Cours Analyse (Maths fondamentales) - CEREMADE â€؛ ~gontier â€؛ ...آ  Cours Analyse (Maths fondamentales)

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  • Cours Analyse (Maths fondamentales)

    Cours de L2, 2019-2020 Université PSL

    David Gontier

    (version du 2 juin 2020).

    Cours Analyse (Maths fondamentales) de David Gontier est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0

    International.

    https://www.ceremade.dauphine.fr/~gontier/Publications/AnalyseL2.pdf http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

  • TABLE DES MATIÈRES

    1 Séries Entières 8 1.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Comparaison de rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Calcul de rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2 Opération sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Fonctions développables en séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.3.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Arbre de décision des séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3 Développement de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.4 Quelques exemples à connaître absolument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Les fonctions trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.3 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.4 Arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.5 Fonction puissance (1 + x)α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.6 Fonction arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.5 Comportement sur le cerle de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.1 Applications : quelques jolies formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2 Séries de Fourier 21 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Dimension finie, polynômes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.2.1 Un produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.3 Meilleur polynôme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.4 Le cas des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.5 Fonctions continues par morceaux, densité des fonctions continues . . . . . . . 27 2.2.6 Quelques exemples importants, et jolies formules . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.3 La convergence simple : le noyau de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Propriétés du noyau de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.2 Convergence simple pour les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.4 Compléments : le phénomène de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.5 Compléments : noyau de Féjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.4 Dérivabilité et transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

  • TABLE DES MATIÈRES 4

    2.5 La convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.2 Convolution et régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3 Intégrales à Paramètres 38 3.1 Rappels sur les intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.1.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.2 Intégrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.2 La théorème de convergence dominée (TCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Intégration d’une série de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    3.3.1 Exemple type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4 Intégrales à paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.4.1 Une démonstration alternative, sans le TCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4.2 Dérivabilité sous le signe intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4.3 Exemple type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    4 Transformée de Fourier 45 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Transformée de Fourier pour les fonctions intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

  • INTRODUCTION

    À l’ère d’internet, il existe une quantité importante de notes de cours pour l’Analyse L2. Elles sont souvent bien et même très bien, et ces notes ne prétendent pas faire mieux. Il y a cependant quelques points (toujours les mêmes !) que je trouve peu ou pas expliqués. D’où l’existence de ces notes.

    Ce cours 1 est donné pour le cours de Maths Fondamentales de PSL en L2.

    L’accent du cours est mis sur les séries de fonctions (séries entières et séries de Fourier). Nous commençons par quelques rappels important (déjà vus).

    Rappels sur les différentes notions de convergence pour les fonctions

    Convergence simple et convergence uniforme

    Soit (Fn)n∈N une suite de fonctions définies sur I ⊂ R.

    Définition 0.1 (Convergence simple). On dit que (Fn) converge simplement vers F sur I si

    ∀x ∈ I, Fn(x) −−−→ n→∞

    F (x).

    Définition 0.2 (Convergence uniforme). On dit que (Fn) converge uniformément vers F sur I si

    sup x∈I

    |Fn(x)− F (x)| −−−→ n→∞

    0.

    Lorsque le contexte est clair, on écrit

    ‖Fn − F‖∞ := sup x∈I

    |Fn(x)− F (x)| .

    On a (convergence uniforme sur I) =⇒ (convergence simple sur I). La réciproque est fausse.

    Exemple 0.3. Contre-exemple à connaître. — La suite Fn(x) = xn converge simplement sur I = [0, 1] mais pas uniformément.

    La convergence uniforme a un lien fort avec la continuité, comme le montre le lemme suivant.

    Lemme 0.4 (Continuité). Si (Fn) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers F sur I, alors F est continue sur I.

    1. Page web du cours ici.

    https://www.ceremade.dauphine.fr/~gontier/enseignement.html

  • TABLE DES MATIÈRES 6

    Démonstration. Soit ε > 0. On choisit N assez grand pour que ‖F − FN‖∞ ≤ ε. Pour tout x, y ∈ I, on a

    |F (x)− F (y)| ≤ |F (x)− FN (x)|+ |FN (x)− FN (y)|+ |FN (y)− FN (y)| ≤ ε+ |FN (x)− FN (y)|+ ε.

    Fixons x ∈ I. Comme FN est continue en x, il existe δ > 0 tel que ∀y ∈ I avec |y − x| < δ, on a |FN (x) − FN (y)| < ε. On en déduit que pour tout y ∈ I avec |y − x| < δ, on a |F (x) − F (y)| ≤ 3ε. Ceci étant vrai pour tout ε > 0, F est continue en x. Ceci étant vrai pour tout x ∈ I, F est continue sur I.

    Lemme 0.5 (Intégrabilité). Si (Fn) est une suite de fonction continue qui converge uniformément vers F sur I = [a, b] un intervalle fini, alors

    lim n→∞

    ∫ b a Fn =

    ∫ b a

    lim n→∞

    Fn, ou encore lim n→∞

    ∫ b a Fn =

    ∫ b a F.

    Démonstration. La démonstration est triviale. Il suffit d’écrire∣∣∣∣∫ b a Fn −

    ∫ b a F

    ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ b a (Fn − F )

    ∣∣∣∣ ≤ ∫ b a |Fn − F | ≤

    ∫ b a ‖Fn − F‖∞ = (b− a) ‖Fn − F‖ −−−→n→∞ 0.

    On en déduit le théorème de dérivation.

    Lemme 0.6. Soit (Fn) une suite de fonction de classe C1 sur l’intervalle fini I = [a, b] telle que (Fn(a)) converge vers α et telle que la suite des dérivées (F ′n) converge uniformément vers une fonction G, alors Fn converge uniformément sur I vers

    F (x) := α+

    ∫ x a

    G(s)ds.

    Démonstration. On remarque que F ′ = G et F (a) = α. On utilise le Lemme précédent avec la suite (F ′n). Pour tout x ∈ I, on a

    |Fn(x)− F (x)| = ∥∥∥∥Fn(a) + ∫ x

    a F ′n(s)ds− F (a)−

    ∫ x a

    F ′(s)ds

    ∥∥∥∥ ∞

    =

    ∥∥∥∥Fn(a)− F (a) + ∫ x a

    ( F ′n − F ′

    ) (s)ds

    ∥∥∥∥ ≤ |Fn(a)− α|+ ∫ b a

    ∥∥F ′n −G∥∥∞ . La constant de droite est indépendante de x ∈ I. En prenant le sup sur tous les x, puis en faisant la limite n → ∞, on obtient bien ‖Fn − F‖∞ → 0.

    Il est important ici d’avoir la convergence uniforme pour les dérivées F ′n et non pour Fn.

    Exemples 0.7. Contre-exemples à connaître. — La suite de fonction Fn(x) :=

    √ x2 + 1

    n2 CVU vers |x| sur [−1, 1], mais pas les dérivées : |x|

    n’est même pas dérivable. — La s