8/6/2019 4m6-2011

1/3

L-P-Bourguiba de Tunis Dure : 4 HDevoir de Synthse

Date : 13/5/2011 Classes : 4Maths 1-4-8

EXERCICE 1 : ( 3 points)

Rpondre par vrai ou faux

1. Soit la fonction f dfinie sur par :x

f(x)=5 . On a alors:

1

0

5f(x)dx

ln5=

2. Lespace est muni dun repre orthonorm direct ( )0,i,j,k

,

Soient les droites

x 2 tx y 6 0

: y 1 t ;t R e t ' :3x z 5 0

z 3 3t

= + =

= + + = =

Et h lhomothtie de centre A(0,0,1) et de rapport 2 alors h( ) ' = 3. Si un entier relatif x est solution de lquation:

2x x 0(mod 6) alors x 0(mod 6) ou x 2(mod 6)+

EXERCICE 2: (4points)

Dans lespace E muni dun repre orthonorm direct( )0,i,j,k

,

on considre les points A(2, 0,0), B(0,2,0), C(0,0,2), et D(2,2,2)

1/a. Montrer que les points A,B et C dterminent un plan Pb. Montrer que la droite (OD) est orthogonale au plan P.

c. Donner une quation cartsienne du plan P

2/Soit I le milieu [ ]OD

a. Montrer que I est le centre de la sphre (S) circonscrite au ttradre ABCD

b. Dterminer S P c. Calculer le volume du ttradre ABCD

3/ Soit h lapplication de E dans E qui tout M fait correspondre M

tel que MM ' 2OM=

a. Montrer que h est une homothtieb. Dterminer lexpression analytique de h et dterminer S=h

-1(S)

c. Montrer que S et S sont tangents un plan passant par O que lon dterminera.

8/6/2019 4m6-2011

2/3

EXERCICE 3: (4points)Pour coder un message, on procde de la manire suivante : chacune des 26 lettresde lalphabet , on commence par associer un entier n de lensemble

{ }0;1;2;.....;25 = selon le tableau ci-dessous :A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5

On dfinit le systme de codage laide de la transformation f suivante :

Si x alors x y ou y est le reste de la division euclidienne de 11x+8 par 26

1. Coder le mot TUNIS

2. a. Rsoudre dans Z xZ lquation : 11x-26y=1

b. En dduire les solutions de lquation :11x 1(mod26)

3. Montrer que si y=f(x) alors x 19y 4(mod 26) +4. Montrer que deux lettres sont codes de manires diffrentes

5. Dcoder le mot PMCR

EXERCICE 4 : (3points)Le tableau suivant donne les dpenses annuelles en milliers de dinars,en nergie lectrique dune usine de fabrication.

Anne 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Rang de lanne xi 1 2 3 4 5 6 7

Dpenses yi 18 24 33 48 72 96 126

1/a. Reprsenter le nuage de points associ la srie statistique (xi ,yi )

et le point moyen dans un repre orthogonal

b. Ecrire une quation de la droite dajustement affine D de y en x

par la mthode des moindres carrs

c. Reprsenter D dans le repre prcdent.

2/ En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation des dpenses en 2010.

3/ lallure de nuage permet denvisager un ajustement exponentiel.On pose zi = lnyi

a. Dterminer le coefficient de corrlation xz .Interprterb. Ecrire une quation de la droite dajustement affine de z en x par la mthode

des moindres carrs.c. En utilisant cet ajustement, donner une estimation des dpenses de lusine en 2013.

8/6/2019 4m6-2011

3/3

EXERCICE 5 : (6 points)

On considre la fonction f dfinie sur ] [0,+ par :ln x

f(x)x

=

On appelle C la courbe reprsentative de la fonction f dans le plan rapport

un RON j,i,o

Partie A1/ a. Dresser le tableau de variation de f

2/Ecrire lquation de la tangente T C au point dabscisse 1

3/On dsigne par g la fonction dfinie sur ] [0,+ par : g(x) = (x-1) f (x)

a. Montrer que ln x 2(x x 1)g'(x)2x x

+ =

b. Calculer g(1) et dduire le signe de g(x)c. Dresser le tableau de variation de g et dduire le signe de g.d. Donner la position de C et T

4/a. Tracer C

b. Calculer laire du domaine plan limit par la courbe C

et les droites dquations x = 1 et x = e2

Partie BPour tout entier naturel n 8 , soit la suite (Un) dfinie par :

k n

n

k 8

U f (k) f (8) f (9) ... f (n).=

=

= = + + +

1/ Montrer que la suite (Un) est croissante.

2/ Soit k un entier suprieur ou gal 8

a. Montrer que :k+1

kf (k 1) f(x)dx f (k)+

b. En dduire que pour tout entier naturel n 8 ,n+1

n 1 n8

U f (8) f(x)dx U+

c. A laide dune intgration par partie calculern

n8

I = f(x)dx

d. En dduire nnlim U+

3/ Pour tout entier naturel n 8 ,soit la suite (Vn) dfinie par :n+1

n n8

V U f(x)dx=

a. Montrer que pour tout entier naturel n 8 ,n+1

n n8

U f (8) f(x)dx U b. En dduire que (Vn) est borne

c. Dmontrer que (Vn) est croissante

d. Justifier que la suite (Vn) est convergente et que sa limite L vrifie 0 L 0,74