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1. Commandes des machines courant continu 1

2

MODELISATION DE LENSEMBLECONVERTISSEUR STATIQUE MOTEUR

ASYNCHRONE EN VUE DE LA COMMANDE

1. Introduction

Ds leur apparition, les moteurs asynchrones sont devenus trs utiliss danslindustrie grce leur simplicit de fabrication et de maintenance. Actuellement,de nombreuses applications industrielles ncessitent un contrle de vitesse, de

position et de couple. Lalimentation par un rseau triphas ne permet cescommandes car la frquence est constante; cest pour cela quon fait recours lalimentation par un convertisseur statique dlivrant une tension damplitude et defrquence variables. Plusieurs techniques sont tudies pour que lensembleconvertisseur moteur asynchrone fonctionne dans des conditions optimales.Une modlisation de cet ensemble convertisseur moteur asynchrone mrite dtretraite pour pouvoir contrler les diffrentes variables. Dans cette partie, on

prsente le modle de la machine asynchrone et celui du convertisseur statiqueainsi que la commande MLI vectorielle.

2. Les transformations

2-1 Transformation de Park

La transformation de PARK est ancienne (1929), si elle redevient lordre du jour, cest tout simplement parce que les progrs de la technologie descomposants permettent maintenant de la raliser en temps rel. Le vecteur espaceest mobile, il est dit espace de PARK. Il dcrit un repre dont laxe rel occupe la

position par rapport laxe de la phase1 du bobinage stator.

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Commande des machines

Cours labor par : Hasnaoui Othman

2

2( )

3 j

a e

= (2-1)

[ ]1

2

3

( ) Xd x Xq T x

Xo x

=

(2-2)

[ ]cos( ) cos( 2 / 3) cos( 4 / 3)

2( ) sin( ) sin( 2 / 3) sin( 4 / 3)

31 1 1

2 2 2

T

=

1 2 3

1 2 3

2 2 4[ cos( ) cos( ) cos( )]

3 3 3

2 2 4[ sin( ) sin( ) sin( )]

3 3 3

X x x x

j x x x

= + +

+ + + (2-3)

Le vecteur

Xd

Xq

Xo

reprsente les coordonnes de PARK du vecteur initial1

2

3

x

x

x

lors du changement de base. Ce qui reprsente le changement de coordonnes :

- Xd est appele composante directe de PARK - q X est appele composante en quadrature (ou encore transversale)

- Xo sapparente la composante homopolaire. Cette grandeur est nulle pour unsystme quilibr.Lintrt particulier de cette transformation apparat dans les points suivants :

i) dans le cas o le systme dorigine { }1 2 3, , x x x dcrit par exemple les courantsdun circuit triphas en toile, la composante homopolaire o X du systme image

{ }, ,d q o X X X correspond au courant passant dans le fil neutre. Par construction dela matrice de Park, ce courant homopolaire est nul si les courants { }1 2 3, , x x x forment un systme quilibr ou tout simplement leur somme

1 2 3( 0) x x x+ + = est

nulle,

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ii) lapplication de la transformation de Park avec un angle adquat aux modlesdes machines lectriques tournantes o les mutuelles inductances sont variablesavec la position du rotor permet de transformer ces modles en des modles

coefficients constants,

iii) les composantes directe d X et inverse q X du systme image { }, ,d q o X X X sont dcales de 90 , ce qui justifie lappellation composante en quadratureattribue la composante inverse. Cette proprit a deux interprtations physiquestrs intressantes notamment lorsque le systme dorigine est quilibr. Dune

part, nous pouvons thoriquement remplacer la machine triphase quilibre troisenroulements identiques rgulirement rpartis dans lespace de 120 par unemachine quivalente deux enroulements dcals de 90 : passage dune machinetriphase une machine biphase. Dautre part, lorthogonalit des composantesdirecte et inverse offre une mthode trs commode dans le traitement et lanalysedes grandeurs ; mthode dite du vecteur espace [10].

v) Cette transformation stend la notion de vecteur espace qui est uneinterprtation en termes de nombres complexes en rassemblant les deuxcomposantes d X et q X dans un nombre complexe.

2-2. Transformation de Concordia.

La figure (2-1) reprsente le passage dun repre fixe un autre tournant.

d

q

D

Q

CONCORDIA

PARK

Figure (2-1) : Repres de CONCORDIA et de PARK

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4

La transformation de Concordia est un cas particulier de la transformation de Park.Elle correspond en effet au cas ou on considre un angle de Park constammentnul. La matrice de transformation devient :

[ ] [ ]

1 11

2 2

2 3 3( 0) 0

3 2 21 1 1

2 2 2

C T

= = =

(2-4)

Il sagit donc dune transformation statique. Le vecteur espace est fixe, il est ditespace de CONCORDIA et il dcrit un repre dont laxe rel se confond aveclaxe de la phase 1 du stator :

23

ja e

= (2-5)

Le vecteur espace x dfini prcdemment se ramne :

1 2 3

2 1( )

3 2d q x x jx x j x x= + = + (2-6)

La relation (2-6) peut aussi scrire sous la forme suivante :

1 2 1

2 1(2 )

3 2d q x x jx x j x x= + = + + (2-7)

3. Notion de vecteur espace

La notion de vecteur espace permet de travailler avec deux variables au lieu detrois dune part et permet dautre part une meilleure vue de la dynamique derotation de la machine. Au sens de cette technique, on associe un ensemble detrois grandeurs 1 x , 2 x et 3 x appartenant lensemble des nombres rels un nombrecomplexe, dit vecteur des composantes directe et inverse. Dans un repre fixe(figure 2-1), ce vecteur est not x et est exprim par la relation (2-8).

1 22

32

3

2[1 ]

3

j

d q

x

x x jx a x a e

xa

= + = =

(2-8)

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Dans un repre en mouvement de rotation dangle , ce vecteur est not X . Il estobtenu par la relation (2-2) ou la relation quivalente (2-3) :

j D Q X X jX xe = + = (2-9)

cos( ) sin( )

sin( ) cos( ) D d

Q q

X x

X x

=

(2-10)

La symtrie des machines (par construction) et lquilibre des grandeurs permettent le passage du systme rel triphas { }1,2 ,3 un systme biphas{ },d q dont les composantes forment un nombre complexe, dit vecteur espace :

2

1 2 3

2[ ]

3d q x x j x x a x a x= + = + + (2-11)

Si23

ja e

= Le vecteur espace est fixe, il est dit espace de Concordia. Il dcrit un repre dontlaxe rel se confond avec laxe de la phase 1 du stator :

1 2 3

2 1( )3 2

d q x x j x x j x x= + = + (2-12)

Si2

( )3

ja e

= Le vecteur espace est mobile, il est dit espace de PARK. Il dcrit un repre dontlaxe rel occupe la position par rapport laxe de la phase 1 du stator.

1 2 3

1 2 3

2 2 4[ cos( ) cos( ) cos( )]

3 3 3

2 2 4[ sin( ) sin( ) sin( ) ]

3 3 3

d q X X j X x x x

j x x x

= + = + +

+ (2-13)

Il sen suit:

( ) j j X x e x X X e = = =

Lorsquil sagit de ltude dune drive temporelle, on dmontre ce qui suit :

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6

. j d x d X

j X dt dt e

= + (2-14)

Avec :d dt

= (2-15)

La puissance active dun systme triphas quelconque sexprime en fonction descomposantes directe et inverse par :

1 1 2 2 3 3 d d q q p v i v i v i v i v i= + + = + (2-16)

Simulation dun exemple de transformation

4- Modlisation de lOnduleur triphas de tension

La figure (2-2) donne le schma de principe dun ensemble onduleur moteur asynchrone. Londuleur est aliment par une source de tension continue DC V . Lesinterrupteurs dun mme bras de londuleur sont toujours complmentaires.Chaque interrupteur de puissance est en ralit ralis par un transistor en anti-

parallle avec une diode. Ces composants sont supposs idaux.

3

21

o N31u23u

12u

1v

1i

~3

M Ov12

DC V

2

DC V

4c 5c

1c 2c 3c

6c

Figure (2-2) : Configuration Onduleur Machine asynchrone

Les interrupteurs de chaque bras de londuleur tant complmentaires ; il en est demme pour les signaux associs de commande. On peut donc crire :

4 1 5 2 6 31 1 1c c c c c c= = = (2-16)Les tensions simples du moteur sont notes

1( )v t ,

2( )v t et

3( )v t .

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Les tensions composes du moteur sont notes 12 ( )u t , 23 ( )u t et 31 ( )u t .

La tension 10v vaut 2 DC V lorsque 1 1c = et 4 0c = . Elle devient 2

DC V lorsque

1 0c = et 4 1c = . Le mme raisonnement est valable pour 20v en utilisant lescommandes 2c et 5c dune part et pour 30v en utilisant les commandes 3c et 6c .

Les tensions 10v , 20v et 30v sont donnes par les relations suivantes.

10 1 4 1

20 2 5 2

30 3 6 3

( ) (2 1)2 2

( ) (2 1)2 2

( ) (2 1)2 2

DC DC

DC DC

DC DC

V V v c c c

V V v c c c

V V v c c c

= = = =

= =

(2-17)

Les tensions composes sexpriment alors par :

12 10 20 1 2

23 20 30 2 3

31 30 10 3 1

( )

( )

( )

DC

DC

DC

u v v c c V

u v v c c V

u v v c c V

= = = = = =

(2-18)

Le systme de tension 1v , 2v et 3v est quilibr; ce qui permet dtablir lesexpressions des tensions simples :

12 311

12 312 1 12

12 313 1 31

32

32

3

u uv

u uv v u

u uv v u

=

= =

+= + =

(2-19)

En faisant intervenir les relations (2-18), on tire finalement :

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8

1 1 2 3

2 2 1 3

3 3 1 2

(2 )3

(2 ) 3

(2 )3

DC

DC

DC

V v c c c

V v c c c

V v c c c

=

=

=

(2-20)

Les tensions simples scrivent aussi sous la forme matricielle suivante :

1 1

2 2

3 3

2 1 1

1 2 13

1 1 2

DC

v cV

v c

v c

=

(2-21)

En considrant lexpression (2-11), la tension statorique exprime dans un reprede Concordia (li au stator) scrit alors de la faon suivante :

1 2 3

2 2 2( exp( ) exp( ))

3 3 3s sd sqv v jv v v j v j

= + = + + (2-21)

La relation (2-16) montre quil existe huit combinaisons possibles de ( 1c , 2c , 3c ).

A partir de ces combinaisons, nous dterminons huit vecteurs tensions dlivres par londuleur dont six non nulles ( 1 6,...,v v ) et deux sont nuls ( 0 7v et v ). Latable (2-1) illustre les vecteurs tension en fonction de ltat des interrupteurs. Lesfigures (2-3) et (2-4) reprsentent les vecteurs espace tension dlivrs par londuleur.

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Figure (2-4) : Hexagone des tensions de londuleur

qd s jvvv +=

+

23

21

32 jV DC

23

21

32 jV DC

23

21

32 jV DC

+

23

21

32 jV DC

DC V 32

DC V 32

0

0

0 0 0

00

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

11

1 1

11

1

11

1c 2c 3c k v0v

2v

3v

4v

5v

7v

6v

1v

Table(2-1) : combinaisons possibles

Figure (2-4) : Les vecteurs espace de tension de londuleur triphas

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10

5- la MLI vectorielle

Les vecteurs tension, fournis par londuleur, peuvent aussi scrire sous la formesuivante :

max max

2, , ( 1) , 1, 2, ... ,6

3 3vk j

k dc vk v V e V V k k

= = = = (2-22)

1 7 0v v= =

Soit ref v le vecteur tension de rfrence quon souhaite appliquer la machine un instant donn du rgime. On dtecte les deux vecteurs tension conscutifs de

londuleur entre lesquels se trouve le vecteur de rfrence ref v , soient k v et 1k v + ,figure(2-5). On applique alors k v pendant un intervalle de temps k et on applique

1k v + pendant un intervalle de temps 1k + .

k v

1+k v

ref v

d

q

ref

Figure (2-5): Synthse MLI spatiale

Le vecteur tension de londuleur tant constant sur la dure de chaque

commutation des cls. Alors pour que sa valeur moyenne sur cT soit gale ref v ,on obtient la relation suivante :

11k k k k ref

c

v vv

T

+++ = (2-23)

Soit encore en faisant intervenir les amplitudes et les phases des diffrentsvecteurs :

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1

max 1 maxk k j j

j ref k k ref

c

V e V eV e

T

+++ = (2-24)

En posant :max

ref V V

= , on peut aussi crire :

1

1k k j j j ref

k k ce e T e +++ = (2-25)

En multipliant la relation prcdente (2-25) par k j

e

, on obtient :

1( ) ( )1

k k k j j ref k k ce T e

+

++ = (2-26)

Soit encore, avec les notations dfinies par la figure (2-5):

1 j j

k k ce T e ++ = (2-27)

Daprs la relation (2-22), langle est constant et vaut3

= . La partie

imaginaire fournit :

1 2 sin( )3

k cT + = (2-28)

La partie relle son tour conduit :

1

1cos( )

2k k cT ++ = (2-29)

En injectant (2-28) dans (2-29) et en arrangeant les termes, on trouve:

1[ cos( ) sin( ) ]

3

2sin( )

33

k c

c

T

T

=

= (2-30)

La figure suivante fournit lvolution de ces deux rapports cycliques temporels enfonction de langle de (en degr) dans lintervalle [ ]0 / 3 pour 0.6 = :

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12

c

k T

c

k T

1+

0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

c

k T

ck T 1

+

Figure (2-6) : Evolution des rapports cycliques temporels en fonction de langle

Pendant la dure qui reste de la priode 1o c k k T += , on applique lun desdeux vecteurs nuls.

6- Diffrents modles du moteur asynchrone dans un repre fixeli au stator

6-1. Modle de base

En appliquant la transformation de Concordia aux grandeurs du stator, dune part,et celles du rotor dautre part avec un angle de Park m p = , on obtient lemodle suivant faisant apparatre la vitesse lectrique du rotor :

0

ss ss

r r r r

d v R i

dt

d R i j

dt

= +

= +

(2-33)

d dt

= (2-34)

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s r s s

r sr r

L i M i

L i M i

= +

= +(2-35)

En termes des composantes d q , des modules et des arguments, on retiendra lesnotations suivantes :

s

r

s

r

s

js ds qs s

jr dr qr r

js ds qs s

jr

dr qr r j

s ds qs s

j e

j e

i i j i I e

i i j i I e

v v j v V e

= + =

= + = = + =

= + = = + =

(2-36)

Il est noter que les vecteurs courant et flux rotoriques atteignent en rgime permanent la mme pulsation que les grandeurs statoriques. Ce sont des grandeursrotorique ramenes la frquence du stator.Gnralement on rassemble les quations magntiques dans une mme quationfaisant apparatre le coefficient de dispersion de Blondel et un rapport detransformation.

ss r s r i m = + (2-37)2

1s s r s r r

M M L m

L L L = = =

: Coefficient de dispersion de Blondel.

r m : Rapport de transformationCes quations permettent de reprsenter un schma quivalent, figure (2-7).

M

Rr s

R1

l 2l

r esv

r isi

Figure (2-7) : Schma quivalent par phase dune machine asynchrone .

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14

1 sl L M = et 2 r l L M = sont les inductances cyclique de fuite du stator et du

rotor et r r e j = la f.e.m.

Dans le modle de base figure quatre variables ( si , s , r i et r ) . Pour laborer unmodle dtat, deux sont suffisantes. On retiendra les modles les plus frquents.

6-2. Modle dtat courant et flux statoriques

En tirant r i partir de lquation (2-35), dune part, et en tirant r de lquation(2-37) dautre part et en substituant finalement dans lquation (2-33), cettedernire devient :

1

( ) ( )

ss sr

r r

s ss sr s s

r

d d d idt m dt m dt

R L i j i

M m

=

= +

(2-38)

Soit encore :

( )( )

ss ss r ssss s

r

R L id d i j i

dt dt L

= + (2-39)

En introduisant la relation (2-33), on aura le modle ci-dessous :

1 1 1( ) ( )

s sss

s r r s s

ss ss

di v j i j

dt

d R i v

dt

= + +

= +

(2-40)

s r s r

s r

L Let R R

= =

Ce modle peut tre mis sous la forme dtat standard ci-dessous o u est la

commande gale la tension dalimentation sv du stator et A est une matricedpendante de la vitesse lectrique du rotor ; grandeur considre pour lemoment comme paramtre :

, [ ] ,T sssd x

A x B u x i u vdt

= + = = (2-41)

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1 1 1 1( ) ( )

( )

0 1s r r s s s

s

j j A B

R

= =

(2-42)

6-3. Modle dtat courant statorique et flux rotorique

Les variables dtat sont le courant statorique si et le flux rotorique r . Undveloppement des quations du modle de base conduit :

1( ) 0r sr

r r

d M j i

dt

= (2-43)

En drivant lquation de la relation (3-37), on obtient :

ss r s ss r s

d d d im v R i

dt dt dt = + = (2-44)

Cette relation donne :

1( )

s ss r r

rs s r s

i mdi v jdt = + (2-45)

Avec : 2s

rss r r R m R

=+

Le modle dtat en courant statorique et flux rotorique est dcrit par le systmesuivant :

1( )

1( )

s s sr r

rs s r s

r s r

r r

mdi i v j

dt d M

i jdt

= +

= +

(2-46)

De la mme manire ce modle peut tre mis sous la forme standard :

, [ ] ,T sr sd x

A x B u x i u vdt

= + = = (2-47)

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16

1 1( ) 1

( )1

0

r

r s r s

r r

m j

s A B

M j

= =

(2-48)

6-4. Modle dtat compltement en flux

Les quations (2-35) et (2-37) permettent dexprimer le courant rotorique ir :

( 1) s r r r

mi

M

+= (2-49)

Dautre part la premire quation de la relation (2-33) permet dexprimer :

1s r s s s s r s

s s

md v R i v

dt

= = + (2-50)

La seconde quation du systme (2-33) donne :

r r r r

d R i jdt

= + (2-51)

En remplaant ir par son expression tablie en (2-49), on obtient le systmesuivant :

( 1) 1

( )

s s r r s

s s

r

s r r r r

md v

dt

d

jdt m

= + +

= +

(2-52)

La forme dtat standard est alors :

, [ ] ,T sr sd x

A x B u x u vdt

= + = = (2-53)

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11

( )0( 1) 1

r

r s

r r r

m

A B

jm

= =

(2-54)

7- Expressions du couple instantan

La puissance est invariante du repre dans lequel elle est traite.

* *( ) ( )ss s sP v i V I = = (2-56)

Cette grandeur peut aussi se mettre sous la forme :

. . . .ds ds qs qs ds ds qs qsP v i v i V I V I = + = + (2-57)

Un dveloppement permet de dgager lexpression du couple lectromagntique.

. ( . . )em s s ds qs qs dsC I I = (2-58)

O emC est le couple mcanique dvelopp sur larbre de la machine et s est la

vitesse mcanique du champ statorique. Cette vitesse est lie la pulsationlectrique s du champs et au nombre de paires de ples p du bobinage par

ss p

= . Lexpression du couple devient :

.( . . )em ds qs qs dsC p I I = (2-59)

Cette expression est aussi quivalente la relation ci-dessous o dsigne la partie imaginaire du nombre complexe.

*

( )s semC p I = (2-60)

Il est possible dobtenir dautres expressions du couple instantan. On retient en particulier :

. ( . . )em dr qs qr dsr

M C p I I

L= (2-61)

. ( . . )em dr qs qr dsC p M I I I I = (2-62)

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18

Quelle que soit lune des trois expressions, on constate que le couplelectromagntique rsulte de linteraction dun terme de flux et dun terme decourant. Ces expressions rappellent le couple de la machine courant continu.

Dans ce cas, cest le collecteur qui permet dobtenir ce dcouplage. Le problme pos ici est de pouvoir contrler indpendamment lun de lautre le terme de fluxet le terme de courant.

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