35039799 cours-commande-2009-2010

Département Automatique-Robotique

COMMANDE

COURS

Franck PLESTAN

Année 2009/2010

SOMMAIRE GENERAL COURS ------------------------------------------------------------------------------------------ 1 EXEMPLES DE SYNTHESES DE CORRECTEURS--------------------------------- 111

Commande SOMMAIRE GENERAL

Commande SOMMAIRE GENERAL

SOMMAIRE Chapitre 1: Généralités sur les Systèmes Asservis.................................................... 1 A. Un exemple................................................................................................................ 1 B. Chaîne de commande................................................................................................. 2 1. Chaîne de commande sans amplification de puissance .................................... 2 2. Chaîne de commande avec amplification de puissance.................................... 2 3. Entrées "secondaires" : les perturbations.......................................................... 2 C. Système en boucle fermée ......................................................................................... 2 D. Qualités d'un système asservi .................................................................................... 3 1. Stabilité ............................................................................................................. 3 2. Précision............................................................................................................ 4 3. Rapidité............................................................................................................. 4 E. Synthèse d'un asservissement .................................................................................... 4 F. Quelques types de régulateurs ................................................................................... 5 Chapitre 2: Modélisation des systèmes dynamiques linéaires continus .................. 7 A. Comportement d'un système dynamique................................................................... 7 B. Transformée de Laplace ............................................................................................ 9 1. Définition .......................................................................................................... 9 2. Propriétés .......................................................................................................... 10 3. Transformées classiques de Laplace................................................................. 11 C. Fonction de transfert .................................................................................................. 11 1. Définition .......................................................................................................... 11 2. Standardisation de l'écriture des fonctions de transfert .................................... 12 3. Principe de l'analyse des systèmes, entrées typiques........................................ 12 a. Entrées pour analyse temporelle.............................................................. 13 b. Entrée pour une analyse harmonique ...................................................... 13 D. Exemples de fonction de transfert ............................................................................. 15 1. Circuit RC......................................................................................................... 15 2. Circuit RLC....................................................................................................... 15 Chapitre 3: Systèmes linéaires continus du premier ordre ...................................... 17 A. Processus à constante de temps ................................................................................. 17 1. Définition .......................................................................................................... 17 2. Analyse temporelle ........................................................................................... 17 a. Réponse impulsionnelle........................................................................... 17 b. Réponse indicielle ................................................................................... 18 c. Réponse en vitesse................................................................................... 19 3. Analyse harmonique ......................................................................................... 21 a. Représentations de Bode et de Black ...................................................... 21 b. Représentation de Nyquist ...................................................................... 22 4. Conclusions....................................................................................................... 23 B. Un 1er ordre particulier : l'intégrateur ........................................................................ 23 1. Définition .......................................................................................................... 23

Cours de Commande SOMMAIRE

2. Analyse temporelle ........................................................................................... 24 a. Réponse impulsionnelle........................................................................... 24 b. Réponse indicielle ................................................................................... 24 3. Analyse harmonique ......................................................................................... 24 C. Système asservi du 1er ordre ...................................................................................... 25 1. Réponse indicielle............................................................................................. 26 2. Réponse en vitesse ............................................................................................ 26 Chapitre 4: Systèmes linéaires continus du second ordre ........................................ 27 A. Définition................................................................................................................... 27 B. Réponse à un échelon - dépassements, temps de réponse ......................................... 27 1. Cas n° 1 : ξ > 1 ................................................................................................. 27 2. Cas n° 2 : ξ = 1 ................................................................................................. 29 3. Cas n°3 : ξ < 1 ................................................................................................. 29 a. Calcul du temps de montée...................................................................... 31 b. Calcul du temps du 1er maximum............................................................ 31 c. Calcul des dépassements successifs ........................................................ 32 d. Coefficient d'amortissement ξ ................................................................. 32 e. Temps de réponse à 5%........................................................................... 33 C. Réponse harmonique ................................................................................................. 33 1. Etude du gain .................................................................................................... 35 a. Pulsation de résonance ............................................................................ 35 b. Facteur de surtension............................................................................... 35 c. Pulsation de coupure................................................................................ 36 2. Etude de la phase .............................................................................................. 36 3. Lieux de Black et de Nyquist............................................................................ 36 4. Conclusions....................................................................................................... 37 D. Système du second ordre bouclé ............................................................................... 37 Chapitre 5: Systèmes de degré quelconque-systèmes à retard ................................ 39 A. Fonction de transfert et forme canonique.................................................................. 39 B. Réponse harmonique, lieux de transferts................................................................... 39 1. Représentation dans le plan de Bode ................................................................ 40 2. Représentation dans le plan complexe : lieu de Nyquist .................................. 44 3. Représentation dans le plan de Black ............................................................... 44 4. Caractéristiques de la réponse fréquentielle ..................................................... 45 C. Système à déphasage minimal (ou non-minimal)...................................................... 45 1. Problème ........................................................................................................... 45 2. Définition .......................................................................................................... 45 3. Réponse indicielle d’un système à déphasage non minimal............................. 45 4. Exemple ............................................................................................................ 46 D. Système du second ordre équivalent à un système d’ordre quelconque .................. 49 E. Système à retard......................................................................................................... 50 1. Etude harmonique du retard pur ....................................................................... 50 2. Lieux de transfert .............................................................................................. 51 a. Lieu de Nyquist ....................................................................................... 51 b. Plan de Bode............................................................................................ 51


c. Lieu de Black........................................................................................... 52 Chapitre 6: Systèmes asservis linéaires continus ...................................................... 53 A. Fonction de transfert en boucle fermée ..................................................................... 53 1. Introduction....................................................................................................... 53 2. Sensibilité et sensibilité complémentaire.......................................................... 53 a. Sensibilité aux perturbations ................................................................... 53 b. Sensibilité aux erreurs de modèles .......................................................... 54 c. Sensibilité complémentaire...................................................................... 54 B. Réduction des schémas blocs .................................................................................... 54 C. Détermination graphique du lieu de transfert d’un système en boucle fermée ......... 56 1. Transformation transfert de boucle–transfert de sensibilité complémentaire... 56 2. Détermination graphique du lieu de transfert de la sensibilité complé. ........... 57 3. Détermination des paramètres du système en boucle fermée ........................... 58 D. Intérêt de la boucle fermée ........................................................................................ 60 1. Cas du 1er ordre ................................................................................................. 60 2. Cas d'un intégrateur. ......................................................................................... 61 3. Cas d'un deuxième ordre................................................................................... 61 E. Conclusions................................................................................................................ 61 Chapitre 7: Performances des systèmes linéaires asservis continus........................ 63

STABILITE DES SYSTEMES BOUCLES A. Définition................................................................................................................... 63 B. Exemples ................................................................................................................... 63 1. Système du 1er ordre ......................................................................................... 63 2. Système du 2ème ordre ....................................................................................... 63 C. Critères de stabilité d'un système bouclé................................................................... 64 1. Méthodes algébriques ....................................................................................... 65 2. Méthodes graphiques ........................................................................................ 68 a. Critère de Nyquist.................................................................................... 68 (1) Théorème de Cauchy.................................................................... 68 (2) Application à l’analyse de la stabilité .......................................... 68 (3) Cas des pôles de L(s) appartenant au contour de Nyquist............ 71 b. Critère du revers ...................................................................................... 74 (1) Critère du revers dans le plan de Bode......................................... 76 (2) Critère du revers dans le plan de Black-Nichols.......................... 76 3. Influence du gain statique sur la stabilité ......................................................... 77 D. Degré de stabilité d'un système bouclé ..................................................................... 77

PRECISION STATIQUE DES SYSTEMES ASSERVIS E. Introduction................................................................................................................ 78 F. Système sans perturbation et entrée variable ............................................................. 78 1. Système de classe 0........................................................................................... 79 2. Système de classe 1........................................................................................... 79 3. Système de classe 2........................................................................................... 80 G. Système avec perturbations seules ............................................................................ 80


PRECISION DYNAMIQUE DES SYSTEMES ASSERVIS

H. Introduction ............................................................................................................... 81 I. Critères de performance.............................................................................................. 82 1. Critère IAE (Integral of Absolute Error) .......................................................... 82 2. Critère ISE (Integral of Square Error) .............................................................. 82 3. Critère ITAE (Time Multiplied by Absolute Error) ......................................... 82 4. Critère ITSE (Time Multiplied by Square Error) ............................................. 83 Chapitre 8: Synthèse de régulateurs dans le domaine fréquentiel .......................... 85 A. Introduction ............................................................................................................... 85 B. Régulateur à action proportionnelle .......................................................................... 86 C. Régulateur à action proportionnelle et dérivée.......................................................... 87 1. Correcteur à action P.D..................................................................................... 87 2. Correcteur à avance de phase ........................................................................... 88 D. Régulateur à action proportionnelle et intégrale ....................................................... 92 1. Correcteur à action P.I. ..................................................................................... 92 2. Correcteur à retard de phase ............................................................................. 94 3. Correcteur à retard de phase ou correcteur P.I. ?.............................................. 95 E. Régulateur à action proportionnelle, intégrale et dérivée.......................................... 95 1. Correcteur à action P.I.D. ................................................................................. 95 2. Correcteur à avance-retard de phase................................................................. 100 F. Conclusion générale................................................................................................... 101 Chapitre 9: Introduction aux techniques de régulation industrielle ....................... 103 A.Structures des régulateurs industriels......................................................................... 103 1. Régulateur en cascade....................................................................................... 103 2. Régulateur de tendance..................................................................................... 103 3. Chaîne d’anticipation........................................................................................ 104 B. Méthodes industrielles de synthèse d’un PID ........................................................... 104 1. Méthodes empiriques........................................................................................ 105 a) Méthode de Ziegler-Nichols ................................................................... 105 b) Méthode de Chien-Hrones-Reswick ....................................................... 106 2. Réglages après identification du processus ...................................................... 106 a) Modèle non évolutif ................................................................................ 106 b) Modèle évolutif ....................................................................................... 106 3. Structure des régulateurs PID ........................................................................... 107 Bibliographie................................................................................................................. 109


I. GENERALITES SUR LES SYSTEMES ASSERVIS

A. UN EXEMPLE

Il y a asservissement d'une grandeur y à une grandeur de consigne yc lorsqu'on force par un dispositif particulier la grandeur y à suivre au mieux l'évolution de la grandeur yc. Lorsque la consigne est constante, on parle en général de régulation ; si la constante est variable dans le temps, on parle de poursuite, ou d’asservissement. REGULATION DE TEMPERATURE On considère une douche dont le réglage est assuré par un mitigeur à commande manuelle, et on s'intéresse à la température de l'eau. • Réglage de la température à l'extérieur (par exemple, vestiaires sportifs) : la personne se

douchant n'a aucune possibilité d'agir sur la température de l'eau → Commande en boucle ouverte → il peut y avoir une différence importante entre la température souhaitée (consigne) et la température réelle.

• Le réglage se fait maintenant par une personne plaçant la main dans le jet de la douche :

cette personne a ainsi une information directe sur la température de l'eau (par une mesure) et agit alors de façon à diminuer l'erreur entre la température réelle et la consigne.

• Si la douche n'a pas été utilisée récemment, il s'écoule un certain laps de temps entre le

moment où on règle le mitigeur et celui où l'eau arrive à la bonne température. Le retard dû à la longueur des tuyauteries est un retard pur indépendant de la température de l'eau. Une deuxième cause de retard correspondant au refroidissement de l'eau chaude dû aux échanges thermiques avec les tuyauteries froides : ce refroidissement d'abord important diminue progressivement jusqu'au moment où les tuyauteries se sont réchauffées et où s'établit un équilibre thermique. On met ici en évidence la notion de constante de temps et de temps de réponse du système.

• Si, l'équilibre étant atteint, la température est trop chaude ou trop froide, l'utilisateur adapte

son réglage pour atteindre la température souhaitée : on a alors une réaction et mise en oeuvre d'une commande en boucle fermée.

• Si une autre personne tire de l'eau pendant l'utilisation de la douche, il peut y avoir des cas

de perturbations.

Cours de Commande 1

B. CHAINE DE COMMANDE

1. Chaîne de commande sans amplification de puissance

Ex : Braquage de la roue d'un vélo. L'angle de braquage de la roue est égal à l'angle entre la position finale et la position de départ.

PROCESSUSSignald'entrée

Signalde Sortie

→ Transmission directe du signal d'entrée vers la sortie.

2. Chaîne de commande avec amplification de puissance

Ex : Commande d'un four. Le réglage d'un four se fait par l'intermédiaire d'un gradateur qui va commander un organe permettant de dissiper suffisamment de chaleur.

xPosition du Potentiomètre

CourantPotentiomètre i Résistance Q

PuissanceCalorifique

FourT

Température

Amplification de puissance

3. Entrées "secondaires" : les perturbations

Ex : Commande d'un four → fuites thermiques.

xPosition du Potentiomètre

CourantPotentiomètre i Résistance Q

PuissanceCalorifique

FourT

Température+

-

Q'

En sortie du sommateur, on a alors (Q-Q'). En fait, cela montre bien qu'en boucle ouverte, on n'est pas du tout sûr d'avoir la température désirée dans le four : la commande en boucle ouverte n'est donc ni sûre, ni précise.

C. SYSTEME EN BOUCLE FERMEE Dans le cas général, un système asservi peut être représenté de la manière suivante :

Cours de Commande 2

CAPTEUR

SYSTEMEPROCESSUSACTIONNEUR

DETECTEUR D'ECARTREGULATEUR

ConsigneEntrée du Système

Sortie du Système

yc yu

On distingue : • Le calcul de l’erreur permet de comparer la valeur de la consigne à la valeur réelle de

la sortie (grandeur à réguler), • un régulateur qui calcule la commande de façon à ce que le système atteigne

l'objectif fixé, • un actionneur qui réalise l'interface de puissance, • un capteur permettant la mesure (ou l'estimation) de la valeur à réguler.

D. QUALITES D'UN SYSTEME ASSERVI Tous les systèmes asservis ont pour but d'assurer l'égalité (ou au moins la plus petite erreur) entre la consigne et la sortie. Le cahier des charges de tout système bouclé s'énonce au moins en 3 points :

STABILITE PRECISION RAPIDITE DE REPONSE

1. Stabilité

Un des risques majeurs de tout système bouclé dans un asservissement est l'oscillation. On considère le système suivant :

Consigneyc

yu

+

−

Si K est très grand, une faible errsortie y peut dépasser la consigneaussi importante. Le système peud'équilibre.

Cours de Commande

εe
SYSTEMEPROCESSUSK
eur e impose une commande u importante. Dans ce cas, la yc, entraînant ainsi une réaction en sens oppose mais toute t alors fortement osciller sans jamais trouver une position

3

2. Précision

Sur la figure précédente, l'écart e mesure la précision du système asservi. Or, puisque la commande u est déterminée à partir de l'erreur e, il est aisé de voir qu'une loi de commande du type u = K.e exigera un grand gain pour avoir une erreur e faible (e = u/K). Il faudra alors trouver un compromis pour le choix du gain afin d'éviter que le système ne devienne instable (voir précédemment).

3. Rapidité

C'est l'inertie propre du processus qui limite sa rapidité de réponse. On ne peut donc espérer rendre un processus plus rapide qu'en modifiant son signal de commande u (u grand de façon à faire réagir très vite le système). Néanmoins, il convient là encore de faire attention à des dépassements ou des saturations. ASSERVIR UN SYSTEME CONSISTE A CHERCHER UN REGULATEUR FAISANT UN COMPROMIS ENTRE RAPIDITE, PRECISION ET STABILITE : CELA SIGNIFIE QU'IL FAUT BIEN CONNAITRE LE SYSTEME.

E. SYNTHESE D'UN ASSERVISSEMENT

Identification Modélisation

Choix de la Commande

Synthèse du régulateur

EssaisExpérimentaux

Modélisation du processus Lois physiques ou essais en BO / BF

Continue ? Echantillonnée ? Quelle stratégie de calcul ?

Choix des paramètres du régulateur REGLAGE

Validation par simulation et essais réels

Cours de Commande 4

F. QUELQUES TYPES DE REGULATEURS On distingue trois grandes classes de régulateurs :

• Analogique : il est réalisé avec des composants analogiques et son signal de sortie évolue de manière continue avec le temps → système asservi continu.

• Numérique : il est réalisé à partir d'un système programmable et son signal de sortie est le résultat d'un algorithme de calcul → système asservi échantillonné.

• T.O.R. (Tout ou Rien).

Cours de Commande 5

Cours de Commande 6

II. MODELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES

CONTINUS Pour effectuer la commande et le réglage d'un système dynamique, il est important d'en connaître le comportement, et donc les relations mathématiques existant entre les grandeurs d'entrées et les grandeurs de sortie : on cherche le modèle mathématique du système. On peut distinguer deux sortes de modèles :

• Modèle de connaissance. C'est le modèle du physicien qui est obtenu en écrivant toutes les équations différentielles régissant le fonctionnement du système.

• Modèle de commande. C'est le modèle de l'ingénieur qui n'est qu'un modèle approché plus simple, mais suffisant pour appréhender le comportement dynamique du système.

A. COMPORTEMENT D'UN SYSTEME DYNAMIQUE

SYSTEMEe s

Sortie yEntrée u

Le but est de déterminer la relation reliant l'entrée de commande u et la sortie y du système. Définition Un système dynamique linéaire admet une relation entre son entrée u et sa sortie y de la forme d'une équation différentielle à coefficients constants :

m

m

mi

i

in

n

ndt

udbdtdububyadt

dyadt

ydadt

yda ⋅++⋅+⋅=⋅+⋅++⋅++⋅ 1001

(1)

La réalisation physique impose d'avoir m ≤ n, n étant l'ordre du système. On introduit ci-dessous la notion de régimes transitoire et permanent. On suppose que les dérivées de l'entrée u(t) n'interviennent pas :

ubyadtdya

dtyda

dtyda i

i

in

n

n ⋅=⋅+⋅++⋅++⋅ 001

(2)

Solution de l'équation sans second membre (ESSM)

001 =⋅+⋅++⋅++⋅ yadtdya

dtyda

dtyda i

i

in

n

n

(3)

Cours de Commande 7

Equation caractéristiquea r a r a r an

ni

i⋅ + ⋅⋅⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ + ⋅ + =1 0 0 (4) Comme tous les coefficients sont réels, on a alors n racines réelles ou complexes conjuguées :

a r r r r r rn n n⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ − =−( ) ( ) ( )1 1 0 (5) Solution de l'ESSM

trntrtr neKeKeKty ⋅⋅⋅ ⋅++⋅+⋅=

21 211 )( (6)

où les coefficients Ki sont les constantes d'intégration.

ri réel. Si ri < 0, alors lorsque t → ∞, → 0 : stable. K ei

r ti⋅ ⋅

Si ri > 0, alors lorsque t → ∞, → ∞ : instable. K eir ti⋅ ⋅

ri complexe conjugué. Il existe alors une autre racine ri+1 complexe conjuguée. On a donc :

r jr ji i i

i i i i

=

j i

+ ⋅

= + ⋅ = − ⋅+ + +

α ωα ω α1 1 1 ω

n

(7)

D'où :

K e K e M e tir t

ir t

it

ii i i⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ +⋅

+⋅ ⋅+

11 α ω φcos( ) (8)

On obtient un terme sinusoïdal modulé en amplitude par un terme exponentiel. Si αi<0, alors lorsque t → ∞, → 0 : stable. Si αe i tα ⋅

i>0, alors lorsque t → ∞, → ∞ : instable.

e i tα ⋅

∑∑==

+⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅

l

iiii

k

ii teMeKty

titir

111 )cos()( ϕω

α avec Mi réel et k l+ ⋅ =2

Conséquences • Racines réelles uniquement → régime libre apériodique. Stable si racines négatives. • Racines complexes uniquement → régime oscillatoire (instable). Disparaît si partie réelle

des racines négative. Solution particulière de l'équation complète (SPEC) (a0 ≠ 0). Cette solution correspond en fait au régime permanent.

• ')()( 2 KtyKtu =→= • )sin(')()sin()( 2 ϕωω +⋅⋅=→⋅⋅= tKtytKtu

Cours de Commande 8

→ Le régime permanent a la même forme que l'excitation. • Tout système (2) a une réponse en sortie composée d'un régime transitoire et d'un régime

permanent. • Le régime transitoire tend vers 0 si les racines de l'équation caractéristique sont à partie

réelle négative. Dans le cas contraire, le système est instable La résolution d'équation par cette voie peut être assez vite difficile et fastidieuse. Une façon de simplifier les calculs est d'utiliser la transformée de Laplace. En fait, la transformée de Laplace fournit un outil puissant de résolution dans un espace "fréquentiel" de problèmes posés dans l'espace "temporel" sous forme d'équations différentielles linéaires et à coefficients constants : elle permet en fait de transformer les équations différentielles en une simple équation algébrique.

B. TRANSFORMEE DE LAPLACE

1. Définition

Soit f(t) une fonction du temps, définie pour tout t ≥ 0. Soit s une variable complexe. On appelle Transformée de Laplace de la fonction f(t) la fonction de la variable complexe notée F(s) telle que :

F s f t e f t dts t( ) [ ( )] ( )= = ⋅− ⋅∞

∫L0

⋅ (9)

L'existence de F(s) suppose bien sûr que l'intégrale converge. Cette transformation est bijective ; f(t) est dite transformée inverse de F(s) :

f t F s( ) [ ( )]= L-1 (10) Exemple 1. Calculer la transformée de Laplace de f(t) =1 avec f(0)=0. On obtient alors :

F s e dts

es

s t s t( ) [ ]= = − ⋅− ⋅∞ − ⋅ ∞∫0 01 1

=

⋅

Exemple 2. Calculer la transformée de Laplace de f(t) = t avec f(0)=0.

F s e t dts t( ) = ⋅− ⋅∞

∫0

On pose :

u t u

v e vs

es t s t

= =

= = −− ⋅ − ⋅

'

'

11

⋅

On obtient alors :

Cours de Commande 9

F s u v dt u v u v dt

se t

se d

s se

s

s t s t

s t

( ) ' [ ] '

[ ]

[ ]

= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ − ⋅ =

t

∞ ∞ ∞

− ⋅ ∞ − ⋅∞

− ⋅ ∞

∫ ∫

∫0 0 0

0 0

0 2

1 1

1 1 1

2. Propriétés

• La Transformation de Laplace est une transformation linéaire : L[ ( ) ( )] ( ) ( )f t f t F s F s1 2 1 2+ = +

L[ ( )] ( )a f t a F s⋅ = ⋅

• La Transformée de Laplace de la dérivée d'une fonction f(t) est égale à :

L[ ] ( ) ( )dfdt

s F s f= ⋅ − 0

• La Transformée de Laplace de la dérivée seconde d'une fonction f(t) est égale à :

L[ ] ( ) ( ) ( )d fdt

s F s s f dfdt

2

22 0 0= ⋅ − ⋅ −

• La Transformée de Laplace de l'intégrale d'une fonction f(t) est égale à :

L[ ( ) ] ( ) ( ) ( )f t dt G ss

F ss

g⋅ = = ⋅ + ⋅∫1 1 0 , avec dg t

dtf t( ) ( )=

• Théorème du retard. Soit une fonction f(t) nulle pour t<0 et admettant une transformée

de Laplace F(s). Alors, si on retarde cette fonction d'un temps T, on obtient : L[ ( )] ( )f t T e F ss T− = ⋅− ⋅ L− − ⋅+ = ⋅1[ ( )] ( )F s a e f ta t

• Théorème de la valeur initiale. lim ( ) lim ( )

t sf t s F s

→ →∞+= ⋅

0

• Théorème de la valeur finale. lim ( ) lim ( )

t sf t s F s

→∞ →= ⋅

0

Ce dernier théorème est utilisé de manière fréquente dans la suite de ce cours pour déterminer la valeur de la sortie du système en régime permanent (une fois le régime transitoire terminé).

Cours de Commande 10

3. Transformées classiques de Laplace

f(t) pour t>0 F(s)

δ(t) 1 1 1

s

t 12s

tn

n−

−

1

1( )!

1sn

e a t− ⋅ 1s a+

t e a t⋅ − ⋅ 12( )s a+

cos( )ω ⋅ t ss2 2+ ω

sin( )ω ⋅ t ωωs2 2+

e ta t− ⋅ ⋅ ⋅cos( )ω s as a

++ +( )2 2ω

e ta t− ⋅ ⋅ ⋅sin( )ω ωω( )s a+ +2 2

e ta t− ⋅ ⋅ ⋅ +cos( )ω φ ( ) cos sin( )

s as a

+ ⋅ − ⋅+ +

φ ω φω2 2

C. FONCTION DE TRANSFERT

1. Définition

On considère un système dont toutes les conditions initiales sont nulles (conditions initiales des fonctions d'entrées et de sorties, ainsi que de leurs dérivées nulles. Dans la suite de ce cours, sauf précision explicite, cette hypothèse sur les conditions initiales sera toujours vraie). Le système est donc régi par l’équation :

m

m

mi

i

in

n

ndt

udbdtdububyadt

dyadt

ydadt

yda ⋅++⋅+⋅=⋅+⋅++⋅++⋅ 1001

(11)

En appliquant la Transformée de Laplace des dérivées, on obtient (Y(s) (resp. U(s)) représente la transformée de Laplace de y(t) (resp. u(t))

)()()()()()( 1001 sUsbsUsbsUbsYasYsasYsa mm

nn ⋅⋅++⋅⋅+⋅=⋅+⋅⋅++⋅⋅ (12)


Aussi, on déduit (pour les processus physiques m ≤ n) :

011

1

011

1

)()()(

asasasabsbsbsb

sUsYsF n

nn

n

mm

mm

+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+⋅

== −−

−−

(13)

F(s) est appelée Fonction de Transfert ou Transmittance du système.

(s) S(s)

La Fonction de Transferou d'un point de fonctionn

2. Sta

Du fait de l'usage de la fode transfert sous forme nconsiste à mettre en évidenumérateur (appelées zéro

Donc, la fonction de trans

avec n=k+2l et m=p+2q. •

00

abF(0)K == est le gain

• Les τi et τj sont les concompte de la dynamiq

• Les termes du second

termes avec constantes

3. Prin

Le but de l'automaticienasservir. Afin de déterminla physique, soit à des sybut est alors de mettre sude voir s'il ne se "rapproc

Cours de Commande

EU

t est l'expression reliant les variationement, du signal de sortie par rappor

ndardisation de l'écriture des fo

nction de transfert, l'habitude a été pormalisée. On ne verra ici que la rence les racines du dénominateur (aps). On a

n

mm

saasa

asb

bsbb

ab

sUsYsF

⋅++⋅+

⋅++⋅+⋅==

001

001

00

1

1)()()(

fert peut être écrite sous la forme :

∏ ∏

∏ ∏

= =

= =

⋅+⋅+⋅⋅+

⋅+⋅+⋅⋅+⋅= k

j

l

jjjj

p

i

q

jjji

sbsas

sbsasKsF

1 12

1 12

)1()1(

)1()1()(

τ

τ

statique du système.

stantes de temps (réelles) du systèmue d'un système : plus elle est faible,

ordre doivent être laissés ainsi, s'ils de temps (regroupant les racines com

cipe de l'analyse des systèmes

est, dans un premier temps, de cer la fonction de transfert du systèmstèmes dont on connaît le comportemr l'entrée du système un signal permhe" pas de systèmes connus. Comme

Y
H(s)F(s)
s, vis à vis d'un régime initial t au signal d’entrée.

nctions de transfert

rise de présenter les fonctions présentation type "Bode". Elle pelées pôles) et les racines du

n

(14)

e. Une constante de temps rend plus le système est rapide.

ne sont pas décomposables en plexes conjuguées).

, entrées typiques

onnaître le système qu'il doit e, on fait appel soit aux lois de ent pour certaines entrées. Le

ettant de tester sa réaction afin il n'est pas possible de prévoir

12

tous les types de situations rencontrés, ni tous les types de signaux d'entrée, on a pris l'habitude de se référer à certains signaux. Ces derniers correspondent à des situations rencontrées lors de l'évolution d'un système d'un état à l'autre et concernent donc l'analyse transitoire du système. Par opposition, l'analyse harmonique permet l'étude de la réponse du système à une entrée sinusoïdale en fonction de la fréquence.

a) Entrées pour analyse transitoire • L'impulsion de Dirac (u(t)=δ(t)). La réponse est dite impulsionnelle. L’impulsion de

Dirac est la limite lorsque ∆t tend vers 0 d'un créneau rectangulaire de hauteur de 1/∆t et de durée ∆t. Sa transformée de Laplace est égale à 1.

• L'échelon unité (u(t)=0, t<0, u(t)=1, t≥0). La réponse est dite réponse indicielle ou

réponse à un échelon de position. • La fonction rampe (u(t)=0, t<0 ; u(t)=a.t, t≥0). La réponse est dite réponse à une rampe

ou réponse à un échelon de vitesse. Lors de l'analyse transitoire, on caractérise la rapidité (temps de réponse), la nature plus ou moins oscillante du système (dépassement ou non), et la précision.

b) Entrée pour analyse harmonique Si on applique un signal sinusoïdal à un système linéaire, on sait que la réponse est sinusoïdale (voir précédemment). On montre également qu'une fois le régime transitoire établi, la sortie est sinusoïdale, de même pulsation que l'entrée, mais d'amplitude et de phase différente. La fonction de transfert s'écrit alors (avec s = jω, ω étant la pulsation du signal d’entrée)

01

01

)()()()()( ajaja

bjbjbjF nn

mm

+⋅++⋅

+⋅++⋅=⋅ ωωωωω

(16) La représentation pour l'analyse harmonique peut se faire des trois manières différentes mais équivalentes :

• Plan de Bode. Il représente le gain FdB=20 log[|F(jω)|] et φ=Arg[F(jω)] en fonction de ω dans un plan semi-logarithmique. (Ci-dessous, représentation d’un système du premier ordre de gain statique 10 et de constante de temps 0.01 sec.).


• Plan de Black. Il s'agit d’une représentation équivalente à celle de Bode, mais tracée dans un seul plan, φ=Arg[F(jω)] étant placé en abscisse et FdB=20 log[|F(jω)|] en ordonnée, chaque point du plan correspondant à une pulsation. Le lieu est donc gradué en ω croissantes. (Ci-dessous, représentation d’un système du premier ordre de gain statique 10 et de constante de temps 0.01 sec.).

• Plan de Nyquist. Il s'agit de la représentation graphique paramètrée par ω de l'affixe

de F(jω) . Le lieu est gradué en ω croissantes. (Ci-dessous, représentation d’un système du premier ordre de gain statique 10 et de constante de temps 0.01 sec.).


L'analyse harmonique permet d'avoir accès aux notions de fréquence de coupure, de gain en fonction de la fréquence, … , et donc de rapidité et de précision.

D. EXEMPLES DE FONCTION DE TRANSFERT

1. Circuit RC

R

CE S

i On a les relations suivantes :

∫ ⋅=⇒⋅⋅=+⋅= dttdyCtidttiCtytytiRtu )()()(1)(),()()(

D'où :

En suppd'écrire

y(t)

Cours de

u(t)

)()()( tutydttdyCR =+⋅⋅

osant le condensateur déchargé à t=0, la passage en transformée de Laplace permet

la fonction de transfert du circuit :

sCRsUsYsF ⋅⋅+== 1

1)()()(

2. Circuit RLC

R

C S

L iOn a les relations suivantes :

dttdyCtidttiCdt

tdiLtiRtu )()()(1)()()( ⋅=→⋅⋅+⋅+⋅= ∫

y(t)
Eu(t)
Commande

15

D'où :

)()()()( 2

2

tydttdyCR

dttydCLtu +⋅⋅+⋅⋅=

En prenant la transformée de Laplace de cette expression, on obtient la fonction de transfert du circuit :

11

)()()( 2 +⋅⋅+⋅⋅

==sCRsCLsU

sYsF


III. SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS DU PREMIER ORDRE

A. PROCESSUS A CONSTANTE DE TEMPS

1. Définition

Un système du 1er ordre à constante du temps est un système régi par l'équation différentielle :

)()()( tuKtydttdy ⋅=+⋅ τ

En supposant que les conditions initiales soient nulles, la fonction de transfert de ce type de système s'écrit :

sK

sUsYsF ⋅+== τ1)()()(

K est le gain statique et τ est la constante de temps (voir par exemple le circuit RC du chapitre précédent).

2. Analyse temporelle

a) Réponse impulsionnelle On applique à l'entrée du système une impulsion de Dirac (u(t)=δ(t) - U(s)=1). La sortie Y(s) du système s'écrit alors :

τττ 11

1)( +⋅=⋅+= sK

sKsY

La sortie y(t) est obtenue en appliquant la transformée de Laplace inverse :

τ

τteKty −⋅= )(

Exemple. Soit un système décrit par la fonction de transfert

F ss

( ).

=+ ⋅

11 0 1

La réponse impulsionnelle de ce système est décrite par la figure suivante :


K ⋅τ

b) Réponse indicielle On applique à l'entrée du système un échelon unité (u(t)=1- U(s)=1/s). La sortie Y(s) s'écrit alors :

)1()( ssKsY ⋅+⋅= τ

A partir de la ré-écriture de cette fonction sous la forme )11()( 1

τ+−⋅= ssKsY , et en appliquant

la transformée de Laplace inverse, on obtient :

)1()( τteKty −−⋅=

La réponse indicielle d’un système du premier ordre est décrite par la figure ci-après. On caractérise à partir de cette courbe : • le temps de réponse à 5% tr. Il s'agit du temps que met le système à atteindre l’amplitude

finale à ± 5%. Ici, on a tr = 3τ. • le temps de montée tm. Il s'agit du temps mis pour que le signal atteigne 90% de

l’amplitude finale. Ici, on a tm=2.3τ. Il est important de noter que le système atteint 63% de la valeur finale au bout d'un temps égale à la constante de temps τ. De plus, le gain statique peut être facilement trouvé par la formule (∆y = y(∞)-y(0) ; ∆u = u(∞) – u(0))

uyK ∆

∆=


Toutes ces remarques montrent que l'identification (c’est à dire la détermination des paramètres K et τ) d'un système de 1er ordre peut être faite avec un essai indicielle. Remarque. Si la constante est faible, alors le temps de réponse est faible et le système est rapide. Si la constante est élevée, le système est lent.

c) Réponse en vitesse On applique à l'entrée du système une rampe unitaire (u(t)=t - U(s)=1/s2). La sortie Y(s) s'écrit alors :

)1()( 2 ss

KsY⋅+⋅

=τ

En ré-écrivant la fonction de transfert sous la forme )1()( 12τ

ττ++−⋅= sss

KsY , la sortie

y(t) est obtenue en appliquant la transformée de Laplace inverse :


)()( τττ tetKty −⋅+−⋅=

Exemple. La réponse en vitesse du système F ss

( ) ..

=+ ⋅

1 51 0 1

est donnée par

L'écart de traînage augmente

Remarque. La réponse en vitesse du système

ssF += 11)(

est donnée ci-dessous.

τ


On voit que, si K est différent de 1, la sortie ne suit pas : on dit qu'elle "traîne". En effet, l'écart entre y(t) et u(t) augmente quand t tend vers l’infini. En effet, comme on a

)()( τττ tetKty −⋅+−⋅= , on obtient

• Si K = 1, τ=−∞→

)()(lim tutyt

• Si K ≠ 1, ∞=−⋅+− −∞→

tetK tt

)(lim /τττ

3. Analyse harmonique

On envoie sur l'entrée du système un signal sinusoïdal. On utilise la fonction de transfert :

F jK

jc

( )ω ωω

=+1

avec ω τc = 1 . Le gain et l'argument de cette fonction de transfert s’écrivent :

F j K

c

( )( )

ωω

ω=

+1 2

cArcjFArg ω

ωωφ tan)]([ −==

a) Représentations de Bode et de Black Le gain est exprimé en dB :

))(log(20 ωjFFdB ⋅=

La représentation dans le plan de Bode se fait sur 2 tracés (gain et phase) en fonction de ω. Dans le plan de Black, on trace le lieu dans le plan [FdB,φ], ce qui impose de le graduer en ω et de l'orienter. Exemple. Analyse harmonique d'un système du 1er ordre (avec K = 10 et τ = 0.01 sec)


Le système est caractérisé par :

• son gain statique K (pour une pulsation nulle),

• sa pulsation de coupure ωc (correspondant à un gain égal à 20log10(K)- 3, et à une phase φ = –45°),

• sa bande passante BP = 2πfc = ωc.

20 log K

20 log K

Un système du 1er ordre est un filtre passe-bas

b) Représentation de Nyquist C'est le lieu de l'extrémité du vecteur image du nombre complexe F j( )⋅ω .

ω 0 ωc/2 ωc 2ωc ∞ ⎜F(jω)⎜ K 0.89K 0.707K 0.44K 0

φ 0 -26.5° -45° -63.5° -90° Exemple. Analyse harmonique d'un système du 1er ordre (avec K = 10 et τ = 0.01 sec)


ω = ∞

ω = 0

ωc

Pour ω ω τ= =c

1 , alors on a Arg[ ( )]F jω = − °45 .

4. Conclusions

Le comportement dynamique d'un système est entièrement décrit par sa constante de temps τ. La fréquence de coupure d'un système est définie par :

fc =⋅ ⋅1

2 π τ

• Un système du 1er ordre est un filtre passe-bas. • Un système rapide est un système ayant une large bande passante (faible constante de

temps). • Une système lent a une bande passante étroite.

B. UN 1ER ORDRE PARTICULIER : L'INTEGRATEUR

1. Définition

L'intégrateur est régi par l'équation différentielle :

)()( tuKdttdy ⋅=⋅ τ

La fonction de transfert est alors déduite en utilisant la Transformée de Laplace :


sK

sUsYsF ⋅== τ )()()(

2. Analyse temporelle

a) Réponse impulsionnelle On applique à l'entrée du système une impulsion de Dirac (u(t)=δ(t) - U(s)=1). La sortie Y(s) du système s'écrit alors :

sKsY ⋅= τ )(

La sortie y(t) est obtenue en appliquant la Transformée de Laplace inverse :

τKty =)(

La réponse est donc un échelon. Le système ne revient pas à son état d'origine.

b) Réponse indicielle On applique à l'entrée du système un échelon unité (u(t)=1 - U(s)=1/s). La sortie Y(s) s'écrit alors :

2)(sKsY⋅

=τ

La sortie y(t) est obtenue en appliquant la transformée de Laplace inverse :

tKty ⋅= τ )(

On obtient donc une rampe. Le régime permanent tend vers l'infini : on a donc instabilité.

3. Analyse harmonique

La fonction de transfert est la suivante :

ωτωωω ⋅⋅== j

KjUjYjF )(

)()(

La figure ci-après présente le tracé de la fonction de transfert ωτω ⋅⋅= jjF 1)( dans le plan

de Bode.


C. SYSTEME ASSERVI DU 1ER ORDRE On considère un système du 1er ordre bouclé. Le retour est composé d'un gain A. Yc est la consigne.

ε(s)+

-

E )(s K S(s)

La fonction de transfert s'écrit :

YYc

sYsY

c=

1)()(

Après la mise en forme "standart", on ob

KsUsY

+= 1)()(

τ

On a donc :

τ τ' =⋅ +K A 1

Le système bouclé est plus rapide : ssystème en boucle ouverte. L'analyse boucle ouverte.

Cours de Commande

U
s1+ ⋅τ
A

sAKK

sKAs

K

⋅+⋅+=⋅+⋅+

⋅+τ

τ

τ1

1

1

tient alors un système du 1er ordre de la forme :

sAKAK

Ks ⋅+⋅+

⋅⋅+=⋅11

11'

'τ

K KK A

' =+ ⋅1

a constante de temps est plus faible que celle du est exactement la même que pour un système en

25

1. Réponse indicielle

On note ep(t) = yc(t) – Ay(t) (Transformée de Laplace = Ep(s)) avec la consigne égale à un échelon unitaire, i.e.

ssYty cc 1)(1)( =→=

On a donc :

)('1')('1

')()( sYs

KsYsK

sYsY

cc

⋅⋅+=⇒⋅+= ττ

Aussi, on obtient :

)'1'1(1)'1

'1()()()( sAK

ssAK(s)YsYAsYsE ccp ⋅+−⋅=⋅+−⋅=⋅−= ττ

On applique le théorème de la valeur finale :

AKAKsAKseste

sp

sp

t ⋅+=−=⋅+−=⋅=→→∞→ 1

1'1)'1'1(lim)]([lim)]([lim

00 τ

2. Réponse en vitesse

On note et(t) = yc(t) – Ay(t) (Transformée de Laplace = Et(s)) avec la consigne égale à une rampe unitaire, i.e.

21)()(s

sYtty cc =→=

Aussi, on obtient :

)'1'1(1)( 2 s

AKssEt ⋅+−⋅= τ

On applique le théorème de la valeur finale :

∞=⋅+−=⋅=→→∞→

)'1'1(1lim)(lim)(lim

00 sAK

ssEstests

tt τ


IV. SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS DU SECOND ORDRE

A. DEFINITION Un système du 2nd ordre est décrit par l'équation différentielle suivante :

)()()()(0012

2

2 tubtyadttdya

dttyda ⋅=⋅+⋅+⋅

En supposant que les conditions initiales sont nulles, la transformée de Laplace de ce système donne :

F sba a

as

aa

s( ) = ⋅

+ ⋅ + ⋅

0

0 1

0

2

0

2

1

1

On définit alors :

• Kba

= 0

0: gain statique,

• ωn

aa

= 0

2: pulsation propre non amortie,

• ξ = ⋅⋅

aa a

1

0 221

: coeff. d'amortissement.

2

221

)(

nn

ss

KsF

ωωξ

+⋅+

=

N.B. On suppose que les coefficients a0, a1et a2 sont positifs.

B. REPONSE A UN ECHELON - DEPASSEMENTS, TEMPS DE REPONSE

L'entrée du système u(t) est = 0 pour t ≤ 0 , = 1 pour t > 0 (U(s) = 1/s). En utilisant la fonction de transfert définie plus haut, on obtient :

)2()21()( 22

2

2

2

nn

n

nn

sssK

sssKsY

ωωξω

ωωξ

+⋅⋅+⋅

⋅=

+⋅+⋅=

Afin d'étudier la réponse indicielle de ce système, on souhaite factoriser le dénominateur. On calculer alors le discriminant réduit du dénominateur :

∆' (= ⋅ −ω ξn2 2 1 )

On remarque alors que, si ξ ≥ 1, le dénominateur admet deux racines réelles (ou une racine double). Par contre, si ξ < 1, le dénominateur admet deux racines complexes conjuguées.

1. Cas n° 1 : ξ > 1

Les deux racines réelles sont de la forme :


s n

n

1

2 1

= − ⋅ +

= ⋅ − + −

ξ ω

ω ξ ξ

∆'

( )

s n

n

2

2 1

= − ⋅ −

= ⋅ − − −

ξ ω

ω ξ ξ

∆'

( )

On obtient alors :

)()()()(2121

2

ssC

ssB

sAKsssss

KsY n

−+

−+⋅=

−⋅−⋅⋅

= ω

On identifie les coefficients A, B et C :

A = 1 B

s s sn=

⋅ −ω 2

1 1 2( ) C

s s sn=

⋅ −ω 2

2 2 1( )

La fonction y(t) peut alors s'écrire (à noter que les termes exponentiels sont décroissants étant donné que les racines s1 et s2 sont strictement négatives) :

)1()( 21 tsts eCeBKty ⋅⋅ ⋅+⋅+⋅=

La Figure ci-dessous représente la réponse indicielle d’un système du second ordre avec K = 1, ωn = 10 rad/s, et différentes valeurs supérieures à 1 pour le coefficient d’amortissement.


2. Cas n° 2 : ξ = 1

La racine réelle double est de la forme s s n1 2= = − ⋅ξ ω < 0. Comme le coefficient d'amortissement est égal à 1, on a alors s s n1 2= = −ω . Donc, on obtient :

))(

()(

)( 22

2

nnn

n

sC

sB

sAK

ssK

sYωωω

ω+

++

+⋅=+⋅⋅

=


A = 1 B = −1 C n= −ω La fonction y(t) peut alors s'écrire :

))1(1()1()( +⋅⋅−⋅=⋅⋅−−⋅= ⋅−⋅−⋅− teKeteKty ntt

n

tnnn ωω ωωω

La Figure ci-dessous représente la réponse indicielle d’un système du second ordre avec K = 1, ωn = 10 rad/s, et ξ = 1.

3. Cas n°3: ξ < 1

Les deux racines complexes conjuguées sont de la forme (à notre que Re(s1)<0 et Re(s2)<0) :

s j

jn

n

1

2 1

= − ⋅ + ⋅

= ⋅ − + ⋅ −

ξ ω

ω ξ ξ

∆'

( )

s j

jn

n

2

2 1

= − ⋅ − ⋅

= ⋅ − − ⋅ −

ξ ω

ω ξ ξ

∆'

( )

Au dénominateur, on peut faire apparaître :


( )⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣

⎡

−++++=

+⋅⋅+⋅⋅

= 22222

2

1)()2()(

ξωξωωωξω

nnnn

n

sCBs

sAK

sssK

sY


A = 1 B = −1 C n= − ⋅2 2ξ ω La fonction Y(s) peut alors s'écrire :

))1()(

21()( 222 ξωωξωξ

−⋅+⋅+⋅+−⋅=

nn

n

ss

sKsY

En utilisant les transformées inverses de Laplace, on en déduit la fonction y(t) (on a donc un régime oscillatoire amorti) :

)1

())1cos(1

1()(2

2

2 ξξφφξω

ξ

ωξ

−−=+⋅−⋅⋅

−−⋅=

⋅⋅−

arctgteKtyn

tn

La Figure ci-dessous représente la réponse indicielle d’un système du second ordre avec K = 1, ωn = 10 rad/s, et différentes valeurs inférieures à 1 pour le coefficient d’amortissement.


a) Calcul du temps de montée Le temps de montée tm est le temps que met le système à atteindre, pour la 1ère fois, la valeur finale K :

s t Ke

t K

et

t

t k

n m

n m

t

n m

t

n m

n m

n m

( ) ( cos( ))

cos( )

cos( )

= ⋅ −−

⋅ ⋅ − ⋅ + =

⇒−

⋅ ⋅ − ⋅ + =

⇒ ⋅ − ⋅ + =

⇒ ⋅ − ⋅ + = + ⋅

− ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅

11

1

11 0

1 0

12

22

22

2

2

ξ ω

ξ ω

ξω ξ φ

ξω ξ φ

ω ξ φ

ω ξ φπ

π

y(t)

A chaque valeur k correspond un point d'intersection avec la droite y(t) = K. Le temps de montée correspond donc au 1er point d'intersection, i.e. à la valeur k = 0. Donc, on a :

⇒ =⋅ −

⋅ −tmn

11 22ω ξ

πφ( )

b) Calcul du temps du 1er maximum Les valeurs de t correspondant aux maxima et aux minima correspondent aux instants pour lesquels la dérivée de y(t) s'annule. On obtient alors :

ξ ω

ξω ξ φ

ξω ξ ω ξ φ

ξ ω ξ φ ξ ω ξ φ

ω ξ φξ

ξφ

ω ξ φ φ π

ξ ωξ ω⋅

−⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + +

−⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + =

⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ + + − ⋅ ⋅ − ⋅ + =

⇒ ⋅ − ⋅ + = −−

=

⇒ ⋅ − ⋅ + = + ⋅

− ⋅ ⋅− ⋅ ⋅

n tn

t

n n

n n

n

n

e te

t

t t

t

t k

n

n

11

11 1

1 1 1 0

11

1

22

22 2

2 2 2

22

2

cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

tan( ) tan( )

0

⇒ =⋅

⋅ −t

kMax

n

π

ω ξ1 2

Le premier dépassement correspond au 1er maximum (k=1) :

⇒ =⋅ −

t Maxn

π

ω ξ1 2


c) Calcul des dépassements successifs Donc, en notant yk la valeur du k-ième maxima (ou minima), on obtient :

Ke k

k

k

n

nn

= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⋅

+

⋅ ⋅⋅

⋅ −

( cos(1 11

22

2

2ξ ω

π

ω ξ

ω ξπ

φ)

Or, comme c

On peut ainchacun des da lieu pour k

1y

Le dépasseme

D'après l'expr

Cours de Comm

syk

s Ke

k

n

k

k

− ⋅ −

= ⋅ − ⋅ ⋅ +

− ⋅⋅

−

[ cos( )]

1 1

11

2

2ξ

π

ξ

ξ ω ξ

π φ

os

siép=

=

n

X

es

an

⇒yk

s Ke

k kk

k

−

⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

− ⋅⋅

−

[ (cos( ) cos( ) sin( ) sin( ))]

1

11 2

ξπ

ξ

ξ

π φ π φ

(

a1

t

d

yk
−1 2ξ
= ⋅ − − ⋅ ⋅⋅ −

− ⋅⋅

−

s Ke

kk

k

[ ( ) cos( )]1 1 2 11

2

2ξ

π

ξ

φ
⇒yk −1 ξ
)φ = −1 2ξ , on obtient alors :

])1(1[ 21

12ξπξ

−

⋅⋅−−⋅ ⋅−−⋅=⇒k

k

keKy

prédéterminer le niveau de ssements. Le 1er dépassement :

]1[ 21 ξπξ−

⋅−

+⋅ eK

relatif est noté X1 et s’écrit :

21

1ξ

πξ−

⋅−

=

e

d) Coefficient d'amortissement ξ

sion des dépassements, on a :

e 32

( )22

1

1

31

2

1

12ln

2

2

ξπξ

ξ

πξξ

πξ

−

⋅⋅=⇒=−

⋅⋅−

−

⋅−

XX

e

eXX

On peut donc déterminer le coefficient d'amortissement d'un système du second ordre à partir d'un essai indiciel :

)ln4(

ln

2

2

12

2

2

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⇒

XX

XX

π

ξ

e) Temps de réponse à 5% Pour déterminer tr, il faut trouver l'instant au bout duquel la réponse indicielle est entrée et reste dans le canal des 5%. Les équations résultantes de cette affirmation n'étant pas triviales à résoudre, on utilise alors l'abaque suivant, donnant le facteur d'amortissement ξ en fonction du produit .

nrt ω ⋅

On note que le compromis entre temps de réponse faible et dépassement raisonnable se fait pour un coefficient d'amortissement ξ égal à 0.707. En effet, pour cette valeur, on a :

%32.431

=⇒=⋅ Xtrn

ω

C. REPONSE HARMONIQUE La fonction de transfert harmonique d'un système du second ordre s'écrit :


F jK

jj

n n

( )ω

ξωω

ωω

=

+ ⋅ ⋅ +⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟1 2

2

On pose

nw ω

ω = . On obtient alors ( )221)(

wjwjKjwF

⋅+⋅⋅+=

ξ.

Le module et l'argument de la fonction de transfert s'écrivent alors :

2222 4)1()(

wwKwjF

⋅⋅+−=⋅

ξ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅⋅−=⋅= 21

2))((wwarctgwjFArg ξφ

On considère maintenant les variations de )( wjF ⋅ , de )(log20 wjF ⋅⋅ et de . ))(( wjFArg ⋅

w )( wjF ⋅ ( )wjF ⋅⋅ (log20 ))(( wjFArg ⋅

0 K 20 ⋅ log( )K 0 ∞ 0 -∞ -π

Ces données peuvent se résumer par des diagrammes asymptotiques :

♦ Diagramme d'amplitude : • Pour w < 1, on a une asymptote horizontale en 20 ⋅ log( )K . • Pour w >1, on a une asymptote à -40dB/décade.

♦ Diagramme de phase : • En hautes fréquences, on a une asymptote horizontale en 0°. • En basses fréquences, on a une asymptote horizontale en -180°.


Les 2 asymptotes du diagramme d'amplitude se coupent en ( log( ), )20 ⋅ K nω . La Figure ci-avant décrit, dans le plan de Bode, le lieu de transfert d’un système du second ordre avec un gain statique K = 10, une pulsation propre ωn = 100 rad/s, et différentes valeurs du coefficient d’amortissement.

1. Etude du gain

On souhaite maintenant savoir la valeur de w pour laquelle on obtient un module maximum. On calcule la dérivée du module par rapport à w :

232222

23

]4)1[()21(44)(

wwww

dwwjFd

⋅⋅+−

⋅−⋅⋅−⋅−=

⋅

ξξ

On a donc un module maximum pour w annulant :

0)21(44 23 =⋅−⋅−⋅ ξww

Une des solutions est w = 0. En posant que , on a alors 0>w 221 ξ⋅−= w . La condition

d'existence de cette solution est queξ < 0 707. .

a) Pulsation de résonance On dit alors qu'il y a résonance si ξ < 0.707, la pulsation de résonance étant égale à :

ω ω ξr n= ⋅ − ⋅1 2 2 La pulsation de résonance ωr est inférieure à la pulsation propre non amortie ωn . Ces deux pulsations deviennent plus proches quand le coefficient d'amortissement diminue, pour être égales quand ξ = 0 : le système est alors un oscillateur libre.

b) Facteur de surtension (ou de résonance) Ce facteur permet de quantifier la valeur du "pic" de gain à la fréquence de résonance. On suppose donc que le coefficient d'amortissement ξ est inférieur à 0.707. La valeur maximum du gain est atteinte pour la fréquence de résonance, i.e. 221 ξ⋅−= w . Donc, on a :

212)(

ξξ −⋅⋅=⋅ KwjF

MAX

On appelle facteur de surtension (ou de résonance) le rapport Q défini par :

)12log(20121)( 2

2ξξ

ξξ−⋅⋅⋅−=⇒

−⋅⋅=

⋅= dBMAX QK

ujFQ


c) Pulsation de coupure Il s'agit de la pulsation pour laquelle le gain chute de 3dB par rapport au gain statique (ou une division par 2 du gain naturel par rapport au gain statique). En posant wc=ωc/ωn, on a alors :

01)12(224)1(

24)1(2242222

2222 =−−⋅⋅⋅+⇒=⋅⋅+−⇒=

⋅⋅+−ξξ

ξcccc

cc

wwwwKww

K

Cette équation a deux solutions réelles en wc

2. Seule la positive est conservée : 1)12(21 2222 +−⋅+⋅−= ξξ cw

Donc, la pulsation de coupure est égale à :

ω ω ξ ξc n= ⋅ − ⋅ + ⋅ − +1 2 2 1 12 2 2( )

2. Etude de la phase

On a ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅⋅−=⋅ 21

2))((wwarctgwjFArg ξ . Pour le diagramme de phase, on a vu précédemment que :

• En hautes fréquences, on a une asymptote horizontale en 0°. • En basses fréquences, on a une asymptote horizontale en -180°. • Pour ω ω= n , on a une phase égale à -90°.

Il faut de plus noter que la jonction des 2 asymptotes se fait par l'intermédiaire d'une droite dont la pente dépend de ξ (voir plan de Bode).

3. Lieux de Black et de Nyquist

La Figure ci-après décrit, dans les plan de Nyquist (gauche) et de Black (droite), le lieu de transfert d’un système du second ordre avec un gain statique K = 10, une pulsation propre ωn = 100 rad/s, et différentes valeurs du coefficient d’amortissement.


4. Conclusions

ξ Réponse unitaire Réponse harmonique tr

0.26 Réponse très oscillatoire amortie QdB = 6 dB 10.72/ωn

0.4235 Réponse oscillatoire amortie QdB = 2.3 dB 7.1/ωn

0.43 Réponse oscillatoire amortie QdB = 2.3 dB 5.22/ωn

0.7 Réponse à peine oscillatoire QdB = 0 dB 2.89/ωn

> 0.7 Réponse monotone - 6ξ/ωn

Pour la valeur ξ = 0.43, on réalise le meilleur compromis entre bande passante et temps de réponse.

D. SYSTEME DU SECOND ORDRE BOUCLE On considère le système du second ordre avec une fonction de transfert F(s) bouclé par un retour A :

+) )p (p) (p

On obtient donc :

La fonction de transfer

Cours de Commande

ΕUY
)
−

1(

)()()()()( AF

sFsYsYsAYsYsU

cc +=⇒−=

t du système en boucle fermée s'écrit don

SY

GA

(c
εU F(pF(s
)()s

c :

37

2'

2

'2

2'21

'

)1()1(21

1)()()('

nnnn

c ss

K

KAssKA

KAK

sYsYsF

ωωξ

ωωξ +⋅⋅+

=

⋅+⋅+⋅

⋅+⋅⋅+

⋅+==

Les paramètres du système du second ordre s'écrivent :

KAKK ⋅+= 1' KA

nn⋅+⋅= 1' ωω

KA⋅+= 1' ξξ

• Précision dynamique Un système bouclé du second ordre est plus rapide qu'un système en

boucle ouverte. • Précision statique : calcul de l’écart ep(t) = yc(t) –Ay(t) , avec yc(t) = échelon unitaire

))'('

'21'1()()()()(

2

nn

ccpss

AKsYs - AYsYsE

ωωξ +⋅⋅+

−⋅==

⇒ KAAKsEste ps

pt ⋅+=−=⋅=

→∞→ 11'1))((lim))((lim

0

Si on considère qu'on a un retour unitaire (A=1), on a alors :

Ktept +=

∞→ 11))((lim



V. SYSTEMES DE DEGRE QUELCONQUE – SYSTEMES A RETARD

A. FONCTION DE TRANSFERT ET FORME CANONIQUE Soit un système linéaire ayant la fonction de transfert H(s) défini par

D(s)N(s)H(s)=

avec d°(N) = n et d°(D) = m. La forme canonique de ce système s’écrit

F(s)sKH(s) c =

avec K le gain statique, F(0) = 1 et c un entier appelé « classe du système » tel que

c > 0 : c = nombre de pôles à l’origine (nombre d’intégrateurs) c < 0 : c = nombre de zéros à l’origine (nombre de dérivateurs)

La fonction de transfert de F(s) est défini par

s) ...s)s) ...τs)τ

T(T(((F(s)

21

21

1111++++=

où TBi B et τBj B peuvent être à parties réelles positives ou négatives.

Si Re[TBi B] > 0 pour tout i, alors H(s) est stable, S’il existe des TBi B (ou des τBj B ) complexes, ils apparaissent par paires conjuguées. Dans

ce cas, on les rassemble dans un terme du second ordre de la forme : )ωsωsξ(

iii 2221 ++ .

L’entier ξ Bi B peut être positif, négatif, ou nul. Si ξ Bi B > 0 pour tout i, alors H(s) est stable Pour résumer, la fonction de transfert peut être écrite sous la forme d’un produit de polynôme d’ordre 0, 1 ou 2 tel que

∏==

N

ii(s)F F(s)

1

avec ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+++∈

i

ii

γ

iβα )ω

siω

si( , )isT( , s , iK(s)iF 2

2211

ξ

et αBι B, β Bι B, γBι B entiers relatifs

B. REPONSE HARMONIQUE, LIEUX DE TRANSFERTS Comme il a été mentionné précédemment, l’analyse harmonique d’un système se fait en mettant sur l’entrée du système un signal sinusoïdal. En notant u(t) l’entrée du système, on a

t)(ωUu(t) sin1 = Pour la classe de systèmes considérée, une entrée sinusoïdale implique une sortie sinusoïdale, à savoir


)ωtsin(Yy(t) 1 Φ+=

avec [ ] ])(jωArg[F)F(jωArgΦ)(jωF)F(jωU

Y N

ii

N

ii ∑==∏==

== 1111

Les gains étant exprimés habituellement en dB, on obtient

[ ] [ ] ∑==∑===

N

ii

N

ii )](jωArg[F)F(jωArgΦ)(jωF LogdBF

111020

Pour résumer Le gain en dB du système soumis à une entrée sinusoïdale est égal à la somme des gains en dB des systèmes élémentaires composants ce système. La phase du système soumis à une entrée sinusoïdale est égale à la somme des phases des systèmes élémentaires composants ce système.

1. Représentation dans le plan de Bode

• USous-système proportionnel U F(s) = K > 0

[ ] [ ] °=== 01020 KArgΦKLogdBF Les courbes d’amplitude et de phase sont :

ω

dB FdB

20logK

0 1 10 0.1

Φ°

ω01 100.1

• USous-système U F(s) = s P

αP

°×== 90][1020 αΦωLogαdBF

La courbe d’amplitude est une droite de pente 20α dB par décade (ou 6α dB/octave). La courbe de phase est une horizontale à °× 90α

EXEMPLE. Pour α > 0, les courbes d’amplitude et de phase sont :


ω

dB FdB

20 α

0 1 100.1

-20 α

Φ°

ω01 100.1

90α

• USous-système U F(s) = (1+ sT) P

βP :

[ ]TωAβΦ]Tω[LogβdBF tan11010 22 =+=

Les courbes d’amplitude et de phase se déduisent de celles du premier degré : pour le gain, pente de [sign(β)20dB] par décade à partir de la pulsation de coupure … (voir Chapitre III). EXEMPLE. Si β > 0 et T > 0, les courbes d’amplitude et de phase sont

0.1 1 10

0

45β

90β 0

10β

20β

ωT

ωT

dB FdB

Φ°

3β

6β 7β

0.1 1 10

β

REMARQUE . Si T < 0, alors βTjω1+ = βTjω1− : le gain est donc inchangé ; on obtient donc la même courbe d’amplitude. Par contre, on a T]jωArg[1+ =− T]jωArg[1− : ceci implique alors une symétrie de la courbe de phase par rapport à l’axe des ω.


• USous-système U γ

)ωs

ωs(sF 2

221)( ++= ξ

Les courbes se déduisent de celles du second degré :

La courbe de gain en dB en fonction de log(ω) a 2 asymptotes (ω est porté en échelle logarithmique): une asymptote horizontale FBdBB = 0 quand ω → 0 et une asymptote oblique de pente 40γ dB par décade (ou 12γ dB/octave) quand ω → ∞ . On démontre que ces 2 asymptotes se coupent au point [ω = ωBn B ; FBdBB = 0]. La courbe Φ( ω) a 2 asymptotes horizontales : Φ = 0 quand ω → 0 et Φ =

γ x180° quand ω → ∞ UExemple U. Tracer dans le plan de Bode, en utilisant les approximations asymptotiques et pseudo- asymptotiques, les courbes d’amplitude et de phase de la fonction de transfert :

s)s)(s(F(s) 512110

++=

UAMPLITUDE U. On trace les amplitudes des 4 termes élémentaires en utilisant les approximations asymptotiques pour les 2 constantes de Temps .

5s11

+ 5s11

+5s1

1+

0.01 0.1 1 10 -60

-40

-20

0

20

40

60

0.2

34

18

0.5

dB FdB

ω

K=10

1/s

1/1+5s

1/1+2s

La somme des 4 termes élémentaires présente donc une pente de -20dB/décade (-6dB/octave) entre 0 et 0.2 rd/s, de –40dB/décade (-12dB/octave) entre 0.2 rd/s et 0.5 rd/s, et de –60 dB/décade (-18dB/octave) entre 0.5 rd/s et ∞.


Pour ω = 0.01 rd/s : la somme des 4 termes élémentaires est : 20 + 40 + 0 + 0 = 60

db Pour ω = 1 rd/s : la somme des 4 termes élémentaires est : 20 + 0 – 6 –14 = 0 db Pour ω = 0.2 rd/s : l’amplitude est : 40 – 6 = 34 db Pour ω = 0.5 rd/s : l’amplitude est : 0 + 3x6 = 18 db

Les coordonnées des points caractéristiques peuvent être résumées dans le tableau suivant :

ω 0 0.01 0.2 0.5 10 ∞ |H| ∞ 60 34 18 -60 ∞

UPHASE U. On trace les phases des 4 termes élémentaires en utilisant les approximations pseudo-asymptotiques pour les 2 constantes de Temps .

0.01 0.1 1 10 -270

-225

-180

-135

-90

-45

0

2

-108

-252

5 0.02 0.05

K=10

1/s

1/1+2s1/1+5s

Φ° ω

La somme des 4 termes élémentaires présente donc une horizontale à –90° entre 0 et 0.02 rd/s, une droite de pente de –45°/décade (–13.5°/octave) entre 0.02 rd/s et 0.05 rd/s, de –90°/décade (–27°/octave) entre 0.5 rd/s et 2 rd/s, de de –45°/décade (–13.5°/octave) entre 2 rd/s et 5 rd/s, enfin une horizontale à –270° entre 5 rd/s et ∞.

Pour ω = 0.05 rd/s : l’amplitude est : -90° –(45° –13.5° –13.5°) = –108° Pour ω = 0.5 rd/s : l’amplitude est : -270° +(45° –13.5° –13.5°) = –252°

Les coordonnées des points caractéristiques peuvent être résumées dans le tableau suivant :


ω 0 0.02 0.05 2 5 ∞

Arg[H] −90° −90° −108° −252° −270° −270°

2. Représentation dans le plan complexe : lieu de Nyquist

La construction point par point est longue et fastidieuse. On utilise donc, en pratique, les tracés dans le plan de Bode.

⇒ Variations de F(ω) et Φ(ω) ⇒ Lieu de Nyquist EXEMPLE. s)s)(s(F(s) 5121

10++= . Des tracés (pseudo) asymptotiques précédents, on déduit le

tableau des variations suivant :

ω 0 ∞ |F| ∞ 0

Arg[F] -90° - -270° Quand ω varie de 0 à ∞, on se rapproche de l’origine en tournant dans le sens inverse trigonométrique de –90° à –270°. Le lieu de Nyquist a donc l’allure suivante :

Re

Im

ω=∞

ω=0

3. Représentation dans le plan de Black

La représentation dans Black est basée sur les mêmes outils que la représentation dans le plan de Bode. Il s’agit donc d’un outil parfaitement adapté à la représentation fréquentielle de systèmes d’ordre quelconque (en particulier pour la synthèse des correcteurs - voir chapitres suivants).


4. Caractéristiques de la réponse fréquentielle

Pour les systèmes de degré quelconque les définitions (Chapitre 2) de pulsation de coupure, ωBcB , bande passante, pulsation de résonance, ωBRB , et coefficient de surtension, Q , restent valables.

C. SYSTEME A DEPHASAGE MINIMAL (OU NON MINIMAL)

1. Problème

Soit un système linéaire de fonction de transfert F(s) inconnue dont on ne connaît que la courbe de module )F(jω . Le problème est de déterminer

[ ])F(jωArgΦ(ω) =

REPONSE. Il existe une infinité de systèmes SB0 B, SB1 B, SB2 B, ,… de fonction de transfert FB0 B(s), FB1 B(s), FB2 B(s),… qui possèdent la même courbe de module )F(jω . Ces systèmes ne différent que par la présence de facteurs

ττ

s1s-1(s)D1 +

= τ > 0 ou (et) 2

22 2

2

21

21

nni

nni

ωs

ωs

ωs

ωs

(s)D

++

+−=

ξ

ξ ζ > 0 et ωBn B > 0

En effet :

1ωj1ωj-1

ω)(jDττ

1 =+

= et )(ωAω)](jArg[D τtan21 −=

121

21

2

2

2

2

2

=

+

−=

nn

nn

ωωj

ωω-

ωωj

ωω-

ω)(jDξ

ξ et =ω)](jArg[D2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥−−

≤−

n2n

2n

n2n

2n

ωω;2ω/ω-1

ω/ως2Atan2

ωω;ω/ω-1

ω/ως2Atan2

π

Il existe alors un seul système SB0 B, de fonction de transfert FB0 B(s), sans termes déphaseurs tel que :

)F(jω)(jωF =0 ⇒ ∫ −= ∞+

∞− duωu

ω)F(jF(ju)-LnLnω(ωΦ π 220 2)

2. Définition

Un système est à déphasage minimal s’il ne possède pas de zéro à partie réelle positive. Il est à déphasage non minimal s’il possède un (ou plusieurs) zéro à partie réelle positive.

3. Réponse indicielle d’un système à déphasage non minimal

La réponse indicielle, y(t), d’un système à non minimum de phase possédant un seul zéro à partie réelle positive (cas le plus fréquent) « démarre dans le mauvais sens ».


0t

y

t

y

Système SB0 B à minimum de phase Système SB1 B à non minimum de phase

UPreuve U. Le système SB0 B admet pour fonction de transfert 110

++++=

...sa...sbK(s)F n

n

mm

avec K > 0 (non

restrictif), et a Bn B > 0 → le système SB0 Best supposé stable bBmB > 0 → le système SB0 Best à minimum de phase

Le système SB1 B admet comme fonction de transfert

ττ

s-s(s)F(s)F += 1

101

Pour le système SB0 B, la première dérivée non nulle est positive

dtdy(0) > 0 ; ou si

dtdy(0) = 0 alors 2

2

dty(0)d > 0 …

En effet, d’après les théorèmes de la dérivée et de la valeur initiale sur la transformée de Laplace

n

mn

n

mmm-n

sm-n

m-n

abK)]

s1

1...sa1...sbKs(s[lim

dty(0)d

=⋅++++

=∞→

> 0

Pour le système SB1 B,B Bla première dérivée non nulle est négative

ττ

ττ -

abK)]

s1

s1s-1

1...sa1...sbKs(s[lim

dty(0)d

n

mn

n

mmm-n

sm-n

m-n

⋅=⋅+

⋅++++

=∞→

< 0

4. Exemple

Tracer dans le plan de Bode, en utilisant les approximations asymptotiques et pseudo- asymptotiques, les courbes d’amplitude et de phase des deux fonctions de transfert

s).s)((s.(s)F 1011

5010 +++= et

s).(ss)s)(.((s)F

101)1(1501

21++

−+=

FB0 B(s) est à minimum de phase et FB1 B(s) est à non minimum de phase (un terme déphaseur du premier ordre)

ss(s)F(s)F +

−= 11

01


GAINS. Les courbes d’amplitude des deux fonctions de transfert sont évidemment identiques. On trace les amplitudes des 3 constantes de Temps en utilisant les approximations asymptotiques. La somme des 3 termes élémentaires présente donc une horizontale à 0 dB entre 0 et 1 rd/s, une droite de pente de –20dB/décade (-6dB/octave) entre 1 rd/s et 2 rd/s, une horizontale à –6 dB entre 2 et 10 rd/s, et une droite de pente de -20dB/décade (-6dB/octave) entre 10 rd/s et ∞. PHASES. Les On trace les phases des 3 constantes de Temps en utilisant les approximations pseudo-asymptotiques. Arg[FB0 B(s)] présente donc une horizontale à 0° entre 0 et 0.1 rd/s, une droite de pente –45° /décade (–13.5°/octave) entre 0.1 rd/s et 0.2 rd/s, une horizontale à –13.5° entre 0.2 et 1 rd/s, une droite de pente de –90°/décade (–27°/octave) entre 1 rd/s et 10 rd/s, une horizontale à –58.5° entre 10 et 20 rd/s, une droite de pente –45°/décade (–13.5°/octave) entre 20 rd/s et 100 rd/s, enfin une horizontale à –90° entre 100 rd/s et ∞. On trace la phase du terme déphaseur en utilisant les approximations pseudo-asymptotiques. Arg[FB1 B(s)] présente donc une horizontale à 0° entre 0 et 0.1 rd/s, une droite de pente –135° /décade (–40.5°/octave) entre 0.1 rd/s et 0.2 rd/s, de –90° /décade (–27°/octave) entre 0.2 et 1 rd/s, de –135° /décade (–40.5°/octave)entre 1 rd/s et 10 rd/s, une horizontale à –238.5° entre 10 et 20 rd/s, une droite de pente –45°/décade (–13.5°/octave) entre 20 rd/s et 100 rd/s, enfin une horizontale à –270° entre 100 rd/s et ∞. La phase FB0 B(s) de varie entre 0 et –90° et celle de FB1 B(s) entre 0 et –270°. Le déphasage de FB0 B(s) de varie donc entre 0 et 90° et celui de FB1 B(s) entre 0 et 270°. Ceci justifie l’appellation de système à non minimum de phase pour FB0 B(s). Les courbes d’amplitude et de phase exactes (tracées avec la boîte à outils « commande » de Matlab) sont données par la figure page suivante. On constate un écart faible avec les constructions (pseudo) asymptotiques. Remarque. Les réponses indicielles yB0 B(t) et yB1 B(t) de FB0 B(s) et FB1 B(s) (tracées avec la boîte à outils « commande » de Matlab) sont les suivantes

0 1 2 3 4 5 6 s-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1y0 y1

t

y1(t)

y0(t)


-30

-20

-10

0

10

20

10 -1 1 10 100 -270

-180

-90

0

90

ω

ω

dB F0dB = F1dB

Φ°

1+0.5s

1/1+0.1s

1/1+s

0.1

1+0.5s

1/1+0.1s

1/1+s

1-s/1+s

F0(s)

F1(s)

-6

-103.5

-238.5

-40.5

-13.5

-58.5

D. SYSTEME DU SECOND ORDRE EQUIVALENT A UN SYSTEME D’ORDRE QUELCONQUE

De nombreux systèmes asservis ou régulés présentent une surtension en régime harmonique, tout comme les systèmes du second ordre. DEFINITION. Le système du second ordre équivalent à un système d’ordre quelconque,de fonction de transfert F(s) est le système du second ordre présentant la même surtension Q, la même pulsation de résonance ωR et le même gain statique |F(0)|. Notons F2(s) la fonction de transfert du système du second ordre équivalent

2

221

2

nn ωsωs

K(s)F

++

=ξ

La différence principale entre les lieux de transfert du système réel et du système équivalent apparaît principalement en hautes fréquences, c’est à dire pour les pulsations supérieures à la pulsation de coupure.

ω ω R ω n

Q

dB F

|F|

|F 2|

Généralement, les réponses temporelles sont relativement voisines l’une de l’autre. Par exemple, pour les deux réponses indicielles y(t) et y2(t) (réponses du système réel et du système équivalent), les dépassements X1 et X12 et les instants mis pour atteindre les dépassements tp et tp2 seront proches. En conséquence, on utilise pour les systèmes de degré quelconque la relation X1 = X1(Q) calculée pour les systèmes du second degré :

Q (valeur naturelle) → 2111 2/Q-- =ξ → )

-π(-X

21

1exp

ξξ =

2 21

1

[ln( )] 2 ln( )

π XQ π X+

= ⇔ )]1-Q-(Q exp[-πX 21 =



Les valeurs numériques les plus utilisées sont QBdBB 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

X1 % 19.9 20.6 21.2 21.8 22.4 23.0 23.6 24.2 24.8 25.4 26.0

E. SYSTEME A RETARD

Un système à retard pur (égal à τ) est défini par y(t) = u(t-τ).

yuRetard pur τ

D’après le théorème du retard sur la transformée de Laplace, on obtient

U(s)s-eY(s) τ= Si on compare avec la définition de la fonction de transfert d’un système linéaire :

U(s)F(s)Y(s) ⋅= (conditions initiales nulles).

on pourrait conclure (trop) rapidement que la fonction de transfert du retard pur = τ s’écrit

τseH(s) −= , ce qui n’est pas juste car τs-e n’est pas une fraction rationnelle.

1. Etude harmonique du retard pur

Soit l’entrée de la cellule retard pur, t)(ωUu(t) sin1 = . La sortie s’écrit alors

)](t-[ωUy(t) τsin1 = On retrouve donc ici un régime permanent sinusoïdal :

( )Φ+= tYy(t) ωsin1

avec 1jω-eUY

1

1 == τ et ττ ωjω-eArg −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=Φ

Par convention on choisit comme diagramme fonctionnel du retard pur

yu τs-e

EXEMPLE. Soit l’asservissement ci dessous dont on désire étudier la stabilité en boucle fermée.


sT1

s-e+

τ

La « fonction de transfert » en asservissement est :

D(s)N(s)

eKsTeKF(s)(s)Y

Y(s)-sτ

-sτ

C =

++==

1

Il est impossible d’appliquer certains critères « classiques » (critère de Routh, par exemple ; voir chapitres suivants) à la fonction D(s). En effet, D(s) n’est pas un polynôme. Il faut néanmoins noter qu’il existe une théorie de la stabilité des systèmes à retard.

2. Lieux de transfert

a) Lieu de Nyquist C’est un cercle centré autour de l’origine, de rayon 1, parcouru une infinité de fois.

π/τ , 4π/τ , …ω= 0, 2

ω= π/2τ , 5π/2τ , …

ω= π/τ , 3π/τ , …

ω= 3π/2τ , 7π/2τ , …

0

Im

Re

b) Plan de Bode La courbe d’amplitude est une horizontale à 0 db. La courbe de phase décroît de 0° à -∞.

yuK

y BC + B

_


-1

-0.5

0

0.5

1db A

ωτ

ωτ

0.1 1 10-630

-540

-450

-360

-270

-180

-90

0 Φ°

c) Lieu de Black C’est une horizontale à 0db, parcourue une infinité de fois de 0° à –360°.

0

db A

Φ°+

-180°-360°

ω = 0 , 2π/τ , 4π/τ , …ω = 2π/τ , 4π/τ , …

ω = π/τ , 3π/4τ , 5π/4τ , ...

VI. SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES CONTINUS

A. FONCTION DE TRANSFERT EN BOUCLE FERMEE

1. Introduction D'une manière générale, un système asservi peut se mettre sous la forme suivante :

ycRc(s) C(s)

- + +

+ ue yr

Régulateur ou Correcteur

Gw(s) Actionneur + Processus + Capteur

w d

F(s) y

On note : yc la consigne (détermine l’objectif à atteindre), yr la référence (mise en forme de la consigne, de manière à la comparer à la sortie

mesurée), e l’erreur (l’objectif est de l’annuler), u la commande, w perturbation, y la sortie.

Les deux blocs composant le régulateur/correcteur sont :

Rc(s) le précompensateur. Ce système a pour rôle de mettre en forme la consigne suivant différents objectifs (par exemple non-saturation de la commande u en filtrant la consigne : le précompensateur peut alors être un filtre passe-bas ; annulation de l’écart statique entre la sortie et la consigne : le précompensateur est alors un gain). C(s) la loi de commande.

Définition

ConsigneMesure

YY

c = = Fonction de transfert en asservissement,

onPerturbatiMesure

WY = = Fonction de transfert en régulation.

2. Sensibilité et sensibilité complémentaire

a) Sensibilité aux perturbations L’objectif est de quantifier l’influence de la perturbation w sur la sortie y. On suppose que yc=0. A partir du schéma précédent, la fonction de transfert entre la perturbation d et l’écart e s’écrit


)()()(11)( sdsFsCse +

−=

Par définition, on a La sensibilité S(s) : )()(1

1)( sFsCsS += ,

Le transfert de boucle : L(s) = C(s)F(s) , La différence de retour : [1 + L(s)] .

b) Sensibilité aux erreurs de modèles

L’objectif est de quantifier l’influence des erreurs de modèles sur la sortie y. On suppose que w=0. La fonction de transfert en asservissement est

)()(1)()()()( sFsC

sRsFsCsHYY c

c +==

Supposons que la consigne yc soit sinusoïdale, de pulsation ω. La fonction de transfert précédente s’écrit

)()(1)()()()( ωω

ωωωω jFjCjRjFjCjH c

+=

La variation ∆F(jω) sur F(jω) entraîne une variation ∆H(jω). A partir de l’approximation du premier ordre de ∆H(jω)

FCFCRFdF

dHH c ∆+=∆≅∆ 2)1( ,

on obtient

FF

CFHH ∆⋅+=∆ 1

1

La variation relative du lieu de transfert du processus se transmet sur la variation relative du lieu de transfert en asservissement par l’intermédiaire, à nouveau, de la sensibilité S(s).

c) Sensibilité complémentaire L’objectif est de minimiser la sensibilité S(s) grâce à un réglage judicieux de C(s). Cette minimisation revient, d’une façon équivalente, à avoir (1-S) proche de 1. Ainsi, la sensibilité complémentaire est définie par

LL

CFCFsSsT +=+=−= 11)(1)(

La fonction de transfert en asservissement s’écrit alors

)()()( sRsTsH c =

B. REDUCTION DES SCHEMAS BLOCS La représentation des éléments d'un système par leur fonction de transfert permet de les combiner pour réduire les schémas fonctionnels. Une liste non exhaustive des simplifications induites par ces réductions est donnée ci-après :


REGLE 1

(s) (s) (s) S s)

REGLE 2

REGLE 3

REGLE 4

REGLE 5

REGLE 6

REGLE 7

Cours de Comman

E
A(s) B(s)
(s)A(s) + +-

B(s)

(s)A(s)

S

E s)A(s) +

+

A(s)'(s)

H1(s)+-

E s) (

H2(s)

+

B(s)+-

s)

C(s)

A(s)

A(s)+-

E s) s)

B(s)

de

S

(s)

(s)

(s)

(s)

s)

(s)

+-

(s)

E
A(s).B(s)
(s) A(s)-B+

(s) S sA(s)

S (sA(s)

(s)+

+

E (s)

A

(s) H1(s)1+H1(s).H-

B+-

(s)

C(s)

A(s)

A(s)

B(s)A(s)

(

S s)
E S E (s)
)

)

(s)

2(s)

(s)

A(s1

(

(

'

S
E E
'

(s)
(
E

S
E
'

S

(
S E
(s)
E( S E S
S s)
( S( E
)
(
55

C. DETERMINATION GRAPHIQUE DU LIEU DE TRANSFERT D’UN SYSTEME EN BOUCLE FERMEE

On considère la forme suivante de système bouclé

+ +

-

+L(s)Rc(s)

y

d

e yryc

L(s) est le transfert de boucle, et les fonctions de transfert en asservissement et en régulation sont respectivement

)()()(1)()( sTsRsL

sLsRYY cc

c =+⋅= , )()(1

1 sSsLDY =+=

Pour discuter des performances du système bouclé, on pourrait développer le calcul en recherchant les racines du dénominateur des deux fonctions de transfert précédentes. Mais, cela est peu intéressant car le calcul serait à refaire à chaque fois qu'on modifierait un paramètre dans le transfert de boucle (rappel : le transfert de boucle est composé des fonctions de transfert du correcteur et du système L(s) = C(s)F(s)). On utilise alors une méthode graphique plus rapide et plus sûre. Le résultat sera utilisé dans le chapitre pour l’analyse des systèmes.

1. Transformation Transfert de Boucle – Transfert de sensibilité complémentaire

Dans le but de simplifier l’exposé, on suppose que Rc(s)=1. Donc, la sensibilité complémentaire s’écrit

)(1)()( sL

sLsT +=

L’idée est de chercher un moyen simple permettant de passer du lieu de transfert de boucle L(s) (qui caractérise le système en boucle ouverte) au lieu de transfert de sensibilité complémentaire T(s) (qui caractérise le système en boucle fermée). On suppose que L(s) est caractérisé en régime harmonique par : • un module )(ωLA = dépendant de la pulsation, • un argument ϕ ω( ) dépendant de la pulsation. On peut montrer que T(jω) est aussi un complexe dont le module et l'argument dépendent directement de et de A ϕ ω( ) . En effet, T(jω) est caractérisé en régime harmonique par :

• un module ϕcos21 2 ⋅++

=AA

AB ,


• un argument )cossintan( ϕ

ϕψ += AA .

Démonstration On calcule T(jw) en posant )sin(cos)( ϕϕω ⋅+⋅= jAjL .

FTBFA j

A jA j A j A

A A

AA j A j j A A

A A

AA j

A AA

=⋅ + ⋅

+ ⋅ + ⋅

=⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅

+ ⋅ + ⋅

= ⋅+ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

+ ⋅ + ⋅

= ⋅+ + ⋅+ ⋅ +

=

(cos sin )(cos sin )

(cos sin ) ( cos sin )( cos ) sin

cos cos sin cos sin sin cos sin( cos ) sin

cos sincos

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕϕ

11

1

1

1 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

ϕ

1 2 2+ ⋅ +⋅ + + ⋅

A AA j

cos[( cos ) sin ]

ϕϕ ϕ

T(jω)

On en déduit alors le module

AA A

A

AA A

A A

A

A A

=+ ⋅ +

⋅ + +

=+ ⋅ +

⋅ + ⋅ +

=+ ⋅ +

1 2

1 21 2

1 2

22 2

22

2

cos( cos ) sin

coscos

cos

ϕϕ ϕ

ϕϕ

ϕ

FTBF|T(jω)|

ainsi que l’argument

ψϕ

ϕ=

+arctg

A[

sincos

]

CONCLUSION Pour tout ω, à un point du lieu de transfert de boucle L(jω) de coordonnées [ A( ), ( )ω ϕ ω ] correspond un point du lieu de transfert de la sensibilité complémentaire T(jω) de coordonnées [ B( ), ( )ω ψ ω ]. Pour réaliser cette transformation, on utilise l'abaque de Black-Nichols, sur lequel apparaissent des contours en gain et des contours en phase. Cet abaque réalise la transformation :

XX

X( )

( )( )

ωω

ω→

+1

2. Détermination graphique du lieu de transfert de la sensibilité complémentaire


Dans un premier temps, on trace le lieu de transfert de boucle dans le plan de Black-Nichols. A un point M quelconque de ce lieu correspondant à une pulsation ω, on lit : • sur les axes, le gain et la phase du transfert de boucle AM et ϕ M , • les valeurs des contours d'amplitude passant par le point M : ces valeurs correspondent

au gain et à la phase de la sensibilité complémentaire BM et Mψ . Exemple (voir page suivante). Le tracé noir est le lieu de transfert de boucle tracé point-à-point. A partir de ce tracé, on en déduit qu’au point M,

Le transfert de boucle (qui caractérise le système en boucle ouverte) a un gain de 8dB et une phase de –100°, La sensibilité complémentaire (qui caractérise le système en boucle fermée) a un gain

de 0dB et une phase d’environ 23°.

3. Détermination des paramètres du système en boucle fermée On suppose que le système admet un gain statique K, c’est à dire F(0) = K, et que le correcteur admet un gain statique KC, c’est à dire C(0) = KC. L’un des paramètres réglables du correcteur est le gain statique du correcteur. Cela implique alors que le gain statique du transfert de boucle L(s) est modifiable. Dans le plan de Black, multiplier le gain du correcteur Kc d’un facteur α > 1 à partir d’un réglage donné revient à translater le lieu de transfert de boucle verticalement vers le haut de 20 Log10(α). Au contraire, si α < 1, on translate le lieu de transfert de boucle verticalement vers le bas de -20 Log10(α). A partir de la lecture du lieu de transfert de la sensibilité complémentaire dans le plan de Black-Nichols, on peut déterminer : • la pulsation de résonance de la sensibilité complémentaire (donc, du système en boucle

fermée), correspondant à la pulsation pour laquelle la sensibilité complémentaire a un gain maximum. Cette pulsation est égale à celle pour laquelle le lieu est le plus proche du point centrale de l'abaque. Exemple (voir page suivante). La pulsation de résonance du transfert de boucle est ωR (pulsation pour laquelle le transfert de boucle a un module de gain maximum, ), alors que la pulsation de résonance de la sensibilité complémentaire est ω

dB A MAXdB 10=

R’ (pulsation pour laquelle la sensibilité complémentaire a un module de gain maximum, ). A noter que ω dB B MAXdB 5.6≅ R’> ωR.

• le facteur de résonance de la sensibilité complémentaire. Exemple (voir page suivante). Le facteur de résonance du transfert de boucle est égal à QLdB = 5 dB (Gain statique = 5 dB, Gain max = 10 dB), alors que le facteur de résonance de la sensibilité complémentaire est égal à QTdB = 10.5 dB (Gain statique = -4 dB, Gain Max = 6.5 dB).

On peut ainsi déduire : • le coefficient d'amortissement du système du second degré équivalent à la sensibilité

complémentaire à partir de

2121

ξξ −⋅= TdBQ


ABAQUE DE BLACK-NICHOLS


• la pulsation propre non amortie du système du second degré équivalent à la sensibilité

complémentaire à partir de

2

'

1 ξωω−

= RTn

A partir de ces informations, on est capable de déduire les valeurs du premier dépassement X1, du temps de montée tm, du temps du 1er pic tpic et du temps de réponse tr de la sensibilité complémentaire, donc du système bouclé. Enfin, on peut déduire la pulsation de coupure de la sensibilité complémentaire (et donc du système en boucle fermée) : on rappelle qu’il s'agit de la pulsation correspondant à l'intersection du lieu de transfert de la sensibilité complémentaire avec le contour d'amplitude (Gain Statique - 3 dB). Exemple (voir page suivante). La pulsation de coupure du transfert de boucle est la pulsation pour laquelle le module du transfert de boucle est égal à 2 dB (Gain statique du transfert de boucle = 5 dB), alors que la pulsation de résonance de la sensibilité complémentaire est la pulsation pour laquelle le module de la sensibilité complémentaire est égal à –7 dB (Gain statique du transfert de boucle = -4 dB). Il apparaît clairement que, pour cet exemple, la pulsation de coupure de la sensibilité complémentaire est supérieure à celle du transfert de boucle : cela signifie que le système en boucle fermée a une bande passante plus large que celle du système en boucle ouverte. Le système en boucle fermée sera donc plus rapide, mais également plus sensible aux bruits.

D. INTERET DE LA BOUCLE FERMEE Dans toute cette partie, on suppose que le système est bouclé de la manière suivante

L(s)y e yc

+ -

1. Cas du 1er ordre Soit un système défini par un transfert de boucle L(s)(on suppose K > 0)

sKsL ⋅+= τ1)(

On boucle le système avec un retour unitaire. La sensibilité complémentaire (caractérisant la fonction de transfert en boucle fermée) s’écrit

sK

KK

sLsL

YY

c ⋅+++=+=

111

)(1)(

τ

• Le gain statique de la sensibilité complémentaire est K / ( K+1 ), est donc inférieur à 1, et

tend vers 1 quand K tend vers l’infini: pour avoir une bonne précision, il faut donc augmenter le gain K de façon à obtenir, après le régime transitoire, Y = Yc.


• La constante de temps de la sensibilité complémentaire τ’ = τ / (K+1) est plus faible que la constante de temps du système en boucle ouverte. Le système en boucle fermée est donc plus rapide qu’en boucle ouverte.

2. Cas d'un intégrateur On considère un système dont le transfert de boucle s'écrit (K > 0)

sKsL ⋅=τ)(

On boucle le système avec un retour unitaire. La sensibilité complémentaire (caractérisant la fonction de transfert en boucle fermée) s’écrit

sKsL

sLYY

c ⋅+=+= τ 1

1)(1

)(

• Le gain statique de la sensibilité complémentaire est égal à 1 : il n'y a donc pas d'écart

entre la consigne Yc et la sortie Y. • Si l'entrée est impulsionnelle, la sortie Y est de nature exponentielle décroissante, puis

revient au repos : l'effet déstabilisateur de l'intégrateur est supprimé.

3. Cas d'un deuxième ordre On considère un système dont le transfert de boucle s'écrit (K > 0)

2)(21)(

nnss

KsLωω

ξ ++=

On boucle le système avec un retour unitaire. La sensibilité complémentaire s’écrit

22 )'(''21

')(21

nnnnc ss

KssK

KYY

ωωξ

ωωξ

++

=+++

=

• Le gain statique de la sensibilité complémentaire est égal à KK

K'=

+ 1. Le gain statique est

donc inférieur à 1, et tend vers 1 si K augmente. • La pulsation propre non amortie de la sensibilité complémentaire est égale à

ω ωn n K' = ⋅ + 1 . La bande passante augmente : le système est alors plus rapide.

• Le coefficient d'amortissement de la sensibilité complémentaire est égal à 1

'+

=K

ξξ .

Le coefficient d'amortissement diminue donc : ceci est particulièrement intéressant pour le cas des systèmes rapides.

E. CONCLUSIONS Boucler un système par un retour proportionnel • conserve l'ordre du système,


• améliore la précision statique, d'autant plus que le gain en boucle ouverte est élevé ; si, de plus, le système contient un intégrateur, le gain statique est égal à 1 (en boucle fermée),

• augmente la bande passante.


VII. PERFORMANCES DE SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES CONTINUS

STABILITE DES SYSTEMES BOUCLES

A. DEFINITION Un système est dit STABLE si, au repos et excité par une impulsion de Dirac, il revient en un temps fini à sa position de repos. Il est instable dans le cas contraire. On considère un système de fonction de transfert F(s) excité par une impulsion de Dirac (u(t) = δ(t) - U(s) = 1) :

)()()()( sFsUsFsY =⋅=

Or, toutes le fonctions de transfert peuvent être décomposées en la somme de fractions "simples" du 1er et du 2nd ordre :

∑∑+⋅+

+⋅+−=j

njnjj

jj

i ii

ssCsB

ssAsF

2)(21)(

ωωξ

avec i j n+ =2 (ordre du système). On peut donc déduire la forme de y(t) :

)cos()( jjta

jj

i

tsi teAeAty ji φω +⋅⋅⋅+⋅= ⋅⋅ ∑∑

THEOREME Un système linéaire continu n'est stable que si tous les pôles de sa fonction de transfert sont à partie réelle négative (si < 0), donc s'ils sont situés dans le ½ plan gauche de la variable s.

B. EXEMPLES

1. Système du 1er ordre

On a F sK

s( ) =

+ ⋅1 τ. Donc, la transformée de Laplace de la sortie s'écrit :

sKsUs

KsY ⋅+=⋅⋅+= ττ 1)(1)(

en supposant que l'entrée est une impulsion de Dirac. Donc, la sortie y(t) s'écrit :

ττ

teKty

−⋅= )(

2. Système du 2ème ordre On a

2)(21)(

nnss

KsFωω

ξ

+⋅+= . Donc, la transformée de Laplace de la variable de sortie s'écrit :


22 )(21)(

)(21)(

nnnnss

KsUss

KsYωω

ξωω

ξ +⋅+=⋅

+⋅+=

en supposant que l'entrée est une impulsion de Dirac. Si le coefficient d'amortissement est supérieur ou égal à 1, alors la réponse ne présente pas d'oscillations. Sinon, la réponse est oscillante.

C. CRITERES DE STABILITE D'UN SYSTEME BOUCLE On considère le système bouclé suivant :

Rc(s) yc L(s)

+ e

d

+ y yr +

-

Ce système est décrit par les fonctions de transfert suivantes

Transfert de boucle : L(s), Fonction de transfert en asservissement : TRL

LRYY cc

c =+= 1

Fonction de transfert en régulation : SLDY =+= 1

1

On rappelle que S(s) est la sensibilité, T(s) la sensibilité complémentaire, [1+L(s)] la différence de retour et Rc(s) le précompensateur. Si on suppose que Rc(s) est une fonction de transfert stable (on rappelle que le précompensateur est réglé par l’utilisateur, qui peut (doit ?) le rendre donc stable), la fonction de transfert en asservissement est stable si la fonction de transfert T(s) est stable. T(s) (et donc le système en boucle fermée) est stable si les pôles de T(s) sont à partie réelle négative. Or, ces pôles sont les racines de l'équation suivante :

0)(1 =+ sL (EQUATION CARACTERISTIQUE DU SYSTEME EN BOUCLE FERMEE)

Donc, étant donné la forme de la fonction de transfert de régulation, la condition de stabilité de cette dernière est la même que la stabilité de la fonction de transfert en asservissement. L’analyse de la stabilité du système en boucle fermée (que ce soit en asservissement ou en régulation) revient donc à étudier les racines de l’équation 1 + L(s) = 0. Dans le but d’analyser la stabilité du système en boucle fermée, il est nécessaire de déterminer de façon "simple" les racines de cette équation. Pour cela, deux types d'approches sont possibles :

• Méthodes ALGEBRIQUES, • Méthodes GRAPHIQUES.


1. Méthodes algébriques Ces méthodes permettent, en étudiant les coefficients de l'équation caractéristique (Méthode de ROUTH) ou les racines de l'équation caractéristique (Méthode de MIKAÏLOV), de conclure rapidement sur la stabilité du système en boucle fermée. • CRITERE DE ROUTH Ce critère permet de connaître le nombre de racines à partie réelle positive d’une équation du type

0)( 011

1 bsbsbsb sP nn

nn =++++= −−

sans la résoudre. Pour cela, on construit le tableau dont les deux premières lignes sont

bn bn-2 bn-4 bn-6 bn-1 bn-3 bn-5

Pour les cases correspondant à Les éléments Ai,j des lignes suivantes sont calculés à partir des éléments des lignes précédentes

Ai-2,1 Ai-2,2 … … Ai-2,j+1 ← Ligne i-2 Ai-1,1 Ai-1,2 … … Ai-1,j+1 ← Ligne i-1 Ai,1 Ai,2 … Ai,j Ai,j+1 ↑

Colonne 1 ↑

Colonne 2 ↑

Colonne j ↑

Colonne j+1

Le terme Ai,j est défini par

1,1

1,11,21,2,

−

+−−+−

×−=i

jiijiji A

AAAA

Le calcul s’arrête lorsque le terme de la première colonne est nul. Le nombre de changements de signe dans la première colonne du tableau ainsi rempli est égal au nombre de racines à partie réelle positive. EXEMPLE 1. Soit l’équation

64)( 2 ++−= ss s sP 3 On obtient le tableau suivant 1 1 0 0 -4 6 0 0 5/2 = 1 – 1×6/(-4) 0 = 0 – 1×0/(-4) 0 6 = 6 – (-4)×0/(5/2) 0 = 0 - (-4)×0/(5/2) 0 La première colonne présente 2 changements de signe : on peut donc en conclure que le polynôme P(s) a deux racines à partie réelle positive. Cela se vérifie en le résolvant, ses racines étant –1, +2 et +3.


EXEMPLE 2. Soit l’équation 12

121)( 2 +++= ss s sP 3

On obtient le tableau suivant 1 1/2 0 1/2 1 0 -3/2 0 1 0 0 La première colonne présente 2 changements de signe : on peut donc en conclure que le polynôme P(s) a deux racines à partie réelle positive. Cela se vérifie en le résolvant, ses racines étant –1 et 4/154/1 ± . • CRITERE DE MIKAÏLOV L'équation caractéristique s'écrit

)()()(1 ωω BjAsL ⋅+≡+ A(ω) étant la partie réelle, et B(ω) la partie imaginaire. Il est important de remarquer qu'on travaille désormais en harmonique. Le critère de Mikaïlov s'énonce de la manière suivante : Un système en boucle fermée est stable si les racines des 2 polynômes A(ω) et B(ω) sont strictement distinctes et régulièrement alternées sur l'axe des abscisses. EXEMPLE 1. Soit un système dont le transfert de boucle est donné par :

)1.01()1(4)( ssssL ⋅+⋅+⋅=

On étudie alors la structure intrinsèque de l'équation caractéristique :

1 14

1 1 014 1 1 01

1 1 014 11 01

1 1 01

2 3

+ ⋅ = +⋅ + ⋅ + ⋅

=+ ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅

=+ + ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅

R s F ss s ss s

s s ss s s

s s s

( ) (

s

)( ) ( . )( ) ( . )

( ) ( . ). .

( ) ( . )

1+L(s)

Les racines de l'équation caractéristique sont donc déterminées en résolvant l'équation :

01 11 4 03 2. .⋅ + ⋅ + + =s s s

En remplaçant la variable complexe s par la variable jω, et en séparant explicitement la partie réelle et la partie imaginaire de l'équation caractéristique, on a :

( . ) ( . )4 11 01 03− ⋅ + ⋅ − ⋅ =ω ω ωj ⇒ = − ⋅ = − ⋅A B( ) . , ( ) .ω ω ω ω4 11 012 3ω


ω étant une pulsation, la variable est donc considérée positive. A(ω) admet comme racine ω1 = 1.9 rad/s (= 4 11/ . ), et B(ω) ω2 = 0 rad/s et ω3 = 10 rad/s.

Re

Im

ω2

ω1

ω3

Les racines des parties réelles et imaginaires étant distinctes et régulièrement alternées, on peut alors conclure que le système en boucle fermée est stable. EXEMPLE 2. Soit un système dont le transfert de boucle est donné par :

)1.01()1()( sssKsL ⋅+⋅+⋅=

On étudie alors la structure intrinsèque de l'équation caractéristique :

1 11 1 011 1 01

1 1 0111 01

1 1 01

2 3

+ ⋅ = +⋅ + ⋅ + ⋅

=+ ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅

=+ + ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅

R s F sK

s s sK s s s

s s sK s s ss s s

( ) ( )( ) ( . )( ) ( .

( ) ( . ). .

( ) ( . )

)

1+L(s)

Les racines de l'équation caractéristique sont donc déterminées en résolvant l'équation :

01 11 03 2. .⋅ + ⋅ + + =s s s K

En remplaçant la variable complexe s par la variable jω, et en séparant explicitement la partie réelle et la partie imaginaire de l'équation caractéristique, on a :

( . ) ( . )K j− ⋅ + ⋅ − ⋅ =11 01 03ω ω ω ⇒ = − ⋅ = − ⋅A K B( ) . , ( ) .ω ω ω ω11 012 3ω

ω étant une pulsation, la variable est donc considérée positive. A(ω) admet comme racine ω1 11= K / . rad/s, et B(ω) ω2 = 0 rad/s et ω3 = 10 rad/s.

Le système est stable en boucle fermée si :

] [] [

ω ω ω

ω ω1 2 3

2 311

0 11

0 110 11

∈

⇒ ∈

⇒ < <

⇒ < <⇒

10

< <

,

/ . ,

/ .

K

K

KK


2. Méthodes graphiques

a) Critère de Nyquist Le critère de Nyquist est un critère de stabilité dans le domaine fréquentiel. Il permet d’étudier la stabilité de la fonction de transfert T(s) à partir du lieu de transfert de L(s). Ce critère est basé sur le Théorème de Cauchy.

(1) Théorème de Cauchy Soit F(s) une fonction complexe de la variable complexe s. Supposons que le point m, image de s, décrive dans le plan complexe le contour (C) dans le sens inverse trigonométrique. Le point M, image de F(s), décrit dans le plan complexe entièrement le contour (G). Les contours (C) et (G) se correspondent point à point. On note P le nombre de pôles de F(s) situés dans (C), et Z le nombre de zéros de F(s) situés dans (C).

(G)

F(s)

Im

s (C)

Im

ReRe

THEOREME. Le nombre de tours N de (G) autour de l’origine (compté positivement dans le sens trigonométrique) est égal à

N = P - Z

(2) Application à l’analyse de la stabilité Dans le cadre de l’étude de la stabilité des systèmes asservis, le but est de vérifier l’existence ou non de pôles instables (c’est à dire à partie réelle positive) de l’équation caractéristique 1+L(s) = 0. Pour cela, on adapte le Théorème de Cauchy à l’équation caractéristique :

La contour (C) avec R→ ∞, appelé contour de Nyquist, englobe tout le demi-plan complexe droit.


La fonction F(s) évaluée sur le contour (C ) est 1+L(s). L’objectif est donc clair : il s’agit d’évaluer le nombre de zéros de 1+L(s) situé dans le demi-plan complexe droit, ce qui indiquera la nature stable ou instable du système bouclé.

Afin d’illustrer la démarche, on suppose que le système étudié admet un transfert de boucle L(s) de gain statique K et que

0))L(j(lim =∞→

ωω

La variable s évoluant sur le demi-complexe droit, et étant donné que s ≡ jω, la construction de (G) s’effectue de la manière suivante

M décrit [OA], i.e. s = jω avec ω ∈ [0,∞[. M’, l’image de M par 1+L(jω), décrit un contour pour ω croissant. M décrit [BO], i.e. s = -jω avec ω ∈ [0,∞[. On a 1+L(-jω)= 1+conj(L(jω)). L(jω) étant

un fraction rationnelle, M’ décrit alors le symétrique du lieu précédent. M décrit le demi-cercle de rayon infini. Pour un système physique, le degré du

numérateur de L(s) est inférieur ou égal au degré du dénominateur : dans la figure ci-dessous, on suppose qu’il est strictement inférieur ⇒ |L(jω)| → 0 pour ω → ∞ ⇒ |1+L(jω)| → 1. Donc, M’ est infiniment proche du point 1 sur l’axe réel. Le contour (G) est donc fermé.

En appliquant le théorème de Cauchy, on peut déterminer le nombre Z de zéros de 1+L(s) à partie réelle positive (Z devant être nul pour que le système soit stable) si on connaît :

M

A R

Im

OO

B

Re

(C)

ω=0

Re(1+L)

Im(1+L)

0 1

ω>0

ω<0 (G)

ω=+∞

1+L(s)

ω=-∞ 1+K

le nombre P de pôles de 1+L(s) dans le demi plan droit, le nombre N de tours que fait l'image de (C) par 1+L(s) autour de l'origine, compté

dans le sens trigonométrique. Etant donné un système dont le transfert de boucle est L(s), P le nombre de pôles instables de 1+L(s) et N le nombre de tours de (G) autour de 0. Le système asservi est stable si et seulement si :

Z = P-N = 0


On peut faire également l'étude en considérant le transfert de boucle L(s) car

P est également le nombre de pôles instables de L(s), N est également le nombre de tours que fait l'image (G) de (C) par L(s) autour du

« Point Critique » -1.

M

A R

Im

OO

B

Re

(C)

ω>0

ω<0

ω=0

ω=-∞

(G’)

Re(L)

Im(L)

K -1

ω=+∞ 0

L(s)

Critère de Nyquist. Le transfert T(s) = L(s)/(L(s)+1) (boucle fermée) est stable si et seulement si, lorsque s décrit le contour de Nyquist (C), L(s) entoure le point critique (compté positif dans le sens trigonométrique) autant de fois que L(s) comporte de modes instables. Si N est le nombre de tours que (G’) fait autour de -1 (compté positif dans le sens trigonométrique), et P le nombre de pôles de L(s) à partie réelle strictement positive, alors

T(s) est stable ⇔ N = P EXEMPLE 1. Soit un système dont le transfert de boucle est (avec k>0 et τ>0)

τs1k sL

+=)(

Etape 1. L(s) admet un seul pôle (-1/τ) à partie réelle strictement négative. Donc,

P=0. Etape 2. Tracé du lieu de L(jω). (dans l’exemple traité ci-dessous, τ=1, k=5) le long

du contour de Nyquist. Etape 3. Le contour n’entoure pas le point critique (repéré par une croix sur la figure

ci-dessous) ; donc N=0. Aussi, on obtient Z=P-N=0. Il n’y a donc pas de zéros à partie réelle à l’intérieur du contour de Nyquist. Le polynôme 1+L(s) n’a pas de zéros à partie réelle >0.

Le système est donc stable en boucle fermée.


-2 -1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

isIm

ω>0

ω<0

ω=0 k

ω=+∞

ω=-∞

Re

EXEMPLE 2. Soit un système dont le transfert de boucle est (k > 0, T1 > 0, T2 > 0, T3 > 0)

)sT)(1sT)(1sT(1k sL

321 +++=)(

Etape 1. L(s) admet 3 pôles (-1/Ti, 1 ≤ i ≤ 3) à partie réelle strictement négative. Donc,

P=0. Etape 2. Tracé du lieu de L(jω). (dans l’exemple traité ci-dessous, T1 = 1, T2 = 1.2, T3

= 1.5,) le long du contour de Nyquist (Partie droite : Im(L(jω)) en fonction Re(L(jω)) – Partie gauche : Zoom autour du point critique).

Etape 3. Comme on le voit sur la figure précédente, le nombre N de tours que fait le lieu de transfert dépend de k. On obtient

Si k<8,37 ⇒ N=0 , P=0 ⇒ Z = 0 ⇒ le système bouclé est stable Si k>8.37 ⇒ N=-2 , P=0 ⇒ Z = 2 ⇒ le système bouclé est instable Si k = 8.37, le système est à la limite de l’instabilité.

(3) Cas des pôles de L(s) appartenant au contour de Nyquist


Si des pôles sont sur l’axe imaginaire, on ne peut plus utiliser le contour de Nyquist précédent. En effet, sont-ils à l’intérieur ou à l’extérieur ? Aussi, on utilise le contour de Nyquist modifié.

Dans ce cas, on fait éviter au contour de Nyquist les pôles par des demi-cercles dont le

ρρ →→ 00

ρρ →→ 00

ρρ →→ 00

Supposon

portion dmultiple

sL =→ )0(

infini. Il Arg[jω]. Lorsque Mimage pa EXEMPLE

Eco

Cours de C

A
rayon r tend vers 0.
Cas d'un intégrateur s = 0 On pose avec ρ → 0. θρ je s =

Cas d'un oscillateur pur s=±jω0 On pose avec ρ → 0. θρω jejs =±= 0

Le diagramme de Nyquist présente alors 00

R→∞

(C)

s que

e contositué

c slsk →(

s’agit On obt

parcr L(s) p

3. So

tape 1ntour

ommand

0-

0+

autant de branches infinies qu'il y a de pôles sur l'axe imaginaire.

)()( slsksL c= avec k le gain statique de L(s), l(0)=1, c la classe de L(s). La

ur (G) (résultat de la transformation de (C ) par L(s)) correspondante au pôle à l’origine est un cercle de centre O et de rayon k/ρc (vu que

csk=)0 )), ce qui implique qu’il s’agit d’un cercle de centre O et de rayon

maintenant de définir le sens de parcours de ce cercle : on a Arg[k/sc] = -c ient donc le tableau de variation suivant

M 0- → 0+ Arg[s] -π/2 → π/2

Arg[L(s)] cπ/2 → -cπ/2

ourt le demi-cercle de rayon ρ, de 0- à 0+ (dans le sens trigonométrique), son arcourt c demi-cercles (dans le sens inverse trigonométrique) de rayon infini.

it un système dont le transfert de boucle est (k > 0, T1 > 0, T2 > 0, T2 > T1)

)sT)(1sTs(1k sL

21 ++=)(

. L(s) admet 3 pôles (-1/Ti, 1 ≤ i ≤ 2 et 0) et sont donc tous à l’extérieur du de Nyquist modifié. Donc, P=0.

e 72

Etape 2. On trace le lieu de transfert de L(jω), tout d’abord pour ω ∈ ]0 ∞ [. Il est aisé de vérifier que

Pour ω → 0+, | L(jω)| → ∞ ; Re[L(jω)] → -k(T1+T2) ; Arg[L(jω)] = -π/2 rad.

Pour ω → ∞, | L(jω)| → 0 ; Arg[L(jω)] = -3π/2 rad. De plus, on peut montrer que le point d’intersection entre l’axe des réels et le lieu de transfert est d’abscisse –k(T1+T2)/ T1T2. On obtient le tracé pour ω ∈ ]-∞ 0[ par symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Une fois obtenu les deux branches qui correspondent aux pulsations non nulles (rouges sur la figure ci-dessus), il convient de fermer le contour en étudiant le comportement du lieu de transfert au voisinage de 0. Pour s → 0, le transfert de boucle est L(s) = K/s. Donc, si s → 0,alors |L| → ∞. D’un point de vue phase, on obtient Arg[L(s)] = -Arg[s]. Donc, on a

M 0- → 0+ Arg[s] -π/2 → π/2 Arg[L(s)] π/2 → -π/2

Ce tableau conduit donc au tracé en pointillés de la figure ci-dessus. Le « passage » de 0- à 0+ se fait dans le sens inverse de s (variation en sens opposée, voir tableau). Le rayon de ce cercle est infini.

Etape 3. Comme on le voit sur la figure précédente, le nombre N de tours que fait le

lieu de transfert autour du point critique (symbolisé par les deux disques noirs), le système sera stable ou instable. Cette propriété dépend évidemment de k. On obtient

Si k(T1+T2)/T1T2 < 1 (cas où le point critique est représenté par le disque noir de gauche), (G) n’entoure pas le point critique ⇒ N=0, P=0 ⇒ Z=0 ⇒ le système bouclé est stable. Si k(T1+T2)/T1T2 < 1 (cas où le point critique est représenté par le disque noir

de droite), (G) entoure 2 fois le point critique dans le sens trigonométrique inverse ⇒ N=-2, P=0 ⇒ Z=2 ⇒ le système bouclé est instable.


b) Critère du revers Il s’agit en fait d’une adaptation du critère de Nyquist au domaine fréquentiel physique, c’est à dire qu’on ne considère que les pulsations positives. Il permet donc d’étudier la stabilité de la fonction de transfert T(jω) à partir du lieu de transfert de boucle L(jω), et cela sans avoir besoin de « fermer » le contour et sans considérer les pulsations négatives. Le critère du revers s’applique à une classe de systèmes réduite répondant aux hypothèses suivantes :

H1. L(s) est à minimum de phase, H2. L(s) est stable au sens large, i.e. tous les pôles de L(s) sont à partie réelle

strictement négatives, et s’il existe des pôles sur l’axe imaginaire, ils doivent être simples.

CRITERE DU REVERS. Si, en parcourant dans le plan complexe le lieu de transfert de boucle d'un système satisfaisant les hypothèses H1-H2 dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique (-1,0) à gauche, le système en boucle fermée est stable. Il est instable dans le cas contraire.

EXEMPLE 1. Soit un système dont le transfert de boucle est (k > 0, T1 > 0, T2 > 0, T3 > 0)

)sT)(1sT)(1sT(1k sL

321 +++=)(

Le critère du revers est applicable, étant donné que L(s) est à minimum de phase et stable au sens large. Le lieu de transfert est décrit par (voir Exemple 2 du paragraphe précédent)


D’après le critère du Revers, pour k=5, le point critique (disque jaune au contour rouge) est laissé sur la gauche quand on parcourt le lieu dans le sens des ω croissants. Le système bouclé est donc stable. Par contre, pour k=12.5, le point critique est laissé sur la droite : le système bouclé est alors instable. EXEMPLE 2. Soit un système dont le transfert de boucle est (k > 0, T1 > 0, T2 > 0, T2 > T1)

)sT)(1sTs(1k sL

21 ++=)(

Le critère du revers est applicable, étant donné que L(s) est à minimum de phase et stable au sens large (par de pôle multiple sur l’axe imaginaire). Le lieu de transfert est décrit par (voir Exemple 3 du paragraphe précédent)

Cas n°1 (Trait plein – Figure ci-contre) : Si k(T1+T2)/T1T2 < 1, le point critique est laissé à gauche du point critique: le système bouclé est stable. Cas n°2 (Trait pointillé – Figure ci-contre) : Si k(T1+T2)/T1T2 > 1, le point critique est laissé à droite du point critique: le système bouclé est instable.


(1) Critère du revers dans le plan de Bode Dans le plan de Bode, le point critique admet pour coordonnées ( ( log( ); )20 1 180⋅ − ° = (0 dB;-180°). Le critère consiste donc à déterminer la valeur du gain du transfert de boucle quand son argument est égal à -180°. • Si le gain du transfert de boucle d’un système satisfaisant les hypothèses H1-H2 est

inférieur à 0 dB (gain naturel < 1) pour φ π= − , alors le système en boucle fermée est stable.

• Si le gain du transfert de boucle d’un système satisfaisant les hypothèses H1-H2est supérieur à 0 dB (gain naturel > 1) pour φ π= − , alors le système en boucle fermée est stable.

EXEMPLE

(2) Critère du revers dans le plan de Black-Nichols Dans le plan de Black, le point critique est (0 dB;-180°). Si le lieu de transfert de boucle d'un système satisfaisant les hypothèses H1-H2 laisse, en parcourant dans le sens des ω croissants, le point critique [-180° ; 0 dB] à droite, le système est stable en boucle fermée. Il est instable dans le cas contraire. EXEMPLE


3. Influence du gain statique sur la stabilité L'influence du gain statique est très importante quant à la stabilité du système. En effet, comme il a été vu précédemment, il est possible, avec un gain statique mal adapté, de faire passer le lieu de transfert de boucle au dessus du point critique, et donc de rendre instable le système en boucle fermée (malgré un amélioration de certaines performances comme la rapidité). CONCLUSION. Il existe donc une valeur appelée Gain Critique qui place le système en boucle fermée à la limite de l'instabilité : le lieu de transfert de boucle passe alors par le point critique. Le gain critique définit la stabilité absolue.

D. DEGRE DE STABILITE D'UN SYSTEME BOUCLE Apprécier le degré de stabilité, c'est quantifier l'éloignement du lieu de transfert du point critique. Il est important de prendre en compte qu'on ne peut se contenter de se placer trop près du point critique : il faut prévoir des MARGES. • Si le lieu de transfert de boucle est trop proche du point critique, on peut montrer qu'il

existe une résonance importante. En effet, on a alors un coefficient d'amortissement ξ faible, donc un système faiblement amorti et donc un temps de réponse important.

• Les variations du gain statique k (en pratique, cela peut être dû aux composants électroniques) peuvent rendre le système instable en faisant passer le lieu de transfert de l'autre côté du point critique.

• Il ne faut oublier l'influence des retards : ils peuvent avoir un effet déstabilisateur en déplaçant le lieu de transfert de boucle vers les phases négatives.

• Les processus physiques sont souvent en milieu bruité et non linéaires : le modèle mathématique souffre donc souvent d'imprécisions.

Il faut donc préserver le système de ces problèmes : la stabilité doit être ROBUSTE face à eux. Des valeurs "limites" permettent d'assurer une stabilité relativement robuste. • MARGE DE GAIN mG. La marge de gain,

notée mG, est la variation de gain quifait passer le lieu de transfert de bouclepar le point critique. Cette marge estégale à la distance en gain entre le lieude transfert de boucle et le pointcritique, pour Arg[L] = -180°.

• MARGE DE PHASE mφ. La marge de

phase, notée mφ, est la phase que l’ondoit ajouter pour que le lieu de transfertde boucle passe exactement par le pointcritique. Cette marge est à la distanceen phase entre le lieu de transfert deboucle et le point critique, pour 0=

dBL

dB.


• MARGE DE GAIN-PHASE mGφ. La marge de

module, notée mGφ, est la plus petitedistance entre le point critique et le lieu detransfert de boucle.

Les marges habituellement exigées sont 10dB < mg < 15dB

45° < mφ < 50° .25 < mgφ < .5

PRECISION STATIQUE DES SYSTEMES ASSERVIS E. INTRODUCTION

L‘objectif de l’asservissement d’un système est de faire suivre à la sortie y(t) une loi fixée par la consigne (on suppose dans la suite que yc(t) = yr(t)). Le but est d'avoir une erreur e(t)=yc(t)-y(t) tendant vers 0. La performance du système asservi en terme de précision statique est évaluée par le calcul de l’erreur de poursuite en régime établi

)(lim)(lim0

sEstest

⋅=→∞→

L'erreur permanente est égale à l'écart en régime permanent, ou erreur statique. Le système étudié est (avec L(s) le transfert de boucle et D(s) l’entrée de perturbation) :

Y (s) E(s) L(s) +

− Yc(s)+

D(s) On a

[ ])()()(1limlimlim00

sDsYsLs E(s) s e(t) c

sst

−⋅+=⋅=

→→∞→

F. SYSTEME SANS PERTURBATION ET ENTREE VARIABLE On suppose que D(s) = 0. On obtient alors


[ ])()(1limlimlim00

sYsLs E(s) s e(t) c

sst

⋅+=⋅=

→→∞→

L'erreur est liée à la forme de yc(t) et au transfert de boucle.

• INFLUENCE DE yc(t) (rappel) Si yc(t) est un échelon, alors l'erreur est appelée écart en

position ou relatif (et est noté ep(t)). Si yc(t) est une rampe, alors l'erreur est appelée écart en vitesse ou de traînage) (et est noté et(t)).

• INFLUENCE DE L(S). La forme de la réponse va dépendre du nombre d'intégrateurs que contient L(s). Donc, on a :

)()()( sMs

sNKsL r⋅⋅=

avec r, nombre entier appelé classe du système. A noter que :

+++=+++=== 221

221 1)(;1)(;1)0(;1)0( sbsbsMsasasNMN

1. Système de classe 0 Le système est tel que

)()()( sM

sNKsL ⋅= .

On obtient [ ])(limlimlim

00sYNKM

Ms E(s) s e(t) csst

⋅⋅+

⋅=⋅=→→∞→

• L’ENTREE EST UN ECHELON D’AMPLITUDE YC. L’écart statique est obtenu en appliquant le théorème de la valeur finale, avec Yc(s) = YC/s.

[ ] 1limlimlim00 K

YCs

YCNKM

Ms E(s) s e(t))(esst

p +=⋅⋅+⋅=⋅==∞

→→∞→

• L’ENTREE EST UNE RAMPE DE PENTE YC. L’écart de traînage est obtenu en appliquant le

théorème de la valeur finale, avec Yc(s) = YC/s.

∞=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅⋅+

⋅=⋅==∞→→∞→

200limlimlim s

YCNKM

Ms E(s) s e(t))(esstt


)()()( sMs

sNKsL ⋅⋅= .

On obtient

[ ])(limlimlim2

00sYNKMs

Ms E(s) s e(t) csst

⋅⋅+⋅

⋅=⋅=

→→∞→

• L’ENTREE EST UN ECHELON D’AMPLITUDE YC.

[ ] 0limlimlim2

00

=⋅⋅+⋅⋅

=⋅==∞→→∞→ s

YCNKMs


p


• L’ENTREE EST UNE RAMPE DE PENTE YC.

KYC

sYC

NKMsMs E(s) s e(t)e

sstt

=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅⋅+⋅

⋅=⋅==∞

→→∞→ 2

2

00limlimlim)(


)()()( 2 sMs

sNKsL ⋅⋅= .

On obtient

[ ])(limlimlim 2

3

00sYNKMs

Ms E(s) s e(t) csst

⋅⋅+⋅

⋅=⋅=

→→∞→

• L’ENTREE EST UN ECHELON D’AMPLITUDE YC.

[ ] 0limlimlim 2

3

00

=⋅⋅+⋅⋅

=⋅==∞→→∞→ s

YCNKMs


p

• L’ENTREE EST UNE RAMPE DE PENTE YC.

0limlimlim)( 22

3

00

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅⋅+⋅

⋅=⋅==∞

→→∞→ sYC

NKMsMs E(s) s e(t)e

sstt

PRECISION CLASSE 0 CLASSE 1 CLASSE 2 )(ep ∞ 1+K

YC 0 0

)(et ∞ ∞ K

YC 0

REMARQUES • Les calculs précédents montrent clairement qu’il est intéressant d’avoir au moins un

intégrateur dans la boucle de régulation, de façon à pouvoir au moins annuler l’écart de position.

• Il faut néanmoins limiter l’emploi de ces intégrateurs car ils peuvent rendre le système instable, vu qu’ils introduisent un déphasage de -90° (voir partie précédente).

• Une des possibilités de rendre le système « relativement » précis est d’augmenter le gain : en le rendant ainsi très grand, les écarts non nuls dans le tableau ci-dessus tendront vers 0. Là aussi, comme pour les intégrateurs, il faut faire attention à ne pas rendre le système instable.

G. SYSTEME AVEC PERTURBATIONS SEULES On suppose que yc(t) = 0. On obtient alors

[ ])()(1limlimlim00

sDsLs E(s) s e(t)

sst−⋅+=⋅=

→→∞→

L'erreur est liée à la forme de d(t) et au transfert de boucle.


Bien entendu, les calculs sont semblables à ceux de la section précédente, la seule différence étant celle du signe de l’erreur. On obtient alors (DC représente l’amplitude de la perturbation ; si cette dernière est une échelon, D(s) = DC/s – si elle est une rampe, D(s) = DC/s2).

PRECISION CLASSE 0 CLASSE 1 CLASSE 2 )(ep ∞ 1+− K

DC 0 0

)(et ∞ ∞ K

DC − 0

PRECISION DYNAMIQUE DES SYSTEMES ASSERVIS H. INTRODUCTION

Atteindre l’objectif fixé par la consigne est une chose ; prendre en compte le temps et les états transitoires nécessaires pour l’atteindre en est une autre, toute aussi importante. En effet, il est fréquent que le système ne supporte pas des transitoires supérieurs à une certaine valeur, ou encore que le régime permanent (avec une erreur statique la plus faible possible) doit être atteint en un temps donné. Il s’agit donc là de quantifier la DYNAMIQUE de l’erreur entre la sortie et la consigne. La précision dynamique chiffre l’erreur transitoire apparaissant dans la réponse à un échelon. Si on veut un amortissement élevé pour un temps pour un temps de réponse faible, on a intérêt à minimiser l’erreur dynamique, c’est à dire minimiser l’aire hachurée sur la figure ci-dessous. Cette aire hachurée correspond, en notant e(t) l’erreur entre la sortie et la consigne,

Time (sec.)

Amplitude

Step Response

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

∫e(t) dt Les bornes d’intégration dépendent de la valeur de l’erreur statique • Si l’erreur statique est nulle, on intègre de 0 à l’infini, • Si l’erreur statique n’est pas nulle, on intègre de 0 à 2 tr (tr étant le temps de réponse). On

considère en effet que , au bout de 2 tr, on est sûr que le régime transitoire est terminé. On pourrait se contenter d’intégrer l’erreur. Néanmoins, cette intégrale étant égale à la somme des aires hachurées, si on intègre la valeur algébrique de l’erreur de 0 à l’infini, l’intégrale


sera systématiquement nulle (même si le nombre de dépassements est important …). On définit donc un critère de performance (avec T égal à ∞ ou 2 tr).

∫=T

f[e(t)]dtI0

Ce critère dépend évidemment des paramètres du système asservi. Le but est maintenant de régler judicieusement ces paramètres de façon à minimiser la valeur de I, ce réglage dépendant du choix de la fonction f.

I. CRITERES DE PERFORMANCE

1. Critère IAE (Integral of Absolute Error) Le critère choisi est

∫=T

dte(t)I0

Par ce critère, tous les éléments de la réponse transitoire sont pris en compte. Plus la réponse est nerveuse et oscillatoire, plus l’intégrale est importante. On favorise ici les systèmes à amortissement moyen (réponse peu oscillante), et on pénalise les systèmes trop énergétiques. Pour un système du second ordre, le critère I est minimum pour un coefficient d’amortissement égal à 0.7.

2. Critère ISE (Integral of Square Error) Le critère, encore appelé de l’erreur quadratique ou de Hall-Satorius, est

∫=T

]dtt[eI0

2)(

Du fait que les écarts soient élevés au carré et inférieurs à 1, on minimise l’influence des dépassements de faible amplitude. En fait, on cherche surtout à minimiser l’aire du premier dépassement, ce qui impose un temps de montée plus faible, et donc un amortissement plus faible également. Pour un système du second ordre, le critère I est minimum pour un coefficient d’amortissement égal à 0.43.

3. Critère ITAE (Time Multiplied by Absolute Error) Le critère choisi est

∫ ⋅=T

dte(t)t I 0

L’introduction de la variable temps va favoriser les systèmes à réponse oscillante. Pour un système du second ordre, le critère I est minimum pour un coefficient d’amortissement égal à 0.7.


4. Critère ITSE (Time Multiplied by Square Error) Le critère choisi est

∫ ⋅=T

dt[e(t)]tI0

2

Ce critère insiste plutôt sur l’erreur en fin de régime transitoire (effet de la variable du temps) sans trop pénaliser le début du régime transitoire. Pour un système du second ordre, le critère I est minimum pour un coefficient d’amortissement égal à 0.58.



VIII. SYNTHESE DE REGULATEURS DANS LE DOMAINE FREQUENTIEL

A. INTRODUCTION La configuration standard d’une boucle d’asservissement ou de régulation est

C (s) y c u

d

y

−

y r + F(s)

+ + e

R c (s)

Régulateur ou Correcteur

Action. + Processus + Capteur

Le rôle du régulateur est :

- de stabiliser le processus ou d’accroître sa stabilité - de diminuer la sensibilité - d’augmenter les performances (par exemple la précision statique) - de diminuer le temps de réponse des réponses temporelles - d’augmenter la bande passante de la réponse fréquentielle - d’obtenir une bonne robustesse - …

Le bloc Rc(s), appelé précompensateur, n’est pas toujours indispensable mais il apporte un degré de liberté supplémentaire dans la conception du régulateur. On détermine, dans un premier temps, C(s) sur la base des exigences d’insensibilité et de robustesse. D’où :

F(s)C(s)F(s)C(s)T(s)

⋅+⋅= 1 )()()( sFsCsL ⋅=

Si ce transfert n’est pas entièrement satisfaisant en tant que transfert en asservissement, Rc(s) pourra apporter les corrections nécessaires, de manière à

- compenser un gain statique non unitaire de T(s), - compenser les pôles ou les zéros indésirables - adoucir les variations brusques de la consigne - …

Dans la suite de ce chapitre, on se propose de déterminer l’influence des régulateurs classiques sur le lieu de BLACK du transfert de boucle.


B. REGULATEUR A ACTION PROPORTIONNELLE Le régulateur est défini par la fonction de transfert suivante (avec K réel)

C(s) = K C’est l’action minimale indispensable. Néanmoins, le degré de liberté apporté par ce régulateur est très limité vu qu’il ne permet qu’une translation verticale du lieu de transfert de boucle dans le plan de BLACK.

Q

-180°

-90° 0°

20 Log10(|L|) (dB)

ω = ∞

L 1( j ω )

L 2( j ω )

L 3( j ω )

ω = 0

Φ°

Soit K1 la valeur de K conduisant aux marges de stabilité désirées : on règle par exemple ce gain de façon à avoir une surtension de Q en boucle fermée (voir figure ci-dessus : le lieu de transfert de boucle L1(jω) = K1 F(jω) tangente le contour correspondant à un gain égal à Q pour T(jω)) • Une augmentation du gain (K2 > K1) augmente les performances et diminue la sensibilité,

mais au détriment de la stabilité relative de la boucle fermée : en effet, les marges de phase et de gain diminuent (voir le transfert de boucle L2(jω)).

• Une diminution du gain (K3 < K 1) augmente les marges de stabilité, mais en contre partie diminue les performances et augmente la sensibilité (voir le transfert de boucle L3(jω)).

Dans la suite du chapitre, on suppose qu’un réglage préliminaire du gain K a été effectué de façon à obtenir les marges de stabilité (K = K1) désirées. Le transfert de boucle ainsi obtenu est noté L1(jω) = K1 F(jω) .


C. REGULATEUR A ACTION PROPORTIONNELLE ET DERIVEE

1. Correcteur à action P.D. Le régulateur est défini par la fonction de transfert suivante (avec K réel)

s)TK(C(s) d ⋅+= 1 Posons K = 1. Les courbes d’amplitude et de phase de C(jω) dans le plan de Bode sont

0.1 1 10

0

45

90 0

10

20

ωTd

ωTd

dB C

° Arg C

3 6 7

0.1 1 10

1

ωRTd

ωRTd

DIAGRAMME DE BODE DU CORRECTEUR P.D.

Le correcteur P.D. provoque un accroissement du gain et de la phase principalement en hautes fréquences. Le réglage de Td est simple. On relève la pulsation de résonance du système sans correcteur P.D., ωR, puis on choisit :

Rd

R ω10T

ω1

<<

Le correcteur P.D. permet d’augmenter fortement les marges de stabilité (voir Figure page suivante). De telles marges de stabilité ne sont pas très utiles et on pourra alors les réduire en agissant sur le gain K > K1. Dans ce cas, le gain du système en boucle fermée va augmenter en basses fréquences ce qui améliore l’insensibilité et les performances statiques.

On note qu’une valeur de Td trop grande conduit à une correction inefficace. En effet :

) RRRR F(ωC)(ωL)CF(ω)L(ω 11 =≅=


Q

-180° -90° 0°

dB

ω = ∞

L 1(jω ) ω = 0

Φ°

L( j ω )

ω R

CORRECTEUR P.D. CORRECTEMENT REGLE Une action proportionnelle est possible de

manière à réduire les marges, et à augmenter les performances statiques.

Q

-180°-90° 0°

dB

ω = ∞

L1(jω ) ω = 0

Φ°

L(jω)

ωR

CORRECTEUR P.D. MAL REGLE L’action du correcteur n’est pas efficace.

Remarque : Les grandes valeurs de Td sont contre indiquées car :

- elles augmentent |L(jωR)| et diminuent la stabilité relative, - elles augmentent fortement l’incidence des bruits de capteurs sur la commande, - elles conduisent à de fortes sollicitations des actionneurs pour des variations brusques

de la consigne ou de la perturbation.

2. Correcteur à avance de phase

Le correcteur P.D. étant physiquement irréalisable, on utilise en pratique un correcteur PD « approché » (avec T<< Td)

TssT KC(s) d

++= 1

1

Si on désire adopter de fortes valeurs de Td et diminuer les effets négatifs du correcteur P.D. idéal, on adoptera le correcteur à avance de phase décrit par (avec a > 1)

sTaTsKC(s) +

+= 11

On pose K = 1. Les courbes d’amplitude et de phase de C(jω) dans le plan de Bode sont données page suivante


Ta1

aT1

T1

0

20 loga

10 loga

ω

db |C|

Ta1

10T1

90°

-90°

Arg[C]°

ω

ΦM

T1

10aT1

aT10

DIAGRAMME DE BODE DU CORRECTEUR A AVANCE DE PHASE


Les expressions algébriques du gain et de la phase de C(jω) sont

22

222

11

ωTωTa

)jωC(+

+= )Tω(A)aTω(A)]jωArg[C( tantan −=

L’avance de phase maximale ΦM a lieu pour ω = ωM

( ) 011 22222 ωT

T ωTaaT dω

)]jωArg[C(d =+−+= ⇒ aT

ωM1 =

Cette avance de phase maximum est

11sin

21tan1tantan +

−==−== aaA

aa-A

aAaA)]jωArg[C(Φ MM

⇒ 1a1aAsinΦ M +

−= ou

M

M

sinΦ1sinΦ1a

−+

=

On constate qu’avec

aT1 voisin de ωR ou au moins T

1 ω aT

1R<< , on a une action

stabilisante efficace, d’autant plus importante que a est grand.

Q

-180°

-90° 0°

dB

ω = ∞

L 1( j ω ) ω = 0

Φ°

L( j ω )

ω R

T1 ω

aT1

R<<ACTION DU CORRECTEUR A AVANCE DE PHASE AVEC SUR LE LIEU DE TRANSFERT

DE BOUCLE DU SYSTEME


Il est très important d’effectuer un réglage satisfaisant des paramètres, sous peine d’avoir une correction inefficace pour RωaT

1 > ou déstabilisante pour RωT1< .

Q

-180°

-90° 0°

A dB

ω = ∞

L 1 ( j ω ) ω = 0

Φ°

L( j ω )

ω R

CORRECTEUR A AVANCE DE PHASE MAL REGLE

(correction inefficace)

Q

-180°

-90° 0°

A dB

ω = ∞

L 1 ( j ω )

ω = 0

Φ°

L( j ω ) ω R

CORRECTEUR A AVANCE DE PHASE MAL REGLE

(action déstabilisante)

RωaT1 >

RωT1<

En pratique, le coefficient a est souvent limité à 10 car, pour de fortes valeurs de a, on voit apparaître deux contre-indications (cela revient à avoir une action dérivée très forte)

- elles augmentent fortement l’incidence des bruits de capteurs sur la commande (dans le rapport a).

- elles conduisent à de fortes sollicitations des actionneurs pour des variations brusques de la consigne ou de la perturbation

EXEMPLE.

C (s)yc

ud

y

−

+ F(s)

+ + e

1 0

1 0

Considérons une variation en échelon de d (ou de yc) qui induit une variation brusque, sur l’écart e, d’amplitude e0. Pour le régulateur proportionnel, de gain K, la variation e0 sur e induit une variation instantanée u0 sur u de valeur : u0 = K e0. Pour un correcteur à avance de phase, de même gain K, cette variation brusque est : u0 = aK e0. En effet, d’après le théorème de la valeur initiale, on a

00

s0 eaK]se

Ts1aTs1s[Klimu =

++

=∞→


D. REGULATEUR A ACTION PROPORTIONNELLE - INTEGRALE

1. Correcteur à action P.I. Le régulateur est défini par la fonction de transfert suivante (avec K réel)

ii

i sTsTK)sTK(C(s) +=+= 111

Posons K = 1. Les courbes d’amplitude et de phase de C(jω) dans le plan de Bode sont

0

-90

-45

0 iT

1 iT10

1 iT

10 0

ω

ω

db |C|

Arg[C]

DIAGRAMME DE BODE DU CORRECTEUR P.D.

Le correcteur P.D. provoque un accroissement du gain et de la phase en basses fréquences. On choisit généralement, pour que l’effet déstabilisant de ces modifications de gain et de phase soit faible, avec ωR la pulsation de résonance du système sans correcteur

Ri

R ω10Tω

1 <<


Q

-180°

-90° 0°

dB

ω = ∞

L 1 ( j ω )

ω = 0

Φ° L( j ω )

ω R

ω = 0

CORRECTEUR P.I. (R

i ω10 voisin T )

Q

-180°

-90° 0°

dB

ω = ∞

L 1( j ω )

ω = 0

Φ° L( j ω )

ω R

ω = 0

CORRECTEUR P.I. (R

i ω1 voisin T )

Pour ce réglage, le retard de phase a un effet déstabilisant.

En pratique on obtient souvent une réponse qui « traîne » pour R

i ω10 T ≅ (voir réponse du

système ci-dessous).

t

y

0

Un réglage, R

i ω1 T ≅ , donne souvent de meilleurs résultats à condition, bien sûr, de diminuer

le gain K de façon à retrouver les bonnes marges de stabilité (ce qui diminue alors par exemple les performances statiques). La correction P.I. modifie peu la pulsation de résonance ; par rapport à la correction proportionnelle, elle a même tendance à la diminuer : les temps de réponse et donc les performances dynamiques ne s’en trouvent pas améliorés. Une augmentation du gain aux basses fréquences améliore les performances et diminue la sensibilité. La robustesse est conservée.


2. Correcteur à retard de phase Ce correcteur est en fait un correcteur P.I. « approché » sans toutefois introduire d’intégration (avec b > 1)

bTsTsKC(s) +

+= 11

Posons K = b. Les courbes d’amplitude et de phase de C(jω) dans le plan de Bode sont les symétriques, par rapport à l’axe des ω, de celles du correcteur à avance de phase

aT10

bT1

0

20 logb

-90°

-45°

0

10 logb

dB |C|

Arg[C]°

ω

ω aT10

DIAGRAMME DE BODE DU CORRECTEUR A RETARD DE PHASE

Le retard de phase maximum ΦM introduit par le correcteur à retard de phase a lieu pour ω =

ωM te que bT

1ωM = . Le retard de phase maximum introduit par le correcteur pour cette

pulsation est :

1b1bAsinΦ M +

−= ou

M

M

sinΦ1sinΦ1b

−+

=

Ce n’est pas l’effet du retard de phase qui est utilisé ici, mais plutôt la différence de gain entre les basses et les hautes fréquences, et donc la capacité que le correcteur a à introduire du gain en basses fréquences, ce qui augmentera alors le gain statique du système en boucle fermée, et


donc à améliorer la précision statique. Ce correcteur avec RωT1<< (par exemple :

ωou ωT1 RR

2010= …) permet d’augmenter, dans le rapport b, les gains dans le domaine des

basses fréquences tout en ne modifiant pas le lieu L1(jω) au voisinage de la pulsation ωR et des hautes fréquences.

Q

-180°

-90° 0°

dB

ω = ∞

L 1 ( j ω )

ω = 0

Φ° L( j ω )

ω R

ω = 0

20 log b

CORRECTEUR A RETARD DE PHASE (Action principale en basses fréquences)

Q

-180°

-90° 0°

dB

ω = ∞

L 1( j ω )

ω = 0

Φ° L( j ω )

ω R

ω = 0

20 log b

CORRECTEUR A RETARD DE PHASE MAL REGLE

( RωT1

> )

Le retard de phase a un effet déstabilisant qui, combiné à une augmentation de gain, diminue fortement les marges de stabilité.

3. Correcteur à retard de phase ou correcteur P.I. ? Le correcteur à retard de phase améliore la précision mais n’annule pas l’écart statique, contrairement au correcteur P.I. Mais ce serait une erreur d’utiliser un P.I. si l’écart statique nul n’est pas exigé par le cahier des charges. En effet, on peut montrer que l’amélioration des performances dégrade soit les marges de stabilité (ce n’est pas le cas ici si l’on respecte la méthode de réglage préconisée) soit la robustesse (c’est donc le cas ici).

E. REGULATEUR A ACTION PROPORTIONNELLE, INTEGRALE ET DERIVEE

1. Correcteur à action P.I.D. Ce type de correcteur combine les propriétés des correcteurs P.D. et P.I. La fonction de transfert du régulateur P.I.D. s’écrit :

i

diid

i sTsT TsTKs)TsTK(C(s)

2111 ++=++=

Posons K = 1. On a alors i

dii

TjωωT TωTj)jωC(

21 −+= . En posant


di

nn TT

ec ω avωωw 1 == et

d

i

TT

21 =ξ ,

on obtient

wj wwjC(jw) ξ

ξ2

21 2−+=

On en déduit une deuxième forme canonique de la fonction de transfert du P.I.D. :

n

n

ωsωs ω

ss)C( n

ξ

ξ

2

21 2

2++

= avec TT et

TTω

d

i

di

n 211 == ξ

Les formules inverses sont ω T et ωTn

dn

i ξξ

212 == . Etudions maintenant les

variations de la phase de C(jw) :

wjwj) w(jw)C( ξ

ξ2

21 2 +−= ⇒ )(w

-wwAArg[C(jw)] 190

12tan 2 ≤°−= ξ

⇒ )(w-w

wAArg[C(jw)] 19012tan 2 ≤°+= ξ

La courbe de phase de C(jw) est donc celle du second degré, changée de signe et décalée de 90° Arg[C]°

+90°

-90°

w10 10.1

ζ ζ ’

Etudions maintenant les variations du gain de C(jw) :

2

2

2

2

2222

22222

4212

41

441

ξξξ

ξξξ w

www) w(jw)C( +

−+=

+−=


( ) )w(dwjw)C(d

222

2114

1 −= ξ ⇒ 2jw)C( présente un minimum pour : w = 1 et |C(1)| = 1

La courbe de gain présente deux asymptotes, de pente +20 dB quand w → 0 et de pente -20 dB quand w→∞ . En effet posons

ωs ω

ss)N(nn 2

221 ++= ξ et ω

ss)D(n

ξ2=

et traçons |C(jw)| pour ζ > ½, puis pour ζ < ½:

dB |C|

asymptotesde |N| D

1

1 ξ2ξ21

w

20dB/dec

40dB/dec -20dB/dec

MODULE DE K(ju) (ξ> ½)

ς21ς2 1

asymptotes de |N|

D1

db |K|

w

20db/dec

40db/dec -20db/dec

MODULE DE (ju) (ξ < ½)

K

On obtient, comme pour les systèmes du second degré, deux réseaux de courbes universelles

u P.I.D., dont les paramètres sont les suivants

d

A B C D E F ξ 0.5 0.3 0.2 0.1 2 1

ωω w

n= ; T

T et TT

ωdi

din 2

11 == ξ


Bode de C(jw)

pulsation réduite : w

0

5

10

15

20

25

30

35

40

10 -1 100

10 1 -90

-45

0

45

90

A

B

C

D

E

F

A B

C D E

F

Phase (deg)

Gain (dB)

L’effet du correcteur P.I.D pour R

di

ωTT

1ω n <= est :

Q

-180°

-90° 0°

dB

ω = ∞

L 1 ( j ω )

ω = 0

Φ°

ω n

ω = 0

ω R

L’’( j ω )

L’( j ω ) L( j ω )

L’’( j ω )

L( j ω )

L’( j ω )

EFFET D’UN REGULATEUR P.I.D. ζ < ζ ‘< ζ’’

On constate une augmentation des performances due à l’intégration (basses fréquences) et une action stabilisante (haute fréquence) importante due à l’avance de phase pour ω > ωn. On note que le point ω = ωn est un point invariant car |C(jων)| = 1 et arg[C(jων)] = 0. En d’autres


termes, on fait « tourner » le lieu autour du point ωn et ceci d’autant plus que le coefficient ξ est faible. De telles marges de stabilité ne sont souvent pas très utiles et on peut alors adopter un gain K > K1 qui, grâce à cet augmentation, permettra d’améliorer la précision statique. Les pulsations de résonance ωR et de coupure ωC augmentent et les réponses temporelles sont plus rapides. L’amplitude de L(jω) va également augmenter aux basses fréquences et on améliore ainsi l’insensibilité et les performances. Si on choisit R

di

n ωTT

1ω >= , l’avance de phase apparaîtra trop tard et au contraire le retard

de phase, pour ω > ωn , aura pour effet de diminuer les marges de stabilité.

Q

-180°

-90° 0°

dB

ω = ∞

L 1( j ω )

ω = 0

Φ°

ω n

ω = 0

ω R

L( j ω )

EFFET D’UN REGULATEUR P.I.D. MAL REGLE

REMARQUE 1. En pratique, le terme sTd est toujours réalisé par τs1sTd

+ avec

nω1τ << .

REMARQUE 2. Les consignes varient souvent en échelon, le terme dérivée n’affecte presque jamais la consigne mais seulement la mesure comme le montre la figure ci-après


K F(s)i sT

1

sTd

d

e yy C u

_ _

+ +

+ + +

Régulateur P.I.D.

Processus

mesure

consigne commande

La commande s’écrit

-y)ysTTsTsT)(sTsTK(y]-y)-sT)(ysTK[(u C

dii

id

idC

i21

11111++

+++=+=

Le diagramme ci-dessus est donc équivalent à

F(s) 2

d i i i

s T T sT 1 sT1

+ + +

d

yy C u

_

+++

Processus mesure

consigne commande )dsT

isT1K(1 ++

K(s)R C (s)

y r

2. Correcteur à avance – retard de phase Ce type de correcteur combine les avantages des correcteurs à avance et retard de phase et sa fonction de transfert s’écrit (avec a > 1 et b > 1)

bT'sT's

sTaTsKC(s) +

+×++= 1

111

La méthode de réglage est la suivante

On commence par régler les coefficients a et T du terme à avance de phase, avec a le plus grand possible mais respectant les exigences d’amplitude des bruits (transmis sur les capteurs) et de sollicitation des actionneurs (en pratique a<10). On choisit

aT1

voisin de ωR. On règle ensuite les coefficients b et T du terme à retard de phase afin d’obtenir les

performances désirées (par exemple la précision statique), d’où la valeur de b. On

choisit 10ω

T'1 R< .


On vérifie enfin que L(jω) satisfait les marges de stabilité et est conforme au gabarit de performances – robustesse imposé.

F. CONCLUSION GENERALE Le cahier des charges d’un asservissement ou d’une régulation comprend un certain nombre de critères fréquentiels, temporels et technologiques : Critères fréquentiels

• Stabilité relative : marges de stabilité • Gabarit de performances • Gabarit de robustesse • Insensibilité aux perturbations ou aux variations du processus • Bande passante • …

Critères temporels

• précision statique • Dépassement (ou pas) de la réponse indicielle • Rapidité : temps de réponse, du 1èr dépassement, … • …

A ces critères fonctionnels il convient d’ajouter un certain nombre de contraintes technologiques. Par exemple :

• Ne pas transmettre les bruits de capteurs (trop) amplifiés sur les actionneurs • Ne pas brutaliser les actionneurs par des variations brusques de la consigne ou de

la perturbation. La détermination du type, puis le réglage d’un régulateur n’est donc pas un problème simple. Il n’y a pas de démarche standard conduisant directement à la bonne solution. Le choix du type de correcteur pourra se faire en allant du plus simple (correcteur P) au plus compliqué (régulateur P.I.D. ou correcteur à avance – retard).

Le premier travail consiste, bien sûr, à trouver un régulateur stabilisant. On confronte alors le transfert au gabarit de performances – robustesse. L’étape suivante consiste à apporter les corrections complémentaires en vue

d’améliorer l’insensibilité et la robustesse, tout en conservant les marges de stabilité. On vérifie ensuite les critères temporels. Pour cela on simule les réponses

temporelles sur lesquelles on relève les points caractéristiques. Enfin on s’assure que les contraintes technologiques sont respectées.

L’utilisation d’un logiciel de C.A.O. pour l’Automatique (Matlab et sa boîte à outils Commande par exemple) est indispensable.



IX. INTRODUCTION AUX TECHNIQUES DE REGULATION INDUSTRIELLE

A. STRUCTURES DES REGULATEURS INDUSTRIELS La régulation « simple boucle », comme vue précédemment, n’est pas toujours suffisante dans un contexte plus complexe, où les contraintes de précision et/ou de rapidité sont fortes. Aussi, il est fréquemment fait appel à des régulateurs à boucles multiples.

1. Régulateur en cascade Ce type de régulation permet de minimiser les effets d’une ou plusieurs perturbations pouvant agir

Soit sur la grandeur réglante, Soit sur une grandeur intermédiaire située en amont de la variable à régler.

Ainsi, on introduit une boucle interne dont le rôle va être détecter plus rapidement la perturbation et de compenser ses effets. Cette boucle interne a une dynamique plus rapide que la boucle externe.

e’’ue

-

+ yC1(s) C2(s) F1(s) F2(s)

R(s)

+ +

P u’’u’e’

+

- y’

yr

La régulation en cascade n’est possible que si la grandeur u’’ est mesurable. Cette dernière s’écrit

PRFC

URFC

FCsU1212

12

11

1)(

++

+=' '

Le correcteur est composé de 2 parties : un premier régulateur agir sur l’ensemble C1, tandis que l’autre régulateur agit sur la boucle interne C2. Pour que la perturbation n’ait pas d’influence sur U’’, il faut que le correcteur C2 ait un intégrateur, et que les pôles de 1/1+C2F1R soient faibles devant ceux de F2 (transitoires sur U’’ filtrés par F2).

2. Régulateur de tendance Dans une régulation en cascade ou en simple boucle, le premier correcteur réagit aux variations de la grandeur de la sortie, et non pas des perturbations. Si les perturbations sont mesurables, il est alors possible d’améliorer les performances du système bouclé en utilisant une chaîne de tendance.


u

-

+ yC(s) F1(s) F2(s) +

R(s)

+ -

P

+ u’’e’eyr

La perturbation est mesurée via l’élément R(s). On peut alors écrire

)(1

)1()(

1)(

21

121

21

21 sPFCFFRFF

sYFCF

FCFsY r+

−+

+=

Si R = 1/F1, alors la sortie est indépendante de la perturbation. On constate que la stabilité n’est pas affectée par cette chaîne de tendance car elle n’intervient pas au dénominateur des deux fractions de l’expression précédente.

3. Chaîne d’anticipation Une chaîne d’anticipation permet d’injecter en un point de la chaîne directe un signal fonction de la grandeur de consigne.

-

yC(s) F1(s) F2(s) + u’’+ e

+

R(s)

yr

On obtient alors

[ ] rrr YFCF

FCFRF Y RY)Y(YCFFY21

21212 1+

+=⇒+−=

Si F2R=1, alors Y = Yr. Dans tous les cas, on constate que la stabilité n’est pas affectée par la chaîne d’anticipation.

B. METHODES INDUSTRIELLES DE SYNTHESE D’UN PID Le problème de synthèse d’un correcteur n’est plus alors qu’un problème de réglage des actions proportionnelle, intégrale et dérivée. Comme les méthodes doivent être utilisées en milieu industrielle, elles se doivent d’être simples et rapides à mettre en œuvre, tout en étant le plus précises et efficaces possible. Il existe deux types de méthodes : empiriques et analytiques.


1. Méthodes empiriques

a) Méthode de Ziegler-Nichols Il s’agit de la méthode la plus ancienne, basée sur l’observation de la réponse du processus et la connaissance de la structure du correcteur. Le modèle supposé du système à commander est

sKesF

Ts−

=)(

(1) Essai en boucle ouverte Cet essai est réalisé s’il est possible d’ouvrir la boucle de commande. On règle alors

Le gain proportionnel à 1, L’action intégrale à ∞, L’action dérivée à 0.

L’entrée du sortie est un échelon, et on relève la sortie (avec K = ∆Y/∆Yr)

∆Yr ∆Y

τ T

Régulateur Réglage P Kp = T/τ PI Kp = 0.9 T/τ , Ti = 3.3 T

PID Kp = 1.27 T/τ , Ti = 2 T , Td = 0.5 T

(2) Essai en boucle fermée Cette méthode est utilisée quand le processus est instable en boucle ouverte, ou qu’il n’est pas techniquement possible d’ouvrir le boucle. On réalise alors un test de pompage. Pour cela, on règle

Le gain proportionnel jusqu’au gain critique Kpc, L’action intégrale à ∞, L’action dérivée à 0.

On mesure alors la période des oscillations, Tosc, que fait la sortie du système.

Régulateur Réglage P Kp = 0.5 KpcPI Kp = 0.45 Kpc , Ti = 0.83 Tosc

PID Kp = 0.6 Kpc , Ti = 0.5 Tosc , Td = 0.125 Tosc


b) Méthode de Chien-Hrones-Reswick Cette méthode s’appuie sur un modèle du processus du type

sKesF

Ts

τ+=−

1)(

Le réglage se fait à partir d’un essai en boucle ouverte et permet de régler le correcteur selon que le système bouclé travaille en régulation ou en poursuite.

Régulateur Réglage en régulation Réglage en poursuite P Kp = 0.3 τ/T Kp = 0.3 τ/T PI Kp = 0.6 τ/T , Ti = 4 T Kp = 0.6 τ/T , Ti = 1.2 τ

PID Kp = 0.95 τ/T , Ti = 2.4 T , Td = 0.4 T

Kp = 0.6 τ/T , Ti = τ , Td = 0.5 T

2. Réglages après identification du procédé Dans le but d’améliorer la précision des méthodes précédentes, on identifie dans un premier temps le système à commander.

a) Modèle non évolutif

Modèle de Broïda : sKesF

Ts

τ+=−

1)( → Choix du régulateur : lié au rapport τ / T →

τ / T >20 TOR 10 < τ / T <20 P 5 < τ / T <10 PI 2 < τ / T < 5 PID τ / T <2 Cascade Les réglages se font alors de la manière suivante, selon la structure du régulateur PID (voir page suivante) .

Action P PI série PI // PID série PID // PID mixte Kp 0.8τ/KT 0.8τ/KT 0.8τ/KT 0.8τ/KT 0.8τ/KT 0.8τ/KT Ti Max τ Kτ/0.8 τ Kτ/0.75 τ+0.4T Td 0 0 0 0.4τ 0.35τ/K Tτ/(T+2.5τ)

b) Modèle évolutif Identification faite en boucle fermée impérativement : on relève le gain critique Krc et les

périodes des oscillations de pompage Tosc, le modèle choisi étant plus simple seKsF

sT−

=)( . On

obtient alors les paramètres K et T, qui s’écrivent osc

rc

TKK28,6

= et 4oscTT= . Le choix du

régulateur et le réglage des paramètres successifs sont donnés par les tableaux suivants


K T <0.05 TOR 0.05 < KT <0.1 P 0.1 < KT <0.2 PI 0.2 < KT <0.5 PID KT >0.5 Cascade Les réglages se font alors de la manière suivante, selon la structure du régulateur PID (voir page suivante) .

Action P PI série PI // PID série PID // PID mixte Kp 0.8/KT 0.8/KT 0.8/KT 0.85/KT 0.9/KT 0.9/KT Ti Max 5T KΤ2/0.15 4.8T KΤ2/0.15 5.2T Td 0 0 0 0.4T 0.35/K 0.4T

3. Structure des régulateurs PID

Type Parallèle

di

p sTsT

KPID ++= 1

Type Mixte

Processus Kp

1/sTi

Tds

+

++

-

ProcessusKp

1/sTi

Tds

+

++

-

+

+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++= d

ip sTsTKPID 11


Type Série

ProcessusKp

1/sTi

Tds-

+

+

+

+ +

( )di

p sTsTKPID +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ += 111


Bibliographie

Jean-Marie PIASCO, Automatique fréquentielle – Option : Automatique, Ecole Centrale de Nantes, 2003/04. Jean-Luc JEANNEAU, Asservissements et régulation – Note de cours, Ecole Centrale de Nantes, 2001/02. Philippe DE LARMINAT, Automatique – Commande des systèmes linéaires, Edition Hermès, 1993. Maurice RIVOIRE et Jean-Louis FERRIER, Cours d’Automatique – Tomes 1 et 2, Edition Eyrolles, 1995. Michel VILLAIN, Signaux et systèmes à temps continu et discret : Automatique 1, Edition Ellipses, 1998. Michel VILLAIN, Systèmes asservis linéaires : Automatique 2, Edition Ellipses, 1998. Bernard BAYLE, Systèmes et asservissements à temps continu, ENSP Strasbourg, 2005/06.



2007/2008 EI2 - Tronc Commun

SYNTHESE DE CORRECTEURS :

DEUX EXEMPLES

COMDE

111


COMDEExemple 1

Fonction de transfert d’un mélangeur d’eau pure et de produit concentré

0.1s))(10.04s0.2s(10.1s)-2(1 G(s) 2 +++=

Système à déphasage non minimal (1 zéro à partie réelle positive)

K(s) G(s)e u y+

-yc

Régulateur proportionnel K(s) = K. Régler K pour obtenir un module maximum de la sensibilité complémentaire KG/(1+KG) de 2.3 dB.

Système en Boucle Fermée112


Pas de Correction K = 1

20Log10(0.35) = -9.12

Correction proportionnelleK = 0.35

ωR = 5.61 rad/s|T|MAX = |T(ωR)| = 2.3 dBQ = |T(ωR)| - |T(0)| = 10.04 dB

ωR

113


Réponse à un échelon.Ecart relatif ep = 58.8% = 1/(2*0.35)1er dépassement X1 = 60.3%Temps de réponse à 5% = 3.1 sec.Temps de pic = 0.73 sec.

114


Allure de la commande.

115


Régulateur PI : Régler K et Ti pour obtenir une réponse indicielle la plus rapide possible avec un dépassement inférieur à 25%.

sTsT1K K(s)

i

i+=

Dans un 1er temps, on règle K de manière à venir tangenter le contour 2.3dB, et Ti = 10/ωR. Comme le PI n’agit que sur les BF, le réglage de K est le même que précédemment, à savoir K = 0.35 et Ti = 1.782 sec.

Tangente le contour 3.3 dB

X1=23%

116


Lieu de transfert dans Bode de T |T(ωR)| = 3.31 dBωR = 5.5 rad/sQ = |T(ωR)| - |T(0)| = 3.31 dB

117


Réponse temporelle à un échelon

Pas de dépassement: le système traîne.

On va diminuer Tipour rendre le système

plus rapide

De façon à garder de« bonnes » marges de stabilité, on diminue K

118


On règle K = .175 et Ti = 1/ωR = .1781 sec. |T(ωR)| = 4.96 dBωR = 4.11 rad/sQ = |T(ωR)| - |T(0)| = 4.96 dB

119


Réponse temporelle à un échelon Ecart relatif ep = 0%1er dépassement X1 = 25%Temps de réponse à 5% = 3.36 sec.Temps de pic = 1.07 sec.

Correcteur proportionnelEcart relatif ep = 58.8% = 1/(2*0.35)1er dépassement X1 = 60.3%Temps de réponse à 5% = 3.1 sec.Temps de pic = 0.73 sec.

120



121


Régulateur PID : Régler K, Ti et Td pour obtenir une réponse indicielle la plus rapide possible avec un dépassement infé--rieur à 25%. s)TsT

1(1K K(s) di++=

Dans un 1er temps, on règle K de manière à venir tangenter le contour 2.3dB, K = 0.35. Ensuite, on choisit ωN < ωR = 5.61 rad/s. On fixe ωN = 4.2 rad/s. La dérivée se fait par l’intermédiaire d’un filtre, avec τ = 0.001s(τ <<< 1/ωN). On pose ζ = [0.5;0.75;1].

Surtension Q minimum pour ζ = 0.75.

On choisit donc ce cofficient ζ et on augmente le gain K de manière à obtenir un premier dépassement de 25%, ce qui induira un système le plus rapide possible.

122


Lieu de transfert K = .0.495, ζ = 0.75, ωN = 4.2 rad/s → Ti = 0.357 sec. et Td = 0.159 sec.

|T(ωR)| = 4.80 dBωR = 6.91 rad/sQ = |T(ωR)| - |T(0)| = 4.80 dB

BP augmentée: système plus rapideSurtension sensiblement la même

123


Réponse temporelle à un échelon Ecart relatif ep = 0%1er dépassement X1 = 25%Temps de réponse à 5% = 1.7 sec.Temps de pic = 0.72 sec.

Système plus rapide, sans avoir augmenté le premier dépassement eten conservant la précision

Ecart relatif ep = 58.8% = 1/(2*0.35)1er dépassement X1 = 60.3%Temps de réponse à 5% = 3.1 sec.Temps de pic = 0.73 sec.

124



125


Asservissement de position

yC K(s) G(s)u

-

+ y0.025s)s(1

9.794 G(s) +=

Régulateur proportionnel K(s) = K. Régler K pour obtenir un module maximum de la sensibilité complémentaire KG/(1+KG) de 2.3 dB.

COMDEExemple 2

126


K = 1K = 5.69 Q = 2.3 dB, ωR = 38 rad/s, ωC = 63.7 rad/s,

Régulateur proportionnel K(s) = K

127


Ecart relatif ep = 0%Ecart relatif rampe = 0.018 1er dépassement X1 = 23%Temps de réponse à 5% = 0.154 sec.Temps de pic = 0.074 sec.


128


Allure de la commande. Entrée maximale UMAX = 5.69Entrée minimale UMIN = -1.31

129


Régulateur à avance de phase : Régler K, a et T pour obtenir un écart relatif pour une consigne en rampe de 0.003,

tout en sollicitant le moins possible la commande et en autorisant une surtension de 2.3dB.

1a ,Ts1aTs)K(1 K(s) >++=

Le système à commander est de classe 1: donc, l’écart relatif pour une consigne en rampe est non nul et s’écrit

p1e

9.794.K= K = 34.03

130


Résultat de la correction proportionnelle K = 34.03

26°

ωR = 111.8 rad/s

131


On va régler le correcteur de telle sorte que le lieu de transfert soitdéplacé au maxi. de 26° pour la pulsation ωR, de façon à venir tangenter le contour 2.3dB, conformément au cahier des charges. Donc, on choisit le paramètre a tel que

2.56 )sin(1)sin(1 a

M

M =Φ−Φ+= 3 a =

Dans un 1er temps, on pose que l’action maxi. (d’un point de vue phase)du correcteur a lieu à la résonance, c.à.d.

a

1 TRω

= sec. 0.00516 T =

132


Correction K = 34.03Correction avance de phase

Module de T – Plan de Bode Q = 2.97dBωR = 157 rad/s

De manière à affiner les réglages (Q=2.3dB), on va « jouer » sur T et a.

133


On pose K = 34.03 et a = 3; on diminue le paramètre T, et on mesure Q

T (s) 0.0045 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037

Q (dB) 2.7 2.5975 2.5921 2.5919 2.5962

On pose K = 34.03 et T = 0.0038; on modifie a, et on mesure Q

a 3.3 3.5

Q (dB) 2.3 2.14

On pose K = 34.03 et a = 3.3; on diminue le paramètre T, et on mesure Q

T (s) 0.0038 0.0037 0.0036 0.0035

Q (dB) 2.2966 2.2896 2.2895 2.2946

134


Réglages du correcteur à avance de phase : K = 34.03, a = 3.3, T = 0.0036s

Q = 2.29 dB, ωR = 124.1 rad/s, ωC = 252.7 rad/s

135


Ecart relatif ep = 0% / rampe = 0.0031er dépassement X1 = 24.8%Temps de réponse à 5% = 0.031 sec.Temps de pic = 0.0187 sec.


Correcteur Proportionnel Ecart relatif ep = 0%Ecart relatif rampe = 0.0181er dépassement X1 = 23%Temps de réponse à 5% = 0.154 sec.Temps de pic = 0.074 sec.

136


Allure de la commande. Entrée maximale UMAX = 112.3 !!!Entrée minimale UMIN = -24.1 !!!

Entrée maximale UMAX = 5.69Entrée minimale UMIN = -1.31

137


Régulateur à retard de phase : Régler K, b et T pour obtenir un écart relatif pour une consigne en rampe de 0.003, en autorisant une surtension de 2.3dB et une réponse indicielle la plus rapide possible.

1b ,bTs1Ts)K(1 K(s) >++=

Le système à commander est de classe 1: donc, l’écart relatif pour une consigne en rampe est non nul et s’écrit

p1

9.794.Ke = K = 34.03

6 5.98 5.6934.03 b ≈==

Pour avoir la même action que le correcteur proportionnel (tangenter le contour 2.3dB) autour de la pulsation de résonance, l’apport du correcteur en HF est équivalent au correcteur prop.

Le paramètre T est réglé par (avec ωR = 37.87 rad/s, pulsation de résonan--ce du système avec correction proportionnelle)

sec. 0.264 w10 T

R==

138


Réglages du correcteur à retard de phase : K = 34.03, b = 6, T = 0.264 sec.

Q = 3.17 dB, ωR = 39.05 rad/sSurtension élevée :On augmente b pour obtenir Q = 2.3dB

139


Réglages du correcteur à retard de phase : K = 34.03, b = 8.4, T = 0.264 sec.

Q = 2.3 dB, ωR = 27.3 rad/s, ωC = 51.5 rad/s.

140


Ecart relatif ep = 0% / rampe = 0.0031er dépassement X1 = 27%Temps de réponse à 5% = 0.154 sec.Temps de pic = 0.093 sec.


Correcteur Proportionnel Ecart relatif ep = 0%Ecart relatif rampe = 0.0181er dépassement X1 = 23%Temps de réponse à 5% = 0.154 sec.Temps de pic = 0.074 sec.

141


Allure de la commande. Entrée maximale UMAX = 4.06Entrée minimale UMIN = -0.78

Entrée maximale UMAX = 5.69Entrée minimale UMIN = -1.31

142

Automotive

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