Avant-propos

Cet ouvrage présente les vibrations des milieux solides élastiques, il est issu des cours donnés aux élèves ingénieurs de l’Institut national des sciences appliquées de Lyon (département Génie mécanique construction), et aux étudiants du diplôme d’études approfondies d’acoustique de Lyon.

L’ouvrage s’adresse aux étudiants des formations de mécanique et d’acoustique (élèves ingénieurs ou universitaires), aux doctorants et aux ingénieurs désirant se spécialiser dans le domaine de la dynamique vibratoire et plus particulièrement vers les vibrations de l’acousticien, c’est-à-dire à fréquence moyenne et haute et où la double présentation modale et ondulatoire est nécessaire.

Ce texte a l’ambition de permettre une bonne compréhension des phénomènes physiques et des méthodes de prévision, il offre de plus une synthèse des résultats de référence sur les vibrations des poutres et des plaques. Trois aspects sont développés : la modélisation, la description des phénomènes et les méthodes de calcul. Un but important est de faire comprendre au lecteur les limites qui se cachent derrière toute modélisation. A ce titre, des exemples simples sont proposés et différentes modélisations d’un même problème font l’objet de confrontations (dans l’étude des vibration transversales des poutres par exemple).

Les premiers chapitres s’intéressent à la modélisation. Les vibrations des milieux tridimensionnels sont présentées au chapitre 1, les équations qui décrivent leur comportement sont établies grâce aux lois de conservation qui régissent les milieux mécaniques. Un deuxième chapitre pose le problème en terme de formulation variationnelle. Cette approche est fondamentale pour obtenir de façon systématique les équations des milieux continus simplifiés (on dit aussi condensés) comme les poutres, les plaques ou les coques. Ces milieux continus simplifiés sont souvent des modèles suffisants pour décrire le comportement vibratoire des objets rencontrés en pratique, mais leur importance est aussi liée à la richesse des informations qui sont

14 Vibrations des milieux continus

accessibles grâce aux solutions analytiques des équations qui les caractérisent. Cependant ces modèles étant obtenus par des simplifications a priori des champs de déplacements et de contraintes tridimensionnels, il est nécessaire de bien maîtriser les hypothèses sous-jacentes pour les utiliser à bon escient. Le but des chapitres 3 et 4 est de fournir ces hypothèses dans le cas des poutres et des plaques. La mise en équation est effectuée grâce aux formulations variationnelles de Reissner et de Hamilton. La seconde est la plus classiquement utilisée, mais nous avons très largement fait usage de la première car les limites du modèle condensé ainsi obtenu sont plus facilement établies. Cette approche est originale dans les ouvrages de vibrations qui n’accordent que très peu de place à l’établissement des modèles simplifiés de solides élastiques.

Les chapitres 5, 6 et 7 exposent les différents aspects du comportement des poutres et des plaques en vibrations libres. Les modes de vibrations et la décomposition modale de la réponse à des conditions initiales sont décrits, mais aussi l’approche ondulatoire et la définition des sources images liées aux réflexions sur les limites. On insiste aussi sur l’influence des « effets secondaires » comme le cisaillement dans les problèmes de flexion des poutres. D’un point de vue général la discussion des phénomènes est réalisée à deux niveaux : celui du mécanicien en termes de modes et celui de l’acousticien en termes de propagation d’ondes ; les notions de vitesse de propagation et de vitesse de groupe sont exposées.

Les principaux résultats analytiques sur les modes de vibrations des poutres et des plaques rectangulaires et circulaires sont fournis. Pour les plaques rectangulaires les conditions aux limites même simples n’autorisent souvent pas les calculs analytiques, nous exposons dans ce cas la méthode de l’effet de bord qui fournit une approximation qui est discutée.

Le chapitre 8 est consacré à la modélisation de l’amortissement, on montre que les dissipations localisées aboutissent à la notion de modes complexes et à une difficulté de résolution bien plus grande que pour les cas d’amortissement réparti où la notion classique de modes de vibrations réels subsiste.

Le calcul de la réponse vibratoire forcée fait l’objet de deux chapitres, d’abord la décomposition modale de la réponse (chapitre 9) où les notions classiques de masse, raideur et force généralisées sont introduites, puis la décomposition en ondes forcées (chapitre 10) qui offre une alternative à la méthode précédente, très performante pour les milieux monodimensionnels excités ponctuellement.

Pour la décomposition modale les calculs de réponse sont conduits dans l’espace fréquence et dans l’espace temps. Les mêmes cas sont traités de façon à bien mettre en évidence les spécificités des deux techniques de calcul. Enfin la convergence des séries modales et le moyen de l’accélérer sont étudiés.

Avant-propos 15

Pour la décomposition en ondes forcées, nous montrons comment traiter le cas d’excitations réparties et non harmoniques à partir de la solution pour une excitation ponctuelle harmonique. On aboutit à la notion d’équation intégrale et à son idée force : utiliser la solution d’un cas simple pour traiter un cas compliqué.

Les chapitres 11 et 12 abordent les problèmes d’approximation des solutions des problèmes vibratoires par la méthode de Rayleigh-Ritz. Cette méthode utilise directement la pose variationnelle des problèmes. L’approche classique basée sur la fonctionnelle de Hamilton est utilisée et la convergence des solutions étudiées est illustrée par des exemples ; le quotient de Rayleigh – directement issu de cette approche – est aussi introduit.

Une deuxième approche est proposée, elle est basée sur la fonctionnelle de Reissner. C’est une méthode qui n’a pas fait l’objet d’exposé dans les ouvrages de vibrations et qui présente cependant quelques atouts que nous discutons sur des exemples.

Je voudrais terminer cet avant-propos en remerciant chaleureusement Monsieur Bernard Poirée qui a relu avec un soin extrême le manuscrit, m’a signalé de nombreux points qui ont fait l’objet d’améliorations sur la forme et même quelquefois sur le fond.

Cet ouvrage fait partie d’une collection créée par la Société Française d’Acoustique. Je félicite tous mes collègues acousticiens pour cette initiative et je les remercie d’avoir choisi de publier cet ouvrage dans ce cadre puis soutenu financièrement sa réalisation technique. Parmi tous ces acousticiens que je remercie, je ferai une place particulière à Claude Legros, le président de la SFA, qui m’a encouragé à me lancer dans cette aventure.