Apprentissage des mathématiques...Sur les enjeux Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 3 La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement,

Apprentissage des mathématiques

Cycle 3

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 1

Difficultés des élèves

Apprendre à partir de problèmes

Pistes de travail

À propos des programmes

Deux points importants pour penser leur mise en œuvre

2Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Sur les enjeux


� La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision.

� L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.

(Académie des Sciences, janvier 2007)

� La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision.

� L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification.

(Académie des Sciences, janvier 2007)

Sur la résolution de problèmes


� La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. (Socle commun, 2006)

� La résolution de problèmes joue un rôle essentieldans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (Programmes, 2008)

� La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. (Socle commun, 2006)

� La résolution de problèmes joue un rôle essentieldans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (Programmes, 2008)

Quelques préalables…


Sur l’évaluation et ses limitesSur la maîtrise d’un concept


Evaluation d’une compétence… ou d’un exercice ?

x

O

Y

70 %

Tracer la bissectrice de XOY

A

C

B

28 %

Tracer la bissectrice de BAC

Contexte de la situation support à l’évaluation

� Je déplace un pion sur une piste graduée. Enpartant de 0, je fais des bonds tous pareils de 8cases chacun. J’avance de 36 bonds. Sur quellecase vais-je arriver ?

� J’ai collé 8 images sur chaque page d’un albumqui a 36 pages. Combien d’images ai-je collées ?


Qu'évalue-t-on dans une tâche complexe ?

8

Sur ce dessin à main levée, on a représenté un rectangle ABCD et un cercle de centre A qui passe par D. Ce cercle coupe le segment [AB] au point E.

Trouve la longueur du segment [EB] ……………………………………..

Explique ta réponse : ….……………………………………………………

Trouve la longueur du segment [EB] ……………………………………..

Explique ta réponse : ….……………………………………………………Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

Annoncé par la DEP

� Organiser une démarche

� Résoudre un problème à étapes

Egalement en jeu

� Lire et comprendre le texte, en relation avec le schéma

� Comprendre un schéma à main levée

� Savoir qu'une longueur peut se mesurer… mais aussi se calculer

� Savoir qu'un cercle a un rayon constant

� Savoir que les côtés opposés d’un rectangle ont même longueur

� Elaborer la démarche

� Expliquer la démarche…9Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

D’où l’importance du travail d’analyse de la tâche

10

� Suite des actions nécessaires pour répondre

� Procédures possibles pour répondre (souvent diverses)

� Connaissances requises pour les mener à bien

Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

11

Résultats, procédures et techniques

- à mémoriser, à automatiser

- à savoir élaborer

Langage- analogique

- verbal

- symbolique

Propriétés- utilisées implicitement

- explicitées

Problèmesqu'il permet de résoudre

Maîtrise d’un concept : différents aspects


Analyse des difficultés


Evaluation 6e - 2005

13

10 objets identiques coûtent 22 €.

Combien coûtent 15 de ces objets ?

Procédure et réponse correctes : 35 %

Procédure correcte : 30,5 %

Calcul 22 x 15 : 11 %



Procédure et réponse correctes : 35 %

Procédure correcte : 30,5 %

Calcul 22 x 15 : 11 %


14

Analyse de la tâche

� Lire, comprendre, interpréter

� Imaginer une stratégie possible parmi plusieurs (raisonnement)

� Gérer la stratégie

� Interpréter le résultat

� Communiquer la réponse

� Lire, comprendre, interpréter

� Imaginer une stratégie possible parmi plusieurs (raisonnement)

� Gérer la stratégie

� Interpréter le résultat

� Communiquer la réponse






Quelques erreurs

� Calcul multiplicatif : 22 x 10 ou 22 x 15� Référence à un problème connu sans essayer de

comprendre la situation

� Texte interprété comme "10 objets coûtent 22 € chacun" (légitime !)

� Calcul additif� Réponse : 27 (5 de plus), obstacle classique

� Calcul avec toutes les données numériques� Stratégie qui "marche souvent"

� Autres

� Calcul multiplicatif : 22 x 10 ou 22 x 15� Référence à un problème connu sans essayer de

comprendre la situation

� Texte interprété comme "10 objets coûtent 22 € chacun" (légitime !)

� Calcul additif� Réponse : 27 (5 de plus), obstacle classique

� Calcul avec toutes les données numériques� Stratégie qui "marche souvent"

� Autres15


Combien coûtent 15 de ces objets ? ?


Combien coûtent 15 de ces objets ? ?


Evaluation 6e - 2003

16

Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.

Chaque page contient 6 photos.

a) Combien y a-t-il de pages complètes ?

b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?

Il y a ……… pages complètes. 54 %

Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %


17

Procédures possibles

� Division par 6� Division (CE2/CM1)

� Encadrement par deux multiples de 6� Table de multiplication (CE1/CE2)

� Addition de 6 en 6� Addition (CP/CE1)

� Schématisation des pages et des photos� Dénombrement (CP)

� Division par 6� Division (CE2/CM1)

� Encadrement par deux multiples de 6� Table de multiplication (CE1/CE2)

� Addition de 6 en 6� Addition (CP/CE1)

� Schématisation des pages et des photos� Dénombrement (CP)










Une question

Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème…

- ne pensent-ils pas…

- n’osent-ils pas…

- ne se croient-ils pas autorisés…

… (à) les utiliser pour répondre à la question ?

Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème…

- ne pensent-ils pas…

- n’osent-ils pas…

- ne se croient-ils pas autorisés…

… (à) les utiliser pour répondre à la question ?


Lorsqu’il est demandé aux élèves une prise

d’initiative (essais à faire), la réussite française est relativement faible.

La pratique de l’expérimentation en mathématiques (faire des essais, critiquer, recommencer…) est peu développée…

Note de la DEP n° 04.12

Lorsqu’il est demandé aux élèves une prise

d’initiative (essais à faire), la réussite française est relativement faible.

La pratique de l’expérimentation en mathématiques (faire des essais, critiquer, recommencer…) est peu développée…

Note de la DEP n° 04.12

19

Commentaire sur PISA 2003


Évaluation PISA – (Élèves de 15 ans)

20

Estimez l’aire de l’Antarctique en utilisant l’échelle de la carte.


Julie (évaluation 6e)

Julie a acheté pour un goûter :

- deux tablettes de chocolat à 8 F chacune

- quatre bouteilles de limonade à 6 F chacune

- un sac de brioches.

Elle a payé 56 F.

Quel est le prix du sac de brioches ?

8 F 8 F 8 F 8 F x 6 F = 54 F6 F = 54 F6 F = 54 F6 F = 54 FLe prix du sac de brioches est 2 F.Le prix du sac de brioches est 2 F.Le prix du sac de brioches est 2 F.Le prix du sac de brioches est 2 F.

Julie a acheté pour un goûter :

- deux tablettes de chocolat à 8 F chacune

- quatre bouteilles de limonade à 6 F chacune

- un sac de brioches.

Elle a payé 56 F.

Quel est le prix du sac de brioches ?

8 F 8 F 8 F 8 F x 6 F = 54 F6 F = 54 F6 F = 54 F6 F = 54 FLe prix du sac de brioches est 2 F.Le prix du sac de brioches est 2 F.Le prix du sac de brioches est 2 F.Le prix du sac de brioches est 2 F.


Schéma d’analyse sommaire

22

Connaissances et compétences

en lecture (ordre des informations,

place de la question)

sur le contexte

sur les concepts mathématiques

relatives aux raisonnement

en calcul

Connaissances

sur ce qui est attendu

sur ce qui est permis

sur ce qui marche souvent

sur "l'accueil"

des erreurs


À la bonne place (Evaluation CE2)

23

Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.

367 582 309

300 400 500 600

300 309309309309 400 367367367367 500 582582582582 600


Pour qu’un problème permette d’engager un apprentissage, il faut donc 2 conditions…

Du côté de la situation elle-même, en relation � Du côté de la situation elle-même, en relation avec les connaissances des élèves

� Du côté du contrat didactique et de la responsabilité de l’élève dans la production de la solution :

� Trouver une réponse correcte au problème posé par une procédure correcte

� Ou trouver une réponse attendue par l’enseignant par une procédure reconnue par l’enseignant


Quelques pistes…


Apprendre ce qu’est chercherchercherchercherchercherClarifier le contrat

Un mot à double sens

� Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées

� Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur

Un mot à double sens

� Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées

� Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur


Favoriser l’appropriation du problème

� Ne pas confondre lecture d’énoncé et résolution de problème

� Plusieurs supports de présentation� Vécu

� Dessin, schéma, document

� Oral

� Ecrit

� L'obstacle de la lecture doit être "atténué" pour certains élèves, à certains moments.� à condition de clarifier le rôle du matériel

� Ne pas confondre lecture d’énoncé et résolution de problème

� Plusieurs supports de présentation� Vécu

� Dessin, schéma, document

� Oral

� Ecrit

� L'obstacle de la lecture doit être "atténué" pour certains élèves, à certains moments.� à condition de clarifier le rôle du matériel


Rôle du matérielTechnique opératoire de la division par un

nombre à un chiffre (CE2)


- 7 cartes « 1 dizaine » et 8 cartes « 1 unité » sont affichées au tableau.

- Une première demande : « Ces cartes ont été gagnées par 3 joueurs. Combien cela représente-t-il de points ? »

- Le problème : « Ces 78 points doivent être répartis entre les 3 joueurs. Chacun doit en avoir exactement le même nombre. Que recevra chaque joueur ? »


Technique opératoire de la division par un nombre à un chiffre

� Aider à envisager une démarche (distribution)

� Illustrer la technique et ainsi aider à la compréhension de celle-ci

d u

7 8 3- 6 2 61 8 d u

- 1 80

� Aider à envisager une démarche (distribution)

� Illustrer la technique et ainsi aider à la compréhension de celle-ci

d u

7 8 3- 6 2 61 8 d u

- 1 80

• On partage d’abord les 7 dizaines en 3- donc 2 dizaines à chacun- on a donné 6 dizaines (2 × 3)- il en reste 1.• Avec les 8 unités de départ, cela fait 18 unités à partager en 3- donc 6 unités à chacun- on a donné 18 unités (6 × 3)- il en reste 0.


Réel / Anticipation

Réel

Favorise l’appropriationde la situation et du

problème

Réel

Favorise l’appropriationde la situation et du

problème

Anticipation

Incite à l'expérience mentale

Anticipation

Incite à l'expérience mentale

Permet la validation de la réponse ou d'une

procédure

Permet la validation de la réponse ou d'une

procédure

Oblige à élaborer des procédures

Oblige à élaborer des procédures

Limiter les références possibles à des indices «extérieurs» au problème

31

� Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours

� Éviter les indices de surface

� Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours

� Éviter les indices de surface


Accorder un autre statut à l'erreur

� Se tromper est normal… dans la phase d'apprentissage

� Dans cette phase, l'erreur ne doit donc pas être sanctionnée

� L’erreur informe

� On apprend aussi en travaillant sur les erreurs

� D'où l'importance de l'analyse des erreurs

� Se tromper est normal… dans la phase d'apprentissage

� Dans cette phase, l'erreur ne doit donc pas être sanctionnée

� L’erreur informe

� On apprend aussi en travaillant sur les erreurs

� D'où l'importance de l'analyse des erreurs


Quatre bandes (CM1)

33

4 bandes 8 cm 4 bandes 8 cm8 bandes 12 cm 8 bandes 16 cm

12 bandes 16 cm 12 bandes 24 cm


Apprendre à partir de problèmes


Une situation ouverte…

� n’est pas une situation floue

� n’est pas une situation complexe

� n’est pas une situation à l’issue incertaine

� est une situation que l’élève comprend

� dont il perçoit ce que peut être une solution

� mais dont il n’a pas la solution immédiatement

� et dont il sait être responsable de l’élaboration de la solution

� n’est pas une situation floue

� n’est pas une situation complexe

� n’est pas une situation à l’issue incertaine

� est une situation que l’élève comprend

� dont il perçoit ce que peut être une solution

� mais dont il n’a pas la solution immédiatement

� et dont il sait être responsable de l’élaboration de la solution


Deux catégories d’objectifs pour une situation ouverte

méthodologiques

� Développer des stratégies de recherche, d’investigation, de preuve

� Mettre en œuvre des solutions « personnelles »

� Travailler sur le contrat et la responsabilité de l’élève dans le traitement du problème

� Développer des stratégies de recherche, d’investigation, de preuve

� Mettre en œuvre des solutions « personnelles »

� Travailler sur le contrat et la responsabilité de l’élève dans le traitement du problème

notionnels

� Mettre en œuvre des solutions personnelles

� En percevoir les limites et les insuffisances

� S’approprier des solutions plus expertes, parfois un nouveau concept


Exemples de « problèmes pour chercher »

Objectifs méthodologiques (CM1)


Exemple de « problème pour chercher »Objectifs méthodologiques (CE2)


« Vous allez chercher à obtenir le plus possible de polygones différents en assemblant deux triangles par un côté.

Les deux côtés qui se touchent doivent avoir même longueur et leurs extrémités doivent coïncider ».

« Vous allez chercher à obtenir le plus possible de polygones différents en assemblant deux triangles par un côté.

Les deux côtés qui se touchent doivent avoir même longueur et leurs extrémités doivent coïncider ».

39

Exemples de « problèmes pour apprendre »Objectifs notionnels (CM2)


Voici un losange et un agrandissement de ce losange.

La figure et son agrandis-sement restent affichés au tableau.

Voici un losange et un agrandissement de ce losange.

La figure et son agrandis-sement restent affichés au tableau.

40

Exemples de « problèmes pour apprendre »Objectifs notionnels (CM2)


Par deux les élèves doivent se mettre d’accord sur une méthode de construction ;

Chacun réalise la construction sursa feuille ;

Les productions sont affichées et discutées ainsi que les méthodes utilisées

Le calque de l’agrandissement est ensuite utilisé pour valider

Par deux les élèves doivent se mettre d’accord sur une méthode de construction ;

Chacun réalise la construction sursa feuille ;

Les productions sont affichées et discutées ainsi que les méthodes utilisées

Le calque de l’agrandissement est ensuite utilisé pour valider

Exemples de « problèmes pour apprendre »objectifs notionnels (CM2)

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Validation expérimentale


Dans ces problèmes…

La situation et la question sont simples à � La situation et la question sont simples à comprendre

� La résolution n’est pas immédiate ou donne lieu à controverse, donc il y a quelque chose à apprendre

� Le choix des valeurs de certaines variables (et leur évolution) est primordial

� La validation n’est pas le fait de l’enseignant � c’est déterminant pour la responsabilité des élèves vis-à-vis de la résolution


Apprentissage par résolution de problèmes(4 schémas)

43

ElèveElève SituationSituation

Investigation

Connaissances anciennes : limites, insuffisances

Tentatives nouvelles

Rétroaction de la situation

Investigation

Connaissances anciennes : limites, insuffisances

Tentatives nouvelles

Rétroaction de la situation

ElèveElève ElèvesElèves

Confrontation

Explicitation

Controverse, argumentation

Appropriation d’autres stratégies

Confrontation

Explicitation

Controverse, argumentation

Appropriation d’autres stratégies


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ElèveElève EnseignantEnseignant

Mise en évidence, généralisation

Apport : stratégie, langage, mise en forme…

Réponses aux questions

Mise en évidence, généralisation

Apport : stratégie, langage, mise en forme…

Réponses aux questions

ElèveElève SituationsSituations

Exercices, entraînement

Evaluation

Adaptation des connaissances

Exercices, entraînement

Evaluation

Adaptation des connaissances


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