Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV

§1. Reconnaitre une combinaison linéaire.

Etant donné deux vecteurs ~v1, ~v2, par exemple

102

et

231

, ainsi

que deux coefficients s et t, il est très facile de calculer leurcombinaison linéaire s~v1 + t~v2. Par exemple

2

102

+ (−1)

231

= (facile...).

Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV

§1. Reconnaitre une combinaison linéaire.

Etant donné deux vecteurs ~v1, ~v2, par exemple

102

et

231

, ainsi

que deux coefficients s et t, il est très facile de calculer leurcombinaison linéaire s~v1 + t~v2. Par exemple

2

102

+ (−1)

231

= (facile...).

Question réciproque : Etant donné un troisième vecteur ~b, par

exemple

897

, est-il une combinaison linéaire de ~v1 et ~v2 ?

Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV

§1. Reconnaitre une combinaison linéaire.

Etant donné deux vecteurs ~v1, ~v2, par exemple

102

et

231

, ainsi

que deux coefficients s et t, il est très facile de calculer leurcombinaison linéaire s~v1 + t~v2. Par exemple

2

102

+ (−1)

231

= (facile...).

Question réciproque : Etant donné un troisième vecteur ~b, par

exemple

897

, est-il une combinaison linéaire de ~v1 et ~v2 ?

Une méthode naïve est de tester avec toutes sortes de coefficientss, t pour tenter de retrouver ~b avec s~v1 + t~v2.

Est-ce la bonne méthode ?

Question réciproque : Etant donné un troisième vecteur ~b, par

exemple

897

, est-il une combinaison linéaire de ~v1 et ~v2 ?

Une méthode naïve est de tester avec toutes sortes de coefficientss, t pour tenter de retrouver ~b avec s~v1 + t~v2.Est-ce la bonne méthode ?

Question réciproque : Etant donné un troisième vecteur ~b, par

exemple

897

, est-il une combinaison linéaire de ~v1 et ~v2 ?

Une méthode naïve est de tester avec toutes sortes de coefficientss, t pour tenter de retrouver ~b avec s~v1 + t~v2.Est-ce la bonne méthode ? NON, il y a trop (une infinité) decoefficients à tester.

La bonne méthode est de : poser des coefficients comme desinconnues, et traduire la question en :

Est-ce que le système x~v1 + y~v2 = ~b admet une solution ?

Dans notre exemple concret, la question devient :

Est-ce que le système x

102

+y

231

=

897

admet une solution ?

Est-ce que le système x

102

+y

231

=

897

admet une solution ?

On est donc ramené à résoudre ce système. On obtientx = 2, y = 3.

Est-ce que le système x

102

+y

231

=

897

admet une solution ?

On est donc ramené à résoudre ce système. On obtientx = 2, y = 3.

Ainsi, la réponse de la question initiale est :

Est-ce que le système x

102

+y

231

=

897

admet une solution ?

On est donc ramené à résoudre ce système. On obtientx = 2, y = 3.

Ainsi, la réponse de la question initiale est :

oui,

897

s’exprime bien en combinaison linéaire de

102

et

231

,

en effet

897

= 2

102

+ 3

231

.

Question similaire : En dimension 4, le vecteur ~e4 est-il unecombinaison linéaire de ~e1, ~e2 et ~e3 ?

Justifier votre réponse.

Est-ce que le système x

102

+y

231

=

897

admet une solution ?

On est donc ramené à résoudre ce système. On obtientx = 2, y = 3.

Ainsi, la réponse de la question initiale est :

oui,

897

s’exprime bien en combinaison linéaire de

102

et

231

,

en effet

897

= 2

102

+ 3

231

.

Question similaire : En dimension 4, le vecteur ~e4 est-il unecombinaison linéaire de ~e1, ~e2 et ~e3 ?

Justifier votre réponse.Non. Car le système x~e1 + y~e2 + z~e3 = ~e4 n’a pas de solution.

§2. Sous espace vectoriel engendré

L’équation x − y − 2z = 0 a pour solution x = y + 2z , où y , z

peuvent prendre n’importe quelles valeurs réelles. Sous formevectorielle, l’ensemble des solutions s’écrit

S ={

y + 2zy

z

, y , z ∈ R

}

={

y

110

+ z

201

, y , z ∈ R

}

={

a

110

+ b

201

, a, b ∈ R

}

(on a remplacé y , z par a, b)

={

toutes les combinaisons linéaires de

110

et

201

}

nouvelle notation= 〈

110

,

201

〉

={

a

110

+ b

201

, a, b ∈ R

}

(on a remplacé y , z par a, b)

={

toutes les combinaisons linéaires de

110

et

201

}

nouvelle notation= 〈

110

,

201

〉

Définition et Notation. On utilise 〈~v1, · · · ,~vm〉 pour désignerl’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des ~vi , ou bien, enécriture ensembliste : 〈~v1, · · · ,~vm〉 = {

∑

kak~vk , ak ∈ R} =

{a1~v1 + a2~v2 + · · ·+ am~vm | a1, · · · , am ∈ R}. On appelle cetensemble le sous espace vectoriel engendré (SEV) par lesvecteurs ~v1, · · · ,~vm.

={

a

110

+ b

201

, a, b ∈ R

}

(on a remplacé y , z par a, b)

={

toutes les combinaisons linéaires de

110

et

201

}

nouvelle notation= 〈

110

,

201

〉

Définition et Notation. On utilise 〈~v1, · · · ,~vm〉 pour désignerl’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des ~vi , ou bien, enécriture ensembliste : 〈~v1, · · · ,~vm〉 = {

∑

kak~vk , ak ∈ R} =

{a1~v1 + a2~v2 + · · ·+ am~vm | a1, · · · , am ∈ R}. On appelle cetensemble le sous espace vectoriel engendré (SEV) par lesvecteurs ~v1, · · · ,~vm.

Ainsi, demander si ~b est une combinaison linéaire des ~vi revient àdemander si ~b est un élément de l’ensemble 〈~v1, · · · ,~vm〉, revient àdemander si un système (lequel ?) admet une solution (ou plus).

§3. Réduction suivant les colonnes

On peut résoudre un système A~x = ~b en cinq étapes suivantes :

1. On forme la matrice compagnon verticale

(

A

Id

)

.

2. On l’échelonne suivant les colonnes pour obtenir

(

B

H

)

.

Exemple : Résoudre

1 −1 11 0 21 1 3

x

y

z

=

123

.

1 −1 11 0 21 1 3

1 0 00 1 00 0 1

C2 C2+C1

−→

C3 C3−C1

1© 0 01 11 2

1 1 −10 1 00 0 1

C3 C3−C2

−→

1© 0 01 1© 01 2 0

1 1 −20 1 −10 0 1

Alors B =??, H =??, ~b =??

3. On résout B~u = ~b. 4. On multiplie la solution ~u par H pourobtenir H~u. C’est la solution ! 5. Vérification finale.————————————————

Dans notre exemple B =

1© 0 01 1© 01 2 0

, H =

1 1 −20 1 −10 0 1

et

~b =

123

.

3. On résout B~u = ~b. 4. On multiplie la solution ~u par H pourobtenir H~u. C’est la solution ! 5. Vérification finale.————————————————

Dans notre exemple B =

1© 0 01 1© 01 2 0

, H =

1 1 −20 1 −10 0 1

et

~b =

123

.Soit ~u un nouveau vecteur inconnuen dimension 3 qu’on donne unnom à chaque entrée, par exemple

~u =

u

v

w

.

3. On résout B~u = ~b. 4. On multiplie la solution ~u par H pourobtenir H~u. C’est la solution ! 5. Vérification finale.————————————————

Dans notre exemple B =

1© 0 01 1© 01 2 0

, H =

1 1 −20 1 −10 0 1

et

~b =

123

.Soit ~u un nouveau vecteur inconnuen dimension 3 qu’on donne unnom à chaque entrée, par exemple

~u =

u

v

w

.

3. On résout B~u = ~b et on trouve ~u =

3. On résout B~u = ~b. 4. On multiplie la solution ~u par H pourobtenir H~u. C’est la solution ! 5. Vérification finale.————————————————

Dans notre exemple B =

1© 0 01 1© 01 2 0

, H =

1 1 −20 1 −10 0 1

et

~b =

123

.Soit ~u un nouveau vecteur inconnuen dimension 3 qu’on donne unnom à chaque entrée, par exemple

~u =

u

v

w

.

3. On résout B~u = ~b et on trouve ~u =

11w

, avec w pouvant

prendre n’importe quelle valeur.

4. Multiplication par H : H~u =

2 − 2w1 − w

w

. Ou bien, sous forme

vectorielle :{

210

+w

−2−11

,w ∈ R

}

sous forme=

SEV

210

+ 〈

−2−11

〉.

5. Vérification.

Théorème de réduction suivant les colonnes.

Etant donné une matrice A (non nécessairement carrée), lorsqu’on

réduit la matrice compagnon verticale

(

A

Id

)

à une matrice(

B

H

)

par des opérations des colonnes,

1. la matrice H est carrée et inversible,

Théorème de réduction suivant les colonnes.

Etant donné une matrice A (non nécessairement carrée), lorsqu’on

réduit la matrice compagnon verticale

(

A

Id

)

à une matrice(

B

H

)

par des opérations des colonnes,

1. la matrice H est carrée et inversible,

2. la matrice B n’est rien d’autre que AH,

Théorème de réduction suivant les colonnes.

Etant donné une matrice A (non nécessairement carrée), lorsqu’on

réduit la matrice compagnon verticale

(

A

Id

)

à une matrice(

B

H

)

par des opérations des colonnes,

1. la matrice H est carrée et inversible,

2. la matrice B n’est rien d’autre que AH,

3. l’ensemble {~x,A~x = ~b} est égale à {H~u,B~u = ~b},

Théorème de réduction suivant les colonnes.

Etant donné une matrice A (non nécessairement carrée), lorsqu’on

réduit la matrice compagnon verticale

(

A

Id

)

à une matrice(

B

H

)

par des opérations des colonnes,

1. la matrice H est carrée et inversible,

2. la matrice B n’est rien d’autre que AH,

3. l’ensemble {~x,A~x = ~b} est égale à {H~u,B~u = ~b},

4. la matrice A est inversible ssi

(

A

Id

)

se réduit à

(

Id

H

)

, et

dans ce cas H = A−1,

Théorème de réduction suivant les colonnes.

Etant donné une matrice A (non nécessairement carrée), lorsqu’on

réduit la matrice compagnon verticale

(

A

Id

)

à une matrice(

B

H

)

par des opérations des colonnes,

1. la matrice H est carrée et inversible,

2. la matrice B n’est rien d’autre que AH,

3. l’ensemble {~x,A~x = ~b} est égale à {H~u,B~u = ~b},

4. la matrice A est inversible ssi

(

A

Id

)

se réduit à

(

Id

H

)

, et

dans ce cas H = A−1,

5. Un vecteur ~b est dans le SEV engendré par les vecteurs colonnesde A ssi A~x = ~b admet une solution (ou plus), ssi le nouveau

système avec des nouvelles inconnues B~u = ~b admet une solution(ou plus). et bien plus d’autres propriétés...

Preuve du théorème

Chaque opération élémentaire suivant les colonnes correspond àmultiplier la matrice à droite par une matrice (dite élémentaire) E

qui est inversible. Ainsi la suite de réduction se lit(

A

Id

)

(

AE1

E1

)

(

AE1E2

E1E2

)

· · · (

AE1E2 · · ·Em

E1E2 · · ·Em

)

=

(

AH

H

)

.

Ceci montre que si

(

A

Id

)

se réduit à

(

B

H

)

, alors B = AH et H

est toujours inversible.

De plus, si B = id alors AH = Id , donc H = A−1, etB~u = ~b ⇒ (AH)~u = ~b ⇒ A(H~u) = ~b ⇒ H~u est solution de

A~x = ~b.

Réciproquement, si ~x est une solution de A~x = ~b, alors, parl’invisibilité de H, on peut former ~u = H−1~x. AinsiB~u = B(H−1~x) = AHH−1~x = A~x = ~b.

Interprétation géométrique et applications