Filtrage - Modulation 1 FILTRAGE BIBLIOGRAPHIE P. Bildstein : « Filtres actifs - Méthode pratique de réalisation de filtres actifs », Ed. Radio J. Auvray

Filtrage - Modulation 1

FILTRAGE

BIBLIOGRAPHIE

P. Bildstein : « Filtres actifs - Méthode pratique de réalisation de filtresactifs » , Ed. Radio

J. Auvray : « Electronique des signaux analogiques » , Dunod

W.M. Siebert : « Circuits, signals and systems » , Mc Graw Hill

J.F. Gazin : « Filtres actifs » , Manuel d’applications CIL

P. Bildstein : « Filtres à capacités commutées » , Techniques de l’ingénieur

Martin Hasler & Jacques Neirynck : IV - Réseaux de KirchoffVIII - Electronique : circuitsXIX - Filtres électriques

EPFL Traité d’électricité éditions (aussi Dunod)


FILTRAGE

I - Définition d’un filtre

Les filtres sont destinés à sélectionner certaines bandes de fréquence d’unsignal. Ils modifient l’amplitude et/ou la phase des composantes spectralesdu signal. Ce sont généralement des circuits linéaires, dans la mesure oùils n’introduisent aucune nouvelle fréquence.Les filtres sont très utilisés dans de nombreux domaines des techniquesélectroniques. Citons par exemple :

• Radiocommunications ou télécommunications : pour délimiter le plusparfaitement possible certaines bandes de fréquences et rejeter certainesautres. Ils servent également en détection• Traitement du signal : utilisation en analyse du signal (en particulierpour extraire du bruit)• Electronique analogique : circuits oscillants stables et très sélectifs• Asservissement électronique : systèmes bouclés à bande étroite


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Les filtres électroniques sont des circuits qui peuvent atteindre une grandecomplexité. Réalisés en technologie analogique, ils nécessitent, en général,l’emploi de composants de valeur très précise et très stable en fonction dela température et du temps. Une précision meilleure que 1% et une stabilitémeilleure que 50.10-6/K sont souvent requises. Même avec de tellesperformances, un réglage final est souvent nécessaire pour satisfaire lesexigences du gabarit (cahier des charges - spécifications).

De telles contraintes apparaissent a priori incompatibles avec une réalisationen circuits intégrés, privant ce type de circuits des abaissements de coût dansles réalisations de très grandes séries. Fin des années 70, la numérisation desréseaux téléphoniques rendit urgente cette intégration sous peine de rendreprohibitif le coût d’un poste téléphonique numérique d’abonné. Une intense compétition s’engagea dès lors pour parvenir à résoudre ceproblème.


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Trois solutions furent explorés :

Filtres numériques : très performants, nécessitent des circuits complexes, donc«relativement» chers.

les filtres numériques les filtres intégrés à transfert de charge les filtres à capacités commutées

Filtres à transfert de charges : très prometteurs à l’origine, se sont montrés endéfinitive peu aptes à fournir des filtres très sélectifs.

Filtres à capacités commutés : a priori les moins bien placés tant les difficultéspratiques à résoudre semblaient au premier abord nombreuses et insurmontables.

Mais … cette fameuse loi de Moore!


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II - Généralités

Relation de Bayard-Bode

Une fonction réelle causale est entièrement déterminée par sa partiepaire (ou impaire) :

)()()( xfxfxf IP

2

)()()(

2

)()()(

xfxfxf

xfxfxf

I

P

Si f est causale alors f(x)=0 pour x<0

)(2

)()( xf

xfxf IP pour x>O et f(x)=2fP(x)=2fI(x)

F est donc déterminée par Re[F(j)] ou Im[F(j)]


FILTRAGE

f(x) F (j) = R() + jI()

Avec et

0

cos)()( dxxxfR

0

sin)()( dxxxfI

En inverse, on obtient :

00

sin)(2cos)()( dxIdxRxf

On montre que :

0 22

)(2)( dy

y

yIyR

0 22

)(2)( dy

y

yRI

Relation de Bayard-Bode (R et I sont les transformées de Hilbert)Même type de relation entre le module et la phase pour un système àphase minimale.


FILTRAGE

Un filtre est donc totalement caractérisé par son gabarit (module)!

Problème : Synthèse d’un filtre En fonction d’une réponse fréquentielle souhaitée (gabarit),

comment construire le circuit électronique qui réalise cette fonction?

1- Circuits LC passifsEncombrants et coûteux, mais peu sensibles aux variations

des valeurs des composants

2- Utilisation d’éléments actifsPermet d’éliminer les selfs, mais très sensibles aux variations

des valeurs des composants - Simulation de L : INIC, gyrateurs, ...

3- Autres : Filtres céramiques, SAW, Filtres à capacités commutées, filtresnumériques, ...


FILTRAGE

)()()(

)()(

)(

)()(

jejHjE

jSjH

pE

pSpH

Définition générale : Filtre est défini par sa fonction de transfert

En terme de tension entrée-sortie, on parle de gain (G=Vs/Ve) ou d’affaiblissement (ou d’atténuation) (A=Ve/Vs) En dB : A() = - G() = -20 log|H(j)|

En général : H(j) est une fraction rationnelle = rapport de deux polynômesà coefficients réels :

• pôles et zéros de H(j) sont réels ou par paires conjuguées• pôles à gauche de l’axe imaginaire (axe j exclu) pour stabilité• degré du numérateur ≤ degré du dénominateur (filtres physiques)• relation de Bayard-Bode valable (causal et réel)

En raison de ces propriétés, il n’est pas possible de passer d’une façondiscontinue de la bande passante à la bande coupée. Il y a aura une transition


FILTRAGE

III - Filtre idéal

La réalisation d’un filtre nécessite la connaissance du spectre de fréquencesconstituant le signal utile. Le filtre idéal serait alors celui qui transmettraittoutes ces composantes sans atténuation ni déphasage, tout en éliminant lesautres. Un tel filtre transmettrait le signal utile sans déformation ni retard,tout en éliminant complètement les signaux indésirables.

Pour chaque filtre à réaliser, il convient de définir certains domaines defréquences transmises sans atténuation appelées « bandes passantes » etd’autres pour lesquelles l’atténuation serait infinie (ou tout au moins trèsélevée), appelées « bandes coupées ».

On distingue ainsi 4 types de filtre de base :- Passe bas - Passe haut- Passe bande - Coupe bande


FILTRAGE

A(dB)

ffC

0 dB

A(dB)

ffC

0 dB

Filtre Passe bas Filtre Passe haut

Filtre Passe bande

A(dB)

f0 dBfC- fC

+

Filtre Coupe bande

A(dB)

f0 dBfC- fC

+


FILTRAGE

Attention : Forme plus générale = modifier le contenu fréquentiel d’unsignal, pas uniquement en terme de suppression-conservation!

Remarque sur le passe bas idéal :

A(dB)

ffC

0 dB

Rappel : Phase minimale = phase nulle

x(t-t0) X(j)e-jt0=| X(j) |e j(()-t0)

Phase : ()-t0 Variation linéaire de phase

Remarque : retard de groupe : steC

H(j)

CC

1


FILTRAGE

steC

Retard physique variation linéaire de phase :

Arg[H(j)]

Réponse impulsionnelle du filtre passe bas idéal :

t

th CC sin)(

C

t

C2

h(t)

C

i(t)

t

1

1/2

1,09

H(j)

CC

1


FILTRAGE

Problème : Réponse impulsionnelle, h(t), non causale, durée infinieTransition brusque bande coupée - bande passante

Irréalisable analogiquement!

Un des buts du filtrage est d’approximer au mieux le filtre idéal

Les oscillations parasites peuvent être gênantes

Les besoins réels ne sont pas toujours aussi draconiens


FILTRAGE

IV - Filtre réelEn pratique, il est donc seulement possible d’approcher plus ou moins bienle filtre idéal.Les circuits réalisables présentent les imperfections suivantes :

L’atténuation en bande passante n’est pas nulle, elle sera seulement inférieure à une valeur limite notée AMax

L’atténuation en bande coupée présente une valeur finie, elle sera supérieure à une valeur limite notée AMin

La transition entre la bande passante et la bande coupée ne se fait pas de façon discontinue mais de manière progressive dans une bande de transition dont les fréquences frontières seront, pour un filtre passe bas :

- fa « première » fréquence coupée (atténuée)- fp « dernière » fréquence passante


FILTRAGE

Gabarit d’un filtre

Plus un filtre réel se rapproche d’un filtre idéal, plus les bandes de transitionssont étroites, AMax est faible et AMin est élevée. Mais plus il devient complexeet donc coûteux!La recherche d’un compromis entre des performances satisfaisantes et uncoût acceptable conduit à définir un gabarit à l’intérieur duquel la courbed’affaiblissement (atténuation) doit se situer pour résoudre le problèmedonné. Par exemple, un gabarit de filtre passe bas ou passe haut, seraentièrement défini à partir des 4 grandeurs : AMin, AMax, fa et fp. On noteraqu’il est intéressant d’introduire une autre grandeur, appelée sélectivité etnotée K, qui se déduit des grandeurs précédentes et qui exprime laraideur de la transition :

Pour un filtre passe bas : 1a

p

f

fK


FILTRAGE

Filtre Passe bas Filtre Passe haut

Filtre Passe bande Filtre Coupe bande

A(dB) A(dB)

A(dB)

ffa

0 dBfp

AMin

AMax

ffp

0 dBfa

AMin

AMax

A(dB)

ff0

0 dB

AMin

AMax

fa-fp

- fa+ fp

+ff0

0 dB

AMin

AMax

fp-fa

- fp+ fa

+


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Sélectivité

1a

p

f

fKPour un filtre passe bas :

Pour un filtre passe haut : 1p

a

f

fK

Plus le filtre réel se rapprochedu filtre idéal, plus k estvoisin de 1

Pour un filtre passe bande : 1

a

p

aa

pp

f

f

ff

ffK

Pour un filtre coupe bande :

Largeur de bande relative :1

00

f

f

f

ffB ppp

1

p

a

pp

aa

f

f

ff

ffK

B est faible (B < 0,1) Filtre à bande étroite

1

00

f

f

f

ffB aaa B > 0,5 Filtre à large bande


FILTRAGE

Remarque : dans le cas des filtres passe bande et coupe bande, on serestreint généralement à l’étude des filtres symétriques, c’est à direqu’ils vérifient la relation suivante :

20.. fffff ppaa

Temps de propagation de groupe d’un filtre

Filtre Atténuation des différentes composantes spectrales du signalMais également un déphasage à chacune de ces composantesDéphasage pouvant être variable en fonction de la fréquence

Ce déphasage inégal qu’il fait subir aux différentes composantes spectralescomprises dans la bande passante peut entraîner une déformation gênantedu signal utile.


FILTRAGE

Pour qu’un réseau électrique transmette un signal sans déformationil suffit qu’il lui fasse subir un retard constant 0Pour une composante de pulsation w de ce signal, ce retard se traduitpar un déphasage : =Condition suffisante pour un filtre passe bande : Phase linéaire : =+K

steCd

d

De manière générale, pour qu’un filtre transmette un signal sans déformationil suffit que dans toute la bande passante :

: temps de propagation de groupe

La régularité du temps de propagation de groupe dans la bande passantereflète l’aptitude d’un filtre à transmettre les signaux transitoires sans lesdéformer (filtres non dispersifs).

Dans la pratique, on choisit la caractéristique (entre atténuation et tempsde propagation) à respecter en fonction du problème posé!


FILTRAGE

V - Filtre prototype

La connaissance du problème à résoudre permet de définir la gabarit àl’intérieur duquel doit s’inscrire la courbe de réponse du filtre à construire.On doit maintenant introduire 2 importantes simplification qui permettentde ramener la réalisation de n’importe quel filtre à la réalisation :

- d’un filtre passe bas- de fréquence de coupure unité

appelé «filtre prototype» filtre passe bas normalisé Ces simplifications sont :

- Normalisation des fréquences et des impédances- Transposition en fréquence

Réponse en fréquence : H(p) : 1er degré (réseaux du premier ordre)2ème degré (fonction biquadratique)Composition de formes précédentes


FILTRAGE

Normalisation en fréquenceCela consiste à choisir une fréquence particulière : fu

Pour les filtres passe bas et passe haut : fu = fp

Pour les filtres passe bande et coupe bande : fu = f0 = ppaa ffff ..

Fréquence normalisée : uf

fF

Pulsation normalisée : uuf

f

2

2

Variable de Laplace normalisée :

uu

pP

ps

Fonction de transfert biquadratique normalisée : 1

)(2

2

dss

cbsassH

Définition : d=1/Q=2z Q : facteur de qualitéz (ou ) : facteur d’amortissement


FILTRAGE

Fonction de transfert biquadratique normalisée : 1

)(2

2

dss

cbsassH

Différentes configurations possibles :

a b c

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 0 1

Nature du filtre

Passe bas

Passe haut

Passe bande

Coupe bande (passe bas et passe haut)

Exemple : Passe bas

1

1)(

2

dsssH

jdH

21

1)(


FILTRAGE

12

1)(

224

dH

HMM

1Log()

|H|dB

0)(

d

Hd maximum HM pour = M

2

2

41

12

11

Q

QHet

Q MM

maximum existe si 2

1Q

Remarque si Q >> 1 M # 1

>> 1 Asymptote à -40 dB/dec

2

1Q M = 0 courbe plate : Réponse de Butterworth

1

1)(

4 H


FILTRAGE

Normalisation des unités d’impédanceOn prend comme unité d’impédance une valeur particulière de R0 ou deC0 compatible avec le mode de réalisation du filtre et avec des valeursréalistes des composants compte tenu de la fréquence de normalisation.

RCp

RCp

V

VpH

e

S

1)(

Par exemple, dans le cas d’un filtre passe haut du premier ordre :

C RVe VS

On choisira dans ce cas particulier : RC

fu 21

La fonction de transfert devient alors : s

ssH

1)(

On fixe alors une valeur R0 de R

et on en déduit ufR

C0

0 2

1

1 1Ve VS


FILTRAGE

Transposition en fréquenceLe but de cette opération est de ramener l’étude de tous les types de filtreà l ’étude d’un filtre passe bas normalisé.Transformation de base :

• Passe bas Passe haut :

• Passe bas Passe bande :

• Passe bas Coupe bande :

ss

1

0

11

f

fB

ss

Bs p

ss

Bs

1

Ces transformations peuvent s’appliquer soit aux gabarits, soit aux fonctionsde transfert, soit aux éléments du réseau du filtre.Les résistances et les coefficients d’amplification sont inchangés, une capacitése transformera en une inductance (ou inductance en série, ou parallèle avecune capacité!) transformation du gabarit et de la fonction de transfert.


FILTRAGE

Transposition Passe bas Passe haut

j

jH

s

s

s

sHs

ss

sH1

)(11

1

1)(

1

1

1)(

Le gabarit du filtre passe bas se transforme en un gabarit passe haut, maisles trois grandeurs caractéristiques sont inchangés : K, AMin et AMax.

FFa =1/KFp=1

AMin

AMax

F1K

AMin

AMax


FILTRAGE

Transposition Passe bas Passe bande

21111

1)(

11

1

1)(

sBs

Bs

ss

B

sHs

sB

ss

sH

Comment une valeur ’ de la pulsation du gabarit du filtre passe bande est obtenue à partir d’une valeur de la pulsation du gabarit du filtrepasse bas :

'

1'

'

1'

1 2

jBj

jB

j

• =0 ’=1 racine positive! donc ’=1 La fréquence nulle du passe bas est la fréquence centrale du passe bande

• quelconque et ’<1 • quelconque et ’>1

142

'22

1

BB

142

'22

2

BB


FILTRAGE

A chaque fréquence du filtre passe bas correspond deux fréquences du passebande dont le produit vaut 1 géométriquement symétriques par rapport àla fréquence centrale normalisée du passe bande où f0=1.

F1/K1

AMin

AMax

F1

AMin

AMax

Fp+ Fa

+1/Fp+1/Fa

+

p

p

FF

FFF

/1'

'1

a

a

FF

FF

KF

/1'

'1

142

2

BBFp

142 2

2

K

B

K

BFa

KFF

FFK

aa

pp

'142

1 2

BB

FF

pp : Même sélectivité!


FILTRAGE

Transposition Passe bas Coupe bande

2

2

1

1

11

1)(

11

1)(

sBs

s

ss

BsH

ss

Bs

ssH

Cette transformation est tout à fait analogue à la précédente.

F1/K1

AMin

AMax

Ff0

AMin

AMax

Fa+ Fp

+


FILTRAGE

VI - Fonctions d’approximation

Nous avons montré que la réalisation de tout filtre se ramène à un filtrepasse bas normalisé. Le problème est donc de trouver, pour un gabaritdonné, une fonction de transfert satisfaisante, c’est à dire de construireun réseau dont la courbe de réponse s’inscrit à l’intérieur du gabarit!On cherche une fonction mathématique, A() où est la pulsationnormalisée, exprimant l’affaiblissement du filtre à réaliser. A() est lafonction d’approximation. Cependant pour que la solution aboutisse à unréseau physiquement réalisable, A() doit satisfaire un certain nombre decontraintes. Contraintes imposées par la structure du filtre

La fonction de transfert d’un filtre s’exprime sous la forme :)(

)()(

pE

pSpH

Stabilité du filtre Les racines de E(p) sont dans D-


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Stabilité du filtre Les racines de E(p) (pôles de H(p) sont à partie réellenégatives (dans D-) (Polynômes de HURWITZ)

Filtre physique degré de S(p) degré de E(p)

On peut montrer que : )().()()(

1 2

2

jHjHHA

...)()(

...)()(.

...)()(

...)()()().(

2210

2210

2210

2210

jbjbb

jajaa

jbjbb

jajaajHjH

Dans ce produit, les termes impairs s’éliminent! On pose Ai=ai2 et Bi=bi

2.

22

2

2

42

210

42

210

)(

1)(

)(

)(

...

...)().(

A

GD

N

BBB

AAAjHjH

En conclusion, [A()]2 est : Fraction rationnelle Fonction du carré de la fréquence Degré 2n en si H(j) est de degré n en j


FILTRAGE

Contraintes imposées par le gabarit

Pour que le graphe de la fonction A() s’inscrive à l’intérieur du gabaritpasse bas, l’amplitude de A() doit répondre aux caractéristiques suivantes :

Pour les fréquences f<fp (F<1), A() doit être voisin de 1, atténuation faible en bande passante (proche de 0 dB) Pour les fréquences f>fa (F>1/K), A() doit être très élevée, ce qui veut dire que l’atténuation doit être très importante en bande coupée Pour des valeurs de f comprises entre fp et fa, A() doit augmenter rapidement depuis 1 jusqu’à une valeur élevée

Dans tous les cas, A()1 )(1)()(1)( 222 KAKA

K(2) est la fonction caractéristique du filtre, elle varie autour de 0 enbande passante


FILTRAGE

Propriétés des fonctions caractéristiques

En bande passante, l’atténuation, exprimée en dB, doit être inférieure à Amax :

2102max

2 1101log20max

A

KAK

2102min

2 1101log20min

LKAKA

En bande coupée, l’atténuation, exprimée en dB, doit être supérieure à Amin :

En conclusion, la fonction caractéristique d’un filtre passe bas doit satisfaireles propriétés suivantes :

Fonction paire de la fréquence (c’est à dire fonction de 2) Fraction rationnelle en 2(dont le dénominateur est un carré) Avoir une faible valeur en bande passante < 2

Avoir une valeur élevée en bande coupée > L2


FILTRAGE

Approximation de ButterworthLes filtres de Butterworth ont la propriété d’avoir la courbe de réponse laplus plate possible à l’origine :

nn

AjH 22

2

21

1

1

n : ordre du filtre

Pour un filtre passe bas idéal, on a les caractéristiques suivantes :

|H(j)|

C

1Arg[H(j)]

C

L’atténuation est nulle (en dB) en bande passante, infinie en bande coupée,la phase est linéaire en bande passante, aléatoire en bande coupée.


FILTRAGE

La fonction de transfert Hi(j) est donc de la forme :

10

10

si

siejH

jk

i

Comment faire pour approcher au mieux cette fonction de transfert?On désire que la courbe de réponse réelle soit la plus plate possible auvoisinage de =0 et Fi(0)=1.

)(

)()()().()(

2

222

D

NGjHjHjH

On résoudra le problème d’approximation en choisissant les coefficients deG(2) tels que : G(0)=1 et les n premières dérivées de G(2) par rapport à2 soient nulles.

On a vu que :...

...

)(

)()(

42

210

42

210

2

22

BBB

AAA

D

NG


FILTRAGE

La dérivée de G(2) par rapport à 2 : 22 '')('

D

NDDNG

1120

11 0)0(' BAB

BAG

Choix possible : A1=B1=0

De même pour la dérivée seconde : 220)0('' BAG On peut également choisir : A2=B2=0On peut réitérer jusqu’à l’ordre n (n premières dérivées nulles ) :

- Ai=Bi=0 i<n

...1

...1

)(

)()(

11

11

2

22

nn

nn

nn

nn

BB

AA

D

NGD’où :

Tous les coefficients qui restent peuvent être choisis arbitrairement, le choixhabituel est : - Ai=0 pour in

- Bi=0 pour i>n

000

1)0( BAB

AG O Choix possible : A0=B0=1


FILTRAGE

Finalement :

Le coefficient Bn est déterminé par la valeur de l’atténuation souhaitée à=1(=c) :

n

nn

n

BG

AB

G 2

2

2

2

2 1)(

1)(

1

1)(

On en déduit :

ncnc

n

c

ncn BABA 22

2

222

1)(1)(

nc

nn

cnc BdBBA2

2 131)(

n

c

n

c

ncn ABA

2

22

2

222

1)(1)(

Finalement : nA 221)(

Les polynômes de Butterworth permettent d’approximer un filtre passe basidéal, si l’on admet un affaiblissement de 3dB à la fréquence de coupure,c=p=u et Amax=3dB.


FILTRAGE

Résumé : Butterworth nA

H22

2

1

1

)(

1)(

Propriétés : - module=1 (0dB) pour =0- module=1/2 (-3dB) pour =1- monotone décroissante 20n dB/dec- plate au voisinage de =0- n Passe Bas idéal (meilleure approximation)


FILTRAGE

Butterworth : )(*)(1

1)(

2

2

jHjHHn

Réponse réelle )()(* jHjH

On pose j =s : variable de Laplace réduite

nssHsH

21

1)()(

Pôles : nk js 2

1

1

entierkes n

kj

k

1

12

2

X X

n=1X

n=2

X

X

X

4

X X

n=3

X X3

X X


FILTRAGE

Les pôles de H(s)H(-s) apparaissent en paire symétrique par rapport à l’axevertical répartir les pôles entre H(s) et H(-s)H(s) doit être stable (et causal) les pôles de H(s) sont à gauche (D-)

1:1

1)(1

pôle

ssHn X

X

X44

5

44

3

:22jjjj

eeeteepôlesn

2

4421

11)(

sseses

sHjj


FILTRAGE

X

X

X

33

4

33

21

:33

jj

jj

ee

eepôlesn

11

1

1

1)(

2

33

sssesess

sHjj

18478,117654,0

1)(4

22

sssssHn

Remarque : Les pôles sont réels négatifs ou en paires conjuguées etracines nième de l’unité.


FILTRAGE

Choix de l’ordre du filtre de Butterworth :

1

0,1

0,95

2

0

1

On désire réaliser le filtre ayant legabarit ci-contre :Avec 2=2 1=2.104 rd/s

F1

AMin=20dB

AMax=0,44dB

1 2

3dB

p

n

n

H

H

2

12

222

2

2

221

2

1

2

1,01

1)(

95,01

1)(

dB

dBn

n

20))2(1log(10

44,0)1log(102

1

21

8,0#

5#92,4

1

n


FILTRAGE

10

4

2

510

2

5

10.256,11

1)(

1

1)(

jHH

srdp

p

/10.256,1

8,0

4

11

6,1#256,1

222

p


FILTRAGE

Approximation de TchebychevLes filtres de Butterworth sont optimaux dans le sens où leur réponse est laplus plate possible à l’origine :

Les filtres de Tchebychev sont optimisés de manière à ce que l’atténuationen bande passante oscille le plus grand nombre de fois possible entre 0 etAMax L’imperfection que constitue l’atténuation résiduelle en bandepassante est ainsi répartie sur toute cette bande!

nA 21)(

)(1)( 22 nTA

Tn() : Polynôme de Tchebychevd’ordre n

1

10

1-


FILTRAGE

Polynômes de Tchebychev

Soit h(x) l’écart en amplitude entre une fonction f(x) et une fonction fi(x)=1Comment choisir f(x) pour que |h(x)| L pour -1 x 1 ?Prenons pour h(x) un polynôme de degré n, de sorte que pour -1 x 1, h(x)atteigne (n-1) fois la valeur extrémale ±L (h(x) atteint (n+1) fois la valeurextrémale ±L si on compte les extrémités de l’intervalle)

22222 )1()(

dx

dhxKxhL

L2-h2(x) aura des zéros pour tous les extremums à l’intérieur de l’intervalle(-1,1) et ces zéros seront doubles puisque la fonction et sa dérivée s’annulentDe plus, les points x= ±1 sont également des zéros de L2-h2(x) :

2

22

2

1

1)(

x

y

dx

dy

L

xhySoit

22 11 x

dx

y

dySoit

xArcyArc coscos


FILTRAGE

Finalement on obtient :

Cette fonction correspond à un polynôme car il est possible d’exprimer cos nsous la forme d’un polynôme en cos Les polynômes h(x) répondant à la question sont ainsi les polynômes deTchebychev : xArcnxTn coscos)(

xxTnxTn )(11)(0 10

xArcLxh coscos)(

h(x)

-1 1 xL

-L

Si on désigne par n le nombre , h(x) oscilleran fois entre les valeurs ±L pour -1 x 1

Soit : xArcnLxh coscos)(

Les polynômes de Tchebychev sont :

xxxTnxxTn 34)(312)(2 33

22

188)(4 244 xxxTn


FILTRAGE

Tn(x) vérifie la formule de récurrence : )()(2)( 21 xTxxTxT nnn

Soit : 1)(2)(2 nn TT

Application aux filtres ER (Equal Ripple) : )(1)( 22 nTA

1cos22cos 2 nxnx

)(22

1)(1)(22

222 nn TTASoit

Ainsi l’atténuation variera entre 1 et 1+2 lorsque 0 1

)(1log10)(log20 22 nTA

Lorsque 0 1 Tn() varie entre -1 et 1, donc Tn2() varie entre 0 et 1

21log10)(log200 A

pairestnsidBA

impairestnsiA

0)(log20

1log10)(log200

2

21log10)0(log20 A


FILTRAGE

Soit AMax l’atténuation maximale en bande passante (exprimée en dB)0 1 0 A() AMax avec AMax =10log(1+2)

110' MaxAoùD

Ainsi les fonctions d’approximation dépendent du paramètre , elles sonttabulées pour différentes valeurs de correspondant à des affaiblissementsAMax de 0,1 ; 0,5 ; 1,0 ; … dB en bande passante :

• AMax = 0,1 dB =0,15262

• AMax = 0,5 dB =0,34931

• AMax = 1,0 dB =0,50884

Courbes de Tchebychev enbande passante AMax=1dB

MaxA

A


FILTRAGE

Détermination des fonctions de transfert des filtres de Tchebychev

Elles s’obtiennent comme précédemment en recherchant les racines de A(),c’est à dire les racines de l’expression 1+2Tn

2() :

j

jnVnUj

PArcjVU kk

kkk coscos

Si Pk (P=j ) sont les racines recherchées, on a :

0coscos1 22 ArcnSoit

j

j

PArcn k

coscos

En posant

j

nVshUjnVchnUSoit kkkk .sin.cos

10cos

1.sin

0.cos'

k

k

kk

kk

nVsh

nU

nVshU

nVchnUoùD xxch 0


FILTRAGE

On en déduit :

12

)12(

k

k

nVsh

knU

Il convient d’en déduire l’expression des pôles : kkk jnVnUjP cos.

kkk jshArgnj

n

kjP

11

2

)12(cos.

On peut alors montrer que k et k vérifient :

11111 2

2

2

2

shArgn

chshArgn

sh

kk

C’est l’équation d’une ellipse!


FILTRAGE

Remarques sur les filtres de Tchebychev

Tchebychev :

Tchebychev d’ordre 3 (Taux d’ondulation 3dB) :

Pour avoir une fréquence de normalisation à -3dB, prenons =1.

)(1)( 22 nTA

23 )34(1)( A

Butterworth d’ordre 3 : 61)( A

dBAdBA

dBAdBA

ButteTcheb

ButteTcheb

60)(72)(10

18)(30)(2

Les filtres de Tchebychev présentent un grand intérêt pratique car de tous lesfiltres polynomiaux, ce sont ceux qui présentent la coupure la plus raide.Toutefois, ils n’ont pas une très bonne régularité du temps de propagation degroupe en bande passante et leur comportement en transitoire n’est pas aussibon que celui des filtres de Butterworth.


FILTRAGE

Autres types de filtres polynomiaux

Filtres de Legendre (Papoulis) : )(1)( nLA

Ln polynôme de Legendre d’ordre n

Les filtres de Legendre correspondent à une tentative permettant de concilierl’aspect non ondulé en bande passante des filtres de Butterworth, et la rapidité d’atténuation en bande coupée des filtres de Tchebychev.

Ainsi, ces filtres présentent comme les filtres de Butterworth une courbed’atténuation croissante monotone, mais au lieu d’être la plus plate possibleà l’origine, elle a une pente la plus forte possible à la fréquence de coupure.

4684

2463

42

21

386*33*

**

LL

LL

Les fonctions de transfert des filtres de Legendre s’obtiennent selon laméthode utilisée pour Butterworth et Tchebychev.


FILTRAGE

Autres types de filtres polynomiaux

Filtres de Bessel (Thomson) :Ce sont des filtres polynomiaux ceux pour lesquels le critère d’optimisationest la régularité du temps de propagation de groupe en bande passante.

La fonction de transfert d’un filtre ayant un temps de propagation de groupede =1s s’écrit :

pshpcheepH pp

1

)(

...!5!3

...!4!2

15342

pp

ppshetpp

pchEn posant :

On obtient :15156

1)(

23

ppppH

Le dénominateur, ainsi obtenu, est un polynôme de Bessel d’ordre n

22

1

221

)12(*

33*1*

nnn BpBnB

ppBpB


FILTRAGE

22

1

221

)12(*

33*1*

nnn BpBnB

ppBpB

Ces polynômes ont été calculés en prenant =1s, donc pour les courbes deréponse en amplitude, l’atténuation à =1 sera quelconque. En fait, lesfonctions de transfert sont tabulées en prenant une atténuation de 3 dB à=1.Par exemple, pour n=5, est constant jusqu’à 1,5 fois la fréquence decoupure à 3dB. Mais à cette fréquence l’atténuation n’est que de 7,5 dB


FILTRAGE

Filtres non polynomiauxFiltres elliptiques : Filtres de CauerLes filtres polynomiaux, étudies précédemment, ont tous une fonction caractéristique qui est un polynôme en 2 (Dénominateur D(2)=1).Par conséquent, pour une valeur finie de la fréquence, l’atténuationprésente une valeur finie.Si on utilise une fonction caractéristique pour laquelle le dénominateur estun polynôme en 2, on introduit des fréquences d’atténuation infinie ouzéros de transmission (racines de D(2)=0).

L’introduction de ces zéros de transmission présente les avantages suivants : Supprimer les fréquences particulièrement indésirables, comme par exemple la porteuse dans un filtre de démodulation. Rendre la coupure d’un filtre beaucoup plus raide en plaçant un zéro de transmission immédiatement après la fréquence de coupure, sans augmenter l’ordre du filtre.


Les principaux filtres, ayant des zéros de transmission, sont les filtres deCauer, dont les principales caractéristiques sont les suivantes :

Ils possèdent la plus grand nombre possible de zéros de transmission pour un ordre n donné (n/2 zéros si n est pair, (n-2)/1 si n est impair). Ils ont une atténuation uniformément répartie aussi bien en bande passante qu’en bande coupée, de sorte que leur comportement se rapproche de celui d’un filtre de Tchebychev.

1

10

1-

FILTRAGE

0

AMax

AMin

01 02 1

a2

p

|A|dB

011= 022 = 0kk =Cste


FILTRAGE

)(

)(1)(1)(

2

222

D

NKjAFiltres de Cauer :

Rappel : 011= 022 = … = 0kk =Cste

Les fréquences i sont les racines de l’équation D(2)=0Les fréquences 0i sont les racines de l’équation N(2)=0

Toutes ces racines sont des racines doubles :

impairestnsin

kavec

D

NK

k

OkOO

2

1

)...()()(

)...()()(

)(

)()(

222222

2221

2

222222

2221

22

2

22

Ces relations montrent que la connaissance des 0i et i définit entièrementla fonction caractéristique, donc le filtre de Cauer.

pairestnsin

kavec

D

NK

k

OkOO

2

)...()()(

)...()()(

)(

)()(

222222

2221

2

222222

2221

2

2

22


FILTRAGE

)(1)( 22 KA

Fonctions de transfert des filtres de Cauer :

est déterminé pour que l’atténuation soit égale à AMax pour =1et lanormalisation du passe bas est effectuée par rapport à la fréquence fp limitede la bande passante à un taux d’ondulation donné (comme Tchebychev) :

)1(

110)1(1log10

102

KKA

MaxA

Max

Contrairement aux filtres polynomiaux, il est difficile de donner des tablesde fonctions de transfert car elles dépendent de 3 paramètres : n, AMax et K,ou n, AMax et AMin (K : sélectivité). Il existe donc une infinité de filtres deCauer d’ordre n ayant une ondulation en bande passante <AMax

Pour chacun de ces filtres, AMin aura une valeur différente!

Atténuation :


FILTRAGE

VI - Circuits fondamentaux pour la synthèse de filtres actifsLorsque l’on utilise des montages à base d’amplificateurs opérationnels, auvue des valeurs des composants discrets, on peut considérer ces A.Op.comme parfaits (Ze , Zs 0 et AV )

Synthèse directe d’un filtre actif à partir d’un A.Op.

221

121

)

)

)(

)()(

Y

Y

pV

pVpH

e

S Av+

-VS

Ve [Y1]

[Y2]Structure à contre réaction simple :C.R. en courantOn peut montrer que :

Le problème devient alors, comment calculer des quadripôles ayant lesvaleurs de Y21 permettant d’obtenir la fonction de transfert désirée?


FILTRAGE


)(

)()(

pV

pVpH

e

S

Structure à contre réaction multiple ou Structure de Rauch :

Remarque : Produit d’impédances (admittances) au numérateur et audénominateur, il sera possible de réaliser des fonctions de transfert ausecond ordre. Le numérateur ne présente pas de somme, il sera doncimpossible de réaliser une fonction « réjecteur de fréquences ».

Av+

-VS

Ve Y1 Y3

Y2

Y5

Y4

)()(

4321543

31

YYYYYYY

YYpH


FILTRAGE


)(

)()(

pV

pVpH

e

S

Structure de Sallen & Key :

Remarque : Produit d’impédances (admittances) au numérateur et audénominateur, il sera possible de réaliser des fonctions de transfert ausecond ordre. Le numérateur ne présente pas de somme, il sera doncimpossible de réaliser une fonction « réjecteur de fréquences ».

)()1()(

4312431

42

ZZZZKZZZ

ZZpH

C’est la structure de base des filtrespolynomiaux. Sa fonction de transfertest donnée par :

KVS

Ve Z1 Z3

Z4

Z2


FILTRAGE

Remarque : Amplificateur K (source commandée)

)()(

431231

42

ZZZZZZ

ZZpH

KVS

Ve Z1 Z3

Z4

Z2

Cas où K=1 :

VSVe

R1

R2

+

1

21R

RK

1K

VSVe +


FILTRAGE

Convertisseur d’impédance négative : NIC

s

s

e

e

i

V

DC

BA

i

V

C’est une forme de transformateur idéal :

NIC ZL-kZL NICZL LZk

1

Les caractéristiques du convertisseur d’impédance négative sont définiespar la matrice de transfert :

NIC ZLVe

ie

Vs

is

Ve=AVs-Bis or Vs=-ZLis Ve=-(AZL+B)is De même ie=-(CZL+D)is

LL

L

e

e kZDCZ

BAZ

i

V


FILTRAGE

s

s

e

e

i

VK

i

V

10

0

On peut envisager toutes les formes de convertisseur d’impédance négativesuivant les valeurs respectives de A et D. On s’intéressera aux 2 types deconvertisseurs suivants :

Dans ce cas : ie=is et VeVs (d ’où la conversion de tension) :

LL

L

e

e kZDCZ

BAZ

i

V

Pour satisfaire cette équation (avec k>0), ilsuffit de prendre B=C=0 et A=-kD

Convertisseur d’impédance négative en courant : INIC

Convertisseur d’impédance négative en tension : VNIC

Dans ce cas : ie is et Ve=Vs :

s

s

e

e

i

V

ki

V1

0

01


FILTRAGE

ss

ee

iRVV

iRVVécrirepeuton

20

10:

Le schéma suivant réalise un montage INIC :

s

s

e

e

i

V

R

Ri

VSoit

1

20

01

Ve

R2R

1

ie

Vs

is

V0

kR

R

i

iVVor

e

sse

2

1

Ve

R2R

1

ie

Vs

is

V0

RL

Impédance négative :

eLsLse ikRiRVV

LLe

ee R

R

RkR

i

VZ

2

1


FILTRAGE

Stabilité d’un montage INIC :

eGe iRRVV 10

Ve

R2R

1

ie

Vs

is

V0

RL

RG

eGeeL iRVikRe

eLG

Ge V

kRR

RRVVSoit

10

GH

G

R

R

RRRR

RkR

kRR

V

VV

RkR

RRV

L

G

L

GL

L

eGL

Ge

11

1

1

1

2

2

100

1

L

G

L R

R

R

RGHet

R

RG

1

221 Instable si 1+GH<0 (pôle dans D+)

LGGLL

G RRRRsiR

R

R

R

R

R

R

RGH 21

12

1

2 1


FILTRAGE

Stabilité d’un montage INIC : Remarque

12

12 11RR

R

RR

R

R

R

R

R

G

G

L

L

GL

R2R

1

V0

RG RL

01

02

VRR

ReetV

RR

Re

G

G

L

L

Stable si contre réaction sur l’entrée > contre réaction sur l’entrée plus

12 RR

R

RR

Ree

G

G

L

L


FILTRAGE

Synthèse directe d’un filtre actif à partir d’un INIC

Méthode de Linvill :

Cette méthode utilise un INIC placé entre 2 quadripôles caractérisés parleurs matrices impédances :

Le second quadripôleétant à vide, sonimpédance d’entréevaut Z11b (V=- Z11bi’)

Par conséquent, l’impédance d’entrée du montage INIC vaut -kZ11b

Ve [Za]

ie

V

i

-kZ11bab

ab

eb

aea

ZkZ

ZkZ

i

VikZV

iZiZV

2211

2111

11

2221

[Zb]Ve Vs

is

[Za]

ie

INIC kV

i i’

V


FILTRAGE

Le second quadripôle étant à vide : V=- Z11bi’ et Vs=- Z21bi’

ab

ba

e

s

ab

ab

e ZkZ

ZkZ

i

VpZ

ZkZ

ZkZ

i

V

2211

2121

2211

2111 )(

La fonction de transfert de transimpédance est donc :

Méthode de YANAGISAWA :

Ve

[Yb]

[Ya] INIC k VsVe [Ya]

ie

INIC kV

i i’

V

Cette méthode utilise la structure ci-dessous :

Si on ne tient pas compte du quadripôleYb on obtient :


FILTRAGE

Ve [Ya]

ie

INIC kV

i i’

VOn peut donc écrire :

Si on ne tient pas compte du quadripôleYb on obtient :

VkYVkYi

VYVYi

k

iVYVYi

VYVYi

aea

aeae

aea

aeae

2221

1211

2221

1211

''

On en déduit la matrice admittance équivalente :

aa

aa

kYkY

YY

2221

1211

La fonction de transfert du système complet s’écrit donc :

ab

ab

T

T

e

s

kYY

kYY

Y

Y

V

VpH

2222

2121

22

21)(

Cette relation est plus simple que celle obtenue pour la structure de Linvill


FILTRAGE

Structure de Yanagisawa simplifié :

Ve INIC k VsY2bY2a

Y1aY1b

On obtient : Y21a=-Y1a

Y22a=Y1a +Y2a

Y21b=-Y1b

Y22b=Y1b +Y2b

La fonction de transfert s’écrit alors :

abab

ab

e

s

kYYkYY

kYY

V

VpH

2211

11)(


FILTRAGE

Gyrateurs

C’est un élément actif non réciproque qui a la propriété de présenter uneimpédance d’entrée proportionnelle à l’inverse de l’impédance de charge

ZLVe

ie

Vs

is

Rg ZL VsVe

Rg

L

g

e

ee Z

R

i

VZ

2

La matrice de transfert s’écrit :

s

s

e

e

i

V

DC

BA

i

V

Or et eL

ge i

Z

RV

2

sLs iZV

On en déduit la relation suivante : 222ggLLL DRRCZBZAZ


FILTRAGE

Le courant d’un port est proportionnel à la tension de l’autre port

eg

s

sg

e

s

s

g

g

e

e

VR

i

VR

i

i

V

R

R

i

V1

1

0/1

0

Cette relation est vraie : 222ggLLLL RDRZCZBZAZ

On en déduit : A=0, D=0 et B=CRg2

On obtient ainsi :

Réalisation d’un gyrateur :

Ve INIC k VsZL

Rg Rg

-Rg

ie is

L

g

gLg

g Z

R

RZR

R2

111

L’impédance de charge de l’INIC :

D’où : L

g

e

ee Z

Rk

i

VZ

2


FILTRAGE

Réalisation d’un gyrateur, pour réaliser la résistance -Rg, on utilise un INIC avec k=1 (R1=R2) :

L

g

g

Lg

Lgg

Z

R

RZR

ZRR

2

111

RgRg

Rg

R

RR R

Ve Vs

Pour réaliser un gyrateur, on peut également utiliser le montage suivant :

Rg

-Rg -(Rg//ZL) Impédanced’entrée :


FILTRAGE

Réalisation du gyrateur :

Rg

-Rg -(Rg//ZL)

Rg

ZL

R

RVe Vs

R

R

Rg

Rg


FILTRAGE

Synthèse directe d’un filtre actif à partir d’un gyrateur

Les méthodes proposées s’appuient sur un circuit constitué d’un gyrateurplacé entre 2 quadripôles RC, le premier est caractérisé par ses paramètresadmittance, le second par ses paramètres impédance :

Pour calculer la fonction de transfert : Le second quadripôle est en circuitouvert, son impédance d’entrée est donc Z11b. Cette impédance correspondà la charge du gyrateur, par conséquent l’impédance de charge du premierquadripôle est donc Rg

2/ Z11b.On peut donc écrire :

is

[Ya]

ie

V’V

Rg

Ve Vs

i

[Zb]

i’

iZ

RV

b

g

11

2


FILTRAGE

D’autre part la matrice impédance du gyrateur, déduite de sa matrice detransfert nous donne :

is

[Ya]

ie

V’V

Rg

Ve Vs

i

[Zb]

i’

iZ

RV

b

g

11

2

Or -i=Y21aVe+ Y22aV 22211

221

gab

ga

e RYZ

RY

V

V

'''0

0

'iRV

i

i

R

R

V

Vg

g

g

Le second quadripôle étant à vide, on peut écrire : V’=-Z11bi’

Soit : egab

gab

g

b VRYZ

RYZVV

R

ZV

22211

211111 ''


FILTRAGE

is

[Ya]

ie

V’V

Rg

Ve Vs

i

[Zb]

i’

Le second quadripôle étant à vide, on peut écrire : Z11bVe=Z21bV’

Soit : egab

gab

g

b VRYZ

RYZVV

R

ZV

22211

211111 ''

Finalement, la fonction de transfert du système complet s’écrit :

22211

2121)(gab

gab

e

s

RYZ

RYZ

V

VpH


FILTRAGE

VII - Synthèse en cascade d’un filtre actifLe principe de la méthode consiste à réaliser un certain nombre de filtresactifs élémentaires très simples dont la mise en cascade permettra d’obtenirn’importe quel filtre.

Décomposition de la fonction de transfert Passe Bas

Si on considère la fonction de transfert des filtres passe bas polynomiaux,le numérateur est égal à 1. De plus, les racines du dénominateur de lafonction de transfert (pôles) se situent sur une courbe continue dans D- :demi cercle unité pour Butterworth, demi-ellipse pour Tchebychev.Ces racines sont toutes imaginaires conjuguées (si n est pair, si n est impair il existe une racine réelle négative -p0)

On peut donc regrouper les racines complexes conjuguées pour donner unun polynôme du second ordre : p1=-1+j1 et p1

*=-1-j1


FILTRAGE

L’expression de la fonction de transfert d’un filtre polynomial peut doncse mettre sous la forme :

On peut donc regrouper les racines complexes conjuguées : p1et p1*

21

21

21

21

211

2*11 2 ppppppp

)(

2

222)(

22222

2211

2

pairnn

k

ppppppppp

KpH

kk

)(

2

1

222)(

22222

2211

20

impairnn

k

ppppppppppp

KpH

kk

Cette fonction de transfert nécessite donc la mise en cascade de 2 types defiltres élémentaires


FILTRAGE

• Un ou plusieurs filtres du second ordre :

Mise en cascade de deux types de filtres élémentaires :

22 2)(

ii ppp

KpH

Comme il s’agit de filtres passe bas H(j )=1 pour =0, on écrira donc lesfonctions de transfert élémentaires sous la forme :

• Un filtre du premier ordre, si n est impair :0

1)(

pppH

1

1

1

1)(

1

1

12

1)(

0

2

2

2

appp

pHetbpap

ppp

ppH

i

i

i


FILTRAGE

Signification physique de la décomposition des fonctions de transfert

Prenons comme exemple la réalisation d’un filtre passe bas de Tchebychevd’ordre 7, avec un taux d’ondulation de 1 dB dans la bande passante et unefréquence de coupure f0=1kHz

Prenons comme cellule de base la structure de Sallen et Key :

1VS

Ve R0 R0

q1C0

m1C0

220

21100121

1)(

pCRqmpCRmpH

O

La fonction de transfert de cettecellule s’écrit :

La pulsation caractéristique de cette cellule est :1100

1

1

qmCR


FILTRAGE

La fonction de transfert normalisée de cette cellule :

21

2

1121

1)(

pp

pH

La pulsation de normalisation du filtre de Tchebychev d’ordre 7 (pourl ’ensemble des cellules) :

1

11

1100

1

1

q

met

qmCRavec

0000

12

CRf

00

jp

sjp Normalisation en fréquence :

La pulsation caractéristique de la première cellule devient :

110

11

1100

1

11

qms

qmCR


FILTRAGE

La fonction de transfert de la première cellule devient :

211

21

2

11

2111 1

1

21

1

21

1)(

sasbss

sssqmsm

sH

1

11

11

10

1

0

11

1

1

1

11

11

22

1

22

a

bs

b

af

fs

b

a

m

aq

bm

Par identification, on obtient :

Rappel : 2

221

12

1

pmm fFV

Les abaques donnent pour la première cellule : 16061,13393,4 2 pp

Il faut traduire par : 116061,13393,4 12

12 sbsass


FILTRAGE

On en déduit : m1 = 0,803 et q1 = 5,403s1 = 0,480 (f1 = 480 Hz) et 1 = 0,3855

)402,0(40221

406,112

1

2

111

2

11

1

HzfF

V

m

m

Première cellule : a1 = 4,3393 et b1 = 1,6061

D’un point de vue pratique, il est important de vérifier chaque celluleavant de les cascader. Il est important de placer les cellules dans l’ordrecroissant du coefficient de surtension. Ces filtres étant très sensibles auxdispersions sur les valeurs des composants, il est plus aisé de calibrerchaque cellule : Vm, Fm et fi (caractéristiques fondamentales)

1ère cellule : 4,4493s2+1,6061s+1 Vm1=1,402ème cellule : 1,5303s2+0,3919s+1 Vm2=3,19


FILTRAGE

Réalisation de la première cellule :

1ère cellule : 4,4493s2+1,6061s+1 m1 = 0,803 et q1 = 5,403

Pour calculer les différents éléments, on fixe R0 (1k R0 100k)Prenons R0 = 10k. On en déduit :

1VS

Ve R0 R0

q1C0

m1C0

nFCq

nFCmnF

RfC

02,86

78,1292,15

2

1

01

01

000


FILTRAGE

Tchebychev d’ordre 7 d’ondulation 1 dB :

1ère cellule : 4,4493s2+1,6061s+12ème cellule : 1,5303s2+0,3919s+13ème cellule : 1,0073s2+0,0920s+14ème cellule : 4,868s+1

On en déduit :1ère cellule : m1=0,803 q1=5,4032ème cellule : m2=0,196 q2=7,8083ème cellule : m3=0,046 q3=21,8784ème cellule : m4=0,046

1 = 0,3855 2 = 0,1585 3 = 0,046f1= 480 Hz f2= 808 Hz f3= 996 HzVm1= 1,40 Vm2= 3,19 Vm3= 10,91


FILTRAGE

Réalisation de la dernière cellule :

4ème cellule : 4,868s+1 m4 = 0, 046 VSVe

R0

m4C0

1

1

1

1

1868,4

1)(

4

4

sssas

sH

1

1)(

1

1)(

4004

smsH

CRmpH

On en déduit que m4 = a4 et 673,01

0

4

44

as

Finalement f4 = s4f0 = 673 Hz


FILTRAGE

Réalisation d’un filtre de Tchebychev d’ordre 7 d’ondulation 1 dB, f0=1kHz :

nFCmnFCq

nFCm

nFCq

nFCm

nFCq

nFCm5,77

3,348

732,0

3,123

48,2

02,86

78,1204

03

03

02

02

01

01

VSVe +-

10k 10k 12,78nF

86,02nF

+-

10k 10k 2,48nF

124,3nF

+-

10k 10k 0,73nF

348,3nF

10k

77,5nF

-1dB log f

Allure de la réponse


FILTRAGE

VIII - Sensibilité des filtres actifsLes circuits élémentaires du second ordre réalisés à partir de différentséléments actifs : A.OP., convertisseurs d’impédance, gyrateurs, permettentde réaliser des filtres d’ordre élevé par mise en cascade. La question se posede savoir quel type de circuit conviendra le mieux à réaliser

Stabilité des caractéristiques d’un filtre actif

Hormis les questions de coût, les critères de choix porteront essentiellementsur les facilités de réglage du filtre et sur la stabilité de ses performanceslorsque l’un ou l’autre des éléments qui le constituent varie. En effet, enraison de l’importance des coefficients de surtension mis en jeu, une légèrevariation de l’un des composants peut entraîner une variation considérablede la courbe de réponse.

Les études de stabilité portent sur les points suivants :- Effet de l’A.OP. : stabilité par rapport à ses caractéristiques


FILTRAGE

Stabilité des caractéristiques d’un filtre actif

Les études de stabilité portent sur les points suivants :- Effet de l’élément actif : stabilité par rapport aux caractéristiques de l’A.OP. et stabilité par rapport aux composants passifs associés à l’A.OP. pour réaliser l’élément actif- Effet des éléments passifs : stabilité par rapport aux composants passifs associés à l’élément actif pour réaliser le filtre

• Grandeurs caractéristiques des filtres du second ordre :La courbe de réponse d’un filtre passebas du second ordre est représentée surla figure ci-contre. Une variation de l’undes composants peut entraîner une légèrevariation de la fréquence de résonance (peud’influence), mais une grande variation surde la valeur de surtension.

Vm

Vm’

fm fm’


FILTRAGE

La variation de l’amplitude maximale sera d’autant plus importante que lecoefficient de surtension sera élevé (Q=1/2)

En conclusion, la sensibilité d’un filtre élémentaire d’ordre 2 à une variationd’un élément est d’autant plus importante que son coefficient de surtensionest élevé.

• Définition de la sensibilité :

La fonction de transfert d’un filtre passe bas normalisée s’écrit :

20

2

020

2

0

11

1

21

1)(

pp

QppV

VpH

e

s

S’il y a surtension (fréquence de résonance) :

20

2

2

11

41

1Q

et

Q

Q

V

VV m

me

sm


FILTRAGE

Dès que Q dépasse quelques unités, on aura : Vm#Q et m# 0

On aura une bonne estimation de la sensibilité d’un tel filtre en fonction dela variation de l’un de ses composants X en mesurant quelle variation de Qest provoquée par une variation de X.

D’où la définition de la sensibilité :

XXQQ

SQX

: Sensibilité du coefficient de surtension à la variation d’un élément X (grandeur indépendante des unités)

XX

XX

S m

m

X

#0

0

0 : Sensibilité de 0 (m dès que Q dépasse qq. unités) à la variation d’un élément X


FILTRAGE

Sensibilité des filtres du second ordre aux variations des éléments actifs

Les grandeurs caractéristiques de l’élément actif susceptible de varier sont :- le gain K des sources commandées- le gain K des convertisseurs d’impédance négative- la résistance de gyration Rg pour les gyrateurs- le gain A des A.OP.

En pratique, il peut naître une variation d’amplitude et de phase, enparticulier si la température varie. Nous ne nous intéresserons qu’auxvariations d’amplitude qui donnent une bonne idée de la sensibilité dumontage.

Toutefois il est difficile de comparer par exemple SKQ et SRg

Q. Cependant,tous les éléments actifs étant constitués à l’aide d’A.Op. il est possibled’établir une comparaison valable en calculant les sensibilités par rapport àune variation du gain en boucle ouverte A du ou des A.OP.


FILTRAGE

Si l’élément actif est réalisé par des A.Op. associés à des éléments passifs,une variation de ces derniers se traduira par une variation de l’élément actif.Par exemple pour un INIC où k=R2/R1, si R1 et/ou R2 varient alors k varie!

Il convient alors de considérer 2 sensibilités par rapport aux variations del’élément actif.

• Calcul de la sensibilité d’un filtre à source commandée à gain positif

KVS

Ve R R

C1

C2

221

212 121

)(pCCRpCKCR

KpH

La fonction de transfert d’un telfiltre s’écrit :

On définit : 12

21

21

0 12

1

CKC

CCQet

CCR


FILTRAGE

Soit :

Dans le cas d’un ampli de gain unité :

On définit :

21

122

12

211 12

12 CC

CKCK

CKC

CCC

Q

K

K

QSQK

2

1

12

1

12 C

CKQ

CKC

KCSQK

2

2

1 22

1QS

C

CQ Q

K

Cette valeur peut paraître énorme, mais il faut tenir compte du gain deboucle ouverte, A, de l ’A.Op. et étudier : K

AQK

QA

QA SSSS

Dans le cas d’un montage suiveur :11

1

1

A

A

A

K

A

QS

AAK

A

A

KS Q

AKA

221#

1

1


FILTRAGE

Pour utiliser ce montage, il convient de vérifier : A>>2Q2

De même :

On obtient :

01

0

21

0 ASCCR

Si K1, montage non inverseur avec R1 et R2 :

QR

QR SetS

21Il faut alors calculer :

1

21

R

RRK

A

QSQA

22

KR

KR

QK

QR S

C

CKQSSS

111

2

1K

K

RR

RS KR

1

21

21

On en déduit : Q

R

Q

RS

C

CQKS

21

2

11

Par exemple si Q=50 avec K=2 alors 25001Q

RS

Si R1 varie de 0,01% alors l ’amplitude de résonance, Q, variera de 25%!


FILTRAGE

Si on tient compte du gain A de l’A.Op., on obtient :

• Filtre utilisant un A.Op.

A+

-VS

VeRR

R

C1

C2

221

2231

1)(

pCCRpRCpH

La fonction de transfert d’un tel filtres’écrit :

221

212

11

113

21

1)(

pA

CCRpAC

ACR

A

pH

Avec : 122

212

2121

12

21

33

32

13

)2)(1(

CCAC

CCACACCC

CAC

AACCQ


FILTRAGE

Or A est très élevé (gain en boucle ouverte d’un A.Op.) :

De même :

2

1

2

212

3

1

3#

C

C

AC

CCAQ

On définit :A

Q

CC

ACC

AQ

A

A

QSQA

2

1

2

1

2

3

3

1#

31

1

212121

0

11

#

11

21

#1

1

21

CCRA

CCR

AA

ACCR

A

Soit :

2

21200

212

20

12

11

A

A

CCRCCRA


FILTRAGE

On obtient :

On définit de même :

200

22000 ##2

AAA

A

0#2

1

0

00

A

A

ASA

• Filtre utilisant un INIC

Ve INIC k VsR1

R2

C1 C2

2

212122121

121

1

1)(

pCCRRpCRCkRR

pCkRRpH

La fonction de transfertd’un tel filtre s’écrit :

Avec :12122

2121

)( CkRRCR

CCRRQ


FILTRAGE

On définit :

En prenant k=1 et R1=R2=R :

La résolution de ce système nous donne :

12122

12

)( CkRRCR

CkR

Q

k

k

QSQk

2

2

1 QC

CSQk

Ve

R2R

1

ie

Vs

is

RL

A

)(0 es VVAV

2

0

R

VV

R

Vi s

L

ss

2

0

R

VVi ee

L

LLe

e

e

R

R

R

R

AR

R

RZ

i

V 2

22

1 11

On réalise le montage INIC de la façon suivante :


FILTRAGE

Dans ce cas la valeur rigoureuse du gain d’impédance négative est :

AAkAk

A

Ak

A

A

kS kA

2#

2

2222

L

L

R

R

R

R

AR

Rk 2

22

1 11

Prenons pour fixer les ordres de grandeur R1=R2=R= RL :A

k2

1

A

QSSS kA

Qk

QA

22

Toutefois, il convient de tenir compte de la sensibilité due aux dispersionssur les résistances R1 et R2 :

Finalement, on obtient :

kR

kR S

k

R

R

kS

2111

1

Soit : 2

211QSSSS Q

RkR

Qk

QR


FILTRAGE

Sensibilité des filtres du second ordre aux variations des éléments passifs

Le calcul des sensibilités SAQ et SA

0 montre qu’il est toujours possible deréaliser ces grandeurs à volonté par un choix judicieux des schémas et dugain en boucle ouverte A de l’A.Op.

Il n’en sera pas de même pour les sensibilités SZQ et SZ

0. En pratique, il nefaudra utiliser que des montages pour lesquels ces grandeurs sontraisonnablement faibles!

En particulier, les condensateurs sont des éléments passifs plus coûteux etmoins stables que les résistances. Une faible sensibilité à une variation del’un d’entre eux sera une qualité appréciable.

Attention, pour évaluer ces sensibilités, il faut prendre la précautiond’effectuer les calculs avant de simplifier les termes qui s éliminent par différence!


FILTRAGE

Par exemple, prenons le cas du filtre à INIC suivant :

Ve INIC k VsR1

R2

C1 C2

2

212122121

121

1

1)(

pCCRRpCRCkRR

pCkRRpH


C’est la somme d’une fonction passe bas et d’une fonction passe bande.Pour obtenir la fonction passe bas, on devra éliminer le passe bande.Les caractéristiques du passe bas sont :

2121

022121

2121 1

CCRRet

CRCkRR

CCRRQ

On obtient : 12122

11

2

11 CkRRCR

CRSQR


FILTRAGE

Si maintenant on fait R1=kR2 afin d’obtenir le filtre passe bas :

Cette valeur peut devenir énorme dès que Q dépasse quelques unités et ilest très différent du résultat qu’on aurait obtenu en faisant le calcul sur lafonction simplifiée en posant R1=kR2 au départ!

Soit :

22

11

12122

11

2

1

2

11 CR

CR

CkRRCR

CRSQR

25,01

QSQR

• Filtre à très faible sensibilité : cas d’un passe bande :

K2

VS

Ve

R1

C1

C2

K1

R2

22121212211

2221

11)(

pCCRRKKpCRCR

pCRKKpH



FILTRAGE

22121212211

2221

11)(

pCCRRKKpCRCR

pCRKKpH

Dans ces conditions :21

021

1

1

2

1

KKRCet

KKQ

Si on pose R1=R2=R et C1=C2=C : 22221

21

121)(

pCRKKRCp

RCpKKpH

Si K1=-K2=K et pour les grandes valeurs de Q : 12

# QkS

KQ

A

Q

A

K

K

A

A

KS

RRR

A

RRR

A

KKK KA

2#

12

21

21

2

21

A

QSSS KA

QK

QA

2Finalement :


FILTRAGE

2

1

1

10

2

0

1

21

0

KK SSKKRC

On obtient :

Soit :2

10

KS

Finalement :

A

QSSS KA

QK

QA

2

A

Q

A

KSSS KAKA

200

De plus :

De même, la sensibilité du montage par rapport aux variations desrésistances qui constituent la source commande (montage inverseuret montage non inverseur) :

2

112 Q

RQR SS


FILTRAGE

Conclusion sur la sensibilité des filtres actifs

SensibilitéNature del’élément actif

QAS

QZAS Q

CSQRS

OAS O

ZAS OZS

AmplificateurOpérationnel A

Q23 02

1

3

2 0#

2

A0

2

1

Source commandéede gain >0 A

Q222

10

2

1

2

1)1(C

CQK

Amplificateurde gain unité A

Q222

10

2

10 0

00

NICA

Q222

10

2

102Q 25,0 Q

0

Source commandéede gain <0 A

Q

2

9 2

6

1

2

102

1

A

Q

2

9 2

2

1

Circuit faible sensibilitédouble sourcecommandée A

Q2

2

102

1

A

Q2

10


FILTRAGE

Des résultats rassemblés dans le tableau précédent, on peut tirer un certainnombre de conclusion :

• Les filtres utilisant des INIC ont une sensibilité prohibitive ~Q2 aux variations des éléments passifs, ainsi qu’aux variations des résistances associées à l’A.Op. pour réaliser le INIC• Les filtres à source commandée de gain positif (>>1) ont une sensibilité prohibitive aux variations des résistances associées à l’A.Op. pour réaliser les éléments actifs : ~QK (Q(1-K)C1/C2)

• Leur emploi, dans les 2 cas précédents, est à éviter lorsque Q dépasse quelques unités!

• Les filtres utilisant une source commandée à gain unité ont une sensibilité aux variations des éléments actifs qui est faible (A>>Q2). On pourra aller aller jusqu’à des valeurs de Q dépassant 100, suivant le domaine de fréquence et l ’A.Op. utilisé!


FILTRAGE

• La sensibilité par rapport aux variations des éléments passifs, réalisant le filtre, sont comparables à celles des filtres passifs : Considérons le filtre RLC passe bas suivant :

• Les filtres utilisant une source commandée à gain négatif ont une sensibilité très faible par rapport aux variations des éléments aussi bien actifs que passifs (A>>Q2) surtout en BF. Toutefois, ils ont un médiocre rapport signal/Bruit!

Ve VsC

L

RQet

LC

110

1QRS

2

1 Q

C

Q

LSS

2

100

CL SS00 RS


FILTRAGE

Autres critères de choix

AmplificateurOpérationnel

Source commandéede gain >0

Amplificateurde gain unité

NIC

Source commandéede gain <0

Sensibilité auxvariations deséléments actifs

faible

très forte

faible

très faible

Gyrateur

très forte

faible

Sensibilité auxvariations des

éléments passifs

faible

faible

faible

faible

très forte

faible

Nombred’A.Op.

1

1

1

2

1

2

Possibilitéde mise en

cascade

oui

oui

oui

oui

non

non

Facilité deréglage

moyenne

bonne

bonne

bonne

moyenne

médiocre

Stabilitéélectrique

très bonne

bonne

très bonne

très bonne

mauvaise

mauvaise


FILTRAGE

Pour les filtres polynomiaux et Cauer (zéros de transmission)

Raideur dela coupure (n)

Régularité dutemps de groupe

Déformations durégime transitoire

Coefficients desurtension

Nombre de composants (K)

Bessel

très médiocre

excellente

très faible

très élevé

Difficultés deréglage (sensibilité)

très faibles

faibles

Butterworth

médiocre

bonne

faible

élevé

faibles

faibles

Legendre

moyenne

moyenne

faible

moyen

moyens

faibles

Tchebychev

bonne

médiocre

forte

faible

moyens

moyens

Cauer

très bonne

très médiocre

très forte

faible

élevés

élevés


FILTRAGE

IX - Filtres à capacités commutées

Il est très difficile d’implanter sur un circuit intégré des résistances de fortevaleur, une des solutions consiste à remplacer ces résistances par des circuitsà capacités commutées :

R

C

Etude préalable : Transfert de charge entre C1 et C2

C1 C2

L’interrupteur est initialement ouvert, et les capacitésC1 et C2 sont respectivement chargées sous les tensions

E1 et E2. On suppose que E1>E2

L’interrupteur fermé à une résistance : Ron


FILTRAGE

On note V1, la tension aux bornes de la capacité C1 et V2, la tension auxbornes de la capacité C2 :

Soit :

tUO

E1

E2

V1(t) V2(t)C1 se décharge dans C2 (constante de temps :Ron"C1//C2").

Conservation de charge :

C1E1+C2E2=( C1+C2)U0

1

2

2

1

21

21

21

22110 C

E

C

E

CC

CC

CC

ECECU

Etude du circuit à capacités commutées

Pour calculer la résistance équivalente du circuit àcapacités commutées, considérons le montagesuivant et montrons qu’il se comporte comme uncircuit RC passe bas.

C1 C2E


FILTRAGE

Cherchons à déterminer la constante de temps =RappC2 de ce circuit :

121

2

21

1

1

1

221

21

n

nn U

CC

CE

CC

C

C

U

C

E

CC

CCU

Le circuit est alimenté par un générateur de tension continue E. A t=0, on aV1(0)=V2(0)=0. Les deux interrupteurs sont commandés par le même signald’horloge, de période Tc et de rapport cyclique 1/2, mais sur les phases, et , opposées. Un interrupteur fermé est équivalent à une résistance Ron, uninterrupteur ouvert est considéré comme parfait. On suppose que les constantes de temps RonC<<Tc/2. Pendant la première1/2 période, le premier interrupteur () est fermé (on ferme E sur C1), alorsque le deuxième reste ouvert. A Tc/2, on ouvre et on ferme . On appelleU1 la tension d’équilibre à Tc, U2 la tension d’équilibre à 2Tc, …

U0=0 et on obtient la formule de récurrence :


FILTRAGE

121

2

21

1

1

1

221

21

n

nn U

CC

CE

CC

C

C

U

C

E

CC

CCUU0=0 et

AECC

CU

21

11

21

21

21

2

21

12 )1(

CC

CaavecaAaAAU

CC

CE

CC

CU

)1()1( 22

21

23

aaAaaAAU

CC

CAU

a

aAaaaaAU

nn

n

1

1)1( 132

1

21

2

CC

Ca

Remarque :

n

n

n

n CC

CE

CCC

CCC

CC

CE

a

aAU

21

2

21

2

21

2

21

1 1

1

1

1


FILTRAGE

Remarque, on veut un passe bas :

n

n CC

CEU

21

21

t

E

Tc/2 Tc 3Tc/2 2Tc 5Tc/2 3Tc 7Tc/2 4Tc

V1(t) V2(t)

C1 << C2

nnT

cn CC

CEeEnTUU

C

21

211)( Soit :

C1 C2E


FILTRAGE

nnT

nc CC

CEeEUnTUtV

C

21

22 11)()( On veut :

Soit :

C

nnT T

C

CC

CC

Ce

C

2

21

21

2 ln

Or C1 << C2 2

1

2

1 #1lnC

C

C

C

2212

1

2

1 #1ln CRCC

TT

C

C

C

Capp

cc

On en déduit :

Finalement, on obtient :11

1

CfC

TR

c

capp


FILTRAGE


FILTRAGE

Considérons le filtre suivants :

Etude d’un filtre passe bas à capacités commutées

Les données constructeur nous donnent :

BA

c

CC

CCff 32

0 2

BA

B

CC

CC

C

CQ 32

4

2

1

C

CG


FILTRAGE

Ce filtre peut-être ramené au filtre suivant :

ici Cf

RAvec1

sB

IB

sI VR

pCRRV

CR

V

R

V

4

43

43

1

//

_

+_

+

VeVS

R1

R2

-R3

R4

CA CB

VI

On peut donc écrire :

De même :

pC

R

pCRR

RV

R

VpCV

R

V

R

VA

Bs

eAI

se

4

43

2121

11

Soit :42

2432132141

RR

pCCRRRRpCRRRRR

V

V BAA

s

e


FILTRAGE

On en déduit :

D’où :

20

2

0

232

4

32

1

2

111

)(

pp

Q

G

pCCRRpCRRR

RR

V

VpH

BAAs

e

2

1

1

2

C

C

R

RG

BA

C

BA

c

BA CC

CCff

CC

CCf

CCRR32

032

2

32

20 2

1

BA

BBA

AA CC

CC

C

C

CC

CC

CC

CCQC

R

RR

Q32

4324

32

4

32

0

1

Documents

Filtrage - Modulation 1 FILTRAGE BIBLIOGRAPHIE P. Bildstein : « Filtres actifs - Méthode pratique de réalisation de filtres actifs », Ed. Radio J. Auvray