a seulement des occurrences négatives dansα

et seulement des occurrences positives dansΓ, on a lβ(s) ≤ |Π|.

8.2. UNE MACHINE CALCULANT LA FORME β-NORMALE 169

Démonstration.Par le Théorème 8.2.3, on peut prouver le théorème par induction bien fondée surlβ(s).

Dans le cas oùs= ((x,e), (c1, . . . , cq)) et x < dom(e), on applique le Lemme 8.2.6.

Proposition 8.2.8.Soit s∈ S tel ques soit normalisable et soit(Γ, α) un1-typage de la forme normaledes. Alors il existe une dérivationΠ deΓ ` s : α telle que lβ(s) = |Π| .

Démonstration.Par le Théorème 8.2.3, on peut prouver le théorème par induction bien fondée surlβ(s). Si lβ(s) = 0, c’est vrai, car on n’a jamaislβ(s) = 0. Sinon, il y a cinq cas :

– Dans le cas oùs = ((x,e), (c1, . . . , cq)) et x < dom(e), (Γ, α) est un 1-typage de (x)t1 . . . tq, oùt1, . . . , tq sont les formes normales respectives dec1, . . . , cq, donc il existeΓ1, . . . ,Γq, α1, . . . , αq

tels que– Γ =

∑qk=1 Γk + (x, [[α1] . . . [αq]α])

– et (Γ1, α1), . . . , (Γq, αq) sont des 1-typages det1, . . . , tq respectivement.Par hypothèse d’induction, il existeq dérivationsΠ1, . . . ,Πq deΓ1 `R t1 : α1, . . . , Γq `R tq :αq respectivement. On notex1, . . . , xn les éléments de dom(e). On noteΠ0 la dérivation dex : [[α1] . . . [αq]α] `R x : α. On poseΠ = ((Π0, (x1, ε), . . . , (xn, ε)), (Π1, . . . ,Πq)) : c’est unedérivation deΓ `R s : α et on a

lβ(s) =q∑

k=1

lβ(ck) + 1

=

q∑k=1

|Πk| + 1


= |Π0| +

q∑k=1

|Πk|

= |(Π0, (x1, ε), . . . , (xn, ε))| +q∑

k=1

|Πk|

= |((Π0, (x1, ε), . . . , (xn, ε)), (Π1, . . . ,Πq))|

= |Π| .

– Dans le cas oùs = ((xi0,(x1, c′1), . . . , (xn, c′n)), (c1, . . . , cq)) avec 1≤ i0 ≤ n, par hypothèsed’induction, il existe une dérivationΠ′ deΓ ` (c′i0, (c1, . . . , cq)) : α telle que

– t est la forme normale de (c′i0)c1 . . . cq ;– (Γ, α) est un 1-typage det ;– et lβ(c′i0, (c1, . . . , cq)) = |Π′|.Par le Lemme 8.1.17, il existe une dérivationΠ deΓ ` s : α telle que|Π| = |Π′| + 1. On a

lβ(s) = lβ((c′i0, (c1, . . . , cq)) + 1

= |Π′| + 1


= |Π| .

– Dans le cas oùs= (((v)u,e), (c1, . . . , cq)), appliquer le Lemme 8.1.14.– Dans le cas oùs= ((λx.u,e), ε), appliquer le Lemme 8.1.15.


– Dans le cas oùs= ((λx.u,e), π) etπ , ε, appliquer le Lemme 8.1.18.

Théorème 8.2.9.Supposons que t soit un terme normalisable et que(Γ, α) soit un1-typage de saforme normale. Alors il existe une dérivationΠ deΓ `R t : α telle que lβ((t, ∅), ε) = |Π|.

Démonstration.Appliquer la Proposition 8.2.8.

Corollaire 8.2.10. Pour tout t∈ Λ, on a

lβ((t, ∅), ε) = Inf |Π| ;∃(Γ, α) [] a seulement des occurrences négatives dansα

et seulement des occurrences positives dansΓ

etΠ est une dérivation deΓ `R t : α .

Démonstration.On distingue deux cas :– t n’est pas normalisable : appliquer les Théorèmes 6.3.27 et 8.2.3 ;– t est normalisable : appliquer les Théorèmes 8.2.7 et 8.2.9.

8.2.3 Relier la sémantique et le temps d’exécution

On obtient deux théorèmes similaires aux Théorèmes 8.1.29 et 8.1.30.

Théorème 8.2.11.Soient v et u deux termes normaux clos. Supposons(a, α) ∈ ~v et Supp(a) ⊆ ~u.Si [] n’a pas d’occurrences dans a et pas d’occurrences positives dansα, alors on a

lβ(((v)u, ∅), ε) ≤ 2|a| + |α| + 2 .

Démonstration.Posonsa = [α1, . . . , αn]. Il existe une dérivationΠ0 de`R v : (a, α) et n dérivationsΠ1, . . . ,Πn de`R u : α1, . . . , `R u : αn respectivement. Donc il existe une dérivationΠ de`R (v)u : αtelle que|Π| =

∑ni=0 |Πi | + 1. Par le Théorème 8.2.7, on a donc

lβ(((v)u, ∅), ε) ≤n∑

i=0

|Πi | + 1

≤ |(a, α)| +n∑

i=1

|αi | + 1


=

n∑i=1

s(αi) + |α| + 1+ |a| + 1

=

n∑i=1

|αi | + |α| + 1+ |a| + 1


= 2|a| + |α| + 2 .

8.3. TRAVAIL ULTÉRIEUR 171

Théorème 8.2.12.Supposons A infini. Soient v et u deux termes normaux clos. On a

lβ(((v)u, ∅), ε) = Inf |(a′, α′)| + |a′′| + 1 ;

(a, α), (a′, α′) ∈ ~v,Supp(a),Supp(a′′) ⊆ ~u,

[] n’a pas d’occurrences dans a et pas d’occurences positives dansα

et∃s′, s′′ ∈ S (s′(a′, α′) = (a, α) et s′′(a′′) = a) ,

oùS est l’ensemble des substitutions.

Démonstration.Appliquer le Corollaire 8.2.10 et la Proposition 8.1.28 .

8.3 Travail ultérieur

Notre travail concerne le lambda-calcul et la machine de Krivine. Mais nous avons souligné lesconnections avec les réseaux de preuve de la logique linéaire. C’est pourquoi il est raisonnable depenser obtenir des résultats similaires reliant d’un côté le nombre d’étapes d’élimination des coupuresdes réseaux de preuve avec une stratégie qui mime celle de la machine de Krivine, et, de l’autre côté,la taille des résultats des expériences. Cette stratégie a été définie dans [42] pour un fragment de lalogique linéaire.


Chapitre 9

Des types avec intersection pour lelambda-calcul léger

Pour l’essentiel, le contenu de ce chapitre a été publié dans [19].Une manière de fournir des langages correspondant au calcul en temps polynomial est de pas-

ser par la correspondance entre preuves de la logique linéaire et programmes. En particulier, deuxvariantes de la logique linéaire avec une élimination des coupures en temps polynomial ont été pro-posées : la Logique Linéaire Légère ([26]) et la Logique Linéaire Douce ([37]). Ils peuvent être vuscomme des raffinements du SystèmeF permettant de caractériser des fonctions en temps polyno-mial : par la correspondance de Curry-Howard, ces systèmes permettent d’écrire des programmes quipeuvent être évalués en temps polynomial.

Deux nouveaux calculs de termes non typés basés sur les mêmes idées sont apparus aussi : leLambda-Calcul Affine Léger([50]) et le Lambda-Calcul Doux([37]). Terui a introduit le Lambda-Calcul Affine Léger (il nous arrivera d’écrirelambda-calcul léger) comme un raffinement du lambda-calcul non typé pour lequel laLogique Affine Légère Intuitionniste(ILAL , [1] et [2]), une variante dela logique linéaire légère, fournit un système d’assignation de types ; un terme léger peut ainsi être vucomme une manière de noter un réseau deILAL . Il a démontré que ce calcul de termes satisfait unepropriété de normalisation forte en un nombre polynomial d’étapes : un terme non typé est normali-sable en un nombre polynomial d’étapes en sa taille quelles que soient les réductions. Ceci semblesuggérer que les types deILAL sont inutiles. Cependant, tel n’est pas le cas, car si les types ne sontpas nécessaires pour assurer la borne de complexité sur la réduction, ils sont utiles pour garantir que leterme se réduit en un résultat sensé. En effet, les lambda-termes légers transportent plus d’informationsque les lambda-termes ordinaires et il existe une application oublieuse (legommage) de ces termesvers les lambda-termes ordinaires. Certains lambda-termes légers peuvent être en forme normale maiscorrespondre à des lambda-termes avec redex. La raison en est que certains termes légers montrentdes configurations qui peuvent être vues de manière naturelle comme des erreurs (en particulier, deserreurs de “pattern-matching”). On aimerait donc pouvoir considérertous les lambda-termes légersutilisables (ceux pour lesquels la normalisation peut s’accomplir sans obtenir d’erreurs), etseulementceux-ci. Ceci est d’autant plus naturel que le lambda-calcul léger peut être utilisé dans un autre cadreque celui du second ordre : en particulier, dans [51], Terui l’utilise pour extraire des programmes depreuves en théorie affine légère des ensembles ; de plus, on peut considérer des extensions deILALutilisant des types récursifs comme dans [5] (cela a été fait dans [4]).

Ici, nous nous attaquons précisément au problème de caractériser les lambda-termes légers sanserreurs. Dans la Section 9.3, nous donnons une définition formelle des termes qui peuvent être raison-

173

174 CHAPITRE 9. DES TYPES AVEC INTERSECTION POUR LE LAMBDA-CALCUL LÉGER

nablement regardés comme étant des termes sans erreurs : ces sont lestermes raisonnables. Toutd’abord, nous remarquons que, dansILAL , tout pseudo-terme typable est un terme raisonnable,(Théorème 9.3.8) et que tout terme raisonnable normal est typable (Théorème 9.3.9), mais que cesystème ne type pas tous les termes raisonnables (Remarque 9.3.10). C’est pourquoi nous introdui-sons un nouveau système d’assignation de types, dénomméSystème d’Assignation de Types avecIntersection Légère(LI ), un système de types avec intersection. Les types avec intersection avaientété introduits dans [16] dans le but de dépasser les limites des types habituels et ont été utilisés pourcaractériser les termes fortement normalisables, les termes normalisables et les termes normalisablesde tête (voir, par exemple, [35]). De même, nous dépassons les limites deILAL en montrant que lespseudo-termes typables dansLI sont exactement les termes raisonnables (Théorème 9.4.17).

Enfin, nous introduisons unSystème Relâché d’Assignation de Types avec Intersection Légèredans lequel les pseudo-termes typables sont exactement les termes qui se réduisent sans erreurs : leséventuelles erreurs que le pseudo-terme typable contenait seront effacées au cours de la réduction. Cesystème, contrairement au précédent a la propriété suivante : étant donnés deux termes équivalentstet t′ (ce qui revient à dire qu’ils ont la même forme normale),t est typable si, et seulement si,t′ esttypable. Mieux, il fournit même une réelle sémantique : sit et t′ sont typables, ils sont typables avecles mêmes types.

En passant, on remarque que les problèmes de typabilité dansLI et dansRLI , contrairementaux systèmes de types avec intersection pour le lambda-calcul, sont décidables, puisque les termestypables dans chacun des deux systèmes sont fortement normalisables.

Notation

Si S est un ensemble, alorsP f (S) est une notation pour l’ensemble des parties finies deS etP∗f (S)est une notation pourP f (S) \ ∅.

9.1 Le lambda-calcul affine léger

On rappelle ici le matériel requis concernant lelambda-calcul affine léger; voir [50] pour uneexposition complète.

Les termes du lambda-calcul léger peuvent être vus comme une syntaxe alternative aux réseaux,dans le cadre intuitionniste.

La définition des termes se fait en deux étapes : d’abord, on définit les pseudo-termes ; ensuite, lestermes sont définis en imposant certaines conditions sur les pseudo-termes correspondant à la bonneformation des boîtes.

Définition 9.1.1. L’ensemblePT des pseudo-termes est défini par la grammaire suivante :

PT ::= V | (PT )PT |λV.PT | !PT | let PT be !V in PT

| §PT | let PT be §V in PT

Lesboîtes! (respectivement lesboîtes§) sont les pseudo-termes de la forme !t (respectivement dela forme§t).

Dans la suite, le symbole† remplace ou bien ! ou bien§ ; de plus, on identifie les pseudo-termesα-équivalents (les occurrences dex dansv sont liées danslet u be † x in v) : c’est pourquoi dans nospreuves, nous pouvons toujours supposer que les variables libres sont différentes des variables liées.Pour tous les pseudo-termest, FV(t) est une notation pour l’ensemble des variables libres danst,

9.1. LE LAMBDA-CALCUL AFFINE LÉGER 175

Nom Redex Réduit

(β) (λx.t)u t[u/x](!) let !u be !x in t t[u/x](§) let §u be §x in t t[u/x]

(com) (let u be † x in t)v let u be † x in (t)vlet let u be †1 x in t be †2 y in v let u be †1 x in let t be †2 y in v

F. 9.1 – Règles de réduction

FO(x, t) est une notation pour le nombre d’occurrences libres dex danst et FO(t) est une notationpour le nombre d’occurrences libres danst de toutes les variables. La taille d’un pseudo-terme est lenombre de nœuds dans l’arbre qui représente le terme. Etant donnés un pseudo-termet et une adressew, la profondeur dew danst est le nombre de boîtes ! et de boîtes§ contenant la sous-expression àl’adressew. La profondeur det est la profondeur maximale de toutes les adresses danst.

Définition 9.1.2. Soient X,Y,Z ∈ P f (V) deux à deux disjoints. AlorsTX,Y,Z est l’ensemble des pseudo-termes défini ainsi :

(i) x ∈ TX,Y,Z ⇔ x ∈ X ;

(ii) λx.t ∈ TX,Y,Z ⇔ t ∈ TX∪x,Y,Z, x < X,FO(x, t) ≤ 1 ;

(iii) (t)u ∈ TX,Y,Z ⇔ t,u ∈ TX,Y,Z ;

(iv) !t ∈ TX,Y,Z ⇔ t ∈ TY,∅,∅,FO(t) ≤ 1 ;

(v) §t ∈ TX,Y,Z ⇔ t ∈ TY∪Z,∅,∅ ;

(vi) let t be !x in u ∈ TX,Y,Z ⇔ t ∈ TX,Y,Z,u ∈ TX,Y∪x,Z, x < Y ;

(vii) let t be §x in u ∈ TX,Y,Z ⇔ t ∈ TX,Y,Z,u ∈ TX,Y,Z∪x, x < Z,FO(x,u) ≤ 1.

Enfin, t est un terme (t∈ T ) si t ∈ TX,Y,Z pour certains X,Y et Z.

Noter que sit ∈ TX,Y,Z, alors les variables libres det sont incluses dansX ∪ Y∪ Z.La condition (iv) correspond au fait que, dans un réseau deLAL , une boîte ! doit avoir au plus

une porte auxiliaire.

Lemme 9.1.3.Soit t∈ TX,Y,Z. Si x< FV(t), alors t∈ TX\x,Y\x,Z\x.

Exemples :– λx.let x be !y in y, λx.let x be !y in !!y < T ;– λx.let x be !z in §λy.(z) . . . (z)y ∈ T .Terui a fourni un algorithme quadratique vérifiant si un pseudo-terme donné est un terme.Les règles de réduction sont celles données dans la Figure 9.1 avec la restriction suivante : dans la

règle (com),x < FV(v). −→0 est une notation pour la réduction en une étape et−→ est une notationpour la clôture transitive réflexive de−→0.

Terui a prouvé la proposition et le théorème suivants :

Proposition 9.1.4. Si t ∈ TX,Y,Z et t−→ u, alors u∈ TX,Y,Z.

Théorème 9.1.5.Pour tout terme t0 de taille s et de profondeur d, les propriétés suivantes sontsatisfaites :

(i) toute suite de réductions commençant à t0 a une longueur bornée par O(s2d+1) ;


(ii) tout terme en lequel t0 se réduit a une taille bornée par O(s2d).

D’où, par le Lemme de König, pour tout termet, nous pouvons définirN(t) comme étant la sommedes longueurs de toutes les suites de réductions possibles. De plus, en appliquant le Lemme de New-man, nous obtenons, comme corollaire, que−→ satisfait la propriété de Church-Rosser.

Un autre corollaire est la normalisation forte en temps polynomiale (voir [50]).Le gommaged’un terme légert est défini, par induction surt, comme étant un lambda-terme :– si t = †u, alors erasure(t) = erasure(u) ;– si t = let u be † x in v, alors erasure(t) = erasure(v)[erasure(u)/x] ;– erasure commute aux autres constructions.Pour tous termest et t′, si t −→ t′, alors erasure(t) β erasure(t′). Mais voici un exemple d’un terme

normal dont le gommage est un lambda-terme non normalisable :

let λx.let x be !y in §(y)y be !y in §(y)y .

Ce terme est un exemple d’un terme qui peut être vu comme uneerreur.

9.2 Le système d’assignation de types ILALN

On présente laLogique Affine Légère Intuitionnistecomme un système d’assignation de typespour le lambda-calcul affine léger: ILAL N est un système d’assignation de types du second ordredans le style de la déduction naturelle.

Définition 9.2.1. Les types deILAL N sont donnés par la grammaire suivante :

F ::= P | (F ( F ) | ∀P F |!F | §F .

Les connecteurs∃,⊗,1,& ,⊗ et0 sont définissables à partir de( et∀. En particulier,0 ≡ ∀α α.Un †-type déchargéest une expression de la forme [A]†, où A est un type (non-déchargé). Une

déclaration est une expression de la formex : A ou x : [A]†. Un contexte est unensemble fini dedéclarations.

Si Γ est le contextex1 : A1, . . . , xn : An dans lequel tous les types sont déchargés, alors [Γ]† estune notation pour le contextex1 : [A1]†, . . . , xn : [An]†. Si Γ contient une déclaration avec un typedéchargé, alors [Γ]† est indéfini.

Définition 9.2.2. Les règles d’assignation de types deILAL N sont celles données dans la Figure 9.2.

Remarque 9.2.3.Le Système ILALN satisfait la propriété de “subterm typability” (si un pseudo-terme t est typable, alors tout sous-pseudo-terme de t est typable).

Dans [50], on peut trouver les preuves des deux théorèmes suivants.

Théorème 9.2.4.Tout pseudo-terme typable est un terme.

Théorème 9.2.5.SiΓ `ILALN t : A est dérivable et t→ t′, alorsΓ ` ILALNt′ : A est dérivable.

On posebint = ∀α !(α( α)( !(α( α)( §(α( α) .

Théorème 9.2.6 ([26], [47]).Toute fonction f : 0,1∗ −→ 0,1∗ calculable en temps O(nd) estrepresenté par un terme de typebint ( §d+6bint .

9.3. LES VRAIS TERMES, LES TERMES SÛRS ET LES TERMES RAISONNABLES 177

Axx : A,Γ ` x : A

Γ ` v : (C( A) Γ ` u : C( E

Γ ` (v)u : A

x : C,Γ ` u : B FO(x,u) ≤ 1( I

Γ ` λx.u : (C( B)

Γ ` t : ∀α C∀E

Γ ` t : C[B/α]Γ ` t : C α < FV(Γ)

∀IΓ ` t : ∀α C

Γ ` u : !C x : [C]! ,Γ ` v : A!E

Γ ` let u be !x in v : A

Γ ` u : C FO(u) ≤ 1!I

[Γ]! ,∆ ` !u : !C

Γ ` u : §C x : [C]§,Γ ` v : A FO(x, v) ≤ 1§E

Γ ` let u be §x in v : A

Γ,Σ ` u : C§I

[Γ]! , [Σ]§,∆ ` §u : §C

F. 9.2 – Le système d’assignation de typesILAL N

Name Redex Contractum(Ap†) (†v)u erreur(λ†) let λx.u be † y in v erreur(§!) let §u be !x in v erreur(!§) let !u be §x in v erreur

F. 9.3 – De nouvelles règles de réduction

9.3 Les vrais termes, les termes sûrs et les termes raisonnables

Nous avons déjà rencontré un exemple de terme qui peut être vu comme une erreur. Dans cettesection, nous clarifions cette notion.

Nous commençons par donner une définition formelle des terms normaux sans erreurs : ce serontlesvrais termes.

Définition 9.3.1. On définit l’ensembleTT desvrais termeset l’ensembleWT destermes sagesainsi :TT = TPT ∩ T etWT =WPT ∩ T , oùTPT etWPT sont les ensembles définis par lagrammaire suivante :

WPT ::= V | (WPT )TPT

TPT ::= WPT | λV.TPT | !TPT | letWPT be !V in TPT

|§TPT | letWPT be §V in TPT

Remarquer que l’on a :termes sages $ termes vrais $ termes normaux.Dans le but de justifier cette définition, il peut être montré que si l’on ajoute un nouveau terme

erreur et les règles de réduction données en la Figure 9.3, alors la nouvelle relation de réduction a lapropriété de Church-Rosser (en utilisant le Lemme de Hindley-Rosen) et tout terme se réduit soit enun vrai terme, soit en un terme donterreur est un sous-terme.

Définition 9.3.2. Un terme est dit êtresûrs’il se réduit en un vrai terme ; il est dit êtreraisonnablesitout sous-terme normal de tout terme en lequel il se réduit est vrai.


Remarquer que l’on a :vrais termes $ termes raisonnables $ termes sûrs.De plus, le gommage de tout vrai terme est normal et le gommage tout terme sûr est normalisable :

une preuve de ce que le gommage de tout terme raisonnable est fortement normalisable sera donnéedans la Section 9.4.

Définition 9.3.3. On dit qu’une formule estouvertesi elle ne commence pas par∀.

Fait 9.3.4. Pour tout contexteΓ, pour toute formule ouverte A, pour toute variable x, pour tout termeu, siΓ ` λx.u : A, alors A s’écrit(C( B).

Fait 9.3.5. Pour tout contexteΓ, pour toute formule ouvertes A, pour tout terme u, siΓ ` !u : A, alorsA s’écrit !C.

Fait 9.3.6. Pour tout contexteΓ, pour toute formule ouverte A, pour tout terme u, siΓ ` §u : A, alorsA s’écrit§C.

Lemme 9.3.7.Tout terme normal typable est vrai.

Démonstration.On prouve, par induction surπ, que pour toute derivationπ, pour toute formuleA,pour tout contexteΓ, pour tout terme normalt, si π est une derivation deΓ ` t : A, alorst est un vraiterme :

– π est Axx : A,Γ′ ` x : A : t est une variable ;

– π se termine parΓ ` v : (C( A) Γ ` u : C

( EΓ ` (v)u : A

: v est sage, parce que :

– comme (v)u est normal,v est normal et ne s’écrit niλx.v1 ni let v1 be † x in v2 ;– de plus, par les Faits 9.3.5 and 9.3.6,v ne s’écrit pas†v1 ;– enfin, par hypothèse d’induction,v est un vrai terme ;de plus, comme (v)u est normal,u est normal, donc, par hypothèse d’induction,u est un vraiterme ;

– π se termine parx : C,Γ ` u : B FO(x,u) ≤ 1

( IΓ ` λx.u : (C( B)

: commeλx.u est normal,u est normal,

donc, par hypothèse d’induction,u est un vrai terme ;

– π se termine par Γ ` t : ∀α C∀E

Γ ` t : C[B/α]: appliquer l’hypothèse d’induction ;

– π se termine parΓ ` t : C α < FV(Γ)

∀IΓ ` t : ∀α C

: appliquer l’hypothèse d’induction ;

– π se termine parΓ ` u : !C x : [C]! ,Γ ` v : A

!EΓ ` let u be !x in v : A

: u est sage, parce que :

– commelet u be !x in v est normal,u est normal et ne s’écrit ni !u1 ni let u1 be † x in u2 ;– de plus, par les Faits 9.3.4 et 9.3.6,u ne s’écrit niλy.u1 ni §u1 ;– enfin, par hypothèse d’induction,u est un vrai terme ;de plus, commelet u be !x in v est normal,v est normal, donc, par hypothèse d’induction,v estun vrai terme ;

– π se termine par Γ′ ` u : C !I[Γ′]! ,∆ ` !u : !C

: comme !uest normal,uest normal, donc, par hypothèse

d’induction,u est un vrai terme ;

– π se termine parΓ ` u : §C x : [C]§,Γ ` v : A FO(x, v) ≤ 1

§EΓ ` let u be §x in v : A

: u est sage, parce que :

– commelet u be !x in v est normal,u est normal and ne s’écrit ni§u1 ni let u1 be † x in u2 ;– de plus, par les Faits 9.3.4 et 9.3.5,u ne s’écrit niλy.u1 ni !u1 ;– enfin, par hypothèse d’induction,u est un vrai terme ;de plus, commelet u be !x in v est normal,v est normal, donc, par hypothèse d’induction,v estun vrai terme ;

9.3. LES VRAIS TERMES, LES TERMES SÛRS ET LES TERMES RAISONNABLES 179

– π se termine parΓ,Σ ` u : C

§I[Γ]! , [Σ]§,∆ ` §u : §C

: comme§u est normal,u est normal, donc, par

hypothèse d’induction,u est un vrai terme.

Théorème 9.3.8.Tout pseudo-terme typable est un terme raisonnable.

Démonstration.Le théorème est une conséquence du Théorème 9.2.4, du Théorème de “Subject Re-duction” pourILAL N, de la propriété de “subterm typability” et du Lemme 9.3.7.

Pour tousx1, . . . , xk1, y1, . . . , yk2, z1, . . . , zk3 ∈ V, Γx1,...,xk1,y1,...,yk2,z1,...,zk3est une notation pour le

contexte suivant :

x1 : 0, . . . , xk1 : 0, y1 : [0]! , . . . , yk2 : [0]! , z1 : [0]§, . . . , zk3 : [0]§.

Théorème 9.3.9.Tout vrai terme est typable.

Démonstration.On prouve, par induction surt, que pour tout vrai termet (respectivement tout termeraisonnablet), pour tousX,Y,Z ⊆ V, si t ∈ TX,Y,Z, alors il existe une formuleT telle que (respective-ment pour toute formuleT, on a)ΓX,Y,Z ` t : T :

– t ∈ WT : soit T une formule :

– Cas 1 :t est une variable :t ∈ X, donc on aAx

ΓX,Y,Z ` t : 0∀E

ΓX,Y,Z ` t : T;

– Cas 2 :t = (w)r, w ∈ WT et r ∈ TT : w, r ∈ TX,Y,Z, donc, par hypothèse d’induction,ΓX,Y,Z ` r : RetΓX,Y,Z ` w : (R( T) ; d’où ΓX,Y,Z ` t : T ;

– t = !u et u ∈ TT : u ∈ TY,∅,∅ ; donc, par hypothèse d’induction,ΓY,∅,∅ ` u : U ; d’où ΓX,Y,Z ` t :!U ;

– t = let u be !x in v, u ∈ WT et v ∈ TT : u ∈ TX,Y,Z et v ∈ TX,Y,Z ; donc, par hypothèsed’induction,ΓX,Y,Z ` u : !0 andΓX,Y∪x,Z ` v : V ; d’où ΓX,Y,Z ` t : V ;

– t = §u et u ∈ TT : u ∈ TY∪Z,∅,∅ ; donc, par hypothèse d’induction,ΓY∪Z,∅,∅ ` u : U ; d’oùΓX,Y,Z ` t : §U ;

– t = let u be §x in v, u ∈ WT et v ∈ TT : u ∈ TX,Y,Z et v ∈ TX,Y,Z∪x ; donc, par hypothèsed’induction,ΓX,Y,Z ` u : §0 etΓX,Y,Z∪x ` v : V ; d’où ΓX,Y,Z ` t : V.

Remarque 9.3.10.Néanmoins, il existe des termes raisonnables non typables. Exemple :

G = let !λx.let x be !x′ in §(x′)x′

be !x′

in §λy.((y)(x′)!λx.x)(x′)!λx.λy.x .

Bien que son gommage soit typable dans le Système F, G est un terme raisonnable qui n’est pas typabledansILAL N. En effet, on peut définir une nouvelle traduction dans le lambda-calcul : lebiffage; onnote cross(t) le biffage d’un terme t, il est défini par induction sur t :

– si t= †u, alors cross(t) = cross(u) ;– si t= let u be † x in v, alors cross(t) = (λx.cross(v))cross(u) ;– cross commute aux autres constructions ;

et on peut montrer que si l’un terme est typable dansILAL N, alors son biffage est typable dans leSystème F. Et le biffage de G, i.e.

(λx′.λy.((y)(x′)λx.x)(x′)λx.λy.x)λx.(λx′.(x′)x′)x,

n’est pas typable dans le Système F (voir [24]).


α ∈ aAx

x : a,Γ `∩ x : α

Γ `∩ v : (β( α) Γ `∩ u : β( E

Γ `∩ (v)u : αx : β,Γ `∩ u : α FO(x,u) ≤ 1

( IΓ `∩ λx.u : (β( α)

Γ `∩ u : a x : [a]! ,Γ `∩ v : α!E

Γ `∩ let u be !x in v : αΓ `∩ u : α1, . . . ,Γ `∩ u : αn n ≥ 1 FO(u) ≤ 1

!I[Γ]! ,∆ `∩ !u : α1, . . . , αn

Γ `∩ u : §β x : [β]§,Γ `∩ v : α FO(x, v) ≤ 1§E

Γ `∩ let u be §x in v : α

Γ,Σ `∩ u : β§I

[Γ]! , [Σ]§,∆ `∩ §u : §β

oùα, β ∈ F∩ eta ∈ P∗f (F∩)

F. 9.4 – Le système d’assignation de types avec intersection légère (LI )

9.4 Le système d’assignation de types avec intersection légère (LI)

Comme on l’a vu dans la sous-section précédente,ILAL N permet de donner une condition suffi-sante pour qu’un terme soit raisonnable. Maintenant, nous voulons définir un système qui type plusde termes raisonnables. Pour cela, nous utilisons l’approche des types avec intersection.

Définition 9.4.1. L’ensembleF∩ des types est defini par la grammaire suivante :F∩ ::= P | (F∩ (F∩) | P∗f (F∩) | §F∩.L’ensemble!-DF ∩ est[α]! ; α ∈ F∩. L’ensmble§-DF ∩ est[α]§ ; α ∈ F∩.Un contexte est une application d’un sous-ensemble fini deV vers

P∗f (F∩) ∪ P∗f (!-DF ∩) ∪ P

∗f (§-DF ∩) .

Pour tous X,Y,Z ⊆ V, CX,Y,Z est l’ensemble des contextesΓ tels que∀x ∈ X∩dom(Γ),Γ(x) ∈ P∗f (F∩),∀y ∈ Y∩ dom(Γ),Γ(y) ∈ P∗f (!-DF ∩) et∀z ∈ Z ∩ dom(Γ),Γ(z) ∈ P∗f (§-DF ∩).

A partir de maintenant, nous utiliserons les lettres grecquesα, β, . . . pour les types et les lettreslatinesa, b, . . . pour les ensembles finis de types.

Un élément deP∗f (F∩) peut être vu comme l’intersection de ses éléments.Pour touta ∈ P∗f (F∩), [a]† est une notation pour[α]† ; α ∈ a.

Définition 9.4.2. Les règles d’assignation de types sont celles données dans la Figure 9.4.

Remarquer que la règle !I an prémisses.

Remarque 9.4.3.Ce système satisfait la propriété de “subterm typability”.

Définition 9.4.4. On définit une relation binaire≤ sur l’ensemble des contextes ainsi :Γ ≤ Γ′ si, etseulement si, dom(Γ) ⊆ dom(Γ′) et∀x ∈ dom(Γ) Γ(x) ⊆ Γ′(x).

Fait 9.4.5. Pour tout t ∈ TX,Y,Z, pour tout typeα, pour tous contextesΓ et Γ′ tels queΓ ≤ Γ′, siΓ `∩ t : α, alorsΓ′ `∩ t : α.

Pour tout contexteΓ, pour tout termet, Γt est une notation pour(x, a) ∈ Γ ; x est libre danst.

Fait 9.4.6. Pour tout contexteΓ, pour tout terme t, pour tout typeα, Γ `∩ t : α si, et seulement si,Γt `∩ t : α.

9.4. LE SYSTÈME D’ASSIGNATION DE TYPES AVEC INTERSECTION LÉGÈRE (LI) 181

9.4.1 “Subject Reduction”

Lemme 9.4.7. Soit Γ un contexte et soient x1, . . . , xk1, y1, . . . , yk2, z1, . . . , zk3 des variables tellesque x1, . . . , xk1, y1, . . . , yk2, z1, . . . , zk3 < dom(Γ). Si Γ, x1 : α1, . . . , xk1 : αk1, y1 : [b1]! , . . . , yk2 :[bk2]! , z1 : [γ1]§, . . . , zk3 : [γk3]§ `∩ t : α, pour tout i ∈ 1, . . . , k1,Γ `∩ ui : αi , pour touti ∈ 1, . . . , k2,Γ `∩ !vi : bi , et pour tout i∈ 1, . . . , k3,Γ `∩ §wi : §γi, alors

Γ `∩ t[u1/x1, . . . ,uk1/xk1, v1/y1, . . . , vk2/yk2,w1/z1, . . . ,wk3/zk3] : α.


Lemme 9.4.8.Pour tout terme t, siΓ `∩ t : α et t−→0 t′, alorsΓ `∩ t′ : α.

Démonstration.D’abord, remarquer que, par la Proposition 9.1.4,t′ est un terme. Maintenant, onprouve le Lemme par induction surt : les cas critiques sont les suivants :

– t = (λx.v1)u et t′ = v1[u/x] ;– t = let !u1 be !x in v et t′ = v[u1/x] ;– t = let §u1 be §x in v et t′ = v[u1/x].

Dans tous ces cas, supposer quex < dom(Γ) et appliquer le Lemme 9.4.7.

Proposition 9.4.9. Pour tout terme t, siΓ `∩ t : α et t−→ t′, alorsΓ `∩ t′ : α.

Démonstration.C’est une conséquence du Lemme 9.4.8.

9.4.2 Pseudo-termes typables et termes raisonnables

Proposition 9.4.10.Pour tout pseudo-terme t, si

x1 : a1, . . . , xk1 : ak1, y1 : [b1]! , . . . , yk2 : [bk2]! , z1 : [γ1]§, . . . , zk3 : [γk3]§ `∩ t : α

est dérivable, alors t∈ Tx1,...,xk1,y1,...,yk2,z1,...,zk3.

Démonstration.Par induction sur le pseudo-termet.

Lemme 9.4.11.Tout terme normal typable est vrai.

Démonstration.Par induction sur le terme.

Proposition 9.4.12.Tout pseudo-terme typable est un terme raisonnable.

Démonstration.Soit t un pseudo-terme typable. D’abord, par la Proposition 9.4.10,t est un terme.Maintenant, soitt′ tel que t −→ t′. Par la Proposition 9.4.9,t′ est typable ; d’où, tout sous-termenormal det′ est typable et, par le Lemme 9.4.11, est un vrai terme.

9.4.3 Les termes raisonnables sont typables

Pour tous contextesΓ1 et Γ2, Γ1 + Γ2 est une notation pour(x,Γ1(x) ∪ Γ2(x)) ; x ∈ dom(Γ1) ∩dom(Γ2) ∪ (x,Γ1(x)) ; x ∈ dom(Γ1) \ dom(Γ2) ∪ (x,Γ2(x)) ; x ∈ dom(Γ2) \ dom(Γ1).

Lemme 9.4.13.Pour tout vrai terme t (respectivement tout terme sage t), pour tous X, Y, Z⊆ V, sit ∈ TX,Y,Z et pour tout z∈ Z, FO(z, t) ≤ 1, alors il existeα ∈ F∩ (respectivement pour toutα ∈ F∩), ilexisteΓ ∈ CX,Y,Z tel que :


(i) Γ `∩ t : α ;

(ii) et pour tout w∈ dom(Γ), si FO(w, t) ≤ 1, alors Card(Γ(w)) = 1.

Démonstration.Par le Lemme 9.1.3 et le Fait 9.4.6, on peut supposer queFV(t) = X ∪ Y ∪ Z.Maintenant, on prouve le lemme par induction surt :

– t est un terme sage : soitα ∈ F∩ :– Cas 1 :t est une variable : on a Axt : α `∩ t : α ;– Cas 2 :t = (v)r, v est un terme sage etr est un vrai terme : par hypothèse d’induction, il

existeβ ∈ F∩ etΓr ∈ CX,Y,Z tels que :

(i) Γr `∩ r : β ;

(ii) et pour toutw ∈ dom(Γr ), si FO(w, r) ≤ 1, alors Card(Γr (w)) = 1 ;

de nouveau, par hypothèse d’induction, il existeΓv ∈ CX,Y,Z tel que :

(i) Γv `∩ v : (β( α) ;

(ii) et pour toutw ∈ dom(Γv), si FO(w, v) ≤ 1, alors Card(Γv(w)) = 1 ;

par les Faits 9.4.6 et 9.4.5 et par( E, on aΓvv + Γ

rr ` t : α ; d’où on peut poserΓt = Γv

v + Γrr ;

– t = λx.u, t = !u ou t = §u : c’est direct ;– t = let u be !x in v, u ∈ WT et v ∈ TT : par hypothèse d’induction, il existeα ∈ F∩ etΓv, x : [b]! ∈ CX,Y∪x,Z tels que :

(i) Γv, x : [b]! `∩ v : α ;

(ii) et pour toutw ∈ dom(Γv) ∪ x, si FO(w, v) ≤ 1, alors Card(Γv(w)) = 1 ;

de nouveau, par hypothèse d’induction, il existeΓu ∈ CX,Y,Z tel que :

(i) Γu `∩ u : b ;

(ii) et pour toutw ∈ dom(Γu), si FO(w,u) ≤ 1, alors Card(Γu(w)) = 1 ;

par les Faits 9.4.6 et 9.4.5 et par !E, on aΓuu + Γ

vv ` t : α ; d’où on peut poserΓt = Γu

u + Γvv ;

– t = let u be §x in v, u ∈ WT et v ∈ TT : par hypothèse d’induction, il existeα ∈ F∩ etΓv, x : [β]§ ∈ CX,Y,Z∪x tels que :

(i) Γv, x : [β]§ `∩ v : α ;

(ii) et pour toutw ∈ dom(Γv), si FO(w, v) ≤ 1, alors Card(Γv(w)) = 1 ;

de nouveau par hypothèse d’induction, il existeΓu ∈ CX,Y,Z tel que :

(i) Γu `∩ u : §β ;

(ii) et pour toutw ∈ dom(Γu), si FO(w,u) ≤ 1, alors Card(Γu(w)) = 1 ;

par les Fait 9.4.6 et 9.4.5 et par§E, on aΓuu + Γ

vv ` t : α ; d’où on peut poserΓt = Γu

u + Γvv.

Lemme 9.4.14.Pour tous X,Y,Z ⊆ V, pour tous termes u et v tels que v∈ TX,Y,Z, pour tous contextesΓ tels que x< dom(Γ), si Γ `∩ v[u/x] : α, alors :

(i) si x ∈ X et u est typable dans le contexteΓ, alors il existe a∈ P∗f (F∩) tel queΓ, x : a `∩ v : α etΓ `∩ u : a ;

(ii) si x ∈ Y et!u est typable dans le contexteΓ, alors il existe a∈ P∗f (F∩) tel queΓ, x : [a]! `∩ v : αetΓ `∩ !u : a ;

(iii) si x ∈ Z, FO(x, v) ≤ 1 et §u est typable dans le contexteΓ, alors il existeγ ∈ F∩ tel queΓ, x : [γ]§ `∩ v : α etΓ `∩ §u : §γ.


Démonstration.Par induction surv :– siv est une variable, elors on a les cas suivants :

– v = x : x ∈ X et l’on peut poserγ = α ;– v , x : dans tous les cas, il suffid d’appliquer le Fait 9.4.6 ;

– siv = (v2)v1, alors on aΓ `∩ v2[u/x] : (β( α) etΓ `∩ v1[u/x] : β :

(i) par hypothèse d’induction, on aΓ, x : a2 `∩ v2 : (β ( α) et Γ `∩ u : a2 ; de nouveau,par hypothèse d’induction, on aΓ, x : a1 `∩ v1 : β et Γ `∩ u : a1 ; par le Fait 9.4.5,on a Γ, x : a1 ∪ a2 `∩ v2 : (β ( α) et Γ, x : a1 ∪ a2 `∩ v1 : β ; par( E, on aΓ, x : a1 ∪ a2 `∩ v : α ;

(ii) par hypothèse d’induction, on aΓ, x : [a2]! `∩ v2 : (β ( α) etΓ `∩ !u : a2 ; de nouveau,par hypothèse d’induction, on aΓ, x : [a1]! `∩ v1 : β andΓ `∩ !u : a1 ; par le Fait 9.4.5,on aΓ, x : [a1 ∪ a2]! `∩ v2 : (β ( α) et Γ, x : [a1 ∪ a2]! `∩ v1 : β ; par( E, we haveΓ, x : [a1 ∪ a2]! `∩ v : α ;

(iii) on a les cas suivants :– v2[u/x] = v2 : par hypothèse d’induction, on aΓ, x : [γ]§ `∩ v1 : β etΓ `∩ §u : §γ ;

par le Fait 9.4.5, on aΓ, x : [γ]§ `∩ v2 : (β( α) ; par( E, on aΓ, x : [γ]§ `∩ v : α ;– v2[u/x] , v2 : FO(x, v) ≤ 1, donc on av1[u/x] = v1 ; par hypothèse d’induction, on aΓ, x : [γ]§ ` v2 : (β ( α) etΓ `∩ §u : §γ ; par le Fait 9.4.5, on aΓ, x : [γ]§ `∩ v1 :β ; par( E, on aΓ, x : [γ]§ `∩ α ;

– siv = !v1, alors :– dans les cas(i) et (iii) , il suffit d’appliquer le Fait 9.4.5 ;– dans le cas(ii) , appliquer le cas(i) de l’hypothèse d’induction ;

– les autres cas sont similaires.

Proposition 9.4.15.Soient X, Y, Z⊆ V. Soit t∈ TX,Y,Z un terme raisonnable tel que pour tout z∈ Z,FO(z, t) ≤ 1. Pour toutΓ ∈ CX,Y,Z, pour tout terme t′, si

(i) t −→ t′,

(ii) Γ `∩ t′ : α

(iii) et pour tout w∈ dom(Γ) tel que FO(w, t′) ≤ 1, Card(Γ(w)) = 1,

alors il existeΓ′ ∈ CX,Y,Z tel que :

(i) Γ ≤ Γ′ ;

(ii) Γ′ `∩ t : α ;

(iii) et pour tout w∈ dom(Γ′) tel que FO(w, t) ≤ 1, Card(Γ′(w)) = 1.

Démonstration.Par induction bien-fondée sur (N(t), taille(t)).Si t est normal, alors il n’y a rien à faire. Sinon, sit′ , t, alors il existe un termet1 tel quet −→0 t1

et t1 −→ t′. t1 esr un terme raisonnable, d’où, par hypothèse d’induction, il existeΓ1 ∈ CX,Y,Z tel queΓ ≤ Γ1, Γ1 `∩ t1 : α et pour toutw ∈ dom(Γ1) tel que FO(w, t) ≤ 1, Card(Γ1(w)) = 1 ; on a les cassuivants :

a) t = (v)u, t1 = (v1)u etv −→0 v1 : appliquer l’hypothèse d’induction ;

b) t = (v)u, t1 = (v)u1 etu −→0 u1 : appliquer l’hypothèse d’induction ;

c) t = (λx.v)u et t1 = v[u/x] : appliquer le Lemme 9.4.13, l’hypothèse d’induction et le Lemme9.4.14 (i) ;


d) t = (let u1 be † x1 in v1)u, t1 = let u1 be † x1 in (v1)u et x1 < FV(u) : on aΓ1 `∩ t : α ;

e) t = λx.u, t1 = λx.u1 etu −→0 u1 : appliquer l’hypothèse d’induction ;

f) t = †u, t1 = †u1 etu −→0 u1 : appliquer l’hypothèse d’induction ;

g) t = let u be † x in v, t1 = let u1 be † x in v andu −→0 u1 : appliquer l’hypothèse d’induction ;

h) t = let !u be !x in v, t1 = v[u/x] : appliquer l’hypothèse d’induction et le Lemme 9.4.14 (ii) ;

i) t = let §u be §x in v, t1 = v[u/x] : appliquer l’hypothèse d’induction et le Lemme 9.4.14 (iii) ;

j) t = let !u be !x in v, t1 = let !u be !x in v1, v −→0 v1 et !u est normal : on se ramène au cas h) :appliquer Church-Rosser, la Proposition 9.4.9 et l’hypothèe d’induction ;

k) t = let §u be §x in v, t1 = let §u be §x in v1, v −→0 v1 et §u est normal : on se ramène au casi) : appliquer Church-Rosser, la Proposition 9.4.9 et l’hypothèse d’induction ;

l) t = let u be † x in v, t1 = let u be † x in v1, v −→0 v1 et u ∈ WT : appliquer l’hypothèsed’induction et le Lemme 9.4.13 ;

m) t = let u be † x in v, t1 = let u be † x in v1, v −→0 v1 et u n’est pas normal : on se ramène aucas g) : appliquer Church-Rosser, la Proposition 9.4.9 et l’hypothèse d’induction ;

n) t = let let u1 be †1 x1 in v1 be † x in v, t1 = let u1 be †1 x1 in let v1 be † x in v et x1 < FV(v) :on aΓ1 `∩ t : α.

Corollaire 9.4.16. Tout terme raisonnable est typable.

Démonstration.Soit t ∈ TX,Y,Z un terme raisonnable. D’abord, remarquer quet ∈ TX,Y∪Z,∅. Mainte-nant, il existe un vrai termet′ ∈ TX,Y∪Z,∅ tel quet −→ t′. Appliquer la Proposition 9.4.13 et le Lemme9.4.15.

Théorème 9.4.17.Un pseudo-terme est typable si, et seulement si, c’est un terme raisonnable.

Démonstration.C’est une conséquence de la Proposition 9.4.12 et du Corollaire 9.4.16.

9.4.4 Le gommage d’un terme raisonnable est fortement normalisable

Dans le but de prouver que le gommage d’un terme raisonnable est fortement normalisable, onrappelle ce qu’est le SystèmeD (voir [35] pour une présentation plus détaillée) :

Définition 9.4.18. L’ensembleFD des types du SystèmeD est défini par la grammaire suivante :FD ::= P | (FD → FD) | (FD ∧ FD).

Définition 9.4.19. Les règles d’assignation de types sont celles donées dans la Figure 9.5.

On peut prouver les fait, théorème et proposition suivants :

Fait 9.4.20. SiΓ `D t : α, alorsΓ,∆ `D t : α.

Théorème 9.4.21.Tout lambda-terme typable dans le SystèmeD est fortement normalisable.

Proposition 9.4.22.SoientΓ un contexte et x1, . . . , xk des variables non déclarées dansΓ. SiΓ, x1 :A1, . . . , xk : Ak `D u : B et pour tout i tel que1 ≤ i ≤ k et xi est libre dans u,Γ `D ti : Ai , alorsΓ `D u[t1/x1, . . . , tk/xk] : B.


Axx : A,Γ `D x : A

Γ `D v : (B( A) Γ `D u : B→ E

Γ `D (v)u : Ax : B,Γ `D u : A

→ IΓ `D λx.u : (B→ A)

Γ `D t : (A∧ B)∧1E

Γ `D t : A

Γ `D t : (A∧ B)∧2E

Γ `D t : BΓ `D t : A Γ `D t : B

∧IΓ `D t : (A∧ B)

F. 9.5 – SystèmeD

Maintenant, on veut définir le gommage d’un type deLI comme étant un type du SystèmeD.Cette traduction est quelque peu arbitraire du fait que l’on doit transformer un ensemble fini non videα1, . . . , αn de types deLI en l’intersection des traductions de chacun des types : les typesA∧ B etB∧ A sont fondamentalement les mêmes, mais formellement différents. La traduction doit “choisir”un ordre particulier. Pour cela, on considère une fonctionD deP∗f (FD) versFD

(N) telle que

D(A1, . . . ,An) = (A1, . . . ,An).

Définition 9.4.23. Pour tout n≥ 1, pour touts ∈ F nD

,∧s est défini par induction sur n :

– si s = (α), alors∧s = α ;

–∧

(α1, . . . , αn+1) = (∧

(α1, . . . , αn) ∧ αn+1).

– siα ∈ P, alors gommageF∩(α) = α ;– siα = (β( γ), alors gommageF∩(α) = (gommageF∩(β)→ gommageF∩(γ)) ;– siα = a, alors gommageF∩(α) =

∧DgommageF∩(β) ; β ∈ a ;

– siα = §γ, alors gommageF∩(α) = gommageF∩(γ).Pour tout [α]† ∈ † − DF ∩, gommageDF ∩([α]†) = gommageF∩(α).Pour tout contexteΓ, gommagec(Γ) est une application d’un sous-ensemble fini deV versFD

definie comme suit : le domaine est le même que celui deΓ et pour toutx ∈ dom(Γ), on a les cassuivants :

– siΓ(x) ∈ P∗f (F∩), alors gommagec(Γ)(x) =∧DgommageF∩(α) ; α ∈ Γ(x) ;

– siΓ(x) ∈ P∗f († − DF ∩), alors gommagec(Γ)(x) =∧DgommageDF ∩(α) ; α ∈ Γ(x).

Fait 9.4.24. SiΓ `D∧

(α1, . . . , αn), alorsΓ `D α1, . . . ,Γ `D αn.

Proposition 9.4.25.SiΓ `LI t : α est dérivable, alors gommagec(Γ) `D gommage(t) : gommageF∩(α)est dérivable.

Démonstration.Par induction surt :– si t est une variable, alors appliquer le Fait 9.4.24 ;– si t = (v)u ou t = λx.u, alors c’est direct ;– si t = let u be !x in v, alors appliquer le Fait 9.4.24 et la Proposition 9.4.22 ;– si t = let u be §x in v, alors appliquer la Proposition 9.4.22 ;– si t = †u, alors appliquer le Fait 9.4.20.

Théorème 9.4.26.Le gommage d’un terme raisonnable est fortement normalisable.

Démonstration.C’est une conséquence des Corollaires 9.4.16 et 9.4.25 et du Théorème 9.4.21.


α ∈ aAx

x : a,Γ `Ω x : αt est un terme

ΩIΓ `Ω t : Ω

Γ `Ω v : (β( α) Γ `Ω u : β( E

Γ `Ω (v)u : αx : β,Γ `Ω u : α FO(x,u) ≤ 1

( IΓ `Ω λx.u : (β( α)

Γ `Ω u : a x : [a]! ,Γ `Ω v : α!E

Γ `Ω let u be !x in v : αΓ `Ω u : α1, . . . ,Γ `Ω u : αn n ≥ 1 FO(u) ≤ 1

!I[Γ]! ,∆ `Ω !u : α1, . . . , αn

Γ `Ω u : §β x : [β]§,Γ `Ω v : α FO(x, v) ≤ 1§E

Γ `Ω let u be §x in v : α

Γ,Σ `Ω u : β§I

[Γ]! , [Σ]§,∆ `Ω §u : §β

oùα, β ∈ FΩ anda ∈ P∗f (FΩ)

F. 9.6 – Le Système d’assignation de types relâché avec intersection légère (RLI )

9.5 Le système relâché avec intersection légère (RLI)

LI a permis de donner une condition suffisante et nécessaire pour qu’un terme soit raisonnable.Maintenant, on modifie légèrement ce système pour obtenir un nouveau système qui type exactementles termes sûrs.

Définition 9.5.1. L’ensembleFΩ des types est défini par la grammaire suivante :FΩ ::= P | (FΩ (FΩ) | P∗f (FΩ) | §FΩ | Ω.L’ensemble!-DF Ω est[α]! ; α ∈ FΩ. L’ensemble§-DF Ω est[α]§ ; α ∈ FΩ.Un contexte est une application d’un sous-ensemble fini deV versP∗f (FΩ) ∪ P∗f (!-DF Ω) ∪ P∗f (§-DF Ω).

Pour touta ∈ P∗f (FΩ), [a]† est une notation pour[α]† ; α ∈ a.

Définition 9.5.2. Les règles d’assignation de types sont celles données dans la Figure 9.6.

L’unique différence entre les règles d’assignation de types deLI et celles deRLI est la règleΩI :tout terme est typable de typeΩ. Remarquer que si l’on veut appliquer cette règle avec un pseudo-terme, on doit d’abord vérifier que c’est un terme ; ceci n’est pas un problème, car, comme on l’arappelé dans la Section 9.1, il existe un algorithme quadratique qui le fait.

Mais attention avec la définition detypable.

Définition 9.5.3. Pour tout séquent x1 : a1, . . . , xk1 : ak1, y1 : [b1]†1, . . . , yk2 : [bk2]†k2` t : α,

types(x1 : a1, . . . , xk1 : ak1, y1 : [b1]†1, . . . , yk2 : [bk2]†k2` t : α) est une notation pour(

⋃ai ; 1 ≤ i ≤

k1) ∪ (⋃bi ; 1 ≤ i ≤ k2) ∪ α.

Définition 9.5.4. Un terme t est dittypables’il existe un séquentΓ `Ω t : α tel qu’il existe unedérivation deΓ `Ω t : α et types(Γ `Ω t : α) ⊆ F∩.

Autrement dit,Ω n’apparaît ni dansΓ ni dansα.

9.5.1 “Subject Reduction”

Proposition 9.5.5. Pour tout terme t, siΓ `Ω t : α et t−→ t′, alorsΓ `Ω t′ : α.

La preuve est similaire à celle de la Proposition 9.4.9.

9.5. LE SYSTÈME RELÂCHÉ AVEC INTERSECTION LÉGÈRE (RLI) 187

9.5.2 Propriété de la sous-formule

Définition 9.5.6. Pour toutα ∈ FΩ, on définit, par induction surα, l’ensembleS(α) des sous-formulesdeα :

– siα ∈ P, alorsS(α) = α ;– siα = (β( γ), alorsS(α) = S(β) ∪ S(γ) ∪ α ;– siα = †a, alorsS(α) = (

⋃S(µ) ; µ ∈ a) ∪ α ;

– siα = Ω, alorsS(α) = Ω.

Remarque 9.5.7.Siα ∈ F∩, alorsS(α) ⊆ F∩.

Proposition 9.5.8. Soit t un terme normal et soitπ la dérivation deΓ `Ω t : α. Alors pour toutjugementΘ deπ, pour toutµ ∈ types(Θ), il existeβ ∈ types(Γ `Ω t : α) tel queµ ∈ S(β) ; de plus, si ts’écrit (v)u, alorsα ∈ S(Γ).


Corollaire 9.5.9. Tout terme normal typable dansRLI est typable dansLI .

9.5.3 Les pseudo-termes typables sont des termes sûrs

Proposition 9.5.10.Si x1 : a1, . . . , xk1 : ak1, y1 : [b1]! , . . . , yk2 : [bk2]! , z1 : [c1]§, . . . , zk3 : [ck3]§ ` t : αest dérivable, alors t∈ Tx1,...,xk1,y1,...,yk2,z1,...,zk3

.

La preuve est similaire à celle de la Proposition 9.4.10.

Proposition 9.5.11.Tout pseudo-terme typable est un terme sûr.

Démonstration.Soit t un pseudo-terme typable. Par la Proposition 9.5.10,t est un terme. Par le Théo-rème 9.1.5,t se réduit en un terme normalt′. Par la Proposition 9.5.5,t′ est un terme typable. Mainte-nant, par le Corollaire 9.5.9,t′ est typable dansLI . D’où, par le Lemme 9.4.11,t′ est un vrai terme.

9.5.4 Les termes sûrs sont des termes typables

Lemme 9.5.12.Pour tous X,Y,Z ⊆ V, pour tous termes u et v tels que v∈ TX,Y,Z, pour tout contexteΓ tel que x< dom(Γ), si Γ `Ω v[u/x] : α, alors :

(i) si x ∈ X, alors il existe a∈ P∗f (FΩ) tel queΓ, x : a `Ω v : α etΓ `Ω u : a ;

(ii) si x ∈ Y, alors il existe a∈ P∗f (FΩ) tel queΓ, x : [a]! `Ω v : α etΓ `Ω !u : a ;

(iii) si x ∈ Z et FO(x, v) ≤ 1, alors il existeγ ∈ FΩ tel queΓ, x : [γ]§ `Ω v : α etΓ `Ω §u : §γ.

Démonstration.On peut supposer que l’on aα , Ω. Maintenant, on prouve le lemme par inductionsurv :

– siv est une variable, alors on a les cas suivants :– v = x : x ∈ X et l’on peut poserγ = α ;– v , x :

(i) puisqueΓ `Ω v : α, par le Fait 9.4.6,Γ, x : Ω `Ω v : α ; et l’on aΓ `Ω u : Ω ;

(ii) puisqueΓ `Ω v : α, par le Fait 9.4.6,Γ, x : [Ω]! `Ω v : α ; et l’on aΓ `Ω !u : Ω ;

(iii) puisqueΓ `Ω v : α, par le Fait 9.4.6,Γ, x : [Ω]§ `Ω v : α ; et l’on aΓ `Ω §u : §Ω ;

– les autres cas sont similaires à la preuve du Lemme 9.4.14.


Proposition 9.5.13.Pour tous termes t et t′ tels que t−→0 t′, si Γ `Ω t′ : α, alorsΓ `Ω t : α.

Démonstration.On peut supposer queα , Ω. Maintenant, la proposition est prouvée par inductionsurt : les cas critiques sont les suivants :

– t = (λx.v1)u et t′ = v1[u/x] : appliquer le Lemme 9.5.12 (i) ;– t = let !u1 be !x in v et t′ = v[u1/x] : appliquer le Lemme 9.5.12 (ii) ;– t = let §u1 be §x in v et t′ = v[u1/x] : appliquer le Lemme 9.5.12 (iii).

Théorème 9.5.14.Pour tous termes t et t′ tels que t−→ t′, si Γ `Ω t′ : α, alorsΓ `Ω t : α.

Démonstration.C’est une conséquence de la Proposition 9.5.13.

Théorème 9.5.15.Tout pseudo-terme est typable si, et seulement si, c’est un terme sûr.

Démonstration.Soit t un terme sûr : il se réduit en un vrai terme, lequel, par le Corollaire 9.4.16, esttypable ; d’où, par le Théorème 9.5.14,t est typable. La réciproque est la Proposition 9.5.11.

9.6 Une sémantique du second ordre

On peut déduire du systèmeRLI une sémantique dénotationnelle du lambda calcul affine légernon typé et du second ordre : pour l’essentiel, on va interpréter un termet de typeA dansILAL N

par l’ensemble des typesα de t dansRLI et on va interpréter les types deILAL N par un ensembled’ensemble de types deRLI de telle manière que le∀ soit interprété par une intersection.

Soit A un ensemble non vide ne contenant pas de couples et soientω, ∗ < A tels que niω ni ∗ nesont des couples. On définitDn par induction surn :

– D0 = A∪ ω ;– Dn+1 = D0 ∪ (Dn × Dn) ∪ P∗f (Dn) ∪ (∗ × Dn).On poseD =

⋃n∈N Dn etD = P(D). L’interprétation d’un terme léger sera un élément deD.

On appelle environnement une application deV versD ∪ (D × −1) ∪ (D × −2). Si ρ est unenvironnement,x1, . . . , xn ∈ V etd1, . . . ,dn ∈ D∪ (D×−1)∪ (D×−2), alorsρ[x1 := d1, . . . , xn :=dn] est l’environnementρ′ défini par

ρ′(x) =

ρ(x) si x < Vdi si x = xi .

Si x1, . . . , xn ∈ V et d1, . . . ,dn ∈ D ∪ (D × −1) ∪ (D × −2), alors [x1 := d1, . . . , xn := dn] estl’environnementρ défini par

ρ(x) =

di si x = xi pour 1≤ i ≤ n∅ sinon.

Pour tout terme légert, on définit, par induction surt, ~tρ ∈ D avecρ un environnement :

– ~xρ =

ρ(x) ∪ ω si ρ(x) ∈ D ;ω sinon.

;

– ~(v)uρ = α ; ∃β ∈ ~uρ (β, α) ∈ ~vρ ;– ~λx.uρ = (β, α) ; β ∈ D etα ∈ ~uρ[x:=β] ;– ~let u be !x in vρ =

⋃a∈~uρ~vρ[x:=(a,−1)] ;

9.6. UNE SÉMANTIQUE DU SECOND ORDRE 189

– ~!u[x1:=a1,...,xm:=am,y1:=(b1,−1),...,yn:=(bn,−1),z1:=(c1,−2),...,zp:=(cp,−2)] = P∗f (~u[y1:=b1,...,yn:=bn]),

oùa1, . . . ,am ∈ D ;– ~let u be§x in vρ =

⋃(∗,β)∈~uρ~vρ[x:=(β,−2)] ;

–

~§u[x1:=a1,...,xm:=am,y1:=(b1,−1),...,yn:=(bn,−1),z1:=(c1,−2),...,zk:=(ck,−2)]

= ∗ × ~u[y1:=b1,...,yn:=bn,z1:=c1,...,zk:=ck] ,

oùa1, . . . ,am ∈ D.

Fait 9.6.1. Pour tout terme léger u, pour tout environnementρ, pour tout x∈ V, tous a,b ∈ D, siFO(x,u) = 0, alors~uρ[x:=a] = ~uρ[x:=b] .

Démonstration.Par induction suru.

Lemme 9.6.2. Pour tout terme léger t tel que FO(x, t) = 1, pour tout environnementρ, pour toutb ∈ D, si b, ∅, alors on a~tρ[x:=b] =

⋃β∈b~tρ[x:=β] .

Démonstration.Par induction suru.– si t ∈ V, alors il y a deux cas :

– si t = x, alors~tρ[x:=b] = b∪ ω =⋃β∈b(β ∪ ω) =

⋃β∈b~tρ[x:=β] ;

– sinon, on applique le Fait 9.6.1.– si t = †u, alors c’est par définition (il n’y a pas besoin d’utiliser l’hypothèse d’induction) ;– Si t = (v)u, alors il y a deux cas :

– FO(x, v) = 1 etFO(x,u) = 0 :

~(v)uρ[x:=b] = α ; ∃β0 ∈ ~uρ[x:=b](β0, α) ∈⋃β∈b

~vρ[x:=β]


=⋃β∈b

α ; ∃β0 ∈ ~uρ[x:=b] (β0, α) ∈ ~vρ[x:=β]

=⋃β∈b

α ; ∃β0 ∈ ~uρ[x:=β] (β0, α) ∈ ~vρ[x:=β]

(par le Fait 9.6.1)

=⋃β∈b

~(v)uρ[x:=β] .

– FO(x, v) = 0 etFO(x,u) = 1 :

~(v)uρ[x:=b] = α ; ∃β0 ∈⋃β∈b

~uρ[x:=β](β0, α) ∈ ~vρ[x:=b]


=⋃β∈b

α ; ∃β0 ∈ ~uρ[x:=β] (β0, α) ∈ ~vρ[x:=b]

=⋃β∈b

α ; ∃β0 ∈ ~uρ[x:=β] (β0, α) ∈ ~vρ[x:=β]

(par le Fait 9.6.1)

=⋃β∈b

~(v)uρ[x:=β] .


– si t = λy.u, alors on a

~tρ[x:=b] = (β0, α) ; β0 ∈ D etα ∈ ~uρ[x:=b,y:=β0]

= (β0, α) ; β0 ∈ D etα ∈⋃β∈b

~uρ[x:=β,y:=β0]


=⋃β∈b

(β0, α) ; β0 ∈ D etα ∈ ~uρ[x:=β,y:=β0]

=⋃β∈b

~uρ[x:=β] .

– si t = let u be !y in v, alors il y a deux cas :– FO(x,u) = 1 etFO(x, v) = 0 :

~let u be !y in vρ[x:=b] =⋃

a∈~uρ[x:=b]

~vρ[x:=b,y:=(a,−1)]

=⋃

a∈⋃β∈b~uρ[x:=β]

~vρ[x:=b,y:=(a,−1)]


=⋃β∈b

⋃a∈~uρ[x:=β]

~vρ[x:=b,y:=(a,−1)]

=⋃β∈b

⋃a∈~uρ[x:=β]

~vρ[x:=β,y:=(a,−1)]

(par le Fait 9.6.1)

=⋃β∈b

~let u be !y in vρ[x:=β] .

– FO(x,u) = 0 etFO(x, v) = 1 :

~let u be !y in vρ[x:=b] =⋃

a∈~uρ[x:=b]

~vρ[x:=b,y:=(a,−1)]

=⋃

a∈~uρ[x:=b]

⋃β∈b

~vρ[x:=β,y:=(a,−1)]


=⋃β∈b

⋃a∈~uρ[x:=b]

~vρ[x:=β,y:=(a,−1)]

=⋃β∈b

⋃a∈~uρ[x:=β]

~vρ[x:=β,y:=(a,−1)]

(par le Fait 9.6.1)

=⋃β∈b

~let u be !y in vρ[x:=β] .

– si t = let u be§y in v, alors il y a deux cas :– FO(y,u) = 1 etFO(y, v) = 0 :

~let u be§y in vρ[x:=b] =⋃

(∗,β0)∈~uρ[x:=b]

~vρ[x:=b,y:=(β0,−2)]


=⋃

(∗,β0)∈⋃β∈b~uρ[x:=β]

~vρ[x:=b,y:=(β0,−2)]


=⋃β∈b

⋃(∗,β0)∈~uρ[x:=β]

~vρ[x:=b,y:=(β0,−2)]

=⋃β∈b

⋃(∗,β0)∈~uρ[x:=β]

~vρ[x:=β,y:=(β0,−2)]

(par le Fait 9.6.1)

=⋃β∈b

~let u be§y in vρ[x:=β] .

– FO(x,u) = 0 etFO(x, v) = 1 :

~let u be§y in vρ[x:=b] =⋃

(∗,β0)∈~uρ[x:=b]

~vρ[x:=b,y:=(β0,−2)]

=⋃

(∗,β0)∈~uρ[x:=b]

⋃β∈b

~vρ[x:=β,y:=(β0,−2)]


=⋃β∈b

⋃(∗,β0)∈~uρ[x:=b]

~vρ[x:=β,y:=(β0,−2)]

=⋃β∈b

⋃(∗,β0)∈~uρ[x:=β]

~vρ[x:=β,y:=(β0,−2)]

(par le Fait 9.6.1)

=⋃β∈b

~let u be§y in vρ[x:=β] .

Lemme 9.6.3.Pour tout terme léger t, pour tous a,b ∈ D tels que a⊆ b, pour tout environnementρ,on a

– ~vρ[x:=a] ⊆ ~vρ[x:=b] ;– ~vρ[x:=(a,−1)] ⊆ ~vρ[x:=(b,−1)] ;– ~vρ[x:=(a,−2)] ⊆ ~vρ[x:=(b,−2)].

Interprétons les types maintenant. On rappelle qu’un espace cohérent (“coherence space”, voir[31])A est un ensemble tel que

(i) pour touta ∈ A et pour touta′ ⊆ a, on aa′ ∈ A ;

(ii) pour toutB ⊆ A, si∀b1,b2 ∈ B b1 ∪ b2 ∈ A, alors⋃B ∈ A.

On poseD∗ = A ∈ P(D) ; A est un espace cohérent. Soitη une application deP versD∗. Ondéfinit, par induction surA, ~Aη ∈ P(D) :

– si A ∈ P, alors~Aη = η(A) ;– si A = (B( C), alors~Aη = a ∈ D ; ∀b ∈ ~Bη

⋃β∈bγ ; (β, γ) ∈ a ∈ ~Cη ;

– si A = !C, alors~Aη = a ∈ D ; ∀a′ ∈ a a′ est fini non vide et∀a′,b′ ∈ a a′ ∪ b′ ∈ ~Cη ;– si A = ∀X B, alors~Aη =

⋂A∈D∗~Bη[X:=A] .

Lemme 9.6.4.Pour tout type A, pour toute applicationη deP versD∗, ~Aη ∈ D∗.


Démonstration.Par induction surA.On se contente de montrer (ii) pourA = B( C.SoitB ⊆ ~B( Cη tel que pour tousa1,a2 ∈ B, a1 ∪ a2 ∈ ~B( Cη. Pour tousa1,a2 ∈ B, on a

donc∀b ∈ ~Bη

⋃β∈b

γ ; (β, γ) ∈ a1 ∪ a2 ∈ ~Cη .

De plus, pour toutb ∈ ~Bη, on a⋃β∈b

γ ; (β, γ) ∈ a1 ∪ a2 =⋃β∈b

γ ; (β, γ) ∈ a1 ∪⋃β∈b

γ ; (β, γ) ∈ a2 .

Donc, comme, par hypothèse d’induction,~Cη est un espace cohérent, pour toutb ∈ ~Bη, on a⋃a∈B

⋃β∈b

γ ; (β, γ) ∈ a ∈ ~Cη .

Enfin, on obtient∀b ∈ ~Bη

⋃β∈b

γ ; (β, γ) ∈⋃B ∈ ~Cη .

Exemple 9.6.5.On a~∀X X = ∅ et~(∀X X( ∀X X) = D.

Théorème 9.6.6.Soit

x1 : A1, . . . , xm : Am, y1 : [B1]! , . . . , yn : [Bn]! , z1 : [C1]§, . . . , zp : [Cp]§ `ILAL N t : A

un jugement dérivable. Soitρ un environnement et soitη une application deP versD∗ telles que :– pour1 ≤ i ≤ m,ρ(xi) ∈ ~Aiη ;– pour1 ≤ j ≤ n, ρ(y j) ∈ D × −1 et siρ(y j) = (d,−1), alors d∈ ~Bjη ;– et pour1 ≤ k ≤ p, ρ(zk) ∈ D × −2 et siρ(zk) = (d,−2), alors d∈ ~Ckη.

Alors~tρ ∈ ~Aη.

Démonstration.Par induction sur la dérivation.– Dans le cas où la dérivation se termine parx : B,Γ ` u : C FO(x,u) ≤ 1

( IΓ ` λx.u : (B( C)

: par le Lemme 9.6.2,pour toutb ∈ ~Bη non vide, on a

⋃β∈b~uρ[x:=β] = ~uρ[x:=b] ∈ ~Cη.

– Dans le cas où la dérivation se termine parΓ ` u : !C x : [C]! ,Γ ` v : A!E

Γ ` let u be !x in v : A:

– par hypothèse d’induction, pour touta ∈ ~uρ, ~vρ[x:=(a,−1)] ∈ ~Aη ;– par hypothèse d’induction,~uρ ∈ ~!Cη donc, pour tousa1,a2 ∈ ~uρ, par définition de~!Cη, a1 ∪ a2 ∈ ~Cη donc, par hypothèse d’induction,~vρ[x:=(a1∪a2,−1)] ∈ ~Aη donc, parle Lemme 9.6.3,~vρ[x:=(a1,−1)] ∪ ~vρ[x:=(a2,−1)] ∈ ~Aη ;

donc, comme~Aη est un espace cohérent,⋃

a∈~uρ~vρ[x:=(a,−1)] ∈ ~Aη.

Ce travail exploite plusieurs idées :– les termes non typés ont une expressivité au moins aussi forte que ceux typables au second

ordre ;– un terme est sans erreur (respectivement se réduit en un terme sans erreur) si, et seulement si,

il est typable dans un système de types avec intersection sans le type universel omega (respec-tivement avec le type universel omega) ;


– le ! correspond à une intersection ;– un système de types avec intersection avec omega induit une sémantique pour des termes non

typés ;– une sémantique des termes non typés induit une sémantique des termes du second ordre.

Le dernier point est d’autant plus intéressant ici que tant que l’on se restreint aux fragments propo-sitionnels de ELL (respectivement de LLL) et de ses variantes, on n’obtient pas de résultat de com-plétude par rapport à l’ensemble des fonctions élémentaires (respectivement en temps polynomial).Ainsi, en ce sens, le travail de Baillot ([3]) n’était pas complet.

En exploitant ces mêmes idées, plusieurs variantes sont possibles :– on pourrait l’appliquer à différents calculs, par exemple :

– au lieu d’être affine, le calcul serait linéaire ;– au lieu d’être léger, le calcul serait élémentaire (à la manière deELL).

– plusieurs systèmes de types avec intersection sont possibles, en particulier, on pourrait utiliserune intersection non idempotente (comme dans le SystèmeR introduit au Chapitre 6) et/oudéfinir une relation de cohérence surD.

Si on utilisait une intersection non idempotente, on pourrait alors peut-être utiliser les résultatsdu chapitre précédent pour démontrer des propriétés de correction de certains systèmes à complexitéimplicite.


Pour prendre congé

195

Nous ne voulons pas ici revenir sur les résultats présentés dans notre thèse, mais plutôt mettre enévidence qu’elle a fait naître de nouvelles questions susceptibles de produire de nouveaux résultats.

Tout d’abord, dans le Chapitre 3, nous avons présenté une nouvelle axiomatique d’un modèlecatégorique de IMELL. Il est légitime de se demander si cette présentation ne serait pas équivalenteà une autre présentation en termes d’adjonction relativement à une 2-catégorie. Plus précisément, uneconjecture raisonnable et qui semble très accessible à vérifier est la suivante : notre définition seraitéquivalente à la donnée d’une semi-adjonction monoïdale symétrique normale entre une catégoriemonoïdale symétrique fermée et une catégorie cartésienne telle que le semi-foncteur adjoint à gauchesoit un foncteur.

Nous avons présenté une manière canonique de rajouter des exponentielles à un modèle des ré-seaux differentiels avec sommes infinies et coefficients réels positifs. D’autres moyens canoniquesexistent dans d’autres cadres, en particulier celui des catégories monoïdales avec trace. Quel est lerapport entre ces deux moyens ?

Dans le cas particulier du modèle relationnel des suites finies, peut-on retrouver la comonadefaible par une construction alternative à celle de la formule de Taylor-Ehrhard ?

Nous avons conjecturé que l’interprétation d’une preuve dans le non-modèle relationnel des suitesfinies du Chapitre 7 diminuait au cours de la réduction. On peut aussi vouloir un résultat plus précissur l’évolution de l’interprétation au cours de la réduction : l’interprétation semble invariante modulocertaines actions de groupes sur les suites finies qui sont les points de l’interprétation des exponen-tielles...

On a vu que la formule de Taylor-Ehrhard permet de considérer sérieusement de nouveaux can-didats à être des modèles de la logique linéaire. Nous devrions sans peine pouvoir exhiber de telsmodèles pour le fragment intuitionniste (penser seulement que toute algèbre de groupe est une bi-gèbre cocommutative...). Cependant, le cas classique est plus problématique si nous ne voulons pasnous restreindre à la catégorie des ensembles et relations : la catégorie desk-espaces vectoriels n’étantpas∗-autonome, on est amené a devoir considérer des espaces vectoriels topologiques.

Par ailleurs, il est clair que notre définition sémantique du temps de calcul donnée au Chapitre 8peut être étendue à d’autres modèles (ne serait-ce qu’au modèle relationnel des suites finies) : peut-onobtenir une définition sémantique très générale (catégorique) de temps de calcul ?

Ce travail pourrait certainement être adapté afin d’obtenir une relation entre les sémantiques rela-tionnelles des réseaux et le nombre d’étapes d’élimination des coupures des réseaux selon une straté-gie qui mime la réduction linéaire de tête.

Enfin, on devrait pouvoir utiliser les résultats du Chapitre 8 et les idées exploitées dans le Chapitre9 afin d’obtenir des résultats de correction pour certains systèmes à complexité implicite (nous pensonsen particulier à DLAL et à IEAL).

197

198 POUR PRENDRE CONGÉ

Annexe A

Quelques calculs

Cette annexe a pour objectif de prouver le Lemme 3.3.16.

Fait A.0.7. Pour tout entier q≥ 1, on a

ρ⊗qk=1 T(Bk) (id⊗q

k=1 T(Bk) ⊗ canq) (q⊗

k=1

idT(Bk) ⊗

q⊗k=1

wBk) ∼〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

cBk

=

q⊗k=1

idT(Bk) .

Démonstration.Par induction surq.Si q = 1, on a

ρ⊗qk=1 T(Bk) (id⊗q


k=1

idT(Bk) ⊗

q⊗k=1

wBk) ∼〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

cBk

= ρT(B1) (idT(B1) ⊗ wB1) (idT(B1) ⊗ idT(B1)) cB1

= idT(B1)

(car (T(B1), cB1,wB1) est un comonoïde dansC)

=

q⊗k=1

idT(Bk) .

Supposons le Fait démontré pour un certainq. On a

ρ⊗q+1k=1 T(Bk) (id⊗q+1

k=1 T(Bk) ⊗ canq) (id⊗q+1k=1 T(Bk) ⊗ ρ

⊗qk=1 I ) ∼

⊗qk=1 T(Bk),

⊗qk=1 I ,T(Bq+1),I

= ρ⊗q+1k=1 T(Bk) (id⊗q+1

k=1 T(Bk) ⊗ canq) α⊗qk=1 T(Bk),T(Bq+1),

⊗qk=1 I (id⊗q

k=1 T(Bk) ⊗ γ⊗q

k=1 I ,T(Bq+1))

α⊗qk=1 T(Bk),

⊗qk=1 I ,T(Bq+1)

−1 (id⊗qk=1 T(Bk)⊗

⊗qk=1 I ⊗ ρT(Bq+1))


= ρ⊗q+1k=1 T(Bk) α

⊗qk=1 T(Bk),T(Bq+1),I (id⊗q

k=1 T(Bk) ⊗ γI ,T(Bq+1)) (id⊗qk=1 T(Bk) ⊗ (canq ⊗ idT(Bq+1)))

α⊗qk=1 T(Bk),

⊗qk=1 I ,T(Bq+1)

−1 (id⊗qk=1 T(Bk)⊗

⊗qk=1 I ⊗ ρT(Bq+1))

(par naturalité deα et deγ)

= (id⊗qk=1 T(Bk) ⊗ λT(Bq+1)) (id⊗q

k=1 T(Bk) ⊗ (canq ⊗ idT(Bq+1)))

α⊗qk=1 T(Bk),

⊗qk=1 I ,T(Bq+1)

−1 (id⊗qk=1 T(Bk)⊗

⊗qk=1 I ⊗ ρT(Bq+1))

199

200 ANNEXE A. QUELQUES CALCULS

= (id⊗qk=1 T(Bk) ⊗ λT(Bq+1)) α⊗q

k=1 T(Bk),I ,T(Bq+1)−1 ((id⊗q

k=1 T(Bk) ⊗ canq) ⊗ idT(Bq+1))

(id⊗qk=1 T(Bk)⊗

⊗qk=1 I ⊗ ρT(Bq+1))

(par naturalité deα)

= (ρ⊗qk=1 T(Bk) ⊗ idT(Bq+1)) ((id⊗q

k=1 T(Bk) ⊗ canq) ⊗ idT(Bq+1)) (id⊗qk=1 T(Bk)⊗

⊗qk=1 I ⊗ ρT(Bq+1))

= (ρ⊗qk=1 T(Bk) (id⊗q

k=1 T(Bk) ⊗ canq)) ⊗ ρT(Bq+1)

donc on a

ρ⊗k=1 T(Bk) (id⊗q+1

k=1 T(Bk) ⊗ canq+1) (q+1⊗k=1

idT(Bk) ⊗

q+1⊗k=1

wBk) ∼〈T(B1),...,T(Bq+1)〉

q+1⊗k=1

cBk

= ρ⊗q+1k=1 T(Bk) (id⊗q+1

k=1 T(Bk) ⊗ canq) (id⊗q+1k=1 T(Bk) ⊗ ρ

⊗qk=1 I ) ∼

⊗qk=1 T(Bk),

⊗qk=1 I ,T(Bq+1),I

((q⊗

k=1

idT(Bk) ⊗

q⊗k=1

wBk) ⊗ (idT(Bq+1) ⊗ wBq+1)) (∼〈T(B1),...,T(Bq)〉 ⊗(idT(Bq+1) ⊗ idT(Bq+1)))

(q⊗

k=1

cBk ⊗ cBq+1)

= ((ρ⊗qk=1 T(Bk) (id⊗q

k=1 T(Bk) ⊗ canq)) ⊗ ρT(Bq+1))

((q⊗

k=1

idT(Bk) ⊗

q⊗k=1

wBk) ⊗ (idT(Bq+1) ⊗ wBq+1)) (∼〈T(B1),...,T(Bq)〉 ⊗(idT(Bq+1) ⊗ idT(Bq+1)))

(q⊗

k=1

cBk ⊗ cBq+1)

= (ρ⊗qk=1 T(Bk) (id⊗q


k=1

idT(Bk) ⊗

q⊗k=1

wBk) ∼〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

cBk)

⊗(ρT(Bq+1) (idT(Bq+1) ⊗ wBq+1) cBq+1)

=

q⊗k=1

idT(Bk) ⊗ (ρT(Bq+1) (idT(Bq+1) ⊗ wBq+1) cBq+1)


=

q+1⊗k=1

idT(Bk)

(car (T(Bq+1), cBq+1,wBq+1) est un comonoïde dansC).

Fait A.0.8. Pour tout entier q≥ 1, pour toute flèche f de T(Bq+1) vers T(Bq+1), on a

((ρ⊗qk=1 T(Bk) (id⊗q

k=1 T(Bk) ⊗ wBq+1)) ⊗ (λT(Bq+1) ((canq

q⊗k=1

wBk) ⊗ f )))

∼〈T(B1),...,T(Bq+1)〉

q+1⊗k=1

cBk

=

q⊗k=1

idT(Bk) ⊗ f .

201

Démonstration.On a

((ρ⊗qk=1 T(Bk) (id⊗q

k=1 T(Bk) ⊗ wBq+1)) ⊗ (λT(Bq+1) ((canq

q⊗k=1

wBk) ⊗ f )))

∼〈T(B1),...,T(Bq+1)〉

q+1⊗k=1

cBk

= (ρ⊗qk=1 T(Bk) ⊗ (λT(Bq+1) canq)) ∼⊗q

k=1 T(Bk),⊗q

k=1 I ,I ,T(Bq+1)

((q⊗

k=1

idT(Bk) ⊗

q⊗k=1

wBk) ⊗ (wBq+1 ⊗ f )) (∼〈T(B1),...,T(Bq)〉 ⊗(idT(Bq+1) ⊗ idT(Bq+1))) q+1⊗k=1

cBk


k=1 T(Bk) ⊗ canq)) ⊗ λT(Bq+1)) ((q⊗

k=1

idT(Bk) ⊗

q⊗k=1

wBk) ⊗ (wBq+1 ⊗ f ))

(∼〈T(B1),...,T(Bq)〉 ⊗(idT(Bq+1) ⊗ idT(Bq+1))) (q⊗

k=1

cBk ⊗ cBq+1)




k=1

idT(Bk) ⊗

q⊗k=1

wBk) ∼〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

cBk)

⊗(λT(Bq+1) (wBq+1 ⊗ f ) (idT(Bq+1) ⊗ idT(Bq+1)) cBq+1)

=

q⊗k=1

idT(Bk) ⊗ f

(par le Fait A.0.7).

Fait A.0.9. On a

T(λBq+1 ((w⊗qk=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

δBk) ⊗ dBq+1)) m〈T(B1),...,T(Bq+1)〉

q+1⊗k=1

δBk

= T(idBq+1) λT(Bq+1) ((canq

q⊗k=1

wBk) ⊗ idT(Bq+1)) .

Démonstration.On a

T(λBq+1 ((w⊗qk=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

δBk) ⊗ dBq+1)) m〈T(B1),...,T(Bq+1)〉

q+1⊗k=1

δBk

= T(λBq+1) T(w⊗qk=1 T(Bk) ⊗ idBq+1) T(m〈T(B1),...,T(Bq)〉 ⊗ idBq+1)

m〈T(T(B1)),...,T(T(Bq)),Bq+1〉 (q⊗

k=1

T(δBk) ⊗ T(dBq+1)) q+1⊗k=1

δBk



= T(λBq+1) T(w⊗qk=1 T(Bk) ⊗ idBq+1) T(m〈T(B1),...,T(Bq)〉 ⊗ idBq+1)

m〈T(T(B1)),...,T(T(Bq)),Bq+1〉 (q⊗

k=1

δT(Bk) ⊗ T(idBq+1)) (q⊗

k=1

δBk ⊗ idT(Bk))

(car (T,m, n) est une comonade faible)

= T(λBq+1) mI ,T(Bq+1)

((T(w⊗qk=1 T(Bk)) T(m〈T(B1),...,T(Bq)〉) m〈T(T(B1)),...,T(T(Bq))〉

q⊗k=1

δT(Bk)) ⊗ T(idBq+1))

(q⊗

k=1

δBk ⊗ idT(Bk))


= T(λBq+1) mI ,T(Bq+1) ((T(w⊗qk=1 T(Bk)) δ

⊗qk=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq)〉) ⊗ T(idBq+1))

(q⊗

k=1

δBk ⊗ idT(Bk))


= T(λBq+1) mI ,T(Bq+1) ((T(w⊗qk=1 T(Bk)) δ

⊗qk=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq)〉) ⊗ idT(Bq+1))

(q⊗

k=1

δBk ⊗ idT(Bk))

(par normalité dem)

= T(λBq+1) mI ,T(Bq+1) (n ⊗ idT(Bq+1)) ((w⊗qk=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

δBk) ⊗ idT(Bq+1))

(carw⊗qk=1 T(Bk) est un morphisme de cogèbres)

= T(λBq+1) mI ,T(Bq+1) (n ⊗ idT(Bq+1)) ((canq

q⊗k=1

wT(Bk)

q⊗k=1

δBk) ⊗ idT(Bq+1))

(par monoïdalité dew)

= T(λBq+1) mI ,T(Bq+1) (n ⊗ idT(Bq+1)) ((canq

q⊗k=1

wBk) ⊗ idT(Bq+1))

(wBk est un morphisme de cogèbres)

= T(idBq+1) λT(Bq+1) ((canq

q⊗k=1

wBk) ⊗ idT(Bq+1))

(par monoïdalité de (T,m, n)).

Fait A.0.10. On a

T(ρ⊗qk=1 T(Bk)) T(

q⊗k=1

idT(Bk) ⊗ wBq+1) m〈T(B1),...,T(Bq+1)〉

q+1⊗k=1

δBk

= m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

δBk ρ⊗q

k=1 T(Bk) (id⊗qk=1 T(Bk) ⊗ wBq+1) .

203

Démonstration.

T(ρ⊗qk=1 T(Bk)) T(

q⊗k=1

idT(Bk) ⊗ wBq+1) m〈T(B1),...,T(Bq+1)〉

q+1⊗k=1

δBk

= T(ρ⊗qk=1 T(Bk)) m〈T(B1),...,T(Bq),I〉 (T(

q⊗k=1

idT(Bk)) ⊗ T(wBq+1)) q+1⊗k=1

δBk


= T(ρ⊗qk=1 T(Bk)) m⊗q

k=1 T(Bk),I (id⊗qk=1 T(T(Bk)) ⊗ n) (m〈T(B1),...,T(Bq)〉 ⊗ idI )

(q⊗

k=1

δBk ⊗ wBq+1)

((T, δ,d) est une comonade faible etwBq+1 est un morphisme de cogèbres)

= T(id⊗qk=1 T(Bk)) ρ

⊗qk=1 T(Bk) (m〈T(B1),...,T(Bq)〉 ⊗ idI ) (

q⊗k=1

δBk ⊗ wBq+1)

(((T, δ,d),m, n) est monoïdal)

= T(id⊗qk=1 T(Bk)) m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

δBk ρ⊗q

k=1 T(Bk) (id⊗qk=1 T(Bk) ⊗ wBq+1)


= m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

δBk ρ⊗q

k=1 T(Bk) (id⊗qk=1 T(Bk) ⊗ wBq+1)

(par normalité dem).

Lemme (3.3.16).Pour tout entier q≥ 1, on a

(T(ρ⊗qk=1 T Bk

(q⊗

k=1

idT Bk ⊗ wBq+1))


q⊗k=1

δBk) ⊗ dBq+1)))

c⊗q+1k=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq+1)〉

q+1⊗k=1

δBk

= (m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1



Démonstration.On a

(T(ρ⊗qk=1 T Bk

(q⊗

k=1

idT Bk ⊗ wBq+1))


q⊗k=1

δBk) ⊗ dBq+1)))

c⊗q+1k=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq+1)〉

q+1⊗k=1

δBk

= (T(ρ⊗qk=1 T Bk

(q⊗

k=1

idT Bk ⊗ wBq+1)) ⊗ T(λBq+1 ((w⊗qk=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

δBk) ⊗ dBq+1)))

(m〈T B1,...,T Bq+1〉 ⊗m〈T B1,...,T Bq+1〉) ∼〈TT B1,...,TT Bq+1〉

q+1⊗k=1

cT Bk

q+1⊗k=1

δBk

(carc est monoïdale)

= ((T(ρ⊗qk=1 T Bk

) T(q⊗

k=1

idT Bk ⊗ wBq+1) m〈T B1,...,T Bq+1〉)

⊗(T(λBq+1 ((w⊗qk=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

δBk) ⊗ dBq+1)) m〈T B1,...,T Bq+1〉))

∼〈TT B1,...,TT Bq+1〉

q+1⊗k=1

((δBk ⊗ δBk) cBk)

(carδBk est un morphisme de comonoïdes)

= ((T(ρ⊗qk=1 T Bk

) T(q⊗

k=1

idT Bk ⊗ wBq+1) m〈T B1,...,T Bq+1〉)

⊗(T(λBq+1 ((w⊗qk=1 T(Bk) m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

δBk) ⊗ dBq+1)) m〈T B1,...,T Bq+1〉))

(q+1⊗k=1

δBk ⊗

q+1⊗k=1

δBk) ∼〈T(B1),...,T(Bq+1)〉

q+1⊗k=1

cBk

= ((m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

δBk ρ⊗q

k=1 T(Bk) (id⊗qk=1 T(Bk) ⊗ wBq+1))

⊗(T(idBq+1) λT(Bq+1) ((canq

q⊗k=1

wBk) ⊗ idT(Bq+1))))

∼〈T(B1),...,T(Bq+1)〉

q+1⊗k=1

cBk

(par les Faits A.0.9 et A.0.10)

= ((m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1

δBk) ⊗ T(idBq+1)) (q⊗

k=1

idT(Bk) ⊗ idT(Bq+1))

(par le Fait A.0.8)

205

= (m〈T(B1),...,T(Bq)〉

q⊗k=1



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210 BIBLIOGRAPHIE

Résumé.Cette thèse étudie les exponentielles de la logique linéaire sous différents aspects.Des exponentielles hétérodoxes avec un travail sur une variante du lambda-calcul proposée par

Terui (le lambda-calcul “light”) qui permet de représenter toutes les fonctions calculables en tempspolynomial, et seulement elles. Ce calcul s’inspire du système LLL de Girard et contrôle le tempsde calcul en décomposant la beta-réduction en étapes correspondant à des étapes de réduction delogique linéaire, au moyen d’un mécanisme de pattern-matching. Nous développons pour ce langageun système de types avec intersection garantissant l’absence de deadlocks durant la réduction.

Nous intéressant toujours aux types avec intersection, nous avons travaillé ensuite sur le lambda-calcul usuel, cherchant à établir des liens plus généraux entre temps de calcul et types. Dans ce but,nous avons considéré un système de types avec intersections non idempotentes, basé sur le modèlerelationnel multiensembliste du lambda-calcul. Ce système est essentiellement identique à un systèmede types introduit en 1980 par Coppo, Dezani et Venneri, que nous situons ainsi dans son environne-ment naturel : une catégorie de co-Kleisli au-dessus de la catégorie des ensembles et des relations.Nous avons établi un lien étroit entre la taille des dérivations de types des termes dans ce système etleur temps d’exécution dans la machine de Krivine, un modèle d’évaluation des lambda-termes prochedes machines à environnement utilisées en pratique pour l’évaluation des langages de programmationfonctionnels. Notre résultat peut être vu comme un raffinement quantitatif du théorème bien connuqui énonce qu’un lambda-terme est normalisable si et seulement si il est typable dans les types avecintersection.

Enfin, nous étudions la sémantique de la logique linéaire différentielle, un formalisme que Eh-rhard a introduit il y a quelques années avec Régnier et dont il a récemment montré avec Laurentqu’il fournit un nouveau modèle du calcul concurrent et mobile. Nous avons considéré des modèlesdu fragment finitaire de cette logique (sans promotion) et montré comment on pouvait définir la pro-motion en utilisant une version catégorique de la formule de Taylor. Nous avons obtenu ainsi dessemi-foncteurs pour interpréter les exponentielles de la logique linéaire et en avons étudié les pro-priétés, en fonction des propriétés algébriques (commutativité et cocommutativité) de l’interprétationfinitaire sous-jacente. Nous avons obtenu de cette façon de nouveaux modèles, où les exponentielles(orthodoxes) ont des interprétations non standard, ainsi que des interprétations non invariantes parréduction, qui ont sûrement un grand intérêt pour l’étude de l’élimination des coupures.

Mots-clés :sémantique dénotationnelle ; lambda-calcul ; logique linéaire ; types avec intersection ;réseaux différentiels ; temps de calcul ; complexité implicite.

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THÈSE Daniel DE CARVALHOiml.univ-mrs.fr/theses/files/de_carvalho-these.pdf · 2007-10-16 · M. Lorenzo TORTORA DE FALCO Rapporteur. Kate. Table des matières Remerciements 9 Introduction