MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS CALCUL...

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

CALCUL TENSORIEL

Covariance et contravariance

Repère naturel

Notions de base (cas euclidien)

Géométrie différentielle

Accélération d’un point

Gradient, divergence

Symboles de Christoffel

Espace vectoriel et espace dual

Algèbre tensorielle

Opérations sur les tenseurs

Composantes mathématiques d ’un tenseur

Les tenseurs euclidiens

Expression de quelques opérateurs

Le tenseur métrique

Différentielle absolue, dérivée covariante

Tenseur métrique

Exemple 1 : coordonnées polaires

Accélération d’un point

Composantes physiques d ’un tenseur

CALCULTENSORIEL

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

E : e.v. sur un corps K

a1

a2

E* : formes linéaires de E vers K

a2

a1

u

u = xi ai u*(e) = u.e xi= u*(ai) = u.ai

identification de E et de E*

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Le tenseur métrique

Différentielle absolue, dérivée covariante

Tenseur métrique

Exemple 1 : coordonnées polaires

Accélération d’un point

Composantes physiques d ’un tenseur

Espace vectoriel et espace dual

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E : e.v. sur un corps K

a1

a2

b1

b2u

u = xi ai = yi bi

Composantes « contravariantes »

xi = u . ai et yi = u . bi

Composantes « covariantes »

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Opérations sur les tenseurs

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Les tenseurs euclidiens

Expression de quelques opérateurs

Le tenseur métrique

Différentielle absolue, dérivée covariante

Tenseur métrique

Exemple 1 : coordonnées polaires

Accélération d’un point

Composantes physiques d ’un tenseur

Covariance et contravariance

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

g : tenseur métrique caractérisant le système de coordonnées

x.y = xi yi = xi yi = gij xi yj = gij xi yj

a1

a2x

y

gij = ai .aj

gij = gij-1 x . y = xiyi = xiyi = gijxiyj = gijxiyj

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Le tenseur métrique

Différentielle absolue, dérivée covariante

Tenseur métrique

Exemple 1 : coordonnées polaires

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Composantes physiques d ’un tenseur

Le tenseur métrique

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

exemple :

u ⊗ v =

1

2

3

3

-14

3 -1 4

6 -2 8

9 -3 12

produit tensoriel = produit des composantes

Tenseur d ’ordre N = élément de E⊗E⊗E … ⊗E

N fois

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Les tenseurs euclidiens

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Composantesmixtes

Composantescovariantes

Composantescontravariantes

Si u ∈ E, alors u = ui ai = ui ai

Si T ∈ E⊗E, alors T = Tij ai ⊗ aj = Tij ai ⊗ aj = Tij ai ⊗ aj = Ti

j ai ⊗ aj

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Le tenseur métrique

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Tenseur métrique

Exemple 1 : coordonnées polaires

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Composantes physiques d ’un tenseur

Composantes mathématiques d ’un tenseur

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Composantes « physiques » d ’un tenseur=

projection sur les axes de coordonnées

Si u ∈ E, alors uI= u .ai

|| ai ||

Si T ∈ E⊗E, alors TIJ = T:ai ⊗ aj

|| ai ⊗ aj ||

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Composantes physiques d ’un tenseur Composantes physiques d ’un tenseur

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Z = X+Y : ordre 2 (somme des composantes de même type)

X et Y deux tenseurs d’ordre 2 (c’est-à-dire sur E⊗E)

Z = X-Y : ordre 2 (différence entre des composantes de même type

Z = X⊗Y : ordre 4 (produit des composantes)

Z = X.Y : ordre 2 (produit contracté)

Z = X:Y : ordre 0 (produit doublement contracté)

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Accélération d’un point

Composantes physiques d ’un tenseur

Opérations sur les tenseurs

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

M (x1)

(x2)

O

Lignes de coordonnées

ai =∂OM

∂xiEn chaque point M de l ’espace :

Tenseurmétriquelocal (gij)

a1

a2

Repère naturel

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Composantes physiques d ’un tenseur

Repère naturel

MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

M (x1)

(x2)

O

Symboles de Christoffel

a1

a2

∂ai

∂xk = Γikj aj

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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

uk,i =

∂uk

∂xi+ Γk

ji uj Terme « convectif » dû ausystème de coordonnées

M (x1)

(x2)

O

a1

a2

u

u+du

du = (∆u)k ak = duk ak + uk dak = (duk + Γkji uj dxi) ak

(∆u)k = uk,i dxi

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Différentielle absolue, dérivée covariante

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M (x1)

(x2)

O

Accélération d ’un point

Trajectoire(courbe paramétrée)

Terme « convectif »

a1

a2

v = dOM

dt=

∂OM

∂xi

dxi

dt= vi ai

γ = dv

dtγ i =

dvi

dt+ Γi

kl vk vl

Vitesse d ’un point

v

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Accélération d’un point

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M (x1)

(x2)

O

Gradient : Divergence :

A = Aij ai ⊗ aj

u = ui ai

u

div(u) = ui,i

div(A) = Aij,j a i

grad(u) = ui,j ai ⊗ aj

grad(A) = Aij,k ai ⊗ aj ⊗ ak

a1

a2

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Tenseur métrique

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(r)

(θ)

x1

x2 M

O

OM= r cos(θ)

= r sin(θ)

x1

x2

Tenseur métrique : [gij] = 1 0

0 r2[gij] =

1 0

0 1/r2

ur = u1 = u1

uθ = u2 /r = r u2Composantes physiques de u :

u = ui ai (contravariantes)

ui = u.ai (covariantes)

Repère naturel : a1

cos(θ)

sin(θ)

-r sin(θ)

r cos(θ)a2

a1

a2

u

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Composantes physiques d ’un tenseur

Tenseur métrique

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[Γ1ij] =

1 0

0 -r

0 1/r

1/r[Γ2

ij] = 0

Symboles de Christoffel :

vr = 0 γr = - vθ2 / r

Accélération radiale d’un point : γr = γ1 = + Γ1kl vk vl = - r (vθ /r)2

dv1

dt

dvr

dt

(r)

(θ)

x1

x2 M

O

OM= r cos(θ)

= r sin(θ)

x1

x2

a1

a2

u

[gij] = 1 0

0 r2[gij] =

1 0

0 1/r2

Tenseur métrique :

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Gradient, divergence

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Les tenseurs euclidiens

Expression de quelques opérateurs

Le tenseur métrique

Différentielle absolue, dérivée covariante

Tenseur métrique

Exemple 1 : coordonnées polaires

Accélération d’un point

Composantes physiques d ’un tenseur

Accélération d’un point